RELASI
IA
{(Ed {(Ed Band Bandun ung) g) (Tin (Tini, i, Sura Suraba baya ya (Ali (Ali Jaka Jaka ta), ta), Diah Diah Jaka Jaka ta)} ta)} erup erupak akan an himp himpun unan an yang yang angg anggot otan anya ya meru merupa paka ka
pasa pasang ngan an teru teru ut orde ordere re
{(x,y) A,
dina dina naka naka
gg
B}.
ka pasa pasang ngan an erur erurut ut (a.b)
ut (b,a).
elas elas dapa dapa pula pula terj terjad ad di an ar angg anggot ot sebu sebuah ah himp himpun unan an A. Seba Sebaga ga cont contoh oh
pa
ga
na
A.
sebu sebuah ah rela relasi si Tent Tentun unya ya rela relasi si ters terseb ebut ut bisa bisa berm bermac acam am-m -mac acam am
ka
{(x,y)
42
emik emik an ah
esua esua kehe kehend ndak ak kita kita
nd A, A,
B}.
ka au ki
B) dise disebu bu
{(l, (2,
Ja
q),
(3,
q)}.
il ba
ak ya an
ta hi
unan unan
I,
adal adalah ah
{(I,
da
I),
an ak
an gota gota im
an
,2
Band Bandun ung) g) (Tin (Tini, i, Band Bandun ung) g) (Ali (Ali Band Bandun ung) g) (Dia (Diah, h, Band Bandun ung) g) Edi, Edi, Sura Suraba baya ya), ), (Tin (Tini, i, ab ay elas elas
an
it
ef nisi nisi an ha
eris eris
an
ta si adal adalah ah im na it rela relasi si seca secara ra atem atemat atik ika. a.
A. enga enga
un
an gota gota
A.
A.
himp himpun unan an bagi bagian an
(p.I)},
(p,q (p,q), ), (q,q (q,q }, R[
(p,p (p,p), ), (q,p (q,p), ), p, )} Rl
(p,p (p,p), ), q, ), q, ),
[4
(p,p (p,p (p,q (p,q
1S
en an relasi.
44
aj
an
2,
----t-'---..,
___4J~'E)_+
----t-'---_,.---..,
..,(3,p)
---+-----t---4
Dapa Dapa dica dica at bahw bahw kita kita tida tida
empe emperh rhat atik ikan an skal skal maup maupun un urut urutan an pene penemp mpat atan an
selu-uh
da
4}.
bu
ku
om nu ketentuan.
45
amba amba
ters terseb eb
adal adalah ah en ajia ajia
Di sini sini aris aris angka si en an
46
atri atri
be tu ta el atau atau
at ik rela relasi si
en atak atakan an angg angg ta hi
unan unan
en ajia ajia
en uk
se angk angkan an olom olom
ag am
atri atriks ks B),
{(l, {(l,p) p) (1.q (1.q), ), (2,q (2,q), ), (3,p (3,p)} )} yang yang lalu lalu peny penyaj ajia ia matr matrik ik rela relasi siny ny
47
a,b)
16
16
Digr Digraf af rela relasi si
48
16
'4 1,
-'
2,
...B)
3,
...B)
, 2
, 2 ~
3 ~
, 4 '4 4}
I,2
6}
ya
nver nver dari dari R. bE
A, a}
y",
49
Ka au elas elas bu
dike diketa tahu hu dala dala peny penyaj ajia ia koor koordi dina na di
inve invers rsny ny dipe dipero ro eh deng dengan an kn
---+---...,
---+---+---...,
semula.
50
---+---4
16
r 2
.a
(b,c) RoS
{(a,c)
S}
{p
{x,y {x,y,z ,z}. }.
rela relasi si dari
dan
51
yang 2-
s-
3-
q-
3-
q-
un ,4
gg s.D
ga
(2.12).
Kalau dan 0,
52
J,
0,
1.
Pad
(2.9)
() ()
()
()
()
()
A.
un uk et ap
(I)
R.
