RELASIREKURSIF
1.Pendahuluan
Relasirekursifseringjugadisebutrelasiberulang.Relasiinimendefi Relasirekursifseringjugadisebutrelasiber ulang.Relasiinimendefinisikans nisikans ebuah barisandenganmemberikannilaike-nyangdika barisandenganmemberi kannilaike-nyangdikaitkandengansuku itkandengansuku sukusebelumnya. untukmendefinisikansebuahbarisan,relasibe untukmendefinisikans ebuahbarisan,relasiberulangmemerlukannilaia rulangmemerlukannilaiawalyang walyang sudah ditentukan.Secaraformalrelasiberulangini ditentukan.Secarafor malrelasiberulanginididefinisikansebagaiseb didefinisikansebagaisebuahrelas uahrelas iberulang untukbarisana0,a1,a2,...merupakansebu untukbarisana0,a1, a2,...merupakansebuahpersamaanyangmengkai ahpersamaanyangmengkaitkanand tkanand engana0, a1,a2,...,an-1.Syaratawaluntukbarisa a1,a2,...,an-1. Syaratawaluntukbarisana0,a1,a2,...adala na0,a1,a2,...adalahnilai-n hnilai-n ilaiyangdiberikan secaraeksplisitpadabeberapasukudaribarisantersebut. Banyakpermasalahandalammatematikayangdapatdimodelkandalambentu Banyakpermasalahandalammatematikayangdap atdimodelkandalambentukrelasi krelasi rekursif,kombinatorikmerupakansalahsatunya rekursif,kombinatorik merupakansalahsatunya.MisalPnmenyatakanban .MisalPnmenyatakanbanyaknya yaknya permutasidarinobjekberbeda,makaP1=1ka permutasidarinobjek berbeda,makaP1=1karenahanyaadasatupermu renahanyaadasatupermutasidari tasidari 1objek. Untukn=2terdapatnkemungkinanposisidari Untukn=2terdapatn kemungkinanposisidarisatuobjekdansetiapke satuobjekdansetiapkemungkinan mungkinan posisi darisatuobjekakandiikutiolehpermutasidarin darisatuobjekakandiikutiolehpermutasidarin 1objek.Karenabanyaknyaper mutasi darin darin1objekiniadalahPn 1objekiniadalahPn 1makaterdapathubunganPn=Pn 1makaterdapathubunganPn=Pn 1dengandemikian P1=1;Pn=Pn1,n=2(2.1.1) P1=1;Pn=Pn BentukdiatasdisebutrelasirekursifuntukPn,banyaknyapermutasidar BentukdiatasdisebutrelasirekursifuntukPn ,banyaknyapermutasidarinobjek inobjek . P1=1disebutkondisiawalsedangkanPn=Pn P1=1disebutkondisiawalsedangkanPn=Pn 1disebutbagianrekusifdarirela sirekursif tersebut. Contoh barisanfibonacci(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...).misalkan barisanfibonacci(1,1,2,3,5,8,13,21,3 4,55,89,...).misalkanFnmenya Fnmenya takansukuke-n daribarisantersebut,perhatikanbahwan3,s daribarisantersebut, perhatikanbahwan3,sukuke-ndaribarisanter ukuke-ndaribarisantersebutada sebutada lahjumlah dariduasukusebelumnya,sehinggarelasireku dariduasukusebelumn ya,sehinggarelasirekursifuntukFnditulis: rsifuntukFnditulis: F1=1,F2=1;Fn=Fn-1+Fn2,n=3 F1=1,F2=1;Fn=Fn-1+Fn Dalamrelasitersebutterdapatduakondisiawa Dalamrelasitersebut terdapatduakondisiawalyaituF1=1danF2=1 lyaituF1=1danF2=1.Jikako .Jikako ndisiawal dirubah,makabarisanfibonacciyangdiperoleh dirubah,makabarisan fibonacciyangdiperolehakanberbedadengandia akanberbedadengandiatas tas Berdasarkancontohdiatasterlihatbahwasuatufungsinumeric(a0,a1, Berdasarkancontohdiatasterlihatbahwasuatu fungsinumeric(a0,a1,a2,..., a2,..., ar,...)dan sembarangr,suatupersamaanyangmengaitkana sembarangr,suatuper samaanyangmengaitkanardengansatuataulebih rdengansatuataulebihai,i<r ai,i<r , dinamakanrelasirekursif(recurrencerelation dinamakanrelasirekur sif(recurrencerelation)ataudisebutjugapersa )ataudisebutjugapersamaanbeda maanbeda .Nilainilaiawalyangdiketahuidinamakansyaratbat nilaiawalyangdiketa huidinamakansyaratbatas(boundarycondition). as(boundarycondition).
