Mata Kuliah Dosen
:
Matematika Diskrit Lanjut : Prof. Dr. Abdul Rahman, M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2017
RELASI REKURSIF
A. Definisi Relasi Rekursif
Relasi rekursif adalah sebuah formula rekursif dimana setiap bagian dari suatu barisan dapat ditentukan menggunakan satu atau lebih bagian sebelumnya. Jika
adalah banyak cara untuk menjalankan prosedur dengan
k obyek, untuk k = 0,1,2,3,4…. Maka relasi rekursi adalah sebuah persamaan yang menyatakan
sebagai sebuah fungsi dari untuk k < n.
tidak akan pernah dapat dicari jika suatu nilai awal tidak diberikan. Jika suatu relasi rekursif melibatkan r buah , maka r buah nilai awal , ,….− harus diketahui. Sebagai contoh, pada relasi rekursif = − + −, tidak cukup diketahui sebuah nilai = 2, akan tetapi butuh sebuah nilai lagi yaitu missal =3. Dengan demikian = + =3+5=8; = + = 5+3 = 8; = + = 8+5 = 13; dst. Definsi lain menyatakan suatu relasi rekursi untuk sebuah barisan merupakan sebuah rumus untuk menyatakan ke dalam satu atau lebih Nilai
suku-suku sebelumnya dari barisan tersebut, untuk suatu bilangan bulat
nonnegatif . Atau dengan kata lain, bila persamaan yang mengekspresikan an dinyatakan secara rekursif dalam satu atau lebih term elemen sebelumnya, yaitu a0, a1, a2, …, an – 1, maka persamaan tersebut dinamakan relasi rekurens. Contoh
an = 2an – 1 + 1 an = an – 1 + 2an – 2 an = 2an – 1 – an – 2
1
Dalam relasi rekurens terdapat kondisi awal untuk suatu barisan. Kondisi awal (initial conditions) suatu barisan adalah satu atau lebih nilai
yang diperlukan untuk memulai menghitung elemen-elemen selanjutn ya. Contoh: an = 2an – 1 + 1; a0 = 1 an = an – 1 + 2an – 2 ; a0 = 1 dan a1 = 2 Karena relasi rekurens menyatakan definisi
barisan secara rekursif,
maka kondisi awal merupakan langkah basis pada definisi rekursif tersebut. Contoh . Barisan Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
dapat dinyatakan dengan relasi rekurens f n = f n – 1 + f n – 2 ; f 0 = 0 dan f 1 = 1 Kondisi awal secara unik menentukan elemen-elemen barisan. Kondisi awal yang berbeda akan menghasilkan elemen-elemen barisan yang berbeda pula. Solusi dari sebuah relasi rekurens adalah sebuah formula yang tidak melibatkan lagi term rekursif.
Formula tersebut memenuhi relasi rekurens
yang dimaksud atau dengan kata lain suatu barisan disebut solusi dari sebuah relasi rekursi jika suku-suku pada barisan tersebut memenuhi relasi rekursinya. Contoh 1
barisan yang memenuhi relasi rekursi = - misalkan =3 dan =5. Tentukan nilai dan . Misal
−1
0
1
2
−2.
untuk ≥2,lalu
3
Jawab
= − , maka =2. Karena = − , maka =−3. Karena
2
1
0
2
3
2
1
3
Contoh 2
=3, =2 dan =5 merupakan solusi bagi relasi rekursi =2 - ? Untuk bilangan bulat nonnegatif ,apakah barisan −1
−2
Jawab (i)
Misal
=3, untuk bilangan bulat nonnegatif . Maka 2
=2 - =2(3(−1)) − 3(−2) =3. −1
−2
=3 merupakan solusi bagi relasi rekursi =2 - (ii) Misal =2, untuk bilangan bulat nonnegatif . Maka =2 - =2(2 ) − 2 =2 −2 =2(1− )=2 ∙ ≠2. Maka =2 bukan merupakan solusi bagi relasi rekursi =2 - (iii) Misal =5, untuk bilangan bulat nonnegatif . Maka =2 - =2(5)−5 =5 Maka =5 merupakan solusi bagi relasi rekursi =2 − . Catatan: Kondisi awal ( ) akan menentukan suku-suku pada barisan Maka
−1
−1
−2
−2
( −1)
( −2)
−2
−1
−2
−1
−2
−1
−2
0
berikutnya. Contoh 3
Tentukan barisan yang merupakan solusi dari relasi rekursi diketahui
=2.
