Métodos Econométricos
XI. ANALISIS DE ESTABILIDAD ESTRUCTURAL
En todo proceso de estimación, se acepta el supuesto que los parámetros permanecen fijos en el modelo para toda la muestra. Dada una muestra de n observaciones, se supone que los estimadores de los parámetros son válidos para toda la muestra. Esta suposición no siempre es cierta. Terminología: Estabilidad estructural, quiebre estructural, constancia de los parámetros, data fuera de la muestra, data dentro de la muestra.
Varias formas de probar la estabilidad estructural
1. Test de Chow o test de exactitud predictiva 2. Test de Pagan y Nicholls 3. Test de Hansen 4. Coeficientes recursivos o estimación recursiva 5. Residuos recursivos 6. Suma de residuos recursivos 7. Tests generales de cambio estructural
1.- Test de CHOW
Este contraste prueba si el modelo de regresión planteado para toda la muestra n , es válido tanto para el modelo de una de sus submuestras
n1
como para el modelo de la otra
submuestra n2 , donde n n1 n2 . No hay una reglas para determinar los tamaños de n1 y
n2 . El objetivo es probar si la variación sospechada en el transcurso de la muestra es lo suficientemente importante como para generar cambios en los coeficientes del modelo. Modelo para el periodo
n:
(n n1 n2 )
Magen Infante39 Infante39
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Y i
0
1 X i1 2 X i 2
Modelo para cada submuestra
k
n j :
X ik
Y
Y
(i 1,2, , n1 )
Xβ1 μ
Y i 02 12 X i1 22 X i 2 k 2 X ik i Matricialmente:
i
( j 1,2)
Y i 01 11 X i1 21 X i 2 k 1 X ik i Matricialmente:
(i n1 1,, n )
Xβ 2 μ
De los tres modelos anteriores, se calcula SCE Suma de Cuadrados del Residual del modelo en todo el periodo n .
SCE 1 Suma de Cuadrados del Residual del modelo en todo el periodo n1 . SCE 2 Suma de Cuadrados del Residual del modelo en todo el periodo n2 . Contraste de hipótesis:
01 02 1 2 1 1 1 2 1 2 β H 0 : β β ó β 1 2 k k
No existe Cambio Estructural en el modelo
(Estabilidad) H 1 : β1
β 2 ó i1 i2
Existe Cambio Estructural en el modelo (Inestabilidad)
en al menos un i .
Estadístico de Prueba:
01 02 1 2 1 1 1 β 2 es verdadero, Bajo la suposición que H 0 : β 1 2 k k SCE ( SCE 1 SCE 2 ) k 1 F k 1,n2 k 2 F SCE 1 SCE 2 (n 2k 2) Regla de Decisión:
Magen Infante40
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01 02 1 2 1 1 1 2 β Rechazar H 0 : β si F F k 1,n2 k 2 1 2 k k Consecuencias:
1. No se puede capturar la realidad estudiada mediante el modelo estimado. 2. Los parámetros estimados, en comparación con los que se obtendrían en estimaciones parciales, resultarían sesgados e inconsistentes. 3. Los errores cometidos en una única estimación resultan comparativamente mayores, a los que se obtendrían en estimaciones parciales. 4. La varianza de los parámetros de la única estimación resultan relativamente mayor, lo que supondrá un valores t más reducidos y en consecuencia mayor probabilidad de cometer el error tipo II. 5. El valor de predicción sería menos creíble Correcciones:
1. Debe detectarse el origen de la ruptura o del cambio 1. Si se atribuye a un error de especificación: se tendrá que revisar si la forma funcional es la correcta, así como si se han introducido las variables más relevantes en el modelo. Si se debe en cambio a un cambio en el sistema analizado se podrá corregir con el empleo de variables ficticias. Estas variables son de naturaleza dicotómica (0,1) y pretender capturar esos cambios que no se pueden representar con variables reales. Limitaciones: 1. El test no detecta la observación donde ocurre el cambio. Sólo confirma o desmiente su existencia. 2. Detecta solamente cambios bruscos. 3. Se debe conocer previamente el punto de corte. Cortar donde se presume de la existencia, producto de la observación de los errores o partiendo de razones teóricas. 4. El contraste pierde potencia en la medida que se acerca a los extremos
Ejemplo 9 : Suponga que el presente es Enero de 1992. Hacer una prueba de estabilidad desde 1980 hasta 1991, del modelo
r i 0 1 X i
(i 1,2, ,144)
donde r Porcentaje de ganancia anual por el capital de participación en una Cia. Magen Infante41
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X Ganancia excedente en un modelo de bolsa. 1 Coeficiente beta CAPM del capital. La estimación de beta se hace con observaciones mensuales desde 1980 hasta 1991. Debido a que un investigador expresa preocupación debido a que el mercado de bolsa colapsó en octubre de 1987 por una relación de ganancia-riesgo. Probar si la conjetura es cierta. Periodo: En 1981 – Oct 1987 (n=82) (n=132) r 1 ˆ
0.68 1.2 X
SCE 1 0.03555
Nov 1987 – En 1992 (n=50)
r 2 ˆ
0.68 1.53 X
SCE 2 0.00336
Suma de Cuadrados del Residual del modelo del modelo en todo el periodo n1 .
