UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA SEDE – JAÉN
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL FACULTAD DE INGENIERÍA
CURSO
:
ANALISIS MATEMATICO III
TEMA
:
DOCENTE ALUMNOS
SERIES DE FOURIER
:
LIC. SANCHEZ CULQUI ELADIO
CHINGUEL CAMIZAN JAMES BERECHE ALVARADO PEDRO RAMON OLANO RUBIO JHOSVER CUBA ESPINOZA JHORDIN GUERRERO IRENE MILTON :
CICLO/AÑO : CIC CICLO LO VACA VACACIO CIONAL NAL 201 2013 3 FECHA
:
5 – MARZO – 2013
ÍNDICE SERIES DE FOURIER
P!"#$ 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
I.- INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN II.- DEFINICIONES III.- FUNCIONES PARES E IMPARES
DESARROLLOS DE MEDIO INTERVALO. XI.- SERIES DE FOURIER
DESARROLLOS ORTOGONALES
V.- CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER CONVERGENCIA PUNTUAL DE UNA SERIE DE FOURIER CONVERGENCIA UNIFORME DE UNA SERIE DE FOURIER VI.- DERIVACIÓN DE SERIE DE FOURIER VII.- INTEGRACIÓN DE SERIES DE FOURIER VIII.- SERIES DE SENOS Y COSENOS DE FOURIER
1. SERIES SERIES TRIGONOM%TRI TRIGONOM%TRICAS CAS & POLINOMIOS POLINOMIOS TRIGONOM TRIGONOM%TRI %TRICOS COS 2. AMPL AMPLIT ITUD UD & FASE FASE 3. VARIAN VARIANTES TES DE DE LA SERIE SERIE DE FOURI FOURIER ER IX.- FUNCIONES PERIÓDICAS X.- CONVERGENCIA PUNTUAL DE LA SERIE DE FOURIER 1' N(CLEO N(CLEO DE DIRI DIRICHL CHLET ET 2' PRIMER PRIMEROS OS TEOR TEOREMA EMAS: S: 3' TEOREM TEOREMA A DE DIRIC DIRICHLE HLET T )' OTROS OTROS TEOREMAS TEOREMAS DE CONVERGE CONVERGENCIA NCIA 5' CONDICIONE CONDICIONES S NECESARIAS NECESARIAS PARA LA CONVERGENC CONVERGENCIA IA DE SERIES DE FOURIER *' AN+LISIS AN+LISIS ARM,NICO ARM,NICO PR+CTICO PR+CTICO
I. INTRODUCCIÓN SERIES DE FOURIER
P!"#$ 2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
I.- INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN II.- DEFINICIONES III.- FUNCIONES PARES E IMPARES
DESARROLLOS DE MEDIO INTERVALO. XI.- SERIES DE FOURIER
DESARROLLOS ORTOGONALES
V.- CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER CONVERGENCIA PUNTUAL DE UNA SERIE DE FOURIER CONVERGENCIA UNIFORME DE UNA SERIE DE FOURIER VI.- DERIVACIÓN DE SERIE DE FOURIER VII.- INTEGRACIÓN DE SERIES DE FOURIER VIII.- SERIES DE SENOS Y COSENOS DE FOURIER
1. SERIES SERIES TRIGONOM%TRI TRIGONOM%TRICAS CAS & POLINOMIOS POLINOMIOS TRIGONOM TRIGONOM%TRI %TRICOS COS 2. AMPL AMPLIT ITUD UD & FASE FASE 3. VARIAN VARIANTES TES DE DE LA SERIE SERIE DE FOURI FOURIER ER IX.- FUNCIONES PERIÓDICAS X.- CONVERGENCIA PUNTUAL DE LA SERIE DE FOURIER 1' N(CLEO N(CLEO DE DIRI DIRICHL CHLET ET 2' PRIMER PRIMEROS OS TEOR TEOREMA EMAS: S: 3' TEOREM TEOREMA A DE DIRIC DIRICHLE HLET T )' OTROS OTROS TEOREMAS TEOREMAS DE CONVERGE CONVERGENCIA NCIA 5' CONDICIONE CONDICIONES S NECESARIAS NECESARIAS PARA LA CONVERGENC CONVERGENCIA IA DE SERIES DE FOURIER *' AN+LISIS AN+LISIS ARM,NICO ARM,NICO PR+CTICO PR+CTICO
I. INTRODUCCIÓN SERIES DE FOURIER
P!"#$ 2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
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
L$ -"- ;- F/"- ;-4"@-# -$8- 7-";"4$ 49 /#$ 49@"#$4"# ;- -$8- $9#"4$ >"#/";-'.
C# C# - -$ ?- -$9"-# 9"-#$ 7;;-9 9 $#$ $#$8"= 8"=$ /#$ - -$8 7-" 7-"; ;"4 "4$ $ -# 9 9"# "# ;- / 4# 4#-# -#"; "; -4 -4//-#4 #4"$ "$88 -7-4.
N N 7-9 7-9" "" " -$ -$@8 @8-4 -4- - 8$ ;/$8 ;/$8"; ";$; $; -# -#- "-9 "-97 7 < -4/-4/-#4" #4"$ $ ;- 9$ 9$ /- 7-$4 7-$4"# "#- - -$8"= -$8"=$;$ $;$ -# -8 ;9"#" -97$8 "-#-# / ;/$8 -# -8 ;9"#" -4/-#4"$8.
F9$ "!#9"4$ ;- 8$ -"- ;- F/"-: - 7--#;;-4"@" /#$ /#4"# "# 7-";"4$ xp(t) ;- 7-"; T >-4/-#4"$ /#;$9-#$8 f0=1/T, 0=7 f0'.
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 3
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
LA SERIE DE FOURIER II.- DEFINICIONES DEFINICIÓN ' (FUNCIONES PERIÓDICAS)
U#$ /#4"#
"-#- /# 7-; T - 7-";"4$ 4# 7-; T " 7$$
; t
;#;- T - /#$ 4#$#- 7""6$. E8 6$8 9
7-/- ;-
- 88$9$ -8 7-; 7"#4"7$8 7-; /#;$9-#$8
"978-9-#- -8 7-; ;-
.
E!"#p$% 1
L$ /#4"#
"-#- 7-; 2 ) * <$ /-: T;$ # "!/$8- $
.
E!"#p$%
S-$
. S"
"-#- 7-;
7-; T . >/"/<-#;
-##4-
"-#-
'
E!"#p$% &
S" f "-#- 7-; T -##4-
SERIES DE FOURIER
P!"#$ )
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
DEFINICIÓN * (EXPANSIÓN PERIÓDICA)
S-$ /#$ /#4"# f ;-"#";$ -# -8 "#-6$8 ,!"#$#0
. L$ !+,#
;- - ;-"#- 7 8$ "!/"-#- 9/8$:
DEFINICIÓN 1 (FUNCIONES CONTINUAS A TRO2OS)
U#$ /#4"#
;-"#";$ -# -8 "#-6$8
- 88$9$ 0%3#&
3"%4% -# " < 8 "
$8 /- f -
>"' EK"- /#$ /@;"6""# 4#"#/$ -# 4$;$ /@"#-6$8 8 7/# ;- 8$ /@;"6""#-
< >""' -# 4$;$ /# ;-K"- -8 89"- 7 /# 8$; -#
4$;$ -K-9 ;-8 /@"#-6$8. T!%"!5 '
S-$ f 4#"#/$ -#
SERIES DE FOURIER
. A/9"-#; /- 8$ -"-
P!"#$ 5
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
C#6-!- /#"9-9-#- $ f 7$$ ;
. E##4-
- ;-"#-# $:
D$; /- 8$ -4/-#4"$ ;-7-#;- /-
4#6-!- /#"9-9-#- $ f > x ' 4#6-!- /#"9-9-#- $
7$$
4$;$
'
4/$#; ". A P$$ 4$;$
":
L$ -"- 4#6-!-#- /#"9-9-#- 7/-;- - "#-!$;$ 9"# $ 9"# SERIES DE FOURIER
P!"#$ *
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
E8 $!/9-# - $#8! 7$$
DEFINICIÓN FOURIER)
6
L #9-
<
C/$#;
-# ;-4" 49 -# 8$ -"- "!#9"4$ -
<
(COEFICIENTES
DE
FOURIER7
SERIES
DE
- ;-#9"#$# 8 0%!8#0#!3! $! F%&"#!" ;- f .
