Politecnico di Torino A.A. 2013-2014 Fisica I
prof. Dario Daghero prof. Paolo prof. Paolo Giaccone
Relazioni di Laboratorio Laboratorio
Relatori: Cristian Sales, Santo Scavuzzo, Simone Seminara
1
Laboratorio di Fisica 1 Politecnico di Torino - A.A. 2013-2014 Prof. Dario Daghero – prof. prof. Paolo Giaccone
Scopo dell’esperimento:
Gli obiettivi sono:
Verificare, attraverso lo studio del moto del pendolo del pendolo semplice, come le ripetute misure del periodo d'oscillazione, ottenute in presenza di incertezze casuali, descrivono una curva di distribuzione normale ( gaussiana); Determinare una stima della misura dell'accelerazione di gravità g gravità g , servendosi delle misure effettuate.
Strumenti e materiali adoperati:
Un cronometro per determinare il periodo del pendolo; Un calibro per misurare il diametro della sfera; Un metro retrattile per valutare la lunghezza del filo.
Strumenti
Sensibilità
Cronometro
1 ∙ 10^(-3) 10^(-3) s
Calibro
2 ∙ 10^(-5) 10^(-5) m
Metro
1 ∙ 10^(-3) 10^(-3) m
2
Schema:
Il pendolo Il pendolo semplice è semplice è costituito da un punto materiale, in cui si suppone sia concentrata tutta la massa m, appeso m, appeso ad un filo ideale, cioè inestensibile e di massa trascurabile. Quando il filo è in verticale si ha la posizione di equilibrio statico. Spostando il punto dalla posizione di equilibrio, questo inizia ad oscillare lungo un arco di circonferenza, in un piano verticale. Le forze che agiscono sono la tensione del filo T g di conseguenza l’equazione del moto è: filo fi lo e la forza peso m
T filo g = ma fi lo + m
L
La massa m oscilla lungo un arco di circonferenza di raggio L raggio L,, e l’equazione del moto scritta lungo la componente parallela p arallela alla traiettoria risulta essere:
Tfilo
mg sen sen = = m a // = = m L d d 2 /dt /dt 2
Se le oscillazioni sono piccole ( ( 0.122 rad=7°), si può approssimare, grazie ai noti sviluppi in serie di Taylor, il sin il sin con con , e si ottiene:
d
2
dt
2
g L
mg
0
che ammette come soluzione, posto 2 = g/L : g/L :
= = 0 sin ( t t + ) )
Il moto è quindi periodico e il periodo risulta essere:
T
2
2
L g
Nel corso dell’esperimento è stata reiterata reiterata la misurazione del periodo del pendolo e i dati raccolti sono stati trascritti e rielaborati al computer tramite un foglio di calcolo Excel al fine di ottenere uno studio statistico dell’esperienza del l’esperienza.. 3
Grandezze:
1. l: lunghezza del pendolo; 2. r: raggio della sferetta; 3.
:
angolo di spostamento rispetto alla posizione di equilibrio;
4. T5i : i-esimo tempo di 5 oscillazioni; os cillazioni; 5. t5i : i-esimo periodo; 6.
T valore
medio del periodo
7. deviazione standard del valore medio 8. sx: deviazione standard sperimentale
Descrizione:
Si misura innanzitutto la lunghezza del filo del pendolo tramite un metro a nastro Lunghezza filo: filo: l = = 0.800 ± 0.001 m Utilizzando il calibro, si misura il diametro della sfera s fera prestando attenzione a misurare la circonferenza massima. Tenendo conto delle incertezze strumentali, si è ottenuta la misura del raggio, dividendo per due il valore precedentemente rilevato. Diametro: Diametro: d= 0,02470 ± 0.00002 m Raggio: Raggio: r= 0.01235 ± 0.00001 m
Per avere angoli < 7°, si sposta la sferetta dalla posizione di equilibrio di una distanza pari ad 1/10 del valore di L. In questo modo:
= arctg (1/10) = 5.7°
4
La misura del periodo, per ovviare a incertezze come quella del cronometro digitale e quella dei tempi di risposta dell'operatore, è stata rilevata dividendo per 5 l'intervallo di 5 oscillazioni complete del pendolo. Sono state effettuate 100 misure del periodo, i valori t5i , con 1≤ i ≤ 100, 100, progressivamente ottenuti sono stati riportati nel foglio di lavoro Excel, sul quale erano implementate le formule seguenti.
Valore medio:
Deviazione standard del valore medio:
Con:
E’ riportata E’ riportata nella pagina successiva la tabella con i dati rilevati attraverso le 100 misurazioni effettuate.
