Proposisi 2.4.3 n
i.
x 2 x3 n 2 x 2 n3 x 3 1 x ... 1 nx ... 2! 3! 2! 3!
ii.
iii.
e x e x x2 x4 x6 1 ... 2 2! 4! 6! e x e x x3 x5 x7 x ... 2 3! 5! 7!
Bukti I n
x 2 x3 x n nx 1 x ... e e 2! 3!
xk n k! k o k
n0
k
x0 x1 x2 x3 x4 n1 n 2 n3 n 4 ... 0! 1! 2! 3! 4!
n 2 x 2 n3 x 3 n 4 x 4 1 nx ... 2! 3! 4!
Bukti II n xn n n x ( 1) n! n! n 0 n 0 2 n
e x e x 2
x 0 x1 x 2 x 3 ... 0! 1! 2! 3!
1
0
2 3 x0 x1 2 x 3 x ( 1)1 1 1 ... 0! 1! 2! 3! 2
1 x
x2 x3 x 2 x3 ... 1 x ... 2! 3! 2! 3! 2
x2 x4 x6 2 2 2 2 ... 2! 4! 6! 2 x2 x4 x6 2 1 ... 2! 4! 6! 2
1
x2 x4 x6 ... 2! 4! 6!
Bukti III n xn n n x ( 1) n! n! n 0 n 0 2 n
e x e x 2
0 1 2 3 x 0 x1 x 2 x 3 0 x 1 x 2 x 3 x ... ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ... 0! 1! 2! 3! 0! 1! 2! 3! 2
1 x
2x 2
x2 x3 x 2 x3 ... 1 x ... 2! 3! 2! 3! 2
x3 x5 x7 2 2 ... 3! 5! 7! 2
x3 x5 x 7 2 x ... 3! 5! 7! 2
x
x3 x5 x 7 ... 3! 5! 7!
Contoh 2.4.1 Ada berapa banyak barisan binari r-angka yang memuat 0 sebanyak genap dan 1 sebanyak genap pula? Penyelesaian Disini ada dua angka yang berbeda yaitu 0 dan 1. Karena 0 dan 1 muncul sebanyak bilangan genap pada setiap barisan, maka fungsi pembangkit dari persoalan tersebut adalah
P( x)
x 2 x4 x6 1 ... 2! 4! 6!
2
e x e x 2
2
e 2 x e 2 x 2 4
1 e 2 x e2 x 1 2 2 2 1 (2 x) 2 (2 x) 4 (2 x) 6 1 1 ... 2 2! 4! 6! 2
1 2
x2 x4 x6 23 25 ... 2! 4! 6!
Banyaknya barisan yang dimaksud adalah koefisien
xr r!
dalam P(x) yaitu ar dengan
0 ar 1 2
, bila
r ganjil
, bila
r 0
, bila
r genap dan r 0
Contoh 2.4.2: Misalkan S adalah himpunan semua barisan ternair n-angka. Jika sebuah barisan dipilih secara acak dari S, berapakah peluang barisan yang terpilih memenuhi angka 0 sebanyak ganjil dan angka 1 sebanyak genap? Penyelesaian : Terdapat 4 angka yang berbeda yaitu 0, 1, 2, dan 3. Angka 0 muncul sebanyak ganjil dan 1 muncul sebanyak genap. Fungsi pembangkit untuk permasalahan diatas adalah
P( x)
x3 x5 x 7 x2 x4 x6 x 2 x 3 x 4 x ... 1 ... 1 x ... 3! 5! 7! 2! 4! 6! 2! 3! 4! e x e x e x e x x 2 e 2 2
e 2 x e 2 x 2x e 4
e4 x 1 4
4 2 x 2 43 x 3 4 4 x 4 ... 1 1 4x 2! 3! 4! 4
2
42 x 2 43 x3 4 4 x 4 4x ... 2! 3! 4! 4 x
4 x 2 42 x 3 43 x 4 ... 2! 3! 4!
