Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo. Desarrollos en serie de Fourier de funciones pares e impares. En la sección sobre funciones pares e impares mostramos algunas propiedades operativas de estas funciones. Con base en estas propiedades resultan evidentes los siguientes dos casos al calcular los coeficientes de la serie de Fourier de una función: 1. Si f (t ) es una función par, entonces
2 2 cos 0 ∞ 1 2 = cos 2 0 0 sin ∞ = sin
Y la serie de Fourier está dada por
2. Si f (t ) es una función impar, entonces
Y la serie de Fourier está dada por
Serie de Fourier de funciones pares e impares. Podemos observar que la serie de Fourier de una función par solo contiene términos en cosenos (el término constante se considera un término en cosenos) y la serie de Fourier de una función impar solo contiene términos en senos. Esto se establece en las siguientes definiciones. Serie de Fourier en cosenos. Si f (t ) es una función par entonces los coeficientes de su serie de Fourier están
∫ , ∫ cos 0 ∑=∞= cos dados por
. Y la serie resultante
Se conoce como serie de Fourier en cosenos.
Serie de Fourier en senos. Si f (t ) es una función impar entonces los coeficientes de su serie de Fourier están
∫ sin 0, 0 ∑∞= sin <<. dados
por
Se
conoce
como
.
Y
serie
de
la
serie
Fourier
resultante en
senos.
EJEMPLO 1: La serie de Fourier en cosenos de una función par Calcular la serie de Fourier de la función Solución: La FIGURA 5.13 muestra la gráfica de f (t ).
Identificamos que L = y determinamos los coeficientes de Fourier. De esta manera, el término constante es
2 2 3 2 4 1 cos ∞ 4 1 3 = cos
Los coeficientes de los términos en coseno son
Como la función es par, los coeficientes de los términos en seno son La serie de Fourier buscada es
0.
En la FIGURA 5.14 se presenta la gráfica de la función dada y la serie de Fourier correspondiente; n representa el número de términos de la serie.
<<.
EJEMPLO 2: La serie de Fourier en senos de una función impar Calcular la serie de Fourier de la función Solución: La FIGURA 5.15 muestra la gráfica de f (t ).
0,
Calculamos los coeficientes de la serie. Como la función es impar, entonces el término constante es y los coeficientes de los términos en coseno son
0.
∫ sin − ∑∞= − sin
Los coeficientes de los términos en seno son La serie de Fourier buscada es
.
.
En la FIGURA 5.16 se presenta la gráfica de la función dada y la serie de Fourier correspondiente; n representa el número de términos de la serie.
Desarrollos en series de Fourier en cosenos y en senos para funciones definidas en un intervalo [0, L]. No todas las series de Fourier tienen aplicación sobre un intervalo centrado en el origen; en muchos casos, es necesario determinar la serie trigonométrica de una función definida sobre un intervalo de la forma [0, L]. Al desarrollo de la serie Fourier con estas características se le conoce como un desarrollo de medio rango o de medio intervalo. Desarrollos en serie de Fourier de medio intervalo. Si una función f (t) está definida sobre el intervalo [0, L], su desarrollo en una serie de Fourier se conoce como un desarrollo de medio rango o de medio intervalo.
Antes de describir los procedimientos que nos permitirán calcular los coeficientes de la serie de Fourier de medio intervalo y los diferentes casos existentes, definimos las siguientes funciones especiales . Extensión par e impar de una función Sea f (t ) una función definida sobre el intervalo [0, L]. 1. Se define su extensión par como
{ <<0 0<< { <<0 0<<
2. Se define su extensión impar
como
Se puede verificar sin mayor dificultad que es una función par mientras que es una función impar. Otra propiedad importante es que sobre el intervalo [0, L]. Las gráficas de las extensiones par e impar de una función se pueden observar en la FIGURA 5.17.
Para desarrollar en una serie trigonométrica a una función definida sobre medio intervalo es posible utilizar las mismas expresiones que para el caso de intervalo centrado. Existen tres maneras de desarrollar la serie de Fourier de una función en medio intervalo. Las dos primeras consideran las extensiones par e impar. La tercera opción se analiza en la siguiente sección. El procedimiento para obtener la serie de Fourier en cosenos o senos de una función definida sobre el intervalo [0, L] se expone en la siguiente observación.
Cálculo de la serie de Fourier en cosenos y senos para funciones definidas sobre [0, L]
Dada la función f (t ) definida sobre el intervalo [0, L], es suficiente con considerar sus extensiones par e impar y después realizamos el cálculo de la serie de Fourier en el intervalo centrado [−L, L] a cada una de ellas. El resultado son dos series de Fourier: una serie en cosenos y otra en senos, que convergen cada una a la función f (t ) en el intervalo [0, L]. Como lo especificamos anteriormente y por la naturaleza de las extensiones, tendremos los siguientes dos casos:
2 2 cos
Dado que sobre [0, L], realizamos un análisis de Fourier a la extensión par ; de esta manera
Y la serie de Fourier de medio intervalo está dada por
0
∞ 1 2 = cos 2 0 0 sin ∞ = sin
2. Análisis de Fourier en senos Dado que sobre [0, L], realizamos un análisis de Fourier a la extensión impar ; de esta manera
Y la serie de Fourier está dada por
EJEMPLO 3: Serie en cosenos y senos de medio intervalo Calcular una serie de Fourier en cosenos y en senos para la función
01 0<<0 1<2
Solución: La grafica de la función f (t ) se muestra en la FIGURA 5.18.
