UNIVERSITÀ degli STUDI di TRIESTE
Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Ambientale e del Territorio
Corso di
TECNICA delle COSTRUZIONI II (prof. S. Noè)
PROGETTO agli STATI LIMITE di una TRAVE in C.A.P. ? ? ? Andrea Lisjak ? ? ?
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Trieste, 10 settembre 2007
Andrea Lisjak
1
Indice 1 Generalità 1.1 Relazione generale sulla struttura . . . . . . 1.2 Normativa di riferimento . . . . . . . . . . . 1.3 Simbologia utilizzata . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Caratteristiche dei materiali . . . . . 1.4 Relazione sulle caratteristiche dei materiali . 1.4.1 Calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Acciaio per cemento armato . . . . . 1.4.3 Acciaio per precompressione . . . . .
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2 2 2 2 2 3 3 4 4
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5 5 5 5 5 6 6 7 9 9 9 9 9
3 Verifica della trave nei confronti degli Stati Limite di Esercizio 3.1 Azioni di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Tensioni massime nelle condizioni a vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Calcolo delle tensioni nei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Analisi delle perdite di presollecitazione differite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Perdite di presollecitazone dovute al ritiro del calcestruzzo . . . . . . . . . . 3.3.2 Perdite di presollecitazione dovute allo scorrimento viscoso del calcestruzzo 3.3.3 Perdite di presollecitazione dovute al rilassamento dell’acciaio . . . . . . . . 3.3.4 Perdite di presollecitazione differite totali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Tensioni massime nelle condizioni di esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Calcolo delle tensioni nei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Stato limite di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 10 10 11 13 13 13 13 13 15 15 17
4 Verifica della trave nei confronti degli Stati Limite Ultimi 4.1 Azioni di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali . . . . . . . . . 4.2.1 Equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Procedimento di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Stato Limite Ultimo per sollecitazioni taglianti . . . . . . . .
18 18 19 19 20 21
2 Progetto delle sezioni 2.1 Schema statico adottato . . . . . . . 2.2 Azioni di progetto . . . . . . . . . . 2.3 Determinazione delle sollecitazioni . 2.3.1 Traslazione . . . . . . . . . . 2.4 Sezione in calcestruzzo . . . . . . . . 2.5 Armatura lenta longitudinale . . . . 2.6 Armatura di precompressione . . . . 2.7 Armatura a taglio . . . . . . . . . . 2.8 Zone d’appoggio . . . . . . . . . . . 2.9 Armatura longitudinale agli appoggi 2.10 Ancoraggio . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Giunzioni . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Fuso di Guyon
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6 Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
25
7 Tavole grafiche
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1
2
Generalità
1.1
Relazione generale sulla struttura
Si tratta di una trave appoggiata–appoggiata in cemento armato precompresso realizzata mediante precompressione integrale a cavi pretesi. La struttura ha una luce (interasse appoggi) di 20 m, è soggetta al peso proprio (da valutare), ad un carico permanente aggiuntivo pari a 15 kN/m e ad un carico variabile pari a 75 kN/m. In fase realizzativa la trave viene allungata esternamente rispetto agli appoggi di una quantità tale da garantire il completo trasferimento della forza di presollecitazione alle sezioni di calcestruzzo.
1.2
Normativa di riferimento
Tutti i calcoli, esposti in seguito, sono stati eseguiti secondo i criteri della Scienza delle Costruzioni. Le verifiche sono state svolte utilizzando il Metodo degli Stati Limite. Le unità di misura utilizzate sono quelle del Sistema Internazionale. Gli elementi strutturali non espressamente riportati nella relazione sono stati comunque calcolati e dimensionati secondo i criteri sopra citati. Analogamente le verifiche che non risultano esplicitate s’intendono comunque soddisfatte. • L. 5 novembre 1971 n.1086 - Norme per la disciplina delle opere di conglomerato cementizio armato, normale e precompresso e a struttura metallica. • D.M.LL.PP. 16 gennaio 1996 - Norme tecniche relative ai “Criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e dei sovraccarichi”. • Circolare M.LL.PP. 4 luglio 1996 n.156 AA.GG./STC - Istruzioni per l’applicazione delle “Norme tecniche relative ai criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e dei sovraccarichi” di cui al D.M. 16 gennaio 1996. • D.M.LL.PP. 9 gennaio 1996 - Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle opere in c.a., normale e precompresso e per le strutture metalliche. • Circolare M.LL.PP. 15 ottobre 1996 n.252 AA.GG./STC - Istruzioni per l’applicazione delle “Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle opere in c.a., normale e precompresso e per le strutture metalliche” di cui al D.M. 9 gennaio 1996.
1.3 1.3.1
Simbologia utilizzata Caratteristiche dei materiali
Calcestruzzo: Rck : resistenza cubica a compressione caratteristica ; fck : resistenza cilindrica a compressione caratteristica ; fckj : resistenza cilindrica a compressione caratteristica a j giorni dal getto; fcd : resistenza a compressione di calcolo ; fctm : resistenza a trazione media; fctk : resistenza a trazione caratteristica;
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3
fctj : resistenza a trazione a j giorni dal getto; fctd : resistenza a trazione di calcolo; Ec : modulo di elasticità longitudinale; εcu : deformazione ultima; γc : peso di volume. Acciaio per cemento armato: fyk : tensione caratteristica di snervamento; fsd : resistenza di calcolo; Es : modulo di elasticità longitudinale; εsu : deformazione ultima; εyd : deformazione al limite elastico. Acciaio per precompressione: fptk : tensione di rottura caratteristica fp(1)k : tensione caratteristica all’1 % di deformazione sotto carico; fpd : resistenza di calcolo; Ep : modulo di elasticità longitudinale;
1.4 1.4.1
Relazione sulle caratteristiche dei materiali Calcestruzzo
Si prescrive l’impiego di calcestruzzo avente le seguenti caratteristiche: Rck ≥ 55 N/mm2 fck = 0, 83Rck = 45, 65 N/mm2 fckj = 0, 75fck = 34, 24 N/mm2 fcd = fck /γc = fck /1, 5 = 30, 43 N/mm2 2/3
fctm = 0, 27Rck = 3, 90 N/mm2 fctk = 0, 7fctm = 2, 73 N/mm2 fctj = 0, 7fctk = 1, 91 N/mm2 fctd = fctk /γc = 1, 82 N/mm2 √ Ec = 5.700 Rck = 42.272 N/mm2 εcu = 0, 0035 γc = 25 kN/m3
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1.4.2
Acciaio per cemento armato
Si prescrive l’utilizzo di acciaio FeB44k: fyk = 430 N/mm2 fsd = fyk /γs = 374 N/mm2 Es = 208.000 N/mm2 εsu = 0, 010 εyd = Es fsd = 0, 0018 1.4.3
Acciaio per precompressione
Si prescrive l’utilizzo di trefoli Redaelli Tecnasud, tipo 7/10” super : fptk = 1.770 N/mm2 fp(1)k = 1.570 N/mm2 fpd = fp(1)k /γs = 1.365 N/mm2 φ = 18, 2 mm εsu = 0, 010 Ep = 195.000 N/mm2 Api = 200 mm2 σspi = 0, 9fp(1)k = 1.413 N/mm2
4
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2
5
Progetto delle sezioni
2.1
Schema statico adottato
Al fine di determinare correttamente le azioni sollecitanti si adotta uno schema statico a trave appoggiata–appoggiata, come indicato in figura 1.