5
Numero misura Durata Durata n (=5) (=5) oscillazioni oscillazi oni (s (s Periodo (s) 1 9,20 1,840 2
9,16
1,832
3
9,13
1,826
4
9,18
1,836
5 6 7
9,21 9,17 9,21
1,842 1,834 1,842
8
9,14
1,828
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
9,17 9,17 9,09 9,15 9,08 9,07 9,15 9,15 9,10 9,12 9,15 9,14 9,13 9,13 9,16 9,15 9,12 9,09 9,18 9,07 9,14 9,13 9,15 9,17 9,11 9,09 9,12 9,17 9,07 9,10 9,11 9,08 9,19 9,17 9,12 9,18 9,15 9,18 9,14 9,17 9,09 9,17
1,834 1,834 1,818 1,830 1,816 1,814 1,830 1,830 1,820 1,824 1,830 1,828 1,826 1,826 1,832 1,830 1,824 1,818 1,836 1,814 1,828 1,826 1,830 1,834 1,822 1,818 1,824 1,834 1,814 1,820 1,822 1,816 1,838 1,834 1,824 1,836 1,830 1,836 1,828 1,834 1,818 1,834
51
9,16
1,832
52
9,08
1,816
53
9,12
1,824
54
9,15
1,830
55 56
9,11 9,13
1,822 1,826
57
9,17
1,834
58
9,16
1,832
59
9,14
1,828
60
9,13
1,826
61
9,11
1,822
62
9,15
1,830
63 64
9,17 9,15
1,834 1,830
65
9,09
1,818
66
9,13
1,826
67
9,11
1,822
68
9,11
1,822
69
9,16
1,832
70
9,18
1,836
71
9,15
1,830
72 73
9,13 9,15
1,826 1,83
74
9,17
1,834
75
9,13
1,826
76
9,18
1,836
77
9,14
1,828
78
9,09
1,818
79
9,13
1,826
80
9,12
1,824
81
9,17
1,834
82
9,11
1,822
83
9,21
1,842
84
9,12
1,824
85
9,16
1,832
86
9,11
1,822
87 88
9,09 9,15
1,818 1,830
89
9,12
1,824
90
9,14
1,828
91
9,19
1,838
92
9,17
1,834
93
9,13
1,826
94
9,08
1,816
95
9,13
1,826
96 97
9,16 9,14
1,832 1,828
98
9,15
1,830
99
9,12
1,824
100
9,15
1,830
6
Dalle formule riportate in pagina 5 si sono ottenuti i dati presenti pres enti in tabella: Periodo medio Tm (s)
1,82774
Deviazione Standard ST (s)
0,006682738
Deviazione Standard sulla media S Tm(s)
0,000668274
Alla luce di questi dati, è stato possibile tracciare l'istogramma relativo alle frequenze dei valori di T, dividendo l'intervallo tra il valore massimo ed il valore minimo di T in 8 e 9 classi, il primo con un Δt di 0,0040 s e in secondo con uno di 0,0035 s. Nel grafico sull'asse delle ascisse vengono posti i valori del periodo T, mentre su quello delle ordinate le relative frequenze.
Figura1 Istogramma classi.
con
8
Figura2 Istogramma classi.
con
9
60
50
40
30 Serie1 20
10
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
7
Invece nei grafici seguenti è riportata la Curva di Gauss relativa alle frequenze dei tempi, in base alla seguente formula:
Con µ =
T
e σ = ST
Figura3 Gaussiana con 8 classi.
Figura4 Gaussiana con 9 classi.
8
Per avere una stima esatta del valore del periodo T bisognerebbe fare un numero di misurazioni notevolmente superiore rispetto a quelle effettuate, e ffettuate, quindi in questo caso il valore da ritenersi più preciso è quello che si aggira nella parte centrale della campana gaussiana, campana gaussiana, laddove si addensano i valori più frequenti rilevati. L’istogramma con 9 classi risulta più lontano dalla curva ideale poiché con l’aumentare del numero di classi aumenta la precisione delle distribuzioni. Essendo l’esperimento fatto in condizioni non ideali, l’ l ’aumento di precisione fa emergere gli errori compiuti durante l’ l’esperimento.
Sulla base dei dati ottenuti, si è proceduto al calcolo dell'accelerazione dell' accelerazione gravitazionale, usando la formula:
con risultato: g=9.60 risultato: g=9.60 m/s^2. La sua incertezza Δg è stata è stata ricavata partendo dalla definizione di errore relativo, ossia:
a sua volta ricavabile grazie alle regole di propagazione degli errori (in questo caso di prodotti) con la formula:
ove ET e EL rappresentano rispettivamente gli errori relativi delle misurazioni del periodo e della lunghezza del pendolo. Si è ottenuto dunque un errore relativo: Eg =0,013 Da cui Δg = 0,13 m/s^ 2 Dunque una prima determinazione dell'accelerazione gravitazionale risulta essere g= 9.60 ± 0,13 m/s^ 2 Il cui confronto con la costante riconosciuta dal S.I. (9,81 m/s^ 2) è accettabile considerando che: - essa non si discosta molto dal range di valori ricavato; - le misurazioni rispettano relativamente il grafico della distribuzione normale.
