UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Edile
Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI II
a.a. 2!!"2!2
#rogetto e $eri%ica di una tra$e in CA# a ca$i &ost'tesi
#ro%. Ing. ). Calderoni Ing. C. *iu+ileo
DATI(
Allie$i( Luigi De ,arco Antonio Del 0ecc1io #aolo )ello ,ic1ele #ro$itola
N-!"!-/ 23"!3! 23"!3 ! N-!"!!4 N-!"!!4 23"
' lung1e55a(
2/.- 6
' interasse(
3.7 6
' caric1i %issi(
*2 8 2. 9N"6 2
' caric1i $aria+ili(
: 8 2. 9N"62
,ATERIALI( -
Calcestruzzo:
classe C -"- resisten5a a co6&ressione( resisten5a a tra5ione(
f cd =
6odulo elastico( Ec 8 22 -
f cd =α cc f ctk γ c
=¿
√ 3
f cm 10
f ck γ c
33;2
= ¿ .7 !. 8 !7.7! ,#a
!.- ,#a
→
f ctk =0.7 f ctm
8 3/!!! ,#a
f cm 8
f ctm 8 .3
<
f ck
f ck = 7
Acci Acciai aio o da pr precomp comprressio ssione ne::
Tecnologia Tecnologia utili55ata( siste6a s iste6a ,orandi Tensione Tensione di rottura r ottura (
f ptk > !/ ,#a
Tensione caratteristica all?!@ di de%or6a5ione totale(
f p( 1) k > ! ,#a
,odulo elastico E 8 2! ,#a -
Acciaio or ordinario:
Acciaio )-C
f yk 8 - ,#a
,odulo elastico E 8 2! ,#a
γ s
= !.!
f yd 8
f yk γ s
8
450 1.15
8 34!.3 ,#a
TENSIONI con ri%eri6ento al D.,. !-'!'7
Condi5ione al tiro( '
'
0 σ c <¿ ./ f ckj
Calcestru55o( co6&r.
0
σ t
tra5.
Acciaio(
¿
σ spi <¿ .7
'.!
f p( 1) k
8 27 ,#a B6a
f ckj
8 ' - ,#a B6in
8 !3!/. ,#a
σ spi
≤
./
f ptk 8 !3!2. ,#a
Condi5ione al collaudo( '
'
Calcestru55o( co6&r.
∞ σ c < ¿ . f ck 8 2- ,#a B G6a
σ t
∞
tra5.
Acciaio(
¿ ' ./ f ck 8 ' 2.7 ,#a B G6in
f p( 1) k
σ spi ≤ .7
8 !2- ,#a so$ratensione 6a.
≤
.
,#a
ANALISI DEI CARICHI #eso &ro&rio tra$e(
G! 8 !. 9N"6
#eso &ro&rio solaio co&ertura(
G2 8 2. 9N"6 2
#eso &ro&rio
*8
So$raccaric1i
: 8 2 3.7 8 /./ 9N"6
G! = G2 8 ! = 2. 3.7 8 !/./ 9N"6
CO,)INAZIONI DI CARICO
SLU(
F 8 !;3 * = !; : 8 3.33 9N"6
SLE; condi5ione rara(
F 8 * = : 8 2.- 9N"6
SLE; condi5ione Juasi &er6anente(
F 8 * = ;3 : 8 2.! 9N"6
Al tiro( F 8 *! 8 !. 9N"6
2
Al tiro( ,6in 8
Al collaudo(
G1 × l
8
8
,6a 8
F l 8
10 × 27.4 8
2
8
2
8 437.- 9N6
25.40 × 27.4 8
2
8 2373. 9N6
f ptk 8 7/.
#REDI,ENSIONA,ENTO Si i&oti55a una se5ione a T
H 8 !- c6
+ 8 ! c6
d! 8 !2 c6
K 8 ! c6
EJuili+rio alla rota5ione con &olo il le6+o in%eriore(
B!
=
M 6aD H ∞
σ c
H 2
B!
