Matemáticas Especiales
Daniel H. Cortes C .
Series de Fourier
Introducción Uno de los descubrimientos más importantes en la historia de la matemática aplicada lo hizo Jean Baptiste Fourier (1768-1830), quien demostró que casi toda función periódica se puede representar mediante una sumatoria de funciones seno y coseno. Estas sumatorias se conocen como las series de Fourier. Por ejemplo, en el análisis de vibraciones es común encontrar sistema masa – resorte – amortiguador, excitados por una fuerza periódica, cuya forma es algunas veces complicada. Mediante la descomposición de esta fuerza en funciones seno y coseno se pueden solucionar estos problemas de forma sencilla. El desarrollo en series de Fourier se basa en la propiedad de ortogonalidad de la funciones seno y coseno. Las series de Fourier son en cierta forma más generales que las series de Taylor, ya que pueden pueden representar funciones periódicas periódicas discontinuas que pueden ser de gran interés práctico. práctico. La complicación más importante importante es que se manejan sumatorias infinitas y en algunos casos la convergencia puede ser un problema. Varias extensiones de las Fourier también son importantes como la transformada de Fourier y la transformada de Laplace, que se estudiarán más adelante. La teoría de Fourier ha sido aplicada con éxito en la solución de ecuaciones diferenciales, el estudio de vibraciones y ondas, procesamiento de señales, compresión de datos, procesamiento digital de imágenes y en muchos otros campos. En este capítulo se estudiarán los conceptos básicos, los hechos y técnicas relacionadas con las series de Fourier. Se incluirán algunas aplicaciones importantes en la ingeniería.
Funciones Periódicas y Series Trigonométricas x) es periódica si está definida para toda x real y si existe Se dice que una función f ( x algún número positivo T de manera que: f ( x
+ T ) = f ( x ) .
1
(2.1)
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El número T recibe el nombre de periodo de f ( x). La gráfica de una función de este tipo se obtiene mediante una repetición periódica de la gráfica correspondiente a un periodo T (Figura 2.1).
Figura 2.1 Función periódica de periodo T.
De la ecuación (2.1) se sigue que, si n es un número entero cualquiera se cumple que: f ( x
+ nT ) = f ( x) ,
(2.2)
de modo que nT también es periodo de la función f ( x). Además si f(x) y g( x) tienen periodo T entonces la función: h ( x )
= f ( x) + g ( x)
(2.3)
también tiene periodo T . Ejemplos familiares de las funciones periódicas son las funciones seno y coseno. Note también que la función f = c = cte también es una función periódica de acuerdo a la definición dada en (2.1). Una serie trigonométrica es la sumatoria de funciones seno y coseno de la siguiente forma: a0
+ a1 cos( x) + b1 sen ( x) + a 2 cos( 2 x) + b2 sen (2 x) +
L
(2.4)
donde a0, a1, a2, …,b1, b2, … son constantes reales que reciben el nombre coeficientes de la serie. Se puede observar que los términos de la serie (2.4) tienen periodo 2 π, por lo tanto, si la serie converge, su suma será una función periódica con periodo 2 π. El proceso para hallar los coeficientes de la serie (2.4) para representar funciones de periodo 2π se explicará en la siguiente sección, mientras que el procedimiento para representar funciones de periodo arbitrario se presentará en una sección posterior.
Ortogonalidad de las Funciones Trigonométricas y Coeficiente de Euler Se dice que dos funciones reales gm( x) y gn( x) son ortogonales en un intérvalo a ≤ x ≤ b, si la integral del producto gm( x) gn( x) sobre ese intervalo es igual a cero si m ≠ n es decir:
2
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Daniel H. Cortes C. b
∫g a
m ( x ) g n ( x) dx
= 0.
(m
≠ n)
(2.5)
El conjunto de funciones g0, g1, g2,… que satisfacen (2.5) para todos los pares de funciones distintas en el conjunto, es un conjunto ortogonal de funciones en ese intervalo. La integral N ( g m )
=
b
∫g a
2 m
( x)dx
(2.6)
se conoce como la norma de la función gm( x) en el intervalo a ≤ x ≤ b. Las funciones gm( x) = cos ( mx) forman un conjunto ortogonal en el intervalo -π ≤ x ≤ π , puesto que:
∫−
π
cos(mx) cos(nx)dx
= 0 para m ≠ n.