(2)
Pand Pandan an
re as
I,2
Relasi
53
{I,2,3, {I,2,3, }, maim:
R. R. ti ak erak erakib ibat at i! R.
an
{(1,1),
,2), ,2), (2,1 (2,1), ), 2, ), (1,3 (1,3
ad
im
an
{1,2,3}.
Maka: R.
R.
i!
R,
i!
R.
(2,1)
R, ·(2, ·(2,1) 1)
Misa Misalk lkan an
se
ah
pu an idak idak am a.
2.
at I'
54
arti artisi si ar
adal adalah ah an
emba emba iasin asin
Jadi Jadi berl berlak ak
Ai
Aj
S.
Masing-masing Ai dan
am
Al
Al part partis isi, i, kare karena na Al
A2
ad
im
{6}, As
1, ,5,7 ,5,7
8,9}. {8,9 {8,9}, }, buka buka
{5
Al
em part partis isi, i, kare karena na
Rela Relasi si transitif.
4,7}, A4
{1,3 {1,3,5 ,5
{1,2,3,7}, A2
U A
S.
na
iseb isebut ut re as ekiv ekival alen en bila bila
,9
ka
re leks leks f, si etri etri da (=)
ad tidak
55
sisa sisa dari dari emba emba ia aim. an seba seba ai ya Rela Relasi si kong kongru ruen en
odul odul
temy temyat at
erup erupak akan an rela relasi si ekiv ekival alen en
A. terte tertent ntu, u, (a,x) (a,x) }.
Hi
an
eb
(1,7 (1,7 {(l,l), (7,1 (7,1), ), (7,4 (7,4), ), (7,7 (7,7)} )}
Te as
(4,7 (4,7 R}
{1,4,7}
(2]
R}
{2,5}
(3]
R}
{3,6}
[4]
R}
{1,4,7}
[5]
R}
{2,5}
{6]
R}
{3,6}
}.
{1 4,
{x
at en
akan akan se
(7,x)
[4]
ai a] Ja
,2
a]
{xl (a,x
,6
(1)
[1], 2]
3]
ef
en
,2,3 ,2,3,4 ,4,6 ,6 {(l,I), (1,2), (l,3), (1,4 (1,4), ), (1,5 (1,5), ),
an
R. Ju an
Relasi
an isir isir etri etri
aren aren an
(a,b (a,b), ), (b,a (b,a)' )'
$;
ng ut
57
a. Peng Pengur urut utan an seba sebagi gian an in dike dikena na seba sebaga ga rant rantai ai (cha (chain in), ), atau atau ad yang yang rnen rnenga gata taka ka
nt
xC.
Dala Dalarn rn eo netr netr anal analit it ruan ruan it rnen rnengg gg na an sist sister er ko rdin rdinat at Cart Cartes es us yang yang rner rnerup upak akan an prod produk uk Cart Cartes esis is adal adalah ah hirn hirnpu puna na bila bilang ngan an real real etia etia titi titi inya inyata ta an seba seba ai ri el (x,y (x,y,z ,z {(x,y,z)} Ix y2 3y2 (0,0 (0,0,0 ,0 ariari-ja jari ri 1.
et {1,2 {1,2,3 ,3,4 ,4}, },
{1,2,3,4,5}. ar
dati A x B x
Kala Kala it afta aftar, r, rnak rnak an gota gota ar adal adalah ah (Ali (Ali 1, ,3 (Tut (Tut ,2,4 ,2,4), ), (Sus (Susan an ,2,5 ,2,5), ), (Met (Metty ty ,1,5 ,1,5 da (Pia (Pia ,2,3 ,2,3). ). Di sini sini Kust Kustia ia rnau rnaupu pu en ot idak idak er asuk asuk
58
{Jak {Jakar arta ta Mani Manila la Lo don, don, Sant Santia ia o, Li a, Pari Paris} s}
Rl
{(Ja {(Jaka kart rta, a, Indo Indone nesi sia) a) (Lon (Londo don, n, Ingg Inggri ris) s) (Lim (Lima, a, Peru Peru), ), (Pari (Paris, s, Peran Peranci cis) s)
Jawab: R2
a, As Am
a)
ar s,
{x
entu entu
asan asanga ga
teru teruru rut. t.
