Relasi Rekursif Relasi, Relasi, dalam ”MATEMA ”MATEMATIKA TIKA” ” adalah hubungan antara dua buah elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun apapun baik baik secara secara konkrit onkrit maupu maupun n secara secara matem matemati atis. s. Relasi elasi biner biner R antara A dan adalah himpunan bagian dari A ! . Himpunan A disebut daerah asal "domain# dari R dan himpunan disebut daerah hasil "range# dari R. Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A ! A. Relasi
rekursif
sering
$uga
disebut
relasi
berulang
.
rela elasi
ini
mend mende% e%ni nisi sik kan sebu sebuah ah bari barisa san n deng dengan an memb member erik ikan an nila nilaii ke&n e&n 'ang 'ang dikaitkan dengan suku ( suku sebelumn'a . untuk mende%nisikan sebuah barisan, relasi berulang memerlukan nilai a)al 'ang sudah ditentukan. *eca *ecarra
for formal
rela elasi
ber berulang lang
ini ini
dide% ide%n nisik isikan an
sebag ebagai ai
ber beriku ikut+
e%nisi sebuah relasi berulang untuk barisan a-, a, a/, . . . merupakan sebuah persamaan 'ng mengkaitkan an dengan -, a, a/, . . . , an&. *'arat a)al untuk barisan a-, a, a/, . . . adalah nilai nilai 'ang diberikan secara eksplisit pada beberapa suku dari barisan tersebut.
Contohnya: arisan 0, 1 , , 2, . . . dide%nisikan dengan relasi berulang an 3 an& 4 5 untuk n 6 dengan s'arat a)al a- 3 0. 7ontoh / 7arilah relasi berulang dengan s'arat a)al dari barisan , , /, 5, 8, /9, 5-:8, . . . ;en'elesaian entuk rumusan setiap suku dengan menggunakan suku sebelumn'a 3 3< /3/<< 53/
5-:8 3 / < /9 < 8 < 5 engan demikian relasi 'ang berulang 'ang diperoleh adalah an 3 / < an& < / < an&/ untuk n6/ engan s'arat a)al a- 3 dan a 3 Relasi
rekursif
sering
$uga
disebut
relasi
berulang
.
relasi
ini
mende%nisikan sebuah barisan dengan memberikan nilai ke&n
'ang
dikaitkan
dengan
suku
(
suku
sebelumn'a
.
untuk
mende%nisikan sebuah barisan, relasi berulang memerlukan nilai a)al 'ang sudah ditentukan. *ecara formal relasi berulang ini dide%nisikan sebagai berikut+ e%nisi sebuah relasi berulang untuk barisan a-, a, a/, . . . merupakan sebuah persamaan 'ng mengkaitkan an dengan -, a, a/, . . . , an&. *'arat a)al untuk barisan a-, a, a/, . . . adalah nilai nilai 'ang diberikan secara eksplisit pada beberapa suku dari barisan tersebut.
=+ *ebuah relasi rekurensi linier berkoe%sien konstan dapat din'atakan dalam bentuk 7- an 4 7 an& 4 > 4 7k an&k 3 f"n#. ila nilai f"n# 3 -, maka diperoleh relasi rekurensi 'ang memenuhi 7- an 4 7 an& 4 7/ an&/ 4 > 4 7k an&k 3 -. Relasi rekurensi demikian disebut dengan relasi rekurensi homogen dan solusi dari relasi rekurensi homogen ini dinamakan solusi homogen atau $a)ab homogen. alam usaha mencari solusi dari sebuah relasi rekurensi perlu dicari dua macam solusi, 'aitu +
.
*olusi homogen "$a)ab homogen# 'ang diperoleh dari relasi rekurensi
linier dengan mengambil harga f"n# 3 -. /.
*olusi
khusus?partikuler
"$a)ab
khusus#
'ang memenuhi
relasi
rekurensi sebenarn'a.