;-#9"#$ 8$ !"#! $! F%&"#!" ;- 8$ /#4"# f . N%3 '
S" f - 4/$8/"- /#4"# "#-!$@8- -##4- 8 4-"4"-#-
<
7/-;-# - 4$84/8$;. S"# -9@$! # -K"- 4--=$ ;- /- 8$ -"- ;F/"- 4#6-!- $ f " f - /#$ /#4"# $@"$"$ "#-!$@8-. E# !-#-$8 - ;"4-:
E "#;"4$ /- 8$ -"- 7;$ # 4#6-!- $ f -# $8!/# 7/#.
N%3 * >N$4"# C978-$ 7$$ 8$ -"- ;- F/"-' ";-#";$; ;- E/8-
SERIES DE FOURIER
U$#; 8$
P!"#$
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
D#;- - 8$ /#";$; "9$!"#$"$ $8 /-
8$ -"- ;- F/"- ;-
7/-;-# - -4"$ -# #$4"# 4978-$ $:
D#;-:
&
E9!5,% '
S-$
;-"#";$ -# -8 "#-6$8
< ;--9"#$;$ 7 /-$ ;- --
"#-6$8 7 / -K-#"# 7-";"4$
$/9"-#; /-
7-; T . L$ -"- ;- F/"- 4-7#;"-#- $
D#;- 8 4-"4"-#- ;- F/"-
SERIES DE FOURIER
<
>4#
"-#' -:
#:
P!"#$
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
E9!5,% *
S-$#
<
8 4-"4"-#- ;- F/"- ;- f . L$ 8%"5 8!-;<&%
;- 8$ -"- ;- F/"- ;- f -:
C#
&
E9!5,% 1
C$84/8$#; 8$ -"- ;- F/"- ;- 8$ /#4"# f ;$;$ 7:
&$ /- f - /#$ /#4"# "97$ - -
SERIES DE FOURIER
< 7 8 $#:
P!"#$
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
P$$
8 4-"4"-#-
-$# ;$; 7:
S- ;-;/4- /-:
III.- FUNCIONES PARES E IMPARES DEFINICIÓN.
S-$
/#$ /#4"#. S- ;"4- /7$$ 4$;$
-7-4 ;-8 -- ;- ;-#$;$. S"
- "!#""4$ /- / !$"4$ - "9"4$ - 7$ - "#-!$@8- -##4-:
L$ 4#$#- 8 4-# 8$ /#4"#- /#4"#- 7$-. S- ;"4- /- /#$ /#4"# 7$$ 4$;$
SERIES DE FOURIER
- /#$ /#4"# 7$ 4/$#;
7$ # --978 ;-
- /#$ /#4"# "97$ 4/$#; - "!#""4$ /- / !$"4$ -
P!"#$ 10
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
"9"4$ -7-4 ;-8 "!-# ;- 4;-#$;$. S" -##4-:
L -# 8$ /#4"#-
- "97$ - "#-!$@8-
"97$ # --978 ;- /#4"#-
"97$-. L$ /9$ < -8 7;/4 ;- /#4"#- 7$- "97$- "!/-# 8$ 9"9$ -!8$ /- 8 "!# >4# 7$ -# -8 7$7-8 ;- 7""6 "97$ -# -8 ;- #-!$"6'. O$ 77"-;$; "8 - /- 8$ ;-"6$;$ ;/#$ /#4"# 7$ - "97$ < 6"4-6-$.
E9!5,% '
E9!5,% *
C/<$ !$"4$ - 9/-$ -# 8$ "!/$ 10. - "97$ -# -8 "#-6$8 < ;- $4/-; 4#
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 11
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
D- 9; /-:
T!%"!5. S-$ T.
/#$ /#4"# 4#"#/$ $ = < 7-";"4$ ;- 7-;
>1'S" - /#$ /#4"# 7$ -##4- / ;-$88 -# -"- ;- F/"- 8 "-#- /#4"#- 4-# 8 /- - 4#4- 49 /#$ -"- ;F/"- -# 4-#
S"-#;:
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 12
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
>2' S" - /#$ /#4"# "97$ -##4- / ;-$88 -# -"- ;F/"- 8 "-#- /#4"#- -# 8 /- - 4#4- 49 /#$ -"- ;- F/"- -# -#
S"-#;:
DESARROLLOS DE MEDIO INTERVALO.
S-$ /#$ /#4"# 4#"#/$ $ =. S-$ T 2L -##4- 8$ -K-#"# T7-";"4$ < 7$ ;- f - 8$ /#4"# ;-"#";$ -# -8 "#-6$8 7
& -K-#;";$ 7-";"4$9-#- $ ;$ 8$ -4$ -$8 . O@6"$9-#- f 7$ - /#$ /#4"# 7$ $ /- / ;-$88 -# -"- ;- F/"- - /#$ -";- 4-# /- - 4#4- -# -- 4#-K 49 -8 ;-$88 ;- f -# -"- ;- 4-# -# 9-;" "#-6$8 < 6"-#- ;$; 7:
S"-#;:
L$ -K-#"# T7-";"4$ - "97$ ;- - 8$ /#4"# ;-"#";$ -# 7 < -K-#;";$ 7-";"4$9-#- $ ;$ 8$ -4$ -$8 . O@6"$9-#- f "97$ - /#$ /#4"# "97$ $ /- / ;-$88 -# SERIES DE FOURIER
P!"#$ 13
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
-"- ;- F/"- - /#$ -"- ;- -# /- - 4#4- -# -- 4#-K 49 -8 ;-$88 ;- -# -"- ;- -# -# 9-;" "#-6$8 < 6"-#- ;$; 7:
S"-#;:
E9!5,%.
S-$
7$$
E##4- / -K-#"# 7$ < 2 7-";"4$ -
8$ /#4"# ;$;$ 7 f 7$ 7$$ < -K-#;";$ 7-";"4$9-#- $ ;$ 8$ -4$ -$8 -8 ;-$88 ;- f -# -"- ;4-# -# -:
P$$ 8$ 9"9$ /#4"# f / -K-#"# "97$ < 2 7-";"4$ 6"-#- ;$;$ 7 f "97$ 7$$ < -K-#;";$ 7-";"4$9-#- $ ;$ 8$ -4$ -$8 -8 ;-$88 ;- f -# -"- ;- -# -#
-:
E9!5,%: =L #<!3! 8&0#%! % ,"! % #5,"!>
D#;- - /#$ /#4"# $@"$"$. S%$*+' C9 C9
SERIES DE FOURIER
- /#4"# "97$. - /#4"# 7$.
P!"#$ 1)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
C9
- /#4"# 7$.
E9!5,%. E6$8/$ 8$ "!/"-#- "#-!$8- 4/$#; # - ' # -#-
7""6:
S%$*+' () C9
-8 "#-!$#; ;- 8$ 7$-
>$' - /#$ /#4"# "97$. A 7 -8 --9$ 1:
(?)S- /$ -8 ?-4? ;- /- -8 "#-!$#; - 7$
"!#9"4$
SERIES DE FOURIER
< 8$ ";-#";$;
- 6- /- 7$$
P!"#$ 15
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
8$ "#-!$8 -# >@' - -4"@-
P 8 $#: (6)
E8 "#-!$#; ;- 8$ 7$- >4' $9@"# - 7$ < 7/-;- 4$84/8$/$#; /#$ ";-#";$; "!#9"4$ "9"8$.