Banyaknya barisan yang dimaksud adalah koefisien
xr r!
dalam P(x) yaitu ar
dengan
0 r 1 4
ar
bila r 0 bila r 1
RELASI REKURSIF
I. Pendahuluan
Relasi rekursif sering juga disebut relasi berulang. Relasi ini mendefinisikan sebuah barisan dengan memberikan nilai ke-n yang dikaitkan dengan suku–suku sebelumnya. untuk mendefinisikan sebuah barisan, relasi berulang memerlukan nilai awal yang sudah ditentukan. Secara formal relasi berulang ini didefinisikan sebagai berikut: Definisi sebuah relasi berulang untuk barisan a0, a1, a2, ... merupakan sebuah persamaan yang mengkaitkan an dengan a0, a1, a2, ... , an-1. Syarat awal untuk barisan a0, a1, a2, ... adalah nilai-nilai yang diberikan secara eksplisit pada beberapa suku dari barisan tersebut. Contohnya:
1. Barisan 3, 7 , 11, 15, ... didefinisikan dengan relasi berulang an = an-1 + 4 untuk n ≥ 1 dengan syarat awal a0 = 3. 2. Carilah relasi berulang dengan syarat awal dari barisan 1, 1, 2, 4, 16, 128, 4096, ... Penyelesaian Bentuk rumusan setiap suku dengan menggunakan suku sebelumnya 1=1 1=1X1 2=2X1X1 4=2X2X1 16 = 2 X 4 X 2 128 = 2 X 16 X 4 4096 = 2 X 128 X 16 Dengan demikian relasi yang berulang yang diperoleh adalah a n = 2 x an-1 x an-2 untuk n≥2. Dengan syarat awal a0 = 1 dan a1 = 1 Relasi rekursif sering juga disebut relasi berulang. Relasi ini mendefinisikan sebuah barisan dengan memberikan nilai ke-n yang dikaitkan dengan suku – suku sebelumnya. Untuk mendefinisikan sebuah barisan, relasi berulang memerlukan nilai awal yang sudah ditentukan. II. Relasi Rekursif Linear dengan Koefisien Konstanta
Bentuk umum bagian rekursif dari suatu relasi rekursif linear berderajat k adalah sebagai berikut. an + h1(n) an-1 + h2(n) an-2 + ... + hk(n) an-k = f(n) dengan hi(n), untuk setiap i, 1 ≤ i ≤ k, dan f(n) adalah fungsi-fungsi dalam n dan hk(n) ≠ 0. Jika f(n) = 0, maka relasi rekursif tersebut disebut homogen. Jika tidak demikian, disebut nonhomogen. Selanjutnya untuk setiap i ϵ {1, 2, 3, ..., k}, hi(n) = kontanta, maka relasi rekursif tersebut dinamakan relasi rekursif dengan koefisien konstanta.
Misalnya, i. a1 = a2 = 0; an = an-1 + an-2 + 1, n ≥ 3 adalah relasi rekursif linear nonhomogen derajat dua dengan koefisien konstanta. ii. a1 = a2 = 0; an = an-1 + an-2, n ≥ 3 adalah relasi rekursif linear homogen berderajat dua dengan koefisien konstanta.
III. Relasi Rekursif Linear Homogen Dengan Koefisien Konstanta.
Bentuk umum dari relasi rekursif linear homogen dengan koefisien konstanta adalah sebagai berikut. an + c1(n) an-1 + h2(n) an-2 + ... + ck(n) an-k = 0. dengan k kondisi awal, dan untuk 1 ≤ i ≤ k, ci = konstanta.
Teorema (Prinsip Superposisi) Jika g1(n) dan g2(n) berturut-turut adalah solusi dari: an c1an 1 c2 an 2 ... c1an k f1 (n)
dan an c1an 1 c2 an 2 ... c1an k f 2 (n)
maka untuk sebarang konstanta ĉ1 dan ĉ2
cˆ1 g1 (n) cˆ2 g 2 (n)
adalah solusi dari an c1an 1 ... ck an k cˆ1 f1 (n ) cˆ2 f 2 (n)