2.JENIS-JENISRELASIREKURSIF a.RelasiRekurensiLinierBerkoefisienKonstan
Bentukumumbagianrekursifdarisuaturelasirekursiflinierberderajatkdapat ditulissebagaiberikut: an+C1an-1+C2an-2++Ckan-k=f(n) dimanaCi,untuki=1,2,3,,kadalahkonstantadanf(n)adalahsebuahfungsi numerikdenganvariabeln,danC00.Relasirekursifnyadisebutrelasirekursif dengankoefisienkonstanta Jikaf(n)=0makarelasirekursifnyadisebuthomogen Jikaf(n)0makarelasirekursifnyadisebutnonhomogen Contoh1 1.2an+2an-1=3nadalahsebuahrelasirekurensilinierberderajat1 2.tn=7tn-1adalahsebuahrelasirekurensilinierberderajat1 3.anan-1an-2=0adalahsebuahrelasirekurensilinierberderajat2 4.bn-33bn=n+3adalahsebuahrelasirekurensilinierberderajat3 5.a0=a1=1;an=a0an-1+a1an-2+...+an-1a0,n1adalahrelasirekursifn onlinier 6.D0=1;Dn=nDn-1+(-1)n,n1adalahrelasirekursifliniernonhomogenden gan koefisiennonkonstanta
Suaturelasirekursifberderajatkterdiridarisebuahbaganrekursifdankkond isiawal berurutan.Relasirekursifdemikianmendefenisikantepatsatufungsi Contoh1. DiberikanRelasiRekursifan.an.1+an.2, apakahtermasukbentuk a)homogen b)linear c)berapakahderajatnya? d)tentukankoefisien
Penyelesaian: an.an.1.an.2 ..an.an.1.an.2.0 a)karenafn=0makatermasukhomogen b)karenatidakadaperkalianduavariablemakaRRtersebutlinear,
c)an-k=an-2makak=2,artinyaberderajat2 d)karenah1(n)..1(koefisiendarian.1),danh2(n)..1(koefisiendarian. 2), makamempunyaikoefisiennyakonstan,
contoh2 Tentukansifat-sifatdariRRan.nan.1.(.1) Penyelesaian: an.nan.1.(.1)n an b.RelasiRekursifLinearHomogenDenganKoefisienKonstanta
Bentukumumdarirelasirekursiflinierhomogendengankoefisienkonstantaadala h sebagaiberikut: (2.2.1) Dengankkondisiawal,untuk1=i=k,=konstanta. Padabagianiniakandikembangkansuatuteknikuntukmenyelesaikanrelasirekurs if. Untukmaksudtersebutdiperlukanteoremaberikut: Teorema2.2.1:(prinsipsuperposisi).Jika()()berturut-turutadalah solusidari: (),(2.2.2) dan ()(2.2.3) Makauntuksebarangkonstanta^^,^()^()adalahsebuahsolusi dari: ^()^()(2.2.4) Bukti: karena()()berturutturutadalahsolusidari(2.2.2)dan(2.2.3)maka ()()()()(),dan ()()()()(), Misal: ^()^(),maka ^()^()^()^()^() ^()^()^() ^()^()^()^()^() ^()^()^()
^()^() Iniberarti^()^()solusidari(2.4)terbukti Sebagaiakibatdariteorema2.2.1diperolehteoremaberikut: Teorema2.2.2: jika()()(),adalahsolusisolusidari ,(2.2.5) maka^()^()^()jugasolusidari(2.2.5)untuksebarang konstanta^^^. Untukmenyelesaikanrelasi(2.2.1),pertama-tamamisalkan,untuk menentukanx,substitusikandenganpada(2.2.1)dimanai.{n,n-1,n-2,...,n-k} . Diperoleh
Bagikeduaruaspersamaantersebutdengandiperoleh: (2.2.6) Persamaan(2.2.6)disebutpersamaankarakteristikdarirelasirekursifhomogend engan koefisienkonstanta.Padaumumnyapersamaan(2.2.6)mempunyaikakar,beberapa diantaranyamungkinbilangankompleks. Jikaadalahkakar-akar(yangberbeda)daripersamaan(2.2.6),maka ; 1=i=kadalahpenyelesaiandariBerdasar teorema2.2.2jikag1(n),g2(n),...,gk(n)berturut-turutadalahsolusidari maka^^^;^ ^ ^ adalahpenyelesaian dari.Dengandemikiansolusiumumdari relasirekursif(2.2.1)adalah =^ ^ ^ (2.2.7) Daripersamaan(2.2.7)dankkondisiawalakanterbentuksuatusistempersamaan yang terdiridarikpersamaandengankvariabel^^^.Jikapenyelesaiandarisistem persamaaninikitasubstitusikankepersamaan(2.2.7),diperolehsolusidarirel asi rekursif(2.2.1). Contoh: Selesaikanrelasirekursifberikutdenganakarkarakteristik a0=0,a1=-1;an=7an-112an-2,
penyelesaian:
misalnyaan=xn:x0makabentukrekursifan=7an-112an-2menjadi xn=7xn-112xn-2,ekuivalendenganxn7xn-112xn-2=0 bagikeduaruasdenganxn-2,sehinggadiperolehpersamaankarakteristik x27x+12=0 denganakar-akarkarakteristiknyax1=4danx2=3 sehinggasolusihomogen(umum)darirelasirekkursiftersebutadalah an(h)= +
an(h)=+............................(1) karenakondisiawala0=0dana1=-1 makadaripersamaan(1)diperolehpersamaan +......................................(2) +......................................(3) Daripersamaan(2)dan(3)diperoleh c1=-1danc2=1 subtitusinilaic1danc2kepers(1)sehinggadiperolehsolusihomogen(khusus) dari relasirekursifberikut an=-1.4n1.3n an=-4n3n
Contoh2.2.1: Selesaikanlahhubunganrekursifberikut:==,n=3 Penyelesaian:persamaankarakteristikdarirekursifiniadalah,yang akar-akarnyav danv ,sehinggasolusiumumdarirelasirekursifadalah: ( v ) ( v )
Karenakondisiawaldan,makadari(i)diperolehsistempersamaan
berikut:
1=(v ) (v )
1=(v ) (v )
Selanjutnyadaripersamaan(ii)dan(iii)didapat dan Substitusikannilaikepersamaan(i)diperolehpenyelesaiansebagaiberikut: ()( v ) ()( v )
Perludicatatbahwauntuksetiapn=1,adalahbilanganbulatnonnegatif,walau formuladarimelibatkanirrasional
