RAZONAMIENTO MATEMATICO EJERCICIOS DEL PRIMER BIMESTRE DE PRIMERO DE SECUNDARIA EN WORD X.pdf

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En el presente tema antes de poder resolver problemas sobre sumatorias, vamos a diferenciar diferenciar conceptos referentes a este tema:

Sucesión: Es Sucesión: Es una secuencia de datos rígidos por una ley de formación.

A continuación continuación se presentan varios tipos de series notables en las cuales vamos a calcular calcular su valor mediante fórmulas.

Ejemplo:

SUM SUMA DE LOS “N” “N” PRIM PRIMER ERO OS NÚMEROS CONSECUTIVOS: CONSECUTIVOS:

Solución:

Si tenemos la s iguiente serie:

Sea: Sea: N = 29 Luego, reemplazando reemplazando en la formula tenemos:

Ejemplo:

n (n  1)

S 

10

;

11

;

12

;

Calcul Calcular: ar: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 29

S = 1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ n Podemos calcular calcular el valor de la suma mediante la siguiente fórmula: 2

13

 29  1    2 

2

S 

+1

+1

Ejemplo:

Serie: Es la suma de los términ términos os de una una sucesión sucesión.. Al resultado resultado de efectuar efectuar la serie se le llama valor de la serie. Ejemplo: 10 + 11

+ 12 + 13 = 46 serie

valor

Sumatoria:Es Sumatoria: Es una una sínte síntesis sis de la serie. serie. Se representamediante: n

 Donde:

 : Es el símbolo de la sumatoria.

i : Índice ( varía desde 1 hasta 20)

Ejemplo: La expresión: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 40 Puede ser escrita de modo s implificado: implificado: 40

i i 1

Se lee: “Suma de todas las i, desde i = 1, hasta i = 20” www Matematica pe

PROBLEMAS RESUELTOS

SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS “N” PRIMEROS NÚMEROS. CONSECUTIVOS:

Solución: Sea: Sea: n = 40 Luego, Luego, reempl reemplazand a zandoo en la formul formula tenemos: S

Si tenemos la siguiente serie:

Solución: Solución :

S  12  2 2  3 2  4 2  ....  n2

Sea: Sea: n = 20 Luego, reemplazando reemplazando en la formula tenemos: 20(20  1) S 2

Podemos calcular el valor de la suma mediante la siguiente fórmula:

Efectuando la operación, tenemos que la suma es: es: S = 210 210

i

i 1

S

Calcular: Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 20 20

S = 9 455

01. Calcular: 01. Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 40 Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 225

Donde: n = Termino enésimo (último) +1

30(30  1)(2.30  1) 6 Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S 

S

Donde: SUM SUMA DE LOS “N” “N” PRIM PRIMER ERO OS NÚMEROS IMPARES CONSECUTIVOS: CONSECUTIVOS: Si tenemos la s iguiente serie: S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . .+ N Podemos calcular calcular el valor de la suma mediante la siguiente fórmula:  N  1    2 

2

S 

n(n  1)(2n  1)

6

n: Termino enésimo (Ultimo)

Ejemplo: Calcular: S12  22 32  42 ...  302 Solución: Sea: n = 30 Luego, reemplazando reemplazando en la formula tenemos:

Donde: N = Termino enésimo enésimo (último) www youtube com/Matematica1com

40 (40  1) 2

Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 820 02. Cal 02. Calcular: cular:

S = 1 + 2 + 3 + . . . + 80 80

Solución: Sea: Sea: n = 80 Luego, Luego, reempl reemplazand a zandoo en la formul formula tenemos: 80 (80  1) S 2 Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 3 240

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03. Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 88 Solución: Sea: n = 88 Luego, reemplazando en la formula tenemos: 88(88  1) S 2 Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 3 916 04. Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 100 Solución: Sea: n = 100 Luego, reemplazando en la formula tenemos: 100 (100  1) S 2 Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 5 050 05. Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 20 Solución: Sea: 2n = 20  n = 10 Luego, reemplazando en la formula tenemos: S = 10 (10 + 1) Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 110 06.Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 36 Solución: Sea: 2n = 36



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n = 18

Luego, reempla zando en la formula tenemos: S = 18 (18 + 1) Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 342 07. Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 50 Solución: Sea: 2n = 50



n = 25

Luego, reempla zando en la formula tenemos: S = (25 (25 + 1) Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 650 08. Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 80 Solución: Sea: 2n = 40



n = 20

Luego, reempla zando en la formula tenemos: S = 20 (20 + 1) Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 420 09. Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 21 Solución: Sea: M = 21 Luego, reempla zando en la formula tenemos: 2  21  1  S   2  Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 121

10. Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 41 Solución: Sea: M = 41 Luego, reempla zando en la formula tenemos: 2  41  1  S  2   Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 441 11. Calcular: S = (1+3+5+...+29)(2+4+6+...+30) Solución: Vemos dos factores, en el primer factor se puede ver que están sumándose los primeros 29 números impares y en el otro factor los 30 primeros números pares, por tanto: Utilizando las formulas para cada caso nos queda: 2  29  1  S  .3030  1  2  Operando tenemos: S =(225)(930) S = 209 250 12. Calcular:

Debemos tener presente que el número 5 se repite 20 veces, entonces aplicando formula nos queda: S=

Operando tenemos: S = 210 + 100 S = 310 13. Calcular:

S=(1+2+3+4+...+20)+(5+5+...+5) www youtube com/Matematica1com

2 2 2 2 2 S  1  2  3  4  ....  10

Solución: Sea: n = 10 Luego, reempla zando en la formula tenemos: S

10(10  1)(2.10  1) 6

Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 385 14. Calcular: S  12  2 2  32  4 2  .. .. 14 2 Solución: Sea: n = 14 Luego, reempla zando en la formula tenemos: S 

S=(1+5)+(2+5)+(3+5)+(4+5)+...+(20+5) Solución: En primer lugar separar y agrupar los primeros números consecutivos de el número 5, es decir:

20(20  1)  5(20) 2

14(14  1) (2.14  1) 6

Efectuando la operación, tenemos que la suma es: S = 1 015

15.Calcular:

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S= 1 2 +1+22 +2+3 2 +3+...+30 3 +3 0 Solución: Debemos diferencia r la suma de los cuadrados de los 30 primeros números consecutivos de la suma de los 30 primeros números consecutivos. Por tanto, tendremos lo siguiente: S=(12+22+32+...+302)+(1+2+3+...+30) Luego procedemos a calcular la suma aplicando sus respectivas formulas: 30(30  1)(2.30  1) 30(30  1) S  6 2

Operando, nos queda: S = 9 455 + 465 S = 9 920

01.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 42 b) 850 e) 928

c) 903

02.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 22 a) 250 d) 265 03.Calcular: a) 2500 d) 2651

b) 253 e) 128

c) 355

S = 1 + 2 + 3 + . . . . . . + 68 b) 2532 e) 2346

c) 3055

04.Calcular: S = 2 + 4 + 6 +. . . . . . + 22 a) 132 d) 264

b) 200 e) 128

b) 930 e) 548

c) 855

06.Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 100 a) 2500 d) 2650

b) 2530 e) 2550

c) 3550

07.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 27 a) 198 d) 165

b) 196 e) 155

c) 135

08.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 33 a) 238 d) 23 5

b) 296 e) 258

c) 289

09.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 45

PRÁCTICA DE CLASE

a) 340 d) 565

a) 870 d) 675

c) 325

a) 540 d) 529

b) 549 e) 327

c) 439

10.Calcular: S  12  2 2  3 2  ...  112 a) 498 d) 465

b) 596 e) 555

c) 506

11.Calcular: S  1  2  3  .. .  17 2

a) 1785 d) 1765

2

2

b) 1546 e) 1755

2

c) 1766

12. Calcular: S 12  2 2  32  ...  20 2 a) 2498 d) 2465

b) 2870 e) 2345

c) 2860

13.Calcular: S (12  22  32  ...  112)(1  2  3  ...  20) a) 106 260 d) 106 465

b) 159 600 e) N.a.

c) 106 506

14.Hallar la suma de los 50 primeros números naturales consecutivos. a) 1 260 d) 1 465

b) 1 275 e) N.a.

