Plan de clases:
Inicio
• Motivación. • Competencias • Saberes previos. previos. • Definiciones básicas • Prueba de hipótesis para la media:
"#$%&'())*+$
"*,'',
• Cuando la varianza es conocida • Cuando la varianzas es desconocida
• Prueba de hipótesis para la proporción • Prueba de hipótesis para verificar normalidad (vía minitab) • Retroalimentación. • Autoevaluació Autoevaluación n
Competencias "# $%&'()* +% #, -%-(.)/ %# %-$0+(,)$% %-$,&1 %) 2,3,2(+,+ +%4 !5,#20#,&
% ()$%&3&%$,& #*%&&*&%- 63* 7 8 63* 779
!: * & ' 0 # , &
% ()$%&3&%$,& ,3&*3(,+,'%)$% 3&0%;,- +% <(3.$%-(- 3,&, 0) 3,&1'%$&* 2*) #, =),#(+,+ +% $*',& +% +%2(-(*)%-9
-.(/ ,% ($0 1*2+&,%*% ,%&034%5)06
>), <(3.$%-(- %-$,+?-62, %- 0) %)0)2(,+* ,2%&2, +% #, ),$0&,#%@, +% 0), 3*;#,2(.)9 A&()2(3,#'%)$%/ -% B*&'0#, %) $C&'()*- +% -03,&1'%$&*-4 '%+(, DEF/ G,&(,)@, D 7 F/ 3&*3*&2(.) D !F/ %$29 -.(/ ,% ($0 2'(,80 3, 9*2+&,%*%6 H- 0) 3&*2%+('(%)$* I0% -(&G% 3,&, 2*)$&,-$,& 0), <(3.$%-(%-$,+?-62,9 H-$,- 3&0%;,- ,80+,) , +%$%&'(),& -( #, <(3.$%-(- %- 0) %)0)2(,+* &,@*),;#% 8 )* +%;% &%2<,@,&-% * -( )* %- &,@*),;#% 8 +%;% &%2<,@,&-%9
H- 0) 3&*2%+('(%)$* ;,-,+* %)4 J HG(+%)2(, +% #, '0%-$&, J K%*&?, +% 3&*;,;(#(+,+%-
Tipos de Hipótesis •
Hipótesis Nula (H0) H- #, 2&%%)2(, ,3&(*&( I0% )* -% &%2<,@, , '%)*- I0% #*- +,$*'0%-$&,#%- 3&0%;%) #* 2*)$&,&(*9
• H- #, <(3.$%-(- +% #, L(M0,#+,+N9 • H- #, <(3.$%-(- , 2*)$&,-$,&9 • O#%G, #*- -(M)*- (M0,#/ ',8*& * (M0,# 8 '%)*& * (M0,#9 :;,<2=#> 1?> @ A BC
Hipótesis Alterna (H1)
• •
H- #, <(3.$%-(- +%# ()G%-6M,+*&9
•
O#%G, #*- -(M)*- +(B%&%)$%/ ',8*& * '%)*& D P/ Q * RF9
H- #, <(3.$%-(- I0% I0%&%'*3&*;,& 2*'* G%&+,+%&,9
:;,<2=# 1D> @ E BC
Ejemplos de cómo plantear las hipótesis 1. La concentración promedio de Zinc en el agua es de 1.65. 1?>@ A DFBC 1D> @ E DFBC
2. El tiempo de vida promedio de una Tablet es menor de 20000 horas. ST4 E U VTTTT SW4E R VTTTT 3. El porcentaje de artículos defectuosos de un proceso de empacado es mayor al 10%. ST4 X Y T9WT SW4 X Q T9WT
Tipos de Errores H&&*& 63* 7 DZF J [%2<,@,& 0), <(3.$%-(- )0#, 20,)+* %- G%&+,+%&,9 J O, 3&*;,;(#(+,+ +% 2*'%$%& %# %&&*& +%# K(3* 7 %- (M0,# ,# )(G%# +% -(M)(=2,)2(, Z9 J O, 3&*;,;(#(+,+ +% )* 2*'%$%& %# H&&*& K(3* 7 %- (M0,# , W\ Z
