Para resolver problemas de este capítulo el alumno sólo sólo nece necesi sita ta algo algo de inge ingeni nioo lógi lógico co,, habi habililida dadd y
RELACIÓN DE TIEMPOS
Para la resolución de este tipo de problemas se tiene que tener en cuenta' el siguiente criterio dándole valores a los días como sigue#
algu alguno noss cono conoci cimi mien ento tos, s, arit aritmé méti tico coss álge álgebr braa y geometría, si consigue responder acertadamente de mostrará poseer una mente ágil. “Si al comienzo no te salen algunas preguntas, no te desanimes ni desesperes ya que estos inconvenientes tambié tambiénn sirven sirven para para desarr desarroll ollar ar tu creati creativid vidad ad y poder crítico.
A n te a y e r
A yer
(-2 )
(-1 )
H oy
M añana
0
P asado m añana
(1 )
(2 )
Ejemplo aplicativo: Si el ayer del ma(ana del pasado ma(ana es sábado, $qué día es el pasado ma(ana de ayer&
RELACIÓN FAMILIAR
Resolución:
Para Para la reso resolu luci ción ón de este este tipo tipo de prob proble lema ma se Primero
recomienda analizar las condiciones a partir del ltimo enunciado y siguiendo un procedimiento regresivo. !"emplo aplicativo# $%ué parentesco tiene usted con la suegra de la mu"er de su hermano& Solución: !l enunciado
ayer del m añana del pasado m añana es sábado . -1
+
1
+
2 = sábado + 2 = sábado
!n el grá)ico tenemos# H o y (0 ) Juees
M a ñ a n a (1 ) !"ernes
P a s a d o m a ñ a n a (2 ) #ábado
$ o y e s %u% u e e s
Suegra de lamujer de su hermano
1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43 Mi cuñada cuñada
Segundo
Suegra delamujer de su hermano
1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43 cuñada 1 4 4 4 4 4 44 2 4mi4cuñada 4 4 4 4 43
& l pasado m añana d el ayer es 2
+
(-1 )
= +1
mi madre madre
∴ hoy * + día "ueves * + día viernes
Rpta: Mi madre.
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1
PITÁGRAS
-3.$uál es la suma de todos los nmeros entero enteros, s, cuy cuyos os cua cuadr drado adoss son son menore menoress que 14& -+. -+. $uá $uánt ntos os árbo árbole less ha habr bráá en un camp campoo cuadrangular que tiene un árbol en cada esquina y / en cada lado&
-0.$%ué viene a ser de mí, el hi"o de la hermana de mi madre&
-5.Si tengo una ca"a de chocolates con / ca"as de )ós)oros dentro y 1 ca"itas de chicle dentro de cada ca"a de )ós)oro. $uántas ca"as hay en total&
-1.Se tiene una mesa de )orma rectangular. 2l cortarse 1 esquinas. esquinas. $uántas esquinas le quedan&
-/.6n ventil tilador a pilas dura 5 horas )unc )uncio iona nand ndo. o. $7ur $7uran ante te qu quee tiem tiempo po se ventilarán una casa con / ventiladores )uncionado&
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2
PITÁGRAS
-8.$uántas personas como mínimo hay en ocho )ilas de tres personas cada )ila&
+-. !n una reunión reunión asistie asistieron ron un espos esposo, o, su esposa, 1 hermanos y una invitada. $%ué cantidad mínima de personas habían&
-4.$uántas personas como mínimo hay en / )ilas de tres personas cada )ila&
++. $%uién $%uién es la nieta nieta nica nica de la abuela abuela de la la madre de ;aría&
-9.:uis tenía en el corral de su casa /pollitos, de pronto se le murieron todos menos cuarenta. $uántos le quedaron&
+0. +0. 6n ca cara raco coll ascien ciendde 4 m en un día y desc esciend iendee en la noch nochee / metr etros por por acción de su peso. $2l cabo de cuántos días llegaría a la parte superior de una pared de 0- metros de altura&
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3
PITÁGRAS
+1. $uánt $uántos os palos palos de )ós)or )ós)oroo necesi necesitam tamos os para )ormar dos triángulos iguales&
+5. +5. Si se tien tienee 0 ca"a ca"ass ro"a ro"as, s, cada cada una de estas contiene 1 ca"as amarillas y cada una de éstas ltimas contiene 11 ca"as azules. $uántas ca"as hay en total&
+3. Pedro Pedro escribe una letra en dos segundos segundos.. $uántos demorará ella en escribir 4&
+/. +/. $uá $uáll es el míni mínimo mo nme nmero ro de sold soldad ados os que necesita para )ormar 3 )ilas de 1 soldados cada )ila&
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4
PITÁGRAS
-/. $uántas )ilas de 3 personas se podrían )ormar como máBimo con +- personas& a< 1 b< 3 c< 5 d< / e< 8
-+. $uántos árboles hay en un campo triangular que tiene / árboles en cada lado y un árbol en cada esquina& a< 0+ b< +4 c< +0 d< +5 e< 9
-8. :a )amilia Carcía consta de 8 hermanos cDu de los cuales posee 0 hermanas $uántas personas )orman la )amilia Carcía&
-0. Se tiene 8 eslabones de cadena sueltos. $uántos deben abrir y cerrar como mínimo para )ormar una sola cadena abierta& a< 0 b< 5 c< 1 d< 3 e< / -1. !l tío del hi"o de la nica hermana de mi padre es mi& a< Primo b< 2buelo c< =ío d< Padre e< >o mismo
a< 0+ d< ++
b< 01 e< +4
c< +3
-4. $%uién es el hi"o del padre del nico hi"o de mi abuelo. a< ;i abuelo d< ;i padre b< ;i tío e< >o c< ;i hermano -9. Eetty es la hi"a de la esposa del hi"o nico de mi
-3. !n una mesa están sentados 1 amigos# !rnesto está sentado a la izquierda de :uis, ?ugo está sentado a la izquierda de !rnesto. $%uién se encuentra en el medio& a< !rnesto d< @.7.
b< :uis e< A. 2.
abuela. $%ué parentesco me une a Eetty& a< !s mi prima d< !s mi amiga b< !s mi esposa e< !s mi hermana c< !s mi cu(ada
c< ?ugo
+-. ;ónica es más alta que Susana, Susana más alta que laudia y Febeca más alta que ;ónica, $%uién es la más alta& a< Susana b< ;ónica c< laudia d< Febeca e< Ao se puede determinar
-5. Si el ma(ana del pasado ma(ana de ayer es lunes. $%ué día será el ayer del anteayer del ma(ana& a< lunes
b< miércoles
d< martes
e< domingo
c< "ueves
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++. Si el lunes es el ma(ana de ayer $%ué día será el ayer de pasado ma(ana& a< 7omingo b< :unes d< ;iércoles e< Gueves 5
c< ;artes
PITÁGRAS
+0. cuatro cuatro amigos amigos viven viven en la misma misma calle calle si sabemo sabemoss que# H 7ian 7ianaa viv vivee a la izqu izquie ierd rdaa de de Irs Irsul ula. a. H :a cada de de Irsula Irsula queda queda "unto "unto y a la derecha derecha de de Jendy. H Jendy vive a la la izquierda izquierda de los demás demás&& a< Jendy d< 7iana
d< +4
+8. +8. Si se tien tienee 0 ca"a ca"ass ro"a ro"ass cada cada una de ésta éstass contiene 1 ca"as amarillas y cada una de éstas ltimas contiene 11 ca"as azules. $uántas ca"as hay en total& a< 0-5 b< 0-/ c< 0-8 d< 0-4 e< 0-9
b< Irsula c< ;aría e< Ao se puede determinar.
+4. 6n ni(o "uega "uega en un edi)icio edi)icio y sube sube al séptimo séptimo piso del mismo luego ba"a al tercer piso y vuelve a subir al seBto piso, si entre piso y piso hay +5 escalones. $uántos escalones sube el ni(o en el edi)icio& a< +0b< +/c< +5d< +4e< +8-
+1. !n una casa casa hay cierta cierta cantidad cantidad de de muchachos, muchachos, si cada cada much muchac acho ho mira mira +0 much muchac acho hos. s. $uá $uánt ntos os muchachos hay& a< 03 d< +1
b< +35 e< 05
c< 39
+9. !l tío del del hi"o de la la hermana hermana de mi padre padre es mí# a< =ío b< 2buelo c< bisabuelo d< papá e< sobrino
+3. Si Pele patea patea / penales penales en tres tres minutos. minutos. $uántos $uántos penales pateará en 9 minutos& a< +5
b< +4
d< 0-
e< 53
c< +/
0-. 0-. 6n ventil ventilado adorr a pilas pilas dura dura 3 horas horas )unciona )uncionado. do. $7urante qué tiempo se ventilará una casa con 5 ventiladores )uncionado& a< 0- horas b< +/ horas c< 3 horas
+5. !n una reunió reuniónn se encuentr encuentran an 0 padres, padres, 0 hi"os y un niet nieto. o. $uá $uánt ntas as pers person onas as como como míni mínimo mo se encuentran en dicha reunión& a< 3 d< 5
b< 0 e< /
d< 4 horas c< 1
b< 0-
00. 00. $uá $uáll es el míni mínimo mo nme nmero ro de sold soldad ados os qu quee se necesita para )ormar / )ilas de 1 soldados cada )ila&
c< 0+
Prof. Jorge Jorg e Telada elad a Moran
e< +0 horas
0+. 0+. ?ay ?ay tres tres ositos ositos delan delante te de un osito osito hay hay tres tres ositos detrás de un osito y dos ositos entre los ositos. $uántos ositos, como mínimo hay& a< / b< 3 c< 5 d< 8 e< 1
+/. $uántos árboles habrían en un campo cuadrangular que tuviera un árbol en cada cada rincón y seis árboles en cada lado& a< +9
e< 00
6
PITÁGRAS
a< +4 d< 4
b< 9 e< /
c< 8
-1.Si -1.Si el ay ayer er del del ma(a ma(ana na del del pasa pasado do es sábado. $%ué día es el pasado ma(ana de ayer& -+. $%ué parentesco parentesco tiene conmigo conmigo el hi"o de de la nuera de la mamá de mi madre&
-3.Si el ayer del anteayer del pasado ma(ana es domingo, $%ué día será el ma(ana del pasado ma(ana de anteayer&
-0.$%ué parentesco tiene conmigo una "oven que es la hi"a de la esposa del nico vástago de mi abuela&
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7
PITÁGRAS
-8.Se tiene 5 trozos de cadenas de tres eslabones cada uno. $uál será el menor nmero de eslabones que se deben abrir y cerrar para )ormar una sola cadena&
-5.!l primer y ltimo día de un mes es un martes. $uántos días trae el mes&
-4.$uántos cortes como mínimo se debe dar a un Panetón para obtener 4 pedazos&
-/.!n un determinado mes eBisten 5 "ueves 5 viernes y 5 sábados se pide hallar. $%ué día es el 08 de dicho mes y cuantos días trae este mes&
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8
PITÁGRAS
++. !l tío del hi"o hi"o de la hermana hermana de mi padre padre es mí.
-9.7ado el siguiente grá)ico colocar todos los nmeros del + al 9 tal que cada )ila columna y diagonal sumen +5. 7ar como respuesta a * bKn<
a n
b
+0. +0. 6n relo relo"" de una una cate catedr dral al se demo demora ra +0 minutos en dar 3 campanadas. $uántos minutos se demora en dar 8 campanadas&
+-. !l hi"o de la hermana hermana de mi madre $%uién $%uién es&
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9
PITÁGRAS
+1. 6n )umador para satis)acer sus deseos de )umar recogía colillas y con cada tres de éstas hacia un cigarro, un día recogió +1 colillas. $uál es la máBima cantidad de cigarros que puede )umar ese día&
+5. 2 un árbol subí donde manzanas habían manzanas no comí, ni manzanas de"é. $uántas manzanas habían en el árbol&
+3. :a )amilia Pérez tiene 3 hi"os varones cada hi"o tiene una hermana y cada hermana tienen 1 sobrinos. $uál es el menor nmero de personas de esta )amilia&
+/. Para cortar un árbol en 0 partes una persona cobra / soles. $uánto cobrará para cortarlo en 5 partes&
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10
PITÁGRAS
d< 8 e< / -8. Si el día de ma(ana de hoy el día de anteayer sería "ueves que día es pasado ma(ana& -+. :a esposa del abuelo del hi"o del tío de mi hi"o, es mi# a< =ío b< Sobrino c< Primo d< ?i"o e< ;adre
a< 7omingo d< ;artes
c< ;iércoles
-4. $%ué viene a ser de =eresa la hermana de su tío que no es su tía&
-0. Si un relo" da 1 campanadas en / segundos, entonces / campanadas. $!n cuantos segundos dará& a< 4 b< +0 c< +5 d< +4 e< 1
a< Su prima d< Su tía
b< Su hermana c< Su amiga e< Su madre
-9. Si anteayer )uera hoy, ma(ana sería viernes. $%ué día de la semana será pasado ma(ana&
-1. !n una gran"a se tiene pavos, gallinas y patos, sin contar las gallinas tenemos 5 aves, sin contar los pavos tenemos 8 aves, y sin contar los patos tenemos 3 aves. !l nmero de pavos es# a< 1 b< + c< 3 d< 0 e< -
a< 7omingo d< ;iércoles
b< :unes e< Gueves
c< ;artes
+-. !n una casa vivían dos padres, una madre, 3 hi"os 3 hermanos, 0 sobrinos, 0 nietos y + nuera. 2l menos cuántas personas habitan la casa. a< / b< 3 c< 5 d< 8 e< 4
-3. Foberto el hermano de Gulia tiene 0 hermanos más que hermanas. $uántos hermanos más que hermanas tiene Gulia& a< + b< 0 c< 1 d< 3 e< 5
++. uatro amigos de +0, 03, 1/ y 34 a(os están conversando en una reunión.
-5. $%uién es el primo del hi"o del padre que es hermano nico del hi"o de mi padre& a< ;i primo b< ;i hi"o c< >o d< @.7. e< A. 2.
L. 6no de ellos es Pablo. LL. :a edad del menor más la edad de Guan es la de 2lberto. LLL. !l mayor tiene el doble de arlos.
-/. !n el parque puede observar una )amilia la cual estaba con)ormado por 0 esposos, 0 hermanos, 1 sobrinas y 1 hermanas. $2l menos cuántas personas con)orman esta )amilia& a< +b< 9 c< 4
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b< :unes e< Gueves
:a edad de arlos y Guan suman. a< 5d< 1/ 11
b< 3e< 34
c< /-
PITÁGRAS
+0. Si una manzana cuesta 0 soles más media manzana. $uánto cuesta 1 manzanas& a< +d< +0
b< / e< +5
+8. $uántas personas como mínimo hoy en seis )ilas de cuatro personas cada )ila& a< +0 b< 03 c< +3 d< +1 e< +-
c< 4
+4. 6n "oven vive en el octavo piso de un edi)icio de +5 pisos. alcular lo que tarda en llegar a su piso si llega al cuarto piso en 1/ segundos. a< 43 b< 80 c< /d< 34 e< 9-
+1. 6n edi)icio de 3 pisos las )amilias Eendez, 7íaz, ;oyano y Menturo, cada )amilia vive en un piso, la )amilia Eendez vive un piso más arriba que la )amilia 7íaz la )amilia ;oyano más arriba que la )amilia Menturo, la )amilia Eendez vive más aba"o que la )amilia Menturo. $!n qué vive la )amilia ;oyano& a< !n el tercer piso. b< !n el cuarto piso. c< !n el segundo piso. d< !n el primer piso. e< @.7.
+9. 6n )usil automático dispara 1 balas por segundo. $uántas balas disparará en + minuto& a< +4b< +0+ c< +0d< +3e< ++0 0-. 6n caracol asciende cada día / metros por un pino y durante la noche su propio peso le hace descender 0 metros, si la altura del pino es de 0/ metros y la ascensión comenzó el lunes. $%ué día llegará a la punta del árbol& a< viernes b< sábado c< domingo d< miércoles e< "ueves
+3. Si el ayer de anteayer de ma(ana es martes. $%ué día será el ma(ana del pasado ma(ana de ayer& a< martes b< miércoles c< "ueves d< viernes e< sábado
0+. 6na alumna en lugar de multiplicar por +1, multiplicó por 1+ obteniendo como resultado +/83. $uál debió ser la respuesta correcta& a< 0-8 b< 8-0 c< 4-3 d< 80e< 88-
+5. Si el lunes es el martes del miércoles y el "ueves es el viernes del sábado. $%ué día es el domingo del lunes& a< sábado b< domingo c< "ueves e< viernes e< miércoles
00. $uál es el nmero de tres ci)ras tal que al escribir un cero a su derecha aumenta en +915 unidades&
+/. $uántas personas como mínimo hay en cinco )ilas de cuatro personas cada )ila& a< 0b< +c< +5 d< +1 e< +3
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a< 50+ d< 130 12
b< 05+ e< 035
c< 0+5
PITÁGRAS
-1.Si una persona cuyo peso es de 4- Ng le pudiéramos duplicar todas sus dimensiones. !ntonces su peso sería. -+. $uál es el nmero de dos ci)ras tal que al escribir un cero a su derecha aumenta en 005 unidades&
-3.Si por cada dos chapitas de gaseosa te dan una gaseosa de regalo. $uántas gaseosas como máBimo podrá tomar si tiene 5 chapitas&
-0.Pedro cerco su "ardín y la cerca )orma un cuadrado en el que habían +5 postes en cada lado. $uántos postes utilizó&
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13
PITÁGRAS
-5.Si un Nilogramo de manzanas tiene de 3 a / manzanas. $uál es el mínimo peso que pueden tener 3 docenas de manzanas&
-8.$uántas personas como mínimo hay en / )ilas de cuatro personas cada )ila&
-4.$uántos palitos de )ós)oro como mínimo se tendrá que mover, para que la siguiente igualdad resulte verdadero&
-/.$uántas personas como mínimo, hay en cinco )ilas de tres personas cada )ila&
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14
PITÁGRAS
-9.$uántos palitos de )ós)oro como mínimo se tendrá que mover para que la siguiente igualdad resulte verdadera&
++. 6n caracol sube por una escalera de /5 escalones, pero cada día por cada 5 escalones que sube, ba"a dos. $uántos días tardará en subir la escalera&
+-. $uántos )ós)oros como mínimo debes quitar y mover para )ormar tres cuadrados&
+0. Aataly emplea 0- minutos para pintar un cubo de 1 cm de lado. $uánto tiempo emplea para pintar un cubo de / cm de lado&
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15
PITÁGRAS
+1. 6tilizar los nmeros del + al 9 distribuidos de tal )orma que la suma de los lados del triángulo equilátero sean iguales. $uál es dicha suma&
+5. $%ué contiene la ca"a&
' 1
+3. $uál es la mínima cantidad de bolsas que se debe mover en la )igura para que esté en sentido contrario&
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+/. olocar en los círculos de este triángulo las 9 ci)ras signi)icativas K+ al 9< de )orma tal que la suma de cada lado sea 0-.
16
PITÁGRAS
d< 5 cigarros
e< / cigarros
-0. !n la relación# J 4 O 1B si B aumenta en 0 unidades, J. a< 7isminuye en 1 unidades. b< 2umenta en 9 unidades. c< 2umenta en 0 unidades. d< 2umenta en 5 unidades. e< 7isminuye en / unidades.
-9. 6n curioso observa en un calendario que en un mes determinado el primer día )ue un viernes y el ltimo día de ese mes también )ue un viernes. $7e qué mes se trata& a< !nero b< @ebrero c< ;arzo d< @. 7. e< Lmposible +-. 6n herrero tiene 5 trozos de cadena de 1 eslabones cada uno y desea unirlo en un solo trozo de +5 eslabones. $uántos eslabones tendrá que abrir y soldar de nuevo& a< 1 b< 3 c< 5 d< +0 e< / ++. Si en cada bolsa se pueden llevar de 1 a 5 naran"as. $uál es el menor nmero de bolsas que será necesario para llevar 18 naran"as& a< 5 b< / c< 8 d< 4 e< 9
-1. :os animales de ;anuel son todos perritos, menos 5, todos gatitos menos 8, todos loritos menos 3. $uántos gatitos tiene& a< / b< 8 c< + d< 9 e< 0
+0. $%uién es el primo del hi"o del padre que es hermano nico de mi padre& a< ;i primo b< ;i hi"o c< >o d< @. 7. e< A. 2.
-3. Si con 1 chapitas de coca cola puede ca"ear una coca cola llena. $uántas podrá can"ear si tiene +5 chapitas& a< / b< 8 c< 5 d< 4 e< 3
+1. 7os pastores tienen 3 y 1 panes cada uno en el camino se encuentran con un cazador con el que comparten sus panes en partes iguales y el cazador por su parte les da 8 dólares. $uánto le toca a cada uno& a< 3 y 1 b< / y + c< 5 y 0 d< 1 y 3 e< 3 y 5
-+. Si una personas cuyo peso es de 4/ Ng le pudiéramos duplicar todas sus dimensiones entonces su peso sería# a< +80 Ng b< 133 Ng c< /44 Ng d< 4/4 Ng e< 5/- Ng
-5. 6n sapo se cae a un pozo de / metros, tratando de salir, en cada hora sube 1 metros, pero la humedad de las paredes del pozo le hace resbalar 0 metros. $!n cuántas horas tocará el borde del pozo& a< 1 b< 3 c< 5 d< / e< 0
+3. Si para hornear un pastel en la panadería se demoran 1- minutos. $uánto se demorará para hornear 5 pasteles& a< 0h 1- min b< 0 h +5 min c< + hora d< 1- min e< +h 3- min
-/. 6na pi(a cuesta SD. 0- más media pi(a. $uánto costará una pi(a y media& a< 0- b< 3- c< 3- d< 1- e< /-8. Si Guana es tía de arlos y scar es hermano de Guana. $%uién es el padre del hi"o de arlos& a< scar b< !l esposo de Guana c< arlos d< !l padre de Guana e< Ainguna -4. 6n alumno ingenioso puede )ormar con 1 colillas de cigarro 0 cigarro, si en determinado momento tiene ++ colillas. Se puede decir que podrá )ormar como máBimo. a< 0 cigarros
b< 1 cigarros
+5. Si el hi"o de ;arcial es el padre de mi hi"o. $%ué parentesco tengo yo con ;arcial& a< Soy su abuelo. b< Soy su padre. c< Soy su hi"o. d< Soy su nieto. e< >o soy ;arcial. +/. Por cada 3 colillas de cigarro se pueden )ormar un cigarro y :ucho tiene 05 colillas. $uántas colillas le sobran después de )umar al máBimo nmero de cigarros posibles& a< + b< 1 c< 0 d< 3 e< 5
c< 3 cigarros
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17
PITÁGRAS
+8. !n la )amilia 2révalo papá y mamá tiene 3 hi"as y cada hi"a tiene un hermano. $uántas personas con)orman por lo menos la )amilia 2révalo&
a< +-
b< 4
c< 8
d< 9
e< /
RAZONAMIENTO IND!TI"O Por inducción# !l razonamiento inductivo consiste en analizar casos particulares, es decir eBperiencias sencillas pero con las mismas características del problema original, para conseguir resultados que al ser relacionados nos permitan llegar a una conclusión Kcon amplia probabilidad de certeza< que lo llamaremos caso general. !s decir#
.asos Particulares
LA76..LQA
++0 ,+0+ + ++0 , +0 1 0 + + ++ +0 , +0 1 3 1 0 +
Sólo hasta el 9 bs# !sto se cumple sólo hasta nueve ci)ras uno. :uego# F = +++++0 , F+++++
.aso Ceneral
Σ de ci)ras de F 5
E#EM$%O &) alcular el valor de la siguiente eBpresión#
E#EM$%O &' alcular el valor de F, e indicar la suma de ci)ras del resultado# F
F = +0135/849 − 03/4
=
Rn R sumandos 6 4 4 447 4 4 4 48 K+B1 + 1B5 + 5B8 + ...< + n +10 4 + 0402+ 4104+3... Rn R sumandos
Para n /03 RESO%!I(N: 2l e)ectuar la di)erencia, dentro del radical resulta# F = +0135310+
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RESO%!I(N: 2nalizando inductivamente casos particulares simples# Para n + 18
PITÁGRAS
F = K+B1<0 + + = 3 +
E = !PF!+ + 6AP5
:P+ ;2TL;P
RESO%!I(N:
Para n 0 +0 F = K+B1 +0 1B5< =3 0 + +0
Sumando#
Para n 1
E = !PF!+ + 6AP5 = .../ +1 F = K+B1 +01B50+ 5B8< =3 0 + +0 +1
Para cualquier valor de “n, el valor de F es igual a 3. Para n /03 → F 3 F3 RAZONAMIENTO DED!TI"O
:uego# “Si a una cantidad que termina en / se eleva a cualquier eBponente entero positivo, el resultado siempre termina en / !l desarrollo de la eBpresión E termina en /.
E#EM$%O &+
!s la base de las demostraciones matemáticas. 7emostrar una propiedad es deducirla de otras anteriormente ya demostradas. !ste tipo de razonamiento garantiza la verdad de la conclusión. Si la in)ormación de la que se parte es verdadera Ko se
alcular el valor de#
; = 4- 999...943B+---...-+/ 1 4 2 4 3 1 4 2 4 3 + 05/ 3- ci)ras
3+ ci)ras
supone verdadera<. !l razonamiento deductivo consiste en aplicar una
RESO%!I(N:
verdad general Kya demostrada< en ciertos casos particulares. !s decir#
!Bpresando los )actores convenientemente para )ormar una di)erencia de cuadrados. ; = 4- K+--...-142 43 − +/
.asos Particulares
7!76..LQA
3+ ci)ras
.aso Ceneral 0 0 0 ; = 4- K+--..--< 142 43 − +/ + +/ 3+ ci)ras
E#EM$%O &* $!n qué ci)ra termina el desarrollo de la eBpresión “E&
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= 4- K+-3- <0
19
,
; +-
PITÁGRAS
-3. alcular# TALLER Nº 01
E = 100 × 101× 102 × 10' + 1
-+. ?allar la suma de ci)ras de “! 2 E = (11........11) 1 42 43 * cifras
-5. alcular#
-0. ?allar la suma de las ci)ras de “! 2 E = (.........) 1 42 43
E =
21 cifras
1 1 1 1 + + + 1× 2 2 × ' ' × + + ×
+ ........ +
1 1* × 20
-/. alcular#
-1. ?allar la suma de ci)ras de “;.
+ +4+42 S = 11+42 4 , +4 14+4 ......... 43
M = ('''.........'') 1 44 2 4 43
2
201 términos
+1 cifras
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20
PITÁGRAS
-8.alcular# E =
+-. alcular# la suma de ci)ras de !. 1 21
1 + 2 2
+
1 2'
+ ...... +
2 E = ('''..........') 1 44 2 4 43
1 2200
200 cifras
-4.alcular la suma de ci)ras luego de sacar la raíz cuadrada de#
++. $7e cuántas maneras distintas se puede leer FL2F7 en el siguiente arreglo&
111..........111 1 44 2 4 43 − 22..........22 1 44 2 4 43
200 cifras
100 cifras
/ A
-9.alcular#
/ A
A
+0. alcular#
+ +44+2, 4 + ............ 11+42 4 4 4 43
E =
20' cifras
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A
/
21
1 1× 2
+
1 2×'
+
1 '×+
+ ........ +
1 ( n + 1)( n + 2)
PITÁGRAS
+1. alcular# la suma de ci)ras del resultado. 2 (.......) 1 4 2 43
+5. ?allar a * b ( 1× ' × × × * × 11× ........)
'00 cifras
= ......ab
+/. ?allar la suma de ci)ras de#
+3. alcular la suma de ci)ras de ;.
2 E = (........) 14243
2 M = ('''............'') 1 4 4 2 4 43 +1 cifras
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2
21 cifras
22
PITÁGRAS
S 2
2 A ; 2
.
BLOQUE Nº 01
P S
. P
S
. P
S
. P
S
P S
S
c< 0-+
0--+ terminos
0--1 sumandos
a< 0 O + d< 10--1 O +
S
F
F
a< 5+0 b< 05/ d< 4+ e< 809 -/. alcular# +1+40 4+ 34 +442+4+/4 +4......... 43
-+. alcular# 01 +4/4+442 +4 + 53 4 4+ 4......... 43 b< 00--0 * + e< 10--3 O +
0--0
S
F
P
2
2
.
.
;
;
F
P
A
2
2
. P
S
;
F
F
A
a< 00--+ d< 00--+ O +
c< 01--+ O +
-0. alcular la suma de todos los términos del siguiente arreglo#
b< 00-e< 00--- * +
c< 00--- H +
-8. ?allar la suma de ci)ras luego de sacar la raíz cuadrada de#
0-
+++....++ 14 2 43 − 000.......0 1 42 43
04
0-
/ 3 0
+--- ci)ras
13 4
10
1/ 13
/ 4
3
0--- ci)ras
10
a< +---
14 1/
10 13
/ 4
0-
10
0-
d< 3---
0-
a< 14-b< 0--c< 3-d< 4--e< +/---1. Lndicar la suma de las ci)ras del resultado al e)ectuar la eBpresión siguiente# 0 ///..../// 1 42 43
-4. alcular#
+ ! = ++ + +0 + +1 + ...... 0--0 0 0 0
/// ci)ras
a< +994 d< 5993
b< +110 e< +090
e< 9---
c< /994
-3. alcular# 0 1B5B+8B058B....0--1)actores + + a< 0--+ b< +999 c< 0--d< + e< 0
a< 00--- O + d< + O 0H0---
0--1
b< 00--- * + e< 0H0---
c< + H 00---
-9. alcular# ! = + + + + + + ...... + + +B0 0B1 1B3 nKn + +< + + + a< n b< n + + c< n0 + + n n d< n + 0 e< n + +
-5. $7e cuántas )ormas distintas se puede leer “S2A ;2FS en el siguiente arreglo&
+-. alcular la suma total de#
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23
PITÁGRAS
0 K111....111< 1 4 2 43
+ +
+
+ + +
0 1
1
/
3 5 +-
+
0- ci)ras
+ + 3 + +- 5 +
+1
a< /d< 3--
b< +81/+ e< +/141
++. alcular#
c< +4-
+/. alcular la suma de ci)ras del resultado de# 0 K///....///< 1 42 43
+1
a< +/030 d< +/14+
b< +0e< 0+-
5- ci)ras
c< +/30+ a< 1-d< 05--
b< /-e< 35-
c< 5--
+8. alcular la suma de ci)ras del resultado de# 0 K999....999< 1 42 43
+ / 4+ ......... 01 +43442 4 43 0--1 sumandos
1- ci)ras
Lndicar la suma de ci)ras del resultado. a< +9 b< 08 c< +0 d< +4 e< +/
a< 1-d< /--
b< 08e< 9--
c< 40-
+4. alcular#
+0. alcular#
+1+414+25 4+ ........ 43
+ + + + + + + ....... +B0 0B1 1B3 +8B+4
0--3 terminos
Lndicar la suma de la primera y ltima ci)ra del resultado. a< 8 b< 0 c< +4 d< +e< ++
a< + d<
b<
1/ +8
e<
+9. alcular#
+1. alcular el total de bolitas de#
+ 3 +8 +4
c<
1/ 8
+ 3 +44 4+ ...... +1+40442 43 0--1 sumandos
0-
03 1
1 0
0 +
+
0
0
1
1
3
0-
b< 4--e< 14-
0-. alcular#
c< 300+ a< +-03
+3. alcular la suma de ci)ras del resultado de# 0 K+++....+++< 142 43
d<
3-95 3-9/
4 ci)ras
a< 4 d< /3
b< 00--1 O + d< 00--1 * +
3
0-
a< 3-d< 4+-
a< 00--3 O + c< 00--0 * + e< 0--10--1
3
b< 80 e< +/
c< 4-
b<
3-9/ 3-98
3-95 c< 3-98
e< 3-95 3-94
0+. alcular la suma de ci)ras del resultado de# 1 K999....999< 1 42 43 +- ci)ras
+5. alcular la suma de ci)ras del resultado de#
Prof. Jorge Telada Moran
+ + + + + + ..... + + 0 3 4 3-9/
a< 924
b< +4-
c< 03-
PITÁGRAS
d< +--
e< +---
-1. alcular el valor de “! y dar como respuesta la suma de sus ci)ras#
00. alcular la suma de todos los términos de# 0 0
0
0
0 0
0 0
0
0
2 E = ('''..............''+) 1 4 44 2 4 4 43 101 cifras
0
0 0 0
0
0
+ 9 t é r m in o s
a< +9d< 10-
b< 14e< +9
c< 14+
-3. alcular la cantidad total de es)eras que hay en el siguiente arreglo triangular.
TALLER Nº 02
-+. alcular el valor de# E =
*.*,.**.100 + 1 1
-0. $uántas apretones de manos se producirán al saludarse las 3- personas asistentes a una reunión&
2
'
*, ** 100
-5. ?allar la suma de todos los elementos de la siguiente matriz.
1 2 '............. * 2 ' +............. 10 ' + ............. 11 M M M * 10 11............ 1 10 11 12............ 1, Prof. Jorge Telada Moran
25
10
11 12
1, 1*
PITÁGRAS
2 M = (.........,) 1 442 4 43 101 cifras
-/.alcular ! y dar como respuesta la suma de sus ci)ras.
-9. $7e cuántas maneras di)erentes se puede leer la palabra LA76LA&
2 E = (''.......'') 1 4 2 43
200 cifras
3 4 / 3
3
4
/
4
/
3
3
/
3
4 /
3
3
3
3
-8.?allar la suma de ci)ras del producto siguiente# P = ......... 1 4 2 4 3 × ***.........** 1 442 4 43 0 cifras
0 cifras
+-. $7e cuántas maneras distintas se puede leer la palabra “F;2 en el siguiente arreglo triangular&
-4. alcular la suma de ci)ras#
Prof. Jorge Telada Moran
26
PITÁGRAS
+1. alcular la suma de todos los elementos de la matriz.
1 ' ............. ** ' ............. 101 *............. 10' M M M M ** 101 10'............... ++. Sabiendo que#
2+ + B +-- * 520 0 B 99 * 39 21 1 B 94 * 34
+3. alcular la suma de ci)ras del resultado de la siguiente eBpresión# ' (***.........***) 1 44 2 4 43 2002 cifras
alcular 20-
+0. alcular la suma de ci)ras del resultado# E =
+5. alcular# ×21........) 22002 1 + (' 1×44 4 43
+++.........++ 1 44 2 4 43 − ,,,.........,,, 1 44 2 4 43 2000 cifras
2002 factores
1000 cifras
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27
PITÁGRAS
-3. alcular la suma de ci)ras del resultado de#
+/. $uántos apretones de manos se producirán al saludarle, +-- personas asistentes a una reunión&
A = 11.......11 1 4 2 43 − 222.......22 1 42 43 2 n cifras
a< n d< n0
n cifras
b< 1n e< 0n
c< /n
-5. alcular la suma de los términos de la )ila 5-. 5 "la 1
1
5 "la 2
'
5 "la ' 5"la
1'
*
1
11 1
1*
a< 985b< +05-c< 05--d< 850-e< +05---/. alcular la suma de ci)ras del resultado de 2. 2 A = (***.........***) 1 4 4 2 4 43
BLOQUE Nº 02
101 cifras
a< 9-d< 9-
-+. alcular el valor de ; y dar como respuesta la suma de sus ci)ras.
b< 905 e< 9-8
c< /05
-8. ?allar la suma de los elementos de la siguiente matriz si +- B +-
2 M = (...........) 1 42 43 12 cifras
a< +-0 d< ++-
b< +3e< +++
2 ............. 1, ,............. 20 , 10............. 22 M M M 1, 20 22............ ' 20 22 2............ '
c< +-4
-0. alcular la suma de ci)ras del resultado# M = .......... 1 4 4 2 4 43 × ***...........* 1 44 2 4 43 100 cifras
a< + d< 9-
100 cifras
b< +e< 9--
c< +--
a< 05-d< 0---
-1. Si# 2 A = ('''..........'') 1 44 2 4 43 2 = (..........) 1 44 2 4 43 '1 cifras
alcular la di)erencia entre la suma de ci)ras del resultado de 2 y la suma de ci)ras del resultado de E. a< 089 b< 539 c< 08d< 004 e< 80-
22 2
' ',
b< +9-e< 1/--
c< +/5-
-4. Si# Ka * b * c<0 33+ ?allar abc + bca + cab a< 0+1+ b< 011+ d< 0111 e< A. 2.