=
−
!442
( 27 − 3) −
[ 2A H − d !E − 3δ ]
( H − d !) 2
2373 !A!- − !2E 2
!- 2
( 2 H − 3δ ) −
!-
−
bA H − d !E 2
(!- − !2) 2
[ 2A H − d !E − 3δ ]
[ 2A!- − !2E − 3] [ 2A!- − !2E − 3] 8 3 c6 8 ;3- 683 c6
Si assu6e )! 8 - c6 EJuili+rio alla trasla5ione(
σ c∞ × Si N= H
= 2- × 2 = 33-4. KN !-
Si =
,o6ento statico(
B! H 2 2
− A B! − bE ×
A H − d !E 2 2
=
.2m 3
=
2cm 3
2 Area della se5ione( A = A B! × d !E + A H − d !Eb = 227cm
NH 33-4 × !- = = //.cm ∞ 227 × 2 Aσ c
y Gi =
e = yGi
Eccentricità(
σ i∞
=
W i
=
W i
A
−
W i
M 6aD × A M 6aD − N × eE = A × − e N N 8 A
y Gi
W i yGi
− δ = //. − ! = /.cm
N M 6aD − N × e
I g
=
= H − yGi = !- − //. = 3.cm
yGs
W s
=
o;oo4/77 6 3
I g y Gs
= W s yGs → W s = W i ×
yGi yGs
= ;4/77 ×
.// .3
= ;!2- m3
La se5ione cosM &ro&or5ionata all?eserci5io. Al tiro( in%
σ
=
N A
+
N e W i
−
M W i
N M 6aD − N × e =
A
W i
= σ c
c
→ σ =
β M 6aD − N × e × β − M
+ N × e × β
W i
M = −σ co × W i + β M 6aD = −27 × .4/77 + !.3 × 2373. = 24-3.7/kNm
M
> M 6in dunJue la se5ione insu%%iciente; aggiungo calcestru55o al le6+o in%eriore; a$r
una se5ione a do&&io T; dunJue i6&ongo d 28!c6; l?incognita del &ro+le6a la +ase in%eriore ) 2; si &rocede tro$ando l?area aggiunti$a 6ini6a(
W iO =
β M 6aD− M 6in !.3 × 2373. − 437.- = = 7!-!!cm3 27 σ c
∆W i = W iO − W i = 7!-!! − 4/77 = /!22cm3 ∆ A =
A × y i × ∆W i 227 × //. × /!22 = = 433cm2 d2 d2 W i y i + AA y i − E2 − AW i + ∆W i E 4/77 × //. + 227 × -73.2 − -/27 2 2
)28 ∆A "d2= +8 3c6 A$r una nuo$a se5ione a do&&io T; da cui rica$o il &eso &ro&rio e%%etti$o e dunJue il 6o6ento 6assi6o e%%etti$o.
Sezione definitiva 0,25 m
0,45 m
2
0,12 m 0,10 m
2 3
0,12 m
3
0,68 m
1,30 m
1,30 m
G
G 0,16 m 0,15 m
0,62 m
0,20 m
0,15 m
0,45 m 0,60 m
Area( A 8 3!77 c62 #eso &ro&rio tra$e(
G! 8 2 A 8 2 .3!77 8 /.4/ 9N"6 tot
#eso &ro&rio solaio co&ertura( #eso &ro&rio *8
G2 8 2. i 8 2. 3.7 8 /./ 9N"6
G! = G2 8 /.4/ = /./ 8!./ 9N"6
So$raccaric1i :8 2 i 8 2 3.7 8 /./9N"6 SLU( F 8 !;3 * = !; : 8 33.-4 9N"6 SLE ( condi5ione rara( F 8 * = : 8 23.3/ 9N"6 SLE ( condi5ione %reJuente( F 8 * 8 24.2 9N"6 Al tiro( ,6in 8
Ql 8
2
7.70 × 27.4 8
8 2
Al collaudo( ,6a 8
,o6ento statico(
F l 8
8
2
8 /-/.4- 9N6
33.49 × 27.4 8
2
8 2!43.! 9N6
Si 8 2!/ c63 •
•
S i,tot
y Gi=
217050 3188
=¿
87 c6
A tot ¿ G , = H − y G,inf =1.40−0.68 =72 c6 y ¿
,o6ento di iner5ia +aricentrico( Ig 8 P I* 8 .!7 = .3 = .!!4 = .!34 = .2/4!8 .742443 6 Qi 8
Qs 8
I g ,tot
8 .!3!!7 6 3
y Gi I gTOT y Gs
Eccentricità(
8 .!2-!/ 6 3 e
8 y Gi− 8 .7 ! .! 8 .7 6
0ERIFICA A FLESSIONE SE,#LICE Collaudo(
∞
σ inf =
" " × # % m&' + − =¿ A $ i $ i
" ×# % m&' ∞ " ∞ + σ ¿ = − ≤ σ c A $ s $ s Tiro(
( 8 !.3 0
→
→
(
"
1
A
+
# $ i
)
8
% m&' $ i
→
" 8 22!.3 9N
8 !-.2 ,#a σ ∞c 8 2-. ,#a
∞
σ ¿
0
" 8 2/27/4 9N
0
" " ×# % min ∞ + σ ¿ = − )σ t A $ s $ s 0
0
→
0
" " × # % min ∞ − σ inf = + ≤ σ c A $ i $ i 0
→ →
0 σ ¿ 8 '!.//,#a
0
∞
) σ t 8
σ inf 8 !.2 ,#a
− -.
,#a
0
σ c 8 27. ,#a
Dallo s%or5o nor6ale di &reco6&ressione al tiro; rica$o l?area 6ini6a e dunJue i ca$i necessari a
σ lim ¿= &ortare tale s%or5o(
2740.99 =20.97 0.85 f p( 1) k 0
" A min=
c62
¿
tre%oli ,","7 ,"!2 ,"! ,"2 ,"2-
se5ione 62 ingo6+ro 6 &iastra c6 c6 ;3/! ;37 !- !;/-32 ; !- 2/ ;!!!-7 ;3 2; 2/ !- - ;!-7;/2 2/ 2/ ;!77 ;7 3- 3 ;2224 ;4 3; -
Si utili55ano 2 ca$i ,"!2 !!;!-7 c6 2 ; a$ente A% 8 22;24 c62 .