Figura 1: Schema statico.
2.2
Azioni di progetto
Sono state dapprima considerate le seguenti azioni di progetto, senza tener conto dell’armatura di presollecitazione: • combinazioni di carico SLU: Fd = 1, 4 · (g1 + g2 ) + 1, 5 · q • combinazioni di carico rare: Fd = 1 · (g1 + g2 ) + 1 · q • combinazioni di carico quasi permanenti: Fd = 1 · (g1 + g2 ) + 0, 2 · q dove: - g1 = 23, 3 kN/m: valore caratteristico del carico permanente dovuto al peso proprio; - g2 = 15 kN/m: valore caratteristico del secondo carico permanente; - q = 75 kN/m: valore caratteristico del carico variabile; - P : valore caratteristico della forza di presollecitazione.
2.3
Determinazione delle sollecitazioni
L’analisi statica della struttura è stata eseguita mediante l’ausilio del foglio di calcolo elettronico Microsoftr Office Excel 2003. 2.3.1
Traslazione
È stata eseguita una traslazione del diagramma del momento flettente lungo l’asse longitudinale nel verso che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento. Si trasla di una quantità pari a: a = 0, 9 · d · (1 − cotan 90◦ ) = 1, 45 m Nel paragrafo 6 sono riportati i risultati dell’analisi strutturale in termini grafici.
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2.4
6
Sezione in calcestruzzo
Si adotta una sezione a doppio T simmetrica con le misure riportate in tabella 2.4. Nella valutazione dell’area di calcestruzzo non sono stati detratti i cavi di presollecitazione in quanto la loro area complessiva risulta inferiore al 2 % dell’area della sezione di calcestruzzo. altezza sezione larghezza piattabande altezza piattabande altezza anima spessore anima altezza raccordo piattabande–anima
h b tf tw bw tpw
mm mm mm mm mm mm
area momento d’inerzia baricentrico
Ac Jc
mm2 mm4
1.650 900 400 850 250 100 932.500 3, 04 × 1011
Tabella 1: Caratteristiche geometriche ed inerziali della sezione in calcestruzzo. Con queste caratteristiche geometriche il peso proprio della trave risulta pari a g1 = 23, 3 kN/m.
Figura 2: Sezione in calcestruzzo reale (destra) e semplificata per il calcolo delle caratteristiche inerziali (sinistra). Unità di misura: cm.
2.5
Armatura lenta longitudinale
È prevista un’armatura lenta longitudinale, disposta in maniera simmetrica lungo le piattabande e avente area complessiva maggiore dello 0,1 % dell’area di calcestruzzo. Le caratteristiche di tale armatura sono riportate in tabella 2.5.
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armatura inferiore armatura superiore area totale armatura lenta altezza utile della sezione coefficiente di omogeneizzazione armatura lenta area della sezione ideale con armatura lenta momento d’inerzia baricentrico della sezione ideale con armatura lenta raggio inferiore di nocciolo della sezione ideale con armatura lenta raggio superiore di nocciolo della sezione ideale con armatura lenta
As d
mm mm mm2 mm
6φ20 6φ20 3.768 1.610
ns An Jn λinf,n λsup,n
mm2 mm4 mm mm
15 989.020 3, 38 × 1011 415 415
Tabella 2: Caratteristiche geometriche ed inerziali della sezione con armatura longitudinale lenta.
2.6
Armatura di precompressione
È prevista l’adozione di due sezioni tipo di armatura di presollecitazione aderente, le cui caratteristiche sono riportate in tabella 2.6. tipo sezione
numero trefoli
eccentricità (mm)
A A A A A
8 8 8 4 4
750 700 650 -450 -600
B B B B B
12 12 8 4 4
750 700 650 -450 -600
Tabella 3: Disposizione dell’armatura di presollecitazione all’interno delle sezioni. Per la determinazione delle caratteristiche inerziali delle sezioni ideali sono state utilizzate le relazioni di seguito riportate. −→ Area acciaio di presollecitazione: Ap = N · Api −→ Eccentricità cavo risultante: PN ei eCR = i=1 N −→ Area sezione ideale: Aid = An + np · Ap −→ Momento statico della sezione ideale rispetto al lembo inferiore della sezione: N
h X Sid = An · + np Api · 2 i=1
h − ei 2
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−→ Altezza del baricentro della sezione ideale: yG,id =
h Sid − 2 Aid
−→ Momento d’inerzia baricentrico della sezione ideale: Jid = Jn + An ·
h − yG,id 2
2 +
N X
n p Ai ·
i=1
h − ei − yG,id 2
2
−→ Raggio inferiore di nocciolo della sezione ideale: λinf,id =
1 Jid · Aid ysup,id
−→ Raggio superiore di nocciolo della sezione ideale: λsup,id =
Jid 1 · Aid yinf,id
dove: - N : numero totale di trefoli nella sezione; - np = 6: coefficiente di omogeneizzazione dell’acciaio di presollecitazione; - ei : eccentricità dell’i-esimo cavo; - Ai : area dell’i-esimo trefolo. La tabella 2.6 riporta le caratteristiche inerziali delle sezioni ideali.
numero trefoli Ap Ap Jid eCR λinf,id λsup,id
mm2 % mm4 mm mm mm
sezione tipo A
sezione tipo B
32 6.400 0,69 3, 55 × 1011 394 427 412
40 8.000 0,86 3, 60 × 1011 460 432 410
Tabella 4: Caratteristiche geometriche ed inerziali della sezione con armatura longitudinale lenta. Per la realizzazione agli estremi della trave della sezione di tipo A, tenendo conto anche di una lunghezza di trasferimento pari a 70φ = 120 cm, si prescrive di inguainare 8 cavi per una lunghezza pari a 4,7 m dalle sezioni estreme della trave (ovvero 3,5 m dalle sezioni di appoggio), in modo da impedirne il funzionamento.
