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Ecuacion_de_la_recta_Geometría en _Ejemplos_resueltos.pdf plano. Vectores y
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MATEMATICAS I para Ci´encias e Ingenier’ia Felix Carrillo Carrascal
Master your semester with Scribd 30 de agosto de 2015 Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title & The New York Times Useful Not useful Special offer for students: Only $4.99/month.
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´Indice general 0.1. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.1. Ecuaciones del Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.2. Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2. Sup erficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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´ INDICE GENE
4
0.1.
Planos
El plano es el lugar geom´etrico etrico de puntos puntos del espacio espacio tridimension tridimensional al con la sig propiedad: la propiedad: la totalidad totalidad de vector vectores es que se obtienen obtienen uniendo uniendo dos puntos puntos cualesquier cualesquier
son ortogonales a un vector n nulo. Al vector n se le denomina vector normal al p n no nulo. Cualquier otro vector paralelo a n es tambi´ en en un vector normal al plano.
0.1. 0.1.1. 1.
Ecua Ecuaci cion ones es del del Pla Plano no
Un plano est´a completamente determinado si se conoce un punto por donde pas
mado punto de paso) y un vector normal. Sea P 0 el punto de paso de un plano sea vector normal a dicho plano (ver Figura 1.31). z
n
P 0
y P
x Master your semester with Scribd Fig. 1.31 & The New York Times Special offer for students: Only $4.99/month.
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0.1. 0.1. PLANO PLANOS S
Lo que est´a entre entre par´entesis entesis es un valor constante. constante. Haciendo Haciendo d = ecuaci´on on toma la forma:
−ax − by − 0
0
ax + by + by + cz + + d = 0 denominada ecuaci´ o n, y en general, a toda on on general general del plano. A esta ecuaci´on,
ci´on on que este solamente solamente en t´erminos erminos de las variables ariables x, y y z , se le denomina ecua
cartesiana del plano.
Los planos suelen representarse ubicando 4 puntos de ´el el que formen f ormen un paralelog
o por medio de tri´angulos angulos ubicando solo 3 puntos. En esta segunda forma y cuand
coeficientes a, b, c y d son todos diferentes de cero, se escogen los puntos en que el p
intersecta a los ejes coordenados. La intersecci´ on on del plano con el eje x se halla hac y = 0 y z = z = 0 en la ecuaci´on on (3). Al hacer el reemplazo se obtiene la ecuaci´ on ax on ax +
−d/a. d/a. A este valor de x de x se se le llama el intersepto con el eje x. En f an´aloga, aloga, los interseptos con los ejes y ejes y y y z son y = = −d/b y = −d/c, z , son y d/b y z z = d/c, respectivamente, correspondientes puntos de intersecci´ on o n son A(−d/a, 0, 0), B (0, (0, −d/b, 0) y C (0, (0, 0
resolviendo, x resolviendo, x = =
Uniendo estos tres puntos se forma el tri´ angulo angulo ABC , ABC , tal como muestra la Figura 1. z C (0, (0, 0, d/c) d/c)
−
O
Master your semester with Scribd & The New York Times A(−d/a, 0, 0) x Special offer for students: Only $4.99/month.
B (0, (0, d/b, 0) Read Free Foron 30this Sign up to vote title yDays
−
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´ INDICE GENE
6 Si hacemos: m =
− da
− db
,
p =
− dc
−nd
,
c =
− pd
,
n =
,
b =
entonces se obtienen las ecuaciones: a =
− dm
Reemplazando estos valores en la ecuaci´ on (3), encontramos que la ecuaci´ on on on del p
cuyas intersecciones con los ejes coordenados son los puntos (m, (m, 0, 0), (0, (0, n, 0) y (0 es:
x y z + + =1 m n p
denominada ecuaci´ on on sim´ etrica etrica del plano . Reemplazando esos mismos valores
ecuaci´on on (4), encontramos que el volumen del tetrahedro que forma el plano definid la ecuaci´on on (5), con los planos coordenados, es: V = (1/ (1/6) mnp
|
|
El plano tambi´en en queda completamente completamente determinado determinado si se conoce un punto punto por
pasa y dos vectores, no nulos ni paralelos, pa ralelos, contenidos en dicho plano. As´ As´ı, si a y b son d
−−→
vectores y P es P es un punto cualquiera del plano, entonces el vector P 0 P P puede expre
como una combinaci´ on on lineal de los vectores a y b (ver Figura 1.33). Por lo tanto, exi escalares r y s tales que:
−−→
P 0P = P
− P = r a + s b −
de dondesemester despejando sewith obtieneScribd la ecuaci´ on: on: Master your & The New York Times P = P + r a + s b 0
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z
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R Useful , s
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RNot useful
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0.1. 0.1. PLANO PLANOS S
denominada ecuaci´ on: on: P 0 = (x0 , y0 , z on on vectoria vectoriall del plano. Si en esta ecuaci´ (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), entonces reemplazando en (7), se obtiene: (x,y,z ) = (x0 , y0 , z 0) + r (a1, a2 , a3 ) + s(b1 , b2 , b3 ) = (x0 + ra1 + sb1 , y0 + ra2 + sb2 , z 0 + ra3 + sb3 ) De esta ecuaci´ on vectorial se obtienen las tres ecuaciones: on x = x0 + ra1 + sb1 y = y0 + ra2 + sb2 z = z 0 + ra 3 + sb3
ecu aciones nes param´etricas etri cas del plano, siendo r y s los par´ametros. denominadas ecuacio ametros.
Ejemplo 0.1.1 Hallar las ecuaciones normal y general del plano del plano que pas el punto ( 3, 1, 0) y 0) y tiene como vector normal al vector n = (2, (2, 3, 4). 4).
−
−
Soluci´ on: Se
tiene que P 0 = ( 3, 1, 0). As´ As´ı, reemplazando los valores de P 0 y
−
ecuaci´on on (1), encontramos que la ecuaci´ on on normal es: ((x,y,z ((x,y,z )
(2, −3, 4) = 0 − (−3, 1, 0)) · (2,
y desarrollando: desarrollando: 2(x 2(x + 3)
3(y − 1) + 4(z 4(z − 0) = 0 − 3(y
Master your semester with Scribd que es York la ecuaci´ on on general del plano. & The New Times Special offer for students: Only $4.99/month.
o bi´ bi´en, e n, 2x
4 z + + 9 = 0 − 3y + 4z
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Ejemplo 0.1.2 Hallar las ecuaciones vectorial y cartesiana del plano que contiene
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