9
Nella seconda parte dell’ dell’esperienza abbiamo determinato nuovamente il valore dell’ dell’accelerazione di gravità g. Sono state eseguite 5 misure del periodo T di di oscillazione del pendolo per 5 diversi valori di lunghezza L. lunghezza L. Per Per ogni valore di L di L si si è determinato il periodo medio Tm con la relativa incertezza assoluta, ricordando che questa coincide con il semiscarto. Misure al variare di L
Lunghezza 1
L1 (m) 0,81235
Numero misura
Durata n (=5) oscillazioni (s) 1 2 3 4 5
Lunghezza 2
9,13 9,11 9,11 9,16 9,18
Periodo (s) Tm (s) Incertezza=semiscarto=(Max-Min)/2 1,826 1,8276 0,007 1,822 1,822 1,832 1,836
L2 (m) 0,76235
Numero misura
Durata n (=5) oscillazioni (s) 1
Periodo (s) Tm (s) Incertezza=semiscarto=(Max-Min)/2 8,82 1,764 1,7600 0,006
2 3
8,80 8,77
1,760 1,754
4 5
8,83 8,78
1,766 1,756
Lunghezza 3
L3 (m) 0,71235
Numero misura
Durata n (=5) oscillazioni (s) 1 2 3 4 5
Lunghezza 4
8,59 8,63 8,63 8,68 8,65
Periodo (s) Tm (s) Incertezza=semiscarto=(Max-Min)/2 1,718 1,7272 0,009 1,726 1,726 1,736 1,730
L4 (m) 0,66235
Numero misura
Durata n (=5) oscillazioni (s)
Periodo (s)
1 2 3
8,22 8,24 8,19
1,644 1,648 1,638
4 5
8,23 8,21
1,646 1,642
Tm (s)
Incertezza=semiscarto=(Max-Min)/2
1,6436
0,005
10
Lunghezza 5
L5 (m) 0,56235
Numero misura
Durata n (=5) oscillazioni (s) 1 2 3 4 5
7,58 7,63 7,65 7,57 7,59
Periodo (s) Tm (s) Incertezza=semiscarto=(Max-Min)/2 1,516 1,5208 0,008 1,526 1,530 1,514 1,518
Secondo la relazione T
2
2
L g
Si ricava che (T m) 2 =4π =4π 2 (L/g) E' stato dunque disegnato il grafico con i dati di L (in metri) sulle ascisse e quelli di (T m) 2 (in secondi al quadrato) sulle ordinate, interpolandoli attraverso il metodo dei minimi quadrati, le cui formule sono riportate in basso, al fine di ottenere i parametri A e B della funzione y=Ax+B, nella quale, idealmente, A= 4π 4 π 2 /g e B=0.
A
ΔA
B
ΔB
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Il valore di B=0,016 s 2 è prossimo allo zero, tuttavia mai uguale per via dell'accumulo di varie incertezze (casuali, accidentali, sistematiche). Il valore di A=4,088 s 2 /m e delle loro incertezze (Δ ( ΔA = 0,207 s 2/m e ΔB = 0,146 s 2) permettono di dare una nuova determinazione del valore di g di g e della sua incertezza. Dunque la seconda determinazione del valore di g, di g, risulta essere: g= 9.66 ± 0.49 m/s2
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Conclusioni e considerazioni finali
I metodo
II metodo
Valore SI
g= 9.60 ± 0,13 m/s2
g= 9.66 ± 0.49 m/s2
g= 9,81 m/s 9,81 m/s2
Confrontando i due valori ottenuti per mezzo di due differenti metodi di rilevazione di g si può evincere come le misure fatte siano approssimativamente valide in quanto cadono in un range accettabile del valore convenzionale dell'accelerazione di gravità g. Bisogna tuttavia sottolineare che sono state commesse alcune imprecisioni al momento delle rilevazioni. In particolare: • ogni lunghezza del filo è stata misurata solo una volta, per cui come incertezza su di esse sono state assunte esclusivamente le sensibilità strumentali; • l'ambiente e la strumentazione non erano in condizioni ideali (massa non puntiforme né omogenea, presenza di attriti, attriti, correnti d'aria,...); • un errore di parallasse dovuto all'applicazione in 2D di un problema in realtà tridimensionale (risulta impossibile far sì che la traiettoria della sfera giaccia su un piano). Nella nostra esperienza si è riscontrato un fatto fatto anomalo nella realizzazione nel grafico del fit lineare. Le incertezze sui dati del fit erano così basse da rendere quasi invisibile le barre di incertezza nel grafico.
Torino 23/05/2014 Cristian Sales Santo Scavuzzo Simone Seminara
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