BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Latar Belakan Belakang g
Sala Salah h satu satu tuju tujuan an bela belaja jarr mate matema mati tika ka bagi bagi sisw siswaa adal adalah ah agar agar ia memp mempun uny yai kemampuan atau ketrampilan dalam memecahkan masalah atau soal-soal matematika, sebagai sebagai sarana baginya baginya untuk untuk mengasah mengasah penalaran yang cermat, logis, kritis, dan kreatif. Oleh Oleh kare karena na itu, itu, kema kemamp mpua uan n peme pemeca caha han n masa masala lah h menja enjadi di foku fokuss pemb pembel elaj ajar aran an matematika disemua jenjang. Lebih-lebih bagi seorang mahasiswa calon guru matematika, tentu tidaklah cukup jika ia hanya mempunyai kemampuan tersebut untuk dirinya sendiri, sebab kelak jika ia telah menjadi guru yang mana ia akan mendidik siswanya memiliki kemampuan untuk memcahkan masalah matematika. Dalam Dalam perkul perkuliah iahan an matema matematik tikaa diskri diskrit, t, agar agar mahasi mahasiswa swa merasak merasakan an manfaat manfaatny nyaa langsung dari mempelajari matematika diskrit, dosen dituntut untuk dapat mengarahkan mahasiswa agar dapat mengkoneksikan setiap materi dengan ilmu komputer. Koneksi yang dimaksud misalnya, dosen harus mampu menjelaskan bahwa materi relasi rekursif ada kaitanya banyak dipakai dalam progamming komputer. Di sisi lain, tuntunan tersebut memunculk memunculkan an permasalah permasalah dalam relasi rekursif dan secara tidak langsung langsung dosen dituntut dituntut untuk mengarahkan mahasiswa agar dapat memecahkan masalah tersebut.
1.2 Rumusan Rumusan Masalah Masalah
dapun rumusan masalah yang dapat dibahas dalam pembahasan relasi rekursif homogen, yaitu! ". pa pa pengert pengertian ian dari dari relasi relasi rekurs rekursif if homog homogen en # $. %agaimana %agaimana cara cara menyelesaikan menyelesaikan masalah masalah relasai rekursif rekursif dengan dengan solusi solusi linier linier homogen #
1.3 Tuj Tujuan uan
-
&enget &engetahu ahuii peng pengerti ertian an dari dari relas relasii rekur rekursif sif homoge homogen. n. 1
-
&emaha &emahami mi cara cara memcah memcahkan kan rumus rumusan an masala masalah h pada relas relasii rekursif rekursif hom homoge ogen. n.
BAB II PEMBAHAAN
2.1 !"nse# !"nse# De$%n%s% 1
Suatu realasi rekursif untuk sebuah barisan 'a n( merupakan sebuah rumus untuk menyatakan an ke dalam satu atau lebih suku-suku sebelumnya dari barisan tersebut, untuk suatu bilangan bulat non negatif n. Suatu barisan disebut solusi dari sebuah relasi rekursif jika suku-suku pada barisan tersebut memenuhi relasi rekursifnya. &"nt"h 1'
&isal 'an( barisan yang memenuhi relasi rekursif a n) an -"-" * an-$ untuk n + $, lalu misalkan a ) dan a" ) . /entukan nilai a $ dan a. Pen(elesa%an '
Karena a$ ) a" * a, maka a$ ) $. Karena a ) a$ * a", maka a ) -. De$%n%s% 2
Suat Suatu u relasi relasi rekur rekursi siff line linear ar homo homoge gen n berd berder eraja ajatt
k
dengan dengan koefisi koefisien en konstan konstan
memiliki bentuk umum !
2
an ) c"an-" 0 c$an-$ 0 ... 0 c k an-k dengan c", c$, ... , ck adalah adalah bilangan real, dan c k 1 1 . &"nt"h 1 '
/entukan solusi dari relasi rekursi an ) an-" 0 $an-$, dengan a ) $, dan a " ) 2. Pen(elesa%an '
%entuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi an ) an-" 0 $an-$. pindahkan semua suku ke ruas kiri. n * an-" * $an-$ ) Karena Karena relasi relasi diatas diatas memilik memilikii derajat derajat $, &aka &aka bentuk bentuk polino polinomia miall derajat derajat $ yang yang bersesuaian dengan masing-masing suku
dari relasi tersebut, perhatikan setiap
koefesien dan tanda tiap suku.