*olusi homogen dari sebuah relasi rekurensi linier dapat dicari dengan mengambil harga f"n# 3 -. *olusi homogen dari sebuah persamaan diferensial linier dengan koe%sien
konstan
din'atakan
dalam
bentuk Aan ,
dimana a adalah
akar
karakteristik dan A adalah konstanta 'ang hargan'a akan ditentukan kemudian
untuk
memenuhi
s'arat
batas
'ang
diberikan.
engan
substitusi
bentuk
Aan kepada an pada persamaan homogen 7- an 4 7 an& 4 7/ an&/ 4 > 4 7 k an&k 3 - , maka diperoleh
7- Aan 4 7 Aan& 4 7/ Aan&/ 4 > 4 7k Aan&k 3 -. engan pen'ederhanaan pada persamaan tersebut, maka diperoleh 7- an 4 7 an& 4 7/ an&/ 4 > 4 7k an&k 3 ;ersamaan ini merupakan persamaan karakteristik dari persamaan diferensial 'ang diberikan. Apabila akar karakteristik dari persamaan karakteristik ini, maka Aa n akan memenuhi persamaan homogen. @adi, solusi homogen 'ang dicari akan berbentuk Aan.ila
persamaan
karakteristik
memiliki
seban'ak k
akar
karakteristik
berbeda "a a/ > a k# , maka solusi homogen dari relasi rekurensi 'ang dimaksud din'atakan dalam bentuk an"h# 3 A an 4 A/ a/n 4 > 4 A k akn
dimana ai adalah akar karakteristik dari persamaan karakeristik 'ang diperoleh, sedangkan Ai adalah
konstanta
'ang akan
dicari
untuk
memenuhi kondisi batas 'ang ditentukan.
http://math-solar.blogspot.co.id/2012/05/relasirekursif.html?m=1
CONO! #$%$&$!' ()$% *(+$ )( *,%$ http://ursudiartisiti.blogspot.co.id/201/05/relasirekursif.html?m=1
Contoh soal Relasi Rekursi beserta pembahasan KELOMPOK 1
1. Solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0 dengan kondisi baas b0 = 2 ! b1 = " adalah
a.
bn#h$ = 1%&#-2$n + 1%". #1$n
b.
#a + "$ #a - 2$
'.
bn#h$ = 1%( #-"$n +1%( . 2n
d.
b0#h$ = )1 #-"$0 + )2 . 20
Pembahasan *
bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0 = a2 + a- 2 = 0 = #a+ 2$ #a- 1$ = 0 a1 = -2
a2 = 1.
Solusi homogen = bn#h$= )1 a1n+ )2 a2n
=bn#h$= )1 #-2$n+ )2 . #1$n
,engan kondisi baas b0= 2 dan b1= " !maka* b0#h$ = )1 #-2$#2$ + )2 . 1#2$ = 0 = - )1 + 2 )2 b1#h$ = )1 #-2$#"$ + )2 . 1#"$ = 1 = -& )1 + ")2 - )1 + 2 )2 = 0 -& )1 + ")2 = 1
/ " /2
-12)1 + & )2 = 0
-12)1 + & )2 = 2
+
&)2 = 2 )2 = 1%"
-)1 + 2)2 = 0 -)1 + 2#1%"$ = 0 )1 = 1%& Maka akan dieroleh harga )1 = 1%& dan )2 =1%" aab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2bn-2 = 0 adalah bn#h$ = 1%&#-2$n + 1%". #1$n
2.
Mana dianara beriku 3ang meruakan solusi dari relasi rekurensi dari *
an + an-1 + an-2 = 0 . a.
an#h$ = #)1 nm-1 + )2 nm-2$ a1n ! an#h$ = #)1 n + )2 $ #-2$n .
b.
an#h$ = #)1 n + )2 $ #-2$n .
'.
an#h$ = #)1 nm-1 + )2 nm-2$ a1n !
d.
an#h$ = #)1 nm-1$ an#h$ = #)1 n + )2 $ #-2$n .
Pembahasan *
4elasi rekurensi homogen * an + an-1 + an-2 =0. Persamaan karakerisikn3a adalah
a2 + a + = 0 #a+ 2$ #a + 2$ = 0
5ingga dieroleh akar-akar karakerisik
a1 = a2 = -2 ! m = 2!
Oleh arena akar-akar karakerisikn3a ganda!Maka solusi homogenn3a berbenuk
an#h$ = #)1 nm-1 + )2 nm-2$ a1n !an#h$ = #)1 n + )2 $ #-2$n .
