HIMPUNAN
DAN
OPERASI BINER
Disusun oleh : D. L. Crispina Pardede
Sebuah himpunan adalah kumpulan obyek atau simbol yang memiliki sifat yang sama. Anggota himpunan disebut elemen. Contoh 1 : D himpunan nama hari dalam satu minggu. M himpunan mahasiswa jurusan teknik informatika di Universitas Gunadarma. N himpunan bilangan asli. Seb ebuuah hi him mpu puna nann da dapa patt din inyyata taka kann da dala lam m ben entu tukk da daffta tarr ang nggo gota ta (bentuk pendaftaran) ata atauu den dengan gan men menye yebut butkan kan sif sifat at yan yangg dim dimilik ilikii ole oleh h sem semua ua ang anggota gota (bentuk pencirian). Contoh 2 : D = { Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu } = { x | x nama hari dalam satu minggu } Mahasiswa Mahasi swa tin tingka gkatt dua dar darii ju jurus rusan an tek teknik nik inf inform ormatik atikaa di Uni Univer versit sitas as Gun Gunada adarma rma merupakan anggota dari himpunan M di atas. Jika P merupakan himpunan mahasiswa himpunan an bagian (sub tingkat ting kat dua ter terseb sebut, ut, mak makaa P merupakan himpun (subset) set) dari himpunan M dan ditulis sebagai P ⊂ M. Dapat pula ditulis sebagai M ⊃ P dan dibaca M superset dari P atau P terdapat di dalam M .
Himpunan Saling Lepas Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoin) jika mereka tidak memiliki anggota bersama. Contoh 3 : Himpunan mahasiswa S1 Universitas Gunadarma dan himpunan dosen dosen S1 Universitas Gunadarma merupakan himpunan yang saling lepas.
Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinyatakan sebagai { } atau ∅ . Contoh 4 : A = { x | x bilangan asli dan x < 1 } = ∅
Himpunan Semesta Dalam rangka menyelidiki hubungan antara beberapa himpunan, seringkali dibutuhkan pendefinisian sebuah himpunan yang disebut himpunan semesta. Himpunanhimpunan lain yang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta tersebut. Himpunan semesta biasanya dinyatakan sebagai himpunan S atau U . Himpunan & Operasi Biner D.L.C.P. Juni 2003
1
Contoh 5 : Himpunan bilangan riil R merupakan semesta dari himpunan bilangan asli N dan himpunan bilangan bulat Z .
Kesamaan Himpunan Dua buah himpunan dikatakan sama jika keduanya memiliki anggota yang benar-benar sama. Contoh 6 : {x| x +2 =4} = { y| 3y=6}
Diagram Venn Diagram Diagra m Ven Vennn bia biasa sa digu digunak nakan an unt untuk uk me mengg nggamb ambark arkan an himp himpuna unann dan hub hubung ungan an ant antar ar himpunan. Anggota dari setiap himpunan ditempatkan dalam sebuah bentuk tertutup, biasanya lingkaran. Himpunan semesta didefinisikan harus mengandung semua himpunan lain dan biasa digambarkan dengan sebuah segi empat. Contoh 7 : S
Z N
S = himpunan bilangan riil. Z = himpunan bilangan bulat. N = himpunan bilangan asli.
OPERASI PADA HIMPUNAN Komplemen Jika S adalah himpunan semesta dan himpunan A ⊂ S , komplemen dari A , ditulis A’ , adalah himpunan dari semua anggota S yang bukan merupakan anggota A . A’ = { x | x ∉A } Gabungan Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A ∪ B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau anggota keduanya.
A ∪ B = { x | x ∈A atau
x ∈B }
Irisan Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A ∩ B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B. x ∈B } A ∩ B = { x | x ∈A dan Himpunan & Operasi Biner D.L.C.P. Juni 2003
2
Contoh 8 : Diketahui S = { k | k ∈ Z , 1 ≤ k ≤ 12 } A = { x | x ∈ Z , 1 < x < 10 }. B = { y | y ∈ Z , y kelipatan 3 dan 3 ≤ y ≤ 12 }. Gambarkan diagram Venn yang memperlihatkan hubungan ketiga himpunan tersebut dan hitung banyaknya anggota A ∪B, A ∩ B, A’, B’, A’ ∩B’ . Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ...
Gambar di bawah ini menunjukkan beberapa beberapa keadaan yang mungkin terjadi. Kondisi A∩B≠ ∅
A∩B=∅
B⊂A
Operasi A∪B daerah berbayang
A∩B daerah berbayang
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
n(A ∪ B) = n(A)
n(A ∩ B) = 0
n(A ∩ B) = n(B)
Selain ketiga operasi tersebut di atas, pada himpunan berlaku pula operasi selisih dan operasi selisih simetri.