(@)
L$ -4/$4"#- >3' < >5' -K7-$# /#$ 0%$#0# $! %"3%<%#$$ $"-4?$
7
-8
4#/#
;-
/#4"#-
"!#9"4$
;#;E 4"8 6-""4$ /- " 4$;$ /#$ ;- 8$ /#4"#-
-
7-";"4$ 4# 7-"; T -##4- 4/- 8 9"9 4# 4/$8/"- 49@"#$4"# 8"#-$8:
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 1*
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
P --978 8$ /9$
7 + 3 cos π x − 8 senπ x + 4 cos 2π x − 6 sen2π x "-#-
7-";
2 7/- 4$;$ 9"# "-#- 7-"; 2. A;-9 " 8$ -"- "#"#"$
Q/- 4#$ ;- /#4"#- 4# 7-"; 2T 4#6-!- 7$$ ;$
-##4- 8$ /#4"# $ 8$ 4/$8 4#6-!- - 7-";"4$ 4# 7-"; 2T. A 49 $ 4$;$ /#4"# /- "-#- ;-"6$;$ ;- ; 8 ;-#- -# /# 7/# " - 8- 7/-;- $4"$ /#$ -"- ;- T$<8 - 7/-;";-#""4$ /#$ -"- "!#9"4$ 7$"4/8$ 4# /#$ /#4"# 4#"#/$ 7 7$- P$$ "8/$ - - /7#- /-
"-#- -8
;-$88 -# -" ()
D#;-
<
# 4#$#-.
P$$ ;--9"#$ 8 4-"4"-#- "!/-. S- "#-!$
- 74-;- 49
;- –T $ T /7#"-#; /- - 7/-;- "#-!$
9"# $ 9"#:
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
C9
- /#$ /#4"# "97$
$;-9 7$$
- 4"8 6-""4$ /-
7 8 $#
< -##4-
O@-6- /-
- -8 6$8 79-;" ;-
-# /# 7-"; 2T. A
4#"#/$4"# 7$$ ;--9"#$ -8 4-"4"-#- ;9/8"78"4$ 7 >*' 7
-
< - "#-!$:
(B)
L$ 4#;"4"#- ;- !#$8";$; >3' < >5' 7-9"-# $#$8"=$ 4"89-#- 8$ "#-!$8- ;-8 8$; ;--4?. S- ?$ @-6$; /-
& 7 8$ 9/8$ >3' < >5' - "-#-
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
P $# -# >' 8 ?$< /# 9"# ;-8 8$; ;--4? /- @-6"6$ 8$ "#-!$4"#:
A - "-#- /#$ 9/8$ 7$$ -8 4-"4"-#-
D- 9$#-$ $#8!$ $8 9/8"78"4$ >*'
D- 9; /- 8$ 9/8$ 7$$
- "#-!$ - "-#-
-
P 8 484/8 $#-"- - 7/-;- -$@8-4- 8$ "!/"-#- ;-"#"4"# IV.- SERIES DE FOURIER DEFINICIÓN '. S-$ /#$ /#4"# 4#"#/$ 7 7$- -# -8 "#-6$8
L$ -"- ;- F/"- ;- 8$ -"- "!#9"4$.
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
L$ -"- < 10 - 88$9$# 9/8$ ;- E/8-. U$9 -8 9@8 7$$ -4;$ /- -$ -"- - $4"$;$ 4# 4#6-!- $ $8
-#
7- 7;$ #
.
E9!5,%. •
C.$*$. $. "" " F%"
S%$*+'
E# -- 4$
SERIES DE FOURIER
U$9 8$ 9/8$ < 10 7$$ -#-
P!"#$ 20
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
P $#: 11.
L$ "!/$ 4 9/-$ $8!/#$ /9$ 7$4"$8- ;- -$ -"-.
E9!5,%. •
C.$*$. $. "" " F%"
S%$*+'
D- #/-6
.@-6- /- - /#$ /#4"# "97$ .49 -8 7;/4
;- /#$ /#4"# "97$ < /#$ /#4"# 7$ - "97$
$9@"# -
/#$ /#4"# "97$ .$ SERIES DE FOURIER
P!"#$ 21
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
A;-9
- -8 7;/4 ;- ; /#4"#- "97$ < 7 $# -
/#$ /#4"# 7$ ;- 9; /-:
'*...
L$ "!/$ d 9/-$ $8!/#$ /9$ 7$4"$8-
E# -- --978 8$ /#4"# "97$ f "-#- /#$ -"- ;- F/"- /- 8 4#$ ;- /#4"#- -#. E 4"8 6- /- -# !-#-$8 " f - 4/$8/"- /#4"# "97$ -##4- / -"- ;- F/"- 4#$ #"4$9-#- ;9"# -#. E9!5,%. SERIES DE FOURIER
P!"#$ 22
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
•
C.$*$. $. "" " F%" "
S%$*+'2 E# -- 4$
. C9 f - /#$ /#4"# 7$
-
/#$ /#4"# "97$. P 4#"!/"-#-
P $#:
L$ "!/$ e 9/-$ 8$ /9$ 7$4"$8-
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 23
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
O@-6- /- 8$ /#4"# 7$ f ;-8 --978 "-#- /#$ -"- ;- F/"- /8 4#$ ;- /#4"#- 4-# < ;- 8$ #/#4" 4#$#-
. E#
!-#-$8 " f - /#4"# 7$ -##4- / -"- ;- F/"- 8 4#$ ;/#4"#- 4-# >"#48/<-#;
'.
DESARROLLOS ORTOGONALES
L$ -"- ;- F/"- # --978 ;- ;-$88. U# 4#/# ;/#4"#-
- /# "-9$ !#$8 "978-9-#-
!#$8 4# -7-4 ;- 8$ /#4"# ;- P#;-$4"# # #-!$"6$ -# -8 "#-6$8
('6)
"
"-97- /-
C9 - ?$ 6" -8 4#/# ;- /#4"#- "!#9"4$ SERIES DE FOURIER
P!"#$ 2)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
('@)
E !#$8 -#
4# -7-4 ;- 8$ /#4"# ;- 7#;-$4"#
" - ;-"#- 8$ #9$ ;- 49:
(')
E##4- - ;"4- /- /# 4#/# ;- /#4"#- "-9$ !#$8 ;-
" - 4/978- >1)' < $;-9
- /# 7$$ 4$;$
. E# 9$ -/"6$8-#- - ;"4- /- -8 4#/# - /# "-9$ #9$8 ": ('B)
S"-97- - 7/-;- @-#- /# "-9$ #9$8 $ 7$" ;- /# "-9$ !#$8 ;"6";"-#; 4$;$ /#4"# -#- / #9$. E# 7$"4/8$ 49
E##4- -8 "-9$ !#$8 >15' ;$ 8/!$ -#
$8 "-9$
#9$8:
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 25
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
S"
- /# "-9$ !#$8 4# -7-4 ;-
7;$ 7-!/#$ " - 7/-;- ;-$88$ /#$ /#4"# -$ /#4"#- - ;-4" - 7/-;- -K7-$ $
-# 9"# ;-
-# 8$ 9$
(')
P$$ /#$ -8-44"# $;-4/$;$ ;- 8$ 4#$#-
T$8 ;-$88 -
88$9$ ;-$88 !#$8 -"- ;- F/"- !-#-$8"=$;$. P$$ ;--9"#$ 8$ 4#$#- -# >1' - 7/-;- 74-;- 49 -# 8$ ;-;/44"# ;- 8$ 9/8$ ;- E/8- 7$$ 8 4-"4"-#- ;- /#$ -"- ;F/"- /"8"=$#; $?$ !#$8";$; ;-8 "-9$. S/7#"-#; /- 8$ -7--#$4"# >1' - 68";$ - 9/8"78"4$ 7
-
"#-!$ 7$$ @-#-. (')
T$9@"# - ?$ /7/- /- - 7/-;- "#-!$ -9"# $ 9"# 49 -8 "-9$ - !#$8 4# -7-4 ;;--4? ;- >1' - $#/8$ -K4-7 4/$#;
4$;$ "#-!$8 ;-8 8$; . A8 ;-7-$
-
@"-#-:
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 2*
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
L$ ;-;/44"# ;- 8$ 9/8$ 7$$
8 /- 9$8 7/- # - ?$
-/-8 8$ 4/-"# ;- 8$ 4#6-!-#4"$ ;-8 ;-$88 -# >1'. S" 8$ -"4#6-!- /#"9-9-#- $
-##4- - 7/-;-
/""4$ 4$;$ 7$ < 8 4-"4"-#- 6"-#-# ;$; 7 8$ 9/8$ >20'.
