Geometría Analítica Prof. Miguel Ángel De Carlo
Lección II Cónicas en coordenadas cartesianas
M.A. De Carlo
Índice 1.- Las Cónicas................................................................................................................................ 3 2. Circunferencia............................................................................................................................. 3 § 2.1. Ecuación de la circunferencia. .......................................................................................... 3 § 2.2. Cálculo de los elementos de una circunferencia ............................................................... 4 § 2.3.- Potencia de un punto respecto de una circunferencia...................................................... 4 § 2.4.- Cálculo de la potencia de un punto respecto a una circunferencia .................................. 5 § 2.5.- Longitud del segmento tangente desde un punto exterior. .............................................. 5 § 2.6.- Eje Radical....................................................................................................................... 6 § 2.7.- Construcción gráfica del Eje Radical de dos circunferencias.......................................... 6 3.- Parábolas.................................................................................................................................... 7 3.1.- Ecuación canónica de la parábola....................................................................................... 7 3.2.- Ecuación de la parábola con vértice en el origen ............................................................... 8 3.3.- Lado recto ........................................................................................................................... 8 3.4.- Parábola con vértice en un punto cualquiera ......................................................................8 3.5.- Reducción de la ecuación de una parábola ........................................................................ 9 4.- Elipse ....................................................................................................................................... 10 4.1.-Cálculo del eje secundario ................................................................................................. 11 § 4.2.-Excentricidad .................................................................................................................. 11 § 4.3. Vértices de la elipse referida a sus ejes........................................................................... 12 § 4.3.1.- Eje principal................................................................................................................ 12 § 4.3.2.- Eje secundario............................................................................................................. 12 § 4.4.- Elipse con centro en (h, k) ............................................................................................. 12 § 4.5. Ecuación de una elipse vertical ....................................................................................... 12 5.- Hipérbola ................................................................................................................................. 13 5.1.- Focos sobre el eje de ordenadas........................................................................................ 14 5. 2.- Asíntotas de una hipérbola............................................................................................... 14 Ejercicios y problemas .................................................................................................................. 16
Bibliografía consultada. Elementos de Geometría Analítica, Percey Smith y Arthur Gale, Editorial Nigar, BS AS,1963 Geometría Analítica, G. Fuller y D Tarwater, Pearson Educación, México, 7ª edición, 1999 Geometría, Stanley R. Clemens y otros, Addison Wesley Logman, México, 1ª edición, 1998.
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Cónicas
1.- Las Cónicas
Las figuras que estudiaremos son la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, pues todas ellas se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano. El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonío de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipér bolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone. La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales: La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitación universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses. La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola. Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto a centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra. Una cónica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano; o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este tema. 2. Circunferencia Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio, de un punto dado, llamado centro.