=3
0
Jawab:
=3 =3(3 ) = 3 ∙ =3(3(3 )) = 3 ∙ ⋮ =3∙ =3 ∙ =2∙3 −1
2
−2
3
−3
−
3
−2 −3
0
( 0=2)
−1,
jika
=2∙3 merupakan solusi dari relasi rekursi =3 dengan nilai awal =2. Sehingga barisan
−1
0
Fungsi
dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu
pada dirinya sendiri. Tinjau kembali fungsi untuk menghitung faktorial dari bilangan bulat tak-negatif n yang didefinisikan sebagai berikut:
1 ,=0 !={12… ( 1), >0 Sebagai contoh, 0! = 1 1! = 1 2! = 1x 2 3! = 1x 2x 3 4! = 1x2x3x4 Sekarang coba perhatikan bahwa faktorial dari n dapat didefinisikan dalam terminologi faktorial juga: 0! = 1 1! = 1 2! = 1x 2 3! = 1x 2x 3 4! = 1x2x3x4 Nyatakan, bahwa untuk
> 0 kita melihat bahwa:
n! = 1 x 2 x….x(n-1)xn = (n-1)!xn Dengan menggunakan notasi matematika, maka n! didefinisikan dalam hubungan rekursif sebagai berikut:
4
!={ 1( 1),=0 !, >0 Jika kita misalkan () = n!, maka fungsi factorial di atas dapat juga ditulis sebagai
() = { 1( 1),,=0>0 Kita dapat melihat bahwa dalam proses perhitungan factorial bilangan
tak-negatif
n
pendefinisian seperti
terdapat
itu,
definisi
factorial
itu
yang mendefinisikan sebuah
sendiri.
Cara
objek dalam
terminology dirinya sendiri dinamakan definisi rekursif. Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian: (i) Basis : bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. (ii) Rekurens •
Bagian ini mendefinisikan fungsi dalam terminologi dirinya sendiri.
•
Berisi kaidah untuk menemukan nilai fungsi pada suatu input dari nilai-nilai lainnya pada input yang lebih kecil
Contoh 4
Tinjau kembali perhitungan n! Secara rekursif dan tentukan nilai dari 5!. Dengan mengingat kembali definisi rekursif dari faktorial. (i) Basis n! = 1
, jika n = 0
(ii) Rekurens : n! = n x (n-1)!
, jika n>0
maka 5! Dihitung dengan langkah berikut: (1) (2) (3)
5! = 5 x 4!
(rekurens)
4! = 4 x 3! 3! = 3 x 2!
(4)
2! = 2 x 1!
5
(5)
1! = 1 x 0!
(6)
0! = 1
Pada baris (6) kita memperoleh nilai yang terdefinisi secara langsung dan bukan faktorial dari bilangan lainnya. Dengan melakukan runut-balik (backtrack) dari baris (6) ke baris (1), kita mendapatkan nilai pada setiap baris untuk menghitung hasil pada baris sebelumnya: (6’) 0! =1 (5’) 1! = 1 x 0! (4’) 2! = 2 x 1! (3’) 3! = 3 x 2! (2’) 4! = 4 x 3! (1’) 5! = 5 x 4! Jadi, 5! = 120 Contoh 5
dalam argumen rekursif
Nyatakan Jawab: a
n
a a a ...a
n
a
n
kali
a a a a ...a
aa
n 1
n 1 kali
1 a a
,n 0 n
1
,n 0
Contoh 6
Nyatakan a
b secara rekursif, yang dalam hal ini a dan b adalah bilangan
bulat positif..