V.- CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER L$ "!/$ d < f 774"#$# $8!/#$ 7"$. E# -8 --978 5 - 7"@8- /"8"=$ /# 4"-" ;- 497$$4"# ;- 497$$4"# ;- 89"- 7$$ ;-9$ /- 8$ -"- - ;9"#$;$ $@8/$9-#- 7 /#$ -"- p ;- 8$ 9$
8$ 4/$8 4#6-!-. S"# -9@$! - - 9 4"8
;- ?$4- -# -8 --978 ) 7/- 8 9"# "-#;-# $ 4- 49
8$
4$ 7/-;-# -97-$ 7/- -K"-# -"- ;- F/"- /- ;"6-!-#. S- -$@8-4-# 2 --9$ 7$$ 8$ 4#6-!-#4"$ ;- 8$ -"- ;- F/"- < 2 /- $$# ;- 8$ ;-"6$4"# - "#-!$4"# 9"# $ 9"#. A#- ;- 4#"#/$ - #-4-"$ 8$ "!/"-#- #$4"#. S-$#:
CONVERGENCIA PUNTUAL DE UNA SERIE DE FOURIER T!%"!5 *. S"
f
<
f ¨
# 4#"#/$ -# 7$- -# [
T , T ]
−
-##4- 7$$ 4/$8/"- K -#
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
(*')
a0 2
∞
nπ x nπ x 1 + − + ∑ an cos + bn sen = [ f ( x ) + f ( x )], ;#;T T 2 n =1
;$;$ 7 8$ 9/8$ ;- E/8- >' < >10'. P$$ 4#6-!- $
1 2
<
-#
x = T
8$ -"-
+
−
[ f ( −T ) + f ( T )] +
−
E# $ 7$8$@$ 4/$#;
f , f ′ #
-"- ;- F/"- 4#6-!- $
f ( x )
4#"#/$ 7 7$- -# [
"
f -
T , T ]
−
8$
4#"#/$ -# x < 4#6-!- $8
79-;" ;- 8 8"9"- 7 8$ "=/"-;$ < 7 8$ ;--4?$ -# 7/# ;#;- f - ;"4#"#/$. E8 8$; "=/"-; ;- >21' - 7-";"4 4# 7-"; 2T. E "!#""4$ /" - -K"-#;-
f ( x )
9 $88 ;-8 "#-6$8
$ ;$ 8$ -4$ -$8
/$#; 8$ 7-";"4";$; 4# 7-"; 2T -##4- 8$ -4/$4"# >21' - 68";$ 7$$ ;$ K -# 8$ -K-#"# ;-
f ( x )
4# 7-"; 2T.
E9!5,%. 3A 45 f'*+' *%'6"7" $. "" " F%" " {
f ( x ) =1,1 0
x
0
− − << π
x
<< π
S%$*+'
E# -8 --978 $#-" - 6" /- 8$ -"- ;- F/"-
f ( x )
- ;$;$ 7
>12' < -# 8$ "!/$ - - @/- 8$ !$"4$ ;- 2 ;- / /9$ 7$4"$8-
f ( x ), f ′( x ) #
4#"#/$ 7 7$- -# [−
] . A;-9
π , π
f -
4#"#/$ -# K0. A 7 -8 --9$ 2 8$ -"- ;- F/"- -# >12' 4#6-!- $ 8$ /#4"# 7$$
− π <
x
<
0, g ( x )
=
f ( x )
g ( x )
=
4# 7-";
1 7$$
g ( x ) 2π
[ f ( 0 ) + f ( 0 ) ] , g ( 0) = +
0 < x < π
;#;−
2
+ − - "-#- g ( −+ π ) = [ f ( − π ) + f (π ) ] = ( − 1 + 1) = 0 . L$ !$"4$ ;-
2
2
g ( x ) = f ( x ) = −1
= 0 < -#
g ( x )
+ −
$7$-4-
-# 8$ "!/$ !. SERIES DE FOURIER
P!"#$ 2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
C/$#;
f -
/#$ /#4"# 4# 7-"; 2T 4#"#/$ -# (
) < 4/<$
−∞ ,∞
;-"6$;$ - 4#"#/$ 7 7$- / -"- ;- F/"- # 8 4#6-!- -# 4$;$ 7/# "# /- 4#6-!- /#"9-9-#- -# (
) . E "!#""4$
,∞ −∞
/- 7$$ 4/$8/"- 8-$#4"$ 7-4"$ 0 8$ !$"4$ ;- 8$ /9$ 7$4"$8 s N
=
a0 2
nπ x nπ x + ∑ a n cos + bn sen T T n= N
1
E$ 7$$ N !$#;- -# /# 4-; ;- $#4? -# # ;- 8$ !$"4$ ;-
f
-# (
) . L$ 77"-;$; ;- 4#6-!-#4"$ /#"9- ;- -"- ;-
−∞ ,∞
F/"- - ;- 7$"4/8$ /"8";$; 4/$#; ?$< /- 6-""4$ /- /#$ 8/4"# 7$4"$8 - /#$ 8/4"# !-#/"#$.
CONVERGENCIA UNIFORME DE UNA SERIE DE FOURIER T!%"!5 1. S-$
f
/#$ /#4"# 4#"#/$ -# (
4# 7-"; 2T. S"
f ′ -
) < 7-";"4$
,∞ −∞
4#"#/$ 7 7$- -# [
T , T ] <
−
7 $#
-# 4/$8/"- "#-6$8. E ;-4" 7$$ 4$;$ 0 -K"- /# -#- N 0 SERIES DE FOURIER
P!"#$ 2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
/- ;-7-#;- ;- $8 / N a nπ x nπ x + bn sen f ( x ) − + ∑ a n cos < ε T T 2 n= 0
1
P$$ ;$
N ≥ N 0 <
;$
x ∈( − ∞, ∞).
E# -8 --978 5 - @/6 -8 ;-$88 -# -"- ;- F/"- ;$; -# >13' 7$$
f ( x ) = x ,−1 < x <1.
C9
"!/$ " - 4#"#/$ -# (
g ( x ),
8$ -K-#"# 7-";"4$ ;-
) < f ′( x )
,∞ −∞
=
f ( x )
8$
−1, −1
1, 0 < x 01
E 4#"#/$ 7 7$- -# [−1,1] -8 ;-$88 ;- 8$ -"- ;- F/"- >13' 4#6-!- /#"9-9-#- $
x
-# [−1,1] .
L$ "!/$ " 9/-$ 8$ -K-#"# 7-";"4$ ;-
N "-97- - 7"@8- ;-"6$ 9"# $ 9"# /#$ -"- ;- F/"-. P --978 8$ -"- ;- F/"- 7$$
-
Q/- 4#6-!- 7$$ ;$ K 9"-#$ /- / -"- ;-"6$;$
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 30
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
D"6-!- 7$$ ;$ K. -8 "!/"-#- --9$ 774"#$ 4#;"4"#- /"4"-#- 7$$ /$ 8$ ;-"6$4"# -9"# $ -9"#.
VI. DERIVACIÓN DE SERIE DE FOURIER TEOREMA 6 S-$
4#"#/$ -#
S/7#!$ /-
# 4#"#/$ 7 7$- -#
8$ -"- ;- F/"- ;F/"- 7$$
7-";"4$ 4# 7-"; 2T. . E##4-
- 7/-;- @-#- $ 7$" ;- 8$ -"- ;-
;-"6$#; -9"# $ -9"#. E# 7$"4/8$ ":
O@-6- /- -8 --9$ ) # - $78"4$ $8 --978
< / ;-$88 -#
-"- ;- F/"- - 8$ -"- 22 7/- 8$ -K-#"# 4# 7-"; ;# - 4#"#/$ -#
.
L$ "#-!$4"# -9"# $ 9"# ;- /#$ -"- ;- F/"- - 6$8";$# @$ 4#;"4"#- 9/4? 9 ;@"8-.
VII.- INTEGRACIÓN DE SERIES DE FOURIER T!%"!5 @. S-$
SERIES DE FOURIER
4#"#/$ 7 7$- -#
4# -"- ;- F/"-
P!"#$ 31
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
. E##4- 7$$ 4/$8/"- K -# [ −T − T ] -#-9 .
VIII. SERIES DE SENOS Y COSENOS DE FOURIER U# 7@8-9$ /- $7$-4- ;- 9$#-$ 7"4$ $8 /$ -7$$4"# ;6$"$@8- 7$$ -86- /#$ -4/$4"# ;"--#4"$8 - -8 7@8-9$ ;-7--#$ /#$ /#4"# ;-"#";$ -# $8!# "#-6$8 "#" 9-;"$#/#$ -"- "!#9"4$ /- 4#- 8 ;- /#4"#- -# 8 ;/#4"#- 4-#. L$ -4/$4"#
N-4-"$9 -K7-$ 8 6$8- "#4"$8-
;- 8
6$8- "#"4"$8- < -# 8$ #-$ $4"$; $8 7@8-9$ ;- 8/ ;- 4$8 49 /#$ -"- "!#9"4$. R-4;-9 /- 8$ -"- ;- F/"- 7$$ /#$ /#4"# "97$ ;-"#";$ -# 4#$ 8 ;- 9"# -# 7- 8 /- 7;$9 $$ ;@-#- ;- 8$ -"- -K-#;"-#; 8$ /#4"#
$8 "#-6$8
;- 9; /- 8$ /#4"# -K-#;";$ -$ "97$ 8!$9 - ;-"#"-#; 8$ /#4"#
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 32
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
& -K-#;"-#; C9
7$$ ;$
/$#; 8$ 7-"";$; 4# 7-"; 2L.