§ 2.1. Ecuación de la circunferencia. Consideramos una circunferencia con centro en O de coordenadas (a, b) y de radio r. La condición para que un punto P de coordenadas (x, y) se encuentre en la circunferencia es: d(X, O) = r Es decir -3-
M.A. De Carlo r =
( x − a )2 + ( y − b )2
Eliminando la raíz 2 2 2 r = ( x − a ) + ( y − b )
P(x, y)
Y b
Desarrollando los cuadrados r 2 = x 2 + a 2 − 2ax + y 2 + b 2 − 2by agrupando x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 − r 2 = 0 Llamando A = -2a ; B = -2b ; C = a2 + b2 – r 2 Se tiene
O
a
x
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
§ 2.2. Cálculo de los elementos de una circunferencia es:
Vimos en el desarrollo de 2.1. que la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio r x2 + y2 + Ax + By + C = 0
donde
A = -2a ; B = -2b ; C = a2 + b2 – r 2
A partir de estos datos podemos deducir los siguientes resultados. a=−
A
2 De acuerdo a lo anterior
b=−
B
2
2
2
r = a + b − C
2
A 2 + B 2 − 4C ⎛ A ⎞ ⎛ B ⎞ r = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ − C = 4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2
⇒ r =
Si
A 2 + B 2 − 4C
A 2 + B 2 − 4C
4
4 <0 Interpretamos que no existe una circunferencia. (Circunferencia imaginaria)
§ 2.3.- Potencia de un punto respecto de una circunferencia. Consideramos una circunferencia cualquiera y un punto P del plano. Desde el punto se trazan dos secantes a la circunferencia obteniendo los puntos A, A’, B, y B’. El valor común PA . PB = PA’ . PB’ recibe el nombre de potencia del punto P respecto de la circunferencia dada. A
Demostración: 1) Trazando los segmentos AB’ y A’B se obtienen los triángulos PAB’ y PA’B. Estos triángulos son semejantes el ángulo P común y B = B’ por ser ángulos inscriptos en el mismo arco. -4-
P
A’
Figura 2
B’
Cónicas
2) Aplicando la proporcionalidad de los lados homólogos en los triángulos semejantes se tiene: PA PA'
=
PB PB '
⇒ PA.PB = PA'.PB'
§ 2.4.- Cálculo de la potencia de un punto respecto a una circunferencia La potencia de una punto P respecto de una circunferencia es igual al cuadrado de la distancia del punto P al centro de la circunferencia, d2, menos el cuadrado del radio de la circunferencia. PA . PB = d2 – r2
Demostración: Sea O el centro de la circunferencia. La recta que une P con O, corta a la circunferencia en A y B. Llamamos a d a la distancia PO y r al radio de la circunferencia. Tenemos que: P PA = d – r PB = d + r La Potencia es entonces: PA . PB = (d – r).(d + r) = d 2 – r 2
r
O
B
A d
Figura 3
Decimos que la potencia depende de la posición del punto P con respecto a la circunferencia: • Positivo , si el punto P es un punto exterior a la circunferencia (d > r) •
Cero, si el punto P es un punto de la circunferencia (d = r)
• Negativo, si el punto P es interior a la circunferencia (d < r)
La ecuación de la circunferencia se obtuvo elevando al cuadrado la distancia de un punto al centro de la circunferencia y restando el cuadrado del radio, que como vemos es la definición de la potencia de una circunferencia . Por lo tanto, para calcular la potencia de un punto respecto a una circunferencia basta con sustituir las coordenadas del punto en el primer miembro de la ecuación de la circunferencia. x2 + y2 + Ax + By + C = 0
§ 2.5.- Longitud del segmento tangente desde un punto exterior. Dada la circunferencia C, por un punto P exterior a ella trazamos la recta tangente r siendo A el punto de tangencia. La longitud del segmento AP es la raíz cuadrada de la potencia de P respecto a la circunferencia. Demostración: En la figura 4. El triángulo OPA es rectángulo y las medidas de sus lados son d (distancia de P a O), r (radio de la circunferencia) y t (segmento tangente). Por el Teorema de Pitágoras tenemos: r 2 + t2 = d2 ⇒ t2 = d2 – r 2 Llamamos Pot a la potencia de P respecto de la circunferen- P cia Pot = d2 – r 2
A r O d
Figura 4 -5-
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Tenemos entonces: t2 = d2 – r 2 = Pot ⇒ t =
Pot
§ 2.6.- Eje Radical Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas. El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une los centros. C1 = x2 + y2 + Ax + By + C C2 = x2 + y2 + A’x + B’y + C La ecuación del lugar geométrico es : x2 + y2 + Ax + By + C = x 2 + y2 + A’x + B’y + C ⇒ (A – A’)x + (B – B’)y + (C – C’) = 0
§ 2.7.- Construcción gráfica del Eje Radical de dos circunferencias Consideramos dos casos 1) Las circunferencias se cortan en dos puntos. El eje radical es la recta que contiene a los dos puntos de intersección. (Figura 5)
2) Las circunferencias no son secantes Se dibuja una circunferencia secante a ambas, de forma que su centro no esté alineado con el de estas. Se trazan los ejes radicales de esta nueva circunferencia con cada una de las iniciales; estos se cortan en un punto C, centro radical de las tres circunferencias, que ha de estar en el eje radical buscado. (Figura 6) Ejercicios:
1.- Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(1, -2), Q(5, 4), R(10, 5) 2.- Un triángulo tiene sus lados sobre las rectas x + 2y – 5 = 0 ; 2x – y -10 = 0, y 2x + y + 2 = 0 3.- Dibuje la gráfica de las ecuaciones x2 + y2 – 4x – 6y -3 = 0, y x 2 + y2 -12x -14y + 65 = 0 4.- Encuentre la nueva ecuación de la circunferencia x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 después de trasladar el origen al punto O’ (3, -2)
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Cónicas
3.- Parábolas Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nom bre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz, Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje. Para simplificar la parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas .
Figura 7
3.1.- Ecuación canónica de la parábola La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto es :
p F ( ,0)
2
y = 2px
Demostración.-
La directriz es una recta vertical d de ecuación: x = −
p
, o sea, x +
p
2 2 Dado un punto P(x, y) del plano su distancia al foco es:
=0
2
⎛ p ⎞ d ( F , P ) = ⎜ x − ⎟ + y 2 ⎝ 2 ⎠
La distancia a la directriz es: d ( P, d ) = x +
p
2 La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan: d(F,P) = d(P,d) 2
p ⎛ p ⎞ 2 ⎜ x − ⎟ + y = x + 2 ⎝ 2 ⎠
2
Elevando al cuadrado
⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ 2 ⎜ x − ⎟ + y = ⎜ x + ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝
2
Desarrollando los cuadrados 2
x − px +
Deducimos entonces :
p 2
4
2
2
+ y = x + px +
p 2
4
⇒ − px + y 2 = px
y2 = 2px
Hay otros tres casos elementales de parábolas: 1. Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, ecuación y2 = -2px. 2. Sí el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la ecuación es x2 = 2py. 3. Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, ecuación x2 = -2py. -7-
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3.2.- Ecuación de la parábola con vértice en el origen La parábola tiene el vértice en el origen y foco en (a, 0) y la ecuación de la directriz es x = -a. Como a>0, x puede tomar cualquier valor positivo o cero, pero no valores negativos, la gráfica se aleja indefinidamente en el primer y cuarto cuadrante y el eje de la parábola es el eje x positivo. Como cualquier punto P(x, y) de la parábola dista lo mismo del foco que de la directriz, se tiene: (Fig. 8) ( x − a) 2 + y 2 = x + a Elevando al cuadrado y agrupando: Figura 8 ( x − a) 2 + y 2 = ( x + a) 2 x 2 − 2 ax + a 2 + y 2 = x 2 + 2ax + a 2 2 y = 4ax
⇒
3.3.- Lado recto La cuerda trazada por el foco y perpendicular al eje de la parábola se denomina lado r ecto. (Fig. 9) La longitud del lado recto se puede determinar mediante las coordenadas de sus extremos. Sustituyendo a por x en la ecuación y 2 = 4ax , se encuentra y2 = 4a2 De donde deducimos que y = ±2a Por lo tanto los extremos son (a, 2a) y (a, -2a). Esto hace que la longitud del lado recto sea 4a. El vértice y los extremos del lado recto son suficientes para hacer un esbozo de la parábola. Figura 9
3.4.- Parábola con vértice en un punto cualquiera Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto 1. Eje horizontal y foco a la derecha:
2
(h, k) su ecuación será, según los casos. 2
(y - k) = 2p(x - h) ⇒ (y - k) = 4a(x - h)
2. Eje horizontal y foco a la izquier da: ( y - k)2 = -2p(x - h) ⇒ (y - k)2 = -4a(x - h) 2
2
3. Eje vertical y foco por encima:
(x - h) = 2p(y - k) ⇒ (x - h) = 4a(y - k)
4. Eje vertical y foco por debajo:
(x - h) = -2p(y - k) ⇒ (x - h) = -4a(y - k)
2
2
Consideramos una parábola cuyo eje es paralelo a un eje coordenado, pero no está sobre el. Como vemos en la Fig. 10 el vértice está en (h, k) y el foco en (h+a, k). Se introduce otro par de ejes mediante una traslación al punto (h, k). Como la distancia del vértice al foco es a, se obtiene la ecuación: 2 y ′ = 4a x ′ -8-
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Para escribir la ecuación de la parábola con respecto a los ejes originales, se aplican las fórmulas:
De donde:
x = h + x’ y = k + y’ (y – k)2 = 4a(x – h)
Se observa en esta ecuación y en la figura, que cuando a > 0, el factor x – h, debe ser mayor o igual a cero. En consecuencia la parábola se abre hacia la derecha. Para a < 0 el factor x – h debe ser menor o igual a cero y por lo tanto se abre hacia la izquierda. El eje de la parábola se halla sobre la recta y – k = 0. La longitud del lado r ecto es |4a| y entonces los extremos se hallan con facilidad.