an * an-" * $an-$ )
r $ * r - $r ) r $ * r * $ ) persamaan diatas disebut persamaan karakteristik, dan memiliki $ akar berbeda yaitu ! r " ) $ dan r $ ) -" yang akar-akar karakteristik. %entuk s"lus% umum dari relasi rekursi yang memiliki 2 akar )er)e*a adalah an ) c".r "n 0 c$.r $n sehingga solusi umum dari relasi rekursi diatas adalah ! an ) c".$n 0 c$.3-"4n untuk suatu c ", c$ bilangan real. 5ntuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang diketahui. 3
a ) $ ) c".$ 0 c$.3-"4 $) c" 0 c$ .................. 3"4 a" ) 2 ) c ".$" 0 c$.3-"4" 2) $c" * c$ ..................3$4 6ersamaan 3"4 dan 3$4 dapat diselesaikan dengan metode subtitusi 7 eliminasi untuk mendapatkan c" ) dan c $ ) -" Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi a n ) an-" 0 $an-$ adalah an ) .$n * 3-"4n. %entuk s"lus% umum dari relasi rekuersi yang memiliki 2 akar kem)ar adalah ! an ) c".r "n 0 c$.nr "n sehingga solusi umum dari relasi rekursi diatas adalah an ) c".n 0 c$.n34n untuk suatu c ", c$ bilangan real. %entuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 3 akar )er)e*a adalah an ) c".r "n 0 c$.r $n 0 c.r n sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah an ) c"."n 0 c$.$n 0 c.n untuk suatu c ", c$, c bilangan real. 5ntuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang diketahui. a ) $ ) c " 0 c$ 0 c a" ) ) c" 0 $c$ 0 c a$ ) " ) c " 0 8c$ 0 9c persamaan diatas dapat diselesaikan dengan metode subtitusi 7 eliminasi untuk mendapatkan c" ) ", c $ ) -", dan c ) $.
4
Sehingga solusi khusus khusus dari relasi rekursi an ) :an-" * ""a n-$ 0 :an- adalah an ) " * $ n 0 $.n.
5
BAB III RAN+!UMAN
De$%n%s% 1
Suatu Suatu realasi realasi rekurs rekursif if untuk untuk sebuah sebuah barisan barisan 'an( merupa merupakan kan sebuah sebuah rumus rumus untuk untuk menyatakan an ke dalam satu atau lebih suku-suku sebelumnya dari barisan tersebut, untuk suatu bilangan bulat non negatif n. Suatu barisan disebut solusi dari sebuah relasi rekursif jika suku-suku pada barisan tersebut memenuhi relasi rekursifnya. De$%n%s% 2
Suatu relasi rekursif linear homogen berderajat
dengan k dengan
koefisien koefisien konstan konstan memiliki
bentuk umum ! an ) c"an-" 0 c$an-$ 0 ... 0 c k an-k dengan c", c$, ... , ck adalah adalah bilangan real, dan c k 1 1 .
%entuk s"lus% umum dari relasi rekursi yang memiliki 2 akar )er)e*a adalah an ) c".r "n 0 c$.r $n
6
%entuk s"lus% umum dari relasi rekuersi yang memiliki 2 akar kem)ar adalah ! an ) c".r "n 0 c$.nr "n %entuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 3 akar )er)e*a adalah an ) c".r "n 0 c$.r $n 0 c.r n
BAB I, LATIHAN -AL DAN PEMBAHAAN
.1 Lat%han "al
a. an * an-" 0 $an-$ ) dengan kondisi awal a ) " dan a " ) $ b. an) -8an-" * * 8an-$ dengan kondisi awal a ) " dan a " ) $ c. an ) an-" 0 8an-$ untuk n + $ dengan kondisi awal a ) " dan a " ) . d. an- an-" 0 an-$ * an- ) untuk n + dengan kondisi awal a ) "; a " ) $ dan a $ ) 8. e. an * 2an-" 0 ":an-$ * "$an- ) untuk n + dengan kondisi awal a ) "; a " ) 8 dan a$ ) <.
.2 Pem)ahasan '
a. 6ersam 6ersamaan aan karak karakter teristi istiss yang yang sesuai sesuai denga dengan n an * an-" 0 $an-$ ) adalah 7
t$ * t 0 $ ) 3 t * $ 4 3 t * " 4 ) yang memiliki akar * akar karakteristik =" ) $ dan = $ ) " Oleh karena semua akar * akar karakteristik berbeda, maka penyelesaiannya adalah ! an ) c"$n 0 c$"n untuk menentukan c " dan c$, digunakan kondisi awal ! a ) "
sehingga
" ) c"3 $4 0 c$3 " 4 " ) c" 0 c$
a" ) $
sehingga
$ ) c"3 $ 4" 0 c$3 " 4" $ ) $c"0 c$
Didapatkan sistem persamaan linier ! c" 0 c$ ) " $c"0 c$) $ >ang memiliki penelesaian c" ) " dan c$ ) Dengan demikian, penyelesaian relasi rekurensi a n * an-" 0 $an-$ ) adalah an ) $n
b. 6ersamaan karakteristis yang sesuai dengan an ) -8an-" * 8an-$atau an0 8an-"0 8an- $ ) adalaht $ 0 8t 8t 0 8 ) 3 t 0 $ 4 $ ) yang memiliki akar * akar karakteristik =" ) =$ ) -$ Oleh karena semua akar * akar karakteristik berbeda, maka penyelesaiannya adalah ! an ) 3 c"0 c$n4 $n untuk menentukan c " dan c$, digunakan kondisi awal !