15.Hallar: S = 24 + 25 + 26 +. . . + 43 a) 260 d) 465

b) 600 e) 670

c) 506

16.Hallar el valor de “P” si: P = 0,01 + 0,02 + 0,03 +. . . + 0,4 a) 8,2 d) 82

b) 9,6 e) 820

c) 342

17.Hallar el valor de: (1+2+3+...+99+100)+(100+99+...+2+1) a) 10 000 d) 10 100

b) 10 200 e) 20 201

c) 10 300

(1+3+5+...+99+101)+(100+98+...+4+2) a) 5 000 d) 1 200

b) 5 151 e) 5 501

c) 51 322

19.Cuántos sumandos presenta la siguiente serie: S = 7 + 9 + 11 + 13 + . . . + 405 a) 100 d) 200

b) 120 e) 201

c) 130

20.Hallar “x”:

a) 340 d) 965

b) 990 e) 928

c) 903

02.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 60 a) 1 830 d) 1 265

b) 1 853 e) 1 800

c) 1 855

03.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 70 a) 2 500 d) 2 485

b) 2 532 e) 2 346

c) 3 055

04.Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 24 a) 132 d) 264

b) 200 e) 156

c) 325

a) 1 070 d) 1 675

b) 1 030 e) 1 548

c) 1 056

06.Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 106 a) 2 500 d) 2 650

b) 2 862 e) 2 550

c) 3 550

07.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 25 a) 198 d) 169

b) 196 e) 155

c) 135

08.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 35

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + x = 15 625 a) 125 d) 115

01.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 44

05.Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 64

18.Hallar el valor de:

b) 135 e) 249

c) 145

a) 324 d) 335

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b) 396 e) 358

c) 389

09.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 47 a) 540 d) 529

05.Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 60 www Matematica pe

c) 1 506

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

b) 549 e) 527

c) 576

www.Matematica.pe 10.Calcular: S 1 2  2 2  3 2  ...  13 2

a) 798 d) 865 11.Calcular:

b) 896 e) 819

S  1 2  2 2  3 2  ...  18 2

a ) 2 109 d) 2 165 12.Calcular:

c) 806

b ) 1 94 6 e) 1 955

c) 1 96 6

S  12  2 2  3 2  .. .  212

a ) 3 498 d) 3 465

b ) 3 31 1 e) 3 345

c) 3 86 0

S  (12  22  32  ...  102 )(1  2  3  ...  25)

b) 129 600 e) N.a.

b ) 1 87 5 e) N.a.

c) 1 50 6

b) 600 e) 670

c) 506

P = 0,01 + 0,02 + 0,03 + . . . + 0,5 b ) 12,7 5 e) 1 275

c) 4 950

19.¿Cuántos sumandos presenta la siguiente serie: S = 7 + 9 + 11 + 13 + . . . + 401 a) 100 d) 200

b) 120 e) 201

c) 198

b) 40 200 e) 40 201

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a) 259 d) 215

b) 135 e) 249

a) 286 400 d) 226 465

b) 290 600 e) N.a.

c) 225 125

06.Hallar la suma de los 70 primeros números naturales consecutivos. a) 2 630 d) 2 365

b) 2 485 e) N.A.

c) 2 506

c) 145

a) 2 760 d) 2 759

b) 2 472 e) 2 670

c) 2 506

08.Hallar el valor de “P” si: P = 0,01 + 0,02 + 0,03 +. . . + 0,3

01.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 46 a) 1 040 d) 1 065

b) 1 081 e) 1 128

c) 903

02.Calcular: S = 2 + 4 + 6 +. . . + 26 a) 182 d) 264

a) 198 d) 169 04.Calcular:

(1+2+3+...+199+200)+(200+199+...+3+2+1)

S  (12  22  32  ...  152 )(1  2  3  ...  21)

07.Hallar: S = 28 + 29 + 30 +. . . + 75

20.Hallar

c) 12 8

17. Hallar el valor de: a) 40 000 d) 40 100

b ) 5 15 1 e) 4 501

b) 200 e) 156

c) 325

03.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 23

16. Hallar el valor de “P” s i:

a ) 12 7,2 d) 1,275

a) 5 000 d) 4 200

TAREA DOMICILIARIA

15.Hallar: S = 24 + 25 + 26 +. . . + 45 a) 760 d) 759

(1+3+5+...+97+99)+(98+96+...+6+4+2)

c) 125 125

14.Hallar la suma de los 60 primeros números naturales consecutivos. a ) 1 830 d) 1 865

05.Calcular:

“x” : 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + x = 16 900

13.Calcular:

a) 126 260 d) 126 465


18. Hallar el valor de:

a) 698 d) 665

b) 196 e) 144

c) 135

S  12  2 2  3 2  . . .  122

b) 696 e) 619

a) 456,2 d) 4,275

b) 4,75 e) 4,65

c) 1,28

09.¿Cuántos sumandos presenta la s iguiente serie: S = 13 + 15 + 17 + . . . + 401 a) 195 d) 200

b) 120 e) 201

c) 198

10. Hallar “x”: 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + x = 11 664 a) 259 d) 215

b) 135 e) 249

c) 650

c) 40 300 www youtube com/Matematica1com

c) 145

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La primera premisa dice que A obtuvo menos puntos que B, por lo cual, en nuestra recta, A debe ubicarse a la izquierda de B, es decir hacia el lado de (-). (-)

COMENTARIO Los problemas de este tipo, son fáciles de reconocer. Su característica más importante es la de que en ellos siempre se presenta una serie de datos desordenados, que necesariamente contienen toda la información que requerimos para poder relacionarlos entre sí (ya sea ordenados de acuerdo a ciertas premisas o encontrar correspondencia entre los mismos). La recomendación más importante para resolverlos, es tratar de enfrentar el problema de la manera más esquemática posible, es decir tratando de representar gráficamente lo que dice el problema y no pretender llevar todas las relaciones en la cabeza.

En este caso, una buena forma de guiarse para no confundir la información es tratar una recta, en donde se deben ir ubicando a manera de puntos los nombres de los objetos que queremos ordenar de menor a mayor o viceversa. Por ejemplo: En un examen A obtuvo menos puntos que B, D menos puntos que A y C más puntos que E. Si E obtuvo más puntos que B, ¿Quien obtuvo el puntaje más alto? Solución: En primer Lugar, trazaremos una recta para ir ubicando los datos: (-) www Matematica pe

(+)

B

Luego tenemos que D obtuvo menos puntos que A por lo cual D debe ir a la izquierda de A (-)

(+)

D

A

B

Después tenemos que C obtuvo más puntos que E, por lo cual C debe ir a la derecha de E, pero todavía no conocemos la ubicación de ambos con respecto al resto del grupo. (-) D

ORDENAR DE MANERA CRECIENTE O DECRECIENTE

(+)

A

(+) A

E

C

B

Finalmente el problema dice que E, obtuvo más puntos que B, por lo cual E debe ubicarse a la derecha de B y por consiguiente llevarse a C aún más a la derecha. Por lo tanto la ubicación final será. (-) D

(+) A

B

E

C

Por lo tanto respuesta será C. Nota: En este tipo de problemas, se debe tener presente, que a veces, los datos no son suficientes para poder ubicar totalmente el orden de los mismos. En esos casos se debe recordar que para que se pueda afirmar que una respuesta es verdadera, esta debe ser necesariamente verdadera, de lo contrario la afirmación no es correcta.

ORDENAR POR POSICIÓN DE DATOS Para resolver los problemas de este tipo, no hay una norma general, si no más bien depende de lo que esté enunciado en el problema, es decir que se debe representar gráficamente lo que está tratando de ubicar. Por ejemplo: Se tiene una casa de cuatro pisos y en cada piso. Vive una familia. La familia Castilla vive un piso más arriba que la familia Muñoz. La familia Fernández habita más arriba que la familia Díaz y la familia Castilla más abajo que la familia Díaz. ¿En que piso vive la familia Castilla? Solución: En primer lugar, dibujaremos la casa de cuatro pisos 4 3 2 1 La primera premisa dice que la familia Castilla vive un piso más arriba que la familia a Muñoz (exactamente un piso) por lo cual, tenemos tres ubicaciones posibles: 4 3 2 1

C M

C M

C M

Luego, el problema dice que la famili a Fernández vive más arriba que la familia Díaz (más arriba no es lo mismo que un piso más arriba) por lo cual podremos completar las tres distribuciones posibles: 4 3 2 1

F D C M

F C M D


C M F D

Por último el problema dice que la familia Castilla vive más abajo que la familia Díaz, por lo cual la segunda y tercera distribución quedan descartadas, siendo el orden correcto: 4 3 2 1

F D C M

Por lo tanto la respuesta será en el segundo piso. Nota: Es importante acostumbrarse a trabajar analizando todas las distribuciones posibles, ya que puede ocurrir que al final exista más de un orden que cumpla con los datos del problema. RELACIONAR DATOS ENTRE SÍ La mejor forma de enfrentar los problemas en que se nos pide relacionar diversos datos entre sí (como pueden ser personas con su ocupación, gustos, deportes, lugar donde viven o donde estudian, etc.) es haciendo un cuadro, en el cual podamos ir marcando las deducciones que vamos haciendo. Igual que en el caso anterior, se recomienda buscar para comenzar, aquella premisa que nos da información que podamos colocar directamente. Por ejemplo: Tres amigos con nombres diferentes, tiene cada uno un animal diferente. Se sabe que. - El perro y el gato se peleaban. - Jorge le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario. - Julio le dice a Luis que su hijo es veterinario. - Julio le dice al dueño del gato que éste quiso comerse al canario. ¿Qué animal tiene Luis?