1 cifras
B
20
c< 0++1
-9. ?allar el valor de “B en# KBBB....BBB<0 = ++++....+++ 14 2 43 − 0000....00 1 42 43 m ci)ras
n ci)ras
Se tienen los datos siguientes#
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28
PITÁGRAS
L. m +--
LL. n 5-
+1. Si# ;K+< 3 B + * + ;K0< 4 B 3 * 4 ;K1< +0 B 9 * 08
Para resolver el problema, es su)iciente# a< Sólo L d< L ó LL
b< Sólo LL c< L y LL e< ;ayor in)ormación
+-. alcular la suma de todos los términos de# 0 0
0
0
0 0
0 0
0
0
alcular el valor de “B. ;KB< 3 B +-3 a< +5 b< +4 c< 01 d< 0e< 0+
0 0 0 0
0
0
+ 9 t é r m in o s
+3. ?allar el valor de ;# M
a< +9b< 14c< 14+ d< 10e< +9 ++. ?allar el nmero total de palitos en#
= ( x − a)( x − b )( x − c )......(x − y )(x − z )
a< + b< d< O+ e< 3 +5. Si# a * b * c o alcular la suma de ci)ras de 2.
c< 0
2 A = ( 1 xxx 44......... 2 4 4xx 3) 100 cifras
Sabiendo además que# x = +
a< 599 d< 584
0
1
+4
b< 919 e< 3--
+9
0-
a< 9d< 9--
c< 199
a2 bc
b2 + ac
c 2 + ab
b< 949 e< +99
c< 99
+/. ?allar el valor de# E = 1× ' × × 1 × 2 + 1
+0. $uántas bolillas se pueden contar en total en la siguiente )igura&
a< 0+/ d< +9/
b< 05/ e< +99
c< 01/
+8. alcular el valor de F. R = 1000 × 1001× 1002 × 100' + 1 + - - b o l it a s
a< +--1--+ d< +--5--+
b< +--33--+ e< +--3---+
c< +--0--+
+4. alcular la suma de ci)ras de !. E = ***........*, 1 44 2 4 43 × **..........*2 1 44 2 4 43 * cifras
a< 0- --c< + --e< 1- ---
b< +5 --d< +- +--
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a< /3 d< 88 29
* cifras
b< 40 e< 44
c< //
PITÁGRAS
0-. $!n qué ci)ra termina ! +9. ?allar la suma de ci)ras de ;. M = (****)2
a< 1/ d< 10
E
+ (*****)2 + (******)2 b< 34 e< 5-
= #P$1 + $%A
a< 5 d< +
c< 35
O,jetivos#
( LMA!"M )
b< / e< 0
c< 1
Estructura: p e r a 8 "9 n
H 2)ianzar la capacidad para reconocer y mane"ar nuevas estructuras simbólicas )ormadas con las operaciones básicas. H @ormar un cimiento para el posterior estudio de las operaciones a nivel avanzado
Operadores Matem-ticos
a 6 b = p e ra d o r
÷
e : la d e 8omo e;e8tuar l a o p e r a 8 "9 n ( re : la d e ; o r m a 8 " 9 n )
+. Si# a U b 0a * b
%os operadores m-s conocidos son #
+ − ×
d e ; "n " 8 "9 n
Ejemplo#
Son símbolos arbitrarios con los cuales se van a realizar operaciones matemáticas, su"etas a una estructura, regla o ley de )ormación.
Operador
2a + 'b
anotar
Solución #
2l relacionar la ley de )ormación con la incógnita tenemos#
Operación 2dición Sustracción ;ultiplicación 7ivisión Fadicación
$ero adem-s de estos podemos siuientes operadores convencionales.
alcular 0 U 1
a < b = 2a + b
↓ ↓ 2 < ' = 2(2) + ' 2 < ' = ++'
los
∗ operador asterisco
operador cuadrado ∇ operador nabla operador grilla 6 operador rombo 7 operador arroba
2<'=
Nota: Para realizar los e"ercicios en el presente capitulo es necesario tener en cuenta los siguientes criterios# ♦ ada e"ercicio consta de tres partes bien
establecidas#
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30
PITÁGRAS
a< :ey de )ormación b< 7atos auBiliares c< :a incógnita ♦ Ldenti)icar el operador y la regla como operar. ♦ 2plicar la regla dada a lo pedido.
!alcular
Mediante ta,las de do,le entrada:
L. LL. LLL. LM.
!n este caso, no se nos indica que operación vamos a realizar, por el contrario, nos indican los elementos que han sido operados y los resultados de dichas operaciones a través de una tabla de doble entrada.
1
2
'
1
2
'
1
2
'
1
2
'
1
2
'
1
2
'
1V0 3 V K0 V +< B en B V 3 0 m en 3 V m 1
Solución L.
Es/uema #
∗
2
'
1
1V0+
perador m a t e m á t"8 o
/ o lu m n a de entrada
5 "l a d e e n t ra d a
∗
a
b
8
d
a
8
d
a
b
b
d
a
b
8
8
a
b
8
d
d
b
8
d
a
LL. 7e la tabla#
∗ (2 {∗ 1) ↓
/ u e r p o d e la tabla ( s o n l o s r e s u lta d o s o e le m e n t o s d e l 8 o n % u n to d e lle:ada)
∗
'
='
LLL.
& l em e n to s u e $ a n p a r t" 8 " p a d o e n la opera8"9n ( 8 o n % u n t o d e p a r t" d a )
∗
+
>=2
2
∗
m ='
'
LM.
Se opera así# b
∗
a
⇒ a V b F
).
Si#
Ejemplo Aplicativo: '.
∗
Y + 0 1
!n el con"unto 2 W+,0,1,3X se de)ine#
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31
+ 0 1
+ + 1 1
0 0 1 +
1 1 0 + -
PITÁGRAS
Resolver
K1 Y B< Y K0 Y -< K1 Y 1< Y Solución =raba"ado con la tabla# (' 6 x ) 6(2 {60) = (' {6') 60 ↓
(' 6 x ) 6
-3. Si# xVy = 2x + y ?allar E = (2V')V
↓
2
=
0 {6 0 ↓
(' {6 x ) 6 2
=
0
%ué nmero operado con 0 da Kmire la tabla< se deduce que ('{6 x ) = 1 1 operado con qué nmero da + Se deduce que#
B0 -5. aVb = b + 2a ?allar E = ('V2)V(1V)
-+. Si# a ∗ b = 'a − 2b ?allar E = ( ∗ ') ∗ 2
-/.
a 6 b = 2a + b a
-0. Si# a 6 b = a2 − 'b alcular K0 Y +<
-8. Si x = ' x alcular + -1. Si# a ∗ b = a − 2b alcular ! K0 ∗ 0< ∗ +
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32
PITÁGRAS
-4. Si# >
= 2>
+0. Si# aφ b =
2
/ a l8 u l a r
a−b φ E = 'φ 1
alcular
1
-9. Si# a ∗ b = a + 2b alcular ( ∗ 2) ∗ (' ∗ ')
+1. Si# aVb = a 2 − b 2 alcular E = (10V,)V'
+-. Si#
+3. Si#
a
>
= a
2
/ a l 8 u la r
+5. Si# a◊b =
a+b a−b E = 6('62)
++. Si# a 6 b = alcular
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a+b
alcular
33
+ 2a
a − 2 b E = (2◊1) + ('◊2)
PITÁGRAS
Si# x + ' = x +
+/. Si# a 6 b = a2
− 'b.... si a ≥ b a 6 b = a + b.... si a < b ?allar# E = (6')6(26')
-3. Si# x + 1
= 2x − 1 alcular +
-5. Si# a U b 0a O b ?allar B en BU0 +-+. Si# 2 x − ' = ,x + 1 alcular
-/. Si# aUb a * b * ab alcular B en BU1 ++ -0. Si# 2 x + 1
=
x + 1
alcular
-8. Si# a 6 b = -1. alcular# E = 12
+
2,
alcular “B 0YB 1
+1
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a+b a−b
34
PITÁGRAS
+0. Si# 0aY1b a0* b alcular 3 Y +5
-4. Si# aVb = a − 'b alcular “B en B∆0 +3
a+b a−b 1 ∗ 1 2 '
+1. Si# a ∗ b = -9. Si# x − 2
=
alcular
x
alcular# + 1 +
+3. Si# 0B Y 1y B* y alcular# 4 Y +0 +-. Si# a' 6 b2 = 2a + 'b alcular# 0+/ Y 05
+5. Si# a 2 ∗ b2 = 'a + 2b alcular# * ∗ 2 ++. Si# a' 6 b2 = 2a + 'b alcular 4 Y 39
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35
PITÁGRAS
-1. Se de)ine el operador# B 5BB O 1 7etermine el valor de
+/. Si# aa 6 bb = a2 + b2 alcular 262
! 0 H
+
-3. Se de)ine# 'a 2 6 b
=
a+b a−b
,
a ≠ b
alcular 85 Y 0 Tema # Pperadores ;atemáticos.
-+. Si# a Y b ab H ba alcular# ! 0 Y K1 Y +<
-5. 7e)inimos la siguiente operación#
-0. Si# a ∗ b ab * ba alcular# ! K0 ∗ +< ∗ 0
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'
x 6 y
= x ' + y 2
alcular 0 Y 1
36
PITÁGRAS
-9. 7e)inimos la operación >
-/. 2 x y V'y x = x 2 + y 2 + 1 ?allar# ,V12
2 y = > - 2y
alcular ' 2 1
+-. Si#
-8. Si# 2 x − 1
a ∗ b = 'a − b
= x + 12
alcular
alcular B en# 4 ∗ B 3
++. Si# 2
-4. Si#
> = >> + 1
B O+ 0B*B 3
alcular
0
1 - 1
?alle 4-
+0. Sabiendo#
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37
PITÁGRAS
= 2a ∗ 'b a ∗ b = ab − a + 1 alcular E = ( 2V1) V(2 ∗ 1) aVb
/al8ular 1, 6 2 a) 1 b) 2 e)
8) ?
d)
-5. 7e)inamos la siguiente operación# '
x 6 y
alcular 0 Y 1 a< 591 d< 5+0
= x ' + y 2
b< +1 e< 311
c< 1+
-/. Si# 2 x y ∗ ' y x
=
x 2 + y 2
?allar +04 ∗ 031 a< + d< 5 -8. Se de)ine# ' x − 2
-+. Si# a Y b ab O ba e< O+
x + '
c< 3
d< +4
e< +8
b< 1 e< 10
c< 1-
-9. Se de)ine#
alcular el valor de#
2 x + 1
= x 2 − 2x − 1
2
a< +05 d< ++9
b< +-5 e< ++5
-3. Se de)ine# 2a 2 6 b
= x + 10
a< 8 d< 35
> = >>- 1,
' -
c< -
?allar ,
-1. Se de)ine el operador#
=
b< +0 e< +
-4. Si#
alcular ! + U K1 U 0<
&
= x +
a< 8 d< O+
-0. Si# a U b ab * ba
b< 0+
c< 1
alcular E = 10 + −,
alcular ! 3 Y K1 Y 0< a< + b< 0 c< 1 d< 3
a< -
b< 0 e< 8
=
a+b a−b
Z
alcular E =
c< +35
a< + d< -
c< O+
+-. Se de)ine#
a ≠ b
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b< 0 e< 8
38
PITÁGRAS
>+'
+/. Si#
= >+
aWb = 'a + 2b aVb = b − 2a
alcular
alcular
a< 51 d< 4+
b< /0 e< -
-
E = ( W' ) V( 2W' )
-1
a< 1d< 0-
c< 80
b< O+e< O1
+8. Se de)ine.
++. Si# a ∗ b = 'a − 2b ?allar “B en#
a
b
c
d
= ab + cd + da + bc
?allar B0 en#
0 ∗ B 3 a< d< 1
b< + e< 3
c< 0
2
'
x
= '
a< 3 b< 0 d< + e< 4 +4. Sabiendo# B ∗ y 0B O y * +
+0. Si#
c< 9
x
= x x ?allar 2 − 1+ x
c< O1-
a< 0 d< 4
b< +/ e< 10
alcular ! K5 ∗ +< ∗ 1 a< +8 b< +4 d< +/ e< ++
c< 3
+9. ?allar “B si se sabe# a ∗ b Ka*b
+1. Si# b Y a 0a * 1b ?allar E = ( ' 6 ) 6 ( 16 − 2 ) a< 3 b< 5 c< 4 d< / e< 8
c< 5
0-. Se de)ine la operación# B Y y yB
+3. Si# a ∗ b ab* ba ?allar 3 ∗ 0 a< +/ d< 3
c< +9
alcular B03 en la ecuación b< 10 e< -
x 6 2 = 22 6 x
c< 0
a< + d< 5
+5. Sabiendo que#
c< O+
0+. Si se cumple#
a ∗ b = a 2 + b2
alcular !K1 ∗ 3< ∗ +0 a< +8 b< +1 d< +/4 e< +3
b< H+ e< 0
a
c< 05
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b
8
= a 2 - b 8
alcular# 39
PITÁGRAS
1
2 2
a< +0d< +--
1 1
'
b< +/e< O4-
'
c< ++-1. ?allar el valor de B en la ecuación# K5YB< ∗ K+Y0< 0YB Si# a Y b 0a O b a ∗ b 0b * 1a
00. Se de)ine#
'a − 2b...........si 'b − 2a...........si
a 6 b =
a>b b≥a
alcular ! K1 Y +< Y K+Y0< a< ++ d< 9
b< O+e< 4
c< +1
-3. Si#
= ' x 2 − 1
x
?allar# E = 1
+2
2
-+. Si# a Y b ab H ba ?allar K0Y+
-5. Sabiendo que# -0. Si se cumple# a
+ b2 )
a6 2
a6
?allar#
alcular E =
= 2a2 → a > 0 = 'b ' → a < 0
E = ( , − )
< '
6
− ( 2 − ' ) 6 + ( 1 − 1 ) 6
'< 2
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40
PITÁGRAS
-/. Si se de)ine las siguientes operaciones.. a ∗ b = 2a + 'b ........ &ara a y b < a+b a ∗b = ........ &ara a y b > a−b alcular# E = ( ' ∗ 1) ∗ ( 2 ∗ 1)
-9. Sabiendo a ∗ b = ab
+ ab +
b 2 ∗ 1+ '
alcular E =
+-. 7adas las siguientes relaciones# a 6 b = ( a + b ) 2 ........a > b
-8. Si# a Y b a0 O b0 a U b Ka H b< 0 a ∗b =
2 a 6 b = ( a − b ) ........a < b
a+b a−b
?allar el valor de#
?allar el valor de# E =
E =
1 1 6 ' 1 < 1 1 ∗ 1 ' '
a<' b<2
Siendo a
a+b 2
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( (
) +( 2) + (
) ')
,6 2
26 ,
'6
26
++. alcular el valor de “! conociendo la siguiente tabla# E = { ( ' 6 2 ) 6 ' 61} 6 Y 1 0 + 5 1 0 + / 4 / +- 9 8 0 + 5 3 1 + 8 + 9 / 5 5 +0 0 1 +
-4. Si se cumple# a6b =
a
41
PITÁGRAS
a< +8 d< 34
b< 40 e< 50
c< +-/
-3. Si se sabe que# a b c d
+0. Si#
= ad − bc
?allar B en#
+5 ∗ ∗ 0- +15 ∗ ∗ 3- 155 ∗ ∗ /- 5alcular# ! 10 ∗ ∗ 03
' 2 ,
a< / d< +1D0 -5. Si# aVb =
=2
x
−1
2
b< 1D0 e<5D1
c< 8D1
a ∗a a+b
B ∗ y B O 0y, alcular / ∆ 0 es# a< O1D3 d< +D3 -/. Si# a
8 = 8 .b
b
b< O+D3 e< 3
c< 1D3
a
!)ectuar 1 2
-+. Si#
2
a ∗b = a + b
?allar
K+/ ∗ 05< ∗ + b< +4 e< /
a< 9 d< 3
a< 05 d< +-
c< 05
b< +-e< 5-
c< 3--
-8. Si se sabe#
-0. Si#
f( x )
a6b = a b
?allar#
alcular
E
* E = 6 ( 6 2 )
a< / d< 05
b< +/ e< 0-
b
= f(1) + f( −2) + f f(0)
a< 5 d< 4
c< 1/
b< e< +-
x y
xy + xy + ........ =1 4 42 4 43 @ xy @ sumandos
?allar#
b 8 = a + 8
?allar
& =
2 1 2 '
c< 9
-4. Sabiendo que#
-1. Sabiendo que# a
= x 2 + 2 x + 1
+
a< 05/ d< +/
2 -'
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42
' +
b< +33 e< 0-
1 '
c< 80
PITÁGRAS
1 ∗ 1 2 '
E =
-9. Si se sabe# a ∗b = a + ' b
a< O+D9 d< O+-D9
a Y b 0a O b ?allar E = ( 1 6 ' ) ∗ ( 0 6 ) 0
a< +09 d< +1
b< 9 e< +4
∗
1 − 1 ∗
es igual a#
b< +D4 e< 8D9
c< 0D9
+3. Si# a ∗ b 0a * b a ∆ b a O 0b
c< 09
alcular
+-. Si#
a 6 = 2a.......si 6 a = a.........si
a< +3 d< O+/
a es im&ar
alcular E = ' 6
a< 01 d< +0
6
+
6
+
6
b< 1/ e< O10
b< 0+ e< 08
?allar !K5 ∗ 4
c< 13
alcular E = ( ab ) 6 b 6 a 6 b2 a< a+0b+5 b< a+0b++ c< a00b+3 d< a9 b+4 e
c< 33
+0. Sabiendo que#
2 x − '
x .......si x 6 y = x + y xy ...........si
= ' x + 2 alcular E = 1 + xy ≥ 0
a< 30 d< 3/
xy < 0
b< O+ e< +D3
b< /3 e< 5-
c< 4-
+4. Sabiendo# a ∆ b a * b * + a ∇ b a O b * +
?allar ! K0Y H +< Y KH3<
a ∗b =
c< /
aWb = a + ab + b
alcular ! K5 ∗ 0+< ∗ 1
+1. Si#
b< O+0 e< 4
a ∗ b = ( 2a ) W( 'b )
c< 34
a ∗ b = 2a............si 0 < b < 20 a ∗ b = b + 1........en otros casos
a< 1 d< O0
∗ [ V2]
+5. Si se sabe#
++. Si se de)ine#
a< 05 d< 30
E = ∗ ( 2V' )
a es &ar
7etermine#
c< +D1
E = ( '∆2 ) ∇ ( ∆ + )
a< O1 d< -
a−b Z!ntonces ab
b< O0 e< +
+9. Si se cumple# A 6 B =
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c< O+
43
2< A B< 2
PITÁGRAS
E = ( 16 ) 6 ( 2 6 ' ) 6 ( 6 2 )
pUq 0p O q alcular
(
) (
E = ' 2 6 2 2
a< 3 d< O0
b< O3 e< +
)
c< 0
0-. Sabiendo que# > =
2> - 2
> =
'>
> =
> - 1
-1. 7e acuerdo a la tabla ad"unta calcular “B en# ( ∗ ) ∗ x = 2 ∗ 0 3 / 0 3 0 / 3 0 3 3 / / / 0
- '
alcular & =
2
- '
a< / d< 4
'
b< 0 e< O0
c< -
-3. 7e acuerdo a la tabla# ∗ + 0 + 0 1 0 1 3 1 3 + 3 + 0 alcular# E = ' ( 2 ∗ ' ) ∗ 2 ( ' ∗ ' )
-+. Segn la tabla# Y + 0 1
+ + 0 1
0 0 1 +
1 1 + 0
1 3 + 0 1
∗
3 + 0 1 3 ∗ ( ' ∗1)
alcular E = ( 1 6 ') 6 ( 2 6 ' )
-5. 7e acuerdo a la siguiente tabla# -0. Segn la tabla# Y + 0 + 0 1 0 1 1 1 3 0 3 + 1 7eterminar el valor de#
1 3 0 3 0
∆
3 + 1 0 +
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0 3 / 4
0 / 4 0 3
3 4 / 3 0
/ 0 3 4 /
4 3 0 / 4
alcular 44
PITÁGRAS
( ' 6 ) 6 ( 6 x ) = 16 ( 2 6 2 )
E = , − ( V ) V ( 2V ) V( ,V, )
-9. Sobre el con"unto 2 W+, 0, 1, 3X se de)ine la operación ∗ mediante la talla ad"unto# -/. Si se sabe
∗
0 / 4 0 40
0 3 / 4
3 3 03 3/ 00
/ 0 30 3 0/
∗
4 0 4/ 4 3/
+ 0 1 3
, ∗
,2
-8. onociendo la tabla y el operador. ?allar#
∗
1'
1 1 115
5 +3 15 50
Y + 0 1 + 0 1 3 0 1 0 1 1 3 5 + 3 + 0 1 5 5 + 3 ?allar B si se cumple#
3 + 0 1 5 0
3 + 0 1 3
+ 0 1 3 +
+-. Sabiendo#
'1 ∗
+ + 01 1 5 +3
1 3 + 0 1
alcular ( 2 ∗ ') ∗ ( ∗ 2) E = ( 2 ∗ 1) ∗ ( 2 ∗ 2 )
?allar
∗
0 1 3 + 0
a e c b d e
b b d a d e
c a b c d e
a b c d e ?allar B en# ( a ∗ e) ∗ ( c ∗ a) = x ∗ ( d ∗ b)
d c b c b d
e a b d e a
-4. Si se sabe# ++. Si se sabe#
5 5 + 3 0 1
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Y + 0 1 3 45
+ 5 3 1 0
0 3 1 0 +
1 1 0 + 5
3 0 + 5 3
alcular
PITÁGRAS
E = ( 6 ' ) 6
+ 5 3 1 + 8 + 9 / 5 5 +0 0 1 + a< 3 b< 0 c< / d< 4 e< +-1. 7ada la tabla lo cual es distributiva respecto a la adición y sustracción# U 8 5 1 1 0 3 / 5 +1 0- 08 8 30 33 3/ alcular ! K5 U 0< O K4 U 1< a< H0b< H05 c< H1d< H+5 e< H 3-
+0. Si se sabe que# U 0 3 / 4
0 0 3 /
3 0 3 / 4
/ 3 / 4 -
4 / 4 0
alcular E = ( <,) < ( +<2)
-3. Segn la tabla ad"unta y la eBpresión# ( aVx ) V( cVd ) = d , el valor de “B es# ∆ a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c a< a b< b c< c d< d e< e -5. Segn la tabla#
-+. 7e acuerdo a la siguiente tabla. alcular E
= ( a ∗ c ) ∗ d ∗
b ∗ ( d ∗ d )
∗ a
a b c d a< a d< d
a b c d b< b e< ab
b b c d a
c c d a b
d d a b c
∗
+
0
1
3
5
0
5
5
03 +1
5
5
03 +1
+1 03 +1
alcular E =
c< c
a< 80 d< +1
-0. alcular el valor de ! conociendo la siguiente tabla# E { ( ' 6 2 ) 6 ' 61} 6 Y 1 0 + 5 1 0 + / 4 / +- 9 8 0
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2∇2 22∇2
b< + e< 0
c< 035
-/. Siendo# Y a a c b d 46
b c d b b a
d a c
U a b c d a b d a c b d a c b
PITÁGRAS
c d
b a
a c
d b b a
c a c c d d c b d a
0 3 /
?allar# E
= ( a 6 b ) < ( c 6 d ) 6 ( c
a< a d< d
b< b e< ab
a< 0 d< 0 ó 3
/ / 3 0
b< 3 e< 3 ó /
c< /
+-. !n ! W-, +, 0X y en cierto sistema de numeración se de)ine la adición K*< segn la tabla.
◊
+
0
1
3
+
0
1
3
+
0
0
+
3
1
1
3
+
0
1
3
3
0
1
+
alcular#
*
-
+
0
-
-
+
0
+
+
0
+-
0
0
+-
++
alcular
− 1 ◊ ( '◊' ) ◊ ( 2◊)
a< + b< 0 d< 3 e< 0 ó 3 -4. 7e)inimos ∗ mediante la tabla#
∗ + 0 1
+ + 0 1
0 0 1 3
! 00+000 * 0--00 c< 1
a< +-+0-0+ d< 00+0-0+ ++. 7e)inimos#
∗
1 1 3 +
+ 0 1
alcular
0 0 1
b< +++0-0+ e< 0-+0-0+
+ 0 1 1 - + 1 - + + + + 0 + -
c< +0+0-+0
φ
+ 0 1 3
+ + 0 + +
0 + 3 + 0
1 + + 3 0
3 + 0 0 3
?allar B
E = ( 1∗ 2 ) ∗ '
∗ ( ' ∗ 2 ) ∗ 1
a< + d< 3
b< 0 e< 5
( x ∗ x ) φ ( ' ∗ 1) = ( φ ' ) ∗ ( φ 1)
c< 1
a< + ó 1 d< + ó 0
-9. Segn la tabla $%ué nmero )alta en el recuadro&
( + ↓ ()
3 0 3 /
c< c
-8. Sabiendo#
E = ( 1◊' )
0 3 0 /
↓
↓
=
c< + ó 3
+0. Si se cumple#
∗
2
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b< 0 ó 1 e< 1 ó 3
+ 0 47
+ 1 5
0 / 4
1 9 ++
PITÁGRAS
1
+ 0 1 3
8 +- +1
?allar E = ( ' ∗ 2 )
− ( 1∗ ') ∗ 2
a< +d< 5
b< 4 e< ++
c< /
B y B z
B y z
y B y z
z z z B
= ( xVy ) Vz % = x V( y Vz )
a b c d a< d d< a
( 2<' ) < ( <2) ( 2<1) < ( 2<2)
a< + d< 3
b< 0 e< 5
c< 1
0 5 4 ++
1 / 9 +0
3 8 ++1
U 4 +++
4 0+ 1+ 1+ 39
9 4 +8 +8 05 05
++3 04 04 1/ 1/
+3 0/ 31 10 10
alcular E = ( ' 6 2 ) < ,< ( 2 6 )
cθ ( bθa )
a d a b c
b b c a d
a< 0/ b< 04 d< 10 e< 31 +8. Se tiene tiene la siguien siguiente te tabla# tabla# Y + 0 1
= ( bθ d ) θ c c c b d a
d a d c b
b< c e< +
c< b
1
3
+
Prof. Jorge Telada Moran
c< 1/
1 3 5 / 8 4 9 +-
c< +3
+4. !n la tabla de doble entrada se de)ine ine la operación ∅. ∅ / 8 4 / 4 8 / 8 / 4 8 4 8 / 4 7etermine el valor de B
2 W+, 0, 1, 3X se de)ine la operación U mediante la tabla siguiente# 0
0 3 / 4
7e)inida por# a Y b Ba * yb alcular /Y8 a< +9 b< +0 d< +/ e< +4
+5. Sobre el con"unto# con"unto#
U
0 1 3 +
a< B b< y c< z d< B ó z e< y ó z +3. 7etermina 7eterminarr el valor de B en al ecuación ecuación##
θ
= E =
Y + 0 1
alcular ; ∆ A
xθ ( aθ d ) θ
+ 0 1 3
+/. Si de)inimo de)inimoss las operac operaciones iones Y y U
Si# M
3 + 0 1
alcular
+1. 7ado el con"unto A = { x y z } de)ini de)inimos mos la operación K∆< mediante# ∆
1 3 + 0
48
PITÁGRAS
1 3
φ ( ,φ x ) φ ( φ ) = ( φ , ) φ ( φ , ) a< 4 d< @.7.
b< 8 e< /
c< 9
+ 0
0 1
1 3
3 +
alcular
+9. +9. !n la la tabl tabla# a#
∗
+ 1 5 + 5 1 + 1 1 + 5 5 +5 5+ 1+
M
Si# ( x ∗ ' ) ∗ = ∗ 2
alcular
a< 3 d< 0
E = 1' ∗ 1'
a< 13+ d< 5/+
b< 51+ e< A. 2.
c< 5+1
a a b c
a b c
b< + e< -
c< 1
01. Se de)ine de)ine la operación operación “ ∗ en el con"unto Wm,n,pX
0-. !n la tabl tablaa de dobl doblee ent entrada rada se de)ine )ine la operación ∗ para el con"unto# Wa, b, c, dX ∗ a b c d a d c b a b c b a d c b a d c d a d c b 7eterminar la letra verdadera que corresponde a la letra B en# b ∗ ( c ∗ c ) ∗ a = ( d ∗ x ) ∗ ( a ∗ b ) a< a b< b c< c d< d e< A. 2. 0+. Se de)ine la operación “2 en el con"unto con"unto Wa,b,cX ∆
= x ∗ ( x ∗ x)
b b c a
∗
m n m n n p p m
m n p
p p m n
alcular E
= ( m ∗ n ) ∗ ( m ∗ & ) ∗ ( n ∗ & )
a< m d< o 03. 03. Se de)ine de)ine##
b< n e< A. 2.
∗
c c a b
+ 0 1 3
?allar B si#
+ 1 3 + 0
0 3 + 0 1
c< p
1 + 0 1 3
3 0 1 3 +
?allar B en#
( xVc ) V( bVa ) = c
a< a d< c
( ' ∗ 2 ) ∗ ( x ∗ x ) = ( 2 ∗ ) ∗ ( ∗ ')
b< b e< o
c< d
a< 0 d< +
00. 00. Se de)ine de)ine la operac operación ión ∗ en el con"unto W+,0,1,3X con la tabla.
∗ + 0
+ 1 3
0 3 +
1 + 0
b< 1 c< 3 e< a y c son correctas
05. 05. Se de)i de)ine ne la oper operac ació iónn siguiente tabla.
3 0 1
Prof. Jorge Jorg e Telada elad a Moran
+ 49
0
de acue acuerd rdoo con con la
1
3
PITÁGRAS
+ 0 1 3
3 + 0 1
+ 1 + 0
0 + + 0
1 0 0 0
Y 1 + ++ 4
?allar = ( 2W' ) W( 1W+ ) E = a< + d< 3
b< 0 e< 5
5 +4 +0 ++9
+ 01 +8 3/ 0+
0 4 ++ 9 30
4 +/ +1 +5 +3
3 // 1 08 0/
alcular
= E =
c< 1
a< + d< 3
0/. 7ada la siguiente siguiente tabla tabla
Prof. Jorge Jorg e Telada elad a Moran
1'62 1,6,
50
b< 0 e< /
c<
889 117
PITÁGRAS
:os problemas de este tipo presentan dos cantidades distribuidas en columnas nominadas nominadas por 2 y E. Ao siempre son )áciles de comparar en casi todos los casos hay que desarrollar algunas operaciones sencillas y comparar los resultados. E#EM$%OS A$%I!ATI"OS -+. -+. omp ompar arar ar## Ln)ormación a ∗b =
olumna 2
olumna E
/∗3
+0 ∗ 3
a+b a−b
a< 2 [ E b< 2 \ E c< 2 E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
S2I!IEN!IA DE DATOS :a característica principal de este tipo de preguntas es la siguiente# !n cada cada preg pregun unta ta se plan plante teaa un probl roblem emaa y se o)re o)rece cenn dos dos dato datoss o dos dos seri series es de dato datoss para para resolverlo deben identi)icar que datos se necesitan y marcar de acuerdo con estas alternativas. 2< E< < 7< !<
!l dato dato L es su)icien su)iciente te y el dato dato LL LL no lo es. es. !l dato dato LL es su)ic su)icien iente te y el el dato dato L no lo lo es. !s neces necesari arioo utiliz utilizar ar L y LL con" con"unt untame amente nte.. ada uno uno de los datos datos por separ separado ado es su)icie su)iciente. nte. Se necesi necesita ta más datos. datos.
-+. Si#
L. LL.
2plicando la de)inición de la in)ormación ∗ =
=
=
1
En consecuencia
B0 y1
= x + 2 y + 2y − x E = y E
=ambién aplicando la de)inición 12 + 12 −
Solución# 2nte 2ntess de util utiliz izar ar los los dato datoss redu reduzc zcam amos os la operación plateado. E = ( x ∗ y ) + ( y ∗ x)
!n la olumna E#
12 ∗ =
= 2c − d
?allar E = ( x ∗ y ) + ( y 6 x) Sabiendo que
!n la olumna 2#
10 = 2
a ∗ b = a + 2b c 6d
Solución# Solución#
+ −
E#EM$%OS A$%I!ATI"OS
= A01
TALLER Nº 01
bservamo bservamoss que para calcular calcular el resultado resultado de la operación no es necesario conocer el valor de B por lo tanto tanto la respuesta respuesta será la opción “E El dato II es su3iciente 4 el dato I no lo es.