Selisih Selisih (difference ) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B. A - B = { x | x ∈A dan x ∉B }. Jelas bahwa
B - A = { x | x ∈B dan
x ∉A }.
Selisih Simetri Selisih simetri (symetric difference ) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A ∆ B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota gabungan himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan anggota irisan himpunan A dan B. A ∆ B = (A ∪ B )–(A ∩ B ) atau Himpunan & Operasi Biner D.L.C.P. Juni 2003
3
A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B - A ). PERHITUNGAN ANGGOTA HIMPUNAN Banyaknya anggota himpunan D (kardinalitas D ) dinyatakan sebagai n( D ) atau |D|. Contoh 9 : Dari contoh sebelumnya, n(D ) = 7, n(N ) tak hingga. Contoh 10 : Sebuah survei dilakukan terhadap 30 siswa SD dan diperoleh data berikut : B himpunan siswa yang memiliki sepeda, D himpunan siswa yang memiliki anjing. n(B)=23 , n(D)=10, n(B ∩ D) = 6. Tentukan : a). banyaknya anak yang memiliki sepeda dan anjing. b). banyaknya anak yang tidak memiliki sepeda maupun anjing. c). banyaknya anak yang memiliki salah satu sepeda atau anjing, tapi tidak keduanya. Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ...
OPERASI BINER Operasi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua elemen. Beberapa operasi biner yang dikenal dalam matematika adalah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Operasi gabungan, irisan, irisan, selisih dan selisih simetri simetri merupakan beberapa beberapa operasi biner pada himpunan.
Sifat Asosiatif Sebuah operasi biner pada himpunan A dikatakan asosiatif jika dan hanya jika untuk setiap a , b , c ∈ A berlaku : ( a b ) c = a ( ( b b c ) c )
Sifat Komutatif Sebuah operasi biner pada himpunan A dikatakan komutatif jika dan hanya jika untuk setiap a , b ∈ A berlaku : ( a b ) = ( ( b b a a ) )
Sifat Distributif Sebuah operasi biner dikatakan distributif operasi biner untuk setiap a , b , c ∈ A berlaku : Himpunan & Operasi Biner D.L.C.P. Juni 2003
jika dan hanya jika 4
a ( b
c ) = (a b)
( a c ) .
Elemen Identitas Sebuah elemen e disebut elemen identitas bagi operasi biner jika untuk setiap a ∈ A berlaku : a e = e a = a.
, jika dan hanya
Elemen Invers Misalkan a , a’ ∈ A, dimana elemen identitas dari operasi biner adalah e dan a a’ = a’ a = e , maka a’ disebut sebagai elemen invers dari a untuk operasi
biner
.
Hukum yang Berlaku pada Operasi Himpunan Tabel berikut menampilkan hukum-hukum yang berlaku pada operasi himpunan. Hukum Asosiatif
(A B) C)
Hukum Komutatif
A
Hukum Distributif
A (A
Hukum Involusi
(A’)’ = A
Hukum Idempoten
A
A =
Hukum Identitas
A
=
Hukum Komplemen
A
Hukum Morgan
de
(A
C
B = (B C)
B
=
A
(B
A
(A C) A
C ) = ( A
C
B = B
A (A
(B C)
A
A
A = A
A
A
A’ = S B ) ‘ = A’
B)
B)
A B’
(A
=
A
(B
A
C ) = ( A
B)
S = A A’ = B )’ = A’
B’
Contoh 9 : Jika P, Q dan R adalah himpunan, tunjukkan bahwa ( P ∪ Q ) ∩ ( P’ ∩ R )’ = P ∪ ( Q’ ∪ R )’ . Jawab : ( P ∪ Q ) ∩ ( P’ ∩ R )’ = ( P ∪ Q ) ∩ ( (P’ )’ ∪ R’ ) hukum de Morgan = ( P ∪ Q ) ∩ ( P ∪ R’ ) hukum involusi = P ∪ ( Q ∩ R’ ) hukum distribusi = P ∪ ( Q’ ∪ R )’ hukum de Morgan Contoh 10 : Himpunan & Operasi Biner D.L.C.P. Juni 2003
5
Jika P, Q dan R adalah himpunan, tunjukkan bahwa P’ ∪ (Q ∩ R)’ ∩ (P’ ∩ Q’ ) = P’ ∩ Q’ Jawab : ...diserahkan kepada pembaca .... ....
Himpunan & Operasi Biner D.L.C.P. Juni 2003
6