H&&*& K(3* 77 D!F J "2%3$,& D)* &%2<,@,&F 0), <(3.$%-(- )0#, 20,)+* %- B,#-,9 J O, 3&*;,;(#(+,+ +% 2*'%$%& 0) %&&*& K(3* 77 %- (M0,# , !9 J O, 3&*;,;(#(+,+ +% )* 2*'%$%& 0) H&&*& K(3* 77 %- (M0,# , W\ !9
Resumen de las situaciones posibles en una prueba de hipótesis: Decisión
Ho es verdadera
Ho es falsa
!"#$%& () 1#"+&2& ()
*) +&, #--).--)- %/$) 0
.--)- %/$) 00 *) +&, #--)-
Procedimiento para llevar a cabo una prueba de hipótesis DF G=0$&,0' =0% 9*2+&,%*% ]%=)(& #,- <(3.$%-(- )0#, 8 ,#$%&), $&,+02(+, , #%)M0,^% %-$,+?-62* 7F
H*;0' ,= $*I,= 3, %*J$*K)0$)*0 L O*- G,#*&%- '1- 0-,+*- -*)4 T9TW/ T9T_/ T9WT9
MF
"0=)(=0' ,= I0=#' 3,= ,%&034%5)# 3, 2'(,80 A0%+% -%&4 `/ K/ aV / :/ %$29
NF
:%&08=,),' =0 ',J*+$ 3, ',)90O# b;$%)%& %# G,#*& 2&?62* 8 %-$,;#%2%& #, &%M(.) +% &%2<,@* 3,&, S T9
CF P,)*%*+$> c,2,& 2*)2#0-(*)%- %) ;,-% , #, %G(+%)2(, '0%-$&,# 8 $*',& #, +%2(-(.) 2*&&%-3*)+(%)$%9
Prueba de Hipótesis para la media poblacional PASOS 1. Hipótesis 2. Nivel de significación
UNILATERAL A LA IZQUIERDA H 0 : µ ! µ 0
H 0 : µ
µ 0
H 0 : µ ! µ 0
H1 : µ < µ 0
H1 : µ ! µ 0
H1 : µ > µ 0
(! Z cal
=
puede ser 0.01, 0.05, 0.10, etc ) Si s es conocido
3. Estadístico de prueba
UNILATERAL A LA DERECHA
BILATERAL
x =
#
"
/
µ
!
n
N (0,1)
Si s es desconocido T cal
x =
!
S /
µ n
"
t ( n
1)
!
4. Región de rechazo Rechazar H 0 si Zcal < Z Rechazar H 0 si Tcal < T(n-1,
5. Decisión
Rechazar H0 si |Zcal| > Z1Rechazar H si |T | > T
a/2
a
)
a
Rechazar H0 si Zcal > Z1Rechazar H si T > T
a
EJERCICIO 1 >), '1I0(), %-$1 2,#(;&,+, 3,&, %';*#-,& 2%&%,#%- 2*) 0) 3%-* 3&*'%+(* +% _TT M&9 5,+, 2(%&$* 6%'3* %# ^%B% +% 2*)$&*# +% 2,#(+,+ &%,#(@, 0), ()-3%22(.) 3,&, +%$%&'(),& -( +%;% ',)+,& , 2,#(;&,& #, '1I0(),9 A,&, $*',& 0), +%2(-(.)/ %# ^%B% $*'. 0), '0%-$&, ,#%,$*&(, +% de ;*#-,- 8 %)2*)$&. 0) 3&*'%+(* +% fge9_ M&9 h" I0% 2*)2#0-(.) ##%M,&1 %# ^%B% +% 2*)$&*# +% 2,#(+,+/ -( -03*)%'*- I0% %# 3%-* -% +(-$&(;08% )*&',#'%)$% 2*) 0), +%-G(,2(.) %-$1)+,& +% g M&9i >-% 0) _j +% -(M)(=2,)2(,9
SOLUCIÓN 1.- Hipótesis nula: H 0 : µ
=
Hipótesis alterna
500
H 1 : µ ! 500
La máquina esta calibrada (las bolsas de cereal pesan en promedio 500 gr.)
2.-
La máquina no esta calibrada (las bolsas de cereal no pesan en promedio 500 gr.)
= 0.05
3.- Estadístico de prueba Z cal
=
x ! µ " /
n
=
496.5 ! 500 9/
36
=
!2.33
4.- Valor crítico Z0 = Z1- /2 = Z0.975 = 1.96 !
Como Zcal= -2.33< Z 0= -1.96, se rechaza H0.