(2.7)
cuando m = 0 ⎧ 2π = ⎨ ⎩π cuando m = 1, 2, ...
(2.8)
π
La norma de este grupo de funciones es: N (cos(mx))
=
∫−
π
cos 2 (mx)dx
π
De forma similar, si se considera el conjunto de funciones gm( x) = sen ( mx) forman un conjunto ortogonal en el intervalo -π ≤ x ≤ π , debido a que:
∫−
π
sen(mx) sen(nx)dx
= 0 para m ≠ n.
(2.9)
π
y la norma es: N (sen(mx))
=
∫−
π
sen 2 ( mx) dx
π
⎧0 = ⎨ ⎩π
cuando m = 0 cuando m = 1, 2, ...
(2.10)
Por último, se considera la siguiente integral:
∫−
π
cos(mx) sen(nx)dx
= 0 para todo m, n = 0, 1, …
(2.11)
π
Otros conjuntos de funciones ortogonales se analizarán más adelante. Las relaciones (2.7) – (2.11) se utilizarán para hallar los coeficientes de la serie trigonométrica o de Fourier. Si se quiere representar una función periódica f ( x), con periodo 2π , mediante una serie de Fourier, se tiene que: f ( x)
= a0 +
∞
∑= (a
n
n 1
3
cos(nx)
+ bn sen(nx)) ,
(2.12)
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en donde los coeficientes a0, a1, a2, …, b1, b2, … son constantes reales desconocidas. Si se integra la ecuación (2.12) con respecto a la variable x desde - π hasta π se tiene que:
∫−
π
∞
∑= (a ∫−
= a0 ∫ dx + π
f ( x)dx
− π
π
π
n
n 1
cos( nx) dx
π
+ bn ∫ sen(nx)dx) (2.13) π
− π
donde es claro que:
∫−
π
= 0
cos(nx)dx
∫−
π
y
π
sen(nx)dx
= 0 para todo n = 1, 2, … (2.14)
π
Por lo tanto de (2.13) se obtiene que:
∫−
π
f ( x)dx
π
=
a0 2π .
Si la ecuación (2.12) se multiplica por cos ( mx) y se integra desde - π hasta que:
∫−
π
∑= (a ∫−
+
n
n 1
obtiene
π
−
π π
π se
= a0 ∫ cos( mx)dx π
f ( x ) cos( mx) dx ∞
(2.15)
cos( nx ) cos( mx) dx
π
+ bn ∫ sen( nx) cos( mx)dx) π π
.
(2.16)
−
El primer término del lado derecho de la ecuación anterior es igual a cero debido a (2.14); el último término también es igual a cero debido a (2.11); mientras que el segundo término es igual a cero si m ≠ n y es igual a π para m = n. Por lo tanto, para cada valor m el único término de la sumatoria que es diferente de cero se obtiene cuando m = n. Por lo tanto de (2.16) se tiene que:
∫−
π
f ( x) cos(mx)dx
=
a mπ .
π
(2.17)
De forma similar, si se multiplica la ecuación (2.12) por sen ( mx) y se integra desde - π hasta π se obtiene que:
∫−
π
+
f ( x ) sen( mx) dx
π
∞
∑= (a ∫−
π
n
n 1
= a0 ∫ π sen( mx)dx π
−
cos( nx) sen( mx) dx
π
+ bn ∫ π sen( nx) sen( mx)dx) π
(2.18)
−
Mediante las relaciones (2.9) – (2.11) y (2.14) se obtiene que:
∫−
π
f ( x) sen(mx)dx
π
4
=
bmπ
(2.19)
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De las ecuaciones (2.15), (2.17) y (2.19) se obtiene las formulas de Euler para determinar los coeficientes de la serie Fourier: a0
=
am
=
bm
=
1
∫
π
f ( x)dx 2π − π 1 π f ( x) cos(mx) dx π
1 π
∫−
∫−
(2.20)
π
π
f ( x) sen( mx)dx
π
Ejemplo 1.
