Matemáticas V
UNIDAD 5 EJERCICIOS RESUELTOS
SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES PARES O IMPARES (desarrollo Cosenoidal o senoidal)
*Problemario*
EJEMPLO 1: 1Demostrar que el producto de dos funciones pares, o dos funciones impares es una función par, ya que el producto de una función par y una función impar es una función impar. Solución:
Sea ( )
( ) ( ) ( ) ( ( )
Y si (
)
(
) (
( ) ) (
( ) son funciones pares, entonces ) ( ) ( ) ( ).
( )son funciones impares, entonces )
( )[
( )]
( ) ( )
( )
Esto prueba que ( ) es una función par. Analógicamente, si ( ) es par y ( ) es impar, entonces (
)
(
) (
)
( )[
( )
( ) ( )]
( ) ( )
( )
Esto prueba que ( )es una función impar.
1
Análisis de Fourier, Hwei P.Hsu, versión español de Ramón G. Flórez Torres, Prentice Hall pag.24
EJEMPLO 2: Demostrar que cualquier función ( ) se puede expresar como la suma de dos funciones componentes, de las cuales una es par y la otra impar. Solución: Cualquier función
( ) se puede expresar como ( )
( ) [ ( )
( (
)
( ) [ ( )
)]
(
Sea [ ( ) [ ( ) Entonces,
( (
)] )]
(
( ) ( )
)]
)
(
)
(
)
[ (
[ (
)
( )]
De donde, 2
Donde
2
( )es la componente par y
( )
)
( )] [ ( )
( )
( ) (
)]
( )
( )
( ) es la componente impar de la función dada ( ).
Análisis de Fourier, Hwei P.Hsu, versión español de Ramón G. Flórez Torres, Prentice Hall, pág. 25
EJEMPLO 3: 3si ( ) es par, demostrar que ( )
∫
( )
∫
Solución: Si se escribe nuevamente el primer miembro de la ecuación anterior se tiene: ( )
∫ Haciendo
∫
( )
∫
( )
en la primera integral del segundo miembro ( )
∫
∫ (
Puesto que ( ) es par, es decir, ( ∫
(
) )
)(
)
∫
(
)
∫
( )
( ) se tiene ∫
( )
Lo cual es cierto pues cualquier símbolo se puede usar para representar la variable “comodín”; por consiguiente, ∫
3
( )
∫
( )
∫
( )
∫
( )
Análisis de Fourier, Hwei P.Hsu, versión español de Ramón G. Flórez Torres, Prentice Hall, pag. 26
EJEMPLO 4: Si ( ) es impar, demostrar que ( )
∫
( ) Solución: Si se escribe nuevamente el primer miembro de la primera ecuación, se tiene: ∫
( )
∫
(
∫ Puesto que ( ) es impar, es decir, (
)
)
( )
∫
∫
( )
( ) se tiene
( )
∫ En particular,
( )
∫
(
( )
)
∫
( )
( )
4
De donde,
4
( )
Análisis de Fourier, Hwei P.Hsu, versión español de Ramón G. Flórez Torres, Prentice Hall, Pág. 26,27.
Ejemplo 5: 5Desarrolle ( ) en una serie de Fourier en término de senos en el intervalo de inmediato podemos escribir, para . ∑ En la que: ∫
[
(
)
(
[
5
]
]
Por lo tanto, la serie sinusoidal de Fourier, en ( ∑[
)
)
para (
(
)
es: ]
Ecuaciones Diferenciales, Octava edición, Earl D. Rainville V, Traducción: Víctor Hugo Ibarra Mercado
] como es una función par, EJEMPLO 6: 6encontrara la serie de Fourier de ( ) en [ ( )es impar y sabe de inmediato que los coeficientes del seno son cero. Para los otros coeficientes, calcule: ∫
∫ (
∫
(
∫ La serie de Fourier de
en [
)
)
(
)
] es ∑
(
)
(
)
Para considerar nuevamente el problema de la convergencia, observe que en este ejemplo, ( ) pero la serie de Fourier en es ∑
(
)
No está claro que la suma de esta serie sea 0. 6
Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Peter V. O’Neil, sexta edición, pag. 57.