TRACCIA,ENTO DEI CA0I Nella se5ione di 6e55eria i 2 ca$i sono &osti alla stessa Juota; il loro +aricentro dista ! c6 dal +ordo in%eriore. I ca$i 1anno un anda6ento &ara+olico e sono ancorati in testata in 6odo c1e il loro +aricentro sia coincidente con Juello della se5ione di a&&oggio &er e$itare il %or6arsi di un?eccentricità e Juindi una %lessione do$e il 6o6ento nullo. Essendo la se5ione ter6inale di %or6a rettangolare !-3c6 ed essendo le due &iastre uguali ed a$endo il +aricentro nel centro geo6etrico della &iastra; &ossi+ile inserire %acil6ente le due &iastre in 6odo da non a$ere eccentricità.
Sezione D-D 0,45 m
0,12 m
0,36m
0,26m
y1
1,30m 0,06m
G
0,81m 0,26m
y2
0,49 m 0,36 m 0,20 m
0,27 m 0,45 m
y Si calcola ora l?eJua5ione della &ara+ola di ogni ca$o( i
= Ai 2 + Bi
Fissando il siste6a di ri%eri6ento in corris&onden5a dalla se5ione di 6e55eria si 1a c1e &er 8;
B! = B2
= !cm .
#er
= !
2
= !3;/ m
Ca$o !(
y!
= !
2
= !3;/ m
B! = !cm y! = -cm
A!
=
- − ! !3/
2
= !;7-/ × ! − cm
= !;7-/ ×! − A!3/E 2 + !
Ca$o 2(
= !
2
= !3;/ m
B2 = !cm y2
A2
= 4cm
=
4 − ! !3/
2
= -;-24 ! − cm
= -;374 ×! − ⋅ A!3/E 2 + !
y 2
In%ine nelle seguenti se5ioni( '
se5ione di 6e55eria della tra$e se5. A
'
se5ione a L se5. )
'
se5ione in corris&onden5a dell?ini5io della rastre6a5ione se5. C
'
se5ione in corris&onden5a dell?a&&oggio se5. D
'
se5ione di ancoraggio se5. E
tro$o i $alori di
tan α =
E
d y
=
d
α i ; senα i ; cosα i ; tan α i ; yi
2 A
D
0,6
α = arctanA 2 AE
cosα =
! ! + tan 2 α
2 senα = ! − co s α
B
1,7
A
4,3
6
12
Ca$o !( Se5ione A ) C D
c6
y! c6
tan α i
α i rad
senα i
co sα i
7 !!4 !3/
! !7.7 3.- -.
.2 .-.!
.2-2 .--33 .!
.2 .-.!
! .444/ .444! .4474
Ca$o 2( Se5ione A ) C D
c6
y2 c6
tan α i
α i rad
senα i
co sα i
7 !!4 !3/
! 3!.3 /-.! 4.
.2 .!! .!2-
.2 .!/ .!23
.2 .!/ .!23
! .4477 .44-2.44234
CADUTE DI TENSIONE ISTANTANEE ATTRITO( #er tali cadute di tensione si calcolano le aliJuote; rettilinea e cur$a; &ro&or5ionali alla lung1e55a del ca$o; ris&etti$a6ente tra6ite il coe%%iciente di attrito in linea ed in cur$a
" c
" l = " c β = .3 .! = .3
= .3 e alla $aria5ione angolare della tangente al ca$o nel tronco di tra$e
considerato. La tensione alla generica se5ione &ari a(
σ p ;
= σ × [! − " ( α + β × ! ) ] p ;
c
Do$e( la lung1e55a del tratto considerato l?angolo %or6ato dalle tangenti al ca$o negli estre6i del tronco considerato
DC
σ D ;i =
D)
DA
Ca$o !
α # − α C = ./
α # − α B
= .2
α # − α A
= .!
Ca$o 2
α # − α C = .!
α # − α B
=
.!
α # − α A
= .!!7
N O β Aeffettiva
= 22!.3O!;3 = !337.3!MPa 2 24/mm
Ca$o !