6
Jawab: a b
b b ... b b a
kali
b ... b bb a 1 kali
a b
b ( a 1)b
,a 1 b b (a 1)b , a 1
Contoh 7
(Barisan Rekursif) Perhatikan barisan bilangan berikut ini: 1, 2, 4, 8, 16, 64, … Setiap elemen ke-n untuk n = 0, 1, 2, … merupakan hasil perpangkatan 2 dengan n, atau an = 2n. Secara rekursif, setiap elemen ke-n merupakan hasil kali elemen sebelumnya dengan 2, atau an = 2an – 1. Basis: a0 = 1 Rekurens: an = 2an – 1. Kasus:
Koloni bakteri dimulai dari lima buah bakteri. Setiap bakteri membelah diri menjadi dua bakteri baru setiap satu jam. Berapa jumlah bakteri baru sesudah 4 jam? Misalkan an = jumlah bakteri setelah n jam, yang dapat dinyatakan dalam relasi rekursif sebagai berikut:
a
n
,n 0 5 2a 1 , n 0 n
n=1
jumlah
bakteri = a1 = 2a0 = 2 5 = 10
n=2
jumlah
bakteri = a2 = 2a1 = 2 10 = 20
n=3
jumlah
bakteri = a3 = 2a2 = 2 20 = 40
n=4
jumlah
bakteri = a4 = 2a3 = 2 40 = 80
Jadi, setelah 4 jam terdapat 80 buah bakteri
7
B. Pemodelan dengan Relasi Rekursif
Relasi rekursif yang paling terkenal dan sering digunakan yaitu barisan Fibonacci. Relasi rekursif ini merupakan salah satu relasi rekursif yang paling tua di dunia, dibahasa pada buku Liber Abacci yang ditulis oleh Leonardo Of Pisa atau yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci pada tahun 1202. Pada saat itu dicoba untuk menghitung jumlah pasangan kelinci yang ada, jika setiap pasangan kelinci setiap bulan dapat menghasilkan sepasang anak kelinci baru.
=1, =1, maka = − + − untuk
Jika syarat awal diberikan dengan harga bilangan yang diperoleh dengan rumus rekursif n=3,4.. disebut barisan Fibonacci dan suku
disebut bilangan Fibonacci.
Jadi, barisan Fibonacci sebagai berikut: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,114,233,…. Contoh 8
(Arrangements) Tentukan relasi rekursif untuk menentukan banyaknya cara menyusun n buah objek yang berbeda dalam suatu barisan. Tentukan banyaknya cara untuk menyusun 8 buah objek. Penyelesaian: Misalkan
menyatakan banyaknya cara menyususn n objek yang berbeda,
maka ada n cara meletakkan n objek pada urutan pertama dibarisan. Dengan
−, maka ada n-1 cara. Oleh karena itu formula relasi rekursi dapat dinyatakan sebagai = − cara yang sama untuk
Jadi
8 = 8! 8
Contoh 9
(Climbing Stair s) Sebuah rumah memiliki tangga dengan n buah anak tangga untuk dinaiki. Setiap langkah dapat melewati satu atau dua anak tangga. Tentukan relasi rekursi untuk
, banyaknya cara berbeda seseorang dapat menaiki n buah
anak tangga.! Penyelesaian:
= 1 = 2, yaitu 1,1 atau 2 = 3, yaitu 1,1,1 atau 1,2 atau 2,1 = 4, yaitu 1,1,1,1 atau 1,2,1 atau 1,1,2 atau 2,2 atau 2,1,1 Sangat jelas terlihat bahwa ketika sebuah langkah dijalankan, maka akan ada tiga atau kurang anak tangga lagi yang tersisa untuk dinaiki. Dengan demikian setelah langkah pertama menaiki sebuah anak tangga, akan ada
cara untuk meneruskan menaiki tiga anak tangga berikutnya. Jika langkah pertama menaiki dua anak tangga, maka akan ada cara untuk meneruskan menaiki dua anak tangga yang tersisa. Dengan demikian = + = 3 + 2 Contoh 10 Bunga Majemuk
Misalkan uang sebanyak Rp10.000 disimpan di bank dengan sistem bunga berbunga dengan besar bunga 11% per tahun. Berapa banyak uang setelah 30 tahun? Misalkan P n menyatakan nilai uang setalah n tahun. Nilai uang setelah n tahun sama dengan nilai uang tahun sebelumnya ditambah dengan bunga uang: P n = P n – 1 + 0,11 P n – 1 ; P 0 = 10.000
9
•
Solusi relasi rekurens P n = P n – 1 + 0,11 P n – 1 ; P 0 = 10.000 dapat dipecahkan sebagai berikut: P n
= P n – 1 + 0,11 P n – 1 = (1,11) P n – 1 = (1,11) [(1,11) P n – 2] = (1,11)2 P n – 2 = (1,11)2 [(1,11) P n – 3] = (1,11)3 P n – 3 =… = (1,11)n P 0 Jadi, P n = (1,11)n P 0 = 10.000 (1,11) n
Setelah 30 tahun, banyaknya uang adalah P 30 = 10.000 (1,11) 30 = Rp228.922,97 Contoh 11 Menara Hanoi (The Tower of H anoi )
Menara Hanoi adalah sebuah puzzle yang terkenal pada akhir abad 19. Puzzle ini ditemukan oleh matematikawan Perancis, Edouard Lucas. Dikisahkan bahwa di kota Hanoi, Vietnam, terdapat tiga buah tiang tegak setinggi 5 meter dan 64 buah piringan (disk ) dari berbagai ukuran. Tiap piringan mempunyai lubang di tengahnya yang memungkinkannya untuk dimasukkan ke dalam tiang. Pada mulanya piringan tersebut tersusun pada sebuah tiang sedemikian rupa sehingga piringan yang di bawah mempunyai ukuran lebih besar daripada ukuran piringan di atasnya. Pendeta Budha memberi pertanyaan kepada murid-muridnyanya: bagaimana memindahkan seluruh piringan tersebut ke sebuah tiang yang lain; setiap kali hanya satu piringan yang boleh dipindahkan, tetapi tidak boleh ada piringan besar di atas piringan kecil. Tiang yang satu lagi dapat dipakai sebagai tempat peralihan dengan tetap memegang aturan yang telah disebutkan. Menurut legenda pendeta Budha, bila pemindahan seluruh piringan itu berhasil dilakukan, maka dunia akan kiamat!