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Para comenzar a resolver el proble ma, observamos que tendremos que relacionar dos cosas; nombres y mascotas para lo cual prepararemos un cuadro de la siguiente manera: Perro

Gato

El cuadro quedará como sigue:

Canario

Jorge Julio Luis La primera premisa sólo sirve para saber que hay un gato y un perro. La segunda premisa permite deducir que Jorge no es el dueño del gato ni del canario, por lo cual marcaremos con una X los casilleros correspondientes a Jorge con el gato y Jorge con el canario. Esto nos deja sólo una opción para Jorge, que es la de ser dueño del perro. Al mismo tiempo y ya que Jorge es el dueño del perro podemos descartar a Julio como dueño del perro y a Luis como dueño del perro. El cuadro quedaría como sigue: Perro

Gato

Canario

Jorge

O

X

X

Julio

X

Luis

X

NOTA: Debemos acostumbrarnos a que al descubrir un dato, podemos descartar toda la fila y toda la columna correspondiente al casillero descubierto. La tercera premisa sólo sirve para saber que los otros amigos son Julio y Luis. La cuarta premisa nos permite deducir que Julio no es el dueño del gato, por lo cual debemos marcar con una X el casill ero correspondiente a Juli o con el gato. Por www Matematica pe

descarte en el cuadro, Julio debe ser el dueño del canario, y al tachar la columna correspondiente, sólo queda que. Luis es el dueño del gato.

Perro

Gato

Canario

Jorge

O

X

X

Julio

X

X

O

Luis

X

O

X

Por lo tanto la respuesta será: Luis es el dueño del gato. PROBLEMAS RESUELTOS Enunciado No.1 De una conversación de docentes, se dedujo las siguientes condiciones: I. Los profesores son: Lino, Cesar y Valentín. II. Sus ocupaciones: Ingeniero, Abogado y Médico. III. El Ingeniero es mayor que el Sr. Valentín. IV. El señor Lino y el Abogado proceden de Alemania. El otro docente procede de México. V. ElMédicoes más jovenqueel profesor Lino. VI. El señor Cesar y el Médico estándialogando. 01.El nombre del Ingeniero es: a) Lino

b ) Cesar

c) Valentín

02.La ocupación del señor Cesar es: a) Ingenie ro b) Médico

c) Abogado

03.El nombre del Ingeniero y del Médico es: a) Cesar – Valentín c) Cuba – Lino e) N.a.

b) Lino – Cuba d) Lino – Valentín

Solución Vamos a construir una tabla de doble entrada, donde figuran los apellidos de los tres profesores y sus ocupaciones. Así: Ocupación. Ingeniero Abogado Médico Apellidos Lino César Valentín Analizando las condiciones anteriores de la siguiente manera, tenemos: a. Cuando no cumple la relación nombre ocupación marco con un aspa (x), el recuadro de la tabla. b. Cuando la relación nombre - ocupación cumple, sombreo el rectángulo. Luego: Según Condición III: El Ingeniero es mayor que el señor Valentín. Esto significa que Valentín no es Ingeniero. Marco (x). Según Condición IV: El señor Lino y el Abogado proceden de Alemania. Esto significa que el señor Lino no es abogado. Marco (x). Según Condición V: El Médico es más joven que el señor Lino. Esto nos indica que el señor Lino no es Médico. Marco (x). Según Condición VI: El señor Cuba y el Médico están dialogando. Esto me indica que el señor Cuba no es Médico. Marco (x).

La identificación es la siguiente: - Lino es Ingeniero - Cesar es Abogado - Valentín es Médico Enunciado Nº 02:

Julio, Juan y Roberto son tres amigos cuyas profesiones son: Abogado, Profesor y Médico. Juan le dice al Abogado que el Médico está alegre y Julio le dice al Abogado que tiene sed, entonces puede decirse que: a) Juan es Médico, Roberto es Abogado y Julio es Profesor. b) Juan es Abogado, Roberto es Médico y Julio es Profesor. c) Juan es Profesor, Roberto es Abogado y Julio es Médico. d) Juan es Profesor, Roberto es Médico y Julio es Abogado. e) Juan es Médico, Roberto es Profesor y Julio es Abogado. 04.El nombre del Abogado es: a) Julio

b) Roberto

c) Julio

05.La ocupación del señor Julio es: a) Profesor b) Médico

c) Abogado

06.El nombre del Profesor es: a) Julio

b) Roberto

c) Juan

Por lo tanto, el cuadro estará elaborado de la siguiente manera:

Solución: Construyendo la tabla de doble entrada, ubiquemos los nombres y profesiones de los tres amigos:

Ocupación Ingeniero Abogado Médico Apellidos Lino X X César X X Valentín X X

Profesión Abogado Amigos Julio Juan Roberto


Profesor

Médico

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Analizando las condiciones del problema:

a) Moisés c) Henry

 Juan le dice al Abogado que el Médico está

alegre. La deducción es que Julio no es Abogado ni Médico (Marco X), quiere decir que Juan es Profesor sombreando en la tabla.  Julio le dice al Abogado que tiene sed. Deducimos que Julio no es Abogado porque está hablando con el Abogado. Marco (x). La tabla quedará de la siguiente manera: Profesión Abogado migos Julio X Juan X Roberto

Profesor

Médico

X X

X X

La identificación es la siguiente:  Julio es Médico.  Juan es Profesor.  Roberto es Abogado.

Enunciado No. 3: Son cuatro personas: Moisés, Henry, Antonio y Pilar. Sus profesiones: Ingeniero, Médico, Abogado y Profesor. Residen en Lima, Huancayo, Ica y Chimbote. I. Antonio no vive en Huancayo, ni tampoco en Ica. II. El Médico reside en Lima. III. Pilar no reside en Lima. IV. Moisés vive en Chimbote. V. Pilar es Ingeniero VI. El Abogado vive en Huancayo. 07.¿Qué profesional vive en Chimbote? a) Médico b ) Abogado c) Ingeniero d) Profesor 08.El que vive en Ica es: www Matematica pe

b) Antonio d) Pilar

 Moisés vive en Chimbote y es Profesor.  Henry vive en Huancayo y es Abogado.  Antonio vive en Lima y es Médico.  Pilar vive en Ica y es Ingeniero.

09.El nombre del Médico es: a) Henry c) Pilar

b) Antonio d) Moisés

Enunciado No. 4:

Solución: Analizando: Según condición V: Moisés vive en Chimbote, sombreamos Chimbote. Luego marcamos con X su columna y fila. Según condición I: Antonio no vive en Huancayo, ni tampoco en Ica. Entonces, marcamos con X y sombreamos AntonioLima. El cuadro queda de la siguiente manera:

Según condición IV: Pilar es Ingeniero. Según condición VI: El abogado vive en Huancayo. Conclusión: Como Pilar es Ingeniero y el Abogado vive en Huancayo decimos que Pilar vive en Ica. Sombreo Pilar – Ica. El nuevo cuadro quedará así: Henry Antonio Pilar X X X

X X X

I. Alfredo y Aurora no se llevan bien. II. Enrique es amigo de María y su enamorada es Rosario. III. Aurora es amiga de Moisés y Enrique. IV. Alfredo quiere a María, pero no a Pilar. 10. ¿Quién es el enamorado de Pilar?

Personas Moisés Henry Antonio Pilar Residen. Lima X X X Huancayo X X Ica X X Chimbote X X X

Personas. Moisés Residen. Lima X Huancayo X Ica X Chimbote La identificación es:

En una fiesta social están Pila r, Aurora, Rosario y María. Los nombres de sus enamorados, pero no en el mismo orden: Moisés, Jorge, Enrique y Alfredo. Se sabe que:

X X X

a) Jorge c) Enriq ue

b) Moisés d) Alfredo

11. ¿Quién es la enamorada de Enrique? a) Pilar c) Rosario

b) Aurora d) María

Solución: En la tabla que vamos a construir marcamos con una X cuando no se cumple la relación enamorados y sombreamos cuando se cumple. Analizando: Según condición I: Alfredo y Aurora no se lle van bien. Esto significa que no son enamorados. Marco (X). Según condición II: Enrique es amigo de María y su enamorada es Rosario. Entonces, sombreamos la relación Enrique - Rosario y coloco un aspa (X) en su fila y columna. Según condición III: Aurora es amiga de Moisés y Enrique, esto significa que Moisés y Aurora no son enamorados por lo tanto a esa www youtube com/Matematica1com

relación le coloco un aspa (X) y sombreo Jorge - Aurora. Hasta aquí la tabla queda como sigue: Enamoradas. Pilar Aurora Rosario María Residencia Moisés X X Jorge X X X Enrique X X X Alfredo X X Según condición IV: Alfredo quiere a María pero no a Pilar. Esto indica que Alfredo es enamorado de María sombreo casille ro Alfredo-María. Además marcamos un aspa (X) en su fila y su colu mna. Conclu yendo que Moisés es enamorado de Pilar. El tablero final es como sigue: Hasta aquí la tabla queda como sigue: Enamoradas. Pilar Residencia Moisés Jorge X Enrique X Alfredo

Aurora Rosario María X

X X

X X

X X

X

Identificamos:  Moisés es enamorado de Pilar.  Jorge es enamorado de Aurora.  Enrique es enamorado de Rosario.  Alfredo es enamorado de María.

Enunciado No. 5: Alejandro es mayor que Carlos y éste es mayor que Roberto.