Figura 10
Se puede hacer un análisis similar si el eje de la parábola es paralelo al eje y. (Ec. 3 y 4, pág 6)
3.5.- Reducción de la ecuación de una parábola Dada una ecuación del tipo Ax 2 + Bx + Cy + D = 0 o del tipo Ay2 + Bx + Cy + D = 0. siempre es posible reducirla a la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro. Ejercicios
5.- Escriba la ecuación de la parábola con vértice en el origen y el foco en (0, 4). Grafique la parábola 6.- Una parábola tiene su vé rtice en el origen, su eje a lo largo del eje x y pasa por el punto P (-3, 6 ). Encuentre su ecuación. 7.- La ecuación de una parábola es x2 = -6y. Encuentre las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. 8.- Dibuje la gráfica de la ecuación. y2 + 8x – 6y + 25 = 0 9.- Dibuje la gráfica de la ecuación. x2 – 6x – 12y – 51 = 0 10.- Una parábola cuyo eje es paralelo al eje y pasa por los puntos (1, 1), (2, 2) y (-1, 5), encuentr e su ecuación
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4.- Elipse
Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos punto fijos, llama dos focos, es una constante. La línea que une los dos focos se llama eje principal d e la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los focos se llama centro de la elips e y la distancia entre los focos se llama distancia focal.
Figura 11
Para encontrar la ecuación de la elipse, el origen de coordenadas se coloca a la mitad entre los focos. La distancia focal se representa con 2c y, en consecuencia, los focos se denominan F(c,0) y F’(-c.0). Ahora si llamamos a la suma de las distancias del punto P(x,y) de la elipse a los focos , sea 2a, obtenemos: PF '+ PF = 2a Si en la figura 11 proyectamos el punto P sobre los ejes y aplicamos Pitágoras (Fig.12). PF ' = ( x + c) 2 + y 2 y PF = ( x − c) 2 + y 2 reemplazando ( x + c) 2 + y 2 + ( x − c) 2 + y 2 = 2a
X
Figura 12 ( x + c) 2 + y 2 = 2a - ( x − c) 2 + y 2 Elevando ambos miembros al cuadrado ( x + c) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c) 2 + y 2 + ( x − c) 2 + y 2 O perando 2 xc = 4a 2 − 4a ( x − c) 2 + y 2 − 2 xc ⇒ xc = 2a 2 − 2a ( x − c) 2 + y 2 − xc ⇒ 2
2
xc + xc = 2a − 2a ( x − c) + y
2
⇒ 2 xc = 2a 2 − 2a ( x − c) 2 + y 2
⇒
2 2 2 xc − a = − a ( x − c) + y ⇒ Elevando al cuadrado nuevamente y simplificando
( xc − a 2 ) 2 = (−a ( x − c) 2 + y 2 ) 2 ⇒ x 2 c 2 − 2 xca 2 + a 4 = a 2 x 2 − 2 xca 2 + a 2 c 2 + a 2 y 2 ) x 2 c 2 + a 4 = a 2 x 2 + a 2 c 2 + a 2 y 2
⇒ (a 2 − c 2 )a 2 = (a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2
En el triángulo F’PF la distancia F’F es 2c y la suma de los otros lados por definición es 2a Por lo tanto 2a > 2c (un lados es menor que la suma de los otros dos) Cuando el punto P se encuentra en el eje y su valor es b semieje meno r y como un lado será c y el otro a por estar el punto b en la mediatriz. Por lo tanto b2 = a2 – c2 b2a2 = b2x2 + a2y2 Si dividimos ambos miembros por a 2 b2 siempre distinto de cero. - 10 -
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b x
2
2 2
+
a b
2
a y
2
2 2
=
a b
2 2
a b
2 2
⇒
x
2
a
2
a b
+
y
2
b
2
= 1 Ecuación canónica de la elipse.
