Relazione: Il Pendolo semplice

Relazione di laboratorio 07/03/2007 e 28/03/2007 del corso di Fisica generale I prof. Gerbaldo

IL PENDOLO SEMPLICE

1. Relazione di Camillo Stefanucci. Corso di laurea in Ingegneria Fisica



OBIETTIVI DELL’ESPERIENZA IN LABORATORIO

Le due esperienze di laboratorio si proponevano di studiare il moto del pendolo semplice secondo la meccanica classica per raggiungere sostanzialmente due diverse conclusioni ben distinte: - La verifica della legge teorica per angoli di oscillazione piccoli per ricavare un valore approssimativamente esatto dell’accelerazione di gravità. - La verifica della proporzionalità tra periodo e lunghezza in modo da ricavare da un’esperienza una legge fisica. - L’analisi statistica dei dati attraverso diagrammi e valutazione degli errori. 

MATERIALE UTILLIZZATO

- Pendolo semplice: costituito da un filo di nylon legato a un supporto stabile con altezza regolabile alla cui estremità è collegata una sferetta metallica. - Cronometro digitale: timer utilizzato per la determinazione del periodo del pendolo, elettronico e maneggevole con diversi tasti e con la precisione di 0,001 s. - Calibro: strume strumento nto per misurar misuraree le piccole misure di lunghezza con una precisi precisione one di 0,02 mm (come indicato dalla casa produttrice) - Metro a nastro: comunissimo metro usato per misurare lunghezze varie che presenta una precisione di 1 mm. 

DESCRIZIONE DELL’ESPERIENZA

L’esperienza di laboratorio consisteva in varie fasi nel prendere delle misure con gli strumenti a disposizione e rielaborarle attraverso un’analisi sia fisica che statistica. 1) Misurazione della lunghezza del pendolo

La prime misure prese in laboratorio sono state effettuate sulla massa sferica presente all’est all ’estremi remità tà del fil filoo (che con consid sideria eriamo mo rig rigido ido e ine ineste stensi nsibil bilee per risp rispett ettare are gli standard della meccanica classica) per determinarne le dimensioni e di conseguenza la lunghezza totale l del pendolo. Attraverso il calibro si è data una stima del diametro d della massa cercando di essere i più precisi possibile nel centrare l’estremità dello


strumento a metà della sfera. Ripetendo questa delicata operazione due-tre volte si è giunti a una misura che è stata riportata in tabella a pag(7) con il relativo errore che rappresenta in questo caso l’incertezza dello strumento usato. Oltre al diametro è necessario però conoscere anche la lunghezza h del filo di nylon utilizzato. Essendo in questo caso un oggetto considerabile unidimensionale si è ricorso al metro a nastro. Poggiando un’estremità del metro sulla parte inferiore del supporto a cui era collegato il filo (punto vincolante del pendolo semplice così considerato) e l’altra estremità sulla parte superiore della massa (li dove finiva il filo) si è ricavata una lunghezza con la relativa incertezza (maggiore della prima a causa di uno strumento meno sensibile) dopo diverse misurazioni (3-4) cercando di tenere il metro il più aderente possibile al filoo te fil teso. so. Pur Purtr trop oppo po la lu lung nghez hezza za to total talee de dell si sist stem emaa fi fisi sico co spe speri rime ment ntal alee no nonn è determinabile solo attraverso la somma di queste due misurazioni ossia raggio+filo perché ci si è accorti che il filo non è legato esattamente alla sfera ma a un pernetto la cui dimensione non può essere trascurata. Per questo si è dovuto calcolarla ricorrendo nuovamente al calibro e considerando questa volta la distanza verticale sfera+perno che indichiamo con p. Quest’ultima misurazione ci permette di trovare la lunghezza l della legge fisica presa in considerazione considerando la lunghezza del filo, quella del pernetto e quella del raggio della massa come segue: Una piccola nota che verrà approfondita in seguito riguarda la scelta di considerare come l la distanza dal punto vincolante fino al centro della massa; questo non è un caso perché meccanicamente il pendolo semplice dovrebbe avere alla sua estremità un punto materiale e non una corpo fisico. 2)Misurazione del periodo di oscillazione