Ln)ormación Se de)ine#
olumna 2
olumna E
> -1 = ' > + 1
!omparar tomando alternativas:
a< b< c< d< e<
en cuenta
las
siuientes
> -1 = 2 > - '
:a cantidad en 2 es mayor que la cantidad en E. :a cantidad en E es mayor que la cantidad en 2. :a cantidad en 2 es igual que la cantidad en E. Ao se puede determinar alguna relación. ]Ao debe usar está opción^
-+. omparar# Ln)ormación m 6 n = 2m − n
olumna 2 ' 6 ( 61)
olumna E ( ' 6 ) 6− 1 -5. omparar# Ln)ormación a ∗ b2
-0. omparar# Ln)ormación ' > -1 = > + 1
-1. omparar# Ln)ormación
= a2 − 11 bθ = 'b + 1
a6
-3. omparar#
olumna 2
olumna E
,
= a + 2b
olumna 2 0∗ 9
-/. omparar# Ln)ormación olumna 2
( +6 )
θ
olumna E
(2 ) θ
6
( a + ' ) φ ( b − ' ) = a + b + 2
olumna E 1∗ 3
olumna 2 olumna E 5 φ + 3 φ 0
Ln)ormación BLOQUE Nº 01
a ∗b = a
2
− 'b
olumna 2 3 ∗ 5
olumna E 1 ∗ 1 c< 2 E
-0. omparar#
a 6 b) =
a+b '
olumna 2 ?allar B 5YB3
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
olumna E ?allar 3YB5 c< 2 E
-1. omparar# Ln)ormación aVb = a b
olumna 2 0 ∆ 3
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
olumna E 3 ∆ 0 c< 2 E
olumna 2
olumna E
2∗' = + ∗2
= 1, ' ∗ = 1+ ∗ + = 2*
5∗ 0
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^ -5. omparar#
d
Ln)ormación ∗ - + 0 - - + 0 + + + + 0 0 + -
2
'
1
11 '
2
c< 2 E
olumna 2
3∗ 8
c< 2 E
/olumna B
E = ( 1∗ 0 ) ∗ 2 E = 2 ∗ ( 0 ∗ 2 )
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
c< 2 E
-8. omparar# Ln)ormación a6b =
a+b a−b
olumna 2 ?allar B BY04Y3
olumna E BY1 +0Y/
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
c< 2 E
-4. omparar# Ln)ormación x − , 2 x − 1 =
olumna 2
olumna E
1
'1
2
-3. omparar# Ln)ormación Si#
b
= ad − bc
-/. omparar#
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
Ln)ormación
c
olumna E
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
-+. omparar# Ln)ormación
a
olumna 2
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
c< 2 E
-9. omparar# Si# x − 2
= x ' + 2x
olumna 2
olumna E
1
' 0
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
c< 2 E
+-. Si#
e< ]Ao utilice está opción^
= 2 ( ! − ' )
x
+3. Se de)inen
y = ' ( y -2 )
olumna 2
olumna E
+
2 x − 1
= + x + '
> -1 = 2 > + 1
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
c< 2 E
olumna 2
olumna E
'
'
++. Si# ' x − 1
= 2 ! + '
olumna 2
olumna E
,
2
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
c< 2 E
+5. Si# 2 ∗ + = 12
c< 2 E
' ∗ 1 = 2, + ∗ 2 =
+0. omparar
omparar
Si# '
x 6 y
olumna 2 0∗ +
= x + y
olumna 2 0∗ 3
olumna E 1∗ +
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
c< 2 E
= a +1 b6 = ' b + 1
omparar# olumna 2
(, )
2∗
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar
olumna 2 / φ 1
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
olumna E
( 2 ) 6
∗
c< 2 E
c< 2 E
+/. omparar# ( x + 2) φ ( y − 1) = x + y + '
a∗
6
a< 2 [ E b< 2 \ E d< Ao se puede comparar e< ]Ao utilice está opción^
Ln)ormación
+1. Si se de)inen
olumna E +∗ 0
olumna E 5 φ 3
c< 2 E
TEOR5A DE !ON#NTOS !onjunto#
II. $or compresión: Se dice que un con"unto está determinado por comprensión cuando se indica una característica o propiedad comn a todos los elementos.
6n con"unto es una colección o agrupación bien de)inida de ob"etos o entes. =odo con"unto se denota por letras maysculas# 2, E, , 7, ' etc. > sus elementos por letras minsculas separadas por puntos y comas y entre llaves.
Ejemplo# ; WBDB es un día de la semanaX A WB ∈ ¢ D H0 ≤ B \ 5X P WB0 DB∈ ¥ ∧ 1 \ B ≤ +-X
Ejemplo# !l con"unto )ormado por las letras de la palabra anel. !ste con"unto se puede representar “ entre llaves o utilizando un “diagrama de Menn
!lases de conjunto por el n7mero de elementos# I. !onjunto "ac8o o Nulo# !s aquel que no tiene elementos se denota por la letra griega “ φ Kse lee# )i<, también se denota por# W X.
Representación entre llaves:
Ejemplos# +< A = { ! e" #n $%&&e' a()#al *el Pe&+} A = φ , A = { } !s vacío por que no eBiste virrey actualmente en el Per.
A = {a; n; g; e; l}
Representación con un diarama de "enn:
0<
A .a
H
.l
.n
.e
.:
!l símbolo empleado para eBpresar que un elemento pertenece a un con"unto es# ∈.
Determinación de conjunto: 7eterminar un con"unto signi)ica indicar cuáles son sus elementos. !Bisten dos )ormas de indicar los elementos de un con"unto# $or e6tensión 4 por compresión. I. $or e6tensión# Se dice que un con"unto está determinado por eBtensión cuando se indica uno a uno sus elementos separándolos por puntos y comas. Ejemplos: ; WH0Z H+Z -Z +Z 0Z 1Z 3X P W+/Z 05Z 1/Z 39Z /3Z 4+Z +--X
E WyDy es un nmero entero comprendido entre +0 y +1X Eφ óEW X !s vacío porque no eBiste nmero entero entre +0 y +1.
II. !onjunto nitario# !s aquel que tiene uno y sólo un elemento. Ejemplo# +< - = { ∈ ¥ ! 5 < < 7} - = {6} Signi)ica que “B es mayor que 5, pero menor que 8Z siendo# B / 0< . = { ! = 8} = . {8} / = { ! e" la (a%)al *el Pe&+} 1< / = /%a
III. !onjunto 2inito: !s aquella que tiene una cantidad determinada de elementos# Ejemplos# P = {2 3 7 8 912} = { ! e" #na le)&a *el ae(e*a&%} I". !onjunto In3inito: !s aquel que tiene una cantidad ilimitada de elementos y cuyo ltimo elemento no se puede se(alar. Ejemplos# F W+, 0, 1, 3, 5, X %os puntos suspensivos sini3ican /ue siuen los elementos 4 como la numeración es ilimitada9 R es un conjunto in3inito. S WBDB es una estrella del )irmamentoX S5M1O%O %(I!O SE %EE ⇒ “!ntonces ⇔ “Si y solo si ∀ “Para todo ∧ “y ∨ “o C s":n";"8a Dmayor ueE F s":n";"8a Dmenor ueE
Ejemplo# 2 WBDB es un nmero natural \ 8X :uego, diremos que# + es un nmero natural menor que 8 + ∈ 2 0 es un nmero natural menor que 8 0 ∈ 2 ". !onjunto Iuales: 6n con"unto “2 es igual a un con"unto “E, si es que ambos con"untos tienen los mismos elementos. !s decir# 2 E ⇔ 2 ⊂ E ∧ E ⊂ 2
!l con"unto 2 WB∈ ¥ D0 \ B \ /X es igual al con"unto E WB∈ ¥ D1 ≤ B ≤ 5X& Resolución# 7el con"unto “2# 2 WB∈ ¥ D0 \ B \ /XZ “B toma los valores de 1, 3 y 5 2 W1,3,5X → 0 \ B \ / signi)ica que “B es mayor que 0 pero menor que / 7el con"unto E E W B∈ ¥ D1≤B≤5XZ “B toma los valores de 1, 3 y 5 E W1, 3, 5X 1 ≤ B ≤ 5Z signi)ica que “B es mayor o igual que 1Z pero menor o igual que 5. :uego# :os con"untos 2 y E son iguales K2 E< Ejemplo ;*<: !l con"unto S WB∈ ¥ D 3 ≤ B \ 4XZ es igual al con"unto F WB∈ ¥ D 1 \ B \ 8X& Resolución: 7el con"unto “S# S WB∈ ¥ D3 ≤ B \ 4XZ “B toma los valores de 3, 5, / y 8 S W3, 5, /, 8X 3 ≤ B \ 4Z signi)ica que “B es mayor o igual que 3, pero menor que 4 7el con"unto “F# F WB∈ ¥ D1 \ B \ 8 XZ “B toma los valores 3, 5 y / F W3, 5, /X 1 \ B \ 8Z signi)ica que “B es mayor que 1, pero menor que 8 :uego#
Ejemplo ;'<: A = {3 5 8} A = = {85 3} %os dos conjuntos A 4 1 si son iuales pues tienen los mismos elementos= entonces: A 1 ;>A? est- contenido en >1?< 4 1 A ;>1? est- contenido en >A?<
Ejemplo ;)<:
:os con"untos S y F no son iguales KS ≠F< "I. !onjunto Disconjuntos# Son aquellos con"untos, que no tienen ningn elemento comn. Ejemplo ;'<: Sea#
2 WBDB es un hombre 2mericanoX E WBDB es un hombre !uropeoX 2 y E son dis"untosZ pues un hombre no puede ser el mismo tiempo americano y europeo.
RE$RESENTA!I(N R@2I!A DE N !ON#NTO
Ejemplo ;)<: Sean los con"untos# 2 W0, 3, /, 4X E W+, 1, 5, 8, 9XZ 2 y E son di"untosZ pues no tiene ningn elemento en comn.
A. Diarama de "enn Euler# onsiste en representar el con"unto 6niversal mediante un rectángulo y los otros mediante círculos, triángulos o cualquier )igura plana. A
B
4
P
G
4
6sando los diagramas de Menn O !uler, se tiene# A
B . .2
.
.1
.,
.
.'
.
Ejemplo# Fepresentar grá)icamente. 2 {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} 9 ∉ 2 Z 5 ∉ 2 ++ ∉ 2 Z +1 ∉ 2
.*
"II. !onjunto niversal ;<# !s el con"unto que contiene, comprende ó dentro del cual está todos los demás con"untosZ se simboliza por la letra 6 y grá)icamente se le representa mediante un rectángulo en cuyo vértice Kuno cualquiera< se coloca la letra 6. !l con"unto de libros de una biblioteca, puede ser un e"emplo de con"unto 6niversal, sus elementos serán cada uno de los libros de los que consta. !l marco de re)erencia es relativo de modo que podemos re)erir como con"unto 6niversal por e"emplo al con"unto de bibliotecas de la ciudad. 4
.11
4
A .1
r-3icamente
., .2
.
.1' . .'
.
.*
.
1. Diarama %ineales# Sirven para representar las relaciones de inclusión de 0 ó más con"untos. Se representa por medio de segmentos verticales. Ejemplo ;'<: S = {a ( * e} T e") %n(l#%* en S T = { (} 2l utilizar los diagramas lineales tendremos #
Ejemplo ;)<:
Ejemplo: Sean el con"unto# 2 Wgallina, perro, lagarto, mariposaX Su universo o con"unto 6niversal será# 6 Wtodos los seres animalesX Fepresentación usando diagrama de Menn O !uler.
# " s e t" e n e e l : r á ; "8 o I A B
4 A .la:arto .perro
A /
epresentar l "n e a l m e n t e
.:all"na
. m a r "p o s a
e s o lu 8 "9 n I # u p r e s e n ta 8 "9 n l "n e a l s e r á I
Relación entre conjuntos
B
/
Lnclusión o Subcon"untos# Se dice que el con"unto 2 es parte del con"unto E, o que está incluido en E, si todos los elementos de 2 están en E. se le denota como “2 ⊂ E que se lee# “2 incluido en E.
* $ropiedad: Si un con"unto está incluido en otro y éste en un tercero, entonces el primer con"unto está incluido en el tercer con"unto. Sí# A
!s decir#
2 ⊂ E ⇔ ∀× ∈ A ⇒ × ∈ Se acostumbra también a leerse como que 2 está contenido o es subcon"unto de E y en el caso que se denote como E ⊃ 2, se lee# “E contiene o incluye al con"unto 2 Ejemplo ;'<: Sean los con"untos# 2 Wa, 0, b, 1X y E Wa, b, c, 0, 1, 5X !n estos dos con"untos podemos notar que todos los elementos de 2 pertenecen también a E entonces concluimos diciendo# 2 ⊂ E. Ejemplo ;)<: Sean los con"untos# 7 W1, 5, 8X y ! W0, 1, 3, 5, /, 8X
Se lee# “7 está incluido en “!Z “7 está contenido en “!, “7 es subcon"unto de “! o “7 es parte de “!. Fepresentación usando diagrama de Menn O !uler.
&
'
'
2
&
2
'
:a relación de inclusión se utiliza entre con"untos y no entre elemento y con"unto.
$RO$IEDAD DE IN!%SI(N: ' $ropiedad: =odo con"unto es subcon"unto de sí mismo. A⊂A
) $ropiedad: !l con"unto vacío es subcon"unto de cualquier con"unto. φ⊂A
S1!ON#NTO $RO$IO: Si un con"unto “2 es un subcon"unto de otro con"unto “E, y este otro con"unto “E tiene uno á más elementos que no pertenecen al con"unto “2, se dice que# “2 es parte propia o subcon"unto propio de “E. !"emplo# 7ados los con"untos# 2 W0, 8, 5, 1X E W+, 0, 1, 3, 5, /, 8,4X : A : e" #n "#(n;#n) &% *e : :
Fepresentación usando diagramas de Menn O !uler.
2 '
B
B
A
Resolución# Se observa que# “7 es subcon"unto de “! porque todos los elementos de “7 pertenecen también a “!. Simbólicamente lo eBpresamos así# 7 ⊂ !.
⊂ ∧ ⊂ ⇒ A ⊂
1 2
'
A ,
,
1
'
2 #ub8on%unto Prop"o
!ON#NTO !OM$ARA1%ES: 7os con"untos 2 y E son comparables sí y sólo sí 2 ⊂ E ∨ E ⊂ 2. !s decir cuando uno de los con"untos está incluido en el otro. !n el caso que# 2 ⊄ E ∨ E ⊄ 2 entonces estos dos con"untos son no compara,les. Ejemplo ;'<# Sí# 2 Wa, e, iX ∧ E Wa, e, i, o, uX !l con"unto “2 es comparable con “E porque# 2 ⊂ E Ejemplo ;)<: Sí# S W8, 0, +, 1, 5X ∧ = W8, 0, 3X :os con"untos S y = no son comparables, pues# S ⊄ =Z = ⊄ S !ON#NTO $OTEN!IA: !s el con"unto de todos los subcon"untos de un con"unto dado, si el con"unto dado es “2, el on"unto Potencia de “2 se denota por PK2< y se lee# “P de 2. Ejemplo ;'<# Sí# 2 W5XZ :os subcon"untos que se )orman son#
PK2< WW5X, φXZ recordar que el con"unto φ es subcon"unto de cualquier con"unto. El n7mero de su,conjuntos del conjunto A B C9 se o,tiene: ) B )' su,conjuntos. Ejemplo ;)<: Sí# E Wa, bXZ los subcon"untos que se )orman son# PKE< WWaX, WbX, Wa, bX, φX !l nmero de subcon"untos del con"unto E Wa, bXZ se obtiene# 3 0 0 subcon"untos.
LLL.2 ∪ φ 2 LM. 2 ∪ 6 6 M. 2 ∪ 2 2 ). Intersección# Se llama intersección de dos con"untos 2 y E a un nuevo con"unto denotado así# 2 ∩ E )ormando por los elementos comunes a 2 y E. Representación r-3ica: A
B A ∩ B
Ejemplo ;*<# Sí# W5, 0, 8XZ los subcon"untos que se )orman son# PK< WW5X, W0X, W8X, W5, 0X, W5, 8X, W0,8X, W5,0,8X, φX !l nmero de subcon"untos del con"unto W5, 0, 8X, se obtienen# 4 0 1 subcon"untos.
4
$ropiedades L. 2 ∩ E E ∩ 2 ' propiedad conmutativa LL. 2 ∩ KE ∩ < K2 ∩ E< ∩ ' propiedad asociativa LLL.2 ∩ 6 2 LM. 2 ∩ φ φ M. 2 ∩ 2 2
$or inducción matem-tica Si el con"unto “2 tiene + elemento# PK2< 0+ subcon"untos Si el con"unto “2 tiene 0 elementos# PK2< 00 subcon"untos Si el con"unto “2 tiene 1 elementos# PK2< 01 subcon"untos eneraliFando: Si el con"unto “2 tiene “n elementos# PK2< 0 n subcon"untos.
O$ERA!IONES ENTRE !ON#NTOS: '. nión: Se llama 6nión o Feunión de dos con"untos 2 y E a un nuevo con"unto denotado así# 2 ∪ E cuyos elementos son los que pertenecen a 2 o a E Ko a ambos<. Representación r-3ica:
$ropiedad distri,utiva Intersección:
la
e
*. Di3erencia# Se llama di)erencia de dos con"untos 2 y E a un nuevo con"unto que se denota así# 2 O E y que está )ormado por los elementos que pertenecen eBclusivamente a 2. Representación r-3ica: B
B A - B
A ∪B 4
4 A
B B - A
$ropiedades L. 2 ∪ E E ∪ 2 ' propiedad conmutativa LL. 2 ∪ KE ∪ < K2 ∪ E< ∪ ' propiedad asociativa
nión
L. 2 ∪ KE ∩ < K2 ∪ E< ∩ K2 ∪ < LL. 2 ∩ KE ∪ < K2 ∩ E< ∪ K2 ∩ <
A
A
de
4
$ropiedades: L. 2 O E ≠ E O 2
LL. 2 O 2 φ LLL.2 H φ 2 LM. 2 O KE ∪ < K2 O E< ∩ K2 H < ' ley de ;organ. M. 2 O KE ∩ < K2 H E< ∪ K2 H < ' ley de ;organ. . Di3erencia simGtrica# Se llama di)erencia simétrica de dos con"untos 2 y E a un nuevo con"unto que se denota así# 2 ∆ E y que está )ormado por los elementos de la unión de ambos con"untos menos los elementos de la intersección. sea# AV =
Ejemplo: 2 O E φZ E O 2 WaZ bX. 2 ∩ E WbZ cZ )Z gX 7eterminar el nmero de elementos de# [
A b 8 ; :
a d B - A
A - B
7el diagrama# 2 WbZ cZ )Z gX E WaZ bZ cZ dZ )Z gX
Representación gráfica: A
M. 6_ φ
B B ∆ A 4
$ropiedades: L. 2 ∆ E E ∆ 2 ' propiedades conmutativa LL. 2 ∆ KE ∆ < K2 ∆ E< ∆ ' propiedad asociativa. LLL.2 ∆ 2 φ LM. 2 ∆ φ 2 . !omplemento# se llama complemento de un con"unto A a un nuevo con"unto denotado así# 2_ o 2cZ A >A y cuyos elementos son los del con"unto universal que no pertenecen 2. sea# Al = > − A Representación r-3ica:
alculemos# K2 ∪ E< WaZ bZ cZ dZ )Z gX KE H 2< WaZ dX 7e estos dos ltimos con"untos, obtenemos#
:uego, calculamos# [
EJERCCO Nº 01
A A 4
$ropiedades: L. K2_<_ 2 LL. K2 ∪ E<_ 2_ ∩ E_ ' ley de ;organ LLL.K2 ∩ E<_ 2_ ∪ E_ ' ley de ;organ LM. φ_ 6
-+. 7ados los con"untos# A = { ∈ ¥ ! < 7} = { ∈ ¥ ! 3 ≤ 9} = { ∈ ¥ ! 5 = 20} alcular# K2 ∩ E< ∪
-0. Sí#
A = { ∈ ¥ ! 3 ≤ ≤ 9} = { ∈ ¥ ! 5 < < 11} = {7 8 9} alcular# K2 ∩ E< ∩
-1. 7ados los con"untos# A = {2 3 45 6 7 8} = {468} = {2 4 67} alcular 2 O K H E<
-5. 7ados los con"untos# A = { ∈ ¥ ! 7 ≤ ≤ 15} = { ∈ ¥ ! 9 < < 18} = {1011121314} alcular K2 ∩ < ∩ E
-/. Se tiene el con"unto 2# A = {3 − ! ∈ ¥ ∧ 2 ≤ ≤ 5} ?allar la suma de los elementos el con"unto 2.
-8. 7el diagrama mostrado, calcular K2 H E< ∪ E -3. Sean 2 y E dos con"untos tal que# E O 2 W5, 8X 2 ∪ E W+, 0, 1, 3, 5, /, 8X alcular los elementos del con"unto 2.
B
A .1 .2 .'
-4. Si#
.
.
.
.
2 W+, 0, 3, 5, 8X E W+, 1, 5, 8X W3, 5, /, 8X alcular# K2 H E< ∩ KE H <
-9 7ado los con"untos# A = { ∈ ¥ ! 3 ≤ < 20} = { ∈ ¥ ! 2 < ≤ 20} alcular 2 ∩ E
+-. 7ados los con"untos# A = { ∈ ¥ ! e" +l)%l *e 2 ∧ 4 < < 21} = { ∈ ¥ ! e" +l)%l *e 4 ∧ 8 ≤ < 24}
A = {2 + 2 ! ∈ ¥ 3 < ≤ 8}
+0. alcular por eBtensión# 2 − 4 A= ! ∈ ¢ − 2 ≤ < 3 4
TALLER Nº 01
alcular 2 ∪ E -+. 7e 4+ alumnos encuestados# /+ practican )tbol, 09 practican natación y 3 no practican ninguno de estos deportes $uántos practican )tbol y también natación&
++. 7etermina el nmero de elementos que tiene el con"unto#
-0. !nte +/- personas que consumen hamburguesa se observaron las siguientes pre)erencias en cuanto al consumo de mayonesa y Netchup# 80 consumen mayonesa, 9/ consumen Netchup, +/ no consumen ninguna de estas salsas. $uántos consumen mayonesa pero no Netchup&
-1. 7e un grupo de 45 personas 3- estudian, 5traba"an, +- estudian y traba"an $uántos no estudian ni traba"an&
-3. 2 una pe(a criolla asistieron +5- personas de las cualesZ 4- cantan, /- bailan, 1- no cantan ni bailan. $uántas personas cantan y bailan&
-5. 7e los 5- alumnos de una aula# H 1- tienen libro de Fazonamiento ;atemático. H 08 tienen libro de Fazonamiento Merbal. H 5 no tienen ninguno de estos libros. $uántos alumnos tienen solamente libros de Fazonamiento ;atemático&
-/. !n una escuela de /-- alumnos, +-- no estudian @rancés ni LnglésZ 35- estudian @rancés y 5estudian @rancés e Lnglés $uántos estudian sólo Lnglés&
-8. 7e un grupo de 5- personas 04 conocen 2requipa, 10 conocen :ima y +5 ambas ciudades $uántos no conocen ninguna de éstas ciudades&
-4. 7e un grupo de 00 estudiantes, hay +1 que practican natación y +- practican atletismo, además se sabe que 0 alumnos no practican ningn deporte $uántos practican sólo atletismo&
$uántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades&
-9. 7e /- estudiantes de un aula 35 han aprobado la evaluación de matemática, 0- las de :engua"e y ;atemática y 5 no aprobaron ninguno de estos cursos. $uántos aprobaron un solo curso&
+0. Se realiza una encuesta# 84 pre)ieren las manzanas y /0 pre)ieren las naran"as, si los encuestados son +-- y todos tienen pre)erencias por algunas de las )rutas mencionadas. $uántas personas pre)ieren una sola )ruta&
+-. Se encuestó a +0- alumnos sobre sus pre)erencias por el voley o la natación se obtuvo los siguientes resultados# H 2 la cuarta parte no le gusta el voley ni la natación. H 2 la mitad le gusta la natación. H
2 los
5 les gusta el voley. 12
$2 cuántas alumnas les gusta el voley y la natación&
++. 7e un grupo de 3- personas, se sabe que +5 de ellas no estudian ni traba"an, +- personas estudian y 1 personas estudian y traba"an
Tarea !"#ici$iaria Nº 01
-+. !n una pe(a criolla traba"an 10 artistas de estos, +/ bailan, 05 cantan y +0 cantan y bailan. !l nmero de artistas que no cantan ni bailan es# a< + b< 0 c< 1 d< 3 e< 5 -0. 7e un grupo de 3- personas se sabe que +5 de ellas no estudian ni traba"an, +- personas estudian y 1 personas estudian y traba"an $uántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades& a< 0-
b< +4
c< 05
d< 00
e< 1-
-1. 2 /- alumnos de un salón les preguntaron por el deporte que practican y respondieron# 3- "uegan )tbol, 1/ "uegan vóley. $uántos alumnos practican los dos deportes& a< 0d< +0
b< +3 e< +/
c< +4
-3. !n un salón de 3- alumnos se observó que 05 aprobaron matemática, +5 aprobaron lengua"e y +- no aprobaron ninguno de los 0 cursos $uántos aprobaron los 0 cursos& a< 4 b< +c< +0 d< 0e< +5 -5. 7e los 1+ días del mes de Gulio Gosé salio con ;aría +4 días y con Fosa salio 0- días $uántos días salio Gosé con las dos& a< 1 b< 3 c< 5 d< / e< 8 -/. !n una tribu de +-- nativos, 14 comen carne cruda, 34 comen carne cocida, si 0+ son vegetarianos. $uántos de estos nativos comen carne cruda y cocida a la vez& a< 5 d< 4
b< / e< 9
c< 8
-8. !n una )iesta donde había +-- personas se observó que se bailaba la salsa o el rocN si# H /5 personas bailan la salsa. H /- personas bailan el rocN. $uántas personas no bailan el rocN sabiendo que todos bailan por lo menos uno de estos tipos de baile& a< 3b< 05 c< 15 d< +5 e< 1-4. !n una asamblea de 8- integrantes de un club.
35 son estudiantes, 34 traba"an, 4 no traba"an ni estudian. $uántos traba"an pero no estudian& a< 1+ b< +3 c< +8 d< 19 e< 05 -9. 7e un con"unto de 05 alumnos se sabe que 5 no estudian ni hacen deporte, +1 personas estudian y 5 personas estudian y hacen deporte $uántos de ellos realizan sólo una de las 0 actividades& a< 8 b< +0 c< +1 d< +5 e< 0+-. !n una encuesta realizada a un grupo de +-ingenieros se obtuvo los siguientes datos# H 04 dominan 2ritmética H 4 dominan 2ritmética y `lgebra. H 1- dominan `lgebra. H +- dominan 2ritmética y Ceometría. H 30 dominan Ceometría. H 1 dominan los 1 cursos. $uantos no dominan ninguno de los tres& a< +/ b< +8 c< 0d< 01 e< 04 ++. 7e +-- personas que leen por lo menos dos de las tres revistas 2, E y se observa que 3- leen las revistas 2 y E, 5- leen E y y /- leen 2 y $uántas personas leen las tres revistas& a< 0b< +5 c< 15 d< 05 e< 1+0. 7e un grupo de /5 alumnos# 1- pre)ieren :engua"e. 3- pre)ieren ;atemática. 5 pre)ieren ;atemática y :engua"e. $uántos pre)ieren ;atemática y :engua"e& a< 4 b< +c< 5 d< +5 e< +0 +1. 7e 5- estudiantes encuestados# H 0- practican sólo )tbol. H +0 practican )tbol y natación. H +- no practican ninguno de estos deportes.
$uántos practican natación y cuántos sólo natación& a< 10 y 0b< +0 y 4 c< 4 y 3 d< 0- y 4 e< 1- y +0 +3. !n un salón de +-- alumnos# H /5 aprobaron Fazonamiento ;atemático. H 05 aprobaron Fazonamiento ;atemático y Fazonamiento Merbal. H +5 aprobaron solamente Fazonamiento Merbal. $uántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados& a< +d< 05
b< +5 e< 1-
c< 0-
+5. !n una reunión de pro)esores de ciencias 38 eran de matemática, 3- eran sólo de @ísica, 3 no ense(aban ninguno de estos cursos. $uántos pro)esores integraban la reunión& a< 41 b< 8c< +-d< 9+ e< 48 +/. !n un salón de +-- alumnos que practican `lgebra y Do Ceometría. H 4- practican Ceometría. H /- practican `lgebra. $uántos practican solamente un curso& a< /d< 5-
b< 3e< 1-
c< 0-
H
5-- no consumen pollo, /-- no consumen pescado. $uántos consumen pescado y pollo& a< 5b< /c< 4d< +-e< +0+9. 7e 1-- alumnas que salen al recreo# H 9- bebieron Lnca ola. H /- bebieron oca ola H +- bebieron ambas bebidas. $uántas alumnas bebieron sólo una de estas bebidas& a< +1d< +8-
b< +/e< +5-
c< 0+-
0-. !n un encuesta realizado a +0- personas, 3- leen solamente “Cente /- leen solamente la revista “aretas, +0 no leen ninguna de estas revistas $uántas leen ambas revistas& a< 4 d< 0-
b< /4 e< 14
c< 34
EJERCCO Nº 02
-+. 7ado los con"untos# A = { ∈ ¥ ! 2 < < 6} = { ∈ ¥ ! 3 < < 10} alcular 2 ∩ E
+8. 7e 0-- lectores, 4- leen las revistas 2 y E, ++son lectores de la revista E. $uántos leen solo la revista 2& a< 1d< 8-
b< 9e< 5-
c< /-
+4. !n una encuesta de mercado sobre el consumo de pescado y pollo se encontró que de los +--encuestados# H 0-- no consumen ninguno de los productos.
-0. !Bpresar el con"unto 2 por eBtensión#
A = {3 − 2 ! ∈ ¥ ∧ 2 < ≤ 5}
-/. Si# P = { ! e" *%$%"& *e 6} = { ∈ ¢ ! − 3 ≤ 3} T = { ∈ ¥ ! < 2} ?allar KP ∪ %< ∩ = -1. !Bpresar el con"unto E por eBtensión# = {2 + 2 ! ∈ ¢ ∧ −2 < < 4}
-3. Si# > = { ∈ ¥ ! 0 < < 5} A = {12} = {23} ?allar 2_ ∪ E
-5. Si# > = { ∈ ¥ ! 1 < < 10} A = {257} alcular 2_
-8. Si# A = { ! e" #n *%$%"& *e 12} = { ! e" #n *%$%"& *e 18}
?allar el nmero de elementos de AV
-4. 7ado el con"unto universal# > = {1 2 3 45 6 7 8 910} y los con"untos = {369} ∧ = {510} ?allar < ∪ = @
-9. Si#
A = {123} = {1 2 4} = {2 3 45}
+0. 7el siguiente diagrama. ?allar
$uáles son los elementos que deben estar en la parte achurada del diagrama& B
A
.1 G .2
P
.'
.
. .
.,
. .*
/
+-. 7el diagrama, hallar K2 H E< ∪ KE H < B
A .1
.
.2 .
.
.'
TALLER Nº 02
.
., /
-+. 2 una reunión asisten /4 turistas de los cuales# 0- conocen =acna y 2requipa, el nmero de turistas que conocen 2requipa es el doble de los que conocen sólo =acna, el nmero de los que conocen =acna es igual al nmero de los que no conocen ni =acna ni 2requipa. $uántos turistas conocen sólo 2requipa&
++. 7ado los con"untos# A = {3 + 2 ! ∈ ¥ ∧ 1 ≤ < 6} = {2 + 1 ! ∈ ¥ ∧ 1 < ≤ 5} ?allar 2 ∪ E
-0. 7e un total de 1+9 personas 84 "uegan tenis, /+ "uegan básquet y 0+1 no "uegan estos deportes $uántos "uegan nicamente básquet&
3 de los alumnos usa relo", 5 1 2 de los alumnos sólo usan anteo"os y los usa 3 5
-/. !n un salón de clase#
anteo"os y relo". $%ué )racción de los alumnos no usa anteo"os ni relo"& -1. 7e 013 alumnos, se sabe que 90 quieren estudiar ;edicina, 48 7erecho y +0- ninguna de las 0 carreras. $uántos quieren estudiar ambos cursos al mismo tiempo&
-3. 7e +-- personas que leen por lo menos 0 de 1 7iarios Komercio, !Bpreso y "o< se observa que de ellas 3- leen !Bpreso y comercio, 5- leen eBpreso y "o y /- leen omercio y "o. $uántas personas leen los 1 diarios&
-5. 6na persona come huevos o tocino en el desayuno cada ma(ana durante el mes de 2bril, si come tocino 05 ma(anas y huevos +4 ma(anas. $uántas ma(anas come huevo y tocino&
-8. 7e un grupo de 85 personas 31 no leen “o"o, 08 no leen “el comercio y 3/ leen sólo “o"o o solo “el comercio $uántos leen los dos periódicos&
-4. !n una pe(a criolla traba"an 10 artistas. 7e estos +/ bailan, 05 cantan y +0 cantan y bailan. !l nmero de artistas que no cantan ni bailan es#
-9. 7e un grupo de 3- personas se sabe que +5 de ellas no estudian ni traba"an, +- personas estudian y 1 personas estudian y traba"an. $uánto de ellas realizan una de las dos actividades&
+-. Si durante el mes de diciembre Gosé estudia historia o religión, si +4 días estudia historia y 0días estudia religión $uántos días estudia Gosé historia y religión&
++. +4- personas )ueron encuestados sobre el consumo de 1 productos 2, E y , obteniéndose esta in)ormación. H +- pre)ieren 2, +0- pre)ieren E, +1pre)ieren , // pre)ieren 2 y 84 pre)ieren 2 y E, 9- pre)ieren E y , 50 pre)ieren los 1 productos# $uántas no pre)ieren ninguno de estos productos&
+0. 7e un grupo de 0-- personas entre salseros y rocNeros, a +0- no les gusta la salsa y a +1- no les gusta el rocN, si a 4- no les gusta ni la salsa ni el rocN $2 cuántos les gusta ambos&
Tarea !"#ici$iaria Nº 02
-+. 7e un grupo de ++- personas 8- hablan inglés# 0- no hablan ni inglés ni )rancés, el nmero de los que hablan )rancés es el doble de los que hablan solamente inglés. $uántos hablan inglés y )rancés& a< +b< 0c< 05 d< 1e< 3-0. 7e 85 alumnos de un aula los
3 1 usa relo", de 5 3
los alumnos sólo usa anteo"os, los
2 usa anteo"os 5
y relo". $uántos no usan anteo"os ni relo"& a< 1 b< 3 c< 5 d< / e< 8 -1. !n una ciudad de +0- personas# a
1 de la 4
población no les gusta la carne ni el pescado, a
1 2
de la población les gusta la carne y a los
5 les 12
gusta el pescado. $2 cuántas personas no les gusta el pescado& a< 3b< /c< 5d< 8e< 4-3. 7e +0- personas, 1- conocen sólo 2rgentina, 3no conocen Erasil el nmero de personas que conocen Erasil es el cuádruple del nmero de personas que conocen Erasil y 2rgentina. $uántas personas conocen sólo Erasil& a< 4b< 8c< /d< 5e< 3-5. !n una clase de 1- alumnos +3 han sido aprobados en ;atemática +- en @ísica y 5 en ambos cursos. $uántos alumnos han sido aprobados en un curso por lo menos& a< ++ b< +5 c< +8 d< +9 e< 0-/. 7e un grupo de estudiantes que llevan por lo mesón uno de los tres cursos que se indican, se sabe que# 8- estudian inglés. 3- estudian química. 3- estudian matemática. +5 estudian matemática y química. 0- estudian matemática e inglés. 05 estudian inglés y química. 5 estudian los tres cursos $uántos son los alumnos en total& a< +-- b< 4- c< 45 d< 9- e< 95 -8. 7e /- deportistas se observa que 03 de ellos practican )tbol, 0/ practican básquet y 05 practican vóleyZ +1 practican )tbol y básquet, +practican básquet y vóley, 9 practican )tbol y vóley, si / practican los tres deportes. $uántos no practican ninguno de estos deportes& a< ++ b< +0 c< +1 d< +e< +5
-4. !n una reunión de 54 caballeros se observó que los que usan corbata y anteo"os representan la tercera parte de los que usan corbata, los que usan anteo"os son el doble de los que usan corbata y anteo"os, si +- personas no usan ni corbata, ni anteo"os. $uántos usan corbata pero no anteo"os& a< +0 b< 03 c< 1/ d< +4 e< +-9. !n una reunión de pro)esores, 01 usan corbata, +/ usan anteo"os y +- usan solamente anteo"os, los que no usan corbata son el triple de los que usan solamente corbata. $uántos pro)esores estaban reunidos& a< 88 b< 41 c< 5+ d< 83 e< 9+-. Si 0- personas usan anteo"os solamente, 9personas no usan anteo"os 8- no usan sombrero, los que usan sombrero y anteo"os son las
3 del 4
total. $uántas personas usan sombreros y anteo"os& a< +-b< ++c< 00d< 11e< 1-++. 7e un grupo de 59 personas se observa lo siguiente# H 4 personas leen sólo el omercio. H +/ personas leen sólo la Fepblica. H 0- personas leen sólo el !Bpreso. H 8 personas leen el omercio y la Fepblica. H 4 personas leen el omercio y el !Bpreso. H 1 personas leen la Fepblica, el !Bpreso y el omercio. H 0 personas no leen ninguno de estos diarios. $uántas personas leen el eBpreso& a< 05 b< 09 c< 04 d< 03 e< 0+0. !n una encuesta a 05- personas /- usan anteo"os, 01 usan ante"os pero no zapatillas, +5 usan anteo"os pero no sombrero, / usan zapatillas y anteo"os pero no sombrero $uántos usan anteo"os sombreros y zapatillas&
a< 01 d< 1+
b< +3 e< 04
c< 18
+1. !n una biblioteca donde habían 0+ personas se observó que 8 leyeron la revista 2, +- leyeron la revista E. $uántos leyeron las 0 revistas, sabiendo que el nmero es igual a la mitad de los que no leyeron ninguna de las 0 revistas& a< 1 b< / c< 3 d< 4 e< 0 +3. !n un grupo de 55 personas, 05 hablan inglés, 10 )rancés, y 11 alemán y 5 los tres idiomas. $uántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas, solamente& a< 05 b< 03 c< 01 d< 00 e< 0+ +5. 7e un grupo de +-- alumnos, los que usan sólo lápiz, es igual a los que usan sólo lapicero, e igual a los que usan lápiz y lapicero. Si 3 no usan ni lápiz ni lapiceros. $uántas usan lápiz& a< 10 b< /3 c< 53 d< /e< 34 +/. 7e 4- integrantes de un club deportivo se sabe que 13 practican )tbol, 09 básquet, 0/ vóley y +0 )tbol y básquet, ++ )tbol y vóley y 8 practican los tres deportes. $uántos no practican ninguno de los deportes mencionados& a< +4 b< +9 c< 0-
MHTODO DE %A RE%A !ON#NTA :os problemas de Fegla on"unta se resuelven aplicando la siguiente regla# “Se )orma con los datos una serie de igualdades, poniendo en el primer miembro de la primera la incógnita KB<, y procurando que el segundo miembro se cada igualdad sea de la misma especie que el primero de la siguiente y de este modo el segundo miembro de
d< 0+
e< +8
+8. 7e los /- alumnos de un aula 5- tienen libro de matemática y +5 matemática y )ísica. $uántos tienen un solo libros& a< 15 b< 35 c< 05 d< 35 e< 0+4. 7urante el mes de diciembre Fa)ael va a la misa o al teatro. Si +4 días va a misa y 0- días va al teatro $uántos días va solamente a misa& a< 8 b< +0 c< +d< ++ e< 9 +9. 7e 80 alumnos 1/ estudian en el día, 15 en la tarde y 05 en la noche. $uántos estudian en sólo dos turnos si sólo uno estudia en tres turnos& a< 0+ b< 00 c< 11 d< 01 e< 05 0-. 6n grupo de /1 ni(os dieron 1 eBámenes para ser admitidos en un colegio, se sabe que 05 aprobaron el primer eBamen, 01 el segundo y 1+ el tercero, +- aprobaron el primero y el segundo 5 el primero y el tercero, 4 el segundo y el tercero y 3 no aprobaron ningn eBamen. $uántos ni(os )ueron admitidos al colegio si sólo necesitan aprobar por lo menos 0 eBámenes& a< +/ b< +5 c< +8 d< +4 e< +9
la ltima igualdad será de la misma especie que el primero de la primera. Se multiplican ordenadamente estas igualdades y se halla el valor de KB<. '. Ejemplo: !n una )eria agropecuaria por 1 patos dan 0 pollos, por 3 pollos dan 1 gallinas, por +0 gallinas dan 4 monos
y 5 monos cuestan SD. +5-. $uánto tengo que gastar para adquirir 5 patos& Resolución: =ener cuidado# la especie en la primera columna tiene que estar también en la segunda columna, para que luego el producto de las cantidades de la primera columna sea equivalente al producto de la segunda columna. Meamos# olumna +
-l C&e e" el a&D#%)e() *e "# &% *e")%nE
olumna 0
1 patos 3 pollos +0 gallinas 5 monos RBR soles
\[ \[ \[ \[ \[
1 3 +0 5 T
\[
0 pollos 1 gallinas 4 monos +5- soles 5 patos 0 1 4 +5- 5
∴ T 5- soles
). Ejemplo: %eo con * desarmadores se o,tiene un alicate 4 con + alicates un martillo
+. on 9 reglas se obtiene 5 lapiceros, con 3 lápices se obtiene 1 lapiceros $uántas reglas se obtiene con 0- lápices&
0.on dos motos obtenemos +5 bicicletas, con 8 patines obtenemos +/ pelotas, con 39 patines obtenemos 5 bicicletas, con / motos $uántas pelotas se obtendrán& uG ,ueno entonces. J!u-ntos martillos se o,tendr-n con )+ desarmadoresK
1. 7os libros de matemática equivalen a 5 cuadernos $uántos libros de matemática equivale a +- libros
de historia sabiendo que 8 cuadernos equivalen a 0 libros de historia& 4. :a di)erencia de dos nmeros es +4- y su cociente es 5. ?allar el mayor de dichos nmeros.