Hallar los coeficientes de la serie de Fourier para la función: f ( x )
= x 2 para -π ≤ x ≤ π con f ( x + 2π ) = f ( x)
Solución:
Aplicando la ecuación (2.20) se obtiene que: π
2 ⎡ x3 ⎤ π a0 = f ( x) = ⎢ ⎥ = 2π ∫− π 2π ⎣ 3 ⎦ − 3 π π ⎧ ⎫⎪ π x sen( mx ) 1 π 1 ⎪ x 2 sen( mx) − 2∫ am = dx ⎬ ∫ f ( x) cos(mx)dx = π ⎨⎪ m − π m π − π ⎪⎭ − π ⎩ π ⎧ ⎫ ⎡ x cos( mx) π π 1 ⎪ x 2 sen( mx) cos( mx) ⎤ ⎪ = ⎨ − 2 ⎢− +∫ ⎥⎬ 2 2 − π m π m m ⎢ ⎥⎦ ⎪⎭ − π ⎪⎩ ⎣ − π π π ⎧ ⎫ ⎡ x cos( mx) π 1 ⎪ x 2 sen( mx) sen( mx) ⎤ ⎪ = ⎨ − 2 ⎢− + ⎥⎬ 2 3 m π m m ⎢ ⎥⎦ ⎪⎭ π π − − ⎪⎩ ⎣ − π
1
π
1
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donde el primer y último términos de la ecuación anterior son igual cero para todo m. El segundo término puede escribirse como:
am
=
1 π
⎧ 4π cos( mπ ) ⎫ 4(−1) m ⎨ ⎬ = 2 2 m m ⎩ ⎭
Por último, si se realiza un procedimiento similar al anterior se obtiene que:
⎧⎪ x 2 cos( mx) π ⎫⎪ π x cos( mx) bm = + 2∫ dx ⎬ ∫ f ( x) sen(mx)dx = π ⎨⎪− m − π m π − π ⎪⎭ − π ⎩ π ⎧ 2 ⎫ ⎡ x sen( mx) π π 1 ⎪ x cos(mx) sen( mx) ⎤ ⎪ = ⎨− + 2⎢ −∫ ⎥⎬ 2 2 π − . π m m ⎢⎣ m ⎥⎦ ⎪⎭ − π ⎪⎩ − π π π ⎡ x sen( mx) π 1 ⎧ cos(mx) ⎤ ⎫ ⎪ x 2 cos(mx) ⎪ = ⎨− + 2⎢ + ⎥ ⎬ 2 3 π m m m ⎢ ⎥ π π − − ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎪⎭ − π = 0 1
π
1
Tomando los tres primeros términos de la serie se obtiene que: f ( x)
≅ a0 + a1 cos( x) + a2 cos(2 x)
La comparación de esta aproximación con la función original se observa en la siguiente figura:
♦ La clase de funciones que pueden representarse mediante series de Fourier es sorprendentemente grande y general. Las condiciones suficientes se dan en el siguiente teorema:
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Si una función periódica f ( x) es seccionalmente continua y tiene derivada por la izquierda y por la derecha en cada punto del intervalo, entonces la serie de Fourier correspondiente es convergente. Su suma es igual a f ( x), excepto en un punto x0, en el cual f ( x) es discontinua, donde la serie converge al promedio de los límites desde la derecha y desde la izquierda de f ( x) en x0. Teorema:
La demostración de este teorema puede encontrarse en libros especializados.
Funciones Pares e Impares En el ejemplo anterior se malgastó el tiempo y energía calculando los bm que fueron iguales a cero. Cabe hacer la pregunta de si existe la posibilidad de obtener este resultado sin llevar a cabo la integración. En efecto, es posible. Se verá, posteriormente, que las bm resultaron ser iguales a cero debido a que la función f ( x) es par. Se dice que una función g( x) es par si cumple que (Figura 2.2): g ( − x )
= g ( x) ,
(2.21)
es decir, si es simétrica con respecto al eje de las ordenadas. Una función es impar si (Figura 2.2): h( − x )
= − h( x ) .