σ p;C = σ p; D ! − f c ( ∆α DC + ϕ LDC ) = !337.3!× A! − .3 × ./ − .3 × !.7E = !327.-MPa σ p; B = σ p; D ! − f c ( ∆α DB + ϕ LDB) = !337.3! × A! − .3 × .2 − .3 × .7E = !27.!2MPa σ p; A = σ p; D ! − f c ( ∆α DA + ϕ LDA) = !337.3!× A! − .3 × .! − .3 × !3./E = !233./-MPa
Ca$o 2
σ p;C = σ p; D ! − f c ( ∆α DC + ϕ LDC ) = !32/./2 × A! − .3 × .! − .3 × !.7E = !32-.3MPa σ p ; B
= σ p ; # [! − " c ( ∆α #B + φ ! #B ) ] = !32/./2 × A! − .3 × .! − .3 × .7E = !2/.4- M$a
σ p ; A
= σ p ; # [! − " c ( ∆α #A + φ ! #A ) ] = !32/./2 × A! − .3 × .!2- − .3 × !3./E = !223.4/ M$a
L tratto 6
Tratto Ca$o ! Ca$o 2 Ca$o ! Ca$o 2 Ca$o ! Ca$o 2 Ca$o ! Ca$o 2
A ) C D
!3./ !3./ .7 .7 !.7 !.7
Area ca$o c62
!!.! !!.! !!.! !!.! !!.! !!.! !!.! !!.!
σ p
ca$o ,#a
!22.7! !233./!3./ !27.!2 !327.- !32-.3 !337.3! !337.3!
N ca$
N ca$
N y
o
o
o
9N !-/./7 !3/.3/ !--4.7/ !-33.// !-7.4 !-/.4 !-4!.4 !-4!.4
9N !-/./7 !3/.3/ !--/.4 !-3!.2 !-/2.3/ !-7.!4 !-7.4 !-7.4
ca$
9N 74./7 77./4 !7./ !7.2 !73./2 !73./2
#OSIZIONE CA0O RISULTANTE AL TIRO( Essendo la tra$e si66etrica; si tro$a la &osi5ione del ca$o risultante &er la sola &ri6a 6età tra$e( −−
Se5ione A(
y A
= !cm
−−
Nx ! × y ! + Nx 2 × y 2 = 2. cm Nx ! + Nx 2
−−
Nx ! × y ! + Nx 2 × y 2 = .2 cm Nx ! + Nx 2
y B = Se5ione )(
y C = Se5ione C(
−−
y D = Se5ione D(
Nx ! × y ! + Nx 2 × y 2 = /.cm Nx ! + Nx 2
RIENTRO DE*LI A##ARECCHI DI ANCORA**IO( :uesta caduta di tensione uguale lungo tutta la tra$e; &er i ca$i ,orandi il rientro &ari a 66; dunJue( ∆σ ancoraggio = % s
( " 2/-) = 2! × .!72 = 37.32M$a
CADUTE DI TENSIONE DIFFERITE
• $%& '!(AG% Nell?i&otesi c1e i ca$i $engono tesi do&o !- giorni di stagionatura; l?aliJuota di de%or6a5ione $iscosa assunta &ari a 2 $olte Juella elastica; si 1a(
∆σ sp;vis=2σ c Es=2×σ c×n=2××σ c=2××N+ N×e−M ×( y G− y i) A Ec Do$e(
N = N s%or5o di &reco6&ressione del ca$o risultante de&urato delle &erdite di carico &er attrito yG distan5a +aricentro dal le6+o in%eriore
yi distan5a del ca$o i dal le6+o in%eriore −−
e = yG
−
y i distan5a +aricentro dal le6+o in%eriore 6eno la distan5a del ca$o
risultante dal le6+o in%eriore , il 6o6ento %lettente con co6+ina5ione allo SLE sen5a considerare i so$raccaric1i accidentali
'l ' 2 M A E = − 2 2 ' = G!) + G2 )
= !-.-)N " m
M A E 9N6 A ) C
!!2 742 3!3
y i
e
I
A
c6
c6 !. 2. .2
Acm - E
Acm 2 E
4. --. !3.
2-!7 2-!7 2-!7
3247 3247 3247
−−
D
/.
7237/
'.!
7
PS: IN QSTA TABELLA (SOPRA IN ROSSO) SI DEVONO CALCOLARE A MANO M(x) ; I ; A……
Vg ' Vi c6
∆σ sp ;*is
N
,#a
ca$o risul. 9N A ) C D
Ca$o ! Ca$o 2
7.7 7.7
Ca$o ! Ca$o 2 Ca$o ! Ca$o 2 Ca$o ! Ca$o 2
4.27 3./7 3!.7 '. 23.7 '.24
2/73.!
178.61 !-4.3!
27/7.!!
221.51 204.43
24-. 24!.!7
256.80 251.83 270.16 270.16
SIAMO ARRIVATI QUI(BISOGNA PARTIR DAL RITIRO, SOTTO) • $%& &I+I&, Nell?i&otesi c1e i ca$i $engono tesi do&o !- giorni di stagionatura; si assu6e nella generica se5ione
ε ritiro
una
= .2
Tale caduta di tensione nell?acciaio; costante in ogni se5ione $ale(
∆σ sp;!it = ε !iti!o × Es = .2 × 2 = 2.MPa
RILASSA,ENTO DELL?ACCIAIO
∆σ
sp ; ril
σ p
= ) A
σ p " pt)
− .E
2
Do$e(
σ "i
la tensione del ca$o scontata della &erdita &er attrito
9 8 2.7
" pt)
8 !7 ,#a
Se5ione
∆σ sp ;ril " σ p
∆σ sp ;ril ,#a
Ca$o ! Ca$o 2 Ca$o ! Ca$o 2 Ca$o ! Ca$o 2 Ca$o ! Ca$o 2
A ) C D
.!-! .!2! .!/ .!7 .!43 .!4 .2! .2!