3. :a semidi)erencia de dos nmeros es 4 y además su suma es 3- . alcular el nmero mayor.
5. :a suma de dos nmeros es +-- y su di)erencia es /-. alcular los nmeros.
9. :a suma de dos nmeros es 1-- y el mayor es /más que el menor. ?allar el mayor de dichos nmeros.
/. 6n automóvil cuesta tanto como 3- bicicletas, si 1 automóviles y +-- bicicletas cuestan 00--- soles $uánto costo cada bicicletas&
+-. Si a la edad de tu abuelito la multiplicas por /, luego lo divides por +- y el cociente lo multiplican por 3 a(adiendo en segunda 30 obtendrías +/0. $uál es la edad de tu abuelito&
8. :a semidi)erencia de dos nmeros es 1- y su semisuma es 5-. ?allar el nmero menor.
++. :a cantidad de chocolate que tiene ;iguel es la quinta parte de lo que tiene Fal, si entre los dos tiene /- chocolates $uántos chocolates tiene Fal&
+0. !n un corral se contaron 58 cabezas entre cone"os y gallinas y +84 patas $uántos cone"os eBiste en el corral&
+/. ?e pagado SD.45- con ++ billetes de SD.5- y SD.+-- $uántos billetes de cada valor respectivamente he dado&
+1. Se tiene 034 soles en monedas SD. 0 y SD. 5, si en total hacen /3 monedas. $uántas monedas de 5 soles eBisten&
+. Por un melón me dan 3 naran"as, por 0 naran"as sólo recibió 1 chirimoyas $uántas melones debo dar para recibir 03 chirimoyas& +3. !n un estacionamiento para triciclos y bicicletas se contaron 50 timones y +13 ruedas $uántos triciclos hay&
a< / d< 4
b< 5 e< 8
c< 3
0. 7ebo pagar 055 soles con 14 billetes de cinco y diez soles debo emplear. a< +1 d< 0/
b< 05 e< +5
c< +0
1. !n un trueque por 08 cuadrados se reciben 05 triángulos y por 05 triángulos reciben 9 círculos $uántos cuadrados puede recibir por 5 círculos& +5. $%ué nmero le debe sumar al numerador y denominador +D+8 para obtener +D5&
a< / d< +0
b< 1 e< 08
c< 9
3. !n un Eazar se observa que el precio de 3 pantalones equivalen al precio de +- camisasZ 5 camisas cuestan tanto como 8 chompas. $uántas chompas se pueden comprar con 0 pantalones& a< 5 d< 9
b< 4 e< 8
c< +-
5. ?ace algunos a(os, el cambio monetario era el siguiente# 4 soles 5 cruzeiros
+- cruzeiros / pesos
1 pesos 3 dólares
$uántos soles daban por 0 dólares& a< +/ b< +4 c< +-,5 d< +3 e< +1 /. on 1 desarmadores se obtiene un alicate, con 1 alicates un martillo. $uántos martillos se obtendrán con ++8 desarmadores& a< +0 b< +c< 9 d< +3 e< +1 8. !l traba"o de cuántos hombres equivaldrá al traba"o de 4 ni(os, si el traba"o de 3 ni(os equivale al de 1 ni(os, el de una mu"er al de 0 ni(os y el de 1 mu"eres al de un hombre a< + d< 3
b< 0 e< /
c< 1
4. $%ué suma necesitará un gobierno para pagar a 3 generales, si el sueldo de / coroneles equivale al de +- comandantes, el de 5 comandantes al de +0 tenientes, el de 0 generales al de 3 coronelesZ el de / tenientes al de 9 sargentos y si 3 sargentos ganan SD. 03-- al mes& a< SD.+3--c< SD.10/-e< SD.044--
++. !n cierta distribuidora de autos se observa que # el precio de +5 autos =>=2 es igual al de ++ MJZ 9 MJ cuestan tanto como 0- @L2=Z el precio de ++ @L2= equivale al de B =>=2 # ?allar RBR a< 1D0 d< 4D1
b< 9D0 e< 08D3
c< 1
MHTODO DE% !ANRE#O Se emplea este método e)ectuando las operaciones empezando del )inal Kdato< hasta el inicio Kincógnita< invirtiendo las operaciones dadas. Ejemplo ': Si a una cantidad la divides por 5 y luego la multiplicas por /Z al resultado obtenido le eBtraes la raíz cuadrada, luego le quitas 0 y )inalmente obtendrás 3Z $cuál es la cantidad inicial& a< +b< +5 c< 0d< 1e< /Resolución:
b< SD.033-d< SD.34---
9. !n cierto pueblo de la sierra se realiza un trueque# H H H H
5 sacos de papa se cambian por 3 de camote +- sacos de yuca se cambian por / de olluco 4 sacos de camote se cambian por 1 de olluco 0 sacos de yuca se cambian por B de papa.
?allar RBR. a< / d< 9
b< 4 e< A.2
c< 3
+-.Se sabe que 4 operarios de la L2 2 producen tanto como 5 operarios de la L2 E,/ de la L2 7 producen tanto como 5 de la L2 Z / de la E tanto como ++ de Z 4 de 2 $2 cuántos de la L2 7 equivale su producción& a< ++ d< 00
b< 4 e< 9
c< +5
∴
antidad Lnicial es 1-.
Ejemplo ): 6n pozo de agua se vacía en 1 horas. Si en cada hora se va la mitad de lo que había en esa hora más un litro, $cuántos litros tenía inicialmente&
a< +d< +/
b< +0 e< +4
c< +3
Resolución: !n este caso se traba"a con lo que queda en cada caso. Meamos# !n cada hora se vacía la mitad de lo que había en esa hora, luego más un litroZ entonces le queda en cada caso la mitad K# 0< de lo que había en esa hora menos un litro KO+<.
+. $uál es el nmero que multiplicado por /, a(adiendo +4 a este producto y dividiendo esta sume entre 1, se obtiene 03&
0. ;anuel le dice a SaraZ si a la cantidad de dinero que tengo le agrego 0- soles luego 0- soles, luego a ese resultado lo multiplico por /, para quitarle a continuación 03 soles y si a ese resultado le eBtraigo la raíz cuadrada y por ltimo lo divido entre 1, obtengo 4 soles lo que tiene al inicio es#
∴
=enía +3 litros al inicio.
Ejemplo *: 2urelio, Eeto y arlos se ponen a "ugar con la condición de que el que pierde duplique el dinero de los demásZ si cada uno pierde una apuesta y al )inal terminan con SD. 34, SD. 5/ y SD. 04, $cuánto tenían inicialmente& a< 80Z 3- y 0- b< /-Z 50 y 0c< 3-, 80 y 0d< 10Z 4- y 0- e< 30Z 8- y 0-
1. Si a la edad de tu abuelito la multiplicamos por / luego lo divides por +- y el cociente lo multiplicas por 3 a(adiendo en seguida 30 obtendrías +/0 $uál es la edad de tu abuelito&
Resolución: 3. Si al doble de un nmero entero positivo disminuimos en tres, lo elevamos al cuadrado para
luego multiplicarlo por 3 y a este resultado le quitamos, elevando )inalmente lo que resulta al cuadrado, obtenemos como resultado +. ?allar el nmero
5. !n un establecimiento comercial se cuentan 05 Mehículos entre bicicletas y triciclos, si en total se cuentan /5 llantas. $uántos triciclos hay&
/. !n corral hay 90 patas y 1+ cabezas, si lo nico que hay son gallinas y cone"os. $uál es la di)erencia entre el nmero de gallinas y cone"os eBistentes&
8. !n grupo de carneros y gallinas el nmero de patas era 1/ y el nmero de cabezas era 05. $uántos carneros hay&
4. !n un teatro las entradas de adultos costaron SD. 1 y los de ni(os SD.+ concurrieron 850 espectadores y recaudaron SD.+403. $uántos eran adultos&
9. !n un corral se contaron 3- cabezas y +1- patas $uántos cone"os eBisten en el corral, si en dicho corral eBisten solamente cone"os y pollos&
+-. 2 un teatro entraron un total de 35- personas entre ni(os y ni(as, recaudaron SD. +0-- debido a que cada ni(o pago SD.1 y cada ni(a SD. 0 la di)erencia entre el nmero de ni(os y ni(as es#
++. !n un eBamen de 1- preguntas un alumno respondió todas y obtuvo 4- puntos, si cada pregunta correcta vale 3 puntos y cada incorrecta pierde + punto $!n cuantas preguntas se equivocó&
+0. Se tiene 3- billetes que hacen un total de SD.5--, si solo habían billetes de SD.0- y de SD. +-. $uántos hubieron de cada clase&
+1. /- personas via"an en un tren donde los adultos pagan / soles por pasa"e y los ni(os 0 soles. Si en total se llegó a recaudar 04- soles $uántos adultos via"aron&
+. Si a un nmero se le multiplica por dos, se resta 05 para luego dividirlo por 5 y sumarle 0, se obtiene ++. alcule dicho nmero#
+3. ;anolito compra 18 libros, unos le costaron +0soles y otros 0-- soles cada uno si gastó 5/3soles $uántos libros de mayor precio compró&
a< 0d< 5-
c< 3-
0. ;ultiplicamos por / la edad de @ernando, a(adiendo al resultado 04, dividiendo el nuevo resultado por 3 obtenemos por )in 05. $uál es la edad de @ernando& a< ++ d< +5
+5. arlos tiene / billetes de cinco y de diez soles, si en total tiene 35 soles $uántos billetes de menor denominación tiene&
b< 15 e< /-
b< +0 e< 08
c< 05
1. Si an nmero lo multiplicamos por 9 y al resultado le quitamos +1, obtenemos otro nmero que dividido por +- nos da como resultado 5. $uál es el nmero inicial& a< 4 d< +0
b< +e< +5
c< 8
3. Si an nmero le multiplico por 4 luego lo divido por +- y el cociente lo multiplico por 1 a(adiendo en seguida 1/, entonces obtendría +4- $uál es el numero inicial& +/. !n un pueblo eBiste un santo que hace milagros de duplicar el dinero que uno tiene, pero por cada milagro que hace se le debe de"ar una limosna de +/ soles si luego de hacerle 1 milagros seguidos a un devoto esté salió de la iglesia sin un centavo $uántos tenía entrar&
a< 3d< /-
b< 54 e< 50
c< 35
5. ?allar un nmero que de manera que al multiplicarlo por 1 y aumentarle 3 resulte un nmero tal que al dividirlo por 3 y restarle 1, se obtenga 8. a< +0
b< 0+
c< 10
d< +9
e< 0/
/. :a cantidad de alumno disminuido en 0-, es tal que su tercera parte disminuido en 0-, resulta + calcular la cantidad de alumnos en cuestión. a< 4d< 93
b< 80 e< +-5
c< 41
8. $uál es el nmero que multiplicado por /, a(adiendo +4 a este producto y dividiendo esta suma entre 1, se obtiene 03& a< / d< 0
b< 9 e< 3
c< 4
b< ++ e< +0
c< /
9. !n un grupo de carneros y gallinas y el nmero de patas era 1/ y el nmero de cabezas era +5 $cuántos carneros hay& a< 5 d< 0
b< 3 e< /
c< 1
+-. ;iguelito tiene 13 animales entre gallitos y perritos $uántos perritos tiene ;iguelito& Si en total hay +-- patas a< +3 d< 0-
b< +/ e< 00
c< +4
++. 6n nmero se divide entre 0 al resultado se eleva al cuadrado luego se divide entre 3 y por ltimo se le eBtrae la raíz cuadrada obteniendo 5 $uál es el nmero inicial& a< 0d< +0
b< 3e< +-
a< 0 d< 1
c< /-
b< 3 e< 5
c< +
+1. Si an nmero se le resta 10, a la di)erencia lo dividimos entre 4, por ltimo a este resultado se le multiplica por 3 se obtiene como resultado 0-. ?allar este nmero. a< /3 d< 9/
4. !n un zoológico hay leones y gorriones si en total hay veinte cabezas y /0 patas $uántos leones hay& a< 04 d< 8
+0. 2 un cierto nmero lo multiplicamos por 0, al resultado le a(adimos / y dicha suma la dividimos entre 3, obteniendo )inalmente 0 $uál es el nmero&
b< 80 e< //
c< 83
+3. Si a mi edad la multiplicamos por 0, le resto 0 a todo esto lo divido entre 0, al cociente le agrego 0 y le eBtraigo la raíz cuadrada al resultado, obtengo 3 a(os. $uál es mi edad&
a< +5 d< /-
b< 05 e< 3-
c< 1-
+5. Si a la edad de tu abuelito lo multiplicamos por /, luego lo dividimos por +- y el cociente lo multiplicamos por 3 a(adiendo en seguida 30 obtendrías +/0. $uál es la edad de tu abuelito&
a< 3d< 30
b< 1/ e< 5-
c< /-
+/. 2 un cierto nmero lo dividimos entre /, al resultado hallado le sumamos 0, a este resultado lo multiplicamos por 1, a este nuevo resultado le restamos 8, a este nuevo resultado le eBtraemos su raíz cbica, obteniendo como resultado )inal 0. ?allar dicho nmero# a< 03 d< +3
b< +4 e< +/
c< 0/
+8. Se quieren embotellar +++ litros de aceite en 08 botellas, una de 5 litros y otra de 1 litros $uántas botellas más de 5 litros hay que de 1& a< 1 d< /
b< 3 e< 0
c< 5
+4. !n una gran"a se crían gallinas y cone"os, contándose en total 34 o"os y /4 patas. $uántas gallinas hay& a< +0 d< +5
b< +1 e< +/
c< +3
+9. 7ebo pagar 0+5- soles con billetes de 5- y +-soles $uántos billetes de +-- soles debo emplear& a< +5 d< +9
b< +/ e< 0-
c< +8
0-. !n un eBamen un alumno ha contestado 5preguntas obteniendo ++- puntos, por cada respuesta buena ganan 3 puntos y por cada respuesta incorrecta pierde + punto $uántas respuestas malas ha contestado&
:os
problemas
presentan
las
características
siguientes# +< %ue tenga 0 incógnitas. 0< %ue eBisten los valores numéricos de dichas incógnitas. 1< Se conozcan los valores unitarios de cada una de las incógnitas. 3< Se conozca el valor numérico producido por las incógnitas. !"emplos# +< !n una gran"a donde eBisten cone"os y gallinas se cuentan /- cabezas y +5- patas. $uántos cone"os y cuántas gallinas hay& a< +5Z 35 b< 15Z 05 c< 05Z 15 d< 35Z +5 e< A.2. Solución# 2 =otal de elementos E recaudación total producida por el total de elementos K2<. ;ayor valor por unidad. 7 ;enor valor por unidad. /
B a< +4 d< 13
b< 10 e< 1/
c< 0B
A
A de gallinas
AxC C
Para el problema tendremos#
MHTODO DE ROM1O 3 patas Kcone"os )
− B
− D
>
/- cabezas
+5patas
+. ;iguelito tiene 13 animales entre gallitos y perritos. $uántos perritos tiene ;iguelito& Si en total hay +-- patas KeBtremidades<
0 patas Kgallinas ) A de gallinas
0 x + − 10 +−2
= +
A de cone"os /- O 35 +5 Fpta. Ka< 0< Se desea pagar una deuda de SD.+38 con 19 monedas de SD.5 y SD.0 $uántas monedas de cada tipo se tendrá&
0. !n grupo de carneros y gallinas el nmero de patas era 1/ y el nmero de cabezas era +5 $uántos carneros hay&
Solución# Por el método del rombo, tendremos# 1. !n oológico hay leones y gorriones si en total hay 0- cabezas y /0 patas $uántos leones hay&
SD. 5 Kmonedas) >
19 monedas
SD.+38 3. 6na ca"a contiene SD.03-- en billetes de +- y +-soles, si hay doble nmero de primeros que los segundos. $uántos billetes hay en +- soles&
SD.0 Kmonedas< ;onedas de SD.0
'* x − 1+ −2
= 1
;onedas de SD.5 19 H +/ 01 5. 7ebo pagar 055 soles con billetes de cinco y diez soles $uántos billetes de diez soles debo emplear&
/. ;anolito gasta la mitad de lo que tiene más SD.+-. si gastó todo en 3 días $uánto de dinero tenía ;anolito&
+-. !n la avícola don Pedro, por 1 patos dan 0 pollos, por 3 pollos dan 1 gallinas, por +0 gallinas dan 4 monos, 5 monos cuestan 85- soles. $uántos tengo que gastar para adquirir 5 patos&
++. !n una librería el costo de 5 cuadernos equivale al costo de 1 lapiceros, el costo de 9 lapiceros es de SD. +-. $uántos cuestan +0 cuadernos& 8. !n una )actoría hay entre bicicletas y autos 1-- y el nmero de llantas es 4-- $uántos autos hay&
4. Sabiendo que / manzanas cuestan lo mismo que 3 plátanos cuesta 0 soles $uántos costaron +0 manzanas&
9. !n un trueque por un cuadrado se reciben 3 círculos y por / círculos se reciben 1 triángulos $uántos cuadrados pueden recibirse por 03 triángulos&
+0. 6n nmero es multiplicado por tres luego se le resta 4, a este resultado se le divide por 0 para luego al resultado sumarle 4 $uál es el nmero inicial, se obtuvo 39&
+1. on tres desarmadores se obtiene + alicate, con tres alicates un martillo. $uántos, martillos se obtendrán con ++8 desarmadores&
+3. !n un co)re hay un total de SD.+41 en 35 monedas de SD.5 y SD.0 $uántas monedas son de mayor denominación&
+. !n un corral donde hay cone"os y gallinas se cuentan en total +4 cabezas y 50 patas $uántas gallinas hay& a< +d< 5
b< 4 e< 3
c< /
0. 2 un parque concurrieron varios ni(os algunos con sus triciclos y otros con sus bicicletas si en total hubieron 93 timones y 00/ ruedas $uántos vehículos de cada tipo hubieron& +5. !n un corral en el cual hay solamente pollos y corderos se cuentan en total 15 cabezas y 9/ patas $uántos corderos hay en el corral&
a< 5/ y 14 d< /- y 13
b< 4- y +3 e< 5- y 33
c< 8- y 03
1. !n una billetera hay 03 billetes que hacen en total de 5/- soles si solo hay billetes de 5- soles y de +- soles $uántos billetes de menor denominación hay&
+/. !n una )eria agropecuaria se observó que por cada cinco patos dan tres pollos, por cada 3 pollos daban seis gallinas, por doce gallinas deben dos corderos y seis corderos valían SD.03- $uántos costaban siete patos&
a< +/ d< 3
b< 4 e< 9
c< +0
3. !n cierto espectáculo las entradas cuestan# adultos SD. +0 y ni(os SD.5 si la asistencia )ue de ++0 espectadores y se recaudó SD. 43- $uántos ni(os asistieron& a< 3d< +0
b< 80 e< 03
c< /-
5. !n corral hay +8 animales entre gallinas y cone"os si en total hay 53 patas $uántos cone"os hay& a< +d< /
b< 8 e< 5
c< +0
/. !n un corral hay entre cerdos y gallinas hay // cabezas y además se cuentan +44 patasZ hallar el nmero de gallinas
a< 14 d< 5-
b< 04 e< 34
c< 1-
8. Se ha pagado una deuda de 0/5 soles empleando monedas de 5 soles y de 0 soles. Si en total se dieron 41 monedas $uántas monedas de 5 soles se utilizaron& a< 10 d< 1/
b< 11 e< 1+
c< 15
4. !n un taller hay triciclos, si en total se cuentan 34 vehículos y ++4 ruedas, hallar el nmero de bicicletas. a< 00 d< 05
b< 0/ e< 01
c< 03
9. Se tiene SD.++3 en monedas de SD.5 y de SD.0 $uántas monedas de SD.5& a< +/ d< +5
b< +8 e< 0+
c< +4
a< ++ d< +3
a< 1/ d< 15
b< 14 e< 11
c< +1
+0. Se compraron 18 prendas entre camisas de +5 soles cada una y pantalones de 04 soles cada uno, ocasionando un gasto de 44- soles. $uánto se pagó sólo por las camisas& a< +45 d< +95
b< +4e< +8-
c< +9-
+1. !n una combi via"an +0 personas entre ni(os y adultos, el pasa"e de un ni(o cuesta SD.0 y el adulto SD. 5 si la recaudación )ue de SD. 34. $uántos ni(os via"aron& a< 3 d< 8
b< / e< 9
c< 5
+3. =engo 5- billetes, unos de +- soles y otros de 5soles, si uso todos los billetes que tengo para pagar una deuda de 84- soles $uántos billetes son de SD.+-& a< 15 d< 3+
+-. !n zoológico hay /- animales entre aves y )elinas, si en total se cuentan 0-3 patas $uántas alas hay en total&
b< +0 e< +5
b< 31 e< 09
c< 0/
+5. :upe tiene SD. /+5 en billetes de SD.+- y de SD. 5, si en total de 8/ billetes. $uántos son de SD. 5& a< 0+ d< 08
b< 09 e< +9
c< 01
c< 13
++. Se tiene SD. 45- entre billetes de SD.0- y de SD. 5-, si en total se tiene 0/ billetes. $uántos son de SD. 5-&
+/. !ntre gallinas y cone"os se cuentan en un corral 34 cabezas y +54 patas. $uántas gallinas y cone"os hay& a< +8 y 1+ d< +4 y 1-
b< +/ y 10 e< +- y 14
c< 00 y 0/
+8. Santiago empleó +81+ soles en comprar 3- camisas de 35 soles y de 30 soles $uántas camisas de 35 soles compró& a< +8 d< 00
b< 01 e< 08
c< +9
+4. =enemos 0- billetes de SD.+- y SD. 5. Si usamos todos los billetes en el pago de una deuda de SD+1- $uántos billetes son de SD. +-& a< 0 d< 4
b< 3 e< +-
c< /
a< +4 d< 01
b< +9 e< 05
c< 0+
0-. 2 una )undación de cine asistieron 015 personas entre ni(os y adultos los primeros pagan SD.5 por entrada y los adultos SD.4 si en total se recaudó SD.+803. $uántos ni(os asistieron& a< 34 d< 83
b< 50 e< 4+
c< /1
+9. !n una cochera se cuenta, 31 vehículos entre automóviles y bicicletas. Si se cuentan en total +1/ llantas $uántos automóviles hay&
F
G
De3iniciones previas L Enunciados a,iertos Son aquellos en que aparece por lo menos una letra o palabra, llamada varia,le, que al sustituirla por valores determinados se trans)orma en una proposición. " e & $ a " la $ a & %a l e e n e " ) " e e l " e " la le ) & a x H
!"emplos# V V V V
1*B4 B[/ 3B H + \ 9 5B * 0 +0
L $roposición
!s una eBpresión de nuestro lengua"e a la que se le puede asignar el cali)icativo de verdadero o bien de 3also, pero no ambos a la vez. A D # I C a ' & " % ( % n e " $ e & * a * e & a " ' ? a l" a " H A $ e & %g # a & ( # l e " " n H
!"emplo# V V V V
+- [ 3 ;iguel Crau nació en Piura. 1[4 / es un nmero impar.
L Ecuación !s una igualdad de eBpresiones, donde una de ellas encierra cantidades desconocidas Kincógnita<, y al resto corresponden valores condicionales pero determinados. !"emplo# V 5B 0-
V 1B * / +5 V 0B H 9 +8
5. Si es que hubiera )racciones en la ecuación se multiplicará a ambos miembros de la ecuación por el ;; de los denominadores y luego se aplicará las reglas anteriores. !"emplo#
Resolución de ecuaciones Se llama resolución de una ecuación, al procedimiento por el cual se halla el valor de la incógnita. Fesolver una ecuación o despe"ar la incógnita es aplicar este procedimiento.
A.Ecuación de primer rado con una varia,le ax
+
b
=
1 e & %e 4 & 5 < la * 5 %J D H =
c
3 B H 0 7 * 2B 2 5 4
;; K0Z 3Z 5< 0Se tiene# 5 10 3 20 K 2 0 <2 = 20 4 1
+5B H 3- 8- * 4B 8B ++-
2 * 5 %e 4 & 5 < la * 5 * e &H =
B
Pasos para resolver# +. Se trasladan todos los términos con variable a un miembro de la ecuación y todos los nmeros al otro miembro. ualquier término que se traslade de un miembro cambia de signo. !"emplo# 9 F 6 F 4 K 3 G 8 F 2 F 16
9B * /B H 1B H 0B 4 * +/ H 3 0. Se reducen términos seme"antes. 7el e"emplo anterior# +5B H 5B 03 H 3 +-B 01. !l coe)iciente de la variable pasa a dividir al nmero Ko se le eBtrae el máBimo )actor si es posible<, luego se simpli)ica. B
20 10
+. ?allar RBR#
110 7
B*18
Fesolución# Festando a ambos miembros K1<# B *3 H 3 8H 1 B3 0. ?allar RBR# 0B H / B * +Fesolución# =ener la variable en un solo miembro# 0B H B +- * / B +/ 1. ?allar RBR# 0KB * 5< +3 Fesolución# 2plicando la propiedad distributiva# a< F (= G a F a(
0B * +- +3 0B +3 H +0B 3
∴B0
9K0< * /K0< * 3 H 1K0< 4 * 0K0< * +/ 04 04 ∴ B 0 ]es correcto^
2 5 1
Ejemplo aplicativo:
ó +-B 0-
3. Se reemplaza el valor obtenido en la ecuación original para comprobar si es correctoZ si lo es debe veri)icar la igualdad.
4 7 F 20 2 1
B 4
B0
2
3. ?allar RBR#
* 02 3
Fesolución# bteniendo el ;; de los denominadores 0 y 1#
;; K0Z 1< /
:uego#
+< B * 1 5
3 + 2 06
5 20 6
B
5B +0-
120 5
5. ?allar RBR#
0< 0B H + 8
B 03
+1 + 5 = 2 3
Fesolución# ;ultiplicando en aspa#
1< 1B * / * B +-
F 1 F 5 2 3 3 < F 1= 2 < F 5 =
1B * 1 0B * +1B H 0B +- H 1 B8 /. ?allar RBR#
3< 3 KB H 0< +/
0B * +- B * 04
Fesolución# 2 F 10 F 28
0B H B 04 H +B +4
5< 5 KB * 4< /-
8. alcular RBR# * +- B * 20 3 3
/<
Fesolución# 3
F 10 3
3 F
20 3
2 =6 3
F 30 3 F 20 30 K 20 3 K 10 2
10 2 =>
?allar RBR en cada una de las ecuaciones propuestas.
+1 + 3 8< 3 = 4
4< 2 + 5 = 14
9< /B * 8 KB H +< 10 1< 1B H 1 8 H 0B
+-< 0 KB * 9< H 4 KB H 1< 5+ H 9B 3< B * 1KB H 0< 0B O 3
5< 0KB * 5< +3
hallar RBR en cada una de las ecuaciones dadas a continuación. +< 0B * 4 0/ /< 1KB H /< 08
0< 1B H 8 +3
8< 5KB * 4< 5++< 0KB * 1< 5KB H +< H 8KB H 1< * 0
4< 0KB H 9< * 3 1+0<
1B * 3KB H 0< 1K0B H +< H 5
+1<
B H 1 H 0K/ H 0B< 0K0B H 5<
+3<
1B +4
9< 3KB * +< H 0- 04
+-< 0KB H 5< * 1KB * 5< 0-
0
5< 7 04 3
+/<
+9<
3< K 8= 0+ 5
+8< 4 + 2 8 6
+4<
+ 2 3
0-
2 K 5 4
9
0-< 1B * 2 88 3
0+<
+1 + 5 = 2 3
00<
2 K 8 3 K 10 = 3 4
5 +2
++. alcular “B en# 01< 3B H 9 * B 0B * 4 H B * 1
2 +4 3
+0. alcular “B en#
+1.alcular “B en#
3< − 8= = 21 5
4 + 2 = 7 6
+3.alcular “B en# 0KB H 5< * 1KB * 5< 003< B * +1 H 0B H 0- H 1B 3- * 0B H 4- H B H 8
+5.alcular “B en# 3K0B * 1< * 5K1B H /< 5 +/.alcular “B en# 1K3B H 8< H 0KB H 9< 18 +8.alcular “B en# 3K5B * 0< H 8K1B * 5< B H 1+ +4.alcular “B en# 1KB * 0< H 0KB H 0< ++9.alcular “B en# 0-. alcular “B en#
2 − =9 5 4
3 + 2 = 77 3
0+.alcular “B en# 3 2 − 2 5
+. alcular “B en# 0B * 9 +8 0. alcular “B en# 3B H +/ 34 1. alcular “B en# 0B * 9 39 3. alcular “B en# 1B * +4 B * 30 5. alcular “B en# 3B H 9 * B 0B * 4 H B * 1 /. alcular “B en# 1KB H /< 08 8. alcular “B en# 5KB * 4< 54. alcular “B en# 0KB H 9< * 3 19. alcular “B en# 3KB * +< H 0- 04 +-.alcular “B en#
= +8 10
00. alcular “B en# B * +1 H 0B H 0- H 1B 3- * 0B H 4- H B H 8 01. alcular “B en# 8 * 3B H 5 * /B H +5 H B HB * +4 H 0B * 09 03. alcular “B en# /B H +1 * 3B H +8 11 H /B * + 05. alcular “B en# B * +- H B * 0- H 0B * 1- * 0B * 5- * 1B * /- H 1B * 3B 0+-
0/. alcular “B en#
5KB * 3< H /KB H 8< * 1K0B * 9< 3KB * 0-< * +08. alcular “B en# 3 2
1-. alcular “B en# 2KB * 0< * 1 KB * 0< 0B * + 3 3
H / 3 KB * +<
04. alcular “B en#
4
2 KB * +< 3 KB * 0< 5 10
09. alcular “B en#
1KB * +< H 1KB H +<
+2 2
- l & * # ( ) * e ) & e " n + e & " e n ) e & " ( n " e ( # ) % $ " e " 4 8 $ e ( e " e l %n ) e & e * % H L # le " " n l " n + e & " O
L # e " l a n ) e a & # n a e ( # a ( %, n O P la n )e a & # n a e ( # a ( %, n e " ) & a n " ? & a & # n a ? & a $ e & a l a # n a ? & a " % , l% ( a
L # " % g n %N ( a e " O S %g n %N ( a D # e $ a " a ) & a * # ( %& & a ( % n e " e n # n ( % a * " # ) % l% J a n * e & e " % n e " a ) e ) %( a " ( la " $ a & %a l e " ' l a " ( n " ) a n ) e "
> n e ; e l * e la n ) e a & # n a e ( # a ( %, n e " e l ( n ( %* & le a * e la a * % $ %n a * & a a ( n ) %n # a ( %, n l & n e " H
%a adivinadora
6n e"emplo de plantear una ecuación es el conocido problema de la adivinanza, a continuación lo propondremos# P %e n " a # n n + e & # l) % l( a l & 5 " + a le 8 ' * % e e l & e " # l) a * 58
A C Q H HH e n ) n ( e " e n "a " )e e n e l n + e & 1 0 S %Q H H H a * % $ %n a " ) e
I. Trans3ormación del lenuaje natural ;3orma ver,al< al lenuaje sim,ólico ;3orma matem-tica< 2 continuación se presentan diversos enunciados en lengua"e natural y hay que hacer su correspondiente representación en el lengua"e matemático. :as incógnitas se representan con las letras# “B, “y, “z, “n, “m, etc.