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 La primera colocamos a la derecha de la

12.¿Qué relación existe entre Alejandro y Roberto?

segunda.  La segunda y tercera coinciden porque tienen la misma edad.  La tercera se coloca a la derecha de la cuarta.  La cuarta y quinta coinciden porque tienen la misma edad.

a) Alejandro es igual b) Roberto es mayor c) Carlos es menor d) Son iguales e) No se sabe Solución: Se recomienda ubicar a las personas en una recta, colocando el mayor a la derecha y el menor a la izquierda. Así: Alejandro Carlos Roberto

Conclusión: La primera es mayor que todas. Enunciado No. 7: Se tiene una casa de cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia Urbina vive un piso más arriba que la familia Vásquez. La familia Zald ívar habita más arriba que la familia García y la familia Urbina, más abajo que la familia García.

Enunciado No. 6 De cinco alumnas del Plantel, la primera es mayor que la segunda, ésta tiene la misma edad que la tercera; la tercera es mayor que la cuarta y ésta tiene la misma edad que la quinta. 13. ¿Cuál de ellas es mayor que las cuatro? b) Cuarta e) Primera

c) Tercera

Solución: Graficando: 3° 4°

a) Cuarto c) Tercero

b) Segundo d) Primero

15. ¿En qué piso vive la familia García?

5° 2°

 V < U < G en (b)

Se tiene: Z > G  G < Z juntando V < U < G y G < Z Entonces: V < U < G < Z. El orden de las familias lo ubicamos en un cuadrilátero que representa a la casa de cuatro pisos. 4º piso 3º piso 3º piso 1º piso

F. Zald ívar F. García F. Urbina F. Vásquez

14. ¿En qué piso vive la familia Urbina?

Como Alejandro se encuentra más a la derecha que todos entonces, afirmamos que es el mayor:

a) Quinta d) Segunda

V
1°

a) Cuarto c) Tercero

b) Segundo d) Primero

Solución: Analizando las condiciones: La familia Urbina vive un piso más arriba que la familia Vásquez. Vamos a simbolizar con (>) entonces: Vásquez < Urbina.  La familia Zaldívar habita más arriba que la familia García. Simbolizando: Zaldívar > García.  La familia Urbina más abajo que la familia García. Simbolizando: < García. Ahora en resumen tenemos: 

a) V < U ;

b) Z > G ;

c) U < G

PRÁCTICA DE CLASE 01.Benito es más alto que Daniel pero más bajo que Abel. Germán es más bajo que Enrique y este a su vez es más bajo que Carlos. Benito es más alto que Enrique y Fernando más bajo que Enrique. Entonces: a) Fernando es el más bajo. b) Carlos es más alto que Abel. c) Benito es más alto que Germán d) Daniel es más alto que Germán e) Abel es más alto que Fernando. 02. F; H; I; J; K; L; M y N han hablado, pero no necesariamente en ese orden. Sólo una persona habló a la vez. F habló después de L y demoró más tiempo que H. I habló antes que M y después que H y demoró menos que K, J habló después de N y antes que H y tomó menos tiempo que N y más tiempo que K, N habló después de F

Tomando (a) y (c) se tiene: www Matematica pe

y tomó menos tiempo que H. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) F fue el segundo en hablar y el tercero en cuanto a tiempo que tomó para hablar. b) H habló antes que I y tomó más tiempo que N. c) I habló último y fue el que se demoró menos. d) J habló después de M y tomó menos tiempo que F. e) N habló después de L y tomó más tiempo que F. 03.En una carrera participan tres parejas de esposos: los Díaz, los Rojas y los Pérez. Se sabe que: - Los esposos llegaron antes que sus respectivas esposas. - La Sra. Pérez llegó antes que el Señor Díaz - El Sr. Rojas no llegó primero y fue esperado por una dama. - La Sra. Díaz llegó quinta, justo después de su esposo. ¿En que posición llegaron el Sr. y la Sra. Rojas, respectivamente? a) 4 – 6 d) 6 – 3

b) 3 – 6 e) 2 - 4

c) 3 – 4

04. Tres amigos: Fidel, Pedro y Abel se fueron a conocer Piura, Arequipa y Cuzco, se sabe que: Abel conoce toda la costa, mientras que Fidel se fue al sur. ¿A dónde fue Pedro? a) Piura b ) Tacna c) C uzco d) Arequipa e) Ica 05.Tres amigos, Antonio, Bruno y Carlos, estudian en la UNI, Villarreal y Católica, pero no en ese orden, se sabe que: - Antonio no conoce la Católica.


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¿En que Universidad estudia Bruno? a) UNI b) Villa real d) San Marcos e) F.D.

c) Católica

06.Tres personas, Juan, Pedro y David estudian en tres universidades X, Y y Z. Cada uno de los tres estudia una carrera diferente, A, B o C. Juan no está en X y David no está en Y. El que está en X no estudia A. El que está en Y estudia B. David no estudia C. ¿Qué estudia Pedro y donde? a ) B en Y d) C en X

b ) A en Z c) C en Z e) No se puede determinar

07.César, Luis y Miguel, forman pareja con Marta, Elsa y Liliana, que tienen profesiones de enfermera, secretaria y profesora. Luis es cuñado de Marta que no es enfermera. Miguel fue con la profesora al matrimonio de Elsa. Hace dos años, Liliana peleó con Luis y desde entonces es secretaria. ¿Quién es la pareja de Luis y cuál es su profesión? a) Elsa, enfermera. c) Elsa, profesora. e) Elsa, s ecretaria.

b) Liliana, secretaria d) Liliana, enfermera.

08.Cuatro amigos Suárez, Antúnez, Miranda y Zevallos, tienen ocupaciones distintas, electricista, zapatero, proyectis ta y cobrador; y viven en cuatro sitios diferentes, Lima, Magdalena, Pueblo Libre y Barranco. El ele ctricista vive en www Matematica pe

Magdalena, Zevallos es proyectista. El cobrador no conoce Barranco. Ni Zevallos ni Miranda viven en Lima y Suárez vive en Barranco. ¿En donde vive el proyectista? a) Magdalena c) Lima e) No se puede.

b) Pueblo Libre d) Barranco

09.Un choque en cadena de 6 carros es originado por una imprudente parada de Susan que tiene carro azul, el auto blanco de Sonia está adyacente al de Clara y Bárbara. Andrea no tiene carro azul y chocó a Clara. Un carro rojo chocó a Andrea. Sabiendo que hay 2 carros rojos, 2 azules, uno blanco y uno verde, y que los colores no son seguidos. Hallar el tercer auto que choca y su chofer. a) Sonia – blanco c) Clara – rojo e) Sonia – verde

b) Andrea – azul d) Cla ra – azul

10. Sobre una mesa hay tres naipes en hilera. A la izquierda del rey hay un as, a la derecha de la jota hay uno de diamantes, a la izquierda del de diamantes hay uno de tréboles, a la derecha del de corazones hay una jota. ¿Cuál es el naipe del medio? a) Rey de tréboles b) As de tréboles c) Jota de diamantes d) As de diamantes e) Jota de tréboles

11.En un consultorio hay 3 revistas: S, P. H, puestos de tal manera que H está al centro. Estas tres revistas son: una peruana, una chilena y una argentina. Una se especializa en Deporte, otra en moda y la tercera en Humor.

-

La argentina está inmediatamente a la derecha de la de modas. A la derecha de la chilena está la de deportes. A la derecha de P está la peruana. H está a la izquierda de la argentina.

Entonces: a) La peruana es P y es de Humor b) La argentina es P y es de Humor c) La peruana es S y es de deportes d) La argentina es S y es de deportes e) La chilena es H y es de deportes 12.Ocho personas se encuentran formando cola en un cine. Todas están mirando hacia la ventanilla, una detrás de la otra. Cada persona usa un s ombrero de un color y puede ver los colores de los sombreros que usan las personas que están delante de él, pero no de los que están atrás de él ni el suyo propio. Lógicamente, la primera persona no puede ver ningún sombrero. Cada uno de la línea sabe que en el grupo hay 5 sombreros azules, 2 rojos y uno verde; que la sexta persona en la cola usa un sombrero rojo y que no es posible que dos personas consecutivas usen sombreros rojos. Si la octava persona en la fila usa un sombrero verde, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? I. La sétima persona usa un sombrero azul. II. La cuarta persona puede ver un sombrero rojo. III. La sexta persona puede ver un sombrero rojo. a) Sólo I d) II y III

b) Sólo II e) Todas

c) I y III

13. Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda en la que hay cuatro sillas www youtube com/Matematica1com

distribuidas simétricamente. Si sabemos que: -

Juan se sienta junto y a la derecha de Luis. Pedro no se sienta junto a Luis. José está muy entretenido observando como los otros tres discuten.

Según esto podemos afirmar: a) José y Juan se sientan juntos. b) Luis y José no se sientan juntos. c) No es cierto que José y Juan no se sientan juntos d) Pedro se sienta junto y a la derecha de José. e) Pedro se sienta junto y a la derecha de Juan. 14. Se sabe que: - Sonia no es más baja que Liliana. - Pilar es más alta que Sonia. - Milka es más baja que Catalina. - No es cierto que Karina, sea más alta que Sonia. - Sonia es más baja que Catalina. Se afirma que: a) b) c) d) e)

Liliana es la más alta. Catalina es la más alta. Milka es más alta que Sonia. Liliana es más baja que Catalina. No es cierto que Pilar sea más alta que Karina.