!22.7! !233./!3./ !27.!2 !327.- !32-.3 !337.3! !337.3!
RITIRO E RILASSA,ENTO #er tenere conto dell?in%luen5a reci&roca tra le cadute di tensione &er ritiro e %luage del calcestru55o e la caduta di tensione dell?acciaio; i $alori calcolati in &receden5a &er l?aliJuota relati$a al rilassa6ento; $engono ridotti utili55ando Juesta es&ressione( I sp ;ril
∆σ
= ∆σ sp ;ril X! −
2.
∆σ sp ;rit + ∆σ sp ;*is
σ p
W
∆σ I sp ;ril
Se5ione A ) C D
¿−−−−¿ ¿ × A f Y8
❑ ❑
Ca$o ! Ca$o 2
,#a 4.7/7.-4
Ca$o ! Ca$o 2 Ca$o ! Ca$o 2 Ca$o ! Ca$o 2
!3.!2-.-/ !/!.23 !/3. 2/./4 2/./4
TA)ELLA RIASSUNTI0A SEZION
CA0O
%i
;a&&
s&;rit
s&;$is
s&;ril
[s&;ril
! 2
!22;7! !233;/-
37;32 37;32
2; 2;
!7!;7 !7!;7
!/7;! !-4;3!
4;7/7;-4
)')
! 2
!3;/ !27;!2
37;32 37;32
2; 2;
!;42 !-7;/
22!;! 2-;-3
!3;!2-;-/
C'C
! 2
!327;- !32-;3
37;32 37;32
2; 2;
!2-; !!3;3
2;7 2!;73
!/!;23 !/3;
D'D
! 2
!337;3! !337;3!
37;32 37;32 NG
2; 2; NxG
/!;4 /!;4 NyG
2/;! 2/;! NGtot
2/;/4 2/;/4
E A'A
Δσsp,e m 25,26 24,67
ΔσG
σG
393,49 375,56
869,32 858,18
969,11 956,69
969,11 956,69
0 0
1925,8 1
1,45 1,44
26,01 25,72
408,39 389,72
892,18 896,40
994,60 999,31
994,28 997,39
25,40 61,88
1993,9 1
1,46 1,43
26,57 26,49
413,18 403,67
915,22 920,95
1020,29 1026,68
1019,28 1020,77
45,24 110,02
2046,9 6
1,45 1,44
26,77 26,77
396,47 396,47
941,85 941,85
1049,97 1049,97
1048,60 1041,98
53,58 129,30
2099,9 4
1,42 1,42
\=σfi/σ ∞
#OSIZIONE CA0O RISULTANTE AL COLLAUDO( Essendo la tra$e si66etrica; si tro$a la &osi5ione del ca$o risultante &er la sola &ri6a 6età tra$e( −−
Se5ione A(
y A
= !cm
−−
Nx ! × y ! + Nx 2 × y 2 Nx ! + Nx 2
= 23./-cm
−−
Nx ! × y ! + Nx 2 × y 2 Nx ! + Nx 2
= .cm
−−
Nx ! × y ! + Nx 2 × y 2 = -.4/cm Nx ! + Nx 2
y B = Se5ione )(
y C = Se5ione C(
y D = Se5ione D(
0ERIFICHE A FLESSIONE
A ) C D
σ in%
σ su&
∞ σ in%
σ su&
,#a !.3 !-.2! !.7 .4
,#a !./3 3. /. .
,#a '2.!2 .2/ -. -.-
,#a !-.4 !2.7 7.3-.-
∞
Le $eri%ic1e risultano soddis%atte in%atti le tensioni li6ite da nor6ati$a sono(
σ t
σ c < ./ f ck" = 2- MPa
σ c∞
<
.! " c)-
σ t ∞
< . " c) = 2- M$a
=
- M$a
< ./ " c) = 2.7 M$a
#UNTI LI,ITE Tiro( su&
σ
=
N A
N × eli6 − W s
= σ → o t
2/2.7/ 3!77
−
2/2.7/ × eli6
!2-2
= −.- → eli6 = .7cm
− eli6 E = .7cm E = 6inA eli6
in%
σ
=
N A
N × eli6 + W i
= σ → o c
2/2.7/ 3!77
+
2/2.7/ × eli6
!3!2
= 2.- → eli6 = 4.7cm
Collaudo( N N × eli6 σ in% = − A W i
∞
∞
= σ t →
22!.3 3!77
−
22!.3 × eli6
!3!2
= −.27 → eli6 = −.2 cm
− eli6 E = −.2 cm E! = 6inAeli6
∞
σ su&
N N × eli6 = + A W s
∞
= σ c →
22!.3 3!77
+
22!.3 × eli6
!2-2
= 2.- → eli6 = −!!.7cm
E1
0,68 m
0,34 m
G
0,62 m
0,44 m
E0
FUSO DI *U]ON Il %uso di *uVon $iene tracciato assu6endo i &unti li6ite e lo s%or5o nor6ale costanti lungo l?asse della tra$e. Lo s%or5o nor6ale considerato Juello in 6e55eria.
