Plan de clase Inicio
• Competencias • Mo0vación. • Saberes previos.
• Prueba de hipótesis para el cociente de dos varianzas poblacionales. • Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales con Contenido de varianzas conocidas. sesión • Ejercicios resueltos.
Cierre
• Retroalimentación. • Autoevaluación
Competencias Al termino de la sesión, el e s t u d i a n t e e s t a r á e n capacidad de: Ø Realiza pruebas de hipótesis para el cociente de dos varianzas poblacionales en problemas contextualizados. Ø Realiza pruebas de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales con varianzas conocidas en problemas.
Pruebas de hipótesis para la igualdad de varianzas poblacionales Supuestos para realizar la prueba • Poblaciones normales • Muestras independientes
PASOS
1. Hipótesis
UNILATERAL A LA IZQUIERDA
H0 :
σ 12 ≥ σ 22
H1 :
σ 12 < σ 22
BILATERAL
UNILATERAL A LA DERECHA
H0 :
σ 12 = σ 22
H 0 : σ 12 ≤ σ 22
H1 :
σ 12 ≠ σ 22
H1 : σ 12 > σ 22
2. Nivel de significación 3 . E s t a d í s 0 c o de Prueba 4. Valor crí0co 5. Decisión Rechazar H0 si:
S12 Fc = 2 S2
Fcal < Fn1 −1, n2 −1; 1−α
≈
También :
Fn1−1, n 2−1
Fcal < Fn1 −1, n2 −1; 1−α o Fcal > Fn1 −1, n2 −1; α
Fn , m ,α =
1 Fm , n ,1−α
Fcal > Fn1 −1, n2 −1; α
Ejemplo 1 Oswaldo Clark acaba de adquirir dos fábricas de papel y está p r e o c u p a d o p o r q u e c r e e q u e 0 e n e n u n a v a r i a b i l i d a d significa0vamente diferente en sus producciones, aún cuando las dos plantas producen aproximadamente la misma can0dad promedio de papel cada día. La siguiente información se obtuvo para ver si las preocupaciones del señor Clark son jus0ficadas. Al nivel de significación del 5% ¿las dos plantas revelan la misma variabilidad en su producción?
Planta A B
Tamaño muestra 31 26
Varianza 984 toneladas cuadrado 1136 toneladas cuadrado
“LO QUE ESCUCHO LO OLVIDO. LO QUE VEO LO RECUERDO. PERO LO QUE HAGO, LO
1.-‐ Hipótesis nula:
σ 12 = σ 22
H0 :
Preocupación Sr. Clark no jus0ficada
Hipótesis alterna H1 :
σ 12 ≠ σ 22
Preocupación Sr. Clark jus0ficada La variable de estudio producción (X), y se distribuye como una normal.
2.-‐ ! = 0.05
3.-‐ Estadís0co de prueba S12 FC = 2 S2
5.-‐ Decisión
≈ 0.87
4.-‐ Valor crí0co
0.87
F 30; 25; 0.025= 2.18 F 30; 25; 0.975=
1 F 25;30; 0.025
=
1 = 0.472 2.12
Como Fc = 0.87 ∈ < 0.472,2.18 >, no se rechaza H 0 .
Decisión: A un nivel de significación del 5%, no existe suficiente evidencia estadís0ca para rechazar que la variabilidad de la producción en ambas plantas son iguales; por lo tanto, la preocupación del Sr. Clark no está jus0ficada.
Ejemplo 2 Las ventas medias semanales de las llantas PS214 en dos 0endas A y B de servicios, son aproximadamente iguales. Sin embargo el gerente de ventas de la 0enda B cree que sus ventas son más consistentes. A con0nuación se presenta el número de llantas PS214 que se vendieron en las úl0mas 10 semanas en la 0enda A y durante las úl0mas 11 semanas en la 0enda B.
Tienda A Tienda B
32 39
35 38
34 40
35 42
32 45
30 44
33 35
31 32
31 36
33 38
37
Suponga que las ventas en cada 0enda se distribuye como una normal y que las muestras son independientes. Al nivel de significancia de α =0.05, ¿son homogéneas las varianzas de las ventas semanales.