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2.7
9
Armatura a taglio
Si decide di disporre il quantitativo minimo di staffe in campata, andando poi ad infittire in corrispondenza degli appoggi o valori elevati del taglio sollecitante. Il quantitativo minimo di armatura a taglio prevista da normativa è pari a: Ast /m ≥ 0, 15bw = 3, 75 cm/m 3 staffe al metro =⇒ interasse < 33 cm interasse < 0, 8 × 1610 = 1288 mm = 129 cm È prevista quindi l’adozione di 2 sezioni tipo di armatura a taglio costituite da staffe, come riportato in tabella 2.7.
diametro interasse numero bracci area acciaio
φ s nb Asw
sezione tipo I
sezione tipo II
12 15 4 452
12 30 4 452
mm cm mm2
Tabella 5: Sezioni tipo di armatura a taglio.
2.8
Zone d’appoggio
Per una lunghezza pari a 309 cm > d = 161 cm a destra e sinistra degli appoggi si mettono staffe con un passo pari 15 cm < 12φl = 24 cm.
2.9
Armatura longitudinale agli appoggi
L’armatura longitudinale inferiore agli appoggi deve essere tale da assorbire allo stato limite ultimo uno sforzo di trazione pari al taglio. L’area dell’armatura longitudinale inferiore minima agli appoggi vale: Asl,min =
VSdu = 4.443 mm2 fsd
L’area dell’armatura longitudinale inferiore agli appoggi vale; Asl + Ap = 6.684 mm2 > Asl,min
2.10
Ancoraggio
La lunghezza di ancoraggio viene valutata con la seguente relazione fsd φ 374 × 20 20 × 20 = 400 mm lb = = = 657 mm ≥ 15 cm 4fbd 4 × 2, 84 Si adotta una lunghezza di ancoraggio pari ad almeno 70 cm.
2.11
Giunzioni
Si faranno giunzioni con sovrapposizione delle barre pari a 80φ = 80 cm.
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3
10
Verifica della trave nei confronti degli Stati Limite di Esercizio
3.1
Azioni di progetto
Per le verifiche agli Stati Limite di Esercizio sono state considerate le seguenti azioni di progetto: • combinazioni di carico rare: Fd = 1 · (g1 + g2 ) + 1 · q + P • combinazioni di carico quasi permanenti: Fd = 1 · (g1 + g2 ) + 0, 2 · q + P dove: - g1 = 23, 3 kN/m: valore caratteristico del carico permanente dovuto al peso proprio; - g2 = 15 kN/m: valore caratteristico del secondo carico permanente; - q = 75 kN/m: valore caratteristico del carico variabile; - P : valore caratteristico della forza di presollecitazione.
3.2
Tensioni massime nelle condizioni a vuoto
In questa fase si considera la trave soggetta a: 1. forza di presollecitazione P ; 2. carico permanente g1 dovuto al solo peso proprio della trave; Il rilascio dei cavi pretesi deve avvenire all’8◦ giorno di maturazione del calcestruzzo. In questa situazione di carico si ha, rispetto all’intera vita della struttura: −→ massima trazione al lembo superiore; −→ massima compressione al lembo inferiore. I carichi aggiuntivi tendono infatti ad invertire il segno delle tensioni. La verifica consiste nel controllare che i valori di tensione nei materiali, per combinazioni di carico rare, non superino quelli massimi riportati in tabella 3.2.
materiale
combinazione di carico
sollecitazione
tempo
cls cls acciaio trefoli
rara rara rara
compressione trazione trazione
0 0 0
tensione limite 0, 60fckj 0, 10fckj 0, 9fp(1)k
Tabella 6: Tensioni massime nelle condizioni a vuoto.
N/mm2 20,5 3,4 1.413
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3.2.1
11
Calcolo delle tensioni nei materiali
All’inizio i cavi vengono tesi mediante martinetti ad un valore di tensione σp0 = 1.375 N/mm2 , il quale risulta inferiore a 0, 9fp(1)k . Viene valutata innanzitutto la diminuzione della forza di presollecitazione a causa della deformazione elastica istantanea del calcestruzzo. A tale scopo sono state utilizzate le relazioni di seguito riportate. −→ Forza di presollecitazione al tempo iniziale (corrispondente al valore di tensione al martinetto):
P0 = σp0 · Ap −→ Tensione nell’acciaio di presollecitazione al tempo iniziale, dopo la deformazione elastica del calcestruzzo: P0 · e2CR P0 σp,t=0 = σp0 − np · + Aid Jid −→ Forza di presollecitazione al tempo iniziale, dopo la deformazione elastica del calcestruzzo: Pp,t=0 = σp,t=0 · Ap Per il calcolo delle tensioni nel calcestruzzo sono state utilizzate le relazioni di seguito riportate. −→ Tensione al lembo superiore, dovuta alla sola forza di presollecitazione: σsup,t=0,p =
Pp,t=0 Mp,t=0 h + · An Jn 2
−→ Tensione al lembo inferiore, dovuta alla sola forza di presollecitazione: σinf,t=0,p =
Pp,t=0 Mp,t=0 h − · An Jn 2
−→ Tensione al lembo superiore, dovuta al solo carico permanente g1 : σsup,t=0,g1 =
Mg1 h · Jn 2
−→ Tensione al lembo inferiore, dovuta al solo carico permanente g1 : σinf,t=0,g1 = −
Mg1 h · Jn 2
−→ Tensione al lembo superiore nelle condizioni a vuoto: σsup,t=0 = σsup,t=0,p + σsup,t=0,g1 −→ Tensione al lembo inferiore nelle condizioni a vuoto: σinf,t=0 = σinf,t=0,p + σinf,t=0,g1
Mg1
kNm
321 420 594 746 874 979
1.061 1.119 1.154 1.166 1.166 1.166 1.154 1.119 1.061
979 874 746 594 420 321
sezione
m
0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6
5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4
15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0
A A A A A A
B B B B B B B B B
A A A A A A
tipo
1.301 1.301 1.301 1.301 1.301 1.301
1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273
1.301 1.301 1.301 1.301 1.301 1.301
N/mm2
σp,t=0
SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI
8.324 8.324 8.324 8.324 8.324 8.324
10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180
8.324 8.324 8.324 8.324 8.324 8.324
kN
Pp,t=0
-3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277
-4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683
-3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277
kNm
Mp,t=0
-2.298 -2.403 -2.531 -2.683 -2.858 -2.957
-3.622 -3.564 -3.529 -3.517 -3.517 -3.517 -3.529 -3.564 -3.622
-2.957 -2.858 -2.683 -2.531 -2.403 -2.298
kNm
Mris,t=0
16,4 16,4 16,4 16,4 16,4 16,4
21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7
16,4 16,4 16,4 16,4 16,4 16,4
N/mm2
σinf,t=0,p
0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
-1,1 -1,1 -1,1 -1,1 -1,1 -1,1 -1,1 -1,1 -1,1
0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
N/mm2
σsup,t=0,p
-2,4 -2,1 -1,8 -1,4 -1,0 -0,8
-2,6 -2,7 -2,8 -2,8 -2,8 -2,8 -2,8 -2,7 -2,6
-0,8 -1,0 -1,4 -1,8 -2,1 -2,4
N/mm2
σinf,t=0,g1
2,4 2,1 1,8 1,4 1,0 0,8
2,6 2,7 2,8 2,8 2,8 2,8 2,8 2,7 2,6
0,8 1,0 1,4 1,8 2,1 2,4
N/mm2
σsup,t=0,g1
Tabella 7: Verifica delle tensioni massime nelle condizioni a vuoto.
verifica
2,8 2,6 2,2 1,9 1,5 1,2
1,5 1,6 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,6 1,5
1,2 1,5 1,9 2,2 2,6 2,8
N/mm2
σsup,t=0
SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI
verifica
14,0 14,3 14,6 15,0 15,4 15,6
19,1 19,0 18,9 18,9 18,9 18,9 18,9 19,0 19,1
15,6 15,4 15,0 14,6 14,3 14,0
N/mm2
σinf,t=0
SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI
verifica
Andrea Lisjak 12
Andrea Lisjak
3.3
13
Analisi delle perdite di presollecitazione differite
Le perdite di presollecitazione differite sono quelle che si verificano dopo il bloccaggio delle armature. Esse sono prodotte da 3 fenomeni che si evolvono nel tempo: 1. ritiro del calcestruzzo; 2. scorrimento viscoso del calcestruzzo; 3. rilassamento dell’acciaio. 3.3.1
Perdite di presollecitazone dovute al ritiro del calcestruzzo
In mancanza di dati sperimentali si considera un valore convenzionale εrit = 0, 0003, riferito ad un’atmosfera con umidità relativa del 75 % e ad una messa in tiro effettuata tra gli 8 e i 60 giorni. La perdita di presollecitazione dovuta al ritiro del calcestruzzo è pari a: ∆σp,rit = Ep · εrit 3.3.2
Perdite di presollecitazione dovute allo scorrimento viscoso del calcestruzzo
Dal momento che la presollecitazione viene introdotta prima del 14◦ giorno dal getto, la deformazione lenta sotto carico, depurata dell’effetto del ritiro, può essere assunta pari a 2,3 volte la deformazione elastica del calcestruzzo posto a livello del cavo risultante per combinazioni di carico quasi permanenti: Pp,t=0 Mp,t=0 Mg Mq εc,visc = 2, 3 · εc,el = 2, 3 · · eCR − · eCR − · eCR − An · Ec Jn · Ec Jid · Ec Jid · EC La perdita di presollecitazione dovuta allo scorrimento viscoso del calcestruzzo è pari a: ∆σp,visc = Ep · εc,visc 3.3.3
Perdite di presollecitazione dovute al rilassamento dell’acciaio
La perdita di presollecitazione per rilassamento dell’acciaio, a tempo infinito, ad una temperatura di 20◦ C, per una tensione iniziale σspi = 0, 75fptk e per acciaio di presollecitazione costituito da trefoli, può assumersi pari: ∆σp,ril = 0, 18 · σspi Per tener conto dell’interdipendenza tra fenomeni lenti si può assumere una perdita di presollecitazione per rilassamento dell’acciaio pari a: ∆σp,rit + ∆σp,visc ? ∆σp,ril = ∆σp,ril · 1 − 2, 5 · σspi 3.3.4
Perdite di presollecitazione differite totali
Le perdite di presollecitazione differite totali sono pari a: ? ∆σp,tot = ∆σp,rit + ∆σp,visc + ∆σp,ril
La tensione nei trefoli di presollecitazione, depurata delle perdite dovute ai fenomeni lenti, risulta pari a: σp,t=∞ = σp,t=0 − ∆σp,tot
tipo
-
A A A A A A
B B B B B B B B B
A A A A A A
sezione
m
0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6
5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4
15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0
8.324 8.324 8.324 8.324 8.324 8.324
10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180
8.324 8.324 8.324 8.324 8.324 8.324
kN
Pp,t=0
-3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277
-4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683
-3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277
kNm
Mp,t=0
1.609 1.437 1.226 977 690 527
1.743 1.839 1.896 1.916 1.916 1.916 1.896 1.839 1.743
527 690 977 1.226 1.437 1.609
kNm
630 563 480 383 270 206
683 720 743 750 750 750 743 720 683
206 270 383 480 563 630
kNm
Mq,quasi perm.
1.301 1.301 1.301 1.301 1.301 1.301
1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5
58,5 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5
58,5 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5
N/mm2
N/mm2 1.301 1.301 1.301 1.301 1.301 1.301
∆σp,rit
σp,t=0
0,000231 0,000237 0,000245 0,000254 0,000264 0,000270
0,000321 0,000317 0,000314 0,000313 0,000313 0,000313 0,000314 0,000317 0,000321
0,000270 0,000264 0,000254 0,000245 0,000237 0,000231
-
εel,CR
0,00053 0,00054 0,00056 0,00058 0,00061 0,00062
0,00074 0,00073 0,00072 0,00072 0,00072 0,00072 0,00072 0,00073 0,00074
0,00062 0,00061 0,00058 0,00056 0,00054 0,00053
-
εvisc
103,4 106,2 109,7 113,7 118,5 121,1
143,8 142,0 141,0 140,6 140,6 140,6 141,0 142,0 143,8
121,1 118,5 113,7 109,7 106,2 103,4
N/mm2
∆σp,visc
Tabella 8: Analisi delle perdite di presollecitazione differite.