15. Jorge es mayor que Juan, pero menor que Jacinto, Jesús es menor que Jorge y mayor que Julio, José es mayor que Jorge, se afirma que: a) No es cierto que José sea mayor que Julio. b) José es mayor que Jacinto.

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c) No es cierto que Juan sea menor que José. d) Jesús es menor que Juan. e) Jacinto es mayor que Julio. 16. Julia está al Noreste de Molly. Dora está al Sureste de Santos y al Este de Molly. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? a) b) c) d) e)

Dora está al suroeste de Julia. Julia está al noreste de Molly y Dora. Molly está al oeste de Dora. Molly está al este de Dora. Ninguna de las anteriores.

17.La calle S es parale la a la calle D y perpendicular a la calle C; la calle D es paralela a la calle S y perpendicular a la calle E. Luego: a) b) c) d) e)

La calle S es paralela a la calle C. La calle D es perpendicular a la calle S. La calle S es paralela a la calle E. La calle E es paralela a la calle D. La calle C es paralela a la calle E.

18. El hijo de Roberto es el padre de mi hijo. ¿Qué parentesco me une a mí con Roberto? a) Yo soy Roberto c) Soy su padre e) Soy su hijo

b) Soy su nieto d) Soy su abuelo

19.En una familia se puede contar los siguientes miembros: Un padre, una madre, un tío, una tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina, dos primos. ¿Cuál es el menor número posible de integrantes? a) 7 d) 4

b) 6 e) 3

c) 5

20.Un matemático, un Estadístico y un Profesor, tienen cada uno un hijo, cuando estos jóvenes ingresaron a la Universidad www Matematica pe

de Trujillo, decidie ron no estudia r la carrera de su padre, sino la carrera de uno de los dos amigos de su padre. Si se sabe que el estadístico se llama Raúl y que el hijo de Víctor quiere ser profesor. ¿Qué profesión tiene Víctor y que carrera quiere seguir el hijo de Arturo? a) Víctor es Matemático y el hijo de Arturo quiere ser Matemático. b) Víctor es Estadístico y el hijo de Arturo quiere ser Estadístico. c) Víctor es Estadístico y el hijo de Arturo quiere ser Profesor. d) Víctor es Matemático y el hijo de Arturo quiere ser Estadístico. e) N.a.

b) c) d) e)

Dora; Ana; Beatriz; Elsa; Cesar Beatriz; Dora; Ana; Elsa; Cesar Ana; Dora; Beatriz; Cesar; Elsa Ana; Dora; Beatriz; Elsa; Cesar

a) Fernández b) Díaz d) Montoya e) N.A.

Si se sabe que Jorge es mayor que Martín y que Pedro, pero esté último es mayor que Javier y que Manuel. Martín es mayor que Javier y menor que Manuel.

ENUNCIADO Nº 01 En un examen Ana obtuvo menos puntos que Beatriz; Dora menos puntos que Ana y Cesar más puntos que Elsa. Si Elsa obtuvo más puntos que Beatriz. 01.¿Quién obtuvo el puntaje más alto? a) Ana d) Cesar

b) Beatriz e) Els a

c) Dora

02.¿Quién obtuvo el menor puntaje? a) Ana b ) Beatriz c) Dora d) Cesar e) Els a 03.¿Quién obtuvo el segundo puntaje más alto? a) Ana d) Cesar

b) Beatriz e) Els a

c) Dora

04.Indicar el orden de menor a mayor según sus puntajes obtenidos de cada alumno

c) Castro

10.¿Qué familia vive en el primer piso?

ENUNCIADO Nº 02

c) Castro

11.¿En qué piso vive la familia Díaz? a) Primer piso b) Segundo piso c) Tercer piso d) Cuarto piso e) N.a.

05.¿Quién es mayor que todos? a) Jorge d) Javier

b) Martín e) Manuel

c) Pedro

06.¿Quién es menor que todos? EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02

a) Fernández b) Díaz d) Montoya e) N.A.

a) Jorge d) Javier

b) Martín e) Manuel

c) Pedro

07.¿Quién es mayor que todos, después de Jorge? a) Manuel d) Javie r

b) Martín e) a y c

c) Pedro

08.Cual será el orden de mayor a menor, según sus edades a) Jorge; Manuel; Javier; Pedro; Martín b) Jorge; Manuel; Pedro; Martín; Javier c) Jorge; Pedro; Manuel; Martín; Javier d) Pedro; Jorge; Manuel; Martín; Javier e) Jorge; Manuel; Pedro; Javier; Martín ENUNCIADO Nº 03 Se tiene una casa de cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia Fernández habita más arriba que la familia Díaz; la familia Castro vive un piso más arriba que la familia Montoya y más abajo que la familia Díaz. 09.¿Qué familia vive en el cuarto piso?

a) Ana; Beatriz; Dora; Cesar; Elsa www youtube com/Matematica1com

ENUNCIADO Nº 04 Se reúnen 4 amigos de promoción: Un Médico, un Abogado, un Cerrajero y un Mozo. Los nombres de los amigos son: Pedro, Julio, Carlos y Luis aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que:       

El más joven de todos es el Abogado. El cerrajero es millonario. Sólo Pedro y Luis pudieron seguir estudios Superiores. Carlos vive en una gran soledad y es el más pobre de todos. El Médico reside en Madrid y su profesión le permite vivir cómodamente. Julio es el mayor de todos los amigos. Pedro nunca ha salido del país.

12.¿Cuál de los amigos es Médico? a) Carlos b) Pedro c) Julio d) Luis e) No se sabe 13.¿Cuál es el nombre del Abogado? a) Pedro d) Luis

b) Carlos e) N.a.

c) Julio

14.Julio es: a) Abogado b) Cerrajero c) Médico d) Mozo e) Cerraje ro y Mozo

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15.Carlos es: a) Abogado b) Cerrajero c) Médico d) Mozo e) Cerraje ro y Mozo ENUNCIADO Nº 05 En una reunión se encuentran un carpintero, un escritor, un sastre y un maestro. Llevan por nombre: Carlos, Enrique, Jorge y Gerardo aunque no necesariamente en ese orden. Sabemos además que:

a) b) c) d) e)

La ciudad A está al Sur de la ciudad C. La ciudad B está al Sur de la ciudad C. LaciudadA está al Suroestede laciudad C. La ciudad C está al Sur de la ciudad B. La ciudadC está al Oeste dela ciudadB. TAREA DOMICILIARIA

    

Carlos y el carpintero están enojados con Gerardo. Enrique es amigo del maestro. El escritor es familiar de Gerardo. El sastre es vecino de Jorge y del maestro. Carlos hace años vive editando libros.

16.El confeccionista de ropa tiene por nombre: a) Carlos d) Gerardo

b) Enrique e) N.A.

c) Jorge

a) carpintero b) escritor d) maestro e) N.A.

c) sastre

18. El nombre del carpintero es: b) Enrique e) Juan

c) Jorge

19. Ángela está al Noreste de Betty, Carolina está al Sureste de Ángela y al Este de Betty. La respuesta correcta es: a) Ángela está al Noreste de Betty y Carolina. b) Betty está al Oeste de Carolina. c) Betty está al Este de Carolina. d) Carolina está al Suroeste de Ángela. e) N.a. www Matematica pe

01.Seis Amigos viven en un edificio de tres pisos, en el cual hay dos departamentos por cada piso. Sabiendo que: -

Víctor y Jorge viven en el mismo piso. La casa de Romel se encuentra más abajo que la casa de Víctor. Para ir de la casa de Carlos a la casa de Oscar hay que bajar dos pisos. El sexto amigo es Luis. ¿En qué piso vive Luis?.

a) Primer piso c) Tercer piso e) N.a.

17. Carlos tiene la profesión de:

a) Carlos d) Gerardo

Humberto y el profesor de Psicotécnico son amigos en común con el profesor de Razonamiento Matemático.  El único amigo de Wilson es Humberto. 

20. La ciudad E se encuentra al Noreste de la ciudad A; la ciudad C se encuentra al Este de la ciudad B y al Noreste de la ciudad A. Luego:

b) Segundo piso d) SegundopisoconVíctor

02.María es más alta que Tina y más gorda que Nora, Nora es más alta que Sara y más delgada que Tina. Si Sara es más baja que María y más gorda que Tina. ¿Quién es más alta y más delgada que Sara? a) María b) Nora c) Tina d) María o Nora e) N.a. 03.Pipo es más alto que Papo, pero más bajo que Percy. Percy es más bajo que Tuco. ¿Cuál es la proposición correcta? a) b) c) d) e)

Tuco es el más bajo que todos Papo es más alto que Percy Pipo es más alto que Percy Papo es más alto que Tuco. N.a.