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales Supuestos para realizar la prueba • Poblaciones normales • Muestras independientes
Caso A: Cuando las varianzas poblacionales son conocidas
(σ
PASOS 1. Planteamiento de hipótesis
y σ 22
2 1
UNILATERAL A LA IZQUIERDA
H0 : µ 1 − µ 2 ≥ µ H1 : µ 1 − µ 2 < µ
son conocidas BILATERAL
0 0
)
UNILATERAL A LA DERECHA
H 0 : µ1 − µ 2 = µ 0
H0 : µ 1 − µ 2 ≤ µ
H1 : µ1 − µ 2 ≠ µ 0
H1 : µ 1 − µ 2 > µ 0
2. Nivel de significación: α
3. Estadís0co de Prueba
4. Valor críIco 5. Decisión
Z cal =
( x1 − x 2 ) − µ 0
σ
2 1
n1 Rechazar H0 si: Zcal < Za
+
σ
2 2
≈
N (0,1)
n2
Rechazar H0 si:
Zcal < Za/2 o Zcal > Z1-‐a/2
Rechazar H0 si: Zcal > Z1-‐a
0
Ejemplo 3 Un estudio estadís0co sobre el uso de cajeros automá0cos indica que el monto diario (en dólares) de los movimientos tanto para varones y mujeres 0enen distribución normal con la misma media y con varianza respec0vas de 64 y 49 dólares2. Sin embargo la inferencia respecto a la igualdad de las medias es poco creíble. Para inves0gar más al respecto, se seleccionaron aleatoriamente los montos de los movimientos de 20 varones y 25 mujeres dando las medias respec0vas de 200 y 205 dólares. Al nivel de significancia del 1%, ¿se puede concluir que las medias en ambos grupos son diferentes?
Solución 1. Planteamiento de hipótesis
5. Decisión
H 0 : µ1 − µ 2 = 0 H1 : µ1 − µ 2 ≠ 0
2. α = 0.01
3. Estadís0co de prueba
Como Zcal = -‐2.51 se encuentra en ( x1 − x 2 ) − µ 0 ( 200 − 205) − 0 la región de rechazo, entonces Z cal = = 64 19 σ 12 σ 22 NO se rechaza H0, con un nivel de + + 20 25 n1 n2 significancia del 1%. Es decir, el movimiento diario en los cajeros Z cal = −2.51 automá0cos tanto para varones 4. Valores crí0cos como mujeres es el mismo.
Z0 = Z1-a/2 = 2.58 -‐ Z0 = Za/2 = -‐2.58
Caso B: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales
(σ 12
y σ 22
PASOS 1. Planteamiento de hipótesis
no se conocen, UNILATERAL A LA IZQUIERDA
H0 : µ 1 − µ 2 ≥ µ H1 : µ 1 − µ 2 < µ
pero son estadísticamente iguales) BILATERAL
0 0
UNILATERAL A LA DERECHA
H 0 : µ1 − µ 2 = µ 0
H0 : µ 1 − µ 2 ≤ µ
H1 : µ1 − µ 2 ≠ µ 0
H1 : µ 1 − µ 2 > µ 0
2. Nivel de significación: α
tc =
3. Estadís0co de Prueba
4. Valor críIco 5. Decisión
Rechazar H0 si:
t cal < t n1+ n 2 − 2; α
( x1 − x2 ) − µ0 (n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S22 n1 + n2 − 2
Rechazar H0 si:
t cal < t n1+ n 2 − 2; α / 2 o t cal > t n1+ n 2 − 2; 1−α / 2
⎛1 1 ⎞ ⎜ + ⎟ ⎝ n1 n2 ⎠
Rechazar H0 si:
t cal > t n1+ n 2 − 2; 1−α
0
Ejemplo 4 El dueño de una panadería tradicional, está preocupado porque sospecha que uno de sus hornos está produciendo panes con mayor cantidad de ceniza. Con la finalidad de comparar la calidad de pan francés producido por dos hornos A y B, se han medido mediante análisis en laboratorio el porcentaje de ceniza en 10 unidades de pan provenientes de cada uno de los hornos, si se demuestra que el porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno A supera al porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno B en más de 0.2%, entonces tendrá que realizar un proceso de mantenimiento al horno afectado, deteniéndose su producción. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Al nivel de significancia del 5%, ¿Hay suficiente evidencia para afirmar que el porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno A supera al porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno B en más de 0.2%?
A B
1 1.77 1
2 1.69 1.3
3 1.9 1.47
4 1.87 1.6
5 1.4 0.96
6 1.4 1.14
7 2 1.65
8 2.9 1.76
9 2.5 1.69
10 1.9 1.65
Solución Prueba de igualdad de varianzas utilizando Minitab Test Method DF1 DF2 Sta0s0c P-‐Value F Test (normal) 9 9 2.37 0.214 Ho: La can0dad de ceniza producida por ambos hornos son homogéneos. H1: La can0dad de ceniza producida por ambos hornos NO son homogéneos. Como p-‐valor = 0.214 > α = 0.05, entonces no se rechaza Ho. Es decir, la can0dad de ceniza en ambos hornos son homogéneas.