(2.22)
Figura 2.2 Función par y función impar
El producto q = gh, de una función par g y una función impar h, es impar ya que: q ( − x)
= g (− x)h(− x) = g ( x)[−h( x)] = − q ( x ) .
(2.23)
De forma similar, se puede demostrar que el producto de funciones pares o dos funciones impares da como resultado una función par. En el caso de tener integrales definidas de una función par g( x) con límites simétricos al eje de las ordenadas, se cumple que:
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a
∫−
g ( x)dx
a
0
∫−
=
g ( x)dx
a
a
a
0
0
∫ g (− x)dx + ∫ g ( x)dx
=
a
∫ g ( x)dx . = 2 ∫ g ( x)dx
+
0
a
(2.24)
0
De forma similar, para funciones impares se cumple que: a
∫−
a
0
∫−
=
h( x)dx
h( x) dx
a
a
a
0
0
∫ h(− x)dx + ∫ h( x)dx
=
+
a
∫ h( x)dx . 0
(2.25)
= 0
Teniendo en cuenta los resultados anteriores, se puede observar claramente que, para una función periódica impar f ( x) de periodo 2 π , la serie de Fourier sólo tendrá términos senoidales, ya que a0 y am serán iguales a cero. Es decir: f ( x)
∞
=
∑= b
m
sen(mx) ,
(para f impar)
(2.26)
m 1
con coeficientes: bm
2
=
π
∫
π
0
f ( x ) sen( mx) dx .
(2.27)
De forma similar, si la función f ( x) de periodo 2π es par, los términos senoidales de su serie de Fourier desaparecen ya que los bm son cero. Es decir: f ( x)
= a0 +
∞
∑= a
m
cos( mx) .
(para f par)
(2.28)
m 1
con coeficientes:
a0 am
=
1
=
f ( x) dx ,
(2.29)
f ( x) cos( mx) dx .
(2.30)
π
2 π
∫
π
0
∫
π
0
Ejemplo 2.
Encontrar la serie de Fourier de la función f ( x) = x + π para -π ≤ x ≤ π
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Solución
Al observar la figura anterior, es claro que la función no es par ni impar. Sin embargo, la función f ( x) se puede descomponer en una función f*( x) más una constante π , es decir: f ( x )
= f * ( x ) +
f * ( x )
con
π
= x
donde, f *( x) es una función impar. Los coeficientes de la serie de Fourier se hallan mediante la ecuación (2.27) de la siguiente manera: bm
=
2 π
∫
π
0
f ( x) sen( mx) dx
=
2 π
∫
π
0
x sen(mx) dx
⎧⎪ x cos( mx) π ⎫⎪ π = ⎨− + ∫ cos(mx)dx ⎬ 0 π ⎪ m ⎪⎭ 0 ⎩ π π 2 ⎧ sen( mx) ⎫ ⎪ x cos( mx) ⎪ = ⎨− + ⎬ π ⎪ m m ⎪⎭ 0 0 ⎩ 2( −1) m +1 = 2
m
Por tanto la representación en serie de Fourier de f ( x) queda: f ( x )
=
π
+
∞
∑=
m 1
2( −1) m + 1 m
sen( mx)
La sumatoria de la constante y los tres primeros términos de la serie se pueden observar en la siguiente figura:
♦
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Funciones de Periodo Arbitrario Hasta el momento se ha trabajado con funciones de periodo 2 π. La transición a funciones de periodo arbitrario T se realiza mediante un cambio de escala. Suponga que f (t ) tiene periodo T . Entonces puede introducirse una nueva variable x de manera que f (t ) se convierta en una función de periodo 2 π. Es decir:
f (t )
T
=
t
2π
x ,
(2.31)
T ⎞ x⎟ . = f ⎛ ⎜ ⎝ 2π ⎠
(2.32)
Como la función f ( x) tiene ahora periodo 2 π , se puede utilizar la ecuación (2.12) para determinar su serie de Fourier, así: ∞
⎛ T ⎞ = f ⎜ x ⎟ a0 + ⎝ 2π ⎠
∑= (a
m
cos( mx)
+ bm sen( mx)) .