Generalmente el eje principal se representa con 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistancia focal respectivamente. El valor e =
c a
que está comprendido
entre 0 y 1, se llama excentricidad de la elipse.
4.1.-Cálculo del eje secundario Llamando 2b al eje secundario, P al vértice superior, en la figura es el punto B(0,b), O al centro de la elipse y F y F’ a los focos de la elipse. . Por el teorema de Pitágoras, nos queda: PF = b 2 + c 2 y PF ' = b 2 + c 2 . Por definición de elipse PF’ + PF = 2a Por lo tanto b2 + c2
+
b2 + c2
b2 + c2
=a
⇒
= 2a ⇒ 2 = 2a
b2 + c2
b2 + c2 = a2 ⇒
b=
a2 − c2
A la distancia b la llamamos semieje secundario .
§ 4.2.-Excentricidad una elipse es el conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de cada punto del conjunto a un punta fijo del plano es igual a una constante (entre 0 y 1) por su distancia a una recta fija del plano. Algunas veces, la elipse se define en términos de un foco y directriz. Cuando se define así, es posible probar la afirmación contenida en la definición de elipse. La recta x = a2/c es la directriz correspondiente al foco (c, 0). Es fácil mostrar que el punto (-c, 0) y la recta x=-a2/c constituyen otro foco y otra directriz. Sin embargo, este hecho es geométricamente evidente por consideraciones de simetría. Sabemos que
Se desea analizar la cantidad
c a
. Esta razón se llama excentricidad e de la elipse.
El aspecto de una elipse depende del valor de su excentricidad. Suponga, por ejemplo, que se visualiza una elipse cuyo eje mayor permanece constante, mientras que e comienza en cero y
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se aproxima a la unidad. Si e = 0, las ecuaciones e =
c a
y b2 = a2 – c2 muestran que c = 0 y a = b.
Entonces, los dos focos coinciden en el centro y la elipse es una circunferencia. Conforme e crece, los focos se separan, alejándose del centro y b decrece. Conforme e se acerca a 1, c se acerca a a y b se acerca a O. Por esta razon, la elipse que comenzó como circunferencia se vuelve mas y mas angosta. Si e = 1 ó c = a, entonces b = 0. Debido a ello la ecuación reducida de la elipse no se aplicaría pues b2 es un denominador; pero si e = 1 la definición de elipse requiere que la grafica sea el segmento de recta que conecta los focos. Resumiendo, se tiene una elipse real si e se ubica entre 0 y 1. Cuando e es ligeramente mayor que 0, la elipse es casi una circunferencia; cuando e es ligeramente menor que 1, la elipse es relativamente larga y angosta. ,
§ 4.3. Vértices de la elipse referida a sus ejes Los vértices son los puntos donde la elipse corta a sus ejes.