Jawab: a,
59
Jawab: Angg Anggot ot
himp himpun unan an pa
Jawab: R4 {(In {(Indo done nesi sia, a, Indo Indone nesi sia) a) (Ing (Inggr gris is nggr nggr s) Pe u, Peru Peru), ), (Ind (India ia ndia ndia), ), (Per (Peran anci cis, s, Pe an is), is), (Ind (Indon ones esia ia Ingg Inggri ris) s) Indo Indone nesi sia, a, Indi India) a) (Ing (Inggr gris is ndondonesi nesi ), (Ing (Inggr gria ia.. ..In Indi dia) a) (Ind (Ind a, Indo Indone nesi si ), Indi India, a, nggr nggris is), ), (Per (Peru, u, Pe an is), is), (Perancis, Peruj},
Jawab: R5 (Afr (Afrik ika, a, Amer Amerik ika) a) (Afr (Afrik ika, a, Aust Austra rali lia) a)}. }.
arti arti elas elas ko po is
erse ersebu but. t.
Jawab: Lo
60
{1,2,3,4,5,6,7}.
Jawab:
{(1, {(1,1) 1) (1,2 (1,2), ), (1,4 (1,4), ), (1,6 (1,6), ), (2,1 (2,1), ), (2,3 (2,3), ), (2,5 (2,5), ),~( ~(3, 3,2) 2) (3,4 (3,4), ), (4,1 (4,1), ), (4,3 (4,3), ), (4,7 (4,7), ), (5,2 (5,2), ), (5,6 (5,6), ), « ( > , 1 ) , ,5
sede sedemi miki kian an sehi sehing ngga ga q2
p)
{( ,4), ,4), ~2,5 ~2,5), ), (3,6 (3,6), ), (4,7 (4,7)} )} (1,2 (1,2), ), (2,4 (2,4), ), (3,6 (3,6)} )}
) R
• R
) R
• R
• R
R5
Jawabr
uadr uadrat at
umi} umi}
y}
(d)
ap
y}
61
at
an
as
ek
Cerd Cerdik ik Cerd Cerdas as Pi ta sp
anda andai, i, Raji Rajin, n,
{(Ce {(Cerd rdik ik Tang Tangka kas) s) (Cer (Cerma mat, t, Tang Tangka kas) s) (Pin (Pinta tar, r, Pand Pandai ai), ), (Pan (Panda dai, i, n, ek at el Anda Andal) l) (Lin (Linca cah, h, Wa Wasp spad ada) a)}. }.
Jawab:
R.
Cerdik Cerdas Pintar
Cermat Tangkas Tekun Teliti Waspada Lincah Tangguh Andal
Andal
am ar
62
Andal
.1
ag am ah er el igap igap), ), (pin (pinta tar, r, Anda Andal) l) (Raj (Rajin in
adal adalah ah {(Ce {(Cerd rdik ik Siga Sigap) p) (Cer (Cerda das, s, igap igap), ), (Hem (Hemat at Anda Andal) l) (Cen (Cen ekia ekia,: ,: An al), al), {(Sigap, jin
(A dal, dal, Ce de ia), ia), (And (Andal al Teli Teliti ti), ), (And (Andal al Li cah) cah)}. }. {1,2}, ah
{c,d}; (A
B)
(B
C)
Jawab:
(A
B)
Kala Kala kita kita hi un (A
le ih ahul ahul
{(i, {(i,e) e) (2,c (2,c)} )} {c}, {2,c {2,c}, }, sarn sarn hasi hasiln lnya ya deng dengan an yaitu {c},
C).
B)
Sila Silahk hkan an pern pernba baea ea meny menyel elid idik ik hal tersebut.
"x
C( entu entu
asan asanga ga
teru teruru rut. t.