Mg,quasi perm.
254,3 254,3 254,3 254,3 254,3 254,3
254,3 254,3 254,3 254,3 254,3 254,3 254,3 254,3 254,3
254,3 254,3 254,3 254,3 254,3 254,3
N/mm2
∆σp,ril
181,5 180,2 178,7 176,8 174,7 173,5
163,3 164,1 164,6 164,7 164,7 164,7 164,6 164,1 163,3
173,5 174,7 176,8 178,7 180,2 181,5
N/mm2
? ∆σp,ril
343,4 344,9 346,8 349,1 351,7 353,1
365,6 364,6 364,0 363,8 363,8 363,8 364,0 364,6 365,6
353,1 351,7 349,1 346,8 344,9 343,4
N/mm2
∆σp,tot
957,2 955,6 953,7 951,5 948,9 947,4
906,9 907,9 908,5 908,7 908,7 908,7 908,5 907,9 906,9
947,4 948,9 951,5 953,7 955,6 957,2
N/mm2
σp,t=∞
Andrea Lisjak 14
Andrea Lisjak
3.4
15
Tensioni massime nelle condizioni di esercizio
In questa fase si considera la trave soggetta a: 1. forza di presollecitazione P ; 2. carico permanente g1 dovuto al solo peso proprio della trave; 3. carico permanente g2 ; 4. carico variabile q. In questa situazione di carico si ha, rispetto all’intera vita della struttura: −→ massima compressione al lembo superiore; −→ massima trazione al lembo inferiore. La verifica consiste nel controllare che i valori di tensione nei materiali, per combinazioni di carico rare e quasi permanenti, non superino quelli massimi riportati in tabella 3.4.
materiale
combinazione di carico
sollecitazione
tempo
tensione limite
cls cls cls cls acciaio trefoli
rara rara quasi permanente quasi permanente rara
compressione trazione compressione trazione trazione
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
0, 60fck 0, 07fck 0, 45fck 0, 00fck 0, 6fptk
N/mm2 27,4 3,2 20,5 0,0 1.062
Tabella 9: Tensioni massime nelle condizioni di esercizio.
3.4.1
Calcolo delle tensioni nei materiali
Per il calcolo delle tensioni nel calcestruzzo sono state utilizzate le relazioni di seguito riportate. −→ Tensione al lembo superiore: σsup,t=∞ =
Pp,t=∞ Mp,t=∞ h Mg + Mq h − · − · An Jn 2 Jid 2
−→ Tensione al lembo inferiore: σinf,t=∞ =
Pp,t=∞ Mp,t=∞ h Mg + Mq h + · + · An Jn 2 Jid 2
Per il calcolo della tensione nell’acciaio di presollecitazione sono state utilizzate le relazioni di seguito riportate: −→ Aumento di tensione massimo dovuto ai carichi permanenti e variabili per combinazioni di carico rare: Mq Mg ∆σp,g+q,rare = np · · emax + · emax Jid Jid −→ Tensione nell’acciaio di presollecitazione: ? σp,t=∞ = σp,t=∞ + ∆σp,g+q,rare
tipo
-
A A A A A A
B B B B B B B B B
A A A A A A
sezione
m
0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6
5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4
15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0
957,2 955,6 953,7 951,5 948,9 947,4
906,9 907,9 908,5 908,7 908,7 908,7 908,5 907,9 906,9
6.126 6.116 6.104 6.090 6.074 6.064
7.257 7.265 7.269 7.271 7.271 7.271 7.269 7.265 7.257
6.064 6.074 6.090 6.104 6.116 6.126
kN
N/mm2
947,4 948,9 951,5 953,7 955,6 957,2
Pp,t=∞
σp,t=∞
-2.412 -2.408 -2.403 -2.398 -2.391 -2.388
-3.337 -3.341 -3.343 -3.344 -3.344 -3.344 -3.343 -3.341 -3.337
-2.388 -2.391 -2.398 -2.403 -2.408 -2.412
kNm
Mp,t=∞
3.150 2.813 2.400 1.913 1.350 1.031
3.413 3.600 3.713 3.750 3.750 3.750 3.713 3.600 3.413
1.031 1.350 1.913 2.400 2.813 3.150
kNm
Mq,rare
1,0 2,2 3,6 5,3 7,2 8,3
3,7 3,0 2,6 2,5 2,5 2,5 2,6 3,0 3,7
8,3 7,2 5,3 3,6 2,2 1,0
N/mm2
σinf,rare
SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI
verifica
11,4 10,2 8,7 7,0 5,1 3,9
11,0 11,7 12,1 12,2 12,2 12,2 12,1 11,7 11,0
3,9 5,1 7,0 8,7 10,2 11,4
N/mm2
σsup,rare
SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI
verifica
630 563 480 383 270 206
683 720 743 750 750 750 743 720 683
206 270 383 480 563 630
kNm
Mq,quasi perm.
1.609 1.437 1.226 977 690 527
1.743 1.839 1.896 1.916 1.916 1.916 1.896 1.839 1.743
527 690 977 1.226 1.437 1.609
kNm
Mg,quasi perm.
6,9 7,4 8,1 8,8 9,7 10,2
9,9 9,6 9,4 9,4 9,4 9,4 9,4 9,6 9,9
10,2 9,7 8,8 8,1 7,4 6,9
N/mm2
σinf,quasi perm.
SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI
verifica
5,5 5,0 4,3 3,5 2,5 2,0
4,8 5,1 5,2 5,3 5,3 5,3 5,2 5,1 4,8
2,0 2,5 3,5 4,3 5,0 5,5
N/mm2
σsup,quasi perm.
Tabella 10: Verifica delle tensioni massime nelle condizioni di esercizio.
