ESTADISTICA INFERENCIAL PRUEBAS DE HIPOTESIS EJERCICIOS RESUELTOS DESVIACIÓN ESTÁNDAR POBLACIONAL CONOCIDA 1. Heinz, un fabricante de cátsup, utiliza una máquina para vaciar 16 onzas de su salsa en botellas. A partir de la experiencia de varios años con la máquina despachadora, Heinz sabe que la cantidad del producto en cada botella tiene una distribución normal con una media de 16 onzas y una desviación estándar de 0.15 onzas. Una muestra de 15 botellas llenadas durante la hora pasada reveló que la cantidad media por botella era de 16.017 onzas. ¿La evidencia sugiere que la cantidad media despachada es diferente de 16 onzas? Utilice un nivel de significancia de 0.05. a. Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b. Escriba el estadístico de prueba correspondiente. c. La prueba de hipótesis es de una o dos colas y explique por qué. d. Determine el (los) valor(es) crítico(s) de la zona e. Determine el valor del estadístico de prueba f. Dibuje la zona de decisión g. ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? h. Interprete, en un enunciado, el resultado de la prueba de hipótesis. SOLUCIÓN a. La hipótesis nula y la hipótesis alternativa son las siguientes
H 0 : 16 H1 : 16
b. El estadístico de prueba que se utilizará es el de z, ya que se conoce la desviación estándar de la población ( = 0.15).
z
x n
c. La prueba de hipótesis será de dos colas, ya que la hipótesis alternativa indica que solo buscamos que la media poblacional sea diferente () a 16 onzas. d. Con un 95% de confianza (ya que el nivel de significancia =0.05) los valores críticos (z0) serán: -1.96 y 1.96. e. El valor del estadístico de prueba es
z f.
16.017 16 0.439 0.15 15
Zona de no rechazo
-1.96
z=0.439 1.96
g. Ya que z se encuentra adentro de la zona de no rechazo, no podemos rechazar H0. h. Con un 95% de confianza podemos asegurar que la cantidad media despachada es de 16 onzas. 2. El fabricante de llantas radiales con cinturón de acero X-15 para camiones señala que el millaje medio que la llanta recorre antes de que se desgasten las cuerdas es de 60000 millas. La Crosset Truck Company compró 48 llantas y encontró que el millaje medio para sus camiones es de 59500 millas. ¿La experiencia de Crosset es diferente de lo que afirma el fabricante en el nivel de significancia de 0.05? a. Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b. Escriba el estadístico de prueba correspondiente. c. La prueba de hipótesis es de una o dos colas y explique por qué. d. Determine el (los) valor(es) crítico(s) de la zona e. Determine el valor del estadístico de prueba f. Dibuje la zona de decisión g. ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? h. Interprete, en un enunciado, el resultado de la prueba de hipótesis. 3. Una encuesta nacional reciente determinó que los estudiantes de secundaria veían en promedio (media) 6.8 películas en DVD al mes, con una desviación estándar poblacional de 0.5. Una muestra aleatoria de 36 estudiantes universitarios reveló que la cantidad media de películas en DVD que vieron el mes pasado fue de 6.2. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿puede concluir que los estudiantes universitarios ven menos películas en DVD que los estudiantes de secundaria? a. Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b. Escriba el estadístico de prueba correspondiente. c. La prueba de hipótesis es de una o dos colas y explique por qué. d. Determine el (los) valor(es) crítico(s) de la zona e. Determine el valor del estadístico de prueba f. Dibuje la zona de decisión g. ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? h. Interprete, en un enunciado, el resultado de la prueba de hipótesis. SOLUCIÓN a. La hipótesis nula y la hipótesis alternativa son las siguientes
H 0 : 6.8 H1 : 6.8
b. El estadístico de prueba que se utilizará es el de z, ya que se conoce la desviación estándar de la población ( = 0.5).
z
x n
c. La prueba de hipótesis será de una cola (a la izquierda), ya que la hipótesis alternativa indica que buscamos que la media poblacional sea menor a 6.8 películas. d. Con un 95% de confianza (ya que el nivel de significancia =0.05) el valore crítico (z0) serán: -1.65. e. El valor del estadístico de prueba es
z
6.2 6.8 7.2 0.5 36
f.
Zona de no rechazo
z=-7.2
-1.65
g. Ya que z NO se encuentra adentro de la zona de no rechazo, se rechaza H0. h. Con un 95% de confianza podemos concluir que los estudiantes universitarios ven menos películas en DVD que los estudiantes de secundaria.