Il passo successivo consisteva nel misurare il periodo di oscillazione del pendolo. Per questo ci siamo serviti del cronometro digitale a nostra disposizione e abbiamo segnato i relativi tempi misurati che sono riportati in tabella a pag (5). Questi tempi, tempi, tuttavia, non sono relativi a ogni singola oscillazione ma per diminuire gli errori sono statii camp stat campion ionati ati sul min minimo imo con consig siglia liato to ossi ossiaa ogni 5 osci oscill llazi azioni oni.. Per fare tal talii misurazioni si è allontanata la massa dalla posizione di equilibrio di una distanza x 3. Relazione di Camillo Stefanucci. Corso di laurea in Ingegneria Fisica

tenuta costante da un supporto metallico su cui veniva poggiata. Lasciandola libera essa iniziava le sue oscill oscillazioni azioni i cui tempi sono stati cronometrati cronometrati però non a partir partiree dalla dal la pri prima ma ma dal dalla la te terza rza o qu quart artaa in qua quant ntoo le pri prime me osc oscil illa lazio zioni ni era erano no di assestamento ossia necessarie alla massa per stabilizzarsi senza ulteriori oscillazioni o

rotazioni attorno al proprio asse che possono contribuire all’errore sperimentale. Altra accortezza è stata quella di far si che il moto oscillatorio si svolgesse rigorosamente su un piano e non su un’ellisse. Le oscillazioni sono state cronometrate 120 volte questo per due ragioni: 1) diminuire in modo considerevole l’errore commesso sulla misur mi suraz azio ione ne e 2) per av avere ere un unaa qu quant antit itàà su suffi ffici cient entee di dat datii da ma mani nipol polar aree per dimostrare statisticamente che hanno una distribuzione normale. Eliminando tutti gli errori sistematici possibili sulla misurazione hanno inciso soprattutto errori casuali dovuti soprattutto dal ritardo di riflessi nel segnare le serie di oscillazioni concluse. In queste misurazioni le uniche misure scartate sono state quelle di errori di conteggio o di ri rifl fles essi si al alta tamen mente te evi evide denti nti,, me ment ntre re le al altre tre son sonoo st stat atee it itera erate te e con consi sider derat atee nell’analisi statistica (che verrà approfondita in seguito). 3)Calcolo dell’accelerazione di gravità

Dalla teoria si è presa in considerazione la funzione f(l,T) che ci permetteva di calco cal cola lare re l’ l’ac accel celer erazi azione one di gr gravi avità tà nel la labor borat ator orio io in cu cuii è st stat atoo ef effet fettu tuat atoo l’esperimento (Torino). Avendo tutti i dati a disposizione (lunghezza del pendolo e periodo medio) si è proceduti alla valutazione di tale costante. Ovviamente per vedere se il valore ottenuto era corretto sperimentalmente bisognava calcolarne in relativo errore e confrontarlo con il valore corretto di g . Questo è stato fatto dopo l’analisi statistica e ci ha permesso di trarre una conclusione concreta dell’esperimento. 4)Misurazione di periodi a diverse lunghezze

La seconda e ultima esperienza di laboratorio prevedeva di calcolare invece la costante gravitazionale g attraverso un metodo diverso. Per questo si è preso un altro pendolo e sono state fatte le stesse misurazioni di cui al punto 1 per determinare la lunghez lung hezza za del sist sistema ema sferetta+perno. Con Consi side derat ratoo que quest stoo va valo lore re cos costa tant ntee si è calcolato il periodo di oscillazione del pendolo variando 6-7 volte la lunghezza del filo. Dapprima si son considerate lunghezze molto piccole che prevedevano un valore 4. Relazione di Camillo Stefanucci. Corso di laurea in Ingegneria Fisica

elevato del periodo e su cui si sono commessi errori soprattutto dovuti ai tempi di reazione degli sperimentatori. Scartate queste misure, inaccettabili, si è proceduto con l’esperienza del punto 2 (calcolare il periodo di 5 oscillazioni una decina di volte) per 5 diverse lunghezze h del filo e di conseguenza del pendolo. Tutte le misurazioni effettuate sono riportate nelle pagine 7-8. Abbiamo successivamente riportato le misurazioni su un grafico T , l e attraverso il metodo dei minimi quadrati abbiamo interpolato i dati raccolti ricavando una proporzionalità diretta tra le due misure (verificando la legge teorica) e quindi la costante di proporzionalità che ci ha permesso di calcolare l’accelerazione di gravità g. 