II. Escri,ir un enunciado ver,al para las siuientes e6presiones matem-ticas:
$asos para resolver pro,lemas de planteo de ecuaciones
Fesuelva laKs< ecuaciónKes< que respondeKn< laKs< preguntaKs< del problema.
$aso '
) e l$ % * e " D # e la " a la & a " " * a R e " # l) a - D # %$ a le Ta n ) ( - " " e & " e &Ia " n e )( H " %g n %N ( a n %g # a l < G =
:eer cuidadosamente el problema. Si es necesario, hágalo más de una vez. !labore una síntesis de sus partes principales. Separe los datos del problema. !labore un esquema y ubique los datos. $aso ) 7e)ina sus incógnitas Krepresentadas por las variables<, las cuales generalmente se encuentran en la pregunta del problema. =rans)orme el enunciado verbal a lengua"e simbólico o matemático. @í"ese que el nmero de incógnitas sea igual al nmero de ecuaciones planteadas. $aso *
2 continuación veremos algunos problemas resueltos de )ormas verbales comunes usadas en el planteo de una ecuación# +. :a edad de Guan aumentada en 4 es 08. $uál es la edad de Guan& Fesolución# Sea
-*a*
82H0 8*02 ⇒29 ∴ !l valor de R2R es 9.
P& *a) *el &lea F 8 27 27 K 8 ⇒ 19
∴ /a e*a* *e U#an e" 19H 2H -l *le *e #n n+e& e" *%"%n#%* en 70 ' &e"#l)a 48H L#l e" el n+e&O Re"l#(%,n Sea
+e&
P& *a) *el &lea 2 K 70 48 2 70 F 48 2 118 ⇒ 59
6H
!l dinero que tengo aumentado en su mitad es SD.35. $uánto tengo& Fesolución# Sea# 7inero 7 Por dato del problema# 7 * 35
2 3 35 2
∴ =engo SD.1-
⇒ 7 1-
∴ -l n+e& e" 59H
1. !l triple de la suma de un nmero con / es 34. $uál es el nmero& Fesolución# Sea# Amero A Por dato del problema#
+. !l doble de un nmero aumentado en 1 es 8. ?allar dicho nmero.
1KA * /< 34 1A * +4 34 1A 1⇒ A +∴ !l nmero es +-. 3. !l nmero de hombres es cinco veces el nmero de mu"eres. Si en total hay 30 personas entre hombres y mu"eres, $cuántas mu"eres hay& Fesolución# Amero de mu"eres B Amero de hombres 5B Por dato del problema# B * 5B 30 /B 30 ⇒ B8 ∴ !l nmero de mu"eres es 8. 5H
!l eBceso de +5 sobre 4 es igual al eBceso de R2R sobre 0. $uánto vale R2R& Fesolución# Por dato del problema# +5 H 4 2 H 0
0. !l doble de la suma de un nmero con 5 resulta +0. ?allar dicho nmero.
1. !l triple de un nmero disminuido en 4 es 05. ?allar el nmero mencionado. 8. :a quinta parte de un nmero aumentada en 3 resulta +4. ?allar dicho nmero.
3. !l triple de la di)erencia de un nmero con / resulta 19. ?allar el nmero mencionado.
5. !l eBceso de un nmero sobre +- es 0-. ?allar dicho nmero.
4. :a mitad de un nmero sumada con su tercera parte resulta 1-. ?allar dicho nmero.
9. :a suma de dos nmeros consecutivos es 05. ?allar el mayor de ellos.
/. !n una )iesta se observa que el nmero de hombres es el cuádruple del nmero de mu"eres. Si hay un total de +-- personas, $cuántas son las mu"eres& +-.:a suma de tres nmeros pares consecutivos es 80. ?allar el menor de ellos.
*= 27
e= 29
7H T&e" n+e&" a&e" (n"e(#)%$" "#an 102H L#l e" el en& *e ell"O a= 32 *= 30
= 34 e= 38
(= 36
8H T&e" n+e&" %a&e" (n"e(#)%$" "#an 159H L#l e" el a'& *e *%(C" n+e&"O a= 51 *= 57
A (n)%n#a(%,n "e &e"en)a&n en#n(%a*" ' )# la& e")%a* al#n *e &%e& a "e& &e"l$e& la" e(#a(%ne" a&a llega& a la &e"#e")a *el &leaH
= 53 e= 56
(= 55
9H >n n+e& a& " (#a)& $e(e" "# a& (n"e(#)%$ "#a 58H L#l e" el n+e&O a= 10 = 12 (= 14 *= 8 e= 16 10H -l ((%en)e en)&e *" n+e&" na)#&ale" (n"e(#)%$" e" 4!5H L#l e" el &*#() en)&e ell"O a= 20 = 80 (= 10 *= 12 e= 14 11H >n n+e& na)#&al "e a#en)a en 124 #n%*a*e" &e"#l)an* (%n( $e(e" el n+e&H L#l e" el n+e&O
Nivel I
1H LA D# n+e& *ee" "#a& 8 a&a )ene& 15O a= 7 *= 10
= 8 e= 24
(= 23
2H Le D# n+e& *ee" &e")a& 4 a&a )ene& 9O a= 9 *= 18
= 13 e= 4
(= 5
3H S% a #n n+e& en)e& le ag&ega" 80 #n%*a*e" &e"#l)a "# D#n)#leH L#l e" el n+e&O a= 20 *= 40
= 60 e= 100
(= 80
4H S% a 240 le &e")a" el )&%le *e #n n+e& &e"#l)a el ")#le *e 25H L#l e" el n+e&O a= 30 *= 70
= 40 e= 60
(= 50
5H " n+e&" (n"e(#)%$" "#an 71H L#le" "n l" n+e&"O a= 35; 36 *= 40; 41
= 36; 37 e= 38; 39
(= 34; 35
6H #a)& n+e&" na)#&ale" (n"e(#)%$" "#an 110H L#l e" el a'& n+e&O a= 26
= 28
(= 30
a= 30 *= 33
= 31 e= 34
(= 32
12H -l &*#() en)&e #n n+e& en)e& ' el %" n+e& a#en)a* en 5 e" eD#%$alen)e a "# (#a*&a* a#en)a* en 50H L#l e" el n+e&O a= 10 *= 16
= 12 e= 18
(= 14
13H -l *le *e #n n+e& a#en)a* en 23 e" 75H Xalla *%(C n+e&H a= 32 *= 25
= 26 e= 30
(= 28
14H -l (#*le *e #n n+e& *%"%n#%* en 36 e" 88H Xalla& *%(C n+e&H a= 29 *= 30
= 28 e= 31
(= 34
15H -l )&%le *e la "#a *e #n n+e& (n 10 e" 45H Xalla& *%(C n+e&H a= 4 *= 7
= 5 e= 8
(= 6
16H -l D#n)#le *e la *%?e&en(%a *e #n n+e& (n 8 e" 70H Xalla& *%(C n+e&H a= 22 *= 25
= 23 e= 26
(= 24
17H /a (#a&)a a&)e *e #n n+e& *%"%n#%* en 6 e" 17H L#l e" el n+e&O a= 90 *= 93
= 91 e= 94
(= 92
18H /a (#a&)a a&)e *e la *%?e&en(%a en)&e #n n+e& (n 6 e" 24H L#l e" el n+e&O
+. ?allar el menor de tres nmeros consecutivos, si sabemos que la mitad del menor sumada con la quinta parte del nmero medio, equivale al mayor disminuido en 9. a< +4 b< 00 c< 03 d< 0/ e< 04 Fesolución# Sean los nmeros consecutivos# BZ B * +Z B * 0 Por dato del problema# +1 + = + 2− 9 2 5 !ntonces# 5B * 0B * 0 +-B H 880 1B ⇒B 03 Fpta.# c 0. ?allar el mayor de tres nmeros enteros consecutivos, si se sabe que la di)erencia de cuadrados entre el medio y el menor, eBcede al mayor en +- unidades. a< +0 d< +5
b< +1 e< +/
c< +3
Fesolución# Sean los nmeros consecutivos# nZ n * +Z n * 0 Por dato del problema# Kn * +<0 H n0 n * 0 * +n0 * 0n * + H n 0 n * +0 ⇒n ++ Aos piden# n * 0 1+ * 0 +1 Fpta.# b 1. !n tres canastas se tienen un total de /3manzanas. Si la primera canasta tiene el doble de manzanas que la segunda y +5 más que la tercera, $cuántas manzanas hay en la tercera canasta&
a= 100 *= 112
= 102 e= 108
(= 110
19H >n n+e& e(e*e en 24 a 38H Xalla& *%(C n+e&H a= 64 *= 50
= 6 e= 62
(= 60
a< 0/0 d< 018
b< +1+ e< 000
c< 038
Fesolución# Primera canasta 0m Segunda canasta m =ercera canasta 0m H +5 Por dato del problema# 0m * m * 0m H +5 /35m /55 ⇒m +1+ Aos piden# 0m H +5 0K+1+< H +5 038 Fpta.# c 3. :a suma de tres nmeros es 0--. Si el mayor eBcede al del medio en 10 y al menor en /5, hallar el nmero intermedio. a< /9 d< /0
b< /8 e< /5
c< /-
Fesolución# Amero mayor B Amero intermedio B H 10 Amero menor B H /5 Por dato del problema# B * B H 10 * B H /5 0-1B 098 ⇒ B 99 Aos piden# B H 10 99 H 10 /8 Fpta.# b 5. 6n nmero eBcede a otro en 0-- unidades y la suma de ambos nmeros es 3+/. $uánto vale el mayor&
a< 1++ d< 1+5
b< 1-/ e< 1-4
3. Se tiene dos nmeros consecutivos tal que si al séBtuple del mayor le aumentamos el quíntuple del menor obtendríamos +91. ?allar el nmero menor.
c< 1+3
Fesolución# Amero mayor A Amero menor A H 0-Por dato del problema# A * A H 0-- 3+/ 0A /+/ ⇒ A 1-4 Fpta.# e
5. Se tiene tres nmeros consecutivos. Si al cuádruple del intermedio le restamos el triple del mayor y a dicho resultado le agregamos el doble del menor resultaría +--. ?allar el mayor de ellos.
+. :a suma de tres nmeros consecutivos es +/4. ?allar el menor de ellos.
0. :a suma de cuatro nmeros consecutivos es 04/. ?allar el mayor de ellos.
1. :a suma de cinco nmeros consecutivos es 385. ?allar el nmero intermedio.
/. $uál es el nmero que eBcede a 8- en la misma medida en que +8- eBcede a 3-&
8. $uál es el nmero que eBcede a 09 en la misma medida en que 41 eBcede a dicho nmero&
4. ?allar un nmero que eBcede a 54 tanto como es eBcedido por 9/.
/. $uál $uál es el nmero nmero cuyo cuyo óctupl óctuploo aument aumentado ado en 03 es tanto como su quíntuplo más /-& a< +1 d< +/
b< +0 e< +8
c< +3
8. $uál $uál es el lado lado de un cuadra cuadrado do tal que que el doble doble de su perímetro, disminuido en 0- es igual al triple de su lado, aumentado en 1-& a< +d< 05
b< +0 e< 1-
c< +5
4. =res =res veces veces el nmero nmero de alu alumno mnoss del primer primer a(oZ aumentado en 5- nos da el doble del nmero de alumnosZ aumentado en 4-. $uántos alumnos son&
Nivel I
+. ?allar un nmero, tal que si a su doble le disminuimos 19 obtendríamos 05. a< 1d< 11
b< 1+ e< 13
c< 10
0. $uál uál es la edad dad de Gosé, osé, si sabe sabem mos que al seBtuplicarla, y luego restarle 10 obtenemos tres veces su edad aumentada en 3& a< +5 +5 a(os d< +0
b< +1 e< +3
c< ++ ++
1. $uánt $uántos os herman hermanos os tiene tiene 2ndrea, 2ndrea, sabiendo sabiendo que si al doble de ellos le agregamos +3, nos da el quíntuple de ellos, disminuido en +-& a< / d< 9
b< 8 e< +-
c< 4
3. $uá $uánt ntos os buzo buzoss tien tienee 7ieg 7iego, o, si sabe sabemo moss qu quee al octuplicarlos y restarle 4 obtenemos 8 veces dicha cantidad, aumentada en 1& a< +5 d< +3
b< ++ e< +/
c< +1
5. ?allar ?allar un nmero nmero tal que al triplica triplicarlo rlo y restar restarle le +4, nos da el doble del nmero aumentado en 0. a< +4 d< 0-
b< 0+ e< 04
c< 03
a< 1d< 5-
b< 14 e< 10
c< 3-
9. Si tres nmeros nmeros consecu consecutiv tivos os suman 19, hallar hallar el mayor. a< +0 d< +5
b< +1 e< +/
c< +3
+-.alcular +-.alcular el menor de dos nmeros consecutiv consecutivos, os, si al quíntuplo del mayor le restamos 00 obtenemos el doble del menor, aumentado en cuatro. a< 5 d< 4
b< / e< 9
c< 8
++. ++. 7ado 7ado tres tres nme nmero ross cons consec ecut utiv ivos os## el dobl doblee del del mayor más el triple del menor es igual al intermedio aumentado en /8. ?allar el mayor. a< +/ d< +9
b< +8 e< 0-
c< +4
+0.alcular el menor de tres nmeros consecutivos tal que si sumamos los tres nos da el cuádruple del mayor, disminuido en ++. a< 5 d< 4
b< / e< 9
c< 8
+1.Se tienen dos nmeros impares consecutivos tal que el séBtuplo del menor más el doble del mayor nos da 8/. ?allar el par siguiente al mayor.
a< +d< +3
b< 4 e< /
c< +0
+3.7ado cuatro nmeros consecutivos tal que la suma de los dos menores, aumentado en nueve es igual al doble de la suma de los dos mayores, disminuido en +-. alcular el menor. a< 5 d< 4
Nivel II
b< / e< 9
c< 8
+. Si se sabe sabe que :eonar :eonardo do mide tres tres cent centím ímet etro ross más que ;iNe y tres centímetros menos que Ghon y la suma de la talla de los tres es 539 cm, $cuánto mide Ghon& a< +4 + 4- cm d< +41
b< +4 +4/ e< +3 +3/
c< +4 + 43
0. :a suma de cua cuatro tro nmeros nmeros impares impares consecu consecutiv tivos os es 4-. $uál es el nmero mayor& a< 05 d< 08
b< 01 e< +9
c< 0+
1. $uál $uál es el nmero nmero que eBcede eBcede a 1/ tanto tanto como como es eBcedido por /3& a< 3d< 35
b< 5e< 10
c< 55
3. Eetty Eetty tiene tiene el triple triple que 2na 2na y armen armen SD.4 SD.4 más que Eetty. Si entre las tres tienen SD.8+, $cuánto tiene armen& a< SD.1d< 1/
b< 9 e< 15
c< 08
5. !l doble doble de la suma de de un nmero nmero con 8 es el triple triple del del eBce eBceso so del del nme nmero ro sobr sobree 4. ?all ?allar ar dich dichoo nmero. a< 10 d< 14
b< 13 e< 15
c< 1/
/. 6n ni(o tenía tenía SD./5. SD./5. Si gastó el cuádrup cuádruple le de lo que no gasto, $cuánto gastó el ni(o& a< SD.+1 d< +4
b< +0 e< +3
c< 50
8. !n una ca"a ca"a registrado registradora ra hay SD.8--, SD.8--, en billetes billetes de SD.+- y SD.5-. Si hay doble nmero de billetes de los primeros que de los segundos, $cuántos billetes de SD.+- hay& a< 0d< +-
b< /e< 3-
c< 1-
4. !n un teatro teatro hay cierta cierta cantidad cantidad de espectado espectadores. res. Si hubieran entrado 4-- espectadores más, habría el trip triplle de espe spectad ctadoores res que hay hay en este ste momento, disminuido en /-. 7iga usted cuántos espectadores hay en la sala. a< 03d< 34 34-
b< 31e< /3 /3-
c< 0+-
9. Si ganara ganara SD./- tendría tendría el cuádru cuádruple ple de lo que que me quedaría si perdiera SD.85. $uánto tengo& a< SD SD.+-d< +0 +0-
b< 44e< +1 +1-
c< +3 +3-
+-.Si +-.Si comp compra rara ra 3- libr libros os tend tendrí ríaa ent entonce oncess el quíntuple de lo que me quedaría si hubiera vendido 1, más +5 libros. $uántos libros tengo& a< 4 d< +/
b< +e< 0+
c< +0
Nivel III
+. 7entro 7entro de +/ a(os a(os tendré tendré el cuádr cuádrup uple le de la edad que tuve hace +3 a(os. $%ué edad tengo& a< ++- a(os d< 04
b< 00 e< 10
c< 03 03
0. !n cada día día de lunes lunes a "ueves "ueves gané SD.0 más más que el día anterior. Si luego de los cuatro días he recibido en total SD./-, $cuánto gané el martes& a< +0 d< 00
b< +3 e< +4
c< +/
1. !l martes martes gané el doble doble de lo lo que gané el lunes, lunes, el el miércoles el doble de lo que gané el martes, el "ueves el doble de lo que gané el miércoles, el viernes SD.1- menos que el "ueves y el sábado SD.+- más que el viernes. Si en los seis días he ganado SD.9++, $cuánto gané el miércoles&
a< SD SD.+03 d< +0/
b< +1 +1+ e< +1 +10
c< +1 + 11
NO!IONES $RE"IAS :os :os elem elemen ento toss que que inte interv rvie iene nenn son son los los su"e su"eto tos, s, a quienes corresponden las edades y los tiempos en el cual se presentan las condiciones del problemaZ como sabemos son pasado, presente y )uturo. Se puede habl hablar ar de vari varios os pasa pasado dos, s, vari varios os )utu )uturo ross pero pero el presente es nico. tros elementos son las edades que viene a ser el tiempo de vida del su"eto. TI$OS DE $RO1%EMA I. !uando !uando interviene interviene la edad edad de un solo sujeto. sujeto. #ea @>@ la edad a8tual de una persona enton8es dentro de @n@ años tendrá @> + n@ años y $a8e @m@ años tenJa @> ? m@ años.
Om Om
?ace RmR a(os BOm
m*n
?ace RnR a(os B*n
Se deduce
II. !uand !uandoo inter intervie vienen nen las edades edades de dos o m-s sujetos. !n estos problemas se debe tener en cuenta dos cuestiones importantes que )acilitan su resoluciónZ y se resuelven usando una tabla de doble entrada. Meamos# X a(e 5 aW"
Z T +
PASAV Y 20 15
V e n )& * e 3 aW "
PR-S - T25 20
+. :a suma en aspa de simétricamente son iguales
RE%A!I(N !ON E% AO DE NA!IMIENTO Si la la pers person onaa que que cump cumplilióó a(os a(os## 2(o de Aa Aacimiento
.> T> RY 28 23
valores
ubicados
*
!dad actual
2(o 2ctual
Si la la pers person onaa an an no cum cumpl plee a(os# a(os# 2(o de * Aa Aacimiento
*n ?oy tengo B
0. :os a(os que que pasan pasan de un tiempo tiempo a otro, otro, para todas todas las personas es igual. 1. :a di)e di)ere renc ncia ia del del nme mero de a(os (os entr entree dos personas permanece constante en el tiempo.
!dad actual
2(o O + 2ctual
E#EM$%O ': Gorge le dice a Gaime# >o tengo 1/ a(os, mi edad es la mitad de la que t tendrás cuando yo tenga la edad que t tienes. $%ué edad tiene Gaime& Fesolución# $ASADO $RESENTE 2TRO Gorge H 1/ B Gaime H B 80 Por lo tanto comparando por aspa# 1/ * 80 0B Fesolviendo# B 53 !ntonces Gaime tiene 53 a(os# !G!;P: 0 uando yo tenía la edad que tienes, t tenías la mitad de mi edad actual, pero cuando tengas la edad que tengo nuestras edades sumarán +-4 a(os. $uántos a(os tendrás cuando yo tenga /0 a(os& Fesolución# $ASADO $RESENTE 2TRO
>o B 0y +-4 O 0y = y B 0y ]2hora te toca a ti^ Por aspa se tiene que# '''''''''''' 2demás# ''''''''''''''''''''. Felacionamos las ecuaciones# '''''''. Fesolviendo las ecuaciones se tiene# '''. Fespuesta# '''''''''''''''''''
5 .:a edad de ;ilagros dentro de +- a(os será el cuádruple de la edad que tuvo hace / a(os $%ué edad tiene milagros&
+ .7entro de /- a(os ;artín tendrá el cuádruple de su edad actual, hace 5 a(os tenía.
/ .;aría tiene 3 a(os más que Focío, entre los dos tienen 04 a(os $%ué edad tiene ;aría&
0 .Si la edad de Ficardo dentro dentro de 1- a(os a(os será de 5- a(os $%ué edad tiene&
1 .7entro de 1- a(os la edad de :uis será el cuádruple de lo que tiene tiene actualmente. $%ué edad tiene& tiene&
3 .?ace +0 a(os la edad de 2ntonio )ue la tercera parte de su edad actual $%ué edad tiene ahora&
8 .:a edad que Fichard hace / a(os )ue la cuarta parte de la edad que tendrá dentro de / a(os $uál es su edad actual&
4 .7entro de 0- a(os tendré dos veces la edad que tenía hace 5 a(os $%ué edad edad tengo&
9 .6n padre tiene 3- a(os y su hi"o +0 a(os. $?ace cuántos a(os la edad del padre era 5 veces la edad del hi"o&
+- .6na dama tiene 1- a(os y su hi"o 4 a(os $al cabo de cuántos a(os la edad de éste será la tercera parte de la edad de ella&
+1 .6n padre tiene 3- a(os y su hi"o +5. $7entro de cuántos a(os la edad del hi"o será los 3D9 de la edad del padre&
+3 .:a edad de E es los 1D5 de 2 y la es los 1D4 de E, si los 1 tiene 81 a(os $%ué edad tiene E&
++ .7entro de /5 a(os tendré / veces la edad que tenía hace +- a(os. $uántos a(os tengo&
+5 .uando Pedro nació, :uis tenía 14 a(os. $%ué edad tiene :uis, si actualmente sus edades suman 4a(os&
+0 .7entro de 5 a(os la edad de Susy será el doble de la edad que tuvo hace 5 a(os $uál es su edad actual&
+/ .?ace 5 a(os un padre tenía 03 a(os más que su hi"o. alcular la edad del padre, sabiendo que dentro de +- a(os, la suma de las edades será /4 a(os.
8. ?ace 3 a(os tuve el doble de tu edad y actualmente nuestras edades suman 14 a(os. $uántos a(os tienes& a< +0 b< +/ c< +4 d< +5 e< +3 4. 7entro de / a(os tendré el triple de tu edad y actualmente nuestras edades suman 04 a(os. $uántos a(os tenía hace 1 a(os& a< 03 a(os d< 0+ + .?ace 3 a(os tenía ++ a(os. $uántos a(os tendré dentro de +- a(os& a< +5 a(os d< +3 a(os 0 .;i edad es
b< 05 a(os e< +9 a(os 1 '
c< 15 a(os
de la edad de Gorge. Si Gorge
tiene 1/ a(os, $uántos a(os tendré dentro de 3 a(os& a< +0 a(os d< +5 a(os
b< +1 a(os e< +/ a(os
c< +3 a(os
1. ;i edad hace 3 a(os era la mitad de mi edad actual. $uántos a(os tengo& a< / d< +0
b< 4 e< +/
c< +-
3. ?ace 0 a(os tuve la mitad de la edad que tendré dentro de / a(os. $uántos a(os tengo& a< 4 d< +3
b< +e< +4
c< +0
5. Segn el enunciado de la pregunta anterior, $qué edad tendré dentro de +3 a(os& a< 00 a(os d< 04
b< 0/ e< 10
c< 03
/. ;i edad actual es el triple de la edad que tuve hace +0 a(os. $uántos a(os tengo& a< +0 d< 0+
b< +5 e< 03
c< +4
b< 0/ e< 00
c< 04
9. =engo el doble de la edad que tuviste cuando nací. 2ctualmente tienes 35 a(os. $uántos a(os tengo& a< 1d< 0-
b< 05 e< 15
c< +5
+-.Segn el enunciado de la pregunta anterior, $cuánto sumaron nuestras edades hace 5 a(os& a< 85 a(os d< /-
b< 8e< 55
c< /5
++. Guan le dice a 2na# f;i edad es el cuádruple de la tuya pero dentro de +- a(os sólo será el doble. $uántos a(os tiene 2na& a< 1 a(os d< 8
b< 3 e< 4
c< 5
+0.Segn el enunciado de la pregunta anterior, $hace cuántos a(os Guan tuvo el séBtuplo de la edad de 2na& a< 0 a(os d< 5
b< 1 e< +
c< 3
+1. 6n padre tiene 19 a(os el hi"o mayor 8 a(os y el menor 5 a(os $?ace cuántos a(os la edad del padre era / veces la suma de las edades de sus dos hi"os& a< 1 d< /
b< 3 e< 8
c< 5
+3. 7entro de 5 a(os tendré el doble de a(os de lo que tenía hace 3 a(os. ?allar mi edad actual. a< +0 d< +5
b< +1 e< +4
c< +3
+5. :a edad de Fal dentro de +0 a(os será de 1/a(os $%ué edad tiene& a< +0 b< 03 c< 4 d< +4 e< +/ +/. la edad de :uis eBcede en 5 a la edad de ésar si la suma de sus edades es 1+. Lndicar la edad de :uis. a< +/ d< 1-
b< +4 e< 0-
c< 04
+8. :a edad de arlos es igual al doble de la edad que tenía hace / a(os $uál será la edad dentro de 5 a(os& a< +4 d< +3
b< +/ e< +8
c< +5
+4. 6na se(ora tiene su bebé a los 03 a(os, dentro de cuántos a(os la edad de la madre será a la de la hi"a como 5 es a 0 a< +0 d< +4
b< +3 e< 0-
c< +/
+9.;aría tiene 3 hi"os, Aataly de +3 a(os, Manesa de ++, arina de 1 y ;anolito de 0 a(os. Si ella tiene 19 a(os, $dentro de cuántos a(os su edad será igual a la suma de las edades de sus hi"os& a< + a(o d< 3
b< 0 e< /
c< 1
0-.:a edad de Fosa es la cuarta parte de la edad de su padre, que tiene 1/ a(os. $7entro de cuántos a(os la edad de ella será la mitad de la edad de su padre& a< 5- a(os d< 5/
b< 1e< 53
c< +4
0+.uando nací, mi padre tenía 14 a(os. $%ué edad tiene mi padre si actualmente nuestras edades suman 4-& a< 59 a(os d< 5/
b< 54 e< 53
c< 58
00.7entro de +- a(os, tendré tres veces la edad que tenía hace +- a(os. $uántos a(os tenía hace 5 a(os&
a< 0- a(os b< :a tercera parte de la que tendré dentro de 05 a(os c< :a mitad de la que tendré dentro de 5 a(os d< :a tercera parte de la que tendré dentro de 5 a(os e< A.2. 01.!l triple de tu edadZ más 0 a(os, es mi edad, pero si yo )uera 1- a(os más "oven y tu )ueras 1- a(os más vie"o nuestras edades serían iguales. $%ué edad tengo& a< /9 a(os d< 48
b< 89 e< /8
c< 49
03.Gosé tiene 03 a(os y su edad es el séBtuplo de la edad que tenía @lor, cuando Gosé tenía la tercera parte de la edad que tiene @lor. $%ué edad tiene @lor& a< +9 a(os d< 03
b< 0e< 05
c< 0+
05. ;aría tiene 1 a(os más que Lván entre los dos tienen 0+ a(os $%ué edad tiene Lván& a< +d< +0
b< 9 e< +5
c< 4
0/. ;anuel tiene 38 a(os y Sara 10 a(os $uánto tiempo hace que la edad de ;anuel )ue el cuádruple de la de Sara& a< 05 d< 04
b< 0/ e< 09
c< 08
09. :as edades de un padre y su hi"o son 30 y +0 a(os respectivamente. $?ace cuántos a(os la edad del hi"o era la cuarta parte de la edad del padre& a< 3 d< /
b< 0 e< 5
c< +1
1-. :a edad de Gulio es tal que el quíntuplo de la edad que tendrá dentro de 1- a(os, equivale a la edad actual aumentado en 5+. $uál es la edad& a< 9 d< +0
b< +e< +1
c< ++
5 .la edad de ;aría es el triple de la edad de Manesa, pero dentro de 4 a(os, será el duplo. ?allar las edades actuales
+ .:a edad de Pedro dentro de +- a(os $%ué edad tiene ahora& / .Sara tiene / a(os más que !mma. ?ace 8 a(os la suma de sus edades era de 50 a(os $%ué edad tiene Sara&
0 .Si la edad de ;aría hace 5 a(os )ue de +0 a(os $%ué edad tiene&
8 .;anuel tiene 5 veces la edad de Aataly. 7entro de 8 a(os él tendrá el cuádruple de la edad de ella $%ué edad tiene Aataly& 1 .la edad que tuvo Gorge hace 1 a(os )ue de +- a(os $%ué edad tendrá dentro de 3 a(os&
3 .7entro de 0- a(os la edad de :uis será el uádruple de la edad que tiene actualmente $%ué edad tiene&
4 .6n padre tiene “B a(os y su hi"o “y a(os. ?ace cuántos a(os la edad del padre )ue el cuádruplo de la de su hi"o.
9 .6n padre tiene “a a(os y su hi"o “b a(os $7entro de cuántos a los la edad del hi"o será la tercera parte de la edad de su padre&
+- .6na se(ora a los +8 a(os tuvo mellizos, hoy las edades de los tres suman 51 a(os $%ué edad tendrá los mellizos dentro de 1- a(os&
++ .Si al doble de la edad que tengo, le sumo mis edades disminuido en +1 a(os tendría 90 a(os $%ué edad tengo&
+0 .6n padre tiene 3- a(os y su hi"o +0 a(os. $?ace cuántos a(os la edad del padre era 5 veces la edad del hi"o&
+1 .7entro de 1- a(os tendré el triple de la edad que tuve hace 1- a(os $uántos a(os tengo&
+3 .;aría y Focío tiene actualmente “2 y “E a(os respectivamente $?ace cuántos a(os la relación de sus edades era como 3 es a 1&
+5 .arlos tiene 3 veces la edad de Sandra. 7entro de 5 a(os él tendrá el triple de la edad de ella $%ué edad tiene Sandra&
+/ .:a edad que tenía hace 8 a(os es a al que tendré dentro de 8 a(os como 0 es a 9 $%ué edad tengo&
/. Pizarro le dice a Solano# f?ace 0- a(os mi edad era el triple que la tuya y hace +4 a(os era el doble. $uál es la edad de Solano& a< 03 a(os d< 00 +. :as edades de 2na, Fosario y Guan son proporcionales a 1Z 3 y / respectivamente. Si dentro de 5 a(os la suma de las edades de 2na, Guan y Fosario será de 91 a(os, $cuántos a(os tiene Guan& a< 1/ a(os d< 03
b< 30 e< 34
c< 1-
0. Pedro tiene el triple de la edad de arla y la edad de Pedro hace dos a(os es el doble de la edad que tendrá arla dentro de 3 a(os. $7entro de cuántos a(os Pedro tendrá el doble de la edad de arla& a< 5 a(os d< +0
b< +e< +5
c< 4
1. Guan dice# “!l triple de la edad que tendré dentro de 5 a(os eBcede en tres a(os al cuádruple de la edad que tuve hace 0 a(os. 2hhh, olvidaba se(alar que mi edad hace 8 a(os )ue fB. $uál es el valor de fB& a< 08 b< +5 c< +1 d< +8 e< 0+ 3. =engo el doble de la edad que tuviste cuando tuve la quinta parte de tu edad actual, y cuando tengas el doble de mi edad actual nuestras edades sumarán +5- a(os. $uál es mi edad actual& a< 0- a(os d< 3-
b< 5e< /-
c< 1-
5. Guan, mientras observa en un papel su edad y la de su esposa, advierte que la di)erencia entre el cuadrado de su edad y la de su esposa es 88. 2l observar en otro papel las edades de sus 0 nicos hi"os, se asombra al notar que la di)erencia de los cuadrados de sus edades también es 88. $uál )ue la edad de Guan cuando nació su primer hi"o& a< 1- a(os d< 09
b< 04 e< 10
c< 03
b< 0/ e< 04
c< 05
8. Segn el enunciado de la pregunta anterior, $cuánto sumarán las edades de Pizarro y Solano dentro de +8 a(os& a< 8/ a(os d< 90
b< 40 e< 9/
c< 4/
4. :a razón entre la edad que tuve hace 3 a(os y la edad que tendré dentro de +0 a(os es de 1D5. $uántos a(os tengo& a< 03 a(os d< 04
b< 0e< 1/
c< 1-
9. :a suma de las edades de Gorge ;edrano y su hi"o, hace 8 a(os )ue 9/ a(os. $uánto sumarán sus edades dentro de 5 a(os& a< +0- a(os d< +10
b< ++c< ++0 e< @alta in)ormación
+-.=engo el triple de la edad que tuviste cuando mi edad eBcedía a tu edad actual en 4 a(osZ además, la suma de nuestras edades actuales es 1/ a(os. $uál es mi edad actual& a< +0 a(os d< 08
b< +4 e< 1/
c< 03
++. ondorito tiene el quíntuplo de la edad de oné y dentro de +4 a(os sólo tendrá el doble de la edad de oné. $uántos a(os tiene ondorito& a< 1- a(os d< 34
b< 1/ e< 11
c< 30
+0. Segn el enunciado de la pregunta anterior, $dentro de cuántos a(os oné tendrá la mitad de la edad que tuvo ondorito hace / a(os& a< +0 a(os d< 9
b< 4 e< /
c< 3
+1. ;i mascota tiene el triple de la edad que yo tenía cuando ella nació. Si actualmente tengo 5 a(os más que mi mascota, $cuántos a(os tiene mi mascota& a< +0 a(os d< +5
b< 9 e< /
c< +4
+3. !n el 0--+, la edad de mi padre )ue el doble de la míaZ y en el a(o 0--9, su edad y la mía estarán en la relación de +0 a 8. $uántos a(os cumpliré en el a(o 0-0+& a< 1/ a(os d< 30
b< 19 e< 3-
c< 31
+5. Fosario dice# f;i edad hace +/ a(os )ue la seBta parte de la edad que tendré dentro de 3 a(os. ;i edad actual es fB a(os Custavo dice# f;i edad dentro de 4 a(os es el quíntuplo de la edad que tuve hace 4 a(os. ;i edad actual es fy a(os $uál es el valor de fB*y& a< 04 d< 3-
b< 10 e< 30
c< 1/
+/. ?ace “B a(os tuve 1- a(os dentro de “1B a(os tendré 53 a(os $uántos a(os tengo actualmente& a< 10 d< 3-
b< 13 e< 35
c< 1/
+8. ?ace +0 a(os 2lberto tenía los 0D1 partes de la edad que tiene ahora $%ué edad tendrá dentro de +0 a(os& a< 3/ d< 5/
b< 3e< 53
c< 34
+4. Guan tiene 4 a(os y su padre es mayor que él en 00 a(os $7entro de cuántos a(os la edad del padre será el triple de la de Guan& a< 1 b< 0 c< / d< 3 e< 5 +9. ;iriam tiene +0 a(os y 2ndrea +3 a(os $7entro de cuántos a(os la suma de sus edades será 3/ a(os& a< 4 d< ++
b< 9 e< +0
c< +-
0-. 6na persona tiene “B a(os y su hi"o “y a(os $7entro de cuántos a(os la edad del padre será el doble de la edad de su hi"o& a< BH3 d< B* y
b< B*3y e< 0y
c< BH0y
0+. Si 1 hermanos 2, E, tienen 1-, 0- y / a(os $uántos tiempo debe transcurrir para que el mayor tenga una edad igual a la suma de edades de los otros dos& a< 0 d< 5
b< / e< 3
c< +-
00. Pedro tiene 0 a(os y :uis 4 $7entro de cuántos a(os la edad de :uis será el doble de la edad de Pedro& a< 3 d< 8
b< 5 e< 4
c< /
01. 7entro de cuántos a(os la relación entre las edades de 0 personas será 8D/, si sus edades actualmente son 3- y 1- a(os a< +d< 05
b< +5 e< 1-
c< 0-
03. 2ctualmente tengo el triple de tu edad, pero dentro de +0 a(os tendré sólo el doble $%ué edad tienes& a< +0 d< 03
b< +3 e< +4
c< 13
05. =engo el doble de tu edad y dentro de +- a(os nuestras edades sumarán 33 a(os $%ué edad tengo& a< +0 d< 03
b< +/ e< 34
c< 0-
0/. Si dentro de 4 a(os tendré el doble de la edad que tuve hace 9 a(os $%ué edad tuve hace 5 a(os& a< 03 d< 08
b< 05 e< 04
c< 0/
Introducción
:a noción acerca de )racción es muy antigua y su remoto origen se pierde en la bruma de los tiempos. Se deriva del latín R)ractumR que signi)ica RrotoR o RquebradoR. !n el transcurso de la lucha por la supervivencia, constantemente surgía el problema de repartir la presa capturadaZ entre una determinada cantidad de individuos, dividir los productos agrícolas recogidos de )orma mancomunadaZ aquí el surgimiento de las )racciones, acto que nace por necesidad. :os teBtos matemáticos más antiguos que se han conservado hasta nuestros días, tales como las tablillas de arcilla en la antigua Eabilonia de caracteres cunei)ormes KEabilonia queda en la actualidad en LraN< y los papiros de !gipto antiguo, demuestran que ya en los siglos LLL y LL a.. eBistían símbolos para las )racciones los cuales se utilizaban como elemento de cálculoZ los escribas, empleados de la administración del reino, eran los pocos que dominaban este arte considerado muy di)ícil en aquel tiempo. Si nos )i"amos en la )orma antigua de escribir las )racciones, ésta varía de acuerdo a la civilización. Por e"emplo, para escribir una )racción, en !gipto K+4-a..< se representaba así# 1 3
Z 1
4
on este peculiar sistema, resolvían los problemas de la vida diaria# distribución del pan, la medida de la tierra, construcción de pirámides, etc. !n Eabilonia la )racción +D0 se representaba mediante una copa hasta su mitad. !n la antigua Crecia y el Lmperio Fomano, las )racciones se representaban usando letras del al)abeto latino# por e"emplo, los griegos escribieron#
1 5
..