- /#$ /#4"# "97$ "-#- /#$ -"- ;- F/"- /-
4#$ ;- 8 9"# -#. A;-9 7/- "97$
-#
- /#$ -K-#"# ;-
E$ -K-#"# - 88$9$ 8$ -K-#"#
4# 7-"; 2L ;-
. E8 ;-$88 -# -"- ;- F/"-
-/8$#- - 88$9$ /# ;-$88 ;- ;- 9-;" $#! 7/- -7--#$ $ 8$ /#4"#
-#
-7--#$ $
.
-# 8$ 9"$;
;-8 "#-6$8
;#;-
D- 9$#-$ "9"8$ 7;-9 ;-"#" 8$ -K-#"# 7$ 4# 7-"; 2L ;49 8$ /#4"#
D- 9; /-
.
P$$ "8/$ 8$ ;"6-$ -K-#"#- 4#";--9 8$ /#4"# . S"# -K-#;-9
$8 "#-6$8
/$#; /#
7-"; -##4- 8$ -K-#"# f - ;$;$ 7:
C#
. E8 484/8 ;- 8$ -"- ;- F/"- 7$$
-
6" /-:
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 33
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Q/- 4#$ ;- /#4"# "97$ >8 9"# -#' < /#4"# 7$ >-8 -9"# 4#$#-' 7/- 8$ -K-#"# 4# 7-"; "97$. L$ -K-#"# "97$ 4# 7-";
;-
# - 7$ #" - /$9-#-
/- "-#- ;-$88 -# -"- ;- F/"-.
L$ - -K-#"#- $#-"- 8$ /#4"# 4# 7-"; /#4"# "97$
4# 7-"; < 8$ /#4"# 7$
4# -K-#"#- #$/$8- ;-
8$
4# 7-";
. EK"-# $ 9$ ;- -K-#;- $
. P --978 8$ /#4"#:
S"# -9@$! / -"- ;- F/"- 4#"-#- 9"# -# < 4-# < 7 8 $# # - $# "8 49 8$ -K-#"#- $#-"- . G$"4$ ;- -K-#"#-. D-
. .
$. P-"; @. I97$ 4# 7-"; 4. P$ 4# 7-"; ;. O$ -K-#"# 4# 7-";
A.
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 3)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
B.
C.
D.
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 35
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
L ;-$88 -# -"- ;- F/"- 7$$ >2' >3' -7--#$ $ "!/$8- $
-#
<
-# -8 "#-6$8
;$; -# >-# -$8";$; #
. - 9"6$ 8$ "!/"-#- /#4"#-.
SERIE DE SENOS Y COSENOS DE FOURIER DEFINICIÓN *. S-$
4#"#/$ 7 7$- -# -8 "#-6$8
!"#! $! 0%!% $! F%&"#!" ;- -#
-
-#
L
-:
D#;-
L !"#! $! !% $! F%&"#!". D!
!
E:
DONDE
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 3*
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
L$ -"- "!#9"4$ -# >)' - /$9-#- 8$ -"- ; F/"- 7$$ 8$ -K-#"# 7$ 4# 7-"; 2T ;7$$
.< 8$ ;- 8$ >*' 8$ -"- ;- F/"-
8$ -K-#"# "97$ 4# 7-"; 2T ;-
;-$88 ;- 9-;" $#! 7$$
.- # 8
.
E9!5,% B. C.$*$" $. "" " F%" p..
U$9 8$ 9/8$ >' 4#
A /- $8 ?$4- -#-9 /- 8$ -"- ;- -# ;- F/"-
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 3
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
L$ /#4"# - 4#"#/$ < - 4#"#/$ 7 7$- -# ;- 9; /- -8 --9$ >2' $4-4$ ;- 8$ 4#6-!-#4"$ 7/#/$8 ;- 8$ -"- ;- F/"- "978"4$ /-:
P$$ ; -#
.
') SERIES TRIGONOMÉTRICAS Y POLINOMIOS TRIGONOMÉTRICOS
S- 88$9$ -"- "!#9"4$ ;- 7-"; 8$ 9$:
$ ;$ -"- ;- /#4"#- ;-
S- 88$9$ 78"#9" "!#9"4 ;- !$; N < 7-"; -K7-"# ;- 8$ 9$
$ ;$
S" $8 9-# /# ;- 8 4-"4"-#- - ;""# ;- 4- - ;"4/- -8 !$; ;-8 78"#9" - N. O@6-- /- 8$ /9$ 7$4"$8- ;8$ -"- "!#9"4$ >1.1' # 78"#9" "!#9"4. U"8"=$#; 9/8$ "!#9"4$ -8-9-#$8- 7$$ /9$ ;- #!/8 - 7/-;-# -K7-$ -# /#4"# ;< < / 7-#4"$ < 7;/4. E8 !$; 9K"9 ;- 8 9#9" /- $7$-4-# $8 ;-$88$ < ;- -$ 9$#-$ - 7-4"$9-#- < " 8 ?$4-9 4# /# 78"#9" "!#9"4 ;- !$; N -8 !$; 9K"9 - N. U"8"=$#; 8$ 9/8$ -8-9-#$8- - 6- /- $8 9/8"78"4$ ; 78"#9" "!. ;- !$; N < M - @"-#- /# 78"#9" SERIES DE FOURIER
P!"#$ 3
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
"!#9"4 ;- !$; N M. E 48$ /- -8 !$; # 7/-;- - 9$< 9$< /- -- 7- ?$< /- 7@$ >< - ;-$ 49 --4"4"' --4"4"' /- $8 9-# /# ;- 8 4-"4"-#- ;- 8 9"# ;- 9$< !$; # - 4-. >C#6"-#- @-6$ /- -$ 77"-;$; 7/-;- # - 4"-$ " 8 4- 4-"4 "4""-# #- - # # #9#9- 497 49788- 49 49 - 7/-; 7/-;- 497 497 @$ @$ 9/8"78"4$#; .'
*) AMPLIT AMPLITUD UD Y FASE FASE
D$; -8 7$
7;-9 ;-"#"
< /# #!/8
;-
9; /-:
E##4- - "-#-:
E8 4-"4"-#-
- 8$ $978"/;
- 8$ $- ;-8 -K"9 9"#.
1) VARIANTES VARIANTES DE LA SERIE SERIE DE FOURIER ) C5?#% D! P!"#%
%$E# $78" $78"4$ 4$4" 4"# #- - 4/ 4/-# # /#4 /#4" "##- //- # # # 7-" 7-"; ;"4 "4$ $ 7- 7- //#-4-" "$9 $9 -K7$#;" -# - -"- ;- F/"-. E 8 ?$4-9 4# 4# /< /<-# -#; ; $ $ /#4 /#4" "# # //- -$ -$ 7-" 7-"; ;"4 "4$ $ < //- 4"# 4"#4" 4";$ ;$ 4# 4# 8$ 7"9-$ -# / "#-6$8 ;- ;-"#"4"#.
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 3
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
S/7#!$9 /-
- ;-"#";$ -# /# "#-6$8
;-"#" /#$ /#4"# 7$ ;- 7-;
. P;-9
/- 4"#4";$ 4# 8$ "!"#$8 -#
< @-#- / -"- ;- F/"- ;- 4-# @"-# 7;-9 ;-"#" /#$ /#4"# "97$ ;- 7-; -#
/- 4"#4";$ 4# 8$ "!"#$8
< @-#- / -"- ;- F/"- ;- -#.