RACCOLTA E RIELABORAZIONE DEI DATI

Nella tabella seguente è riportato l’elenco dei tempi misurati ogni 5 oscillazioni che ci ha permesso dividendo per 5 di ottenere il periodo di ogni singola oscillazione approssimato a 0,001 s (l’incertezza dello strumento). Il valore medio risultante da tali misurazioni corrisponde in effetti alla media aritmetica di questi e quindi:

A ogni periodo poi è possibile associare uno scarto che è importante nell’analisi statistica e nella determinazione dell’errore commesso sulla misura, dato da:

(Curiosità: la somma degli scarti di tutte le misure effettuate è sempre nulla!) Tempo

Periodo

Scarto

Tempo

Periodo

Scarto

7,545 7,547 7,562 7,570 7,572 7,576 7,578 7,588 7,588 7,590 7,596

1,509 1,509 1,512 1,514 1,514 1,515 1,516 1,518 1,518 1,518 1,519

0,023 0,022 0,019 0,018 0,017 0,016 0,016 0,014 0,014 0,014 0,012

7,661 7,662 7,662 7,664 7,664 7,664 7,664 7,665 7,665 7,665 7,667

1,532 1,532 1,532 1,533 1,533 1,533 1,533 1,533 1,533 1,533 1,533

-0,001 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 -0,002


Tempo

Periodo

Scarto

Tempo

Periodo

Scarto

7,599 7,602 7,609 7,612 7,614 7,616 7,618 7,620 7,620 7,621 7,622 7,625 7,625 7,626 7,626 7,627 7,627 7,630 7,635 7,637 7,637 7,638 7,638 7,638 7,638 7,638 7,640 7,642 7,643 7,644 7,644 7,644 7,645 7,646 7,646 7,647 7,648 7,648 7,649 7,649 7,649 7,651 7,651

1,520 1,520 1,522 1,522 1,523 1,523 1,524 1,524 1,524 1,524 1,524 1,525 1,525 1,525 1,525 1,525 1,525 1,526 1,527 1,527 1,527 1,528 1,528 1,528 1,528 1,528 1,528 1,528 1,529 1,529 1,529 1,529 1,529 1,529 1,529 1,529 1,530 1,530 1,530 1,530 1,530 1,530 1,530

0,012 0,011 0,010 0,009 0,009 0,008 0,008 0,008 0,008 0,007 0,007 0,007 0,007 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 0,005 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001

7,669 7,670 7,670 7,671 7,671 7,672 7,675 7,675 7,675 7,676 7,676 7,676 7,677 7,680 7,680 7,681 7,681 7,683 7,684 7,685 7,685 7,686 7,688 7,688 7,689 7,690 7,693 7,697 7,697 7,698 7,700 7,701 7,701 7,709 7,710 7,713 7,713 7,715 7,715 7,717 7,719 7,719 7,720

1,534 1,534 1,534 1,534 1,534 1,534 1,535 1,535 1,535 1,535 1,535 1,535 1,535 1,536 1,536 1,536 1,536 1,537 1,537 1,537 1,537 1,537 1,538 1,538 1,538 1,538 1,539 1,539 1,539 1,540 1,540 1,540 1,540 1,542 1,542 1,543 1,543 1,543 1,543 1,543 1,544 1,544 1,544

-0,002 -0,002 -0,002 -0,003 -0,003 -0,003 -0,003 -0,003 -0,003 -0,004 -0,004 -0,004 -0,004 -0,004 -0,004 -0,005 -0,005 -0,005 -0,005 -0,005 -0,005 -0,006 -0,006 -0,006 -0,006 -0,006 -0,007 -0,008 -0,008 -0,008 -0,008 -0,009 -0,009 -0,010 -0,010 -0,011 -0,011 -0,011 -0,011 -0,012 -0,012 -0,012 -0,012