§ 4.3.1.- Eje principal x 2 a2
El eje principal es el eje de abscisas, es decir y = 0, la intersección con la elipse será: 0 x 2 + 2 =1 ⇒ =1 ⇒ x = ± a 2 b
a
Los vértices serán: (a, 0) y (-a, 0).
§ 4.3.2.- Eje secundario Resolviendo para x = 0 tendremos que y = ± b. Los vértices serán: (b, 0) (-b, 0)
§ 4.4.- Elipse con centro en (h, k) Si los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados y el centro está en (h, k), tenemos que la ecuación de la elipse referida a los nuevos ejes será: 2 2 x' y ' + 2 =1 2 a
Las sustituciones
b
x’ = x – h , y’ = y – k
( x − h) 2 a
2
+
( y − k ) 2 b
2
conducen a:
=1
§ 4.5. Ecuación de una elipse vertical Si la elipse tiene su eje principal vertical, su ecuación es: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 2 2 b
a
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Cónicas Ejercicios 11.- Encuentre la ecuación de una elipse con focos en (0, ±4) y un vértice en (0, 6) 12.- Esboce la elipse 9x2 + 25y2 = 225 13.- encuentre la ecuación de la elipse con focos en (4, -2) y (10, -2), y un vértice en (12, -2) 14.- Reduzca la ecuación 4y2 + 9x2 – 24y – 72x +144 = 0
5.- Hipérbola
Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que, la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante La recta que une los dos focos de la hipérbola se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz construida en el punto medio de los focos se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto de intersección de los ejes es el centro de la hipérbola. Los puntos del eje real donde la hipérbola lo corta, se llaman vértices. Para deducir la ecuación de la hipérbola tomamos la diferencia entres los puntos de la misma y los focos como 2a.. o bien
|F’P| – |FP| = 2a |F’P| – |FP| = -2a
según la posición del punto, combinamos las ecuaciones escribiendo ( x + c) 2 + y 2 - ( x − c) 2 + y 2 =±2a cx − a 2 = ± a ( x − c) 2 + y 2
Operando y simplificando se obtiene:
Elevando al cuadrado la igualdad y simplificando (c2 – a2 )x2 – a2 y2 = a2 (c2 – a2) Sabemos que b2 = c2 – a2 por lo tanto b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 ⇒ Dividiendo por a 2 b2 . obtenemos x 2 a2
−
y 2 b2
=1
Se puede hacer la división si c2 - a2 ≠ 0. En la figura la longitud de un lado del triangulo F'PF es 2c y la diferencia de los otros dos lados es 2a. Por tanto, c>a y c2 - a2 > O. La grafica de la ecuación es simétrica con respecto a los ejes coordenados. - 13 -
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Los valores permitidos términos del
de x y y se vuelven evidentes al expresar uno en otro. Así, se obtiene
De la primera de estas ecuaciones, se vera que y puede tomar cualquier valor real y de la segunda, que x puede tomar cualquier 2 2 valor real excepto aquellos para los cuales x < a • Por consiguiente, la hipérbola se extiende y aleja indefinidamente de los ejes en cada cuadrante. Sin embargo, no hay parte de la gráfica entre la recta x = -a y la recta x = a. En consecuencia, la hipérbola consta de dos partes separadas, o ramas. Los puntos V'(-a, 0) y V(a, 0) se llaman vértices y el segmento V'V se llama eje transversal. El segmento de B'(0, -b) a B(0, b) se llama eje conjugado. Aunque el eje conjugado no tiene ningún punto en común con la hipérbola, tiene una relación importante con la curva, como se descubrirá. La intersección de los ejes es el centro. La cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje transversal se llama lado recto. Al sustituir x = c en la ecuación reducida y usar la relación c2 =a2 + b 2, se encuentra que los extremos de un lado recto son (c, -b 2/a) y (c, b2/a). Por tanto, la longitud es 2b 2/a. Se observa que los significados de las tres cantidades positivas a, b y c que aparecen aquí son análogos a cuando se usaron con una elipse. La cantidad a es la distancia del centro de la hipérbola a un vértice, b es la distancia del centro a un extremo del eje conjugado y c es la distancia del centro a un foco Las relaciones de a, b y c para una elipse no son las mismas que para una hipérbola. Para la elipse a > c , c 2 = a2 – b2 y a > b. Para la hipérbola c > a, c 2 = a2 + b2 y no hay restricción de los valores relativos de a y c.