2
10
y como puede notarse, marcaban el numerador con una RtildeR y el denominador con dos o colocando el
denominador como un eBponente, aunque cabe se(alar que los matemáticos griegos no consideran a la )racción como nmero, sino como razones de RnmerosR positivos. :o que llamamos en nuestros días Rcálculo de )raccionesR, se trataba por medio de proporciones, con su ayuda se eBplicaban tanto la simpli)icación como la ampli)icación de las )racciones. Solamente a )ines de la antigedad esta estrecha identi)icación del concepto de RnmeroR con el de nmero natural )ue parcialmente separado.
2racción Se denomina así a la división indicada de la )orma# n # e &a * & . & a ( (%, n R
a
* e n %n a * &
7onde# H RaR y RbR pertenecen a los enteros positivos K*< H 2l dividir RaR entre RbR el resultado no es eBactoZ es decir a !"emplo# H :as siguientes eBpresiones no son )racciones# 3 Z K2 Z K5 K5 7 K8
Z 2 Z π Z 1 ! 2 Z 12 Z 5 5
2
4
3
5
H :as siguientes eBpresiones sí son )racciones# 8 Z 2 Z 72 Z 5 Z 1111 6 8 13 4 3395
!lasi3icación de las 3racciones I< $or la comparación de su valor respecto de la unidad
uando su denominador no es una potencia de +-.
a. 2racción propia Son aquellas en la cual el numerador es menor que el denominador. 2l hacer la división correspondiente, el resultado es menor que la unidad. @racción propia# !"emplos#
4Z 2 Z 8 7 11 9
Z
a→
a\b
Son aquellas en la cual el numerador es mayor que el denominador. 2l hacer la división correspondiente, el resultado es mayor que la unidad.
!"emplos#
16 21 17 5 Z 12 Z 11 Z 3 3
a[b
25 20
Z
11 Z... 290
III< $or la raFón de iualdad o desiualdad entre sus denominadores
!"emplo#
1 7
5 7
Z
Z 1 Z 101 7
7
,. 2racciones eteroGneas !s un con"unto de )racciones que tienen di)erente denominador.
Z...
Nota:
!"emplo#
7e las )racciones impropias se derivan los nmeros miBtos# 17 15 2
Z
!s un con"unto de )racciones que tienen igual denominador.
,. 2racción impropia
a→
5 Z 7 101 3000
Z
3 7
a. 2racciones omoGneas
3 Z... 20
@racción impropia#
!"emplos#
3 5
3 4
Z
5 7
Z
8 Z 12 9 5
I"< $or los divisores de sus tGrminos a. 2racción reducti,le uando su numerador y denominador poseen )actores en comn Kno son primos entre sí<.
17 2 5 3 3
2
5 3 se denomina nmero miBto, porque tiene una parte entera y una parte )raccionaria.
!"emplos#
3 6
Z
21 Z 12 30 144
Z 100 Z. .. 384
,. 2racción irreducti,le
II< $or su denominador
uando su numerador y denominador no poseen )actores en comn Kson primos entre sí<.
a. 2racción decimal uando su denominador es una potencia de +-. !"emplos#
11 100
Z
9 10
Z
21 Z 32323 1000 10000
Z...
!"emplos#
13 20
Z7 Z 3
5 11
Z
101 Z... 7
,. 2racción ordinaria 2racciones e/uivalentes
4 7
101 101 12 5 7 8 55 3 3 12 3 13 4 20 7 7 3 11 9 76 5 144 77
Son aquellas )racciones que utilizando términos di)erentes eBpresan una misma parte de la unidad.
100 21 384 30
Seundo caso# :a suma de dos o más )racciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Mamos paso a paso# . & a ( ( % n e " e D # % $ a le n ) e "
1 2
[\
2 4
[\
4 8
:as tres )racciones representan la mitad del todo. Se observa que#
!"emplo# ^]
^4
^2
?& a ( ( %, n ( a n , n %( a < %& & e * # ( ) % l e =
+. Se obtiene el m8nimo com7n m7ltiplo de los dos denominadores. 0.Se procede como en el primer caso Kdado que las )racciones tienen el mismo denominador<.
^4
*
4 2
+. alculamos el m8nimo com7n m7ltiplo ;mcm<#
1 2 4 1] [ \ [ \ HHH [ \ ; ] 1 ; 2; 3;HHH 2 4 8 2] ^2
3 4
^]
!l m.c.m. de K3Z 0< 3. 0.alculamos los numeradores#
!"emplo# ?alle una )racción equivalente a 0+D1/, tal que su numerador y su denominador sean primos entre sí.
mcm
Aumerador de la primera )racción# 1 3 j 3 1 Aumerador de la segunda )racción# 3 3 j 0 4 1.=enemos pues las )racciones# 3 * 8 4
4
omo los denominadores son idénticos podemos sumarla como en el caso +.
Fesolución# :a )racción 0+D1/ debe ser irreductible, como no lo es, tenemos que simpli)icarla hasta hacerla irreductible# 21 7 [\ 36 12 7 12
Operaciones con 3racciones
*
8 4
11 4
?ay dos casos# H @racciones que tienen un mismo denominador. H @racciones que tienen distinto denominador.
I< Adición de 3racciones ?ay dos casos# @racciones que tienen el mismo denominador. @racciones que tienen distinto denominador. $rimer caso# :a suma de dos o más )racciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, solo hay que sumar los numeradores y se de"a el denominador comn. !"emplo# 4 * 2 6 5
3 4
II< Sustracción de 3racciones
!ntonces, la )racción equivalente es#
5
3.Sumamos#
5
$rimer caso# la resta de dos o más )racciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, solo hay que restar los numeradores y se de"a el denominador comn. !"emplo#
7 9
H
2 9
5 9
Seundo caso# la resta de dos o más )racciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Mamos paso a paso# +. Se obtiene el m8nimo com7n m7ltiplo de los dos denominadores.
0.Se procede como en el primer caso Kdado que las )racciones tienen el mismo denominador<. !"emplo#
j
también podemos aplicar el criterio de Rproducto de eBtremos entre producto de mediosR, de la siguiente manera#
6 H 1 4 2
+. alculamos el m8nimo com7n m7ltiplo ;m.c.m<# !l m.c.m. de K3Z 0< 3.
^
0.alculamos los numeradores#
4 5 3 9
^
4× 9 5× 3
12
36 15
12 5
5
Aumerador de la primera )racción# / 3 j 3 / Aumerador de la segunda )racción# + 3 j 0 0 1.=enemos pues las )racciones# 6 4
H
*ee" )# )a&ea a&a aana "% l #e*e" Ca(e& C'
2 4
omo los denominadores son idénticos podemos restarlos. 3.Festamos# 6 4
H
2 4
4 4
+
III< Multiplicación de 3racciones ]!s muy sencillo^ Para multiplicar dos o más )racciones, se multiplican Ren líneaR. !sto es, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. !"emplo#
3 2
7 3× 7 4 2× 4
21 8
I"< División de 3racciones ]!s muy sencillo^ Para dividir dos o más )racciones, se multiplican Ren cruzR. !sto es, el numerador de la primera )racción por el denominador de la segunda )racción Kya tenemos el numerador< y el denominador de la primera )racción por el numerador de la segunda )racción Keste es el denominador<. !"emplo# 4 5
3 9
4× 9 5× 3
36 15
12
36 15 5
!)ectuar# 12 5
+-. +. 1 + 4 = 3
3
0. 3 + 7 =
1.
2
4
7 6
−5= 6
5
3
3. 12 − 8 = ++. 0* +D1 * +D3 5.
2 5
/.
6 10
8.
4.
×
×
4 5 8 20
6 3 4
3 7
3 7
=
15 9
=
+0. +5D1 j 1D3
=
1 2
1 4
9. 2 + 3 − 5 =
2dición 1+
1 1 1+ 2
=
1 3 + = 2 2
+.
0.
2 7 + = 5 5
1.
7 37 + 11 11
=
3.
7
5.
11
/.
6
2 1 K4 = 5 7
3 2 K 10 = 4 5
3 2 K5 = 7 3
;ultiplicación 3. 3 + 2 = 5
5.
/.
8.
3
2 3 + 7 14
2
3 2 × = 5 7
0.
7 12 × 5 11
1.
36 14 × 7 9
=
1 1 +3 3 4
17
+.
=
5 2 + 74 = 11 3
=
=
3. 5 × 3 = 4
Sustracción 5. ++D5 B 5D11 +.
0.
1.
2 1 K = 3 2
7 5 K 11 11
4 7 K = 5 8
/.
7 26 121 × × 13 11 14
8.
2
= 1 5 ×3 3 4
7ivisión 7 2 ÷ = 5 3
=
=
+.
0. 2 1 ÷ 1 = 3 5
3.
1 9 9 2÷ 5
3+
Fesolución# 1. 7 1 ÷ 2 3 = 5
4
1 3. 6 ÷ 2 = 3
5. 16 ÷ 8 = 5 3
5.
2 4 + 1 5 5 6 2
Fesolución#
Operaciones !om,inadas
!)ectuar los e"ercicios que se proponen a continuación# +. 2 1 + 4 2 × 3 3
3 2
Fesolución# 1 1 1 1 /. K + 2 3 2 3
Fesolución# 0. 5 + 2 ÷ 3 3 3 4
Fesolución#
1 1 2 +3 1. 3 4 1 1 2 +3 5 2
Fesolución#
1 1 1 1 K + 2 3 2 3
1 5 4 8. 3 5 16 8 Fesolución#
1 1 1 4. K8< 1 3 + 2 3 + 3 3 Fesolución#
Fesolución#
+1.!)ectuar# 9.
1 1+
1 3
2 1 + 1 1 1K 2 3
Fesolución#
Fesolución#
+3.alcular#
2 2K
+-.
1 4
Fesolución#
1 1 1K 4
Fesolución#
+5.!)ectuar# ++. 7 ÷ 1 ÷ 14 3 2 6 Fesolución#
+0.alcular#
Fesolución#
3 1 K 2 1 1 1+ 5 2 1
+/.!)ectuar#
3 2 3 K + 7 5 2 1 1 1 + K 2 3 5
1 1 + 3 4 2 1 K 3 5
+
3 2 1K 3
Fesolución#
Fesolución#
+8.!)ectuar#
1 1 1K 3
0+.!)ectuar#
Fesolución# Fesolución#
+4.alcular#
+
1 1 7
3 5 3
1
2+ 1+
Fesolución#
1 1 + 1 1 5 3 2 3 + 2
1 1 1K 2
00. !)ectuar#
1 1+
1 1+ 4
Fesolución#
+9.!)ectuar#
01. !)ectuar# 2 3 + 1 2 1K 1+ 3 3
2 1 1 1 ÷ K 3 2 3 6 2
Fesolución#
1 2
Fesolución#
0-. !)ectuar#
03. !)ectuar# 1 1 1 + K 2 3 4 1 1 1 2 3 4
1 1+
1 1+
1 2
Fesolución#
04. !)ectuar# 3+
1 1 1 1 + + 1 1 1 1 1K 3 4 5 1 + 1 2
05. !)ectuar# Fesolución#
Fesolución#
09. !)ectuar#
Fesolución# 0/. !)ectuar#
1 1 1K 3
1 2 3 1 + + × 10 25 40 6 1 1 K 8 12
1 1 1 1 2 3 2 3 4 1 1 1 + K 2 3 4
Fesolución#
1-. alcular#
Fesolución#
08. !)ectuar# 3+
1 1 1K 3
Fesolución#
!n la siguiente )igura# M
P
7 1 3 4 +1 K × 8 4 2 9 1 1 1 7 2 K + × 2 10 14 5
$%ué )racción representa el área de la región sombreada respecto del área de la región no sombreada, si R;R, RAR, RPR y R%R son puntos medios&
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8 1 8
8 a & ) e " % g # a le " [ \ 8 [ \ 1 8
Situaciones ,-sicas I. Representación r-3ica de 3racciones Podemos usar )racciones.
3 8
1 8
1 8
grá)icos
para
representar
Ejemplo + 2 un bloque cbico de madera se le hace seis cortes rectos, resultando así 08 cubos más peque(os. 7espués, Gosé ha seleccionado dos de ellos para un traba"o manual. Crá)icamente sería#
Ejemplo ' Partimos una unidad cualquiera Kpodría ser una manzana, un chocolate, un pan, etc.< en cinco partes iguales y tomamos dos partes. !mpleando un rectángulo que represente a dicha unidad tendremos# 2 7 a & ) e " %g # a le "
- l ) * [ \ 5 a & ) e " %g # a le " 1 5
1 5
1 5
1 5
2 27
II. Relación parteLtodo
1 5
) a " 2 a &) e "
on respecto al total, lo sombreado representará los dos quintos y escribiremos# Ejemplo ) :a cuadra de un estadio tiene siete cubículos y se ha limpiado cinco de ellos. Podemos decir que están aseados los de la cuadra. 2sí#
!s comn encontrarnos a veces con preguntas como# $qué parte de la botella de chicha te has bebido& $qué parte del premio me tocó& $qué parte de tu dinero se llevaron& $qué parte me de"aste& etc. kste es el resultado de una simple comparación de ob"etos de igual o di)erente clase. Meamos el siguiente e"emplo# 2na tiene ocho caramelos de di)erentes sabores#
5 a & ) e " % g # a le " 5 7
1 7
1 7
1 7
1 7
7 a & ) e " %g # a le " [ \
1 7
1 7
1 7
laudia tiene cuatro caramelos#
7 [\ 1 7
Ejemplo * 6na pizza se ha partido en ocho partes y se ha echado salsa de tomate sobre tres porciones. Segn los datos, la pizza quedaría eBpresada así#
=omando como re)erencia y comparando los caramelos de 2na y laudia, podríamos interpretarlo así# R7e lo que tiene laudia, $qué parte representa de los caramelos de 2na&R. :a respuesta sería la mitad 12 , cuyo
4 8
producto es la comparación de 3 y 4 ó. 2hora, resolveremos un e"emplo del cual eBtraemos una conclusión muy interesante y til.
C(la)e → 3 Xela* → 7
∴:a porción de chocolate es 3 del helado.
Ejemplo
7
bserve la siguiente representación# ?emos partido una barra de helado K?< compuesta de chocolate K< y leche K:< en siete partes iguales. X < 7 a & ) e " %g # a l e " =
/
< 4 a & ) e " %g # a le " =
< 3 a & ) e " %g # a le " =
Podríamos hacernos entonces algunas preguntas como las siguientes# a< $%ué parte del helado representa la porción de leche& b< !l chocolate, $qué porción es respecto del helado& c< $%ué )racción es el chocolate respecto de la porción de leche& Eien, resolveremos estas preguntas ateniéndonos a un criterio lógico para luego deducir una relación general y adecuada, veamos#
c< $%ué )racción es “ de “:& 2hora, estamos comparando la porción de chocolate con la porción de leche. !l teBto pregunta, R$%ué )racción es “ de “:&R, es como decir# R$%ué parte es “ respecto de la porción de leche&R, luego como la porción de chocolate es 1 partes y la porción de leche es 3 partes, el chocolate será 1 partes, respecto de las 3 partes de leche, es decir# C(la)e → 3 /e(Ce → 4
∴:a porción de chocolate representa los 3 de la 4
porción de leche.
2hora ya podemos establecer lo siguiente# V !n la relación parte H todo se establece# )
l D#e Ca(e *e a&)e l D#eCa(e *e )*
Ejemplo Pregunta
Fespuesta
H $%ué parte de 08 es 9&
Fesolución# a< $%ué parte de “? es “:& Se nota que la porción de leche es 3 partes de un total de 8, esto se puede representar de la siguiente manera# /e(Ce → 4 Xela* → 7
∴ :a porción de leche es
4 del helado. 7
Aote que la base de comparación es todo el helado con respecto al cual estamos comparando la porción de leche. b< RR, $qué porción es de “?& 2nálogamente a la pregunta anterior diremos#
9 27
\[ 1
3
H $%ué )racción de “b es “c&
(
H $“; representa qué )racción de “A&
M
H $%ué )racción es 03 respecto de /-&
24 \[ 2 60 5
III. 2racción de 3racción !n la vida diaria es comn encontrarnos en situaciones en las que habiendo tomado una porción de la unidad nos vemos en la necesidad de reducir a partes menores de la porción considerada, tenemos por lo tanto una noción práctica de lo que es )racción de )racción. onsideremos el siguiente e"emplo#
Papá compró un panetón y lo partió en siete partes iguales. >amilet recibió una de las partes y ella a su vez lo dividió en tres porciones iguales quedándose con una y compartiendo el resto con 2gustina y Guan. Fespecto del total, $cuánto recibió 2gustina& a & a Z a % le )
?allar los 3D8 de 0+. Fesolución#
a &a U # a n
a & a A g # " ) %n a
Ejemplo ) ?allar los 1D5 de los 5D4 de los +/D+9 de 58.
3 & ( % n e "
Fesolución#
Fesolución# 2quí el panetón es nuestra unidad, la cual va a partirse en siete partes iguales. 2l tomar una de las porciones podríamos considerarlo como una nueva unidad. :uego la porción que recibe >amilet es para ella una nueva unidad la cual ha de compartir con 2gustina y Guan partiendo su porción en tres partes iguales. 7e acuerdo a esto puede darse el siguiente diálogo# >amilet# “:a porción del panetón que recibí, la partí en tres partes igualesZ cada una de ellas constituyen un tercio de la mismaZ es decir, cada una de ellas es un tercio de un séptimo del panetón. 2gustina# “!s verdad. Si partes en 1 cada uno de los demás pedazos, tendrás en total# 8 1 0+ pedazosZ y como recibí + pedazo del total puedo decir que recibí +D0+ de éste. $Ao es cierto Guan&. Guan# Rlaro, a ti te tocó +D0+ del totalR.
+. $%ué parte 3- es +5&
Eien, ahora sistematizamos toda la in)ormación. alcularemos, un tercio de un séptimo de la unidad, lo cual se escribe así# 1 3
de 1 de + \[ 7
1 1 1 + 21 3 7
0. $%ué parte /- es +0&
$%ué papel está cumpliendo la proposición de, que están escritas entre las )racciones& Si te das cuenta, cada una de ellas denota multiplicación. 2nálogamente, la misma operación denota de, los, de las y del. Ejemplo '
1. $%ué parte +0- es 1-&
4. $uánto le )alta a los 1D8 de 0+ para ser igual a 0-& 3. $%ué parte 5 es 1&
5. $%ué parte 1/ es 03&
9. $%ué parte de 4- es +D5 de +--&
/. ?allar los 0D8 de 0+ +-. $uánto le sobra a / 3-- respecto a los 0D1 de 5D3 de 0 3--
8. ?allar los 1D3 de los 4D9 de 34
Situaciones raFonadas elementales Situación ': allar lo /ue le 3alta a una cantidad respecto a otra a. $uánto le )alta a 4 para ser igual a +5&
:a idea es $sumar o restar& !l orden es# 4 +5 ó +5 4 $Por qué& ........................................................................... ...............................................................................................
............................................................................................... b. $uánto le )alta a +D0 para ser igual a 1&
c. $uánto le sobra a 5D8 respecto a 1D8&
c. $uánto le )alta a 0D5 para ser igual a 8D4& d. $uánto le sobra a 3D9 respecto a +D1& d. $uánto le )alta a 1 1para ser igual a 5 1& 4
2
e. $uánto le )alta a la talla de Ghon que es +0- 3cm 4 para ser igual a la de Fony que es +54 1 cm& 3
Situación *: Si a una cantidad se le /uita ;o area< una parte de ella9 Jcu-nto resultaK
Situación ): allar lo /ue le so,ra a una cantidad respecto a otra
!"emplo# Si gasté +D1 de mi dinero, $qué parte me queda& Fesolución# *%ne&
a. $uánto le sobra a ++ respecto a 8& 1!3 1!3
Se tiene que# $sumar o restar& ++
8
ó
8
++
$Por qué& ........................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... b. $uánto le sobra a 1 respecto a +D1&
1!3
ga") D#e*a 3−1 2 = 3 3
P Ejercicios: a. Si han transcurrido los 3D9 del día, $qué parte del día queda& Fpta.#
Fpta.# +. $uánto le )alta a +D1 para ser igual a 5D/&
V Se sabe que# ?inchas de 6niversitario 5?inchas de 2lianza :ima 1?inchas de Sporting ristal 0-
0. $uánto le sobra a +-D8 para ser igual a 1D3&
3. $%ué parte del total son hinchas de 6niversitario&
1. 2rturo me debe los 3D5 de SD.1- y me paga los 0D8 de SD.0+. $uánto me debe an&
b. :os de un salón son mu"eres, $qué parte son hombres&
5. $%ué )racción de los hinchas de 2lianza :ima representan los hinchas de Sporting ristal&
Fpta.# c. Se agregó a una cantidad sus, $qué parte resulta&
Fpta.# d. Guan recibió los resulta&
de lo que tenía, $cuánto
/. $2 cuántos tercios es igual a +4&
8. $uánto le )alta a 3- con respecto a los 1D4 de +/-&
4. $uánto le sobra a +-- con respecto a los 8D9 de 35&
+0. Si han transcurrido los 5D9 del día, $qué parte del día queda&
9. !n una reunión los 3D8 son hombres. $%ué parte de los reunidos son las mu"eres&
2hora pongamos en práctica lo aprendido en esta clase y también lo aprendido en la clase pasada, resolviendo los problemas que se proponen a continuación. +-. Si ya han transcurrido los 1D+- del día, $qué parte )alta an por transcurrir&
Nivel I +. $uánto le sobra a +5D0 respecto a la suma de +D0 y +D5& a< /4D++ d< /4D9
b< 13D8 e< 13D0
c< 13D5
0. $uánto le )alta a 1D3 para ser igual al producto de 0D1 con 9D3& a< 1D0 d< +D9 ++. $2 cuántos quintos es igual a 35&
b< 3D1 e< 1D3
c< 0D1
. Si tengo / --- y perdí 0 ---, $qué parte de lo que tenía perdí& a< 0D1 d< +D3
b< +D1 e< +D/
c< +D0
3. $uánto es los 1D5 de 1- más los 0D+- de 0--& a< 54 d< 5/
b< 58 e< /-
c< 59
5. 7e + --- pierdo +D5, luego me roban +5-. $uánto me queda& a< /5d< /3-
b< //e< /55
c< /8-
/. $uánto le )alta a /- para ser igual a los 0D5 de 3--& a< 0-d< +--
b< +5e< 4-
c< +0-
8. $uánto le sobra a 0 --- respecto a los 5D1 de 1D0 de /--& a< /-d< 3--
b< 5-e< 35-
c< 55-
4. Si tengo +D3 de 1D0 de 4D/ de SD.1/-, $cuánto me )alta para tener SD./1-& a< SD.3-d< 14-
b< 5-e< 35-
c< 55-
9. 7ebo 1 --- y pago 3D5 de + ---. $uánto me )alta pagar& a< 0 1-d< 0 5--
b< 0 3-e< 0 +--
c< 0 0--
+-.$%ué parte de 1 /-- es los 0D1 de /--& a< +D9 d< 5D9
b< 0D9 e< 3D9
c< +D1
++. Si me pagan los 0D1 de los 0D5 de +5-, $cuánto recibiré& a< 1d< 35
b< 3e< 15
c< 5-
+0.Si me debían los 1D4 de SD.43- y me pagan los 1D3 de los 5D+3 de SD.43-, $cuánto me deben& a< SD.8.4d< +--
b< 8e< 95
c< 9-
+1.7e una )inca de 3 0-- hectáreas se venden los 0D1 de +D8 y se alquilan los 1D3 de los 3D5 de la )inca. $uántas hectáreas quedan& a< + 04- ha d< + 05-
b< + 08e< + 09-
c< + 1--
+3. Si vendo una casa por los 1D4 de los 0D5 de 80- y un caballo por +D0 de +D1 de +D3 de 03--, $cuánto recibiré en total& a< + +8d< + +/5
b< + +/e< + +4-
c< + +9-
+5.7e una )inca de / 1-- hectáreas se venden primero los 5D/ de los 0D1 y más tarde los 0D9 de los 5D8 de los 9D5. $uánto me queda& a< + -+- ha d< + ---
b< 99e< + -1-
c< + -0-
Nivel II +. $uánto pierdo cuando vendo por los 0D5 de los 9D+- del costo de lo que me ha costado SD.5- ---& a< SD.10 --- b< 11 --d< 10 5-e< 1+ 5--
c< 1+ ---
0. 6na persona tiene derecho a recibir los 8D0- de 0 ---. Si cobra +D0 de +D3 de 0 ---, $uánto le deben& a< 31d< 355
b< 33e< 35-
c< 3/-
1. on los /5 que tenía compré libros por +5 y gasté en un tra"e los 8D+- del resto. $uánto me queda& a< +/ d< +5
b< +8 e< 0-
c< +4
3. $uánto le )alta a 1 2 para ser igual a 3
3 & 1 1K 3
a< 5D3
b< +D0
d< +D1
e< 0D1
c< 3D5
5. ésar tiene SD.+8 1 y Aorma tiene SD.4 3 . $!n 4 cuánto eBcede lo que tiene ésar a lo que4 tiene Aorma& a< SD.+5D3
b< 8D4
d< +8D0
e< 01D3
c< +0D5
/. Si me deben los 1D8 de SD.050 y me pagan +D9 de SD.050, $cuánto me deben an& a< SD.4d< +3-
b< +-e< +05
+. Si me deben los 1D5 de 5-- y me pagan los 0D1 de 1--, $qué parte de lo que me debían me han pagado& a< 1D3 d< 0D5
b< 1D5 e< +D1
c< 0D1
0. 6na hacienda pertenece a tres propietarios. 2l primero le corresponde 5D+0Z al segundo +D1 y al tercero +D3. Si se vende en 85 --- dólares, $cuánto le corresponde al segundo& a< +4 85d< 34 ---
b< 05 --e< 1/ ---
c< 1+ 05-
c< +0-
8. 2l vender un =M en 9+- gano los 5D+1 de la venta. ?allar el costo. a< /5d< 34-
b< 50e< /--
c< 5/-
4. @ernando dedica +D4 del día a "ugar en la computadora, +D+/ del día lo dedica a comer y +D3 del día lo dedica a dormir. Si el resto del día lo dedica a cumplir con los traba"os del colegio, $qué )racción del día dedica a esta ltima labor& a< 1D+/ d< 9D+/
b< 5D+/ e< +D+/
+. !)ectuar# 6 3 1 2 + K 3 3 2 3 3
c< 8D+/
9. $%ué parte del costo se pierde cuando se vende en SD.+5 lo que ha costado SD.0-& a< +D3 d< +D4
b< 1D3 e< 1D4
c< +D0
0. !)ectuar# 1 2 1 2 3 5
+-.6n padre reparte SD.+-- entre sus tres hi"os. 2 uno le da SD.5-, a otro SD.3- y a otro el resto. $%ué parte de su dinero ha dado al que recibió el resto& a< 1D+d< 0D5 Nivel III
b< +D+e< +D0
1 2 1 + + 2 3 5
c< 1D4 1. !)ectuar# 1 1 1 3 3 K 4 1 K 3 9 2 4
4. :a quinta parte de un nmero es igual a su novena parte, aumentado en 3. %ué nmero es. 3. !)ectuar#
! / *
9. 6n nmero aumentado en sus
' )
, es igual a 10.
$uál es ese nmero& 5. $uál es la )racción que, disminuida en sus 5D8, resulta 5D8&
/. Si la mitad de un nmero es
2 2
. $uál es el
nmero&
+-. $uál es el nmero que aumentado en sus
2 ,
como resultado +-.
++. $uál es la )racción cuyo valor es menor que 8. %ué )racción de + a(o representa / meses.
da
pero mayor que es +5.
1 )
1 '
. Se sabe que su denominador
+0. ?allar cuánto le sobra a 8D0 respecto a 5D4
+/. =enía 1- soles, gaste +4 $%ué parte de lo gaste no gaste&
+1. arlos se comió los 0D5 de una pizza )amiliar y le corresponde pagar +- soles $uánto pagará 2le"andro que comió los 1D+-&
+3. 6n mono sube a un árbol donde había 80 plátanosZ comió los 5D+3 y ba"a con +D1 del resto $uántos plátanos quedan en el árbol&
+. Si los 8D+0 de un terreno vale 04-- soles $uál es el valor de todo el terreno& a< 34-d< +0--
b< 1/-e< 53--
c< 03--
0. ;anuel tenía SD.1/ y gasto SD.0- $%ué parte de lo que gasto no gasto& a< 5D9 d< +D3
b< 3D9 e< 3D5
c< 1D4
1. 7e un depósito se eBtraen los 8D+0 $%ué parte queda& +5. Paty tiene 34 soles y gasta, los 1D4 en dulces y los 5D+0 en re)resco. $uánto gasto en total&
a< 1D3 d< 1D5
b< 5D+0 e< +D1
c< 0D1
3. 7isminuir +4- en su ++D+5 a< 1/ d< 34
b< 03 e< 33
c< 9/
5. =enía cierta cantidad de dinero gaste los 8D+5 y aun me quedan SD.03 $uánto tenía inicialmente&
a< 30 d< /-
b< 35 e< 1/
c< 34
/. $%ué parte de “a es “b& a< aDb d< aD0b
b< bDa e< +D0
c< 0aDb
8. 6n alumno resuelve los 1D5 de los que resuelve $%ué parte del eBamen a resulto& a< 3D8 d< 1D4
b< 5D4 e< 1D8
c< 3D9
4. $%ué )racción de 1- es +4& a< 0D1 b< 3D5 c< 1D5 d< 5D/ e< 5D3 9. alcular los 8D1 de los 3D5 de +-5D94 a< 3 b< 8 c< 0 d< + e< +8 +-.6n alumno gasta la tercera parte de lo que no gasta. $%ué parte de su dinero inicial no gasta& a< 1D3 d< +D1
b< +D3 e< 1D5
c< 0D1
++. $7e qué nmero es +0- sus 1D5& a< +-d< 0--
b< +5e< 03-
c< +0-
+0. 6n nmero aumentado en los 1D5 de sus 1D5 es igual a +8-. ?allar el nmero a< +0d< ++5
b< +15 e< +1-
c< +05
+1.Casté los 1D4 de mi dinero si an queda SD.05. $uánto dinero tenía& a< 3d< +-
b< 1e< 5-
c< 0-
+3. :ady compró manzanas, naran"as y plátanos. !n manzanas gastó el doble que en naran"as y en plátanos el triple que en manzanas. $%ué parte del gasto total, gastó en plátanos& a< 1D3 d< 1D5
b< 0D5 e< +D1
c< 0D1
+5.6n vendedor de enciclopedias recibe como comisión, del total de las ventas de libros de Ceogra)ía y los del total de las ventas de libros de ;atemática. Si luego de una "ornada vendió SD.3-en libros de Ceogra)ía y SD.58/ en libros de ;atemática, $cuánto recibió de comisión el vendedor& a< SD.015 b< +15 d< 08e< 1+5
c< 055
+/.6na propiedad es de dos hermanos, la parte del primero es 8D+/ de la propiedad y el valor de la parte correspondiente al otro hermano es SD. /1 ---. $%ué valor tiene la propiedad& a< SD. +0- ---b< +5- --d< ++0 --- e< +3- ---
c< +-4 ---
+8.Se eBtraen 3-- de un tanque que estaba lleno hasta sus 0D1 quedando hasta sus 1D5. $uántos litros )altan para llenar el tanque& a< 1 /-- d< 0 3--
b< / --e< 0 ---
c< + 0--
+4.6n cartero de"ó +D5 de las cartas que lleva en una o)icina, los 1D4 en un banco, si an le quedaban 13 cartas para distribuir. $uántas cartas tenía para distribuir& a< /d< 9-
b< 8e< +--
c< 4-
+9.!n un salón de 5- alumnos se observa que la séptima parte de las mu"eres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes. $uántos hombres no usan lentes& a< 00 d< 0-
b< 04 e< 3
c< 0
0-. Se distribuyen 1-- litros de leche entre tres depósitos en partes iguales. !l primero se llena hasta sus 1D5 y el segundo hasta los 1D3. $%ué )racción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros& a< +D/ d< +D1
b< +D0 e< 1D3
c< 0D1
0+. Gosué recibió los 5D9 de un pastel y Pedro los 1D+4 $%ué parte del pastel recibieron entre los dos& a< +8D+4 d< ++D+4
b< 5D+4 e< 8D+4
c< +1D+4
a< 1D3 d< 1D5
00. un hombre vende +D1 de su )inca, alquila +D4 y el resto lo cultiva $%ué porción de la )inca cultivo& a< +1D03 d< +5D03
b< ++D03 e< +/D03
b< 1D+5 e< 4D+5
a< 3d< +-
b< +0e< +3-
a< +5 d< 55
a< +D+0 d< 8D+0
ak
+
ak + 1
+
c< 5D+0
b< 1D4 e< 5D3
c< 3D5
,
∑ a"
"
ak + 2
+ ...... +
an
=
a2
+
a'
=
2
1
+
2
+ a + + a) + a( + a + a,
=2 '
=
b< 1D3 e< 8D0
!"emplos#
n
ai
c< +5-
1-. $%ué )racción de +0D8 es los 0D+5 del triple de 80D0+&
c< 35
a+ * a0 * a1 *..... * a n se puede representar usando el símbolo Σ llamado sumatoria, de)inida de la siguiente manera#
=
b< +4e< 4-
a< 0D8 d< +D/
Dada la serie numGrica:
∑
c< 0-
09. $%ué parte de la semana es +3 horas&
c< 4-
b< 05 e< 0-
b< 1e< 5-
a< +1d< 9-
05. =enía 3-soles y gaste los 1D4 $uánto me queda&
c< 1D4
04. Si an se le suma sus 3D9 da como resultado 0/ ?allar el nmero.
c< 8D+5
03.Si arlos gasta 0D+0 de su dinero y todavía le quedan SD. +3-. $uánto tenía& a< 03d< +5-
b< 1D8 e< 1D/
08. Casté los 1D4 de mi dinero si an me queda SD. 05. $uánto dinero tenía&
c< 9D03
01. !liana paga 0D5 de su deuda y después +D1 de dicha deuda $%ué parte de su deuda le )alta pagar& a< 3D+5 d< /D+5
0/.Si se quita al denominador de una )racción cuyo numerador es 1 la )racción aumentará en una unidad. $uál es la )racción&
∑2
"
2
+ 2'
=
" 1
i k
KN, n ∈ A y N \ n<
∑ 2" =
"= 2
Se lee# Sumatoria de aZ desde LN hasta ín. 7onde i toma valores enteros desde N hasta n y cada valor de i ingresa un término de la serie.