RC Jawab:
{( ,2), ,2), (1,3 (1,3), ), (2,3 (2,3}} }} RI
.{(2 .{(2,1 ,1), ), (3,1 (3,1), ), (3,2 (3,2)} )} Ck
;I;
HI,l)\ (1,2),
R",
63
er
an
as
er
Jawab: d. Y:
x+l Atau: 2x-y
-I
-I+y
{(a,b;c) :{
:.
ny
elernennya?
AxBxC {( .a.p) .a.p) (La,q (La,q), ), (2,b (2,b,p ,p), ), (2,b (2,b,q ,q), ), (2,c (2,c,p ,p), ), (2,c (2,c,q ,q
.b.p .b.p), ), (1,b (1,b,q ,q
en ad
en an rnen rnen gu akan akan
an ak
rion rion se er
am
64
(l ,c,p ,c,p), ), (l,c (l,c,q ,q), ),
terl terlih ihat at
.1
erik erikut ut
2,a, 2,a,p) p) (2,a (2,a,q ,q), ), en
er
aa
Jawab:
t'
mbar mbar 2.16 2.16
(X ,b)
er
an
{b,c}. Himpunan {x {a,b,d}.
uli terurut. a) a)
,c .a
a) c)
antisimetris. 65
Jawab:
ada
R.
ada (a,b)
R.
ada (a,b)
R.
ada (a,b)
E·
b.
R.
tida tida
fl ksif ksifbi bila la ad si pu
an ti ak
semua si pu
empu empuny nyai ai gelu gelung ng (Gel (Gel ng empu empu ya
gelu gelu g.
simetris, namun
tersebut.
transitif, bila ada namun namun
Rl
{(l,t),
R2
{(l, I),
66
b.
,2
refl reflek eksi sif, f, si etri etris, s, tran transi siti ti da Jawab:
dari
anti antisi si etri etris. s.
ba 2.17 2.17 RI tidak refleksifkarena ad simp simpul ul
aitu aitu simp simpul ul4, 4, ti ak
em unya unya gelu gelung ng
RI simetris en
er tida tida terd terdap apat at arkus
(4,4). :t
4.
amba amba 2.
R2 tidak simetris,
ta
67
si el
er
an
ek al
Untu Untu
semb sembar aran an
dalam
berlaku
dapat
Misal
y)
symetris. Misal
(mod. rn), sehingga (x y) y) (y -z an
(y
z) masingapat apat
adal adalah ah refl reflek eksi sif, f, an
Ja
ar
el
ad ah
alen alen
ar
[(1,3, 3,6, 6,4) 4) (2,8 (2,8), ), (5,7 (5,7,9 ,90] 0] (a) [(1, (b
[(1,5, [(1,5,7), 7), (2,4,~ (2,4,~,9) ,9),(3 ,(3,5, ,5,6)] 6)]
(c)
[( ,4,5 ,4,5,8 ,8», », (1,9 (1,9), ), (3,6 (3,6,7 ,7)] )]
lain,
an
ab
ap ti ak ip ya se aran aran cell cell Deng Dengan an erka erkata taan an el el
(a,b,e,d).
68
(1)
[(a,b,e,d)]
(2)
[(a) [(a) (b,e (b,e,d ,d)] )] [(b) [(b) (a,e (a,e,d ,d)] )] {(c) {(c) (a,b (a,b,d ,d)] )] [(a, [(a,I: I:», »,(e (e,d ,d)] )] [(a, [(a,e) e) (b,d (b,d)] )] [(a, [(a,d) d) (b,e)].
a,
(1,2,3,4,5,6) [( ,1), ,1), (1,5 (1,5), ), (2,2 (2,2), ), (2,3 (2,3), ), (2,6 (2,6), ), (3,2 (3,2), ), (3,3 (3,3), ), (3,6 (3,6), ), (4,4 (4,4), ), (5,1 (5,1), ), (5,5 (5,5), ), 6, ), (6,3 (6,3), ), (6,6 (6,6)] )]
R. [1
(1,5).
R.