8
a ) "
sehingga
" ) 3 c" 0 c$3 4 4$ " ) c"
a" ) $
sehingga
$ ) 3 c" 0 c$3 " 4 4$ " $ ) $c" 0 $c$
Didapatkan sistem persamaan linier ! c"
) "
$c" 0 $c$ ) $ >ang memiliki penelesaian c" ) " dan c$ ) -$ Dengan demikian, penyelesaian relasi rekurensi a n ) -8an-" * 8an-$ adalah an ) -$n * $n3 -$ 4 n
c. 6ersam 6ersamaan aan karak karakter teristi istiss yang yang sesuai sesuai denga dengan n an - an-" - 8an-$ ) adalah t$ * t * 8 ) 3 t * 8 4 3 t 0 " 4 ) yang memiliki akar * akar karakteristik =" ) 8 dan = $ ) -" Oleh karena semua akar * akar karakteristik berbeda, maka penyelesaiannya adalah ! an ) c"8n 0 c$3 -" 4n untuk menentukan c " dan c$, digunakan kondisi awal ! a ) "
sehingga
" ) c"3 8 4 0 c$3 -" 4 " ) c" 0 c$
a" )
sehingga
) c"3 8 4" 0 c$3 -" 4" ) 8c" - c$
Didapatkan sistem persamaan linier ! c" 0 c$ ) " 9
8c" - c$ )
>ang memiliki penelesaian c" 0 c$ )
dan c" 0 c$ )
Dengan demikian, penyelesaian relasi rekurensi a n - an-" - 8an-$ ) adalah
an ) 3 8 4n 0 3 -" 4n
d. persamaan persamaan karakter karakteristik istik yang sesuai dengan dengan relasi relasi rekuren rekurensi si an - an-" 0 an-$ * an- ) adalah t * t$ 0 t * " ) 3 t-" 4 ) 6ersamaan karakteristik memiliki akar kembar, yaitu = " ) =$ ) = ) " sehingga penyelesaiannya adalah an ) 3 c" 0 c$n 0 cn$ 4 . "n ) c" 0 c$n 0 cn$ untuk menentukan koefisien * koefisien c ", c$ dan c, digunakan kondisi awalnya ! a ) "
sehingga
" ) c" 0 c$3 4 0 c 3 4$ " ) c"
a" ) $
sehingga
$ ) c" 0 c$3 " 4 0 c 3 " 4$ $
a$ ) 8
sehingga
) c" 0 c$ 0 c
8 ) c" 0 c$3 $ 4 0 c 3 $ 4$ 8 ) c" 0 $c$ 0 8c
Didapatkan sistem persamaan linier ! c"
)"
c" 0 c$ 0 c
)$
c" 0 $c$ 0 8c ) 8
>ang memiliki penyelesaian c " ) " ; c $ )
; dan c )
;
10
6enyelesaian relasi rekurensi an - an-" 0 an-$ * an- ) adalah an ) " 0 n 0 n$
e. 6ersamaan 6ersamaan karakter karakteristik istik yang sesuai dengan dengan relasi relasi rekurensi rekurensi an * 2an-" 0 ":an-$ * "$a n- ) adalah t * 2t$ 0 ":t * "$ ) 3 t - $ 4 $ 3 t- 4 ) 6ersamaan 6ersamaan karakteristik karakteristik yang memiliki memiliki $ akar kembar = " ) =$ ) $ dan= ) sehingga penyelesaiannya adalah an ) 3 c" 0 c$n 4 $n 0 c.n &enggunakan kondisi awalnya a ) "
sehingga
" ) 3 c" 0 c$ 4 $ 0 c. " ) c" 0 c
a" ) 8
sehingga
8 ) 3 c" 0 c$" 4 $" 0 c." 8 ) $c" 0 $c$ 0 c
a$ ) <
sehingga
< ) 3 c" 0 c$$ 4 $$ 0 c.$ < ) 8c" 0
>ang memiliki penyelesaian c " ) ; c $ ) ; dan c ) -8 penyelesaian relasi rekurensi an * 2an-" 0 ":a n-$ * "$a n- ) adalah an ) 3 0 n 4 $ n - 83 n4
11
DA/TAR PUTA!A
-
http!77clonofo http!77 clonofo.blogspot .blogspot.com7$ .com7$""7"7r ""7"7relasi elasi-rek -rekursi.ht ursi.html ml
-
http!77math-solar.blogspot.com7$"$77relasi-rekursif.html http!77math-solar.blogspot.com7$"$7 7relasi-rekursif.html
-
?ong ?ek Siang, Siang, Drs., Drs., &.Sc. &atematika &atematika Diskrit Diskrit dan dan plikas plikasiny inyaa @lmu Komputer. Komputer. >ogyakarta! AD@, $:.
12
