SEÑAL ES PARES E I M PARES E dson J esú esús Dí D íaz M ontes on tes de Oca. Oc a. Un iver sidad Pol i té cni ca del Estado E stado de Mor elos. Ji utepec, utepec, M orelos. DM
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Resumen: El siguiente documento presenta una investigación sobre las funciones par e impar su definición basica, sus propiedades, y la acción de las derivadas sobre ellas, así como también la demostración de como convertir una función escalón unitario a par o impar. Palabras clave: función, par, impar, señal, derivada, escalón unitario. Figura 1 grafica de una función par.
1. Introducción
Una señal se denomina impar si
a. Definición de función par e impar Una señal x( x(t ) o x[ x[n] se conoce como una señal par si es idéntica a su reflexión respecto del origen (la reflexión es extremadamente útil para examinar las propiedades de simetría que pueda poseer una señal), es decir, si
Una señal impar debe ser necesariamente igual a cero en el origen.
Es decir que una señal par, x(t) o x[n], es invariante bajo la operación de reflexión (o inversión) en el tiempo.
Figura 2 grafica de una función impar.
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b. Efecto de las derivadas en las funciones pares e impares. Como se visualizó en las propiedades de las señales par e impar, se sabe que la derivada afecta a las funciones de tal manera que una función par se vuelve impar y viceversa, a continuación se demostrar dicha propiedad, con la derivada de una función par.
2. Desarrollo a. Propiedades Cualquier señal, que no sea par ni impar, puede ser expresada como una suma de dos señales, una de las cuales es la parte par y la otra la parte impar. Propiedades de las funciones pares e impares:
La única función que es tanto par e impar es la función cero (f(x) = 0 para todo x).
Sea f(x) una función par. Por tanto: f(x) = f(-x)
La suma de una función par y una impar no es ni par ni impar, a menos de que una de las funciones sea el cero.
(1)
Llamemos F(x) a su derivada, esto es F(x) = f'(x). Como dos funciones iguales tienen la misma derivada, de (1) podemos escribir:
La suma de dos funciones par es una función par, y todo múltiplo de una función par es una función par.
F(x) = f'(x) = f'(-x)
(2)
pero la derivada de f'(-x) es, aplicando la regla de la cadena:
La suma de dos funciones impares es una función impar, y todo múltiplo constante de una función impar es una función impar. El producto de dos funciones pares es una función par. El producto de dos funciones impares es una función par. El producto de una función par y una función impar es una función impar.
f'(-x) = -1 . f'(x) = - f'(x) Luego por un lado F(x) = -f'(x)
(3)
Ahora bien, usando ahora (2) se tiene que F(x) también satisface F(x) = -f'(x) = -f'(-x)
El cociente de dos funciones pares es una función par.
(4)
y por tanto, de (3) y (4) se concluye finalmente que
El cociente de dos funciones impares es una función par. El cociente de una función par y una función impar es u. La derivada de una función par es una función impar.
-f'(x) = f'(-x) Quedando demostrado que la función f'(x) es impar.
La derivada de una función impar es una función par.
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c. Función escalón unitario par e impar La función escalón unitario es una función matemática que tiene como característica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento. Figura 3 escalón unitario par.
Para conocer cómo se puede conocer la paridad o no paridad de la función escalón unitario se presenta el siguiente ejemplo: Considere la señal x(t) definida por
Figura 4 escalón unitario impar.
Las partes par e impar de esta señal, conocida como la función escalón, están dadas por
3. Conclusión Tras la investigación realizada se concluye que las funciones pares e impares se vuelven lo contrario cuando se derivan, que las funciones par e impar del escalón unitario son 1/2 y -1/2 , se logró la visualización y comprencion de algunas propiedades de las funciones pares e impares.
El único problema aquí radica en el valor de las funciones en x = 0. Si definimos x(0) =1/ 2 , entonces
4. Bibliografía [1] Conejero, Paridad de Funciones, 2009. [2] José, Morón, Señales y Sistemas, Fondo editorial biblioteca, Universidad Rafael Urdaneta, 2011.
Las señales xp(t) y xi(t) se grafican en las figuras 3 y 4.
[3] Kendall L. Su, Introducción al estudio de los circuitos, la electrónica y el análisis de señales, Reverte, 1979. [4] Jhon Proakis, Dimitris Manolakis, Digital Signal Processing,, Practice Hall, 1996.
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