(i)
[b disj disjoi oint nt
:t
[a] [b}; [b}; maka maka (b,x) se ingg ingg (a,b) R.
Jika la
a] Untu Untu en ru sifa sifa si etri etri (b,a (b,a
(bJ
la
em
kt ka
[a
b],jelasjika
[b]
(b]
[a]
R. a]
en an
[b].
69
OA -SOA -SOA
LATI LATI
PE KALI KALI
IMPU IMPU AN (a,b (a,b,c ,c,d ,d). ). Cari Carila la pasa pasang ngan an teru teruru ru yang yang diko dikore resp spon onde dens nsik ikan an deng dengan an
amba amba
.1 f---,-----.c
-,--------,
c--+-i---Wp 'P
f----+--!-
,--~--:
f----4---l-'~-i~~ 2.
2, 4).=
y);
(b)
I)
(x
1,
(Eri (Eric, c, Davi David) d)
(a,d)
(a)
C)
(A
C)
C)
RELASI
R.
70
2)
(1,2,3,4,5) an
an
an
at an
ad
am
---'---r-~ ---'---r-~---.------.---I-----+---+-+----+----l
I---t--+-+---+---i 1-----+---+-+---+----.
ba 2.
(a
3.
(c
R)
,2 ,3
R.
71
a)
a,
,d
c)
c.
(a)
a) S.
(c)
elas elas 3y
[(x,y); se agai agai
at 3y
impu impuna na
dide didefi fini nisi sika ka
pada pada pers persam amaa aa
12]. asan asanga ga
terurut
RI
R.
TRANSITIF RI
[(1, [(1,1) 1) (2,1 (2,1)] )]
R2
(2,3), ), (4,1 (4,1)] )] [(1,1), (2,3 [(3,4)] [(1, [(1, ), (2,2 (2,2), ), (3,3 (3,3)] )] [(1, [(1,3) 3) (2,4 (2,4)] )]
Tent Tentuk ukan an apak apakah ah rela relasi si-r -rel elas as di atas atas (a refl reflek eksi si (b syme symetr tris is (c anti anti syme symetr tris is (d) transitif,
(3)
10 4y
transitif.
72
10
(I)
"x
(3)
transitif.
A.
un
syme syme ri refl reflek eksi si tran transi siti ti (f)
anti anti syme symetr tris is idak idak koso kosong ng idak idak koso kosong ng
(i)
{I ,2,3,4,5,6}.
2.35.
(a)
(d
[(1, [(1, ,3,4 ,3,4 5, )]
2.36.
(1,2,3).
x.
pu pa
ng
:i ng
73
A.
(x
dihasilkan
oleh
tu
hirnpunan
Quotient
SIR.
dengan be
:=
ekivalen (2,))
R.
R.
74
,b 2.22.
(c,a)
3,
2,
(b) (c)
S X T X ,»),
(c.d,a), (c,d,d)]
~-===~
a~~d
~~
b-=======~
_ _ _- _b ~ : - = = = = ~ -======-d
~a
15
~~~
75
!IS,
,1 (4,5 (4,5 (5,3 (5,3)] )]
ba
(1,3 (1,3), ), rang rang
17
(2,3,4)
(c)
,3 ,4 e)
c.
a)
c.
a)
[(a, [(a,a) a) (a.b (a.b), ), (a,c (a,c), ), (a,d (a,d), ), (e,b (e,b)] )] [(e, [(e,e) e) (c.a (c.a), ), (e,d (e,d)] )]
2.30. (b) (i)
(iii) [(3,3)]
2.31. 2.32.
(1)
) (
2.33.
[(2, [(2, )]
an (t)
[(2,1)]
[(1),
2. 9. [( ,6,1 ,6,1 ,1 ), (2,7 (2,7,1 ,12, 2,17 17), ), (2,8 (2,8,1 ,1 ,1 ), (4,9 (4,9,1 ,1 ,19) ,19) (5,1 (5,1 ,1 ,20) ,20)
77
ONTO ONTO
PROG PROG
79
80
81
82