(2.33)
m 1
Los coeficientes de la serie se expresan de la siguiente manera:
⎛ T x ⎞dx ⎟ π ⎝ 2π ⎠ 1 π ⎛ T ⎞ am = ∫ f ⎜⎝ 2π x ⎠⎟ cos(mx)dx π − π 1 π ⎛ T ⎞ bm = ∫ f ⎜⎝ 2π x ⎠⎟ sen( mx)dx π − π a0
=
1
2π ∫−
π
f ⎜
(2.34)
Mediante el cambio inverso de variable: x
=
2π
dx
=
2π
T
t ,
(2.35)
dt ,
(2.36)
con T
las ecuaciones (2.33) y (2.34) se convierten en: f (t )
= a0 +
∞
⎡
∑= ⎢⎣a
m 1
m
⎛ 2π m ⎝ T
cos⎜
con coeficientes:
10
⎞ + b sen⎛ 2π m t ⎞⎤ , ⎜ ⎟⎥ m ⎠ ⎝ T ⎠⎦
t ⎟
(2.37)
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a0 am bm
=
1
T ∫
= =
T
2 T
−
2
∫
2 T
2
T
2 T
−
T
∫
f (t )dt
⎛ 2π m t ⎞dt ⎟ . T ⎝ ⎠
f (t ) cos⎜
2
T
2 T
−
(2.38)
⎛ 2π m t ⎞dt ⎟ ⎝ T ⎠
f (t ) sen⎜
2
Si la función f (t ) de periodo arbitrario es par entonces su serie de Fourier es: f (t )
∞
∑= a
= a0 +
⎛ 2π m t ⎞ , ⎟ ⎝ T ⎠
cos⎜
(2.39)
. π 2 m ⎛ ⎞dt f (t ) cos⎜ ⎟ ⎝ T ⎠
(2.40)
m
m 1
con coeficientes:
a0 am
= =
2 T
∫
T
f (t )dt
2 0
4
T ∫
T
2 0
Si la función f (t ) es impar su serie de Fourier es: f (t )
∞
∑=
=
⎛ 2π m ⎞ t ⎟ , ⎝ T ⎠
(2.41)
⎛ 2π m ⎞ t ⎟dt . T ⎝ ⎠
(2.42)
bm sen⎜
m 1
donde los coeficientes están definidos como: bm
=
4 T
∫
T
2
0
f (t )sen⎜
Ejemplo 3.
Halle la serie de Fourier para la siguiente función: * f (t )
= t − t 2 para 0 ≤ x ≤ 1
Solución
Como la función anterior sólo esta definida en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 se puede hacer una función f (t ) periódica repitiendo la función como se ve en la figura:
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Por lo tanto la función resultante f (t ) es par y de periodo T = 2. Por consiguiente, los coeficientes bm serán iguales a cero. Los coeficientes a0 y am se hallan mediante las ecuaciones (2.40) de la siguiente manera: 1
⎡ t 2 t 3 ⎤ 1 2 a 0 = ∫ (t − t ) dt = ⎢ − = ⎥ 0 3 ⎦0 6 ⎣2 1 ⎡⎛ cos( mπ t ) t ⎞ π t ) ⎟ a m = 2∫ (t − t 2 ) cos(π mt )dt = 2⎢⎜ + m sen( 2 2 0 mπ ⎠ ⎣⎝ m π 1
1
2 ⎛ 2t ⎞⎤ t 2 − ⎜⎜ 2 2 cos( nπ t ) − 3 3 sen( mπ t ) + sen( mπ t ) ⎟⎟⎥ mπ m π ⎝ m π ⎠⎥⎦ 0 cos(mπ ) − 1 2 cos( mπ ) ⎞ = 2⎛ − ⎜ ⎟ m 2π 2 ⎠ ⎝ m 2π 2 2(1 + cos( mπ )) = − 2 2
m
π
Si se toman los tres primeros términos de la serie se tiene que: f (t )
≅
1 6
−
4 π
2
⎛ cos( 2π t ) cos(4π t ) ⎞ + ⎜ ⎟ 16 ⎠ ⎝ 4
La comparación con la función original f (t ) se muestra en la siguiente figura:
♦
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Los desarrollos en series de Fourier de los ejemplos 2 y 3 muestran un hecho interesante e importante. En el ejemplo 2 la función f ( x) no era continua y los coeficientes de la serie decrecen con una rapidez proporcional a 1/ m. Por otra parte, en el ejemplo 3 la función f (t ) era continua pero su derivada no y los coeficientes decrecen con una rapidez 2 proporcional a 1/ m . Si en el ejemplo anterior se hubiera escogido una función impar, esta hubiera sido continua en la primera derivada y los coeficientes hubieran decrecido 3 con una rapidez proporcional a 1/ m .
