Series de Fourier - Resumen

Series de Fourier Resumen de fórmulas

  í;    ⁄2 ;   2⁄   ;    ∞       ≅ 2 + ∑ [ ⋅  ⋅  ( ⋅  ⋅ ) +  ⋅  ⋅  ( ⋅  ⋅⋅ )]  Función definida entre (-L, L)

    1   2    ⋅ ∫−    ⋅ ∫−      1  ⋅  ⋅ ⋅    2    ⋅ ∫−  ⋅  (  )    ⋅ ∫−  ⋅  ( ⋅  ⋅ )      1  ⋅  ⋅    2    ⋅ ∫−  ⋅  ⋅  (  )    ⋅ ∫−  ⋅  ⋅  ( ⋅  ⋅ )  Función definida entre (0, T)

    1   2    ⋅ ∫     ⋅ ∫       1  ⋅  ⋅ ⋅    2    ⋅ ∫  ⋅  (  )    ⋅ ∫  ⋅  ⋅  ( ⋅  ⋅ )      1  ⋅  ⋅    2    ⋅ ∫  ⋅  ⋅  (  )    ⋅ ∫  ⋅  ⋅  ( ⋅  ⋅ )  Función definida en tramos

    1 1    ⋅ ∫   +  ⋅ ∫       1  ⋅  ⋅  1    ⋅ ∫  ⋅  ((  )  +  ⋅ ∫  ⋅  (( ⋅  ⋅ )      1  ⋅  ⋅  1    ⋅ ∫  ⋅  ((  )  +  ⋅ ∫  ⋅( ⋅  ⋅⋅ )  Iván Bustamante  – UTN-FRBB

Sustituciones

  1 2  1 2   1⁄

  0 2  0 2   1−⁄

Casos particulares de funciones pares e impares

FUNCIONES PARES “f(t)=f(-t)”

FUNCIONES IMPARES “f(t)=-f(-t)”

   2    ⋅ ∫      2    ⋅ ∫  ⋅ ( ⋅ ⋅)  =

  0   0    2    ⋅ ∫  ⋅ ( ⋅  ⋅ ) 

Desarrollo de medio rango

PROLONGACIÓN PAR

PROLONGACIÓN IMPAR

   2    ⋅ ∫      2    ⋅ ∫  ⋅ ( ⋅ ⋅)    0

  0   0    2    ⋅ ∫  ⋅( ⋅ ⋅) 

Iván Bustamante  – UTN-FRBB

Forma compleja de la serie de Fourier

∞ ∞  −           ≅ 2 + ∑[ ⋅ ℮  +− ⋅ ℮  ] ≅ 2 + ∑ ⋅ ℮  −∞  −   1    ⋅ ∫− ⋅℮     2 ⋅    1 −   ⋅ ∫− ⋅℮    +2 ⋅ NOTA: La expresión que suma entre infinito negativo e infinito positivo suele producir errores en programas de álgebra computarizada, esto ocurre cuando “n”  vale cero, por eso se recomienda usar la sumatoria expresada a la izquierda; de lo contrario, para lograr la convergencia deberá reemplazarse “a0/2” por “a0” si la función está definida entre  –L y L, o por cero si está definida entre 0 y T.

Espectro de frecuencias Ángulo de fase y amplitud

  + ⋅     ⋅ 

   √  +    () Gráfico

Dada ω, el espectro de frecuencias será un gráfico de barras cuyas ubicaciones en el eje horizontal están dadas por n·ω y cuyas alturas están dadas por Cn. Estas barras suelen representarse en el plano, pero en el espacio presentan un giro en torno al eje “n·ω” que está dado por “Φn”. En la forma compleja de la serie, debe usarse el valor absoluto de Cn, además, aparece el rango negativo de frecuencias “ -n·ω”.

Aplicación a vibraciones

   

 



Se iguala la ecuación diferencial de respuesta del sistema a la función excitación. Se reemplaza la función excitación por su serie de Fourier equivalente. Se plantea la solución particular. Se deriva ésta las veces necesarias para tener términos para reemplazar los diferentes órdenes de derivación de la variable dependiente. Se reescribe la primera ecuación realizando todos los reemplazos mencionados. Se opera para obtener los valores de los coeficientes de la solución particular; estos pueden estar en términos de la variable “n” usada en las sumatorias. Se reescribe la solución particular incluyendo los valores obtenidos; la solución homogénea no es de interés porque no responde al estado estacionario. Iván Bustamante  – UTN-FRBB