04.La ciudad A se encuentra a 100 km al norte de la ciudad B y a 60 km al este de C. La ciudad D está situada a 80 km al sur de A. E está a 40 km al Oeste de B. ¿Cuál es la afirmación correcta? a) b) c) d) e)

B está al Sur-Oeste de C C está al Nor-Este de D E está al Sur-Este de A D está al Sur-Oeste de E E está al Sur-Oeste de D

05.La edad de Rosa es la mitad de la edad de Eva. La edad de Iris es el doble de la de Eva. Luego: a) Rosa tiene tres veces la edad de Iris. b) Eva tiene el cuádruplo de la edad deRosa c) La edad de Rosa es la cuarta parte de la edad de Iris d) La edad de Iris es la mitad de la edad de Rosa. e) N.a. 06.Polo y Pilar poseen la misma cantidad de dinero, pero Pablo tiene más dinero que Rita y Rita más que Elmer. Martín tiene más dinero que Elmer pero menos que Pablo, no tanto como Rita. De esas afirmaciones se deduce que: a) Elmer es más rico que Pilar b) Rita es más pobre que Martín c) Polo es más rico que Elmer d) Martín tiene lo mismo que Polo e) El más rico es Pablo Razonamiento Verbal, Aritmética, Razonamiento Matemático y Psicotécnico son 4 materias que se dictan en la Academia “Integral”. Los profesores encargados son: Wilson, Juan, Roberto y Humberto. Roberto es amig o del profesor de Razonamiento Matemático.  El profesor de Aritmética no conoce a Juan ni al que dicta Psicotécnico. 


07.¿Cuál es el nombre del que dicta Razonamiento Verbal? a) Wilson d) Humberto

b) Juan e) N.a.

c) Roberto

08. Aritmética es dictada por el profesor: a) Wilson d) Humberto

b) Juan e) N.A.

c) Roberto

09. Entonces: a) Humberto dicta Razonamiento Matemático. b) Roberto dicta Aritmética. c) Wilson dicta Psicotécnico. d) Juan dicta Razonamiento Matemático e) N.a. 10.Si José es cuñado de Manuel y Manuel es sólo hermano de Josefa, entonces: a) b) c) d) e)

Manuel es cuñado de José. José es cuñado de Josefa. José es el esposo de Josefa. Manuel es hermano de José. N.a.

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HABILIDADES PARA RESOLVER

Verificación:

Ciertos tipos de problemas requieren ser resueltos de una forma muy especial, es decir saber analizar una situación matemática y luego procesar los datos para llegar a la solución utilizando los conocimientos básicos de las cuatro operaciones como son la suma, la resta, la multiplicación y la división.

El resultado obtenido lo comprobamos: Según ( 1 ) : n + 5 = m 

18 + 5 = 23

TIPO I En este tipo de situaciones problemáticas, se requiere utilizar los datos para calcular el Valor inic ial, es decir se operará en el orden contrario a las operaciones efectuadas empezando con el valor final hasta determinar al valor inicial. Ejemplo: Si a la edad actual de Norma se le suma 5 años y a este resultado se le multiplica por 2, se obtiene 46 años. ¿Cuál es s u edad actual? Solución: Edad Actual de Norma = n Operaciones según el problema: n + 5 = m ............. (1) m ( 2 ) = 46 .............. (2) Luego, desarrollando tenemos: Si : m ( 2 )= 46

46 : 2 = m m = 23

Si : n + 5 = m

23 :- 5 = n n = 18

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Luego, reemplazamos el valor de b en (1)

Por otra parte al suponer que todos los pasajeros son adultos, se ha cometido un error unitario de:

a ( 3 ) = b  1 20 + 3 = a  a = 40

E u = S/. 8 - S/. 5 = S/. 3

Según ( 2 ) : m ( 2 ) = 46 

A continuación presentamos diferentes tipos de situaciones matemáticas:

E t = S/. 520 – S/. 445 = S/. 75

23 ( 2 ) = 46 TIPO II

Luego el número de niños (N) que viajaron, se obtiene mediante la fórmula respectiva: N = E t / Eu = 75 / 3 = 25 niños

Este método consiste en suponer un resultado como verdadero, luego determinar el error total ( Et ) cometido; a continuación calcular el error unitario ( Eu ); entonces el número de objetos ( N ) está dado por la siguiente relación: Et N  Eu

Ejemplo: En un ómnibus interprovincial viajan 65 pasajeros entre niños y adultos. Si el pasaje de cada adulto es S/. 8 y S/. 5 el de un niño, ¿cuántos niños viajaron, si el total de la recaudación fue de S/. 445? Datos: Total de pasajeros Total de recaudación Pasaje de cada adulto Pasaje de cada niño Total de niños

: : : : :

65 S/. 445 S/. 8 S/. 5 N

Solución:

02.Si a la cantidad que tienes lo aumentas seis, luego a este resultado le divides por 2 y finalmente lo disminuyes 4 para obtener 1. ¿Cuál era tu cantidad inicial? a) 4 d) 5

b) 6 e) N.a.

c) 3

Solución: PROBLEMAS RESUELTOS 01.Si a la cantidad que tienes lo multiplicas por tres, luego a este resultado le restas 18 y finalmente lo divides entre 6 para obtener 17. ¿Cuál era tu cantidad inicial? a) 40 d) 50

b) 60 e) N.a.

c) 30

Cantidad inicial = a Operaciones directas s egún el enunciado del problema: (1) (2) (3)

Desarrollamos ecuación (3):

Vamos a suponer que los 65 pasajeros son adultos, entonces la recaudación seria:

Si: c + 6 = 17  17 ( 6 ) = c  c = 102

65 x S/. 8 = S/. 520

Luego, reemplazamos el valor de c en (2)

Pero el total de la recaudación es sólo S/. 445, entonces el error total cometido es:

b – 18 = c  102 + 18 = b  b = 120 www youtube com/Matematica1com

a + 6= b b = c 2 c - 4= 1

(1) (2) (3)


Solución:

a(3) = b b - 18 = c c + 6 = 17

Cantidad inicial = a Operaciones directas s egún el enunciado del problema:

Si: c - 4 = 1

 c = c

Luego, reemplazamos el valor de c en (2) b = c  2

2(5) = b

 b = 10

Luego, reemplazamos el valor de b en (1) a + 6 = b  10 - 6 = a  a = 4 03.Si a la cantidad que tienes lo multiplicas por 4, luego a este resultado le restas 60, luego a este resultado le divides por 2 obtenie ndo 50. ¿Cuál era tu cantidad inicial? a) 40 d) 50 Solución:

b) 60 e) N.a.

c) 30

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Cantidad inicial = a Operaciones directas según el enunciado del problema:


b – 2 = c  23 + 2 = b  b = 25

Si :

a (4) = b b - 60 = c c = 1

Luego, reemplazamos el valor de d en (3)

Luego, reemplazamos el valor de b en (1) a2 = b  25 = a  a = 5

(1) (2) (3)

2

Desarrollamos ecuación (3): Si :

c = 50 2

d = 5

c + 2 = d  25 - 2 = c  c = 23 Luego, reemplazamos el valor de c en (2) b - 7 = c  23 + 7 = b b = 30 Luego, reemplazamos el valor de b en (1)

 100 = c

a (3) = b 

30

b - 60= c  100 + 60 = b  b = 160 Luego, reemplazamos el valor de b en (1) a (4) = b  160 = a

04.Si a la cantidad que tienes lo multiplicas por 3, se le diminuye 7, a este resultado le aumentas 2, luego a este resultado le sacas las raíz cuadrada, quedándome con 5 . ¿Cuál será la cantidad inicial? b) 20 e) N.a.

c)10

b) 6 e) N.a.

a2 b - 2 c (4)

= = = =

b c d 46

(1) (2) (3) (4)


Cantidad inicial = a Operaciones directas según el enunciado del problema: = = = =

b c d 5

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(1) (2) (3) (4)

Si : d = 46  2

Luego, reemplazamos el valor de d en (3) 42

a) 10 y 30 d) 15 y 20

 c = 23


b) 10 y 20 e) 20 y 15

a) 15 d) 21

Vamos a suponer que trabajó los 30 días cuidando su casa, por lo cuál recibiría:

E t = S/. 450 – S/. 400 = S/. 50 Por otra parte, el error unitario de lo que recibe por día es: E u = S/. 15 – S/. 10 = S/. 5

c) 19

Vamos a suponer que todos los animales son conejos, por lo cual habrá 60 : Luego el total de extremidades será: 60 x 4 = 240 extremidades Pero solamente hay 204, entonces hay un error total de: E t = 240 – 204 = 36 Por otra parte, el error unitario es decir la disminució n de extremidades por el cambio de un conejo por una gallina será de: Eu = 4– 2 = 2

30 x S/. 15 = S/. 450 Pero él solamente recibe S/. 400, entonces hay un error total de:

b) 7 e) N.a.

Solución:

c) 20 y 10

Solución:

Entonces el número de días que trabajo cuidando la huerta fue: N 

Et Eu



36  N  18 gallinas 2

Luego, el número de conejos será: 60 - 18 = 42 conejos.