5.- Decisión
EJERCICIO 2 H# 3&*+02$*& ,&$%-,),# +% ,+*&)*- +% -,#, ,=&', I0% %# )k'%&* 3&*'%+(* +% ,&l20#*3&*+02(+*- 3*& 2,+, 0)* +% -0- ,&$%-,)*- %- +% VVT ,+*&)*- %) 0), -%',),9 >) )0%G* ',$%&(,# <, -(+* ()2#0(+* %) -0 3&*+022(.) 2*) #* I0% -% %-3%&, I0% #, 3&*+022(.) +% ,+*&)*- %) 0), -%',), -%, -03%&(*& , VVT9 A,&, $,# 3&0%;, -% 2*)-(+%&, 0), '0%-$&, ,#%,$*&(, +% #, 3&*+022(.) +% ,+*&)*- %) 0), -%',), %) #, -(M0(%)$% '0%-$&,4 VWm Vdd
VVd Vd_
VV_ VfV
Vf_ VWg
Vdn VVW
VWe Vdf
VWm Wgg
VVe Vde
VTV Vfn
VWn VVf
hS,;&1 -0=2(%)$% %G(+%)2(, %-$,+?-62, 3,&, ,3*8,& #, ,=&',2(.) +%# ,&$%-,)*i o0-6=2,& -0 &%-30%-$, 2*) 0) ZpT9T_
SOLUCIÓN Por dato del problema, se sabe que es desconocido; por lo tanto, se tiene que estimar su valor con los datos de la muestra. A partir de los datos se obtiene la media y desviación estándar de la siguiente manera: n
! x
i
x
=
i 1 =
225.90
=
n n
" x
i
s
s
2 =
=
! n x
2
i 1 =
=
n !1
171.348
=
171.3481
113.09
1.- Hipótesis nula:
Hipótesis alterna H 1 : µ
H 0 : µ ! 220 El artesano no tiene la razón
2.-
>
220 El artesano tiene la razón
= 0.05
3.- Estadístico de prueba T c
=
x ! µ S /
n
=
225.90 ! 220 13.09 /
20
=
2.02
4.- Valor crítico t t = t n !1;1!" / 2
=
t 19; 0.975
=
1.7291
5.- Decisión Como Tc= 2.02 < TT=1.7291, se rechaza H0.
Con un nivel de significación del 5%, existe evidencia estadística para concluir que la produccion promedio de los artesanos es mayor a 220. Es decir el artesano tiene la razón).
Prueba de hipótesis para la proporción poblacional PASOS
UNILATERAL A LA IZQUIERDA
1. Hipótesis 2. Nivel de significación 3. Estadístico de Prueba
(!
UNILATERAL A LA DERECHA
BILATERAL 0
H 0
: ! " !
0
H 1
: ! > !
H 0
: ! " !
H 0
: !
H 1
: ! < !
H 1
: ! " !
0
=
0
!
0
0
puede ser 0.01, 0.05, 0.10, etc) Z cal
=
p " ! 0 ! 0
(1 " ! 0 ) n
4. Región de rechazo Rechazar H0 si Zcal < Z
a
Rechazar H0 si |Zcal| > Z1
-a/2
Rechazar H0 si Zcal > Z1
-a
EJERCICIO 3 H# ^%B% +% 3&*+022(.) +% 0), B,;&(2, +% <(#*- %G,#0, -( #*- #*$%- I0% 3&*+02%) 6%)%) #, 2,#(+,+ %-3%&,+,9 O*- <(#*- 3&*+02(+*- 6%)%) 0), $*#%&,)2(, +%# _j +% ,&l20#*- +%B%2$0*-*-9 c( <,8 %G(+%)2(, I0% %'1- +%# _j -% 2*)-(+%&,&, #, %G,#0,2(.) 8 ',)$%)('(%)$* +% #, ',I0(),&(,9 A,&, $*',& 0), +%2(-(.) -% %#(M% 0), '0%-$&, ,#%,$*&(, +% e_T S(#*- 8 -% %)20%)$&,) I0% eWT )* -*) +%B%2$0*-*-9 h501# -%&1 #, +%2(-(.)i >-% ,#B, p T9TW9
A&0%;, +% S(3.$%-(W9\ Hipotesis
T9T_ !&# p ' T9T_ !"# p %
O, 3&*3*&2(.) +% <(#*- +%B%2$0*-*- rb %- -03%&(*& ,# _j9 O, 3&*3*&2(.) +% <(#*- +%B%2$0*-*- %- -03%&(*& ,# _j9
V9\ Nivel de significancia ! p T9TW d9\ Estadístico de prueba Z cal
=
P ! "
=
(1 ! " )
"
n
0.0615 ! 0.05 0.05(1 ! 0.05)
=
1.345
650
f9\ Valor crítico
Z0 = Z1- /2 = Z0.995 = 2.33 !