Formas Alternativas de la Serie de Fourier La forma original de la serie de Fourier de una función como se muestra en la ecuación (2.37) puede transformarse en otras formas trigonométricas y en una forma exponencial, en la cual, en ves de funciones trigonométricas reales, aparecen exponenciales imaginarias. Por ejemplo, en la serie f (t )
= a0 +
∞
⎡
∑= ⎢⎣a
m
⎛ 2π m t ⎞ + b sen⎛ 2π m t ⎞⎤ , ⎟ ⎜ ⎟⎥ m ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠⎦
cos⎜
m 1
(2.37)
los términos coseno y seno con igual periodo se pueden agrupar en un solo término. Primero se organizan los coeficientes de la siguiente manera:
f (t ) = a 0
∞
+∑ m =1
⎛ a bm 2π m ⎞ 2π m ⎞ ⎞⎟ ⎛ ⎛ m ⎜ a +b t ⎟ + t ⎟ . cos⎜ sen⎜ ⎜ a2 + b2 2 2 T T ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎟ a m + bm ⎝ m m 2 m
2 m
(2.43)
Ahora si se define
Am
A0
= a0 ,
=
am
2
+ bm2 ,
γ m
= sen ϕ m =
cos ϕ m
= sen γ m =
cos
(2.44) (2.45)
am a m2
+
bm2
bm 2 am
+
2 bm
,
(2.46)
,
(2.47)
donde los ángulos γ m y ϕ m se relacionan con am y bm mediante el triángulo mostrado en la Figura 2.3. Reemplazando las ecuaciones (2.44) – (2.45) en la ecuación (2.43) se obtiene: ∞
⎛ 2π m t ⎞ cos γ + sen⎛ 2π m t ⎞ sen γ ⎤ ⎟ ⎜ ⎟ ∑ m m⎥ T T ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ m =1 . (2.48) ∞ m π 2 ⎞ = A0 + ∑ Am cos⎛ t − γ m ⎟ ⎜ ⎝ T ⎠ m =1
f (t )
= A0 +
⎡ ⎣
Am ⎢cos⎜
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Si hace el reemplazo anterior en términos del ángulo ∞
⎡ ⎛ 2π m ⎢cos⎜ T ⎣ ⎝
⎞ ⎠ m 1 ∞ 2π m ⎞ = A0 + ∑ Am sen⎛ t + ϕ m ⎟ ⎜ ⎝ T ⎠ m =1
f (t )
= A0 +
∑= A
m
ϕ m
t ⎟ sen ϕ m
se obtiene: 2π m + sen⎛ ⎜ ⎝ T
⎞ ⎠
⎤ ⎦
t ⎟ cos ϕ m ⎥
(2.49)
Figura 2.3 Triángulo que define los ángulos de fase
Otra forma en que se puede expresar una serie de Fourier es mediante funciones exponenciales, utilizando las siguientes igualdades: i 2π mt / T + e −i 2π mt / T 2π m ⎞ e ⎛ cos⎜ , t ⎟ = 2 ⎝ T ⎠
(2.50)
2π / − 2π / e i mt T − e i mt T ⎞ t ⎟ = , i 2 ⎠
(2.51)
⎛ 2π m sen⎜ ⎝ T
donde i = − 1 . La substitución de las ecuaciones (2.50) y (2.51) en la ecuación (2.37) da como resultado: − 2π / 2π / ⎡ e i 2π mt / T + e −i 2π mt / T e i mt T − e i mt T ⎤ f (t ) = a 0 + ∑ ⎢a m + bm ⎥, 2 2i m =1 ⎣ ⎦ ∞
(2.52)
teniendo en cuenta que 1/ i = - i, se puede organizar la ecuación anterior de la siguiente manera: f (t ) = a 0
⎛ a − ibm i 2 mt / T a m + ibm −i 2 mt / T ⎞ + ∑⎜ m + e e ⎟. 2 2 ⎝ ⎠ = m 1 ∞
π
14
π
(2.53)
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Si se define c0
= a0 , c m =
Daniel H. Cortes C. am
− ibm
y c− m
2
=
am
+ ibm
, y se reemplazan en (2.53)
2
se obtiene f (t )
∞
∑= c
= c0 +
me
+
i 2π mt / T
m 1
∞
∑= c−
me
− i 2π mt / T
.
