SISTEM RELASI REKURSIF
Adakalanya suatu permasalahan dapat dimodelkan ke dalam bentuk sistim rekursif. Sistim rekursif melibatkan paling sedikit dua rekursif yang terkait satu sama lainnya. Sebagai ilustrasi, ikuti uraian berikut. Misal an menyatakan banyaknya barisan binair n-angka " yang memuat "0" sebanyak bilangan genap dan "1" sebanyak bilangan genap: bn menyatakan banyaknya barisan binair n-angka yang memuat "0" sebanyak genap dan "1" sebanyak ganjil ; cn adalah banyaknya barisan binair n-angka yang memuat "0" sebanyak ganjil dan "1" sebanyak genap ; dn adalah banyaknya barisan barisan binair n-angka yang memuat "0" sebanyak ganjil dan "1" sebanyak ganjil. Karena setiap barisan binair n-angka yang memuati "0" sebanyak genap dan "1" "1" sebanyak genap dapat diperoleh dari: sebuah barisan binair (n-1) -angka yang memuat "0" dari "1" sebanyak ganjil deagan binai r
sebanyak genap
menambah /menyisipkan / sebuah digit "1" atau sebuah barisan
(n-1) -angka yang memuat "0" sebanyak ganji1 dan "1" sebanyak genap dengan menambah /
menyisipkan sebuah digit "0" maka diperoleh hubungan sebagai berikut : ....
an = bn-1+ cn-1 ; n ≥ 1 Begitu pula setiap barisan binair n-angka n-angka yang memuat “0” sebanyak genap dan “1” sebanyak ganjil dapat diperoleh dari : sebuah barisan binair (n-1) –angka (n-1) –angka yang memuat “0” sebanyak seban yak genap dan “1” sebanyak genap dengan menyisipkan sebuah digit “1” ; atau sebuah barisan binair (n-1) (n-1) – angka angka yang memuat “0” sebanyak ganjil dan “1” sebanyak ganjil dengan menyisipkan sebuah digit “0” Sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut
bn = an-1 + dn-1 Dengan argumen yang serupa dapat ditunjukan bahwa untuk cn dan dn berturut – berturut – turut turut berlaku hubungan sebagai berikut
cn = an-1 + dn-1 dan dn = bn-1 + cn-1 Jelas bahwa a0 = 1 dan b0 = c0 = d0 = 0. Jadi relasi rekursif untuk an, bn, cn, dan dn diberikan oleh sistim rekursif berikut
an = bn-1+ cn-1 bn = an-1 + dn-1 cn = an-1 + dn-1 dn = bn-1 + cn-1 dengan kondisi awal a0 = 1 dan b0 = c0 = d0 = 0. Selanjutnya kita gunakan fungsi pembangkit pemban gkit untuk menyelesaikan sistim rekursif tersebut. Misalkan A(x), B(x), C(x) dan D(x) berturut – berturut – turut turut adalah fungsi pembangkit biasa dari an, bn, cn dan dn. diperoleh : A(x)
2
= a0 + a1 + a2x + ……. 2
= a0 + (b0 + c0)x + (b1 + c1)x + …….. 2
2
= a0 + x (b0 + b1x + b2x + ……..) + x (c0 + c1x + c2x + ……….) = 1 + x B(x) + x C(x)
B(x)
2
= b0 + b1x + b2x + ……… 2
= b0 + (a0 + d0)x + (a1 + d1)x + …….. 2
2
= b0 + x(a0 + a1x + a2x + …….) + x(d0 + d1x + d2x + ……..) = x A(x) + x D(x) C(x)
2
= c0 + c1x + c2x + ……. 2
= c0 + (a0 + d0)x + (a1 + d1)x + …….. 2
2
= 0 + x(a0 + a1x + a2x + …….) + x(d0 + d1x + d2x + ……..) = x A(x) + x D(x) D(x)
2
= d0 + d1x + d2x + …….. 2
= d0 + (b0 + c0)x + (b1 + c1)x + ……. 2
2
= 0 + x (b0 + b1x + b2x + ……..) + x (c0 + c1x + c2x + ……….) = x B(x) + x C(x) Dengan demikian kita punya sistim persamaan : A(x)
= 1 + x B(x) + x C(x)
B(x)
= x A(x) + x D(x)
C(x)
= x A(x) + x D(x)
D(x)
= x B(x) + x C(x)
Dengan penyelesaian : A(x) B(x) C(x) D(x) n
= = = =
Selanjutnya kita cari koefisien x dalam A(x), B(x), C(x) dan D(x). Karena A(x)
= - – – = + x( + ) = ∑ . ∑ + ∑ - ∑ = ∑ + ∑ + ∑ - ∑
=
Maka a0 = 1 dan untuk n ≥ 1 an
n
n
n-1
n-1
= (-2) + (2 ) + (-2) – (2) = 2 (-2)
n-2
n-2
= (-2)
+ 2.2
+2
n-2
n-2
– (-2) – (-2)
n-2
– 2 – 2
n-2
Atau 1 an =
2
, jika n = 0 n-1
, jika n genap dan n ≥ 2
0
, jika n ganjil
Selanjutnya, karena B(x)
= = – - = {∑ ∑ }
Maka 0 bn
n
, jika n genap
n
= (2 - (-2) ) = 2
n-1
, jika n ganjil
Perhatikan bahwa C(x) = B(x) sehingga jelas cn = bn Akhirnya D(x)
= = = x ∑ ∑ = ∑ ∑
Dengan demikian dn
n-1
= . 2 – (-2) 2
n-1
n-1
, n > 0 dan n genap
= 0
, n ganjil atau n = 0
Selesaikan sistim rekursif berikut a)
a1 = b1 = c1 ≥ 1 an+1 = an + bn + cn , n ≥ 1 n bn+1 = 4 – c – cn ,n≥1 n cn+1 = 4 – b – bn ,n≥1 b) a0 = 1 , b0 = c1 = 0 an = 2 an-1 + bn-1 + cn-1 ,n≥1 n-1 bn = bn-1 - cn-1 + 4 ,n≥1 n-1 cn = cn-1 - bn-1 + 4 ,n≥1
Diberikan an
: Banyaknya barisan ternair n – n – angka angka yang memuat “0” sebanyak bilangan genap dan “1” sebanyak bilangan genap.
bn
: Banyaknya barisan ternair n – n – angka angka yang memuat “0” sebanyak bilangan genap dan “1” sebanyak bilangan ganjil.
cn
: Banyaknya barisan ternair n – n – angka angka yang memuat “0” sebanyak bilangan ganjil dan “1” sebanyak bilangan genap.