Tempo

Periodo

Scarto

Tempo

Periodo

Scarto

7,652 7,653 7,653 7,654 7,655 7,658

1,530 1,531 1,531 1,531 1,531 1,532

0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000

7,729 7,737 7,745 7,759 7,765 7,767

1,546 1,547 1,549 1,552 1,553 1,553

-0,014 -0,016 -0,017 -0,020 -0,021 -0,022

Nella prossima tabella sono invece stati riportati i valori calcolati di varie misure associando a ognuno di essi un’incertezza che in questo caso è stata considerata come la precisione dello strumento: Misura effettuata

Lunghezza del filo Diametro della massa sferica Lunghezza della massa sferica

Valore trovato

0,567 m 0,02452 m 0,02671 m

Incertezza

0, 001 m 0,00002 m 0,00002 m

compreso il perno superiore Nella Nella pro prossim ssimaa tab tabell ellaa sono inv invece ece ripo riporta rtate te le mis misuraz urazion ionii fat fatte te sul sulle le div diverse erse lunghezze del filo del secondo pendolo con le relative incertezze strumentali: Misura effettuata

Diametro della massa sferica Lunghezza della massa sferica compreso il perno superiore Lunghezza del filo dA Lunghezza del filo dB Lunghezza del filo d1 Lunghezza del filo d2 Lunghezza del filo d3 Lunghezza del filo d4 Lunghezza del filo d5

Valore trovato

Incertezza

0,215 m 0,241 m 0,285 m 0,322 m 0,343 m 0,402 m 0,450 m

0,001 m 0,001 m 0,001 m 0,001 m 0,001 m 0,001 m 0,001 m

0,02488 m 0,02654 m

0, 000 02 m 0, 00002 m

In quest’ultima tabella sono stati riportati invece i tempi misurati alle varie distanze d del punto precedente con i relativi periodi di oscillazione divisi per 5 (il numero di oscillazioni di ogni intervallo temporale) e i relativi valori medi calcolati nel metodo analogo a quanto fatto per la prima tabella:


Tempo Period Tempo Period Tempo Period Tempo Period Tempo Period 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5,496 5,515 5,465 5,513 5,478 5,453 5,523 5,497 5,440 5,540

1,099 1,103 1,093 1,103 1,096 1,091 1,105 1,099 1,088 1,108

5,827 5,773 5,824 5,816 5,823 5,779 5,793 5,858 5,833 5,800

1,165 1,155 1,165 1,163 1,165 1,156 1,159 1,172 1,167 1,160

5,953 5,967 6,096 5,922 6,034 5,998 5,977 6,042 6,084 5,963

1,191 1,193 1,219 1,184 1,207 1,200 1,195 1,208 1,217 1,193

6,487 6,436 6,472 6,523 6,430 6,520 6,520 6,403 6,414 6,518

1,297 1,287 1,294 1,305 1,286 1,304 1,304 1,281 1,283 1,304

6,769 6,772 6,851 6,900 6,811 6,831 6,942 6,819 6,835 6,848

1,354 1,354 1,370 1,380 1,362 1,366 1,388 1,364 1,367 1,370

VALORI MEDI

1,098 s 

1,163 s

1,201 s

1,294 s

1, 3 6 6 s

ANALISI STATISTICA E ANALISI DEGLI ERRORI

Come ulteriore scopo dell’esperienza di laboratorio c’era da analizzare ed elaborare i dati statisticamente. Dapprima servendoci degli strumenti della statistica descrittiva abbiamo verificato che i dati raccolti sui periodi si distribuivano su una gaussiana. Per far questo è stato utile l’utilizzo del calcolatore con il foglio di calcolo excel che ci ha permesso di stilare degli istogrammi molto significativi. Dividendo infatti i dati in 10 classi equispaziate abbiamo riportato

la

frequenza

dei

dati

ottenendo quanto segue: Scala

Tempi

Frequenza

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,513 1,518 1,522 1,527 1,531 1,536 1,540 1,545 1,549 1,553