Entonces el número de días que trabajo cuidando la huerta fue: N 

96 = d

c (4) = d  92 = c

06.Un policía de vigilancia durante 30 días trabaja para el Sr. NEISER, resguardando su casa y huerta. Por cuidar su casa recibe S/. 15, cada día y por cuidar su huerta S/. 10. Sí recibió al final S/. 400, ¿cuántos días trabajó vigilando su casa y cuántos cuidando su huerta?

c)3

Solución: Cantidad inicial = a Operaciones directas según el enunciado del problema:

d 2

Solución:

a (3) b - 7 c+ 2 d

 a = 10

05.A un número se le eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 2, y cuya diferencia se multiplica por 4, luego a este resultado le divide entre 2 se obtiene 46. ¿Cuál es la cantidad inicial? a) 4 d) 5

4

 a = 40

a

3


a) 40 d) 30

25 = d



Et s / . 50  Eu s / . 5



N  10 días

Luego, trabajó cuidando su casa. 30 días - 10 días = 20 días. 07.En una granja donde existen gallinas y conejos: se contaron 60 cabezas y 204 patas (extremidades). ¿Cuál es el número de gallinas? www youtube com/Matematica1com

08.Debo pagar 2 050 soles con 28 billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuántos billetes de 100 soles debo emplear? a) 15 d) 14

b) 10 e) 13

c) 12

Solución: Vamos a suponer que todos los billetes son de 100 soles, entonces tendré para pagar la suma de:

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28 x 100 soles = 2 800 soles Pero solamente puedo pagar 2 050 soles, entonces hay una diferencia de: E t = 2 800 – 2 050 = 750 soles Por otra parte, para disminuir la diferencia anterior, vamos a cambiar billetes de 100 por 50 soles, lo cual genera una diferencia unitaria de: E u = 100 – 50 = 50 Esto quiere decir que la diferencia total se diminuirá en 50 soles. Por tanto, podemos calcular cuantos billetes de 50 soles se van a utilizar diremos:

Por otra parte, para disminuir el error total se tuvo que vender sacos de 70 sole s, entonces por la compra de un saco de 70 en vez de uno de 85 se deja de ganar: E u = 85 – 70 = 15

EF 180 N   Eu 15

Luego, el total de billetes de 100 soles utilizados son:

Solución:

09.Julio vende arroz a dos precios: 70 y 85 soles el saco. Por la venta de 20 sacos obtuvo 1 520 soles. ¿Determinar el número de sacos de 70 soles que vendió? a) 12 d) 14 Solución:

b) 8 e) 10

c) 4

Vamos a suponer que todos los sacos comprados son de 85 soles, entonces: 20 x 85 = 1 700 soles Pero solamente obtuvo de ingreso 1 520, entonces hay un error total de: E t = 1 700 – 1 520 = 180 soles www Matematica pe

Luego, el número de estudiantes será: 55 – 15 = 40 pasajeros estudiantes

PRÁCTICA DE CLASE N = 12

10.Un ómnibus lleva 55 pasajeros, entre estudiantes y particulares. Se desea saber cuántos pasajeros de cada clase viajan, sabiendo que por todo se recaudó 230 soles y que un estudiante paga 5 soles y un particular 2 soles a) 40 y 15 d) 20 y 25

28 – 15 = 13 bill etes

Et 45   15 pasajeros particular es Eu 3

Entonces el número de sacos de 70 soles que se venderán es:

ET 750   N = 15 billetes Eu 50

N

N

b) 50 y 5 e) 45 y 10

c) 30 y 25

Suponer que todos son estudiantes, entonces el dinero que se recaudó es: 55 x 5 sole s = 275 sole s Pero solamente se recaudo 230 soles, entonces hay un error total de: E t = 275 – 230 = 45 soles Por otra parte, el error unitario es decir la disminució n de recaudación por el intercambio de un particula r por un estudiante Eu = 5– 2 = 3 Entonces el número particulares será:

de

pasajeros

01.Si a la cantidad que tienes lo multiplicas por 3, luego a este resultado le restas 7 y a esta diferencia lo divides por 2 obteniendo 7. ¿Cuál es el número? a) 7 d) 3

b) 14 e) N.a.

c) 21

02.A un número se eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 13, a cuya diferencia se multiplica por 9, luego se le agrega 9, finalmente se extrae la raíz cuadrada, obteniéndose 6. ¿Cuál es el número? a) 3 d) 27

b) 6 e) 4

c) 36

03.A un número se le multiplica por 3, se le disminuye 6, se mult iplica por 5, se le divide por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 171 y se le extrae la raíz cúbica obteniéndose 9. Halla el número. a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) N.a. 04.Gladys tenía cierta cantidad de dinero. Pago una deuda de S/. 860 y luego recibió una cantidad igual a lo que queda. Después presto S/. 200 a Denys si ahora tiene S/. 2 320. ¿Cuánto tenia al principio? a) S/. 1 820 c) S/. 2 500 e) N.a.

b) S/. 2 120 d) 2 820


05.Miguel, Franklin y Percy, están jugando, con la condición de que aquel que pierda tiene que duplicar el dinero de los dos. Si cada uno ha perdido una partida en el orden en que han sido nombrados, quedándose luego de haber perdido el último, con 200 soles cada uno. ¿Cuánto tenía inicialmente cada uno? a) b) c) d) e)

325; 175 y 100 soles 325, 375 y 200 soles 275, 200 y 350 soles 235,275 y 250 soles N.a

06. A un cierto número se le eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 3, a este nuevo resultado se mult iplica por 7, luego dividimos entre 14, a este nuevo resultado lo elevamos al cubo, luego le agregamos 9; finalmente extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como resultado final 6. Hallar dicho número. a) 5 d) 15

b) 3 e) 8

c) 10

07.Con cierto número realizo las siguientes operaciones: lo elevo al cubo, al resultado le agrego 9 y le extraigo la raíz cuadrada, al número así obtenido lo divido entre 3 para luego restarle 1 y por último al resultado lo elevamos al cuadrado obteniendo como resultado final 16. Hallar el número inicial. a) 5 b) 6 c) 12 d) 10 e) N.A 08.Una piscina se ha estado desocupado durante 4 días, hasta que solamente ha quedado 1000 galones de agua. En cada día se extraía la mitad más 2 galones de lo que había el día anterior. ¿Cuál es su volumen total de la piscina? a) 8010 d) 12 420

b) 4050 e) N.A

c) 16 060

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09.Una persona participó en tres apuestas; en la primera duplicó su dinero y gastó 30 sole s. En la segunda tripli có lo que le quedaba y gastó 44 soles, en la tercera cuadriplicó la suma restante y gastó 72 sole s. Al final le quedaron 40 sole s. ¿Cuánto tenía al comienzo? a) 13 d) 27

b) 15 e) 42

c) 20

10.Una vasija llena de agua pierde durante la primera hora 1/3 de su capacidad, durante la segunda hora 1/3 del resto y así sucesivamente. Al cabo de 5 horas, quedan 32 litros en la vasija. ¿Cuál es la capacidad de esta? a) 423 d) 425

b) 243 e) N.a.

c) 325

11.Para pagar una deuda de S/. 130 se emplea billetes de S/. 10 y S/. 5. ¿Si se utiliza 25 billetes, cuantos son de S/. 10? a) 1 d) 7

b) 3 e) N.a.

c) 5

12.Cierto obrero trabaja durante 30 días en casa de dos patrones. El primero le paga por día S/. 2,20 y el segundo S/. 2,52. Si le total recibe S/. 69,84. ¿Cuántos días trabajo para el segundo patrón? a) 18 b) 20 c) 16 d) 14 e) 12 13.En una granja donde existen vacas y gallinas, se contaron 80 cabezas y 220 patas (extremidades). ¿Cuántas vacas hay? a) 20 d) 60

b) 30 e) N.a.

c) 50

14.Si se vende cada lapicero a S/. 4 se gana S/. 18, pero si se vende en S/. 2 cada uno, www Matematica pe

se pierde S/. 4. ¿Cuántos lapiceros están en venta? a) 8 d) 15

b) 9 e) N.A.

c) 11

15.Gerson tiene S/. 220 en su alcancía, suma que se compone de monedas de S/. 5 y S/. 2. ¿Cuántas monedas de S/. 5 ahorro? a) 20 d) 36

b) 26 e) N.A.

b) 8 e) N.a.

c) 12

17.Jessica tiene 50 billetes de S/ 10 y S/ 50. Si paga una deuda de S/. 780. ¿Cuántos billetes de S/. 10 tenia? a) 45 d) 33

b) 48 e) N.a.

c) 39

18.Manuel debe pagar una letra de 2 050 dólares con 28 billetes de 50 y 100 dólares. ¿Cuántos billetes de 50 dólares utilizo? a) 13 d) 18

b) 15 e) N.a.