r ˆ
En 1981 – En 1992
0.39 1.37 X
SCE 0.0434
Suma de Cuadrados Suma de Cuadrados del Residual del modelo del Residual en todo el periodo n2 .
en todo el periodo n .
Contraste de hipótesis:
: β β 1
2
H 1 : β1
β2
H 0
01 02 ó 1 2 No existe Cambio Estructural (Estabilidad) 1 1 Existe Cambio Estructural en el modelo (Inestabilidad)
Estadístico de Prueba:
01 02 2 Bajo la suposición que H 0 : β 1 2 β es verdadero, 1 1 SCE ( SCE 1 SCE 2 ) 0.0434 (0.03555 0.00336) k 1 11 7.698 F 0.03555 0.00336 SCE 1 SCE 2 (n 2k 2) 132 2 *1 2 1
Regla de Decisión:
Rechazar
H 0
1 2 : β β porque F F k 1,n2 k 2 : F 7.698 y F 2,13 2 3.06 entonces
F F k 1,n2 k 2 . Por tanto, rechazamos la hipótesis de estabilidad. E investigador tiene razón para preocuparse a un 95% de confianza. El modelo no es el mismo para ambos periodos de la muestra y tal modelo no puede ser utilizado como representativo y menos para predicción. Probablemente se debería utilizar la estimación de la segunda muestra debido a la necesidad de tener que tomar una decisión de inversión para 1992.
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Para ilustración, sea el modelo de dos variables, suponiendo que 0 y 1 son fijos:
Y 0 1 X Si 0 y 1 no fueran fijos, las conclusiones del modelo estimado no serán del todo válidas. Por eso es necesario detectar si existe presencia de cambio estr uctural a lo largo de la muestra para saber que medidas tomar.
2.2.- Contraste en base a la RECURSIVIDAD La Estimación Recursiva es otra forma de analizar la estabilida d del modelo. Es adecuada para series de tiempo donde no se conoce el momento del quiebre. Es un método general. Este método consiste en la estimación secuencial del modelo especificado para distintos tamaños muestrales.
X r matriz r (k 1) corresponde a r observaciones de la variable endógena. β r estimador de β obtenido con las r primeras observaciones, ˆ
β r 1 estimador de β obtenido con las r 1 primeras observaciones, etc. ˆ
Nota:
r debe ser tal que r k 1
Etapa I
Para r observaciones, se estima el vector de parámetros β r y éste a su vez es utilizado para ˆ
la predicción de Y r 1 desconocida, dadas las observaciones de las variables explicativas X r 1 . Se tiene r observaciones
1 X 11 Y 1 1 X Y 2 21 Y r 1 X r 1
X 1k
X 2 k
X rk
β r Estimador con r observaciones. ˆ
Se tiene la r 1 -ésima observación, la variable endógena Y r 1 no se conoce.
¿ ? 1
X r 1,1
Y r 1 X r 1βr
X r 1,k
ˆ
ˆ
Predictor r 1 utilizando
el estimador de r observaciones anteriores.
Magen Infante43
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Etapa II
Seguidamente, con las ahora r 1 observaciones, se estima un nuevo vector de parámetros
β r 1 y éste a su vez es utilizado para la predicción de Y r 2 desconocida, dadas las ˆ
observaciones de las variables explicativas X r 2 .
Se tiene r 1 observaciones Y 1 1 X 11 X 1k
Y 1 X 21 2 Y r 1 1 X r 1,1 ˆ
X 2k X r 1,k
β r 1 Estimador con r 1 observaciones. ˆ
Se tiene la r 1 -ésima observación, la variable endógena Y r 1 no se conoce.