L$ 9/8$ ;- 8 4-"4"-#- 4#6-#"-#-9-#- < /-;$#:
$9@"#
;-@-#
$;$7$-
?) E+3! E+3!# # P" P"
L$ -"- ;- F/"- ;- /#$ -K-#"# 7$
4# 7-";
- /#$
-"- ;- 4-# :
E9!5,% '
F/#4"# "!"#$8 SERIES DE FOURIER
EK-#4"# 7$ P!"#$ )0
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
E9!5,% *
F/#4"# "!"#$8
EK-#4"# 7$
0) E+3! E+3!# # I5 I5," ,"
L$ -"- ;- F/"- ;- /#$ -K-#"# "97$
4# 7-";
-
/#$ -"- ;- -#:
E-978 #W 01
SERIES DE FOURIER
P!"#$ )1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
F/#4"# "!"#$8
EK-#4"# "97$
F/#4"# "!"#$8
EK-#4"# "97$
E-978 #W 02
SERIES DE FOURIER
P!"#$ )2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
IX. FUNCIONES PERIÓDICAS U#$ /#4"#
- 88$9$ p"+*. " p"8%% " 4/978- /-:
G"4$9-#;- 8#!"/;
"-#- 7-;
" / !"4$ - -7"- 4$;$ "#-6$8
. A /#$ !"4$ 7"4$ ;- /#$ /#4"# 7-";"4$ - 649 "!/-: 1
0.75
0.5
0.25
-3
-2
-1
1
2
3
-0.25
-0.5
-0.75
-1
S"
- -8 7-; 9 7-/- -##4-
/#;$9-#$8 ;-
. P --978 "
7 8 $# 6-9 /S"
- 88$9$ -8 7-; "-#- 7-";
- -8 7-; /#;$9-#$8.
"-#- 7-"; p -##4- - -7"-# / 6$8- 4$;$ "#-6$8
;- 8#!"/; p -# 7$"4/8$ " 9$9 -8 "#-6$8 "#-6$8 7;-9 4$84/8$ 8$ -"- ;- F/"- ;-
< -# --
:
D#;- 7;-9 /$ -8 ?-4? ;- /- 8$ /#4"# - 7-";"4$ 7$$ @-#- /-:
SERIES DE FOURIER
P!"#$ )3
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
E$ -"- -7--#$ $ 8$ /#4"#
-# -8 "#-6$8
< 49
"-#- 7-; p -##4- -7--#$ $ 8$ /#4"# -# ; 8 #9- -$8- -K4-7 $8 6-= -# 8 7/# ;- ;"4#"#/";$;. P"%,#!$$!: 1)
U#$ /#4"# 7-";"4$
/- $;9"- -8 ;-$88 -# -"- ;-
F/"- ;-"#- /#$ -"-:
D#;-:
Q/- -6$8$ $ 8$ /#4"#
;- $4/-; 4# -8 -#/#4"$; ;-8 --9$
;- F/"-. 2)
S"
- 7-";"4$ ;-$88$@8- -# -"- ;- F/"- < $;-9
6-""4$ /-:
SERIES DE FOURIER
P!"#$ ))
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
E##4- -8 ;-$88 -# -"- ;- F/"- "-#- 8$ 9$:
EJEMPLOS: '. S-$
!"4$ ;-
< 7-";"4$ 4# 7-; /#;$9-#$8 2 /#$ - 6- 49 "!/-:
S8/4"# S" 4$84/8$9 8$ -"- ;- F/"- ;"97$ -# -8 "#-6$8
-#
< 7 8 $#
P 8 $# 8$ -"- ;- F/"- ;-
-#-9 /-
-
< $;-9:
-:
U$#; -8 4"-" ;- 4#6-!-#4"$ -#-9 /- -$ -"- ;- F/"- 4#6-!- $: P 8 $# 8$ -"- ;- F/"- 4#6-!- $
"
< 49
- 7-";"4$ ;- 7-; /#;$9-#$8 2 -##4- 8$ 9"9$ -"- ;F/"- 4#6-!- $
-# ; 8 "#-6$8 $@"-:
A 49: SERIES DE FOURIER
P!"#$ )5
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
E 8"9 8 7;-9 6-""4$ " /$9 -8 7!$9$ M.t9"#.t*. 7$$ !$"4$ 8$ /#4"# $ 49 $7K"9$4"#- $ 8$ -"- ;F/"- 9$#; -# 6-= ;-8 6$8 "#"#" -# 8$ /9$ /# #9- #$/$8 ". P --978 " 9$9 8$ /9$ ;-;"!/"-#- !"4$:
?$$
& " 9$9 8$ /9$ ;-;!"4$:
@-#-9 8$ "!/"-#-
?$$
@-#-9 8$
N-- /- --4"6$9-#- 8$ -!/#;$ $7K"9$4"# - 9- /- 8$ 7"9-$ < @6"$9-#- " 9$9 8$ /9$ ;-;?$$ 4# : 4$;$ 6-= 9 !$#;- -##4- 8$ -"- ;- F/"- - 9/4? 9 7$-4";$ $ f(x). T$9@"# @6-- /- 49 $"9$9 $"@$ 8$ -";- F/"- '% 4#6-!- $ f(x) -# 8 -K-9 ;- 8 "#-6$8. *. S-$:
4# 7-; /#;$9-#$8 *.
S8/4"# C$84/8$9 8 4-"4"-#- ;- 8$ -"- ;- F/"- -# -8 "#-6$8
SERIES DE FOURIER
:
P!"#$ )*
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
P 8 $# 8$ -"- ;- F/"- ;-
-:
& /$#; -8 4"-" ;- 4#6-!-#4"$ 6-9 /- -$ -"- ;- F/"- 4#6-!- $:
P 8 $# -$ -"- 4#6-!- $ f > x ' " < 49 f > x ' "-#- 7-; * 8$ 9"9$ -"- 4#6-!- $ f > x ' -# 8 "#-6$8:
X.
CONVERGENCIA PUNTUAL DE LA SERIE DE FOURIER
E4"@"-9
7$$ -7--#$ 8$ /9$ 7$4"$8 N- "9$ ;- 8$ -"-
;- F/"- ;- - ;-4"
N/- @-"6 - -/;"$ 8$ 4#6-!-#4"$ 7/#/$8 ;- -$ /4-"# ;- /#4"#-. ') NCLEO DE DIRICHLET
C#6"-#- -7--#$ 8$ /9$ 7$4"$8 ;- /#$ 9$ 9 9$#-$@8-. P$$ -88 /"/"9 8 4-"4"-#-
7 / -K7-"#-
"#-!$8- < -#-9:
SERIES DE FOURIER
P!"#$ )
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
H-9 /"8"=$; 8$ #$4"#:
& 88$9$9 $ -$ /#4"# ';*$"% " D*9$"t . M/8"78"4$#; 7 < /"8"=$#; 8$ -8$4"# "!#9"4$:
L8-!$9 $:
G$"4$ ;-
-# /# 7-";
P"%,#!$$! 1.
- /#$ /#4"# 7-";"4$ ;- 7-"; 2
2.
- 7$:
SERIES DE FOURIER
P!"#$ )
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
3.
L$ 7"9-$ 77"-;$; 7-9"- 4$9@"$ -8 "#-6$8 ;- "#-!$4"# $ 4/$8/"- ;- 8#!"/; 2. C9 $9@"#
- 7/-;-
7#-:
C$9@"$#; 8$ 6$"$@8-
-# -8 "#-6$8
< /$#; 8$
-!/#;$ 77"-;$; - @"-#- 8$ -K7-"#:
*) PRIMEROS TEOREMAS: T!%"!5 '. S-$ /#$ /#4"# "#-!$@8- -# >X ' /- "-#- ;-"6$;$
-# -8 7/#
. E##4- 8$ -"- ;- F/"- ;- 4#6-!- $
.
D"#%t.*+'2
T-#"-#; -# 4/-#$ 8$ 77"-;$; 3 ;-8 #48- ;- D""4?8- 7;-9 -4"@":
E8 7"9- $4 ;-8 8"9 "#-!$#; - /#$ /#4"# "#-!$@8- -# -8 4#/#
< $;-9 -$ $4$;$ -# /# -## ;- 0 >7
8$ EK"-#4"$ ;- ;-"6$;$' 8/-! - "#-!$@8- -#
.E8 -!/#;
$4 - /#$ /#4"# 4#"#/$ -# -- "#-6$8 <$ /- 8$ $7$-#;"4#"#/";$; -# -8 "!-# - -6"$@8-.