_9\ Decisión Como Zcal = 1.345 < Z0 =2.33, no se rechaza H0.
5*) 0) )(G%# +% -(M)(=2,2(.) +%# Wj/ )* %q(-$% -0=2(%)$% %G(+%)2(, %-$,+?-62, 3,&,
P-VALOR ¿Cómo calcular el p-valor? UNILATERAL A LA IZQUIERDA
BILATERAL
UNILATERAL A LA DERECHA
p ! valor F ( Z cal ) p ! valor 2(1 ! F ( Z cal ) ) p ! valor 1 ! F ( Z cal ) =
=
=
¿Cómo interpretar? Si p-valor < !,
se rechaza Ho
Si p-valor > !,
no se rechaza Ho
¿Qué significa? El “p-value” llamado el nivel de significación observado, es el mínimo valor de ! al cual se rechazaría la hipótesis nula. Un “p-value” cercano a 0 indica que es muy poco
PRUEBA DE NORMALIDAD: ANDERSON DARLING (con Reporte Minitab) La prueba de Normalidad se utiliza para verificar si los provienen o no de una población con distribución normal.
Hipótesis
Ho: La variable se distribuye como una distribución normal H1: La variable no se distribuye como una distribución normal Nivel de significación:
(!
puede ser 0.01, 0.05, 0.10, etc )
Decisión: Si p-valor < !, se rechaza Ho Si p-valor > !, no se rechaza Ho
datos
EJERCICIO 4 Verificar si los siguientes datos se distribuyen como una normal. Q n g m m n g WW WV Wd n g WT
1.- Planteamiento de hipótesis H 0 : L a v a r i a b l e a l e a t o r i a s e comporta como una distribución normal H1: La variable aleatoria no se comporta como una distribución normal.
2.- Nivel de significación: ! =0.05
Probability Plot of x Normal 99 M ean StDev N
95
AD
90
P-Value
80 70 t n 60 e c 50 r e 40 P 30 20
3.- Decisión Como p-valor=0.228 > 0.05, entonces no se rechaza Ho. Es decir, con un nivel de significación de 5% los datos se distribuyen como una normal.
10 5
1
5
6
7
8
9
10
x
11
12
13
14
9. 25 1.913 12 0.449 0.228
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA VARIANZA PASOS
UNILATERAL A LA IZQUIERDA H 0 : !
1. Hipótesis 2. Nivel de significación 3. Estadístico de Prueba
H 1 : !
(!
2
2
UNILATERAL A LA DERECHA
BILATERAL
2
2
" ! 0
2
H 0 : !
2
=
2
< ! 0
! 0 2
H 1 : !
" ! 0
puede ser 0.10, 0.05, etc) 2
# cal
( n 1) s 2 !
=
"
2 $ 0
2
# n
1
!
4. Región de rechazo
5. Decisión
2
" cal
<
2
"
/
o
H 0 : H 1 :
! !
2
2
2
" ! 0
2
> ! 0
EJERCICIO 5 H# 2*)$%)(+* +% '*).q(+* +% 2,&;*)* D%) '(#(M&,'*-F I0% 2*)6%)% 0), ',&2, +% 2(M,&&(##*- %- 0), G,&(,;#% ,#%,$*&(, I0% -(M0% 0), +(-$&(;02(.) )*&',# 8 %- %-$0+(,+, 3*& 0) ,),#(-$, +% #,;*&,$*&(* 2*) =)%- +% ()G%-6M,2(.)9 O, %'3&%-, I0% 3&*+02% %-$*- 2(M,&&(##*- ,=&', I0% #, +%-G(,2(.) %-$1)+,& +%# 2*)$%)(+* +% '*).q(+* +% 2,&;*)* %- +% W9V '(#(M&,'*-9 c% -%#%22(*), 0), '0%-$&, ,#%,$*&(, +% dT 2(M,&&(##*- 8 -% *;6%)% I0% #, +%-G(,2(.) %-$1)+,& %- +% V9WT '(#(M&,'*-9 "# )(G%# +% -(M)(=2,2(.) +% T9T_ h%q(-$% %G(+%)2(, +% I0% #, +%-G(,2(.) %-$1)+,& +% 2*)$%)(+* +% '*).q(+* +% 2,&;*)* %) #*- 2(M,&&(##*- %- -03%&(*& , W9V '(#(M&,'*-i
SOLUCIÓN W9\ Hipótesis H 0
:
H 1
:
2
! 1.2
"
2
!