¿ ? 1
X r 2,1
X r 2,k
Y r 2 X r 2β r 1 ˆ
ˆ
Predictor r 2
utilizando el estimador de r 1 anteriores.
observaciones
Al ir aumentando la muestra de las variables explicativas, proceder del mismo modo que en las Etapas I y II. Al finalizar se dispondrá de los siguientes predictores :
Y r 1 X r 1β r , Y r 2 X r 2β r 1 , Y r 3 X r 3β r 2 , , Y n X r 4β n1 , ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2.2.1.- Coeficientes Recursivos Este método analiza los gráficos de cada uno de los coeficientes estimados al ir añadiendo observaciones a la muestra con la que se realiza la estimación. Contraste de Hipótesis: H 0
: No existe Cambio Estructural (Estabilidad)
H 1 :
Existe Cambio Estructural en el modelo (Inestabilidad)
Método de prueba: Graficar cada coeficiente estimado sucesivamente dentro de su banda de confianza
2des. stnd . Regla de decisión:
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Observar la presencia de inestabilidad en el modelo, si los coeficientes sufren grandes cambios al ir aumentando la muestra. Lo ideal es que se mantengan aproximadamente constantes.
2.2.2.- Residuos Recursivos
Si disponemos de las observaciones Y r 1 , Y r 2 , Y r 3 , , Y n , se puede calcular los Residuos Recursivos. El error de predicción de un periodo hacia delante es definido como
e r 1 Y r 1 Y r 1 ˆ
Varianza del error de predicción
Var (e r 1 ) Var (Y r 1 Y r 1 ) Var (Y r 1 X r 1βr ) Var (Y r 1 X r 1( X 'r X r )1 X 'r Y r ) ˆ
ˆ
Var (Y r 1 ) Var ( X r 1 ( X 'r X r )1 X 'r Y r ) Var (Y r 1 ) ( X r 1 ( X 'r X r )1 X 'r )Var (Y r ) 2 ( X r 1( X 'r X r )1 X 'r ) 2 2 (1 X r 1 ( X 'r X r ) 1 X 'r ) Contraste de Hipótesis: H 0
: No existe Cambio Estructural (Estabilidad)
H 1 :
Existe Cambio Estructural en el modelo (Inestabilidad)
Estadístico de prueba:
Se define el Residuo recursivo como
wr 1
Calcular todos los residuos recursivos wr 1 :
Y r 1 Y r 1 ˆ
(1 X r 1 ( X 'r X r ) 1 X 'r )1/ 2
.
wk 2 , wk 3 , , wn . Bajo el supuesto
de estabilidad y normalidad, éstos residuos se distribuyen como una
N (0; 2 ) .
Graficar cada residuo recursivo obtenido sucesivamente dentro de la banda de confianza
2des. stnd . Magen Infante45
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Regla de decisión: Observar la presencia de inestabilidad de los parámetros si uno o varios residuos recursivos sobrepasan sus bandas de confianza.
Contraste de CUSUM Este contraste consiste en la acumulación progresiva de los residuos recursivos normalizados. Contraste de Hipótesis: H 0
: No existe Cambio Estructural (Estabilidad)
H 1 :
Existe Cambio Estructural en el modelo (Inestabilidad)
Estadístico de prueba: m
w
m
j
W m
j k 2
SSR
SSR
n k 1
Se obtendrán los valores W m :
k 2, k 3,
, n
Suma de cuadrados de la regresión de todas las n observaciones.
W k 2 , W k 3 ,
, W . n
Graficar los valores de W m y trazar las bandas de significación:
k 1;
a(n k 1),
k 1;
a
(n k 1) y las bandas
Magen Infante46
n;
3a(n k 1),
n;
3a(n k 1)
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W m 3a n k 1
a n k 1 k+1
n
r
a n k 1
3a n k 1
Bajo el supuesto de estabilidad, el estadístico de CUSUM tiene media cero, por eso, las sumas acumuladas que se alejen de cero indica existencia de inestabilidad. Dependiendo del nivel de significación con el que se desee realizar el contraste, existen diferentes valores de a tabulados: α%
1%
5%
10%
a =
1.143
0.948
0.85
Regla de decisión: Los valores de W r 1 deben oscilar dentro de las líneas de significación. Cuando los valores sobrepasan dichas rectas, se puede considerar falta de estabilidad en el modelo.