Paso 1: H0: µ1-µ2 ≤0.2 H1: µ1-µ2 >0.2 Paso 2: α = 0.05 Paso 3: TCal =
(x 1 − x 2 ) − µ 0 ⎛ (n1 − 1) S + (n 2 − 1) S ⎜⎜ n1 + n 2 − 2 ⎝ 2 1
2 2
⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎠ ⎝ n1 n 2 ⎠
= 1.79
Paso 5: Como el Tcal = 1.79 > T0 = 1.734, se rechaza H0. Con un nivel de significancia del 5%, existe evidencia estadística para afirmar que el porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno A supera al porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno B en más de 0.2%. Por lo tanto, se tendrá que realizar un proceso de mantenimiento al horno A.
Caso C: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero diferentes
(σ 12
y σ 22 Pasos
1. Planteamiento de hipótesis
no se conocen,
pero son estadísticamente diferentes)
UNILATERAL A LA IZQUIERDA
H0 : µ 1 − µ 2 ≥ µ H1 : µ 1 − µ 2 < µ
UNILATERAL A LA DERECHA
BILATERAL
0 0
H 0 : µ1 − µ 2 = µ 0
H0 : µ 1 − µ 2 ≤ µ
H1 : µ1 − µ 2 ≠ µ 0
H1 : µ 1 − µ 2 > µ 0
2. Nivel de significación: α
3. EstadísIco de Prueba
Tcal =
4. Valor críIco 5. Decisión
Rechazar H0 si:
Tcal < tg,
!
( x1 − x 2 ) − µ 0 S12 S 22 + n1 n2
Rechazar H0 si: Tcal < tg, !/2 o Tcal > tg, 1!/2
2
⎛ S12 S2 ⎞ ⎜⎜ + 2 ⎟⎟ n2 ⎠ ⎝ n1 g= −2 2 2 ( S1 / n1 ) ( S 22 / n2 ) 2 + n1 + 1 n2 + 1
Rechazar H0 si: Tcal > tg, 1-!
0
Problema 5 Las ventas medias semanales de las llantas PS214 en dos 0endas A y B de servicios, son aproximadamente iguales. Sin embargo el gerente de ventas de la 0enda B cree que sus ventas son más consistentes. A con0nuación se presenta el número de llantas PS214 que se vendieron en las úl0mas 10 semanas en la 0enda A y durante las úl0mas 11 semanas en la 0enda B. Tienda A Tienda B
32 39
35 38
34 40
35 42
32 45
30 44
33 35
31 32
31 36
33 38
37
Suponga que las ventas en cada 0enda se distribuye como una normal. Al nivel de significancia de α =0.05
¿Está usted de acuerdo con el gerente de la 0enda B?
Prueba de Hipótesis para la igualdad de proporciones: !1 -‐ !2 = !0 PASOS
1. Hipótesis
UNILATERAL A LA IZQUIERDA
H0 : π1 − π 2 ≥ π 0 H1 : π 1 − π 2 < π 0
BILATERAL
H : π − π 0 1 2 H1 : π 1 − π 2
UNILATERAL A LA DERECHA
= π0
H0 : π1 − π 2 ≤ π 0
≠ π0
H1 : π 1 − π 2 > π 0
2. Nivel de significación 3. Estadístico de Prueba
4. Valor críIco 5. Decisión
ZC =
Z cal < Z α
( p1 − p2 ) − p0 ⎛ p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 ) ⎞ + ⎜ ⎟ n n ⎝ 1 2 ⎠
Z cal < Z α / 2 o Z cal > Z 1−α / 2
Z cal > Z 1−α
Ejemplo 6 El jefe de calidad afirma que la proporción de unidades defectuosas del proveedor A es mayor que la del proveedor B en más de 3%. Si dos muestras aleatorias independientes de 200 unidades del producto de cada proveedor han dado 30 y 17 unidades defectuosas respec0vamente para A y B , ¿Esta usted de acuerdo con la afirmación del jefe de calidad? Use un nivel de significancia del 5%.
1.-‐ Hipótesis nula:
H 0 : π 1 − π 2 ≤ 0.03 El jefe de calidad no 0ene la razón
Hipótesis alterna
H1 : π 1 − π 2 > 0.03 El jefe de calidad 0ene la razón
2.-‐ ! = 0.05
3.-‐ Estadís0co de prueba Z cal =
(P A − PB ) − π 0 PA(1 − PA ) nA
+
4.-‐ Valor crí0co Z1−α = 1.64
PB(1 − PB ) nB
=
(0.15 0.15(1
− 0.085) − 0.03
− 0.15)
200
+
0.085(1
− 0.085)
= 1.09
200
5.-‐ Decisión Como zcal = 1.09 < z0 = 1.64, no se rechaza H0. Con un nivel de significancia del 5%, no existe evidencia estadística que apoye la afirmación del jefe de calidad.