(2.54)
m 1
El último término de la ecuación anterior se puede rescribir de l a siguiente forma: f (t )
∞
= c0 +
∑= c
me
i 2π mt / T
+
m 1
−∞
∑= − c
m
me
i 2π mt / T
.
(2.55)
1
Por último, agrupando todo los términos en una sola sumatoria se obtiene:
=
f (t )
∞
c ∑ −∞
me
i 2π mt / T
.
(2.56)
La ecuación anterior se conoce como la forma compleja de la serie de Fourier. Los coeficientes de la serie están dados por la siguiente expresión: cm
=
1
T 2
T ∫−
T 2
f (t )e − i 2π mt / T dt
(2.57)
Algunas Aplicaciones de las Series de Fourier Oscilaciones Forzadas
Las series de Fourier tienen importantes aplicaciones en relación con las ecuaciones diferenciales ordinarias. Las oscilaciones forzadas de un sistema masa-resorte (Figura 2.4) con un grado de libertad están regidas por la ecuación: && m y
+ c y + ky = f (t ) &
(2.58)
Figura 2.4 Sistema masa – resorte – amortiguador
La solución de esta ecuación diferencial se compone de la solución homogénea más la solución particular. La solución homogénea es de la forma:
15
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y h
=
Daniel H. Cortes C.
⎛ − c + c 2 − 4 mk ⎞ ⎜ ⎟ t ⎜ ⎟ 2m ⎝ ⎠ C e 1
+
⎛ − c − c 2 − 4 mk ⎞ ⎜ ⎟ t ⎜ ⎟ 2m ⎝ ⎠ C e 2
(2.59)
Esta solución puede organizarse de la siguiente manera:
⎛ ⎛ ⎜ − t ⎜ ⎜ y h = e 2m ⎜ C 1e ⎝ ⎜⎜ ⎝ c
c
− 4 mk ⎞⎟ t ⎟ 2m ⎠
2
+
⎛ − c 2 − 4 mk ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ t ⎜ ⎟ ⎟ 2m ⎝ ⎠ C e ⎟ 2
⎟⎟ ⎠
(2.60)
El signo menos de la exponencial nos indica que la solución homogénea tenderá a cero para valores grandes de tiempo. Por lo tanto esta solución se conoce como la parte transitoria de la respuesta del sistema. La solución particular se halla considerando la forma de la función f (t ). Por ejemplo, si f (t ) está compuesta de funciones exponenciales la solución particular y p(t ) estará compuesta también de términos exponenciales. Si la fuerza externa f (t ) es una función senoidal o cosenoidal y la constante de amortiguamiento es diferente de cero, la solución particular será una función armónica con periodo igual a la de la fuerza externa. Ahora si la función f (t ) es una función periódica seccionalmente continua, la solución particular será la superposición de funciones armónicas con frecuencias iguales a las de f (t ) y sus múltiplos. Una forma de encontrar la solución particular es expresando la función f (t ) en términos de una serie de Fourier y encontrando una solución particular para cada término de la sumatoria. Este procedimiento se detalla mediante el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.