Primeramente, identificamos que L = 2 y calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en cosenos
2 0 1 1 2 cos 0cos 1cos 2 sin 2 ∞ ∞ 1 1 2 2 = cos 2 1 =(1 sin 2)cos 2
La serie de Fourier en cosenos es
2 2 s sin 0si n 1 i n c os 1 [ ] 2
De la misma forma, calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en senos
La serie de Fourier en senos es
∞ ∞ 2 = sin =cos 2 1´ sin 2
En la FIGURA 5.19 se muestran las gráficas de las series de Fourier en senos y cosenos para diferentes valores de n. Se puede observar, a partir de las gráficas, la convergencia de cada serie a la función f (t ) en el intervalo [0, 2]. En todos los casos, la gráfica de la izquierda corresponde a la serie en cosenos y la gráfica de la derecha a la serie en senos.
Podemos observar que en ambos casos las series de Fourier conver gen a la función f (t ) en [0, 2], pero que mientras la serie en cosenos es par, la serie en senos es impar.
EJEMPLO 4: Serie en cosenos y senos de medio intervalo. Calcular una serie de Fourier en cosenos y en senos para la función
0<<1 1 1<<
Solución La gráfica de la función f (t ) se muestra en la FIGURA 5.20.
Primeramente, identificamos que L = Fourier en cosenos
y calculamos los coeficientes de la serie de
2 2 1 21 2 cos cos 1cos 2cos2 ∞ ∞ 1 21 2 2 = cos 2 =(cos2 )cos 2 2 si n 1 sin sin 1 sin ( ) ∞ ∞ 2 si n 1 = sin =( ) sin 0,
La serie de Fourier en cosenos es
De la misma forma, calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en senos
La serie de Fourier en senos es
En la FIGURA 5.21 se muestran las gráficas de las series de Fourier en cosenos y senos para diferentes valores de n. Se puede observar, a partir de las gráficas, la convergencia de cada serie a la función f (t ) en el intervalo [ ].
0,
Podemos observar que en ambos casos, las series de Fourier convergen a la función f (t ) en [ ] pero la serie en cosenos se “pega” más rápido a f (t ) que la serie en senos.
Desarrollo de series de Fourier para funciones definidas en medio rango. Iniciamos esta sección recordando un resultado abordado en el ejercicio 2 de la sección 5.1 acerca de una propiedad de las funciones periódicas. Propiedad de traslación de una función periódica El ejercicio 2 de la sección Desarrollo de competencias 5.1 establecía que si f (t ) es
+ ∫+ ∫ −+ −
una función periódica de periodo T , entonces cualesquiera a, b. En particular para el caso a=-L y b=0 tenemos
Y para el valor T = 2L
para
Esta propiedad nos será de gran utilidad para poder calcular una serie de Fourier de una función definida en medio intervalo de la forma [0, p]. Como ya lo hemos mencionado, existe una tercera forma de calcular una serie de Fourier para una función definida sobre un intervalo [0, p]. Esta consiste en
definida sobre el intervalo Si definimos por
, ] [ ≤<0 2 2 2 0≤≤ 2
“desplazar” la gráfica de f (t ) hacia la izquierda
.
unidades, de manera que quede
a esta función, entonces
La FIGURA 5.22 muestra la gráfica f (t ) y su desplazamiento hacia la izquierda
.
Podemos observar que al desplazar de esta manera a la función f (t ), la función resultante No es ni par ni impar, de manera que la serie de Fourier correspondiente contendrá todos los términos, es decir, un término constante, términos en coseno y términos en seno. Para simplificar las expresiones y poder calcular los coeficientes de la serie de Fourier con las mismas expresiones que para el caso de una función definida en un intervalo centrado en el origen, suponemos que p = 2 L; de manera que . Por
∫− ∫ 1 1 2 − 1 1 2 − cos cos cos 2 1 1 2 − sin sin sin 2
la observación anterior tenemos que coeficientes de la serie de medio intervalo están dados por
, entonces los
1. El término constante es
2. Los coeficientes de los términos en coseno son
3. Los coeficientes de los términos en seno son
La serie de Fourier de medio intervalo En resumen, los coeficientes de la serie de Fourier de medio intervalo de una función definida en [0, p] se pueden calcular por medio de las expresiones
2 2 2 2 cos sin 2 ∞ ∞ 1 2 2 = cos = sin 2 De manera que la serie de Fourier de medio intervalo está dada por