M 6in A ) C D
N
c6 2.4 !4. .7
M 6aD
N
!!3.4 72. 2-.
AR,ATURA LON*ITUDINALE ORDINARIA La nor6ati$a &rescri$e l?utili55o di %erri &er un?area non in%eriore allo .!@ della se5ione. Nel nostro caso .!3!7783.!77c6 2 e si utili55ano -^! &er un?area di 3.!- c6 2. #ongo una Juantità analoga di %erri al le6+o su&eriore in 6odo da assor+ire gli s%or5i di tra5ione al tiro. #er i %erri di &arete utili55o /=/ ^! in ca6&ata ed all?a&&oggio aggiungo altri = ^!.
AR,ATURA DI FRETTA**IO Dietro gli a&&arecc1i di ancoraggio necessario dis&orre un?o&&ortuna ar6atura tridire5ionale atta ad assor+ire gli s%or5i di tra5ione e di taglio deri$anti dalla di%%usione delle %or5e concentrate. Tale ar6atura $a calcolata 6ediante i 6etodi canonici. Nel caso in esa6e; a$endo adottato il siste6a di &reco6&ressione ,orandi; il %rettaggio costituito da una ar6atura standard eguale &er ogni ti&o di testata e da una serie di s&e55oni nor6ali all?asse della tra$e c1e attra$ersano il calcestru55o e si agganciano alle sta%%e di cui so&ra costituendo una griglia il nu6ero e la &osi5ione di Juesti s&e55oni $aria in %un5ione del ti&o di ca$i e della di6ensione della testata.
0ERIFICA DI FESSURAZIONE E%%ettuo una $eri%ica allo stato li6ite di deco6&ressione( tro$o il 6o6ento di deco6&ressione c1e ∞ σ t 6i deter6ina
Mdec = W i A
N p A
+
= N p × e p W i
E = !377 × A
2!43 2/7
+ 2!4 × 4 E = 2!kNm 4/77
Con%ronto Mdec con ,6a $alutato con co6+ina5ione di carico %reJuente , 6a8!/7- 9N6 Risulta Mdec > M 6aD → 2! > !/7- dunJue la $eri%ica a deco6&ressione soddis%atta.
0ERIFICA A TA*LIO
y Si calcola ora l?eJua5ione della &ara+ola del ca$o risultante( i
= Ai 2 + Bi
x = L = !3./m 2 A &artire dalla se5ione di 6e55eria; do$e noto B! = B2 = -cme x = L
C.R.
y!
2
= !3./m
B! = -cm y ! = /2cm
= 3;72cm − + !
2
A!
=
-;4/ − ! !2 2
= 3;72cm −
Se5ione
c6
y! AcmE
tan α
senα
C D
!3 !2
.3 .!
./7/ .4!/
./7.4!3
Se5ione
N
N ∞
N senα
N ∞ senα
C D
2/77 27!-
24/ 2!7!
2!7./ 2.4
!-. !44.!
Se5ione D(
+ 6aD = + e""
'l
2
= 2;2! × 2- = 32;2 .N
+ 6in
2
=
/l
2
= 7;2 × 2- = 47;4- .N 2
= + 6in − N senα = 47;4- − 2;4 = −!7 )N
∞ = + 6aD − N ∞ senα = 32;2 − !44.! = !3.-2)N + e""
Se5ione C(
+ 6aD =
'l
=
/l
+ 6in
2
2
− ' = − / =
2;2! × 22 7;2 × 22
− 2;2! × !./ = 24;/)N
− 7;2 × !;/ = 7)N
+ e""
= + 6in − N senα = 7 − 2!7;/ = −!33;/)N
∞ + e""
= + 6aD − N ∞ senα = 24;/ − !-. = 4.2)N
0eri%ica D.,. !-"!"27 &unto -.!.2.!.3.! Con ri%eri6ento alla se5ione C( 2 ./ × b0 × d × A " ctd
1 &d
=
" ctd
= !.- M$a
σ cp =
1 &d
NEd Ac
b0
+ σ cp ×
" ctd E
= ! mm
!
2
d = #− c = !- − - = !3 mm
= 2727.3 = ;3 MPa ≤ .2 × f cd = -.3MPa→ σ cp = -.3MPa 3247
!
= ./ × ! × !2 × A!.- + -.3 × !.-E = --4 )N 2
2
1 &d
∞
≥ 1 %d = + e"" F+ e""
la $eri%ica dunJue soddis%atta.
0eri%ica D.,. !"!"!44
se5ione C
La deter6ina5ione delle tensioni tangen5iali $iene e%%ettuata in corris&onden5a delle seguenti %i+re( '
attacco soletta ani6a(
S 6o6ento statico della corda considerata ris&etto al +aricentro della se5ione S 8 -!22=!!-.3=!!!.3 8 -43/3 cm + × S
τ = '
=
!33;/ × ! 3
× -43/3 × !