1.609 1.437 1.226 977 690 527
1.743 1.839 1.896 1.916 1.916 1.916 1.896 1.839 1.743
527 690 977 1.226 1.437 1.609
kNm
Mg,rare
SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI
verifica
27,0 24,1 20,6 16,4 11,6 8,9
28,9 30,5 31,4 31,8 31,8 31,8 31,4 30,5 28,9
8,9 11,6 16,4 20,6 24,1 27,0
N/mm2
∆σp,g+q,rare
984,2 979,8 974,3 967,9 960,5 956,3
935,8 938,4 940,0 940,5 940,5 940,5 940,0 938,4 935,8
956,3 960,5 967,9 974,3 979,8 984,2
N/mm2
? σp,t=∞
SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI
verifica
Andrea Lisjak 16
Andrea Lisjak
3.5
17
Stato limite di deformazione
Dal momento che la trave rimane sempre in campo elastico l’abbassamento in mezzeria può essere calcolato mediante la relazione: η=
5 (g1 + g2 + q)l4 1 Pp,t=∞ eCR l2 · −2· · = 23 − 8 = 15 mm 384 Ec Jid 16 Ec Jid
Andrea Lisjak
4
18
Verifica della trave nei confronti degli Stati Limite Ultimi
4.1
Azioni di progetto
Per le verifiche agli Stati Limite di Esercizio sono state considerate le seguenti azioni di progetto:
Fd = 1, 4 · (g1 + g2 ) + 1, 5 · q + 0, 9 · P dove: - g1 = 23, 3 kN/m: valore caratteristico del carico permanente dovuto al peso proprio; - g2 = 15 kN/m: valore caratteristico del secondo carico permanente; - q = 75 kN/m: valore caratteristico del carico variabile; - P : valore caratteristico della forza di presollecitazione.
Andrea Lisjak
4.2
19
Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali
La verifica allo Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali prevede la determinazione del momento resistente ultimo della sezione MRdu , il quale deve essere confrontato con il momento sollecitante di calcolo MSdu . Le ipotesi di calcolo sono: 1. conservazione delle sezioni piane; 2. perfetta aderenza tra calcestruzzo ed acciaio; 3. calcestruzzo non reagente a trazione; I diagrammi di calcolo tensione–deformazione adottati sono: • calcestruzzo: diagramma rettangolare (stress block) definito dal valore costante di tensione pari a 0, 85fcd che si estende per 0, 8x fino alla deformazione ultima εcu = −0, 0035; • acciaio per precompressione: modello bilineare costituito da un tratto iniziale elastico che arriva fino alla deformazione di snervamento di calcolo εyd = fpd /Ep e da un tratto perfettamente plastico che arriva fino alla alla deformazione ultima εpu = 0, 010 avente resistenza di calcolo pari a fpd . Nell’eseguire la verifica a flessione allo S.L.U. si sono fatte le seguenti semplificazioni, in ogni caso a favore di sicurezza: – sezione a doppio T simmetrica con piattabande di spessore costante e pari allo spessore minimo; – si trascura il contributo delle armature lente; – non si considera la posizione dei singoli cavi di presollecitazione bensì unicamente quella del cavo risultante, in cui si ipotizza essere concentrata tutta l’area di acciaio. 4.2.1
Equazioni
Equazione di congruenza: εpu εcu = x dp − x Equazione di equilibrio alla traslazione: (b − bw ) · tf · 0, 85fcd + bw · 0, 8x · 0, 85fcd − Ap · σpu = 0 Equazione di equilibrio alla rotazione: MRdu = Ap · σpu · (dp − xG,compr ) dove: xG,compr =
tf · (b − bw ) · 0, 85fcd · 0, 5tf + (bw · 0, 8x) · 0, 85fcd · 0, 4x tf · (b − bw ) · 0, 85fcd + bw · 0, 8x · 0, 85fcd
Andrea Lisjak
4.2.2
20
Procedimento di calcolo
Il procedimento di calcolo è analogo a quello utilizzato per il cemento armato normale, con l’unica differenza che, nella valutazione della tensione nell’acciaio di presollecitazione, bisogna tener conto dello stato di coazione artificiale: 1. si ipotizza un campo di rottura della sezione; 2. si applica l’equazione di equilibrio alla traslazione determinando la posizione dell’asse neutro; 3. si verifica, sfruttando l’equazione di congruenza, l’esattezza delle ipotesi; 4. si applica l’equazione di equilibrio alla rotazione determinando il momento resistente della sezione. • Rottura in campo 2: – ipotesi: σpu = fpd , εpu = 0, 010 – posizione asse neutro: x=
Ap · σpu − (b − bw ) · tf · 0, 85fcd 0, 8 · 0, 85fcd · bw
– verifica ipotesi: 0 < εcu =
0, 010 · x < 0, 0035 dp − x
• Rottura in campo 3 – ipotesi: σpu = fpd , εpu = 0, 010 – posizione asse neutro: x=
Ap · σpu − (b − bw ) · tf · 0, 85fcd 0, 8 · 0, 85fcd · bw
– verifica ipotesi: εcu · (dp − x) < 0, 010 εpu = x σp,t=∞ εcu εpu + εp,t=∞ = · (dp − x) + > εyd x Ep • Rottura in campo 4 – ipotesi: σpu = Ep · (εpu + εp,t=∞ ), εcu = 0, 0035 – posizione asse neutro: √ −B + ∆ 2 Ax + Bx + C = 0 =⇒ x = 2A dove: ∗ A = bw · 0, 8 · 0, 85fcd ∗ B = (b − bw ) · tf · 0, 85fcd − Ap · Ep · (εp,t=∞ − εcu ) ∗ C = −Ap · Ep · εcu · dp – verifica ipotesi: εcu εpu + εp,t=∞ = · (dp − x) < εyd x
Andrea Lisjak
21
sezione
tipo
dp mm
0, 9 · σp,t=∞ N/mm2
εp,t=∞ -
ipotesi campo rottura
σpu N/mm2
εpu -
x mm
εcu -
verifica εcu ≤ 0, 0035
0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6
A A A A A A
1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219
852,7 854,0 856,3 858,3 860,1 861,5
0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044
2 2 2 2 2 2
1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365
0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010
389 389 389 389 389 389
0,0047 0,0047 0,0047 0,0047 0,0047 0,0047
NO NO NO NO NO NO
5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4
B B B B B B B B B
1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285
816,2 817,1 817,7 817,8 817,8 817,8 817,7 817,1 816,2
0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365
0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010
811 811 811 811 811 811 811 811 811
0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171
NO NO NO NO NO NO NO NO NO
15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0
A A A A A A
1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219
861,5 860,1 858,3 856,3 854,0 852,7
0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044
2 2 2 2 2 2
1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365
0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010
389 389 389 389 389 389
0,0047 0,0047 0,0047 0,0047 0,0047 0,0047
NO NO NO NO NO NO
Tabella 11: Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali: ipotesi rottura sezione in campo 2. sezione
tipo
dp mm
0, 9 · σp,t=∞ N/mm2
εp,t=∞ -
ipotesi campo rottura
σpu N/mm2
εcu -
x mm
εpu -
verifica εpu ≤ 0, 010
verifica εpu + εp,t=∞ > εyd
0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6
A A A A A A
1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219
852,7 854,0 856,3 858,3 860,1 861,5
0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044
3 3 3 3 3 3
1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365
0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035
389 389 389 389 389 389
0,0075 0,0075 0,0075 0,0075 0,0075 0,0075
SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI
5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4
B B B B B B B B B
1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285
816,2 817,1 817,7 817,8 817,8 817,8 817,7 817,1 816,2
0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365
0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035
811 811 811 811 811 811 811 811 811
0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020
SI SI SI SI SI SI SI SI SI
NO NO NO NO NO NO NO NO NO
15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0
A A A A A A
1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219
861,5 860,1 858,3 856,3 854,0 852,7
0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044
3 3 3 3 3 3
1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365
0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035
389 389 389 389 389 389
0,0075 0,0075 0,0075 0,0075 0,0075 0,0075
SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI
Tabella 12: Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali: ipotesi rottura sezione in campo 3.