5.1.- Focos sobre el eje de ordenadas Si los focos están sobre y en F’(0, -c) y F(0, c), la ecuación de la hipérbola es: y 2
2. 1.
a2
−
x2
=1
b2 Los vértices están en V'(0, -a) y V(0, a) y las relaciones entre a, b y c no cambian.
Las ecuaciones generalizadas de hipérbolas con ejes paralelos a los ejes coordenados y cen( x − h) 2 ( y − k )2 ( y − k )2 ( x − h)2 tro en (h, k) son : y − =1 − =1 2 2 2 2 a
b
a
b
Se dice que las ecuaciones se hallan en la forma usual. Los significados y las relaciones de a, b y c son iguales en todas las ecuaciones.
5. 2.- Asíntotas de una hipérbola A diferencia de las otras cónicas, una hipérbola tiene asociadas dos rectas que guardan una relación importante con la curva. Estas rectas son las diagonales extendidas del rectángulo de la figura. Un par de lados del rectángulo pasa por los vértices y es perpendicular al eje transversal. El otro par pasa por los extremos del eje conjugado. Suponga que se consideran la diagonal extendida y la parte de hipérbola en el primer cuadrante. Las ecuaciones de la diagonal y esta parte de la hipérbola son, respectivamente, b y = x a
y
- 14 -
y =
b a
x2 − a2
Cónicas
Se observa que, para cualquier x > a, la ordenada de la hipérbola es menor que la ordenada de la recta. Sin embargo, si x es muchas veces el tamaño de a, las ordenadas correspondientes son casi iguales. Esto será mas convincente si se examina la diferencia de las dos ordenadas. As!, restando y después multiplicando el numerador y el denominador de la fracci6n resultante por x + x 2 − a2 , se obtiene b a
x −
b a
2
x −a
2
= = =
x2 − a 2 )
b( x −
a 2 2 x − a )( x +
b( x −
a( x +
2 2 x −a )
2 2 x −a )
ab x +
2
x −a
2
El numerador de la última fracción es constante. Sin embargo, el denominador crece cuando x crece. De hecho, es posible hacer que el denominador sea tan grande como se quiera, tomando un valor de x suficientemente grande. Esto significa que la fracción, que es la diferencia de las ordenadas de la recta y de la hipérbola, se acerca más y más a cero conforme x es cada vez más grande. La distancia perpendicular de un punto P de la hipérbola a la recta es menor que la fracción. En consecuencia, aunque la distancia perpendicular nunca se pueda hacer igual a cero, si es posible hacerla tan cercana a cero como se quiera tomando x suficientemente grande. Cuando la distancia perpendicular una recta a la curva tiende a cero conforme la curva se aleja indefinidamente del origen se dice que la recta es asíntota de la curva. Por consideraciones de simetría, se concluye que cada diagonal extendida es una asintota de la curva. Por tanto, las ecuaciones de asíntotas de la hipérbola representada por la ecuación y =
Y de la ecuación
y 2 a2
−
x2 b2
b a
y
x
y 2 a2
−
x2 b2
= 1 son:
b y = − x a
= 1 serán : a y = x b
y
y = −
a b
x
Se observa que para cada una de las hip érbolas, las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener factorizando el miembro Izquierdo e igualando a cero cada factor. Las asíntotas de una hipérbola son útiles para esbozar la hipérbola. Se puede hacer un dibujo aproximado a partir del rectángulo asociado y de sus diagonales extendidas. Sin embargo, la precisión puede ser mucho mayor localizando los extremos de cada lado recto. Si a = b, el rectángulo asociado es un cuadrado y las asíntotas son perpendiculares entre sí. En este caso, se dice que la hipérbola es equilátera porque sus ejes son iguales. o se dice que es rectangular pues sus asíntotas se intersecan formando ángulos rectos. - 15 -