3 8 5 17 27 29 16 10 3 3


(La scelta di 10 classi è presa sotto consiglio di dividere i dati approssimativamente in √N classi dove N rappresenta il numero di dati raccolti). Dal po poli ligon gonoo di fre freque quenz nzaa ot otte tenu nuto to da dall llaa spe spezz zzat ataa ch chee uni unisce sce i pi picc cchi hi de degl glii camp mpan ana” a” de isto is togr gram ammi mi si in indi divi vidu duaa la di dist stri ribu buzi zion onee “a ca deii da dati ti ra racc ccol olti ti

sperimentalmente. Tale distribuzione è possibile confrontarla direttamente con una gaussiana normalizzata. Prima però è necessario calcolare dei parametri statistici dai dati, che sono riportati nella tabella seguente con le relative formule matematiche utilizzate per calcolarli. Devianza Varianza

Deviazione standard

Deviazione standard media

La deviazione standard media in par partic ticola olare re è con conside siderabi rabile le come l’incertezza sul periodo

35

30

Valori gaussiana

25

medio calcolato T. Questa ci permette permet te di ricavar ricavaree la formula analitica della curva gaussiana c he

segue

seguente:

20

15

l’equazione 10

5

0 3 1 8 2 2 2 7 3 1 3 6 4 0 4 5 4 9 5 3 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 , , , , , , , , , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


Con l’aiuto di excel è stato facilmente possibile confrontare l’andamento dei dati raccolti con la gaussiana normalizzata. (Per un buon grafico le aree che “di troppo” sopra la curva devono compensare quelle “mancanti” sotto la curva). Nella tabella tabella successiva successiva sono stati riportat riportatii i dati di ascissa e ordinata ordinata che hanno permesso di disegnare la gaussiana e in particolar modo è sottolineata graficamente la differenza tra una normale gaussiana e quella normalizzata (caratterizzata dal fatto che ha media 0 e deviazione standard 1). T

Gaussiana

Normalizzata

T

Gaussiana

Normalizzata

1,509 1,510 1,511 1,512 1,513 1,513 1,514 1,515 1,516 1,517 1,518 1,519 1,520 1,521 1,521 1,522 1,523 1,524 1,525 1,526 1,527 1,528 1,529 1,529 1,530

1,571 2,037 2,615 3,321 4,175 5,194 6,394 7,790 9,392 11,207 13,233 15,464 17,883 20,467 23,180 25,981 28,819 31,635 34,366 36,945 39,307 41,385 43,122 44,465 45,375

0,853 1,107 1,420 1,804 2,268 2,821 3,473 4,232 5,102 6,088 7,189 8,400 9,715 11,118 12,592 14,114 15,655 17,185 18,669 20,070 21,353 22,482 23,425 24,155 24,649

1,531 1,532 1,533 1,534 1,535 1,536 1,537 1,537 1,538 1,539 1,540 1,541 1,542 1,543 1,544 1,545 1,545 1,546 1,547 1,548 1,549 1,550 1,551 1,552 1,553

45,823 45,796 45,294 44,333 42,943 41,164 39,050 36,661 34,061 31,317 28,495 25,659 22,865 20,165 17,598 15,200 12,992 10,989 9,199 7,621 6,248 5,069 4,070 3,234 2,543

24,893 24,878 24,605 24,083 23,328 22,362 21,213 19,915 18,503 17,012 15,479 13,939 12,421 10,954 9,560 8,257 7,057 5,970 4,997 4,140 3,394 2,753 2,211 1,757 1,381

50,000 45,000 40,000 35,000 30,000 25,000 20,000 15,000 10,000 5,000 0,000 1

4

7

10

13

16

19

22

25

28

31

34

37

40

43

(Blu- standard, verde-normalizzata). 10. Relazione di Camillo Stefanucci. Corso di laurea in Ingegneria Fisica

