RELASI, PEMETAAN DAN GRAFIK Relasi atau hubungan antara himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B dengan aturan tertentu. Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu : - Dengan diagram panah - Dengan himpunan pasangan berurutan, dan - Dengan diagram kartesius. Contoh : Diketahui himpunan A = {3,4,5} dan B ={2,4}. Bila relasi dari A ke B adalah lebih dari , nyatakan relasi tersebut dengan : a. Diagram panah b. Himpunan pasangan berurutan c. Diagram kartesius Penyelesaian : a. Diagram panah
b. Himpunan pasangan berurutan {(3,2),(4,2),(5,2),(5,4)} c. Diagram kartesius
Pemetaan atau Fungsi adalah suatu relasi tertentu antara himpunan A dan B yang memenuhi syarat bahwa setiap (semua) anggota himpunan A dipasangkan denga tepat satu anggota himpunan B. Tidak semua relasi merupakan sebuah fungsi atau pemetaan, hanya relasi tertentu yang memenuhi persyaratan tersebut diatas.
Ciri-ciri relasi yang merupakan pemetaan/fungsi : 1.Pada diagram panah : semua anggota A mempunyai pasangan,dan tidak ada cabang relasi dari himpunan A Contoh pemetaan/fungsi :
Contoh bukan pemetaan/fungsi :
2. Pada Himpunan pasangan berurutan : Contoh pemetaan/fungsi : {(a,1),(b,1),(c,2),(d,3)} Contoh bukan pemetaan/fungsi : {(a,1),(b,2),(b,3),(c,3)} ------------- terdapat dua unsur himpunan A yg ditulis lebih dari satu kali. 3. Pada diagram kartesius : tidak ada dua titik segaris vertical. Contoh pemetaan/fungsi :
Contoh bukan pemetaan/fungsi :
Notasi Pemetaan/Fungsi Sebuah relasi dari himpunan A = {1,2,3} ke himpunan B = {2,3,4,5,6} dengan aturan “setengah dari” digambarkan dalam diagram panah :
Dari diagram panah di atas terdapat beberapa istilah yaitu : - {1,2,3,x } disebut Domain/Daerah asal - {2,3,4,5,6,2x } disebut Kodomain / Daerah kawan - {2,4,6,2x } disebut Range/daerah hasil
Setiap x anggota himpunan A dipasangkan/dipetakan dengan 2x anggota B, jika nama pemetaan/fungsi dari A ke B tersebut adalah f, maka notasi pemetaan/fungsi tersebut adalah “f : x à 2x “ dibaca “ f memetakan x ke 2x”. 2x disebut bayangan/peta dari x oleh fungsi f. Bayangan x oleh f dinyatakan dengan f(x), karena bayangan x oleh f adalah 2x maka f(x) = 2x. f(x) = 2x disebut rumus fungsi f.
Jika n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A dan n(B) adalah banyaknya anggota himpunan B maka banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah n(B)n(A) CONTOH SOAL : 1. Diketahui A={2,3,5,7,9} dan B={1,6,12,18,49}. Sebuah relasi dari A ke B adalah factor dari. Nyatakan relasi tersebut dengan : a. Diagram panah. b. Himpunan pasangan berurutan. c. Diagram kartesius. 2. Perhatikan gambar di bawah ini :
Manakah diantara relasi-relasi tersebut di atas yang merupakan pemetaan/fungsi? Jelaskan alasanmu! 3. Diketahui K={1,2,3,4} dan L={1,2,3,4,5}. Bila relasi dari K ke L adalah satu kuranganya dari a. Gambarkan relasi tersebut dalam diagram panah! b. Apakah relasi itu merupakan pemetaan/fungsi? c. Tentukan Domain, Kodomain, dan Range pada relasi tersebut! 4. Diketahui P={2,3,5,7,9} dan Q={1,2,3,…,12} suatu pemetaan f dari P ke Q ditentukan dengan notasi f:x à x –1, x Î P a. Tuliskan rumus fungsi f. b. Tentukan bayangan dari 3 dan 7 menggunakan rumus itu. c. Tentukan anggota daerah asal yang bayangannya adalah 8 dan 10 5. Diketahui fungsi g:x à3x – 4 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan :
a. Bayangan 5 oleh g b. Nilai g untuk x = –2 c. g(8) = … d. nilai x jika g(x) = –7 Penyelesaian : 1. Diketahui : A={2,3,5,7,9} B={1,6,12,18,49}. Relasi dari A ke B adalah factor dari Ditanyakan : a. Diagram panah b. Himpunan pasangan berurutan c. Diagram kartesius Jawab : a. Diagram panah :
b. Himpunan pasangan berurutan : {2,…),(2,…),(1,…),(3,…),(3,…),(3,…),(…,49)} c. Diagram kartesius :
2. 3. Diketahui : K={1,2,3,4} dan L={1,2,3,4,5} Relasi dari K ke L : satu kurangnya dari Ditanyakan : a. Diagram panah b. … c. Domain ={…,…,…,…}, Kodomain = {…,…,…, …,…}, Range = {…,…,…,…} 4. Diketahui : P={2,3,5,7,9} dan Q={1,2,3,…,12} f : x à x –1, x Î P Ditanyakan : a. Rumus fungsi f. b. Bayangan dari 3 dan 7 c. Anggota daerah asal yang bayangannya adalah 8 dan 10 Jawab : a. f(x) = … b. Bayangan 3 à f(3) = 3 – 1 = …
Bayangan 7 à f(7) = … – 1 = … c. f(x) = x – 1 f(x) = x – 1 8=x–1…=x–1 x = ....... x = …… 5. Diketahui : g:x à3x – 4 pada himpunan bilangan bulat. Ditanyakan : a. Bayangan 5 oleh g b. Nilai g untuk x = –2 c. g(8) = … d. nilai x jika g(x) = –7 jawab : a. Rumus fungsi : g(x) = … g(5) = … x … – … = … b. x = –2 à g(–2) = …x… – … = … c. g(8) = …x… – … = … d. g(x) = 3x – … … = 3x – … 3x = … … 3x = ….. x = …. Soal Latihan 3
1. Perhatikan gambar berikut :
a. Nyatakan relasi dari A ke B dengan diagram panah! b. Sebutkan relasi yang mungkin dari A ke B 2. Diketahui A={2,3,4,5} dan B={–2,–1,0}. Relasi g memasangkan setiap anggota A dengan setiap anggota B. a. Gambarkan diagram panah untuk relasi itu! b. Tentukan himpunan pasangan berurutan yang terjadi! Catatan : himpunan pasangan berurutan yang terjadi pada soal no. 2 tersebut disebut “produk cartesius dari A dan B”, ditulis AxB 3. Suatu fungsi f dari P ke Q didefinisikan f : x à x – 2, dengan P={3,5,7,9,11} dan Q = {1,2,3,... ,10}. a. Tentukan daerah hasil f! b. Nyatakan f dengan himpunan pasangan berurutan! c. Gambarlah grafik fungsi f! 4. Diketahui fungsi g : x à2x – 3 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai dari : a. Bayangan 4 oleh g b. Nilai g untuk x = –2
c. g(7) d. nilai a untuk g(a) = 3 5. Perhatikan gambar berikut : a. Tentukan rumus fungsi f b. f(a) = … c. jika c= –5, maka f(c) = … d. jika b = –36, maka a = … LATIHAN ULANGAN BAB II 1. Suatu himpunan pasangan berurutan dinyatakan sebagai : {(–2,0),(–1,1),(0,2),(1,3),(2,4)}. Relasi yg mungkin dari kedua himpunan tersebut adalah a. Kelipatan dari b. Factor dari c. Dua kurangnya dari d. Dua lebihnya dari 2. Diantara himpunan pasangan berurutan berikut yang merupakan pemetaan adalah … a. {(1,2),(2,3),(1,4)} b. {(2,5),(2,7),(2,9)} c. {(2,3),(3,3),(4,3)} d. {(3,6),(3,7),(4,7)}