Determínese la respuesta del sistema masa – resorte – amortiguador en estado estacionario, si la fuerza f (t ) se define como:
⎧⎪ − 20, - 1 〈t 〈 0 2 f (t ) = ⎨ ⎪⎩20, 0〈 t 〈 1 2
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Matemáticas Especiales
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Solución
El primer paso de la solución es expresar la fuerza f (t ) en términos de la serie de Fourier. En este caso la función f (t ) es impar, por lo tanto, la serie de Fourier sólo tendrá términos seno.
80 ∞ sen (2π ( 2n
∑=
=
f (t )
2n
π n 1
− 1)t )
−1
=
80 π
⎛ sen (2π ) + sen(6π t ) + sen(10π t ) + ⎞ t ⎜ ⎟ 3 5 ⎝ ⎠ L
. Para cada término de la expresión anterior hay una solución particular asociada. Esta solución se determina de la siguiente manera: Se supone que la solución particular es de la forma: y np
= An sen( 2π (2n − 1)t ) + Bn cos(2π (2n − 1)t )
al reemplazar esta ecuación en la ecuación diferencial se obtiene:
(− A 4mπ (2n − 1) + kA − B c(2π (2n − 1))) sen(2π (2n − 1)t ) + (− B 4mπ (2n − 1) + kB + A c(2π (2n − 1)) ) cos( 2π (2n − 1)t ) 2
2
n
n
2
2
n
=
n
80 sen( 2π (2n π
n
n
− 1)t )
−1
2n
de la comparación entre los términos seno y coseno de los lados izquierdo y derecho de la ecuación anterior se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 80 − An 4mπ 2 (2n − 1) 2 + kAn − Bn c(2π (2n − 1)) = π ( 2n − 1)
− Bn 4mπ 2 (2n − 1) 2 + kBn + An c(2π (2n − 1)) = 0 La solución de este sistema de ecuaciones da como resultado: An
= −
Bn
= −
(
2
80 4mπ ( 2n
(4mπ
2
( 2n
− 1) 2 − k )
− 1) 2 − k ) + 4mπ 2 (2n − 1) 2 2
80c (2π ( 2n
(4mπ
2
( 2n
− 1))
− 1) 2 − k ) + 4mπ 2 (2n − 1) 2 2
Los tres primeros valores de estos coeficientes se presentan el la siguiente tabla: n 1 2 3
An -3.8879 -0.0828 -0.0280
Bn -0.1325 -0.0001 -0.0000
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Matemáticas Especiales
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Tomando estos 3 primeros términos de la sumatoria, la gráfica de la solución de la vibración en estado permanente es:
♦ Circuitos R-L-C
Otra aplicación práctica de las series de Fourier se presenta en la solución de problemas con circuitos R-L-C. El análisis de circuitos eléctricos en serie, tal como el que se muestra en la figura 2.5, se basa en la segunda ley de Kirchhoff: la suma algebraica de las diferencias de potencial alrededor de cualquier circuito cerrado en una red eléctrica es cero. Aplicando las leyes de la electricidad se tiene que:
• Caída de voltaje en una resistencia: ∆v = iR • Caída de voltaje en un condensador: ∆v =
2 C
• Caída de voltaje en una inductancia: ∆v = L
t
∫ idt di dt
Por lo cual se obtiene: L
di dt
+ iR +
1 C
t
∫ idt = E (t ) .
Figura 2.5. Circuito R-L-C.
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(2.61)
Matemáticas Especiales
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Si se toma como variable independiente Q
=
t
∫ idt ,
la ecuación (2.61) se puede
expresar como: 2
L
d Q dt 2
+ R
dQ dt
+
1 C
Q
= E (t ) ,
(2.62)
donde Q es la integral del flujo de corriente que entra al condensador y se puede interpretar como la carga instantánea del condensador. Nótese que la ecuación diferencial (2.62) es igual a la ecuación (2.58), por lo tanto, la solución será también de forma similar. La solución estará compuesta de una solución transitoria que resulta de solucionar la ecuación diferencial homogénea, y una solución permanente o de estado estable que se obtiene de forma sencilla expandiendo la función E (t ) en términos de una serie de Fourier.
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