4.3
Stato Limite Ultimo per sollecitazioni taglianti
La verifica allo Stato Limite Ultimo per sollecitazioni taglianti prevede una doppia verifica. 1. Verifica del conglomerato:
Andrea Lisjak
22
sezione
tipo
dp mm
0, 9 · σp,t=∞ N/mm2
εp,t=∞ -
ipotesi campo rottura
εcu
A
B
C
x mm
εpu εpu + εp,t=∞ < εyd
verifica
0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6
A A A A A A
1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219
852,7 854,0 856,3 858,3 860,1 861,5
0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044
4 4 4 4 4 4
0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035
5.174 5.174 5.174 5.174 5.174 5.174
5.635.590 5.628.146 5.613.244 5.600.329 5.589.401 5.580.460
-5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000
607 607 608 609 609 610
0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035
NO NO NO NO NO NO
5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4
B B B B B B B B B
1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285
816,2 817,1 817,7 817,8 817,8 817,8 817,7 817,1 816,2
0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042
4 4 4 4 4 4 4 4 4
0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035
5.174 5.174 5.174 5.174 5.174 5.174 5.174 5.174 5.174
5.655.907 5.648.750 5.644.456 5.643.024 5.643.024 5.643.024 5.644.456 5.648.750 5.655.907
-7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000
740 740 740 741 741 741 740 740 740
0,0026 0,0026 0,0026 0,0026 0,0026 0,0026 0,0026 0,0026 0,0026
SI SI SI SI SI SI SI SI SI
15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0
A A A A A A
1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219
861,5 860,1 858,3 856,3 854,0 852,7
0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044
4 4 4 4 4 4
0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035
5.174 5.174 5.174 5.174 5.174 5.174
5.580.460 5.589.401 5.600.329 5.613.244 5.628.146 5.635.590
-5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000
610 609 609 608 607 607
0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035
NO NO NO NO NO NO
Tabella 13: Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali: ipotesi rottura sezione in campo 4. sezione
tipo
campo rottura
m
x
xG,compr
σpu
MRdu
MSdu
mm
mm
N/mm2
kNm
kNm
verifica
0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6
A A A A A A
3 3 3 3 3 3
389 389 389 389 389 389
190 190 190 190 190 190
1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365
8.991 8.991 8.991 8.991 8.991 8.991
2.284 2.990 4.237 5.316 6.230 6.978
SI SI SI SI SI SI
5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4
B B B B B B B B B
4 4 4 4 4 4 4 4 4
740 740 740 741 741 741 740 740 740
235 235 235 235 235 235 235 235 235
1.319 1.319 1.320 1.320 1.320 1.320 1.320 1.319 1.319
11.083 11.085 11.086 11.086 11.086 11.086 11.086 11.085 11.083
7.559 7.975 8.224 8.307 8.307 8.307 8.224 7.975 7.559
SI SI SI SI SI SI SI SI SI
15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0
A A A A A A
3 3 3 3 3 3
389 389 389 389 389 389
190 190 190 190 190 190
1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365
8.991 8.991 8.991 8.991 8.991 8.991
6.978 6.230 5.316 4.237 2.990 2.284
SI SI SI SI SI SI
Tabella 14: Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali: determinazione del momento resistente e verifica. consiste nel confrontare il taglio di calcolo con una espressione cautelativa della resistenza a
Andrea Lisjak
23 Diagramma dei momenti ultimi Mrdu Msdu
sezione (m) 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
2.000
momento (KNm)
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
Figura 3: Verifica allo Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali: diagramma del momento sollecitante (nero) e di quello resistente (rosso). compressione delle bielle inclinate: VSdu ≤ 0, 30 · fcd · bw · dp 2. Verifica dell’armatura trasversale d’anima: il taglio di calcolo deve risultare inferiore od al limite uguale alla somma della resistenza dell’armatura d’anima e del contributo degli altri elementi del traliccio ideale: VSdu ≤ Vcd + Vwd in cui: Vcd = 0, 60 · fctd · bw · dp · δ
Vwd = Asw · fywd ·
0, 90 · dp · (sin α + cos α) s
Dal momento che l’armatura a taglio è costituita da staffe si ha α = 90◦ . Il valore di δ viene calcolato con la seguente relazione: δ =1+
M0 MSdu
dove: - M0 è il momento di decompressione della fibra estrema su cui agisce MSdu : M0 =
0, 9σp,t=∞ · Ap 2 · Jid · Aid h
- MSdu : momento agente massimo di calcolo, assunto almeno pari a M0 .