2- × ! -
I × b
3
=
× !
;32 M$a
+aricentro(
S 8 -43/3=!-;323.2 8 cm
τ = '
3
+ × s
=
!33;/ × !
I × b
3
3
× × !
2- × !
-
3
× !
= ;73 M$a
attacco +ul+o ani6a(
S 8 -!22=!!-.3=77!!2;38 7-73
τ =
+ × s
=
!33;/ × !3 × 7-73 × !3
I × b
2- × !
-
× !
cm
3
= ;/-4 M$a
Le tensioni nor6ali si $alutano 6ediante la %or6ula(
σ =
N A
+
N × e I
z −
M I
z
Al tiro( N 8 2/77 BN
, 8 -//.7 BN6 e 8 !!.-2 c6
' attacco soletta ani6a 5 8 -c6(
σ =
2/77 × !3
−
2/77 × !3 × !!- ;2
3247
2-
× !
-
- +
-// ;7 × ! 2-
× !
-
- = 4;/7 M$a
La tensione &rinci&ale $ale(
σ − σ 2 σ η = 2
+ -τ
2
=
4;/7 − 4;/7 2
' +aricentro 5 8 (
σ =
2/77 × ! 3 3247
= 7;-- M$a
2
+ - × ;32
2
= −;-!4 M$a
σ − σ 2 σ η = 2
+ -τ
2
=
7;-- − 7;-- 2
+ - × ;73
2
= −;72 M$a
2
' attacco soletta ani6a 5 8 3!;/c6(
σ =
2/77 × !3
σ η
2- × !
3247
σ − σ 2 σ η = 2 La
+
2/77 × !3 × !!- ;2
+ -τ
2
-
3!/
/;-3/ − /;-3/ 2 = 2
in ogni %i+ra de$e essere in%eriore a
−
-// ;7 × ! 2- × !
+ - × ;/-4
.2 &c)-
-
3 = /;-3/ M$a
2
= −./-/ M$a
= ! M$a ; la $eri%ica risulta soddis%atta.
La sta%%atura 6ini6a si rica$a dal &unto -.!.7.2.2 del D.,. !-"!"7 _Si do$ranno dis&orre sta%%e a$enti se5ione co6&lessi$a non in%eriore a !; + 66"6J essendo + lo s&essore 6ini6o dell?ani6a; con 6ini6o tre sta%%e al 6etro` !. + 8 !.!82- mm Utili55o sta%%e
2
"m
φ ! a 2 +racci ogni 2 c6.
Agli a&&oggi risulta !. + 8 !.-8/ mm Utili55o sta%%e
2
"m
φ ! a - +racci ogni ! c6.
0ERIFICA ALLO SLU Tale $eri%ica e%%ettuata nella se5ione di 6e55eria A c1e risulta la &i sollecitata a %lessione. Il
$× %2 M Ed = 7 6o6ento di calcolo allo SLU il 6o6ento 6assi6o so&&orta+ile
3.33 × 2/.- 2 = 7
= 3-4.3kNm
$errà con%rontato con
M &d ottenuto i&oti55ando un alte55a dell?asse neutro e un
diagra66a delle de%or6a5ioni con li6ite ulti6o del calcestru55o co6&resso
ε cu
= .3@ e
Juindi calcolare le risultanti di tra5ione e co6&ressione diagra66a stress'+loc9 &er tentati$i %ino a Juando Jueste non risultano uguali.
Dati(
A = 2/7cm2
= !32-; cm-
Af = Af = 3.!-cm2 A "p = 22;24 cm
N∞ = !7.4 KN 2
% c
= 3/!!! M$a
f cd = 2!.!/ MPa
n=
" p A!E ) = " yd
!/ !.!
= !-2 M$a
ε sy
= 34!.3 M$a
N N × e2 σ c. fina%e = + A
ε c ; "ina le
ε dec
ε spy
=
σ c ; "in ale
=
% c
= ε
c ; "ina le
2!43 × ! 3 = 2/7
!-.2 3/!!!
+ ε
s ; "inale
=
=
=
!-2 2 34!.3
2!