10
Pemodelan :
Kasus untuk n=3 Piringan
Secara umum, untuk n piringan, penyelesaian dengan cara berpikir rekursif adalah sebagai berikut: Kita harus memindahkan piringan paling bawah terlebih dahulu ke tiang B sebagai alas bagi piringan yang lain. Untuk mencapai maksud demikian, berpikirlah secara rekursif: pindahkan n – 1 piringan teratas dari A ke C, lalu pindahkan piringan paling bawah dari A ke B, lalu pindahkan n – 1 piringan dari C ke B. pindahkan n – 1 piringan dari A ke C pindahkan 1 piringan terbawah dari A ke B pindahkan n – 1 piringan dari C ke B
11
Selanjutnya dengan tetap berpikir rekursif-pekerjaan memindahkan n – 1 piringan dari sebuah tiang ke tiang lain dapat dibayangkan sebagai memindahkan n – 2 piringan antara kedua tiang tersebut, lalu memindahkan piringan terbawah dari sebuah tiang ke tiang lain, begitu seterusnya. Misalkan H n menyatakan jumlah perpindahan piringan yang dibutuhkan untuk memecahkan teka-teki Menara Hanoi. pindahkan n – 1 piringan dari A ke C
H n-1 kali
pindahkan 1 piringan terbawah dari A ke B
1
pindahkan n – 1 piringan dari C ke B
H n-1 kali
kali
Maka jumlah perpindahan yang terjadi adalah: H n = 2 H n-1 + 1 dengan kondisi awal H 1 = 1 Penyelesaian relasi rekurens: H n = 2 H n-1 + 1 = 2(2 H n-2 + 1) + 1 = 2 2 H n-2 + 2 + 1 = 22 (2 H n-3 + 1) + 2 + 1 = 23 H n-3 + 22 + 2 + 1
= 2n-1 H 1 + 2n-2 + 2n-3 + … + 2 + 1 = 2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + … + 2 + 1
deret
geometri
= 2n – 1 •
Untuk n = 64 piringan, jumlah perpindahan piringan yang terjadi adalah H 64 = 264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
•
Jika satu kali pemindahan piringan membutuhkan waktu 1 detik, maka waktu yang diperlukan adalah 18.446.744.073.709.551.615 detik atau setara dengan 584.942.417.355 tahun atau sekitar 584 milyar tahun!