Andrea Lisjak
24
sezione
tipo
dp
VSdu
VRdu
mm
kN
kN
verifica
0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6
A A A A A A
1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219
1.661 1.570 1.404 1.238 1.071 905
2.782 2.782 2.782 2.782 2.782 2.782
SI SI SI SI SI SI
5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4
B B B B B B B B B
1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285
739 573 407 241 0 241 407 573 739
2.933 2.933 2.933 2.933 2.933 2.933 2.933 2.933 2.933
SI SI SI SI SI SI SI SI SI
15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0
A A A A A A
1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219
905 1.071 1.238 1.404 1.570 1.661
2.782 2.782 2.782 2.782 2.782 2.782
SI SI SI SI SI SI
Tabella 15: Stato Limite Ultimo per sollecitazioni taglianti: verifica del conglomerato.
5
Fuso di Guyon
Per la determinazione del fuso di Guyon sono state utilizzate le relazioni di seguito riportate. −→ Fuso inferiore: yfuso inf = λinf,id +
Mg1 Pp,t=0
−→ Fuso superiore: yfuso sup = λsup,id +
Mg1 + Mg2 + Mq Pp,t=∞
Andrea Lisjak
sezione
25
tipo
m
dp
M0
δ
Vcd
Vwd
verifica
verifica
mm
kN
-
kN
kN
VSdu ≤ VRdu
VSdu /2 ≤ Vwd
0,0 0,6 1,6 2,6
I I I I
1.219 1.219 1.219 1.219
4.573 4.580 4.592 4.603
1,55 1,55 1,55 1,55
517 517 517 518
1.236 1.236 1.236 1.236
SI SI SI SI
SI SI SI SI
3,6 4,6 5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4 15,4 16,4
II II II II II II II II II II II II II
1.219 1.219 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.219 1.219
4.612 4.620 5.494 5.500 5.504 5.505 5.505 5.505 5.504 5.500 5.494 4.620 4.612
1,56 1,56 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,56 1,56
518 518 584 584 584 584 584 584 584 584 584 518 518
618 618 652 652 652 652 652 652 652 652 652 618 618
SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
17,4 18,4 19,4 20,0
I I I I
1.219 1.219 1.219 1.219
4.640 4.629 4.617 4.610
1,55 1,55 1,56 1,55
518 517 517 517
1.236 1.236 1.236 1.236
SI SI SI SI
SI SI SI SI
Tabella 16: Stato Limite Ultimo per sollecitazioni taglianti: verifica dell’armatura trasversale d’anima.
6
Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
Andrea Lisjak
26 Diagramma taglio SLU
2.500
2.000
1.500
1.000
taglio (KN)
500
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-500
-1.000
-1.500
-2.000
-2.500 sezione (m)
Figura 4: Verifica allo Stato Limite Ultimo per sollecitazioni taglianti: diagramma del taglio sollecitante (nero) e di quello resistente (rosso).
7
Tavole grafiche
Vsdu Vrdu (+) Vrdu (-)
Andrea Lisjak
27 Fuso di Guyon sezione (m)
-1.000
-800
-600
-400
altezza (mm)
-200 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
lembo superiore lembo infe
fuso supe
fuso infer 200
400
600
800
1.000
Figura 5: Fuso di Guyon. Diagramma momento traslato allo SLU
Momento SLU Momento SLU no tr
sezione (m) 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
1.000
2.000
momento (KNm)
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
8.000
9.000
Figura 6: Stato Limite Ultimo: diagramma del momento flettente con e senza traslazione.
20
Andrea Lisjak
28 taglio SLU
2.000
1.500
1.000
taglio (KN)
500
0
taglio SLU 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
16
18
20
-500
-1.000
-1.500
-2.000 sezione (m)
Diagramma momento del taglio. Figura 7: Stato Limite Ultimo: del diagramma c.c. rare sezione (m) 0
2
4
6
8
10
12
14
0
200
momento (KNm)
400
600 trasl Mg1 Mg1 800
1.000
1.200
1.400
Figura 8: Stato Limite di Esercizio, combinazioni di carico rare: diagramma del momento flettente con e senza traslazione dovuto al carico permanente g1 = 23, 3 KN/m.
Andrea Lisjak
29 Diagramma del momento c.c. rare
trasl. Mg2 Mg2
sezione (m) 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
100
momento (KNm)
200
300
400
500
600
700
800
Figura 9: Stato Limite di Esercizio, combinazioni di carico rare: diagramma del momento flettente con e senza traslazione dovuto al caricoDiagramma permanente 2 = 15 KN/m. del g momento c.c. rare sezione (m) 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
500
momento (KNm)
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
Figura 10: Stato Limite di Esercizio, combinazioni di carico rare: diagramma del momento flettente con e senza traslazione dovuto al carico variabile q = 75 KN/m.
trasl Mq Mq
Andrea Lisjak
30 Diagramma del momento c.c. quasi permanenti
trasl Mg1 Mg1
sezione (m) 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
200
momento (KNm)
400
600
800
1.000
1.200
1.400
Figura 11: Stato Limite di Esercizio, combinazioni di carico quasi permanenti: diagramma del momento flettente con e senza traslazione dovuto al carico g1 = 23, 3 KN/m. Diagramma del momento c.c.permanente quasi permanenti sezione (m) 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
100
momento (KNm)
200
300
400
500
600
700
800
Figura 12: Stato Limite di Esercizio, combinazioni di carico quasi permanenti: diagramma del momento flettente con e senza traslazione dovuto al carico permanente g2 = 15 KN/m.
trasl Mg2 Mg2
Andrea Lisjak
31
trasl Mq Mq
Diagramma del momento c.c. quasi permanenti sezione (m) 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
100
momento (KNm)
200
300
400
500
600
700
800
Figura 13: Stato Limite di Esercizio, combinazioni di carico quasi permanenti: diagramma del momento flettente con e senza traslazione dovuto al carico permanente q = 75 KN/m.
Figura 14: Armatura per precompressione: sezione longitudinale.
Andrea Lisjak 32
Figura 15: Armatura longitudinale lenta: sezione longitudinale.
Andrea Lisjak 33
Figura 16: Armatura a taglio: sezione longitudinale.
Andrea Lisjak 34
Andrea Lisjak
35
Figura 17: Armatura per precompressione: sezioni trasversali.
Figura 18: Armatura longitudinale lenta: sezione trasversale.
Andrea Lisjak
36
Figura 19: Armatura a taglio: sezione trasversale.