c) 17

19.En una granja donde exis ten vacas y gallinas se contaron 80 cabezas y 220 patas (extremidades). ¿Cuántas gallinas hay en la granja? a) 50 d) 45

b) 75 e) 38

a) 40 d) 25

b) 20 e) 32

c) 45

c) 30

16.En un zoológico hay leones y palomas, si en total hay 20 cabezas y 52 patas. ¿Cuántos leones hay? a) 6 d) 16

asigna un punto y por la incorrecta tiene un puntaje en contra de un cuarto de punto. Arturo ha obtenido en dicha prueba 50 puntos habiendo respondido la totalidad de las preguntas planteadas. ¿En cuántas se equivocó?

c) 60

20.En un concurso de admisión en la prueba de Razonamiento Matemático que trae 100 preguntas, por la respuesta correcta se le

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03 01.Carmen, Luisa y Jenny, acuerdan una partida de naip es, que la perdedora triplique el dinero de las otras dos. Cada una pierde una partida en el orden en que han sido nombradas, obteniéndose cada una al final 90, 30 y 180 respectivamente, ¿con cuánto empezó a jugar Jenny?. a) 50 d) 30

b) 10 e) 40

c) 20

02.Un cazador muy aficionado a la matemática le comento a su amig o lo siguiente: “Traigo de caza 27 cabezas y 78 patas”. ¿Cuántos conejos y cuantas perdices trajo el cazador? a) 15 y 10 d) 17 y 10

b) 12 y 15 e) N.a.

c) 10 y 12

03.Un padre le dice a su hijo: Te daré 8 soles por cada problema resuelto correctamente y te multare con 5 soles por cada problema mal contestado. Después de 26 problemas, ninguno de los dos debe pagar. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente el joven? a) 16 d) 10

b) 13 e) 9


c) 12

04.Un profesor propone 50 problemas a su alumno. Cada problema bien resuelto vale 5 puntos y cada problema mal resuelto disminuye 3 puntos. ¿Cuántos problemas contesto correctamente el alumno, si obtuvo un puntaje de 138 puntos? a) 14 d) 36

b) 25 e) N.a.

c) 30

05.Se desea envasar 600 litros de vino en 35 envases de 20 y 15 litros de capacidad cada uno. Hallar la diferencia entre el número de envases de cada clase a) 10 d) 2

b) 5 e) N.a.

c) 8

06.El Kilogramo de papa amarilla cuesta 8 sole s y de papa blanca cuesta 5 sole s. ¿Cuántos Kilogramos de papa amarilla tiene Julio en un total de 20 Kilogramos que cuestan 133 soles? a) 8 d) 10

b) 11 e) N.a.

c) 9

07.Un comerciante empleo 19 100 soles en comprar 50 camisas de 400 y 350 soles. ¿Cuántas camisas compro de 400 soles? a) 11 d) 18

b) 32 e) N.a.

c) 15

08.Debo pagar 850 soles con 12 billetes de 50 soles y 100 soles. ¿Cuál es la diferencia entre el número de billetes de uno y otro valor? a) 1 d) 2

b) 0 e) N.a.

c) 3

09.El agua contenida en un pozo se agota en 3 horas. En cada hora baja el nivel del

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agua la mitad de la altura más un metro. ¿Qué profundidad tiene el pozo? a) 10 metros b) 14 metros c) 18 metros d) 22 metros e) N.a. 10.Después de gastar la tercera parte de mi dinero y luego la tercera parte del resto, todavía me quedan 20 soles. ¿Cuánto tenia al comienzo? a) 40 sole s b) 60 sole s d) 42,25 soles e) N.a.

c) 45 sole s

11.Debo pagar 2050 soles con 28 billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuántos billetes de 50 debo emplear? a) 12 d) 15

b) 32 e) 35

c) 40

12.Se forma la longitud de 1 metro, colocando 37 monedas de 50 y 100 pesos en contacto y a continuación unas de las otras. Los diámetros de las monedas eran de 25 y 30mm respectivamente. ¿Cuántas monedas son de 50 pesos? a) 22 d) 23

b) 15 e) 24

c) 18

13.Un padre propone 12 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva bien el muchacho recibirá 10 soles y por cada problema que resuelva mal perderá 6 soles. Después de trabajar los 12 problemas el muchacho recibe 72 sole s. ¿Cuántos proble mas resolvió bien? a) 8 d) 12

b) 9 e) N.a.

c) 10

14.Ciento cinco litros de agua deben ser vaciados en depósitos de 11 y 4 litros de capacidad. ¿Cuántos son de 11 litros si en total se usaron 21 depósitos? www Matematica pe

a) 18 d) 3

b) 15 e) 6

c) 17

15.El valor de una entrada para adulto a un teatro es de S/. 8. Si un niño paga una boleto de S/. 5 y la recaudación fue de S/. 1260: ¿Cuántos boletos de un total de 195 fueron adultos? a) 100 d) 65

b) 105 e) 75

c) 95

16.Si a una cantidad, le agregas 40, a este resultado lo divides por 4, luego le quitas 5, después de lo cual lo multiplicas por 10, enseguida a lo que le sacas la raíz cuadrada y lo multiplicas finalmente por 5; obtendrás 50 soles. ¿Qué cantidad es la inicial? a) 30 d) 15

b) 10 e) 75

c) 20

17. A cierta cantidad de dinero, primero se triplica t se disminuye 50, luego se duplica y se disminuye 220, por ultimo sextuplico su dinero quedando finalmente con 3 480 soles. ¿Cuál es el dinero al principio? a) 100 d) 250

b) 120 e) 150

c) 300

18. A una cierta cantidad se le opera de la siguiente forma: Duplica su valor luego disminuir en 24 (3 veces), obteniendo un valor cero al final. ¿Cuál es la cantidad? a) 36 d) 42

b) 18 e) N.a.

c) 21

19. A cierto número, multiplícalo por 4, a este resultado auméntale 8, luego divídele por

5, finalmente al resultado sácale su raíz cúbica, obteniendo al final 2. ¿Cuál es el número inicial?

hoy. Adivínalo: Son 102 patas y 37 cabezas, entre conejos y palomas. ¿Cuántas palomas había casado el señor?

a) 2 d) 8

a) 14 d) 25

b) 4 e) N.a.

c) 6

20. A un número, divídele entre 2, luego elévale al cuadrado, a este resultado por 4. Finalmente al resultado sácale su raíz cuadrada, obteniendo 10. ¿Cuál será el número inicial? a) 5 d) 9

b) 10 e) 11

c) 4

TAREA DOMICILIARIA 01.Si a la cantidad que tengo, le multiplico por 8 y luego lo divido por 10 y al cociente lo multiplico por 3 y le agrego 36, entonces tendré 180 soles. ¿Qué cantidad tenía? a) 50 d) 90

b) 60 e) 110

c) 40

02.Un alumno escribe en su cuaderno cada día la mitad de las hojas en blanco que tiene ese día más 10 hojas. Si al cabo de tres días gasto todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno? a) 30 b) 40 c) 70 d) 119 e) 140 03.Se vendieron 450 huevos; unos a 14,4 soles la docena y otros a 12 soles la docena. Determinar cuántos huevos del primer precio se vendieron, sabiendo que por cada 2 docenas vendidas se regalaba uno, y que por todo se recibió 484,80 soles a) 200 d) 315

b) 175 e) N.a.

c) 275

04. Al volver un señor de caza dice a su hijo. Quieres saber cuántas presas he cazado www youtube com/Matematica1com

b) 18 e) N.a.

c) 23

05.Un obrero que gana 100 soles diarios gasta por término medio 69 soles pero cuando no trabaja, gasta 25 soles más. Al cabo de 31 días esta debiendo 414 soles. ¿Cuántos días trabajo? a) 11 d) 21

b) 18 e) N.a.

c) 20

06. A un número se realiza las siguientes operaciones: Lo elevas al cuadrado, le agregas 11 a la potencia, se extrae la raíz cúbica a la suma obtenida, le diminuyes 3 y se multiplica por 2, el resultado obtenido es cero. ¿Cuál será el número inicial? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

07.Hallar un número, tal que si le sumas 2, luego le multiplicas por 5, a este resultado le divides por 7, luego le disminuyes 2, para luego sacarle su raíz cúbica se obtendrá 2. a) 10 b) 12 c) 8 d) 6 e) 4 08. A un número se le multiplica por 3, se le disminuye 6, se multiplica por 5, le divides por 10 se obtiene 3. Hallar el número. a) 4 d) 7

b) 10 e) 8

c) 4

09. A un número se eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 3 a cuya diferencia se divide por 2, luego se aumenta 22, para luego sacar su raíz cuadrada. Hallar el número.

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a) 8 d) 11

b) 10 e) 14


c) 4

10.Si cierta cantidad lo multiplicas por 6, luego a este resultado le restas 20 y a esta diferencia lo divides por 2 obteniendo 35. ¿Cuál es el número? a) 5 c) 9

b) 10 e) 11

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c) 14

Nº 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Ejercicios Propuestos 01 02 03 B D C A C B D E D E B D C A B B D B D C B A C D C A B E D C A C D B D A C A B A B D D D C B B C B C E C D A C C D A E B


RAZONAMIENTO MATEMATICO EJERCICIOS DEL PRIMER BIMESTRE DE PRIMERO DE SECUNDARIA EN WORD X.pdf

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