= ./2@
= .!7@
2!43 × ! 3 × 4 2 + 7!4-! × ! -
.37-
= !-.2MPa
ε s ; "ina le
=
N A s × % s
=
!44 × ! 3 2224 × 2
= .--
= .-7-
I TENTATI0O( #er il calcolo del 6o6ento ulti6o si &rocede &er tentati$i i&oti55ando la &ro%ondità dell?asse neutro. Il &ri6o tentati$o c1e nor6al6ente si e%%ettua la rottura +ilanciata; la rottura otti6ale &er la se5ione o$$ero Juella c1e &resenta una de%or6a5ione ulti6a nel calcestru55o &ari al 3;b e nell?acciaio dolce al le6+o in%eriore &ari a !@. Fatta Juesta i6&osi5ione &ossi+ile tro$are l?asse neutro co6e il luogo dei &unti di de%or6a5ione nulla; con una se6&lice &ro&or5ione tra triangoli(
* c+ '
=
1
d − '
Do$e
* c+ =0,35 d = H − 8 !- - 8 !3 66 H l?alte55a della se5ione 8 !- 66 il co&ri%erro ' la &ro%ondità dell?asse neutro ris&etto al le6+o su&eriore
' =0,259 ×d =31,9 c m
Una $olta calcolata la &ro%ondità dell?asse neutro utili55ando il diagra66a ' di ti&o _stress +loc9` si sa c1e il diagra66a delle tensioni agisce soltanto &er una &ro%ondità &ari a ;7 ' . A Juesto &unto +isogna calcolare la risultante di co6&ressione dell?acciaio e del calcestru55o e $eri%icare se eguaglia Juella di tra5ione do$uta all?acciaio da &reco6&ressione e da Juello dolce teso. :ualora Juesta uguaglian5a non sia $eri%icata; la &osi5ione dell?asse neutro s+agliata in Juanto la se5ione non in eJuili+rio. )isognerà Juindi &assare ad un ulteriore tentati$o; a++assando o al5ando la &osi5ione dell?asse neutro.
c
= 3!;4cm
ε s
=
ε sp
=
.3@ × A!3 − 3!;4 − -E 3!;4 .3@ × A!3 − 3!;4 − !E 3!;4
1 stress'+loc9
.7 × c
= !;32@ > ε sy → sner*ata → σ s =
" yd
+ ε dec = !;-!@ > ε spy → sner*ata → σ sp =
" p A!E )
= 2;2cm
C = A!2 × - + ! × !- + !3;2 × !E × 22./ + 42- × 34!.3 = 2- .N + = 2224 ; × !-2 + 42- × 34!.3 = 344 .N C T a++asso l?asse neutro
II TENTATI0O
c
= 7cm
ε s
=
ε sp
=
σ s
= ε sp × % sp = !3!7 M$a
.3@ × A!3 − 7 − -E
= .2!@ > ε → sner*ata → σ = sy
7 .3@ × A!3 − 7 − !E 7
s
+ ε dec = .4@ < ε spy → 1 stress'+loc9
" yd
in ca6&o elastico
.7 × c
= -cm
C = A!2 × - + ! × !- + 7 × !E × 22./ + 42- × 34!.3 = -37!)N + = 2224 ; × !3!7 + 42- × 34! .3 = 33 )N C f T al5o l?asse neutro
III TENTATI0O
c
= cm
ε s
=
ε sp
=
.3@ × A!3 − − -E
= .37@ > ε → sner*ata → σ = sy
.3@ × A!3 − − !E
1 stress'+loc9
.7 × c
" yd
+ ε = ;73- > ε → sner*ata → σ = dec
s
spy
sp
" p A!E )
= -7cm
C = A!2 × - + ! × !- + 3 × !E × 22./ + 42- × 34!;3 = 322 )N
+ = 2224 ; × !-2 + 42- × 34!;3 = 344 .N C T a++asso l?asse neutro
I0 TENTATI0O
c
= cm
ε s
=
ε sp
=
.3@ × A!3 − − -E
= .327@ > ε → sner*ata → σ = sy
.3@ × A!3 − − ! E
1 stress'+loc9
.7 × c
" yd
+ ε = .73@ > ε → sner*ata → σ = dec
s
spy
sp
" p A!E )
= 2cm
C = A!2 × - + ! × !- + - × !E × 22./ + 42- × 34!.3 = 33 )N + = 2224 ; × !-2 + 42- × 34!.3 = 344 .N C T a++asso l?asse neutro
0 TENTATI0O
c
= /cm
ε s
=
ε sp
=
1
.3@ × A!3 − / − -E /
= .27@ > ε sy → sner*ata → σ s =
.3@ × A!3 − / − !E
stress'+loc9
/ .7 × c
" yd
+ ε dec = ./3-@ > ε spy → sner*ata → σ sp =
" p A!E )
= cm
C = A!2 × - + ! × !- + -- × !E × 22./ + 42- × 34!.3 = 34/ )N + = 2224 ; × !-2 + 42- × 34!.3 = 344 .N
C ≅ + )aricentro delle risultanti degli s%or5i di &reco6&ressione ris&etto al le6+o su&eriore(
- × !2 × + ! × !-; × !;3 + ! × ! × -/; + × 4.2- × - × !2 + ! × !-; + ! × ! + × 4.2-
= 27;cm
)aricentro delle risultanti degli s%or5i di tra5ione ris&etto al le6+o su&eriore(
!-.2 × 22.24 × !2 + 3.4!3 × 4.2- × !2 !-.2 × 22.24 + 4.2- × 3.4!3
= !2.cm
)raccio della co&&ia interna
d 8 !2;'27. 8 42; c6 ,o6ento resistente(
M &d
= C × d = 34/ × .42 = 33!!)Nm
M &d
> M %d
la $eri%ica soddis%atta