2 2
+
2 '
+
2 +
+
2 )
+
∑ '" " =1
=
' .(1)
+ '.( 2) + '.( ') + '.( +)
n
2" "
$RO$IEDADES n
∑B
=
B
+
+
B
+ ... + B =
B
2
+
(
2n
%%%%%%
n n
1
1
n
1
1. Suma de los primeros nmeros impares
n . B
" =1
“n sumandos n
2"
7onde E# constante
"
1
1
'
)
2n
%%%%
2
1
3. 7e los cuadrados
!"emplo# (
) "
* 5 *....* 5 / K5< 1-
)
n
1
∑
/ sumandos
i =1
n
( n ) ( n + 1) ( 2n +
n
K& a"
"
= 12 + 2 2 + ' 2 + + 2 + ..... + n 2 =
i 2
K
a"
%
1
"
5. 7e los cubos
1
7onde N# constante n
∑ i
!"emplo#
=1 + '
2
'
+
'
'
+ ....... + n
i =1
)
'
n ( n + 1) = 2
2
)
'
"
%
'
"
" 1
"
n
'1
2
b "
+
)
/. 7e productos binarios
n
" a"
1
'
'
n
a
"
'
b"
1
"
n
∑ i ( i + 1) = 1.2 + 2.' + '.+ + ..... + n ( n + 1)
1
i =1
!"emplo# +
"
+
2
"
"
" 1
n
+
2
"
" 1
2
1
2
2
'
2
+
2
1 2
""
' "
" 1
1
n n
1
1 n
2
'
8. 7e productos ternarios
SMATORIAS NOTA1%ES +. Suma de los primeros nmeros A.
n
∑ i ( i + 1)( i + 2)
= 1.2 .' + 2.'.+ + ...... + n ( n + 1) (
i =1
n
" "
1
2
'
+
%%%%
n
n n
1
0. Suma de los primeros nmeros pares
2
1 n
n( n + 1 ( n + 2 ( n + '
i =1
+
∑ i ( i + 1)( i + 2) =
S +K1< * 0K3< * 1K5< *..... * 0-K00<
+. alcular#
/. ?allar# E + * 0 * 1 * 3 *...... * +/9 1
B
1
1 2 %
2 ' %
1 ' +
1 %%%%%%
%
1( 1 %
0. 7etermine# 2 + * 1 * 5 * 8 *........ * 38
8. ?allar “B + * 1 * 5 * 8 *'. * K0B * 5< 1-05
1. !)ecte# 0 * 3 * / *..... * 04. Sabiendo que# + * 0 * 1 * 3 *'.. * n 3-/ ?allar “n 3. ?allar “n# + * 0 * 1 *.......... * n +-5
5. ?allar#
9. ?allar la suma de los 0- nmero mltiplo de 5 Kno consideras al cero<
+. ?allar la suma de los 4- primeros nmeros naturales consecutivo +-. 6n comerciante recorrió +-- metros el primer día, 0-- metros el segundo día, 1-- metros el tercer día y así sucesivamente. :uego de unos días, llegó a un pueblo que distaba del punto de partida 105-metros, $uántos días estuvo caminando&
a< 130d< 103-
b< 1-0e< 113-
c< 100-
0. ?allar el valor de “! sí# ! + * 0 * 1 * 3 *' *+3a< 9//d< 940-
b< 948e< A.2
c< 994-
1. ?allar el valor de “; sí# ; 0* 3 * / * 4 *'. * +1++. alcular# !5 * +- *+5 * 0- *'. */-
a< 309d< 310-
b< 3+9e< 333-
c< 3 +3-
3. ?allar el valor de “F sí# F-,-+ * -,-0 * -,-1 * -,-3- *' * -,-5 a< +-,85 d< +0,95
b< ++,/5 e< +0,85
c< 9,/3
5. alcular# 0* 3 * / * 4*'. * 0+0. ?allar el valor de# !4 * 9 * +- * ++ *'. * +9
a< 9d< +3-
b< +-e< +5-
c< ++-
/. alcular# +* 1 * 5 * 8*'. * 0+ a< 99 d< +1+
b< +0e< +-0
c< +0+
8. ?allar “T si# +* 1 * 5 *'. *B0 -05 a< 89 d< 8/
b< 94 e< +-0
c< 49
4. ?allar la suma de los /- primeros nmeros naturales consecutivos# a< + 41d< 8 0/9. ?allar “B SiZ
b< 1 /-e< 8 3--
c< 1 //-
+ * 0 * 1 * 3 *' *B55 a< +3 d< +-
b< +0 e< ++
c< +1
+. alcular# !+ * 0 * 1 * 3 *'' *3+
+-. ?allar el valor de “! sí# !+* 1 * 5 * 8*'. * ++9 a< 1/-d< 30--
b< 03-e< A.2
c< 14--
++. ?allar el valor de “; sí#
a< 0+D3d< +8D3-
0. alcular el valor de “B + * 0 * 1 * 3 *''.. *B//
b< 3-D0+ e< A.2
c< 1+D3-
+0. ?allar el valor de “; si# ;3+ * 30 * 31 * 33 *'*4a< /0/3 d< /48-
b< 804e< /98-
c< /38-
+1. ?allar el valor “! sí# ;30 * 33 * 3/ * 34 *'''*00-
1. alcular# ! + * 1 * 5 * 8 *'. *+9
Fpta.#''''''''''''' +3. alcular# + * 4 * 08 *'''''.* +--a< 1-05 d< 1-05
b< 0-05 e< 0-15
c< +-05
+5. alcular “B sí# +* 1 * 5 * 8*''''' * B 0-05 a< 48 d< 9-
b< /+ e< 9+
c< 49 3. alcular# + * 1 * 5 * 8 *'*B/05
5. alcular#
! 9. alcular# ! 4 * 4 * 4 * 4 * 4'.* 4 /-- términos /. alcular# !0 * 3 * / * 4*'' *+0-
+-. Pedro recibe una manzana el primer día y el segundo día 0, el tercer día 1 y así sucesivamente $uántas manzanas recibió en 0- días& 8. alcular# ! +0 O +0 * +0 H+0 *' H+0 +- términos
4. alcular# !-,+ * -,0 * -,1 * -, 3 *'' *-,4
++. alcular#
!
d< 3--
e< ++-
0. $uántas bolitas se contarán en el Y 4& +0. uántas bolitas se encontraron el Y / Y+ Y+
Y0
Y1
...
sigue
a< 10 d< 1/
Y0
Y1 b< 0+ e< 4
...
sigue
c< 04
1. Si cada serie tiene 5- términos, hallar a * b * c# ; + * 0 * 1 *.......... * a A 0 * 3 * / *............* b P + * 1 * 5 *............* c
+1. Pepita recibe un caramelo el primer día y el segundo día 0, el tercer día 1 y así sucesivamente. $uántos caramelos recibió en +- días&
a< +5d< 039
b< 05e< +39
c< 0--
3. $!n cuánto eBcede la suma de los 3- primeros nmeros impares a la suma de los 3- primeros nmeros pares& a< 3d< 4-
b< 3e< O4-
c< -
5. ?allar la décima parte de la suma de los 3primeros nmeros naturales impares. a< +/-d< 40-
b< +/e< 40
c< +/
/. :uis recibe un sol día y por cada día que pasa, un sol más que el día anterior. Si en total recibió +41soles. $uánto días estuvo recibiendo soles& a< /+ d< 1+
b< 1+ e< /-
c< 1-
8. ?allar n, si 2. E. /-5- en# 2 + * 0 * 1 *...... * n E 0 * 3 * / *''..* 0n
+. alcular# P+*0*1*3*5*'''''''*0a< 4-
b< 0+-
c< 0--
a< +4 d< +0
b< +/ e< +-
c< ++
4. 6n comerciante compra hoy 0+ ca"as de naran"as y ordena que cada día que transcurra se compre una ca"a más que el día anterior. $uántas ca"as compró en total, si el penltimo día se compraron 19 ca"as& a< 80d< 54-
b< /3e< 39/
c< /+-
+-. ?allar# ! 2 O E 2 4- * 84 * 8/ *......* 0 E 89 * 88 * 85 *...... * + a< O3d< O4-
b< 3e< -
c< 4-
b< 19e< 19--
c< 84--
+0. Feducir#
a< 4-d< 3-+
b< 08e< 19--
c< 08--
+/. :ucía empieza a resolver todos los días // problemas de 2ptitud 2cadémica, mientras su hermana Lrene resuelve dos el primer día, cuatro el segundo, seis el tercero y así sucesivamente. Si empezaron el mismo día, $después de cuántos días habrán resuelto el mismo nmero de problemas& a< /0 d< /5
b< /1 e< //
c< /3
a< 1d< 1+
b< /e< /+
c< +0-
+4. $uánto vale E&
a< 0,5 d< 3,5
b< 1,5 e< 5,-
c< 3,-
+9. alcular# S -,-+ * -,-0 * -,-1 *...... * 3 b< 4-+ e< 5/-
+0 términos a< d< 30
! ; H A
b< +1 e< 51
c< H+1
0-. !)ectuar# A 0 * 3 * / * 4 *''* 0-
; + * 0 * 1 * 3 *..... 5A + * 1 * 5 * 8 *..... * /9 b< 5e< 5
; +1 O +1 * +1 O +1 *''. H+1
c< 4-0
+3. ?allar#
a< /d< /
+* 1 * 5 * 8 *.........* y 049
E -,+ * -,0 * -,1 * -,3 *''* -,9 ! -,1 * -,9 * +,5 *..... * +8,8
+1. alcular#
+* 0 * 1 * 3 *..........* B 5-
0 * 3 * / *......... * n 1//! 5 * +- * +5 *......+95
a< 08 d< +95-
! 1B H y
+8. ?allar n#
++. !)ectuar#
a< 18-5 d< +95-
+5. ?allar#
c< 8-
a< ++d< 300+. alcular#
b< +0e< /--
c< 00-
C 5 * +- * +5 * 0- *''''' *+-a< +--d< ++--
b< +---e< +-5-
c< +-0-
d< 3--
e< +55
03. alcular# S +*1*5*8*''''..*99 a< 0-d< 05--
00. !)ectuar#
b< 0--e< 0005
c< 0-5-
F +- * 0- * 1- * 3- * 5- *'''''.*+-a< 5-d< 0--
b< 55e< ++-
c< +--
05. alcular# S8 * 8 * 8 * 8 * 8 *'''..* 8
01. alcular#
8-- términos
!+5*+3*+1*+0*++*+-*9*''''''.*1*0*+ a< +--
b< 005
a< 8-d< 0--
c< +0-
b< 39 e< ++-
!s un con"unto de nmeros uno a continuación de otro,
?allar el valor de “B en#
dicha continuación se debe a una ley de )ormación,
03-, 34, +0, 3, B
:ey de recurrencia a término general o término
Solución:
enésimo.
2 0
7e acuerdo a la razón de sus términos tenemos. '. S!ESIONES ARITMHTI!AS ;ediante suma o resta de cantidades.
>
, 1
12 1
>
1 '
>
c< 39--
> 1 2
>
7onde# x = ÷ = 2 2 1
!"emplo aplicativo# ?allar el valor de “B en#
*. S!ESIONES !OM1INADAS
5, 4, +0, +8, 01, B
uando varían segn las dos anteriores.
Solución:
!"emplo aplicativo#
+'
,
12 +
1 +
2' +
> +
?allar “B en# -, 0, 3, 4, 0-, B
!ntonces B 01 * 8 1-
Solución:
). S!ESIONES EOMHTRI!AS
0
;ediante multiplicación o división de cantidades. !"emplo aplicativo#
2
+2
+2
> 1
, +
> 2
20 +12
> '
+ , >
>
7onde# B 0- * 34
5 * 4 +1
B /4
4 * +1 B
+. S!ESIONES A%TERNADAS
6 B )'
Son las que se dan al intercalar dos o más sucesiones que se rigen cada una de ellas por su respectiva ley de
Q. S!ESI(N DE 2EREN1ER
)ormación.
!s otra sucesión especial cuya ley de )ormación se
!"emplo aplicativo#
obtiene sumando tres términos consecutivos para obtener el siguiente#
?allar el valor de “B en# /, 5, 4, 8, ++, +-, +5, +3, B
!"emplo#
Solución: +, +, 0, 3, 8, +1, 03, 33, B +2
,
+2
+' +'
11
+ 1 0 +
1
1
>
+
7onde B +5 * 5 0-
Solución: +*+*03 +*0*38 0 * 3 * 8 +1
. S!ESIONES DE 2INONA!!I !s una sucesión especial cuya ley de )ormación se obtiene sumando dos términos continuos para obtener el siguiente#
3 * 8 * +1 03 8 * +1 * 03 33 +1 * 03 * 33 B ' B 6
!"emplo aplicativo#
. S!ESIONES %ITERA%ES
?allar “B en#
!s un con"unto de letras del abecedario cuyo
+, +, 0, 1, 5, 4, +1, B
procesamiento es el mismo que el de una sucesión numérica.
Solución: +*+0 +*01 1*54
Se considere a la letra “? y “:: cuando por lo menos una de ella aparece como dato del problema. !"emplo aplicativo#
$%ué letra sigue en# 2, , !, C& Solución: A
/ B
7onde# KBI
&
L 5
-1. ?allar “B 0, +1, 08, 33, /3, B
H
!uanto m-s alto colo/ue el om,re su meta9 tanto m-s crecer-
-3. ?allar “B /, 8, +1, 0-, 11, 51, B
-5. ?allar “B 9, +/, 03, 13, 38, B
-+. ?allar “B 1, +5, 15, /1, 99, B -/. ?allar “B +-, +1, 0-, 10, 5-, B
-0. ?allar “B 5, 4, +3, 0/, 5-, B
-8. ?allar el nmero que contina en# /, ++, +4, 08, 14, B
+0. 7eterminar “B en# 1, /, ++, +9, 1+, B -4. ?allar B * y en# +, 5, 3, 4, 9, ++, B, y
-9. $%ué nmero contina& 3, 5, +-, +1, 50,...............
+-. alcular B * y en# /, H3, -, 0, H/, 4, H+0, B, y
++. alcular “B 5, 4, +3, 0/, 5-, B
+1. alcular “B +, 81, +35, +4+, +91, B
+3. ?allar “B +-, +0, +/, 00, B
+5. ?allar “y H0+, H+/, H9, -, y
d< 05+
e< 03+
-3. ?allar “B 1, +, +, 1, 08, B a< 849 b< 049 d< 149 e< 809 +/. ?allar “B +8+, +0-, 84, 35, 0+, B
c< 089
-5. ?allar “B 4, +/, 0-, 03, 10, B a< /0 b< /3 d< // e< 53
c< 34
-/. ?allar B * y en# 0, +8, +/, 3, +3, +0, ++, B, y a< 50 b< 51 c< 55 d< 53 e< 5/ -8. $%ué letra sigue en# 2, ?, C, G, A& a< F b< P c< % d< S e< 6
-+. ?allar “B 30, 1/, 04, +4, /, B a< O/ b< O8 d< O+e< O9
c< O4
-1. ?allar “B +, /, +1, 04, /1, +1/, B a< 0/+ b< 08+
c< 35
-9. ?allar “B +, 1, 3, 4, +0, +3, 03, B
-0. ?allar “B +0, /, 1, +1, 3/, B a< +-0 b< +00 d< +10 e< +30
-4. ?allar “B ++, +5, 00, 10, B a< 30 b< 31 d< 3/ e< 34
c< ++0
c< 04+
a< 0d< 01
b< 00 e< 03
+-. ?allar 4+, /3, 39, 1/, 05, B a< b< + d< 1 e< 3 ++. ?allar “T
c< 0+
c< 0
+, 2 , 0, , , 3, .............. a< , 2
b< 4
c< 0 ,
d< 2
e< 0 2
+0. ?allar “B 0, 1, 4, +8, 1-, B a< 3b< 38 d< 34 e< 5-
c< 3/
+3. ?allar “B -, 0, /, +0, B a< 0 d< +4
b< +0+ e< +05
b< 4 e< 0-
+5. ?allar “B H+-, H8, H0, 5, B a< O+5 b< 8 d< +3 e< +/ +/. ?allar “B +-, +4, 09, 35, /4, B a< 9+ b< 9/ d< 49 e< 94
c< +01
c< +0
c< P
+9. ?allar “B H/-, H1/, H03, H+4, B a< +0 b< 4 d< + e< O+
c< O+5
c< +D5
0+. ?allar “B 0, +, +, 0, 4, B a< +/
b< 10
d< /3 00. ?allar “B
e< /,3
c<
1
1 1 1 ,2 x 2 , '2
c< O+3
a< d<
c< +--
+8. $%ué letra sigue# 2, !, G, ,............& a< J b< > c< M d< T e< = +4. $%ué letra sigue# , !, ?, G, ;&
b< e< @
0-. ?allar “B +05, 05, 5, +, B a< 0D5 b< 5 d< +D+05 e< +
+1. ?allar “B 0, 1, /, +5, 30, B a< +00 d< +03
a< d< A
1 1 1
b< e<
1 2
c<
1 12,
1 12
01. ?allar “B +/, +04, 5+0, +-03, +-03, B a< /3 b< 5+0 d< 0-34 e< +/
c< 05/
03. ?allar “B 0, 1, /, +5, 30, B a< +00 b< +0+ d< +03 e< +05
c< +01
05. $%ué letra sigue , 2, 7, E, !, ,..........& -1. ?allar BDy a< E
b< @
c< C
0/. ?allar “B /, 9, +3, B, 1-, 3+ a< 04 b< 00 d< +9 e< 05
d< ?
e< !
c< 0+
08. $%ué letra sigue 7, L, !, C, @, !, C,.........& a< ? b< L c< G d< 7 e< 04. ?allar “B 1, 3, /, +-, +4, B a< 11 b< 10 d< 1+ e< 1-
, 2 1 x , ' 2 11 y
-3. ?allar “B 1 1 1 2 x ' 11
c< 13 -5. ?allar “B , 1 x 11 1*
-+. ?allar “B
1 1 2 x
-/. ?allar “B 1 ' ' , x 2 2
-0. ?allar “B ' * *10 x 2 2
-8. ?allar “B
1 2 x
-4. ?allar “B 1 1 1 x 1 2
+0. ?allar “B +, +, 0, 3, /, +4, B
-9. ?allar “B 15, 4, 31, 8, 5-, 5, 55, B
+1. ?allar “B +, 5, +3, 1-, 55, B
+-. ?allar “B 3, +-, 0/, 50, 44, B
+3. ?allar “B 1, 4, +4, 14, B
++. ?allar “ B +/, 3, 0-, 0/, B
+5. $%ué letra contina& 2, 7, C, , , S,''''''
d< 9
e< +-
-3. ?allar “B -, +, 1, 4, 00, B a< 5/ b< /d< 5e< /1 +/. $%ué letra contina& 2, E, 2, !, 2, ?, 2,..................
-5. ?allar “B /3, 34, 3-, 1/, 13, B a< 1+ b< 1/ d< 14 e< 15 -/. ?allar “B 0, -, H+, -, 3, B a< +0 b< 4 d< +/ e< +-8. ?allar “B 0, 1, 5, 8, ++, +1, B a< +5 b< +3 d< +8 e< +4
-+. ?allar “B 0, 3, /, 0-, 54, B a< +1b< +10 d< +0/ e< +03
c< +15
-1. ?allar “B /3, 19, 01, +3, +-, B a< / b< 8
-4. ?allar “B 0, 3, 8, +0, +9, 1-, B a< 39 b< 35 d< 34 e< 3-
c< 11
c< /
c< +/
c< 31
-9. ?allar “B
-0. ?allar “B +, +, 8, 05, /+, B a< +0+ b< +0d< ++e< ++/
c< 34
c< +0/
c< 4
1, /, +0, 0+, 03, 1-, B a< 1/ b< 14 d< 19 e< 30 +-. ?allar “B 0, 3, 1, /, 5, +-, B a< 9 b< +d< +0 e< +1
c< 3-
c< ++
++. ?allar “B 3, 5, 8, 9, +0, +5, B a< 0b< +9 d< 0+ e< 00
c< +4
+0. ?allar “B * > +, 0, 0, /, 3, +4, B, y a< 10 d< /+
b< 53 e< /0
+1. ?allar “B 3, +0, /, +4, 9, B a< 08 b< 04 d< 0/ e< 1/ +3. ?allar B -, 0, 3, 4, 0-, B a< // b< /4 d< 8e< 80 +5. ?allar “B +, /, 0, +0, 3, B a< 1/ d< 34 +/. ?allar “B +, 5, 0-, /-, B a< +-d< +0+8. ?allar “B 9, 8, 0+, 05, 5, B a< 9 d< H+
c< /-
c< 1-
+4. ?allar “B +, 0, 5, 0-, 05, B a< +-d< +5-
b< +05 e< +33
c< +0-
+9. ?allar “B 0, 1, /, 0, H0, 1, B a< +4
b< 0-
c< 00
d< 0+ 0-. ?allar “B -, 0, +0, 1-, B a< 50 d< /-
b< +-5 e< ++-
b< +e< +0
b< 5/ e< 34
c< 5-
b< +/e< +8-
c< +5/
0+. ?allar “B c< /0
1, 3, 8, +5, 13, 8/, B a< +/5 d< +33
b< 3e< 03
e< 01
c< 10
c< ++5
c< ++
00. ?allar “B +, +, 3, 4, 9, 08, B a< 05 b< +/ d< 0e< 1/
c< +4
01. ?allar “B -, 3, +/, 1/, B a< /d< /3
b< 5/ e< /4
c< 8-
03. ?allar “B -, 3, +/, +0, B a< 4
b< +3
c< 1
d< 0-
e< /
05. ?allar “B 4, 10, 3, 34, B a< 0 d< /
a< /4 d< 8/
b< 1 e< 4
c< 3
b< 84 e< 8-
c< 80
10. ?allar “B 0, 1, 5, 3, 9, 05, 4, 08, B a< +0b< +05 d< +-e< 85
c< /05
0/. ?allar “B +, +, 0, 1, /, +0, B a< 03 d< 108. ?allar “B
b< 0/ e< 00
c< 1/
1 1 '2 x 2
a< 031 d< +-03
b< 08e< 5+0
04. alcular “B +, 0, 9, /3, B a< 005 d< 05/
b< /05 e< +--
1+. ?allar “B 1, 4, +4, 14, B
c< +-
c< /3
b< 3/+ e< 34+
c< 381
15. ?allar “B 0, -, H+ , -, 3, B a< +0 d< +3
b< +/ e< +1
c< +-
c< 4+ 1/. ?allar “B 09, +4, ++, 8, 3, 1, B a< + b< 0 c< c< 10+48
d< 5
e< +0
d< 1
e< O+
18. ?allar “B 5, /, +0, +5, /-, B a< 8d< +0-
1-. ?allar “B 1, /, 4, 3, 0, 3, B b< 4
b< 8/ e< +--
c< 098
09. ?allar “B 0841+, 841+0, 41+08, B a< 10+84 b< 1+084 d< 41+08 e< 8401+
a< /
11. ?allar “B 8, 4, +0, 04, B a< 44 d< 90 13. ?allar “B 5, 4, 01, 94, B a< 319 d< 353
14. ?allar “B 8, 8, 9, 1, H+ , H5, B a< + d< O9
b< /5 e< 45
c< /1
b< O+ e< O8
c< 1
19. $%ué término contina# 14, 59, +5+8, /533, ........& a< 08/93 b< 1+5+-4 c< 130++/ d< 043+-e< 1--+--3. $%ué letra contina# 2, , C, ;,..............&
3-. ?allar Ka*b< 2A ' A 11A 1,A
a< 34 d< /9
11
2*A
a
b
b< 5/ e< 8-
c< /0
-5. ?allar “B 9, +0, +/, 0+, 08, B
-+. $%ué letra sigue# 2, E, 7, ?,.............&
-/. ?allar “B 0, 3, 4, 03, +33, B
-0. $%ué letra contina# 2, , L,..............&
A E # ' B B ( )
-8. $%ué término contina# ............. & -1. $%ué letra sigue# E, , !, C, ,.............&
+0. $%ué letra sigue# C, ?, L, C, L, , C, G,........... -4. $%ué letra sigue# 2, ?, C, G, A,.............&
-9. ?allar K +, , 0, !, 3, L, 8, , ++, &
+-. ?allar K 4, !, +5, ?, 03, :, 15, P, 34, &
++. ?allar la letra que sigue# E, @, L, ;, ,..............
+1. $%ué letra contina# J, 6, F, ,..............&
+3. ?alla “B H5, -, 5, +-, B
+5. $%ué nmero contino en la sucesión& 22 2 2
+/. ?allar “B
a< F
+, 2 , 0 , , 3, B
b< P
c<
d< %
e< !
-8. $%ué nmero contina# 0, 1, 5, 4, +1,.........& a< +0 d< +5
b< 0+ e< +8
c< +3
-4. $%ué letra sigue# 2, !, G, ,.........& a< =
-+. $%ué término contina# +, 0, 3, 4, +1, 0-,..........& a< 0/ b< 04 c< 1d< 10 e< 1/ -0. $%ué nmero contina# /, /, +-, +0, +/, 03, 03,............& a< 10 b< 3/ c< 5d< 5/ e< 34 -1. ?allar “B 9, 4, +-, +-, +3, +4, 1-, B a< 34 b< 50 d< 30 e< 5-3. ?allar “B , !, ?, G, ;, T a< b< A
c< ;
c< 5/
d< P
-5. $%ué letra sigue# , 2, 7, E, !, & a< ! b< @ c< C d< L e< ? -/. $%ué letra sigue# , 7, =, ,.........&
e<
b< 6
c< M
d< J
-9. ?allar “B 4, 03, 34, 4-, B a< +-b< 9d< +0e< ++0 +-. ?allar “B -, 0, /, B, 0a< 4 d< +/
c< ++-
b< +e< +5
++. $%ué nmero sigue& 3, 0, 0, 3,.................. a< 4 b< / c< 0
e< >
c< +0
d< +/
e< 1
+0. $%ué término contina# +0, 01, 35,.........& a< 19 b< O/ c< O1/ d< O31 e< O0+1. $uál es el nmero que )alta# +0+, +/9, +91, B, 0++& a< 0-b< 0-0 c< 0-5 d< 0-4 e< 0++3. ?allar “B -, +, /, 0-, 5-, B a< +-b< 9/
c< 44
d< +-5
e< +0-
d< +4
+5. ?allar “B 0, 1, 3, /, 9, +3, B a< +4 b< 0c< 00 d< +8 e< 0+ +/. $%ué término contina# 4, 0, +-, +0,.........& a< +4 b< 0c< 00 d< 05
e< +9
+8. ?allar “B 5, 0-, 35, 4-, B a< ++b< ++5 d< +1/ e< +3-
0-. ?allar “B -, 0, 3, 4, 0-, B a< 5/ b< /4 d< 3/
c< +05
b< 08 e< 1-
c< 03
0/. $%ué letra contina# C, , P, T,............& a< @ b< ? c< L d< : e< G 08. ?allar “B +, 1, 4, +9, 30, B a< 84 b< 43 d< /5 e< 80 04. ?allar “B +-, /, 1, 8, +3, +-, B a< 4 b< 8 c< /
c< 80
e< /3
b< 0-
a< +9 d< 05
c< 49
c< 38
c< 0/
d< 5
e< 1
09. $%ué letra contina# 2, 7, @, C,...............& a< :
0+. $%ué nmero contina# H+, +, -, -, +, +, 0, 3,......& a< 1 b< 3 c< 5 d< / e< 4 00. ?allar “B +, 0, 5, B a< +-
01. $%ué nmero )alta# +-, 9, 5, H3,...........& a< O+b< O+4 c< O0d< O+/ e< O9 03. $%ué letra sigue# , !, L, ,.................& a< = b< 6 c< M d< J e< 05. ?allar “B 3, +0, /, +4, 9, B
+4. $%ué nmero sigue# 0, 3, +0, 4, 00, +0,............& a< 03 b< 10 c< 04 d< 1e< 1/ +9. ?alla “B 3+, 31, 13, 35, 38, 83, B a< 8/ b< 39 d< 5+ e< 83
e< +5
b< !
c< L
1-. ?allar “B 1, +0, 08, 34, B a< /3 b< 54 d< // e< 80 1+. ?allar B
d< G
e<
c< 85
0, 1, 3, 9, +/, 09, B a< /0 d< /8 10. ?allar a * b 5, +-, a, 0/, b a< 34 d< 1/ 11. ?allar “n 04, 19, 50, /8, n a< 43 d< 99
' 2 ' 1 x 1 1'
b< /4 e< 85
c< 53
a< d<
b< 53 e< 5/
b< 8/ e< 44
13. $%ué letra y nmero sigue# 2, 0, , /, @, +3, G, 0/........& a< , +/ b< P, 0d< , +/ e< %, 0-
c< 30
d<
1 1'
d<
1' 1
18. ?allar “B
e<
2 ',
2
2
14. $%ué nmero contina# 1 a<
1 1
b<
* '1
d<
1' 1
e<
12 21
c< , 0-
a<
2*
b<
* '1
d<
1
e<
1 21
e<
1 1
c<
1 1*
3+. ?allar “B +, 3, H+, /, H1, B a< / b< 8 c< 4
1 20
b< e<
1* 2 1 '
c<
1
30. ?allar “B 1, 5, +5, +8, 5+, B a< +9, b< 51 d< 5/ e< 0-
11 '
........ &
c<
3-. ?allar “B 0,0, 5, +-, 9, +9, +3, B a< +4 b< +/ d< +9 e< 09 b<
....... &
c<
2 ' 2
1 ' * x 2 , 1 '2 1 *
'
c<
' 2
1/. ?allar “B
a<
1*
19. $%ué término sigue# 2
1 1 1 1 x 2 ' * 1 1
b<
c< 9/
15. ?allar “B
a<
1 20
c< +8
d< 9
e< +-
c< 0+
31. ?allar “B +, +-, 3, /, 8, 0, B a< +b< +0 d< 5 e< 4
c< 9
* 2*
a< 88 d< 48
33. alcular “B -, 8, 0/, B
!l ob"etivo en este capítulo será el de hallar una cantidad desconocida Kla cual se la representará con una RTR, signo de interrogación R&R o un espacio en blanco< para ello es necesario encontrar una relación matemática nica, la cual se encuentra basada en una misma interrelación numérica mediante todas las operaciones aritméticas conocidas, es decir, utilizando criterios de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. !n este capítulo analizaremos#
b< 50 e< 44
3 K+0< 8 K < :a respuesta es 30.
c< /1
1 /
Ejercicio ) ?allar la cantidad desconocida en# / K4< ++1 K+8< 0+ ++ K < 1 Fesolución !n este caso la relación matemática es utilizando un criterio de adición y división a la vez, es decir, se observa que#
+. 2nalogías numéricas 0. 7istribuciones numéricas 1. 7istribuciones grá)icas
'. ANA%O5AS NMHRI!AS
/
K4<
+-
Son arreglos numéricos donde el ob"etivo es hallar una cantidad desconocida que se halla entre paréntesis y en la parte central de dichos arreglos. =ienen como criterio comn una misma relación matemática, la cual se hallará utilizando los valores numéricos que se encuentran en los eBtremos.
+1
K+8<
0+
++
K <
1
Meamos a continuación los siguientes e"ercicios resueltos#
?allar el valor que )alta en# K+-< K+0< K <
5 1 /
Fesolución @ácilmente nos damos cuenta que la relación matemática es de una simple multiplicación, es decir, se cumple que# 0
K+-<
5
0 B 5 +-
10 , 2 1' 21 1 2 11 ' 2
Por lo tanto la respuesta será 8. Ejercicio * ?allar RBR en el siguiente arreglo numérico# 0 3 5
Ejercicio '
0 3 8
3 B 1 +0 8 B / 30
K1< K+0< KB<
+ 3 8
Fesolución !stimado alumno Pitagórico de primer a(o ten mucho cuidado al analizar este tipo de problemas, pues si observas la primera )ila y has pensado que la relación matemática es del tipo aditivo K0 * + 1< te darás cuenta que es un errorZ pues solo está cumpliendo en la primera )ila mas no en la segunda K3 * 3 ≠ +0
0 3 5
K1< K+0< KB<
+ 3 8
:a respuesta es +4.