O, G,&(,)@, )* %- ',8*& I0% W9V V
2
> 1.2
2
O, G,&(,)@, %- ',8*& I0% W9V V
V9\ Nivel de significancia ! p T9T_ d9\ Estadístico de prueba 2
# cal
=
( n ! 1) S 2 2
" 0
=
(30 ! 1) 2.12 1.2 2
=
88.81
f9\ Valor crítico 2
2
" 1!# " 1!0.05 =
=
"
2 0.95
=
42. 6
_9\ Decisión 2
2
5*'* # cal = 88.81 > # 1!" = 42.6, -% &%2<,@, #, <(3.$%-(- )0#,s 3*& #* $,)$*/ %q(-$% %G(+%)2(, %-$,+?-62, 3,&, ,=&',& I0% #, +%-G(,2(.) %-$1)+,& +%# 2*)$%)(+* +% '*).q(+* +% 2,&;*)* %) #*- 2(M,&&(##*- %- -03%&(*& , W9V '(#(M&,'*-9
EJERCICIO 6 H# 6%'3* '%+(* I0% $,&+, %) -%2,& 0), )0%G, ',&2, +% 3()$0&, %-$, -(%)+* %G,#0,+*9 O, 3()$0&, I0% -% 06#(@. 3&%-%)$. 0), '%+(, +% f9_ '()0$*- 8 0), G,&(,)@, +% T9Te '()0$*-V9 c( %# 6%'3* +% -%2,+* +% #, )0%G, 3()$0&, &%-0#$, '1- %-$,;#% %) -0 G,&(,;(#(+,+ %) 2*'3,&,2(.) 2*) #, ,)$%&(*&/ %-$, -%&1 &%'3#,@,+,9 A,&, $*',& #, +%2(-(.) %-2*M(. 0), '0%-$&, ,#%,$*&(, -('3#% +% WT 6%'3*- +% -%2,+* 06#(@,)+* #, )0%G, 3()$0&, 8 -% *;$0G* #,- -(M0(%)$%- '%+(2(*)%- %) '()0$*-4 f9__
f9dT
f9f_
f9fn
f9_g
f9_d
f9de
_9WT
f9fT
f9dn
h]%;%&?, 2,';(,&-% #, 3()$0&, 3*& #, )0%G, ',&2,i >-% ,#B, p T9T_ 8 G%&(=I0% I0% %# 6%'3* +% -%2,+* -% +(-$&(;08% 2*'* 0), )*&',#9
Calculo de la desviación estándar:
s
=
0.2252
A&0%;, +% S(3.$%-(O, G,&(,;#% +% %-$0+(* %- tiempo que tarda en secar una nueva marca de pintura 8 -% +(-$&(;08% 2*'* 0), )*&',#9
W9\ Las Hipotesis H 0
H 1
2
:
! 0.06
"
2
:
!
>
0.06
V9\ Nivel de significancia ! p T9T_ d9\ Estadístico de prueba 2
# calc
=
(n ! 1) S 2 2
=
(10 ! 1) 0.2252 2
" 0
0.06
=
7.607
f9\ Valor crítico 2
! 9, 0.05
=
3.33
_9\ Decisión 5*'*4
2
# C
=
7.607
>
2
# 1!"
=
3.33
Decisión: Por lo tanto, llegamos a rechazar la hipótesis nula; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el tiempo de secado de la nueva pintura resulta más variable en comparación con el anterior.
Bibliografía:
1.- Alvarado, J., Obagi, J. (2008) Fundamentos de la Inferencia Estadística. Ed. Pontificia Universidad Javeriana 1ra. Edición. Colombia. 2.- Anderson, S. (2008) Estadística para Administración y Economía. Cengage Learning 8va. Edición. México 3. Mendehall, W. (2008) Introducción a la Probabilidad y Estadística. Thomson 12° Edición. México