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Contraste de CUSUMQ Este contraste depende de la suma acumulada del cuadrado de los residuos recursivos en el numerados, y en el denominador la suma de cuadrados de la totalidad de los Residuos recursivos. Contraste de Hipótesis: H 0
: No existe Cambio Estructural (Estabilidad)
H 1 :
Existe Cambio Estructural en el modelo (Inestabilidad)
Estadístico de prueba: m
w
2 j
S m
j k 2 n
w
m
k 2, k 3,
, n
2 j
j k 2
Este estadístico también se basa en líneas de significación que dependen del valor esperado del estadístico, sumándole y restándole una cantidad fija que depende del nivel de significación elegido. Bajo la hipótesis nula, la esperanza o valor esperado de S m es igual a:
E ( S m )
m k 1 n k 1
cuyo valor varía entre cero y uno.
Cero aproximadamente cuando m k 2 y uno cuando m n . Trazar los límites de significación. Graficar los residuos recursivos S m . S m
E (S m ) C 0 E (S m )
k+1
n
E (S m ) C 0
Regla de decisión: Se rechaza la hipótesis de estabilidad del modelo si la representación gráfica de los valores del estadístico S m muestra observaciones fuera de la banda de confianza.
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1.- Tipos de Cambio Estructural
Un cambio o modificación en los parámetros es un Cambio Estructural. Existen dos tipos de cambio en los parámetros: Cambio en el intercepto (Cambio cualitativo) Cambio en la pendiente (Cambio cuantitativo)
Antes, supongamos que el tamaño de la muestra es n
y ésta se divide en n1 y n2 tal
que n n1 n2 . En base a estas dos submuestras se tienen los modelos
Y 01 11 X
para
n1
Y 02 12 X
para
n2
Posibles casos de cambio o quiebre estructural: 1 2 (1) 0 0
y
11 12
No hay cambio estructural
(2) 0 0
y
11 12
Cambio estructural
1 2 (3) 0 0
y
11 12
Cambio estructural
1 2 (4) 0 0
y
11 12
Cambio estructural
1
2
1.1- Cambio estructural en el Intercepto
( Y 0 1 X )
Es un cambio en el coeficiente intercepto tal que 1
Y 0 Y
2
0
X
para
n1
X
para
n2
Y
1 1
1 1
El gráfico indica que la ecuación no es estable en el intercepto, y por tanto existe cambio estructural en el término independiente. Se le conoce como Cambio Estructural Cualitativo , debido a la inestabilidad en el parámetro de01posición. 02
{
X
( Y 0 1 X )
1.2- Cambio estructural de Pendiente
Es un cambio o alteración en el coeficiente al regresor o a los regresores. Y 0 Y 0
11 X 2 1
X
para
n1
para
n2
Y
12 1
En el gráfico se puede observar que un cambio en la pendiente lleva acompañado un cambio en el intercepto también. Debido a esto, a un cambio 1 Magen Infante500
11 1 2
0
{
X
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estructural de pendiente se le conoce como un Cambio Estructural Mixto, ó Cambio Estructural Cualitativo. El término cuantitativo surge del hecho que un cambio en la pendiente determina otra intensidad o medida en la variable endógena. 1.3- Cambio estructural de sólo Pendiente
( Y 0 1 X )
En la muestra pueden darse condiciones tal que suceda un cambio estrutural en la pendiente Y y no en el intercepto. Y 0
11 X
para
n1
Y 0
12 X
para
n2
12
11
1
0
0 1.4- Generalización del Cambio estructural ( Y 0
1 0
2 0
X
1 X 1 k X k )
El estudio de Cambio Estructural de intercepto, de pendiente y de ambos, se puede generalizar a un modelo con k variables explicativas o independientes.
Y 0 1 X 1 k X k Al subdividir la muestra de tamaño n en n1 y n2 tal que n n1 n2 ,
Y 01 11 X 1 k 1 X k 2
Y 0
12 X 1
2 X k
k
para n1 para n2
donde
01
02
11
12
1
k
2
k
Cuando existe cambio estructural, ya no existe estabilidad en los parámetros y deben utilizarse técnicas para detectar dicho cambio y tomar medidas para obtener resultados más confiables.
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2.- Contrastes para Cambio Estructural o Inestabilidad
En la práctica es muy frecuenta preguntarse si dos submuestras han sido generadas por la misma estructura de modelo. El cambio estructural suele presentarse cuando se tiene información acerca de una variación o situación de consideración durante el periodo muestral.
Magen Infante52