4. La cadena de restaurantes MacBurger afirma que el tiempo de espera de los clientes es de 8 minutos con una desviación estándar poblacional de 1 minuto. El departamento de control de calidad halló en una muestra de 50 en Varren Road MacBurger que el tiempo medio de espera era de 2.75 minutos. Con el nivel de significancia de 0.05, ¿puede concluir que el tiempo medio de espera sea menor que 3 minutos? a. Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b. Escriba el estadístico de prueba correspondiente. c. La prueba de hipótesis es de una o dos colas y explique por qué. d. Determine el (los) valor(es) crítico(s) de la zona e. Determine el valor del estadístico de prueba f. Dibuje la zona de decisión g. ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? h. Interprete, en un enunciado, el resultado de la prueba de hipótesis. 5. En el momento en que fue contratada como mesera en el Grumney Family Restaurant, a Beth Brigden se le dijo: “puedes ganar en promedio más de $80 dólares al día en propinas”. Suponga que la desviación estándar de la población es de $3.24 dólares. Los primeros 35 días de trabajar en el restaurante, la suma media de sus propinas fue de $84.85 dólares. Con el nivel
de significancia de 0.01, ¿la señorita Brigden puede concluir que está ganando un promedio de más de $80 dólares en propinas? a. Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b. Escriba el estadístico de prueba correspondiente. c. La prueba de hipótesis es de una o dos colas y explique por qué. d. Determine el (los) valor(es) crítico(s) de la zona e. Determine el valor del estadístico de prueba f. Dibuje la zona de decisión g. ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? h. Interprete, en un enunciado, el resultado de la prueba de hipótesis. SOLUCIÓN a. La hipótesis nula y la hipótesis alternativa son las siguientes
H 0 : 80 H1 : 80
b. El estadístico de prueba que se utilizará es el de z, ya que se conoce la desviación estándar de la población ( = 3.24).
z
x n
c. La prueba de hipótesis será de una cola (a la derecha), ya que la hipótesis alternativa indica que buscamos que la media poblacional sea mayor a 80 dólares. d. Con un 99% de confianza (ya que el nivel de significancia =0.01) el valore crítico (z0) serán: 1.65. e. El valor del estadístico de prueba es
z
84.85 80 8.856 3.24 35
f.
Zona de no rechazo
1.65
z=8.856
g. Ya que z NO se encuentra adentro de la zona de no rechazo, por lo que se rechaza H0. h. Con un 99% de confianza podemos concluir que la srita. Bridgen está ganando un promedio de más de $80 dólares en propina.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR DESCONOCIDA 6. La vida media de una batería en un reloj digital es de 305 días. Hace poco se modificó la batería para que tuviera mayor duración. Una muestra de 20 baterías modificadas exhibió una vida media de 311 días con una desviación estándar de 12 días. ¿La modificación incrementó la vida media de la batería con un nivel de significancia de 0.05? a. Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b. Escriba el estadístico de prueba correspondiente. c. La prueba de hipótesis es de una o dos colas y explique por qué. d. Determine el (los) valor(es) crítico(s) de la zona e. Determine el valor del estadístico de prueba f. Dibuje la zona de decisión g. ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? h. Interprete, en un enunciado, el resultado de la prueba de hipótesis. SOLUCIÓN a. La hipótesis nula y la hipótesis alternativa son las siguientes
H 0 : 305 H1 : 305
b. El estadístico de prueba que se utilizará es el de t, ya que se no conoce la desviación estándar de la población, pero sí el de la muestra (s = 12).
t
x s n
c. La prueba de hipótesis será de una cola (a la derecha), ya que la hipótesis alternativa indica que buscamos que la media poblacional sea mayor a 305 días. d. Con un 95% de confianza (ya que el nivel de significancia =0.05) el valore crítico (t0 de 0.05 con 19 grados de libertad) será: 1.729. e. El valor del estadístico de prueba es
t
311 305 2.236 12 20
f.
Zona de no rechazo
1.729 t= 2.236 g. Ya que t NO se encuentra adentro de la zona de no rechazo, se rechaza H0. h. Con un 95% de confianza podemos concluir que la modificación incrementó la vida media de la batería.
7. La longitud media de una pequeña barra de contrapeso es de 43 milímetros. Al supervisor de producción le preocupa que hayan cambiado los ajustes de la máquina de producción de barras. Solicita una investigación al departamento de ingeniería. Ingeniería selecciona una muestra de 12 barras y mide, encuentran una longitud media de 41.5 milímetros y una desviación estándar de 1.784. ¿Es razonable concluir que cambió la longitud media de las barras? Utilice un nivel de significancia de 0.01. a. Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b. Escriba el estadístico de prueba correspondiente. c. La prueba de hipótesis es de una o dos colas y explique por qué. d. Determine el (los) valor(es) crítico(s) de la zona e. Determine el valor del estadístico de prueba f. Dibuje la zona de decisión g. ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? h. Interprete, en un enunciado, el resultado de la prueba de hipótesis. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES 8. Suponga que a partir de las elecciones anteriores en un estado, para que sea electo un candidato a gobernador, es necesario que gane por lo menos 80% de los votos en la sección norte del estado. El gobernador en turno está interesado en evaluar sus posibilidades de volver al cargo y hace planes para llevar a cabo una encuesta de los votantes registrados en la sección norte del estado. Un sondeo de muestra de 2000 posibles electores reveló que 1550 pensaban votar por el gobernador en turno. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿el gobernador puede confiar en la reelección? a. Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b. Escriba el estadístico de prueba correspondiente. c. La prueba de hipótesis es de una o dos colas y explique por qué. d. Determine el (los) valor(es) crítico(s) de la zona e. Determine el valor del estadístico de prueba f. Dibuje la zona de decisión g. ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? h. Interprete, en un enunciado, el resultado de la prueba de hipótesis. SOLUCIÓN a. La hipótesis nula y la hipótesis alternativa son las siguientes
H 0 : p 0.8 H1 : p 0.8 b. El estadístico de prueba que se utilizará es el de z.