SERIES DE FOURIER
P!"#$ )
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
L$ -K"-#4"$ ;- ;-"6$;$ -#
-K"!- 8$ 4#"#/";$; -# -- 7/#. C#
/#$ 7-/-$ 6$"$#- - 7/-;- 4/@" -8 4$ -# /- 8$ /#4"# "-#/#$ ;"4#"#/";$; ;- $8 -#
. P$$ -88 < /7#"-#; /- -K"-#
8 89"- 8$-$8- 8$-$8- -#
;-"#"9 8$ ;-"6$;$
49:
C.'% "t% $8#t" "xt"'2
T!%"!5 *. S-$ /#$ /#4"# "#-!$@8- -#
8$-$8- -# -8 7/#
/- "-#- ;-"6$;$
-# -8 -#"; 9-#4"#$;. E##4- 8$ -"- ;-
F/"- ;- 4#6-!- -#
$
P$$ 7@$ -- --9$ @$$
/"8"=$:
P$$ -4"@":
& $=#$ 49 -# -8 --9$ $#-". M/4?$ ;- 8$ /#4"#- /- 9$#-$9 4/978-# 8$ ?"7-" ;- ---9$. 1) TEOREMA DE DIRICHLET E$ p#" t"%"#. " *%'6"7"'*. " "" " F%", "<% . D*9$"t, Ap."*+ "' 1> < - -"-- $ /#4"#- 9##$ $ =. P -88 C9-#=$9 7"9- 4# /# 49-#$" @- -$
/#4"#-. U#$ /#4"# 9##$ < $4$;$ -# /# "#-6$8
-
"#-!$@8- < "-#- 89"- 8$-$8- "#" -# 4$;$ 7/#.
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 50
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
T!%"!5 '.
S-$ /#$ /#4"# 9##$ $ = < $4$;$ -# 4#6-!- $
. E##4-
. E# 7$"4/8$ 4#6-!- $
" 8$ /#4"#
- 4#"#/$ -# K. H$< /- -#-#;- /- 8$ /#4"# - ?$ -K-#;"; 7 7-";"4";$; 4/$#; -8 7/# K - /# ;- 8 -K-9 ;-8 "#-6$8. A . U"8"=$-9 -# 8$ 7/-@$ 8 ; 8-9$ "!/"-#-. L!5 '
S-$
# ;-4-4"-#- < # #-!$"6$ -#
#9- "#" ;- 4$9@" ;- "!# -#
4#"#/$ 4# /#
. EK"-
$8 /-:
Et" t"%"#. " "<% . ?%''"t (1@0) /"-# 8 77/ @/4$#; /#$ "978""4$4"# ;- 8$ 7/-@$ ;- D""4?8- Demostración:
D-497#-9
-# 8 "#-6$8
8 /- ? "-#- "!# 4#$#-
D#;-
-# -##4-:
-4"@"-9
;- 9;
/-:
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 51
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
>H-9 $$;";
/- - 4-.' L 4-"4"-#- /- 9/8"78"4$#
$ 6$8- ;- 8$ /#4"# H -# 8$ $#-" -K7-"# # ; # #-!$"6 7 - ! # ;-4-4"-#- ;- 9; /- - 7/-;- -4"@" 49 -8 7;/4 ;- 8$ /9$ ;- 8 4-"4"-#- >/- -
' 7 /#
6$8 497-#;"; -#- -8 9K"9 < -8 9#"9 ;- H. P 8$ 4#"#/";$; ;- H -- 6$8 -
7$$ $8!#
.
L!5 * EK"- /#$ 4#$#- M $8 /-:
P$$ ; D"#%t.*+'
S/9$#; < -$#;
-# -8 "#-!$#; -#-9:
L$ 7"9-$ "#-!$8 ;-8 -!/#; 9"-9@ - $4$ 7 8$ "#-!$8 -# < C9 -8 "#-!$#; - /#$ /#4"# 4#"#/$ 8$ "#-!$8 - "#"$. U# 4$9@" D- 6$"$@8- -# 8$ /8"9$ "#-!$8 9/-$ /- @$$ 7@$ /-:
E$ $4$;$ "#;-7-#;"-#-9-#- ;-
SERIES DE FOURIER
4#:
P!"#$ 52
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
S"
@$$ @-6$ /- "#
< 8$ "#-!$8 - $4$ 7 1 S"
"#-!$#; 7 7$-:
F"#$89-#- "
- $4$# 8$ "#-!$8- -#
< -#
49 8$ $#-"-. Demostración del teorema 1:
T-#-9 /- 7@$ /-:
L /- -#"-#; -# 4/-#$ 8$ 77"-;$;- ;-8 #48- ;- D""4?8- 7/-;-# -4"@"
E /"4"-#- 7@$ /-:
P$$ ! 9##$ $ = -#
< $8 /Q/-;$ 7@$; -8
. A78"4$#;
$:
teorema 1.
P;-9 /7#- /- ! - 4-4"-#- -# /# "#-6$8 $ 8$ ;--4?$ ;- 0 >" - ;-4-4"-#- 4$9@"$9 ;- "!# $ !'. D$; Y 0 -4!-9 0 $8 /- ! - 4-4"-#- -# >0 ' < !>' [ Y\2M > %'" M " $. *%'t.'t" "$ $"#. ' 8 /- - 7"@8- 7/-
. A78"4$#;
/4-"6$9-#- 8 $"#.1 - -#-9:
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 53
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
R$=#$#; $?$ 49 -# -8 7"#4"7" ;- 84$8"=$4"# @$$ -4!- N /"4"-#-9-#- !$#;- 7$$ /- 8$ "#-!$8 -#- < -$ 9-# /Y\2. 6) OTROS TEOREMAS DE CONVERGENCIA
1. T!%"!5 $! D## (') U"8"=$ ;- 9$ -#4"88$ < 9/< --4"6$ -8 8-9$ ;- R"-9$##L-@-!/-. S-$ "#-!$@8- -#
-# /# 7/# ;-8 "#-6$8 K 0 <
/# #9-
-$8 $8 /- 8$ /#4"#:
S$"$4-:
P$$ $8!#
E##4-:
D"#%t.*+' " t"'"
L$ /#4"#:
E "#-!$@8- -#
7/- -8 7"9- $4 8 - 7 ?"7-" < -8
-!/#; - /#$ /#4"# 4#"#/$. C9 48$$9-#- - $9@"# "#-!$@8- -#
-8 8-9$ ;- R"-9$##L-@-!/- -9"#$ 8$ 7/-@$.
*. T!%"!5 $! L#,0#34
S" - "#-!$@8- -#
SERIES DE FOURIER
< -# /# 7/#
;- -- "#-6$8 - 4/978-:
P!"#$ 5)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
P$$ $8!/#$ 4#$#-
-##4-
.
E ?$@"/$8 ;-4" /- /#$ /#4"# 4/978- 8$ 4#;"4"# ;- L"74?"= ":
P$$ ; 7$ ;- 7/#
;- / ;9"#". E$ - /#$ 4#;"4"# ;-
L"74?"= /#"9- 9"-#$ /- -#
- /#$ 4#;"4"# 7/#/$8.