46

49

Dopo l’analisi statistica dei dati relativi ai periodi di oscillazione siamo passati a calcolarci l’accelerazione di gravità g che come da teoria è data dalla formula: con la relativa incertezza δg. Per calcolarla bisogna dunque avere a dispo dis posi sizi zion onee il pe peri riodo odo,, la lu lung nghez hezza za del pe pendo ndolo lo e le rel relat ativ ivee incertezze. Per quanto riguarda il periodo, il valore utilizzato è quello medio mentre l’errore assoluto è la deviazione standard media precedentemente calcolata. Per la lunghezza è stato dapprima necessario operare l’operazione descritta a pag (3) con cui abbiamo ricavato il valore l : Dalle leggi di propagazione degli errori si ha di conseguenza che l’incertezza su l è:

Essendo g una funzione di T ed l la sua incert incertezza ezza δg è stata calcolata utilizzando le derivate parziali della formula precedentemente mostrata che ha portato al seguente risultato:

Il valore numerico di g calcolato nell’esperienza è ottenibile invece sostituendo i relativi valori di T e l nella formula precedente:

Esaminando Esamina ndo invece la seconda esperie esperienza nza di laborat laboratorio orio riportiamo qui le misure dei periodi T(A) e T(B) relati relativi vi alle dista distanze nze dA e dB (non ripo riporta rtati ti nel nelle le tab tabell ellee precedenti) con le relative misure medie e deviazioni standard che sono state calcolate utilizzando la funzione automatica di excel stdev(...) e l’intervallo di tolleranza di tale misure. Come si nota facendo un confronto con i dati teorici c'è una profonda discrepanza che ci ha portato ad escludere le misurazioni effettuate. L’errore relativo 11. Relazione di Camillo Stefanucci. Corso di laurea in Ingegneria Fisica

a tali misure risulta condizionato dal breve periodo di oscillazione del pendolo e quindi da un errore sistematico dovuto ai tempi di reazione degli sperimentatori.

Tempo A

Periodo A

4,856 4,890 4,865 4,826 4,858 4,799 4,868 4,891 4,860 4,817

Tempo B

0,971 0,978 0,973 0,965 0,972 0,960 0,974 0,978 0,972 0,963

Periodo B

5,106 5,107 5,010 5,116 5,090 5,082 5,106 5,086 5,066 5,061

1,021 1,021 1,002 1,023 1,018 1,016 1,021 1,017 1,013 1,012

VALORI MEDI SPERIMENTALI

0,971

1,017 VALORI MEDI TEORICI

0,960

1,013 DEVIAZIONI STANDARD MEDIE

0,002

0,002 RANGE SPERIMENTALE

0,969

0,973

1,015

1,019

Considerando invece le 5 lunghezze d prese in considerazione possiamo anche in questo caso fare un confronto con i valori teorici e osservare che l’intervallo sperimentale calcolato in questo caso è affidabile e quindi possiamo fare un’analisi dei dati attraverso il metodo dei minimi quadrati approssimandoli su un diagramma cartesiano T 2 , l. Periodo 1

Periodo 2

Periodo 3

Periodo 4

Periodo 5

1,098

1,163

1,201

1,294

1,368

1,294

1,367

VALORI TEORICI

1,097

1,163

1,199

DEVIAZIONE STANDARD MEDIE

0,002

0,002

0,004

0,003

0,003

RANGE SPERIMENTALE

1,096

1,100

1,161

1,164

1,197

1,204

1,291

1,297

1,364


1,371

Tale approssimazione approssimazione è stata implementata implementata utilizzando utilizzando il softwar softwaree di calcolo Matla Matlabb che adopera automaticamente il calcolo dei coefficienti A, B della retta approssimante i dati (come ci si aspetta dalla teoria). In particolare in un diagramma T 2 , L tali coefficienti della retta y = A + B x si possono calcolare con le seguenti formule:

Gli errori assoluti relativi a questi due coefficienti sono dati invece dalle relazioni:

Calcolando si ha dunque:


Script Matlab per il calcolo della gravità x=[0.2991 0.3361 0.3571 0.4161 0.4641]; y=[1.0984 1.16252 1.20072 1.29446 1.36756]; y1=y.^2; dx=0.00002; dy=[0.002 0.002 0.004 0.003 0.003].*(2*y); c=polyfit(x,y1,1); b=c(1); a=c(2); disp(sprintf('La retta che approssima il grafico1 è y = %3.3f x + %3.3f',b,a)) g=4*pi^2/b; bt=4*pi^2/9.8; disp(sprintf('Il valore atteso di a era 0, quello di b era %3.3f',bt)) disp(sprintf('La gravità calcolata è pari a %3.3f m/s^2',g)) z=linspace(0.25,0.5); p=polyval(c,z); title('Grafico dei periodi relativi a lunghezze diverse (T^2,L)') hold on grid on xlabel('Lunghezze (m)'); ylabel('Periodi al quadrato (s^2)') plot(x,y1,'bo',z,p,'r') for i=1:5 fill([x(i)-dx x(i)-dx x(i)+dx x(i)+dx], [y1(i)-dy(i) y1(i)+dy(i) y1(i)+dy(i) y1(i)-dy(i)],1) end

Output:

La retta che approssima il grafico1 è y = 4.026 x + 0.001 Il valore atteso di a era 0, quello di b era 4.028 La gravità calcolata è pari a 9.807 m/s^2 G r a f ici c o d e i p e r i o d i r e l a t i v i a l u n g h e z z e d i v e r s e ( T 2 , L ) 2 .4

2 .2

2 ) 2

s ( o t a r

1 .8

d a u q l a i

1 .6

d o i r e P

1 .4

1 .2

1 0 .2 5

0 .3

0 .3 5 0 .4 L u n g h e z z e (m )

0 .4 5


0 .5

Nel grafico disegnato dal software i pallini mostrano la posizione dei punti (x,y) ricavati sperimentalmente e ogni punto si trova all'interno di un rettangolino colorato entro i limiti delle barre di incertezza della misurazione. Tali rettangoli non sono visib vis ibil ilii (s (sii in intr trave avedo dono no so solo lo del delle le li line neet ette) te) in qu quant antoo l'l'er error roree com commes messo so su sull llee misurazioni è effettivamente molto piccolo (e quindi trascurabile). Ora che abbiamo tutti i dati a disposizione possiamo valutare il valore dei coefficienti A e B con le relative incertezze rispetto ai valori teorici che ci aspettavamo ottenendo:

Dagli intervalli di incertezza concludiamo che sia la misurazione su A che quella su B, pur con poche misurazioni risulta attendibile. Il valore sperimentale dell'accelerazione di gravità viene calcolato in questo caso dalla seguente relazione cioè dalla pendenza della retta del grafico T 2 , L.

L'ultimo calcolo che rimane da fare è la determinazione dell'incertezza relativa all'accelerazione di gravità così calcolata, data da:



COMMENTO DEI RISULTATI RISULTATI E CONCLUSIONE CONCLUSIONE

L’errore commesso sul valore dell’accelerazi dell’accelerazione one di gravità nel primo esperim esperimento ento fa si che l’intervallo di incertezza ricada entro i termini [9,761; 9,810] se si utilizza l’app l’a ppros rossi sima mazi zione one dei fi fisi sici ci me ment ntre re ne nell ll’i ’int nter erval vallo lo [9 ,73 ,730; 0; 9, 9,842 842]] secondo l'approssimazione degli ingegneri. Sapendo che il valore corretto della gravità a Torino corrisponde a 9,80549(1) m/s2 possiamo dire di aver ottenuto dei risultati più che accettabili. Dalla seconda esperienza invece abbiamo ottenuto un intervallo di incertezza pari a [9,761; 9,853] che pur essendo corretto risulta assai meno preciso, a causa delle poche misurazioni.


Dall’esp Dall ’esperi erienza enza abbi abbiamo amo veri verific ficato ato che rac raccogl coglien iendo do un gra grann num numero ero di mis misure ure sperimentali ottenute in modo casuale esse hanno una distribuzione gaussiana su cui è possibile operare con gli strumenti della statistica al fine di analizzare i dati. Con la prima prima espe esperien rienza za abbi abbiamo amo ver verifi ificat catoo che la prop proporzi orziona onalit litàà teo teoric ricaa ric ricavat avataa da formule matematiche ha un effettivo riscontro fisico-pratico, dalla seconda invece abbiamo constatato una dipendenza lineare tra due grandezze e che la costante di lineari lin earità tà è dir dirett ettame amente nte prop proporzi orzional onalee all all'ac 'accele celeraz razione ione di gra gravit vità. à. Ult Ultimo imo scop scopoo dell'esperienza era osservare la propagazione degli errori sperimentali con lo scopo di sottolineare l'importanza di una misura che può essere molto imprecisa ma corretta al contrario di un'altra precisissima ma non accettabile. 