z
pˆ p
p 1 p n
c. La prueba de hipótesis será de una cola (a la izquierda), ya que la hipótesis alternativa indica que buscamos que la proporción poblacional sea menor a 0.8. d. Con un 95% de confianza (ya que el nivel de significancia =0.05) el valor crítico (z0) será: -1.65. e. El valor del estadístico de prueba es
pˆ z
1550 0.775 2000 0.775 0.8 0.80 1 0.80 2000
2.80
f.
Zona de no rechazo
z= -2.80 -1.65 g. Ya que z NO se encuentra adentro de la zona de no rechazo, se rechaza H0. h. Con un 95% de confianza podemos concluir que el gobernador no puede confiar en la reelección. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA Y DOS VARIANZAS 9. Se sabe que un proceso de producción de salchichas debe garantizar un peso promedio por unidad de µ = 45 gramos, y una varianza σ2 = 4 gramos. En forma periódica se toma una muestra de 16 salchichas y se pesa cada una de ellas para controlar la variabilidad del proceso. En uno de los controles se obtiene los siguientes datos en gramos: x 45.4, s 2.8. ¿Será razonable concluir que la varianza del proceso de producción sea mayor que 4 gramos? Utilice un nivel de significancia de 0.05. a. Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b. Escriba el estadístico de prueba correspondiente. c. La prueba de hipótesis es de una o dos colas y explique por qué. d. Determine el (los) valor(es) crítico(s) de la zona e. Determine el valor del estadístico de prueba f. Dibuje la zona de decisión g. ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? h. Interprete, en un enunciado, el resultado de la prueba de hipótesis. SOLUCIÓN a. La hipótesis nula y la hipótesis alternativa son las siguientes
H0 : 2 4 H1 : 2 4 b. El estadístico de prueba que se utilizará es el de 2 (chi-cuadrada).
2
n 1 s 2 2
c. La prueba de hipótesis será de una cola (a la derecha), ya que la hipótesis alternativa indica que buscamos que la varianza poblacional sea mayor a 4 gramos.
d. Con un 95% de confianza (ya que el nivel de significancia =0.05) el 2 valor crítico ( 2 , gl 0.05,15 ) será: 24.996. e. El valor del estadístico de prueba es
16 1 2.8 2
4
2
29.4
f.
24.996
2= 29.4
g. Ya que 2 NO se encuentra adentro de la zona de no rechazo, se rechaza H0. h. Con un 95% de confianza podemos concluir que la varianza del proceso de producción de salchicha es mayor a 4 gramos. 10. Lammers Limos ofrece servicio de transporte en limusina del ayuntamiento de Toledo, Ohio, al aeropuerto metropolitano de Detroit. Sean Lammers, presidente de la compañía, considera dos rutas. Una por carretera 25 y la otra por la autopista I-75. Lammers desea estudiar el tiempo que tardaría en conducir al aeropuerto por cada ruta y luego comparar los resultados. Recopiló que el tiempo promedio de manejo por la carretera 25 con un muestra de 7, es de 58.29 minutos con una desviación estándar de 8.995 minutos y por la autopista I-75 con una muestra de 8, el tiempo medio es de 59 minutos con una desviación estándar de 4.3753. Con un nivel de significancia de 0.10, ¿hay alguna diferencia en la variación en los tiempos de manejo para las dos rutas? a. Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b. Escriba el estadístico de prueba correspondiente. c. La prueba de hipótesis es de una o dos colas y explique por qué. d. Determine el (los) valor(es) crítico(s) de la zona e. Determine el valor del estadístico de prueba f. Dibuje la zona de decisión g. ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? h. Interprete, en un enunciado, el resultado de la prueba de hipótesis. SOLUCIÓN a. La hipótesis nula y la hipótesis alternativa son las siguientes
H 0 : 12 22 H1 : 12 22 b. El estadístico de prueba que se utilizará es el de F.
F
s12 s22
c. La prueba de hipótesis será de dos colas, ya que la hipótesis alternativa indica que buscamos que la varianzas poblacional sean diferentes. d. Con un 95% de confianza (ya que el nivel de significancia =0.05) los valores críticos serán
F1 /2, gl1 , gl2 F0.975, 6,7 5.119, F /2, gl1 , gl2
1 F1 /2, gl2 , gl1
1 F0.975, 7,6
1 0.176 5.675
e. El valor del estadístico de prueba es
8.995 F 2 4.375 2
4.227
f.
0.176
5.119 F= 4.227
g. Ya que F se encuentra adentro de la zona de no rechazo, no se rechaza H0. h. Con un 95% de confianza podemos concluir que no existe diferencia alguna en la variación en los tiempos de manejo para las dos rutas.