T$9@"# - /-8- ?$@8$ ;- 4#;"4"# ;- L"74?"= > ;- H8;-' ;;-#
4/$#;:
L$ 4#;"4"# 7/#/$8 $4"$;$ $9@"# - /"4"-#- 7$$ 8$ 4#6-!-#4"$: @$$ -#- ]]
^
-# -8 -!/#; 9"-9@ ;-
7$$
$78"4$ -8 --9$ ;- D"#". P $ 7$- $9@"# - 7;$# 7#- 4#;"4"#- ;-8 "7:
@) CONDICIONES NECESARIAS PARA LA CONVERGENCIA DE SERIES DE FOURIER
D$9 /#$ ;-4"74"# ;- 8 ;"6- 9; /- - ?$# "; -978-$#; < - -978-$# $4/$89-#- 7$$ -#4#$ 4#;"4"#- #-4-$"$ 7$$ /- 8$ -"- ;- F/"- -7-4 ;- /# "-9$ !#$8 4#6-$# $# -# 9-;"$ ;- ;-# 7 49 ;@"8 < -# 4$" ; 7/#. E# 8$ -K7"4"# - ?$4- -7-4"$8 ?"#4$7" -# 8$ -"- ;F/"- ;- 78"#9" !#$8- -# _X1 1` <$ /- 8$ 4#;"4"#- /- $/ $7$-4-# # 7$"4/8$9-#- $$4"6$ < -#4"88$ ;- $78"4$. . P3!5#!3% D! P"%?!5
A 8 8$! ;- ;$ 8$ -K7"4"# 4#";-$-9 ;-"#";$ -# /# "#-6$8 -$8
/#$ 9-;";$ 7""6$
$4$; #. >A/#/- -8 "#-6$8 8
;-#$-9 "-97- 49 4-$; 7/-;- - $@"- -9"$@"- "
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 55
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
- ;--$'. T9$-9 a
/# "-9$ !#$8 -#
- ;-4":
& 4978- -$ 7$#
. S$86 /- "#;"/-9 8
4#$" /7#;-9 "-97- /-
7$$ ;
/- -88 "-9$
< $ ;"-9
- #9$8. A 9"9 7$$ 4$;$
4#/"-9 8$ /9$ 7$4"$8- ;- / -"- ;- F/"-
E @"-# 4#4"; /- 7 -
/# -7$4" ;- H"8@- -
6-""4$ 8$ ;-"!/$8;$; ;- B--8
& 8$ 4#6-!-#4"$
-#
7$$ 4$;$
M$ $# -8 --9$ ;- 9- $7K"9$4"# !$$#"=$ /- 8$ /9$ 7$4"$8- ;- 8$ -"- ;- F/"- # 8$ 49@"#$4"#- 8"#-$8- ;/- 9- $7K"9$# 8$ /#4"# -# -8 -#"; ;- /-
& 8$ "!/$8;$; 8 - $84$#=$ 4/$#;
.U#$
9-;";$ ;b "-97- 7/-;- ;-497#-- -# / 7$- $@8/$9-#4#"#/$ < / 7$- "#!/8$
C/$#;
# "-#- 7$-
"#!/8$ 7#;-9
< $ 8$ /#4"#
8$
88$9$-9 7- SERIES DE FOURIER
P!"#$ 5*
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
S# $9@"# 9/< /$; 8 "-9$ !#$8- 4#"/"; 7 78"#9" - - 4/$#; -K"$ /#$ $9"8"$
78"#9" ;- !$; #. P$$ /;- 78"#9" !#$8- -7-4 $ /#$
9-;";$ ;b @$$ /- ;"4?$ 9-;";$ 7-$ "#"#" 4-4"9"-# --4"6 < /- -K"$# ; 8 99-#:
7/# ;-
C/$#; $$9 4# "-9$ ;- 78"#9" !#$8- -8 --9$ ;- c-"-$ !$$#"=$ /- "-97- /- -8 "#-6$8 _$ @` -$ $4$; -8 "-9$ - 4978-. E # - 4"- -# !-#-$8 7$$ /# "#-6$8 4/$8/"-$ < -# -- 4$ ;-@-9 $@;$ 8$ 4978-"/; 7 4$9"#. C$@- $/ -4;$ / -8$4"# 4# 8$ /#"4";$; -# -8 7@8-9$ ;- 99-#. A 49 8 4$ 7$"4/8$- ;- "-9$ ;- J$4@" 7- /- 7--# ;-#9"#$4"# 77"$: L-!-#;-
C?-@<?-6 ;- 1 $ 48$-
C?-@<?-6 ;- 2.$ 48$-
< /8$ -"4
. O "-9$ !#$8 9/< /"8"=$; < /- <$ # - 9$; 7 78"#9" - -8 /- 4#"/<-# 8$ /#4"#- ;#;-
- 8$ /#4"# ;- B--8 ;- ;-#
# / 4- 7""6 ;-#$; -# -#"; 4-4"-#-. E- "-9$ - !#$8 < 4978- -#
$"$4"#;-
V86"-#; $ "-9$ !#$8- !-#-$8- -$ 49@"#$4"#- 8"#-$8- ;-
SERIES DE FOURIER
$8 /- 8$
# ;-#$ -# -8 -7$4"
P!"#$ 5
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
E8 7"9- 7@8-9$ /- 7;-9 78$#-$# - -/;"$ "
L /- - ;-#9"#$ 4#6-!-#4"$ -# 9-;"$ ;- ;-# 7. S/7#;-9 "-97- /-
"-#; -8 4#/!$; ;- 7 - ;-4"
8 4/$8 - #-4-$" 7$$ /- 7$$ ;
.
D#;- $/ < $ 7$" ;- $?$ /"8"=$-9 C 7$$ ;-#$ 4#$#- P""6$ "#;-7-#;"-#- ;- # < /- 7/-;-# # - 8$ 9"9$ -# 4$;$ 4$"#. C97@-9 ;"4?$ -/"6$8-#4"$:
& 7 $# S# - /# 7-$; 4#"#/ 7$$ 4$;$ #. A;-9
D$;
-$
$8 /-
. P -
- "-#-
C/$#;
- /# "-9$ #9$8 -7-4 $ /# 7- >K' -#
/# "#-6$8 _$ @` - 48$ /- -8 #/-6 "-9$ 9-;"$#-
;-"#";
- #9$8 -# -8 9"9 "#-6$8
.E ;$ 8/!$ $ 7;- -/;"$ 8$ 4#6-!-#4"$ ;- 8 ; "-9$ #9$8-.
SERIES DE FOURIER
P!"#$ 5
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
P- # # ;--#-9 $/ $ 8$ ?$ ;- -#4#$ /# #/-6 "-9$ #9$8 $ 7$" ;- /# ;$; "# /- " 9$9 -##4-
- #9$8 -#
M $# " 9$9 /#$ /#4"# -$
6-=
-#;-9
< ?$4-9
4/$8/"-$ <
/-
-
#9$8
-#
. E$ 8"9$ 9;""4$4"# - 7/-;- $78"4$ "#48/ $/#/- 8$ 9-;";$ # 76-#!$ ;- /# 7-. E# --4 " #9$8 -#
-##4- -8 "-9$ - #9$8 -#
- 4#
. A;-9 8$
-"- ;- F/"- -7-4 $ /# < "-9$ - 7/-;-# -8$4"#$ 4"89-#-. P$$ -88 ;-#-9 # < S# $ 8$ /9$ 7$4"$8- ;- 8$ -"- ;- F/"- -7-4 ;-$ $ 9"9
M $# " 88$9$9
<
-7-4"6$9-#- <
. E##4-
- "#9-;"$ 497@$ /-
) ANALISIS ARMONICO PRCTICO
L$ #;$ $9#"4$ 4#"#/$ /- ?-9 -/;"$; # -K"-# -$89-#- <$ /- ; 8 96"9"-# #;/8$" -# 8"9"$; $# -7$4"$8 49 -97$89-#-. U"8"=$#; -8 $#8"" ;- F/"- < 8$ $#9$;$ ;- F/"- - 7/-;-# ;-4"@" 9$ ;- #;$ 9 4978-$ 49 8$ /- 7;/4-# 8 "#/9-# 9/"4$8-. E8 $#8"" ;- F/"- /!" $ 7$" ;-8 "#-# ;- - 9$-9"4 $#4 7 ?$88$ 8$ 8/4"# $ /# 7@8-9$ 74"4 8$ 4#;/44"# ;-8 SERIES DE FOURIER
P!"#$ 5
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
4$8 -# /# $#"88 ;- ?"-. D-9 /- - 7/-;- @-#- /#$ /#4"# ;"4#"#/$ $ 7$" ;- 8$ /9$ ;- /#4"#- 4#"#/$. E$ -" /;--#;";$ 7 F/"- $#- 8$ A4$;-9"$ F$#4-$ 8 /- 9"6 -6-$ @-4"#- ;- 8 9$-9"4 9 "97$#- ;- / 74$ 49 L$!$#!- L$78$4- -4. D!0"#,0#
A 7"9-$ 6"$ 7$-4- /- -8 7@8-9$ ;- $#$8"=$ 9$ ;- #;$ 4978-$ -7--#$ /#$ $-$ 9";$@8-. S"# -9@$! " 8$ 9$ ;8$ #;$ - 7-";"4$ - 7/-;- -7--#$ 4# /#$ 7-4""# $@"$"$ 9-;"$#- 8$ /7-7"4"# ;- /# #9- /"4"-#-9-#- !$#;- ;#;$ -#";$8- /- 9$# /#$ -"- $9#"4$. T;$ /#4"# f >t ' 7-";"4$ ;- 7-"; P - 7/-;- -7--#$ -# 9$ ;- /#$ /9$ "#"#"$ ;- /#4"#- $9#"4$ - ;-4"
D#;- -8 7-";
# 8
;-#9"#$; *%"f*"'t" " F%"2 C#4";$ 8$ /#4"# 7-";"4$
4$84/8$9 8 4-"4"-#-
;-8
"!/"-#- 9;
E# -8 7!$9$ "#-$4"6 $#9$9 8$ /#4"# 7-";"4$ ;7-"; P -# $ /#4"# 7-";"4$ ;- 7-"; 27 9-;"$#- /# "978-
SERIES DE FOURIER
P!"#$ *0