Series de Fourier de Funciones Pares e Impares: Impares: Se dice que una una función real de variable real real es par si:
f(x) = f(- x). Se dice que una una función real de variable real real es impar si:
f(x) = – f(- x). Una función par presenta simetría respecto al eje “y”, mientras que una función impar presenta simetría respecto al origen de coordenadas. Obsérvese que toda función impar debe pasar por el origen de coordenadas, ya que debe cumplir:
f(0) = – f(0). , y el único número real que verifica esto es el 0. Ejemplos de funciones funciones pares:
f(x) = Cos(n x).
f(x) = x^2. Ejemplos de funciones funciones impares:
f(x) = Sen(n x).
f(x) = x^3. Si una función es par verifica lo siguiente:
∫(f(x) dx) desde “ - a” hasta “a” = 2 ∫(f(x) dx) desde “0″ hasta “a. Si una función es impar se cumple:
∫(f(x) dx) desde “ - a” hasta “a” = 0. Además, bajo el producto producto las funciones funciones pares e impares se comportan comportan de la siguiente manera: manera:
par x par = par.
par x impar = impar.
impar x impar = par. Toda función real de variable real puede descomponerse en una función par y otra función impar:
f+(x) = (f(x) + f(f(- x)) / 2.
f-(x) = (f(x) – f(- x)) / 2. Esta claro que con esta esta definición tenemos: tenemos:
f(x) = f+(x) + f-(x). f-(x). Podemos entonces entonces escribir:
∫(f(x) dx) = ∫(f+(x) dx) = 2 ∫(f+(x) dx) desde “ 0″ hasta “π”. Las reglas de paridad nos nos pertmiten establecer establecer la cancelación de algunas integrales integrales si tener que que calcularlas explícitamente. Por ejemplo:
∫(x Sen(n x) dx) = 2 ∫(x Sen(x) dx) desde “0″ hasta “π”. Puesto que se trata trata de una función par par (impar x impar). Teniendo Teniendo todo esto en cuenta, cuenta, es evidente por ejemplo que: que:
∫(Sen(n x) dx) = 0.
∫(x^2 Sen(n x) dx) = 0.
∫(x Cos(x) dx) = 0. Propiedad: Sea “f(x)” una función integrable definida en el intervalo [ - π, π]. Se verifica que: .- Si “f(x)” es par: Su serie de Fourier sólo contiene términos de tipo Coseno:
f(x) ≈ a0 / 2 + ∑(an Cos(n x)). La función “f(x) Sen(n x)” es impar y:
bn = (∫(f(x) Sen(n x) dx)) / π = 0.
an = (∫(f(x) Cos(n x) dx)) / π = 2 (∫(f(x) Cos(n x) dx) desde “0″ hasta “π”) / π. .- Si “f(x)” es impar: Su serie de Fourier solo contiene términos tipo Seno:
f(x) ≈ ∑(bn Sen(n x)). La función “f(x) Cos(n x)” es impar y:
an = (∫(f(x) Cos(n x) dx)) / π = 0.
bn = (∫(f(x) Sen(n x) dx)) / π = 2 (∫(f(x) Sen(n x) dx) desde “0″ hasta “π”) / π. Extensión Par e Impar: Dada una función “f(x)” definida en el intervalo [0, π], podemos extenderla al intervalo [ - π, 0] de modo que sea par o impar a voluntad:
f(x) = f(- x).
f(x) = – f(- x). Siendo la primera una extensión par y la segunda una impar. Sus funciones serán tipo Coseno y tipo Seno, respectivamente. Derivación e Integración de las Series de Fourier: Consideremos las siguientes series de Fourier en el intervalo [- π, π]:
x^1
x^2
→
x^3
→
.
2 ∑((- 1)^(n+1) Sen(n x) / n).
→
π ^2 / 3 + 4 ∑((- 1)^n Cos(n x) / n^2). ∑((12 / n^3 – 2 π ^2 / n) (- 1)^
Serie de Fourier generalizada ¿Por qué series de Fourier ? Los fenomenos periódicos han fascinado por mucho tiempo a la humanidad. Nuestros ancestros conocían las recuerrencias de las fases de la Luna y de ciertos planetas, las mareas de los lagos y los océanos y los ciclos del agua. El cálculo y la ley de la gravitación de Isaac Newton permitieron explicar la periocidad de las mareas, pero Joseph Fourier y sus sucesores quienes desarrollaron el análisis de fourier que ha tenido aplicaciones mas profundas en el estudio de los fenómenos naturales y en el análisis de señales y datos.
JOSEPH FOURIER
Una Serie de Fourier es la representación de una función como una serie de constantes multiplicadas por funciones seno y/o coseno de d iferentes frecuencias. Una serie de Fourier nos sirve para poder representar cualquier señal sumando únicamente senos y cosenos que deben de tener una frecuencia múltiplo de la primera. Fourier no pudo representar matemáticamente, quien lo hizo fue Laplace, años mas tarde.
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función contínua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).
El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. El 16 de mayo de 1830 muere el matemático y físico francés Joseph de Fourier, años mas tarde despues de haber dado un salto tremendo en el desarrollo de la descripción de las señales continuas y periodicas. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y comp resión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.
Aplicaciones de Fourier
Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas. Análisis en el comportamiento armónico de una señal. Reforzamiento de señales. Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en regimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia. La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.