] los coeficientes de EJEMPLO 7: 7sea ( ) para . Como es impar en [ Fourier de los cosenos son todos cero. Los coeficientes de Fourier de los senos son todos cero. Los coeficientes de Fourier de los senos son ∫ ∫ La serie de Fourier de
en [
(
(
)
(
) )
]es ∑(
)
(
)
Más adelante usara estos argumentos. Por ahora éste es un resumen de las conclusiones. Si par en [ ], entonces su serie de Fourier en este intervalo es: ∑
(
)
En donde ∫ Si
es impar en [
( )
(
)
], entonces su serie de Fourier en este intervalo es ∑
(
)
Donde ∫
7
( )
(
)
Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Peter V. O’Neil, sexta edición, pag. 58.
es
EJEMPLO 8:8 Hallar la serie de Fourier de la siguiente función en el intervalo de [ ( ) gráfica.
] y dibujar su
Solución: Haremos que esta función presente un comportamiento impar en el intervalo de [ ], por lo que los coeficientes ( )
∫
[∫
[∫
]
]
) ]
[(
)]
[( *
(
) +
(
)
Y la serie de Fourier toma la forma: ( )
8
∑(
)
∑(
(
)
)
Método de solución de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones, Ma. Del Carmen Cornejo Serrano, editorial Reverté. Pág. 221
EJEMPLO 9: 9una función periódica ( )con periodo está definida dentro del periodo por ( ( ) { ( ) Encuentre su expansión en serie de Fourier. Solución: en la fig. se muestra la grafica de la función ( ),sobre el intervalo . Es claro que ( ) es una función impar de , así que su expansión en la serie de Fourier consiste en de los términos con seno solamente. Haciendo , esto es w=1, la expansión en serie de ( ) ∑ Fourier está dada por: Con ∫
∫
( )
(
( )
)
[
(
[
)
{
(
] ) ]
( )
(
)
Así la expiación en serie de Fourier de ( ) es: ( )
9
(
)
∑
(
)
Matemáticas Avanzada para Ingeniería, James Glyn y colaboradores, segunda edición, Pág. 295.
Ejemplo 10: 10supóngase que ( ) para Fourier y la serie de senos de Fourier para .
. Determinar la serie de cosenos de
Solución: la ecuación implica: ∫
[ ]
Y ∫ [
∫ ]
{
Así, la serie de cosenos de Fourier de f es: (
10
Ecuaciones Diferenciales, Edwards. C Henry, sexta edición. Pág. 560
)
EJEMPLO 11: 11calcular la serie de Fourier de ( ) Solución: En este caso consiguiente,
. Como
∫ Como ( )
es una función par, ( )
es una función impar. Por
( )
es una función par, tenemos ∫
( )
∫
∫
∫ [
∫
[(
]
(
)
]
)
Por tanto, ( )
∑ {
11
[(
)
] }
Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones con Valores de Frontera, Nagle. R Kent, cuarta edición Pág. 597
EJEMPLO 12: 12Desarrollar
( )
en una serie de Fourier.
Solución: desarrollamos en series de senos, puesto que un examen de la figura 5.5 muestra que la función es impar en el intervalo
Con la identificación
entonces. ∫
Entonces integrando por partes resulta (
)
Por lo tanto, ( )
12
∑
(
)
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill, sexta edición,
EJEMPLO 13: 13La función ( ) intervalo –
. Con
,
mostrada en la figura 5.7 es impar en el
, resulta. ∫ ( ) (
)
Y entonces ( )
13
∑
(
)
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill, sexta edición,
EJEMPLO 14: 14desarrolle la serie de Fourier para ( ) en . Como ( ) impar nos damos cuenta que solamente tenemos que usar la serie de Fourier de senos.
∫
(
es
)
Para poder realizar la integral necesitamos hacerla por pares.
(
[
[
(
( )
14
) ]
∑(
) ]
)
(
) ∫
(
(
[
(
(
)
)
)]
(
(
)
) )
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EJEMPLO 15:
sea la función ( )
15
(
) (
15
encuentre si es par o impar ( ) ( ) ) Indefinido
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