".
a - an-1 = 2n2!n 1! dan 0 = 6 Solusi 7mumn3a adalah88
a. ( + #n$ #n+1$#n+2$ b. 6 + #n$ #n+1$#2n+1$ '. 2 + #n+2$#n$#n+2n$ d. 6 + #n$#n+1$#2n+1$
Pembahasan *
9 #n$ = 2n2! sehingga solusi umumn3a *
=
)0+ #n#n+1$#2n+1$%&$
=
6 + #n$ #n+1$#2n+1$
(. :eraa ban3ak kah bilangan ;ibona''i anara 10 samai dengan 100<
#)$ 60 #:$ 6 #$ ( #,$ 10
aab * ,ari abel di aas! erliha baha bilangan ;ibona''i 3ang erleak anara 10 hingga 100 adalah seban3ak ( #lima$ buah! 3aiu suku ke-& #1"$! suku ke-> #21$! suku ke-? #"$! suku ke6 #(($! dan suku ke-10 #?6$. ,engan demikian! @aabann3a adalah #$ (.
&.
,ikeahui * Suau barisan '0! '1! '2! dide9inisikan se'ara rekursi9 sebagai beriku *
7nuk semua bilangan bula k A 2! k = #'k-1 + k$ #'k-2 + 1$ ,engan kondisi aal '0 = 1 dan '1 = 2.
,ian3a * 5iunglah '( B Pen3elesaian * Oleh karena barisan dide9inisikan se'ara rekursi9! maka '( idak bisa dihiung se'ara langsung! eai harus erlebih dahulu menghiung '2! '" dan '.
C
'2 = '1 + 2 '0 + 1 = 2 + 2.1 + 1
C
=(
'"= '2 + " '1 + 1 =
( + ".2 + 1 C
= 12
'= '" + '2 + 1 =
12 + .( + 1 C
= ""
'(= ' + ( '" + 1 = "" + (.12 + 1 = 6
adi! '( = 6
). ( = 60 :. ( = 62 . ( = ? ,. ( = 6 >. ,ikeahui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan s3ara aal S0 = 1. Selesaikan unuk suku ke-nB88
a. 2n b. n '. n d. 2 aab* Sn = 2Sn-1 = 2 #2Sn-2$ = 22 Sn-2
= 2" Sn-" = 888 = 2nS0 = 2n
?.
Selesaikan relasi rekurensi an = >an -1 ! n 1! a2= 6?
a.
an= >n #2$ ! n 1
b.
an= >n #1$ ! n 0
'.
an= >n ! n 2
d. an= >n#2$ ! n 0
Pen3elesaian 7nuk n = 1 maka a1 = > a0 a2 = > a1 = > #> a0$ = >2a0 dari a2 = 6? maka 6? = 6 a0 sehingga dieroleh a0 = 2. ika relasi rekurensi ersebu diderekan erus akan dieroleh *
a" = > a2 = > #>angka2 a0$ = >angka" a0 ..........dan seerusn3a sehingga en3elesaian umum dari relasi rekurensi di aas adalah an= >n #2$ ! n 0
6.
Denukan solusi umum dari relasi rekurensi dan 0=6
a. ( + #n$ #n+1$ #n+2$
b. 6 + #n$ #n+2$ #2n+1$
'. 2 + #n+2$ #n$ #n+2n$
d. 6 + #n$ #n+1$ #2n+1$
Pen3elesaian
9#n$ = sehingga solusi umumn3a *
n = 0 + #i$
=0+2
=0+2
= 6 + #n$ #n+1$ #2n+1$
10. ,engan mengambil sau harga n kemudian anda men@umlahkan bilangan-bilangan sb mulai dari 91 s.d. 9n maka beraakah n erke'il agar @umlah iu 1(0< #)$ 6 #:$ 10 #$ 11 #,$ 1(
aab *
,ari abel di aas @uga! daa kia keahui baha nilai n erke'il agar @umlah seluruh bilangan ;ibona''i dari 91 hingga 9n 1(0 adalah sebesar 10 #n=10$! 3ang akan menghasilkan @umlah sebesar 2"1 #dieroleh dari = 1 + 2 + " + ( + ? + 1" + 21 + " + (( + ?6! 3ang meruakan bilangan 9ibona''i dari suku ke-1 hingga suku ke-10$. Sehingga! @aaban 3ang benar adalah #:$ 10
http://o-golb.blogspot.co.id/201/0/cotoh-soalrelasi-rekursi-beserta.html?=1