M.A. De Carlo
La razón c/a se llama excentricidad e de la hipérbola. El ángulo de intersección de las asíntotas y, par tanto, el aspecto de la hipérbola, dependen del valor de e. Como c > a, el valor de e es mayor que 1. Si c es solo un poco mayor que a, de modo que e esta cerca de 1, la relación c2 = a2 + b 2 muestra que b es pequeño comparado con a. Entonces, las asíntotas forman un par de ángulos pequeños. Las ramas de la hipérbola, encerradas par ángulos pequeños, divergen lentamente. Si e crece, las ramas están encerradas por ángulos mayores, y los ángulos pueden estar cerca de 180º al tomar valores grandes de e. Una vez que se ha encontrado que la excentricidad de una elipse es un número entre 0 y 1 y que la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1, hay que preguntarse, naturalmente, si existe alguna cónica cuya excentricidad sea igual a 1. Para tener una respuesta, recuerde que cualq uier punto de una parábola equidista de la directriz y del foco. La razón de estas distancias es 1 y, en consecuencia, este valor es la excentricidad de una parábola. Ejercicios 15.- Construya la curva 36x2 – 64y2 = 2304 17.- Dibuje la
gráfica de 12y2 – 4x2 +72y +16x + 44 = 0
E jercicios y problemas
Ejercicio 1 Halle la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x – 2y + 3 = 0 Ejercicio 2 Halle el centro y el r adio de la circunferencia cuya ecuación es: x2 + y2 –4x + 6y +3 = 0 Ejercicio 3 Halle las tangentes a x2 + y2 –2x +3y –18 = 0 en los puntos (2, 3), (1,1) y (5, 5). Ejercicio 4 Encuentre las coordenadas de los focos, los extremos de los ejes mayor y menor , y los extremos de cada lado recto. A partir de esa información esboce la curva. y 2 x 2 ( x − 3) 2 ( y − 2) 2 + =1 + =1 a) b) 25 9 36 9 Ejercicio 5 Escriba la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. a) Focos en (-4, 2) y (4, 2), longitud del eje mayor 10 b) Centro en (3, 2) un foco en (3, 7) y un vértice en (3, -5) Ejercicio 6 Reduzca la ecuación 4x2 + 9y2 – 8x +18y – 23 = 0. Si se tr ata de una elipse, hallar su centro, sus focos y sus vértices. - 16 -
Cónicas
Ejercicio 7 Halle los elementos de la cónica de ecuación. x2 + 3y2- 8x –12y + 32 = 0 Ejercicio 8. Halle los elementos de la elipse 25x2 + 16y2 – 50x +64y –311 = 0 Ejercicio 9. Halle la ecuación reducida de la hipérbola 4x2 – 9y2 – 8x + 36y + 4 = 0 Ejercicio 10. Halle los elementos de la hipérbola x2 - y2 + 2x + 4y – 12 = 0 Ejercicio 11 Halle la ecuación reducida de la parábola 2x2 + 8x +3y –5 = 0. Ejercicio 12 Halle los elementos de la parábola y2 – 4x +6y +13 = 0 3. Hipérbolas co njugadas Se denominan hipérbolas conjugadas cuando ocurre que el eje transver-
so de una es igual al eje conjugado de la otra. x 2
25
−
y2
9
=1
y
y 2
9
−
x2
25
=1
En una hipérbola equilátera las asíntotas son perpendic ulares. Esto sucede cuando la figura que determina las asuntotas en lugar de un rectángulo es un cuadrado, luego a = b x 2
1
−
y2
1
=1 ;
- 17 -
x2 – y2 = 1