12
•
Karena itu, legenda yang menyatakan bahwa dunia akan kiamat bila orang berhasil memindahkan 64 piringan di menara Hanoi ada juga benarnya, karena 584 milyar tahun tahun adalah waktu yang sangat lama, dunia semakin tua, dan akhirnya hancur. (Wallahualam)
C. Definisi Relasi Rekursif Linear Dengan Koefisien Konstanta
Sebuah relasi rekurensi linier berkoefisien konstan dari sebuah fungsi numerik a, secara umum ditulis sebagai berikut C0 an + C1 an-1 + C2 an-2 + … + Ck an-k = f(n) dimana Ci , untuk i = 0,1,2,…,k adalah konstan dan f(n) adalah sebuah fungsi numerik dengan variabel n. Relasi rekurensi tersebut dikatakan relasi rekurensi linier berderajat k , jika C0 dan Ck keduanya tidak bernilai 0 (nol). Contoh 2 an + 2 an-1 = 3n
adalah sebuah relasi rekurensi linier berderajat 1
tn = 7 tn-1
adalah sebuah relasi rekurensi linier berderajat 1
an – an-1 – an-2 = 0 adalah sebuah relasi rekurensi linier berderajat 2 bn-3 – 3bn = n+3
adalah sebuah relasi rekurensi linier berderajat 3
Untuk sebuah relasi rekurensi dengan koefisien konstan derajat k, jika diberikan k buah harga a j suatu nilai
yang berurutan
am-k , a m-k+1 , … , a m-1 untuk
m tertentu, maka setiap nilai am yang lain dapat dicari dengan
rumus am =
1
C 0
( C1 am-1 + C2 am-2 + … + Ck am-k - f(m) )
dan selanjutnya, harga am+1 juga dapat dicari dengan cara
13
am+1 =
1
( C1 am + C2 am-1 + … + Ck am-k+1 - f(m+1) )
C 0
demikian pula untuk nilai am+2 , am+3 dan seterusnya. Di lain pihak, harga am-k-1 dapat pula dihitung dengan; am-k-1 =
1
C k
( C1 am-1 + C2 am-2 + … + Ck-1 am-k - f(m-1) )
dan am-k-2 dapat dicari dengan am-k-2 =
1
C k
( C1 am-2 + C2 am-3 + … + Ck-1 am-k-1 - f(m-2) ).
Harga am-k-3 dan seterusnya dapat dicari dengan cara yang sama. Jadi, untuk sebuah relasi rekurensi linier berkoefisien konstan derajat
k , bila
harga k buah a j yang berurutan diketahui, maka harga a j yang lainnya dapat ditentukan secara unik. Dengan kata lain, k buah harga a j yang diberikan merupakan himpunan syarat batas (kondisi batas) yang harus dipenuhi oleh relasi rekurensi tersebut untuk dpat memperoleh harga yang unik. Jika f(n) = 0, maka relasi rekursif tersebut disebut homogeny; jika tidak demikian, disebut nonhomogen. Konstanta, maka relasi rekursif tersebut dinamakan relasi rekursif dengan koefisien konstanta. Misalnya, (i)
≥
a1 = a2 = 0; an= an-1+an-2+1, n 3 adalah relasi rekursif linear nonhomogen derajat dua dengan koefisien konstanta.
(ii)
≥
a1 = a2 = 0; an = an-1+an-2, n 3 adalah relasi rekursif linear homogeny berderajat dua dengan koefisien konstanta
(iii)
≥
a0 = a1 = 1; an= a0 an-1+ a2an-2+ an-1a0, n 1 adalah relasi rekursif non linear.
(iv)
≥
D1 =1; Dn=nDn-1 + (-1)n, n 1 adalah relasi rekursif linear nonhomogen derat satu dengan koefisien bukan konstanta.
14
Perlu dicatat bahwa suatu relasi rekursif berderajat k terdiri dari sebuah bagian rekursif dan k kondisi awal berurutan. Relasi rekursif demikian mendefinisikan tepat satu fungsi solusi.
15
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. 2015. Relasi Rekursi http:// ratih_kurniasih.staff.gunadarma.ac.id /Downloads/files/49596/RELASI+REKURSI.ppt. diakses tanggal 06 juni 2017. Budayasa, I Ketut. 2014. Matematika Diskrit , Cet.V. Unesa University Press: Semarang. Indarti, Dina. 2015. Relasi Rekursi. http://dina_indarti.staff.gunadarma.ac.id /Downloads/files/44823/Relasi+Rekursi.pdf. diakses tanggal 06 Juni 2017. Liu, C.L., 1986. Elements of Discrete Mathematics, Edisi ke-2, Mc.Graw Hill: Singapore. Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit . Informatika Bandung: Bandung. Sumantri Slamet dan Hendrik Makaliwe. 1991. Matematika Kombinatorik , Elex Media Komputindo dan PAU – UI: Jakarta. Townsend, Michael. 1987. Discrete Mathematics: Applied Combinatorics and Graph Theory. The Benjamin/Cummings Publishing Company: California. Wirawan, Onggo. 2015 Relasi Rekursi. http://onggo.staff.gunadarma.ac.id /Downloads/files/40764/Relasi+Rekursi+-+Onggo+Wiryawan.pdf. diakses tanggal 06 Juni 2017.
16