APPROFONDIMENTI TEORICI

Il pendolo semplice è un sistema fisico schematizzabile come in figura. Un punto materiale viene appeso a un filo che in meccanica classica si considera inestensibile e rigido e viene messo in oscillazione di un angolo θ rispetto alla posizione di equilibrio verticale. Le forze che agiscono sul pendolo sono esclusivamente la forza peso e la tensione del filo. Possiamo scomporre la forza in peso in due componenti una parallela alla direzione dell fi de filo lo e un un'a 'alt ltra ra pe perp rpen endi dico cola lare re al alla la st stes essa sa.. Le compo com ponen nenti ti di qu quest estee du duee fo forze rze var varia iano no al va vari riare are dell'angolo θ che varia nel tempo. Si tratta quindi di un moto oscillatorio generato da una forza di tipo elastico che tende a riportare il pendolo nella posizione di equilibrio iniziale. L'equazione del moto del sistema è dunque:

Attraverso Attrave rso sempli semplici ci calcoli matematici matematici si può arrivare alla formula formulazione zione matematica che lega tra loro le grandezze come il periodo di oscillazione, la lunghezza del filo, l'accelerazione di gravità. Si dimostra che per angoli molto piccoli (come quelli dell'esperienza) la formula è semplificabile come: 16. Relazione di Camillo Stefanucci. Corso di laurea in Ingegneria Fisica

Questo risultato deriva dalla soluzione dell'equazione differenziale di secondo ordine resa possibi possibile le solamen solamente te grazie alla sempli semplificazio ficazione ne sinθ = θ valida solo per angoli minori di 7° ossia di 0,122 rad (per far questo nell'esperienza si consigliava di discostare il pendolo di 1/10 della sua lunghezza rispetto alla sua posizione di equi eq uili libr brio io.. In ef effe fett ttii co conn un pi picc ccol oloo ca calc lcol oloo tr trig igon onom omet etri rico co l'l'an ango golo lo us usat atoo nell'esperimento è stato di 0,19 rad ossia 11°). In effetti il sistema utilizzato in laboratorio laborat orio è un pendolo fisico fisico di cui bisognerebbe bisognerebbe tener conto anche della della massa della sferetta oscillante. A causa di queste piccole differenze col modello teorico abbiamo scelto come punto finale del pendolo il centro di massa della sfera utilizzata. 

UN PO’ DI STORIA

L’espe L’esperi rien enza za del pendol pendoloo che che oggi oggi è facil facilme ment ntee riproducibile nei laboratori scolastici è vecchia più di 400 400 anni. anni. La scope scopert rtaa dell dell’i ’iso socro croni nism smoo dell dellee oscillazioni del pendolo venne infatti fatta da uno dei padri fondatori della fisica, il famoso Galileo Galilei. Si narra che egli a 18 anni, nel 1583, attratto dall’oscillazione di una lampada nel duomo di Pisa, volle controllarne la durata. Con i battiti del polso scoprì che la durata era la stessa, qualunque fosse l’ampiezza l’ampiezza delle oscillazioni. oscillazioni. Enunciò cosi la legge dell dell’i ’iso socr cron onis ismo mo del del pend pendol oloo e noi noi oggi oggi con con misurazioni più accurate abbiamo scoperto che la costanza delle oscillazioni è in funzione dell’accelerazione di gravità. Oltre ad essere un esempio di moto oscillatorio l’importanza della scoperta galileiana permise di creare gli orologi a pendolo (il prim primoo proto prototi tipo po fu breve brevett ttat atoo da Huyg Huygen ens) s) che che migl miglio iorar raron onoo note notevo volm lmen ente te l’accuratezza della misurazione del tempo. 

GRUPPO DI SPERIMENTAZIONE

Stefanucci Camillo, Tonelli Piero.


Relazione: Il Pendolo semplice

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