00 H + 1 30 H 3 +0 B 50 H 8 05 H 8 +4
). DISTRI1!IONES NMHRI!AS Son también arreglos numéricos donde otra vez el ob"etivo es hallar una cantidad desconocida encontrando una relación aritmética nica, pero a di)erencia de las analogías éstas no presentan paréntesis en la parte central y dicha cantidad a hallar no se encuentra necesariamente en el medio. NOTA :as distribuciones pueden resolverse analizando ya sea las )ilas o las columnas. Para un me"or entendimiento resolvamos algunos e"ercicios# Ejercicio + !n la siguiente distribución, hallar RBR.
Fesolución !n este e"emplo la relación matemática es la que se muestra a continuación# +/ + 1/ 0 +-- 8
5 4 B
*+3*+5 *0/*04 B * 8 +- * 8 +8
:a respuesta es +8. Ejercicio Q 7ado el siguiente arreglo numérico, hallar RBR 9 +B
3 / +1
0 5 +/
Fesolución Si analizamos las )ilas de esta distribución observamos que no eBiste alguna relación matemática nica, por lo que la lógica nos hace pensar que dicha relación debe encontrarse analizando las columnas. !n e)ecto, si sumamos cada columna obtenemos el mismo resultado, es decir#
0 1 3 +5 + 8 +0 4 / 9 B
9 F 10
4 F 6 13
2 F 5 16
23
23
23
Fesolución
oncluimos que el valor de RBR es 3.
!n este e"ercicio eBiste una relación aritmética analizando las )ilas de la siguiente manera#
*. DISTRI1!IONES R@2I!AS
0 B 1 * 3 +5 B + * 8 +0 4B/*9B Por lo tanto el valor de RBR es 58. Ejercicio
Son arreglos numéricos pero dispuestos en )orma grá)ica. Ejercicio ?allar RBR en#
?allar RBR en# +/ 1/ +--
+ 0 8
5 4 B
2
5
6 10
9
7
3
1
4
2
3
11
2 22
Fesolución @ácilmente nos damos cuenta que el valor que se encuentra dentro del cuadrado es igual a la suma de los valores que se encuentran dentro del círculo.
0. 0 K4< 5 4 K+9< ++/ K < 3
:uego# B 9 * 8 * 0 * 1 0+ Ejercicio ?allar RBR en# 3
5
9
2
6
17
7
19
1. 1 K+-< + 5 K09< 3 / K < 8
Fesolución :a relación matemática en esta distribución es la siguiente# 3
5
9
2
6
17
7
19 2
3 K 2
2
5 K 6
2
G 9 K 17 G 64
A. Analo8as NumGricas ?allar el nmero que )alta en los siguientes problemas# +. 3 K+0< 1 5 K15< 8 9 K < /
1. Distri,uciones NumGricas ?allar RBR en los problemas que se proponen a continuación#
3. +- / +8 0 01 9
3 +5 B
5. 3 8 4
0 + B
1 5 /
+3 1/ 3+
/. +- 03 0 / 5 3
B 1 ++
!. Distri,uciones r-3icas ?allar RBR en los grá)icos propuestos# 4.
1
4
2
!n las siguientes analogías numéricas, hallar el nmero que )alta#
7
5
+.
8
6
15
3
6
9
0 9 5 a< +3 d< +0
0.
5
7
1
2
3
8
23
b< +1 e< +-
a< 15 d< 19 1.
5 3 9
3.
2 4
26 3
5
6
41 5
1
2
10
K+5< K04< K <
K4< K3< K <
c< 1/
1 8 /
b< 35 e< 39 10 03 /-
9
7
c< ++
b< 14 e< 18
a< /1 d< 54 +-.
1 3 8
+1 K9< 3 0/ K++< +5 34 K < +-
9. 3
K5< K+1< K <
c< 53
3 / +0
9
a< 1 d< 3 5.
b< / e< 5 3 +5
K9< K+3< K <
c< 8
1 0 +/
a< 00 d< 01 /.
b< 03 e< 05 5 K9< 1 K0-< +/ K <
a< +5 d< +4 8.
a< +3 d< 00
c< 0+
0 8 +
b< +/ e< +9 0 5 +-
c< +8
K1< 3 K8< 9 K < +4 b< 0e< 04
1 5 +0 a< 0+ d< +5
9.
8 9 4
a< 4 d< +-
/ 9 5
0 4 +-
05 3
1/ 5
a< 8 d< 9 +3.
4 0 + +8
34 B /
5 1 3 +9
c< /
B 5 / 0/
b< 0 e< 5
c< 1
?allar RBR en las distribuciones grá)icas ad"untas# +5.
+0 1/ 3-
1
b< 8 e< /
c< +1
b< 4 e< 5
a< + d< 3 c< +8
8 / B
b< +8 e< +5
+1.
++3 B
b< +9 e< 00 3 B
5 3 9 a< +9 d< ++
c< +/
!n las distribuciones numéricas que se proponen a continuación, hallar RBR. 4.
+0.
2
5
8
6
15
3
a< 03 d< 0+
c< 9
6
4
b< 05 e< 00
7
c< 01
+/.
+-.
1 3 5 a< / d< 3
++.
3 + /
+ / B
b< 8 e< 9 5 0 8
a< 5 d< 0
0 1 4
3 9 8 b< 3 e< +
c< +-
1 / B
a< 4d< 45
4
3
10
2 8
6 18
9
b< 9e< 85
c< 8-
+8.
01 03 5-
3 6
c< 1
a< 5
2
b< 3
5
15 3
32 8
c< /
9
d< 8
e< 1
1.
3 / 8
+4. 3 4 2 10
6 5 7 23
8 7 9
a< 3+ d< 31 3.
a< 35 d< 34
b< 3/ e< 39 3
6
5
2
9
10
1
4
a< 4 d< 8
5
8
b< 5 e< /
3
12
5.
a< 85 d< 80
6
9
2
4
8
1
2
3
11
26
b< 83 e< 81
+.
5 K10< 3 K+3< ++ KB< a< 05 d< 01
8 ++ /
a< 08 d< 09
+1 8 5
5 4 B
0 +9 3
a< +0 d< ++
c< 00
c< +5
B 3 4
b< +1 e< +3
c< +5
4.
+ 0 3
b< 04 e< 0/
c< /
b< +3 e< +8
8.
3
K5< K++< KB<
+1 +
a< +1 d< +/
0. 0 1 5
+/ 1/ /3
/.
/ 1 0
b< 03 e< 0/
c< /4
b< 5 e< 8
c< 8/
!n las analogías y distribuciones que se proponen a continuación, hallar RBR.
+ 0 1
+ 3 1
a< 1 d< 3
0-.
c< 30
b< // e< /5 1 0 B
c< 9
5
K9< K09< KB<
a< /8 d< /9
6
0 5 9
b< 19 e< 30 1 3
c< 38
+9. 2
K+3< K1+< KB<
c< 1-
9.
14 4
a< 14 d< 3+
2
1
7
31 3
b< 19 e< 30
5
2
6
c< 3-
5
1
8
19
5
2
29
4
5
8
3
7
6
4 3
3
a< 84 d< 9/
9
1
b< 95 e< +-/
4
3
10
9
7
a< + d< 1
c< 4/
2 11
b< 3 e< 5
13
c< 0
5.
+-. 4
1
1
10
2
20
3 5
5
36
2
3
a< 3 d< 5
b< 1 e< 0
58
a< ++ d< +0 0.
K3< K/< KB<
b< +e< 4
c< 9
1.
/ 5 B a< 5 d< 4
+ 1 3 b< / e< 9
4 +/ 10
c< 03
c< 8
0 4 +
b< 310 e< 349
c< 09/
b< +-e< +1-
c< ++-
b< 3 e< +
c< 1
b< 80 e< 4-
c< 94
5 1 B
a< 5 d< 0 9. 0 3 5
H0 H+ H3
c< +/5
8. 3 K+3< 0 / K08< 5 +- KB< 1-
4. 1 3 5
b< 0/ e< 00
b< +59 e< +4+
K80< 1 K+05< + KB< 3
a< 9d< +0-
+01 K0+< 35/ 53+ K0-< 40850 K < 1-9 a< +9 d< 0-
/. 0 5 1
a< 534 d< 18-
5 0 0-
10
c< /
?allar el valor de RBR en cada uno de los siguientes e"ercicios#
8 +/ +1
9
4
a< +3d< +8/
+.
7
6
29
3.
5
8
a< 49 d< /3
8 14 B
+ 0/ 1/
!l presente capítulo tiene por ob"etivo hallar la máBima cantidad de )iguras de un determinado tipo, presentes en una )igura principal dada. Para ello utilizaremos el método llamado de la SL;P:! LASP!LQA, el cual consiste en asignar nmeros o letras a las regiones que se presentan para luego realizar el conteo de las )iguras pedidas. !s en este tema donde utilizarás toda tu habilidad visual, concentración pero sobretodo orden para el correcto desarrollo de los e"ercicios propuestosZ pues si no eres metódico al momento de contar, cabe la posibilidad que pases por alto algunas )iguras o cuentes la misma )igura dos veces.
Ejercicio ) $uántos triángulos eBisten en total en la )igura propuesta&
!n este capítulo realizaremos el conteo de dos tipos de )iguras geométricas# triángulos y cuadrados.
'. !ONTEO DE TRI@N%OS Ejercicio ' $uántos triángulos hay en total en la siguiente )igura&
Fesolución omo en el e"ercicio anterior procederemos a enumerar las regiones Kllamadas también )iguras simples< que componen la )igura principal#
6 1
Fesolución 6tilizaremos el método de la simple inspección el cual consiste en enumerar las regiones que con)orman la )igura principal, es decir, procederemos de la siguiente manera#
4
:uego contamos de la siguiente manera# T & %8 n g # l " T & %8 n g # l " T & %8 n g # l " T & %8 n g # l "
( 0 # e" ) " ( 0 # e" ) " ( 0 # e " ) " ( 0 # e " ) "
0 & # n a " la & e g %, n R 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 0 & * " & e g % n e " R 1 2 ; 2 3 ; 2 6 ; 3 4 ; 4 5 ; 4 6 0 & ) & e " & e g % n e " R 1 2 3 ; 3 4 5 0 & ( # a ) & & e g % n e " R 2 3 4 6
5 F 6 2 1 1 4 ) & %8 n g # l "
!n la )igura propuesta a continuación, $cuántos triángulos tienen solamente un asterisco en su interior&
:uego contamos así# 0 & 0 & 0 & 0 &
5
Ejercicio * 3
( 0 #e ") " ( 0 #e ") " ( 0 #e ") " ( 0 #e ") "
3
4
2
1
T & % n g # l " T & % n g # l " T & % n g # l " T & % n g # l "
2
# n a " la & e g %, n R 1 ; 2 ; 3 * " & e g % n e " R 1 2 ; 1 3 ; 2 4 ; 3 4 ) & e " & e g % n e " R S C a ' ( # a ) & & e g % n e " R 1 2 3 4
3 F 4 1 8 ) & % n g # l "
a
Fesolución
(
*
e
? g
!numeramos cada una de las regiones que aparecen#
:uego contamos de la siguiente manera#
2
1 4
9 #a *&a * " 9 # a *&a * " 9 # a * &a * " 9 # a *&a * "
3 5
( 0 # e " ) " 0 & # n a " la & e g %, n R ( * e ? ( 0 # e " ) " 0 & * " & e g % n e " R ? g ( 0 # e " ) " 0 & ) & e " & e g % n e " R a ( ( 0 # e " ) " 0 & ( # a )& & e g % n e " R ( * e ?
6 Ejercicio
:uego contamos los triángulos que tengan un solo asterisco en su interior# T & %8 n g # l " ( n # n a " )e & %" ( ( 0 # e " ) 0 & # n a &e g %, n R 2 T & %8 n g # l " ( n # n a ") e & %" ( ( 0 # e " ) 0 & * " & e g % n e " R 1 2 ; 1 4 ; 2 3 ; 2 5 ; 3 6 T & % 8 n g # l " ( n # n a " ) e & %" ( ( 0 # e " ) 0 & ) &e " & e g % n e " R 1 2 3
5 F 1 1 1 8
1F 5 1 7 ) & %8 n g # l "
). !ONTEO DE !ADRADOS Ejercicio + $uántos cuadrados hay en total en la siguiente )igura&
Fesolución tra vez para que el conteo sea ordenado y correcto asignemos valores a las regiones simples, como letras por e"emplo#
$uántos cuadrados eBisten en total en la )igura que se propone a continuación&
/.
!n las )iguras que se proponen a continuación halle 6d. el nmero total de triángulos que eBisten. +.
!n las siguientes )iguras halle 6d. el nmero total de cuadrados que eBisten. 8.
0.
1.
3.
5.
4.
9.
+-.
Nivel I V $uántos triángulos como máBimo hay en las siguientes )iguras&
/.
a< 8 d< +-
b< 4 e< ++
c< 9
a< ++ d< +3
b< +0 e< +5
c< +1
a< +0 d< +-
b< / e< 3
c< 4
a< +d< +/
b< +0 e< +4
c< +3
a< +0 d< +5
b< +1 e< +/
c< +3
+.
8. a< 1 d< /
b< 3 e< 8
c< 5
0.
a< / d< 9
b< 8 e< +-
c< 4
4.
1.
a< 3 d< 8
b< 5 e< 4
c< /
9.
3.
a< 8 d< +5.
b< 4 e< ++
c< 9
V $uántos cuadrados como máBimo hay en las siguientes )iguras& +-.
a< 1 d< /
b< 3 e< 8
c< 5
a< 1 d< /
b< 3 e< 8
c< 5
++.
+0.
!n las )iguras que se proponen a continuación, hallar el nmero de triángulos que tienen solamente un asterisco KV< en su interior. +.
a< + d< 3
b< 0 e< 5
c< 1
a< + d< 3
b< 0 e< 5
c< 1
a< 5 d< 4
b< / e< 9
c< 8
a< 9 d< +0
b< +e< +1
c< ++
a< 9 d< +0
b< +e< +1
c< ++
0.
a< +0 d< +5
b< +1 e< +/
c< +3
+1.
1.
a< 4 d< ++
b< 9 e< +0
c< +-
+3. 3.
a< 8 d< +-
b< 4 e< ++
c< 9 5.
+5.
a< +3 d< +8 Nivel II
b< +5 e< +1
c< +/
?allar el máBimo nmero de triángulos.
/.
a< +d< +1
b< ++ e< +3
c< +0
Nivel III a< 1 d< 8
b< 3 e< 4
c< /
+.
8.
a< +1 d< +/
b< +3 e< +8
c< +5
4.
a< 0/ d< 09
b< 08 e< 1-
c< 04
a< 05 d< 04
b< 0/ e< 1-
c< 08
0.
a< 1 d< ++
b< 5 e< +3
c< 4
9.
1. $uántos cuadrados como máBimo hay en la siguiente )igura&
a< 9 d< +0 +-.
V $uántos triángulos como máBimo hay en las siguientes )iguras&
b< +e< +1
c< ++ a< +5 d< +4
b< +/ e< +9
c< +8
ola AmiosU V seuimos con el estudio de 2IRAS pero 4a no vamos a ver si es posi,le di,ujarlos de un solo traFo sin levantar el l-piF
Mértice Par !s aquel punto donde convergen un nmero de líneas !"emplo#
!"emplo# !n la siguiente )igura es posible dibu"arla de un solo trazo sin pasar por una misma línea 0 veces
Mértice Par !s aquel punto donde convergen un nmero
$rimero a4 /ue entender el concepto de vGrticeU
de líneas !"emplo#
Aplicación Mértice '''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''' !"emplo#
!n la siguiente )igura, hallar la cantidad de vértices pares e impares respectivamente
Mértices pares
]RE!ERDENU 6tiliza bien estas 1condiciones y todo será )ácil
Mértices pares
!ondiciones Necesarias +. la )igura es posible dibu"ar de un solo trazo si posee sólo "ERTI!ES !"emplo +. olocar verdadero KM< ó K@< segn
6n vértice es la intersección de 0 líneas o más K < • Mértice par es aquel donde convergen un nmero par de líneas K < • Mértice impar es aquel donde convergen 1 líneas. K < •
0. :a )igura es posible dibu"ar de un solo trazo si posee a lo más 0 vértices empezando por uno de esos puntos y terminando en el punto. !"emplo
0. Para que sea posible recorrer una )igura sin pasar una misma línea 0 veces. :a )igura debe tener a lo más 1. :a siguiente )igura es posible dibu"arla de un solo trazo comenzando desde un vértice y terminando en el mismo vértice. a< Merdadero b< @also
'. Si la )igura posee más de 0
3. :a siguiente )igura es posible dibu"arlo o recorrerlo sin para por el mismo trazo
!"emplo
a< Merdadero
vértices no es posible dibu"arlo de un solo trazo
b< @also
5. la siguiente )igura no es posible dibu"arlo de un solo trazo a< Merdadero
a< LL d< LL y LLL
b< @also
b< todos e< L, LLL
c< L y LL
9. 2 continuación de las preguntas de / al +1 se dan 1 pares de )iguras. $uál de ellas es posible dibu"arla de un solo trazo&
L
LL
/
L
LL
LLL a< LL d< LL y LLL
c< L y LL
+-.
LLL a< LL d< LL y LLL
b< todos e< L, LLL
b< L e< L, LL y LLL
c< L y LL L
8.
L
LL
LL
LLL a< LL d< L y LLL
b< L e< L, LL
c< LLL
LLL a< Sólo LL d< LLL
b< sólo L e< ninguno
c< L y LL
4. +. olocar verdadero KM< o )also K@< segn L
LL
LLL
Mértice par es aquel punto en el cual convergen un nmero par de líneas. K < • Si una )igura tiene vértices pares no es posible dibu"arlo de un solo trazo. K < •
0. !n el grá)ico indicar la cantidad de vértices pares e impares respectivamente.
L a< 4 y +0 d< +8 y 1
b< ++ y 9 e< +3 y /
c< +5 y 5
1. :a siguiente )igura es posible dibu"ando de un solo trazo comenzando desde un vértice y terminando en el mismo vértice.
LLL
a< LL d< L y LL
b< L e< LL y LLL
c< todas
L
LL
a< LL d< L y LL
b< L e< LL y LLL
L
LL
LLL
a
b< sólo L e< LL y LLL
c< Sólo LL
8.
a< Merdadero b< @also
3. la siguiente )igura es posible dibu"arlo recórrelo sin pasar por el mismo trazo
LL
LLL c< Ainguna
4.
a< Merdadero b< @also
5. :a siguiente )igura no es posible recorrerlo sin pasar una vez por un mismo trazo
9.
a< Merdadero
L
LL
b< @also
2 continuación de las preguntas del / al +1 se dan 1 pares de )iguras. $uál de ellas es posible dibu"arlo o recorrerlo de un solo trazo&
LLL a< sólo LL d< L y LL
/. +-.
b< sólo L e< LL y LLL
c< Sólo LLL
L
+0.
LL
LLL a< sólo LL d< L y LL
L
b< sólo L e< LL y LLL
c< Sólo LLL
+1. 2E es un triángulo de /cm cada lado el cual se ha dividido en 3 partes. $uántos centímetros como mínimo se deben recorrer con el lápiz para dibu"ar sin levantar el lápiz del papel&
LL
LLL a< L y LLL d< L y LL
b< LL y LLL e< Ainguno
c< Sólo LL
++.
a< +4 d< 1-
L
b< 03 e< Ao se puede
c< 08
*ee" )# )a&ea a&a aana "% l #e*e" Ca(e& C'
LL
LLL a
O,jetivo
b< sólo L e< LL y LLL
c< Sólo LLL
H Erindar al estudiante las pautas teóricas para reconocer y resolver problemas de cronometría.
H 7ar a conocer al estudiante las diversas técnicas empleadas en la resolución de problemas de cronometría. H 2plicar las técnicas a situaciones propias de la vida diaria, re)erentes a la medición del tiempo.
Introducción
bservación# Amero de intervalos de tiempo es uno menos que el nmero de campanadas.
:os problemas de intervalos de tiempo relacionados a la vida diaria, involucran a las campanadas y pastillas. 2mbas serán motivo de estudio en el presente capítulo. 2plicaremos aquí, las técnicas estudiadas en los temas de razonamiento lógico y el razonamiento deductivo, poniendo én)asis en la observación y el análisis de la in)ormación dada.
0. !l campanario de una iglesia da nueve campanadas en +0 segundos. $uántas campanadas dará en +4 segundos& Fesolución#
e
e
3 &a
2*a (a ana*a
Intervalos uando nos re)erimos a un evento que implica una acción repetitiva, como campanadas, golpes, contactos seguidos a velocidad constante, debemos considerar que el tiempo transcurrido, es propiamente el de los periodos comprendidos entre contacto y contacto y no la duración del contacto. +. 6n relo" de pared da tres campanadas en seis segundos. $uánto se demorará para dar siete campanadas&
bservación +# omo es evidente, para que golpee al eBtremo izquierdo y luego al derecho debe haber transcurrido solo un intervalo de tiempo, es decir, el “nmero de intervalos de tiempo es uno menos que el nmero de campanadas.
2
e
e
5 )a
e
6 )a
7 a
e
8$a
2plicando Fegla de =res Simple# 1
4
2
3
12< K 1 = G 8 1 8 K 1 G 12 G 13
∴ !n +4 segundos dará +1 campanadas.
1. 6na pistola automática dispara siete balas en dos segundos. $uántas balas disparará en cinco segundos& e
e
e
e
e
Fesolución# 3
4
5
6
7
a a n a * a"
⇒
6 "
1 campanadas \[ 0 intervalos de tiempo 8 campanadas \[ / intervalos de tiempo !ntonces# a ana*a" 3 7
I n ) e & $ a l " T %e 2 6 "eg # n * " 6
Siete balas determinan seis intervalos. a l a " I n ) e & $ a l " T %e 2 "e g #n * " 7 6 5 "eg# n*" K1
2plicando Fegla de =res Simple# 15
2plicando Fegla de =res Simple# 0B / / B +4 segundos
9na
a a n a * a " I n ) e & $ a l " T %e 1 2 "e g # n * " 9 8 18 "eg#n * " K1
:uego en nuestro problema# 3 " 3 "
4 )a
1e&a (aa na*a
Fesolución#
1
e
2 < K 1= G 3 0 K 1 G 15 G 16
e
∴ 7ará ++ campanadas en cinco segundos H
∴ !n cinco segundos disparará +/ balas. 4H
$uántas pastillas tomará 2rturo durante los dos días que estará en cama por una en)ermedad viral, si toma una cada seis horas y empezó a tomarlas apenas empezó su reposo, hasta que culminó& Fesolución#
!uanto m-s alto colo/ue el om,re su meta9 tanto m-s crecer-
Crá)icamente# - %e J a
6 C
# l % n a
6 C
6 C
6 C
6 C
6 C
P & % e & * a
6 C
6 C
S e g # n * * a
!scogemos las tres primeras pastillas y logra tomarlas en +0 horas, todas las pastillas las tomará en# 2 *a" [\ 48 C&a" P a " ) %ll a " 3
T %e 1 2 C &a " 4 8 C &a "
In )e&$al" 2 <K1=
2plicando Fegla de =res Simple# 4
1
12< K 1 = G 2 K 1 G 8 G 9
x
48
∴ !n dos días tomará nueve pastillas. 5H
+. Si un relo" da cinco campanadas en seis segundos, $cuántas campanadas dará en tres segundos&
6n relo" demora dos segundos en dar cinco campanadas. $uánto se demora para dar ++ campanadas& Fesolución# a ana*a" 5 11
I n ) e & $ a l " 4 10
T %e 2 "e g # n * "
2plicando Fegla de =res Simple# 3B 0- → B 5 segundos
0. Si un relo" da siete campanadas en ocho segundos, $en cuántos segundos dará cuatro campanadas&
1. 6na pistola dispara ++ balas en dos minutos. $uántas balas disparará en cinco minutos&
3. :ionel ;essi patea nueve penales en 0- segundos. !n +5 segundos, $cuántos penales podrá patear&
5. 2rturo tocó tres veces una puerta en tres segundos. Si tocará cinco veces, $qué tiempo se demoraría&
9. :incol toma una cápsula cada ocho horas. !n cuatro días, $cuántas cápsulas ha tomado, si las debe de tomar desde el inicio hasta el )inal de su medicación&
+-. Gorge toma dos píldoras cada cuatro horas. !n una semana, $cuántas píldoras habrá tomado, si las debe de tomar desde el inicio hasta el )inal de su medicación&
/. !l campanario de una iglesia ha dado 1+ campanadas en nueve minutos. $uántas campanadas ha dado en +4- segundos& Nivel I +. 6n relo" da siete campanadas en +- segundos. $uántas campanadas dará en +5 segundos&
8. 2l amanecer un gallo canta cinco veces en +0 segundos, $cuántas veces cantaría en 03 segundos&
a< 9 d< +0
c< ++
0. !l campanario de una iglesia da nueve campanadas en +0 segundos. $!n cuántos segundos dará +5 campanadas& a< 0- s d< 00
4. Ciovanni toma una pastilla cada seis horas. !n un día, $cuántas pastillas ha tomado, si las debe tomar desde el inicio hasta el )inal de su medicación&
b< +e< +1
b< +9 e< 0+
c< +4
1. 6n relo" da ++ campanadas en cinco segundos. $uántas campanadas dará en ocho segundos& a< +5 d< +4
b< +/ e< +9
c< +8
3. =odos los domingos a las ocho de la noche el sacerdote de una catedral da cuatro campanadas en cuatro segundos. $!n cuántos segundos dará +1 campanadas& a< +/ s d< +1
b< +8 e< +3
c< +5
5. Si para que un relo" toque +/ campanadas se ha demorado +4 segundos, $qué tiempo demorará para que toque seis campanadas& a< 5 s d< /
b< 3 e< 1
c< 8
/. 6na ametralladora dispara +-- balas en dos minutos. $uántas balas disparará en seis minutos& a< 1-d< 098
b< 099 e< 094
c< 09/
8. Fonaldinho patea nueve penales en tres minutos. $uántos penales pateará en seis minutos& a< +4 d< +5
b< +8 e< +3
c< +/
4. ?olly)ield Kcampeón mundial de boBeo< da a su contrincante +8 golpes en medio minuto. $uántos golpes de boB le dará en cuatro minutos& a< +04 d< +08
b< +09 e< +0/
c< +1-
9. 6n gallo al amanecer, canta cinco veces en dos minutos. $uántas veces cantará en siete minutos& a< +5 d< +0
b< +3 e< ++
c< +1
+-. =rilcito para escribir tres letras se ha demorado tres segundos. $uánto se demorará en escribir nueve letras& a< 9 s d< +0
b< +e< +1
c< ++
++.Cildder para tocar una puerta cuatro veces ha tardado cinco segundos. $uánto se tardará para tocar la misma puerta siete veces& a< ++ s
b< 4
c< 9
d< 8
e< +-
+0.Si para tocar un timbre seis veces Fommelito ha tardado +- segundos, $cuánto tardará en tocar el mismo timbre nueve veces& a< +5 s d< +4
b< +/ e< +9
c< +8
+1.Si ristina tiene que darle una pastilla cada media hora a su hi"ita Maleria que está en)erma, $cuántas pastillas le dará desde las 0#-- p.m. hasta las 4#-p.m.& a< +d< +1
b< ++ e< +3
c< +0
+3.$uántas pastillas tomará Ficardo Kque está en)ermo con gripe< durante una semana, si toma una cada cuatro horas y empezó a tomarlas apenas empezó su reposo hasta que culminó& a< 3+ b< 30 c< 31 d< 33 e< 35 +5.6n paciente toma una pastilla cada ocho horas durante +3 días. Si empezó a tomar desde un comienzo hasta el )inal, $cuántas pastillas consumió& a< 19 d< 33
b< 30 e< 3-
c< 31
Nivel II +. Fosaura compra un )rasco cuyo contenido tiene cápsulas vitamínicas y tiene que tomarlas durante los tres días que va a hacer deportes, a razón de dos pastillas cada tres horas. Si empezó a tomarlas apenas empezó a realizar deportes, hasta que los culminó, $cuántas cápsulas contenía el )rasco& a< 5d< 35
b< 34 e< 39
c< 50
0. 6n relo" da tres campanadas cada tres minutos. $!n cuántos minutos dará +1 campanadas& a< +4 d< 9
b< +5 e< +9
c< 19
1. 6n campanario se(ala las horas con igual nmero de campanadas. Si para indicar las 5#-- a.m. demora
seis segundos, $cuánto demorará indicar las 9#-a.m.& a< +5 s d< 53
b< +0 e< 1-
c< +4
3. 6na campana da cinco campanadas en siete segundos. $uántos segundos tardará en tocar 05 campanadas& a< 5/ d< 30
b< 19 e< +4
c< 0+
5. 6n boBeador da cinco golpes en 3- segundos. $uánto se demorará para dar +8 golpes& a< 0 min 1- s b< 0 min 3- s c< 0 min 15 s d< 1 min 3- s e< 1 min 5- s /. 6n boBeador da +5 golpes en cinco segundos. $uántos golpes dará en +5 segundos& a< 31 d< +5
b< 30 e< 85
c< 1/
8. 6n relo" da tres campanadas en tres segundos. $uántas campanadas dará en 08 segundos& a< +4 d< 00
b< 9 e< 0-
c< +9
4. arla toma dos pastillas cada tres horas. $uántas pastillas tomará en cuatro días& a< // d< /3
b< 8e< /4
c< /0
9. $uántas pastillas tomó un en)ermo durante una semana que estuvo en cama, si tomaba una cada tres horas y empezó a tomarlas apenas empezó su reposo hasta que culminó& a< 58 d< 0+
b< 54 e< 04
c< 5/
+-.6na doctora escucha 4- latidos de un corazón por minuto. $uánto demorará en escuchar 014 latidos& a< +5- s d< 0--
b< +4e< 05-
c< +8-
++. Para tocar tres campanadas, el campanario tardó seis segundos. $uántas campanadas tocará en un tiempo de +5 segundos& a< / d< +-
b< 4 e< +4
c< 9
+0.6na campana da ocho campanadas en siete segundos. $uántos segundos tardará en dar 0campanadas& a< 30 d< 0+
b< 0e< 04
c< +9
+1.:a campana de un campanario tarda cinco segundos en dar tres campanadas. $uántas campanadas dará en un tiempo de 05 segundos& a< ++ d< +1
b< +e< +0
c< +3
:os problemas que vamos a desarrollar y aprender en el presente capítulo, están relacionados con cortes, estacas y postes, pues son con estos casos con los que comprenderemos me"or los criterios que se tienen al traba"ar con intervalos de longitud.
!ORTES9 ESTA!AS V $OSTES
!ste tipo de problemas de carácter recreativo, se re)iere a los cortes que en nmero su)iciente se debe realizar a ob"etos de una longitud determinada, para obtener peque(os trozos Kpedazos< de igual longitud.
N7mero De !ortes Para determinar la )órmula que nos permita calcular el nmero de cortes, consideremos previamente a una varilla de +0 cm de longitud que se corta, para obtener piezas de / cm, 3 cm, 1 cm y 0 cm respectivamente.. 12( 6 (
6( 12(
4 (
4 (
4 (
_ (&)e" =
12 −1 = 1 6
S_ (&)e" =
12 −1 = 2 4
S_ (&)e" =
12 −1= 3 3
_ (&)e" =
12 −1 = 5 2
12( 3(
3(
3(
3(
12( 2
2
2
2
2
2
eneraliFando: :t :ongitud total :u :ongitud unitaria /) /#
/#
/#
/#
/#
/ # HHH
_ (&)e" =
/) −1 /#
Por lo tanto, para determinar el nmero de cortes, la )órmula es la siguiente# S` (&)e" =
/) −1 /#
K+<
NWMERO DE ESTA!AS onsideramos una pista de +0 m de longitud K:t<, en la cual se deben colocar estacas K<, a las distancias de# / m, 3 m, 1 m y 0 m respectivamente. 12 6
6 12 4
4
4
_ e")a(a" =
12 +1= 3 6
S_ e")a(a" =
12 +1= 4 4
12 3
3
3
3
12 2
2
2
2
2
2
S_ e")a(a" =
12 +1= 5 3
S_ e")a(a" =
12 +1= 7 2
Ceneralizando tenemos# /) /#
/#
/#
/#
_ e")a(a" =
/) +1 /#
Por lo tanto, para determinar el nmero de estacas la )órmula es la siguiente# ` e")a(a" =
/) + 1 K0< /#
!aso especial: uando se trate de calcular el nmero de cortes y estacas en ob"etos circulares Karos< o )iguras cerradas, la )órmula es la siguiente# ` *e (&)e" = ` *e e")a(a" =
/) /#
K1<
!"emplo# $uántos cortes se deben dar a un aro de 4- cm para dividirlo en cuatro partes iguales&
4
80 = 20 ( 4 /) 80 = =4 ` (&)e" = /# 20 /# =
1
3
2
Fesolución# Llustrando grá)icamente el problema tenemos# /) 72
+. $uántos cortes debe darse a una soga de 80 m de largo, para tener pedazos de 3 m de largo cada uno& a< +8 d< 0-
b< +4 e< 0+
c< +9
4 4 4 4 HHH /#
Para calcular el nmero de cortes que se deben realizar, aplicamos lo siguiente# K+< A cortes =
/) −1 /#
=
72 − 1 = 18 − 1 4
⇒
Respuesta: a
A cortes +8
0. !n una avenida de 9/- metros de longitud, se quiere colocar postes peque(os cada 4 m de distancia entre cada uno de ellos, $cuántos postes serán necesarios para cubrir toda la avenida& a< ++/ d< +3-
b< +0e< +0+
c< +03
Fesolución# Auestros datos son# :ongitud total# :t 9/- m :ongitud unitaria# :u 4 m
A cortes 08 omo el nmero de cortes es 08, entonces el nmero de horas que se emplearon es también 08. Respuesta: a 3. $uántos cortes debe darse a un aro de 3- metros de longitud, para tener pedazos de 5 m de longitud& a< 5 d< +-
A de postes
⇒
Respuesta: e
A de postes +0+
1 8
2 _* e ( & )e "
7 6
3 4
5
omo observarás, en total se realiza ocho cortes. /) A cortes = = 40 = 8 /#
5
Respuesta: c
1. !n una )erretería se tiene un stocN de 190 metros de alambre y cada hora cortan +3 metros. $!n cuántas horas cortaron totalmente el alambre& a< 08 d< 10
c< 4
Fesolución# Sea el diagrama siguiente#
:uego, para calcular el nmero de postes Kestacas<, aplicamos lo siguiente, resultando# /) = +1 /# = 960 + 1 = 120 + 1 8
b< 8 e< 9
b< 04 e< 0/
c< 09
Fesolución# 2nalizando el problema, deducimos que el nmero de cortes es igual al nmero de horasZ entonces se debe hallar solamente la cantidad de cortesZ sabiendo que# :ongitud total# :ongitud unitaria#
:t 190 m :u +3 m A cortes = /) − 1
/# = 392 − 1 = 28 − 1 14
5. $uántos árboles deben colocarse a lo largo de una avenida que tiene +5 Nm de longitud, si los árboles se colocan cada +5 metros& K+ Nm +--- m< a< + 5-d< + ---
b< + +-e< + --+
c< + -+-
Fesolución: Primero calculamos la longitud total K:t< de la avenida, en metros# :t +5 Nm +5 K+ --- m< :t +5 --- m omo los árboles se colocan cada +5 m, entonces la longitud unitaria es# :u +5 m. Para hallar el nmero de árboles, aplicamos lo siguiente#
A de árboles = /) + 1
/# = 15 000 + 1 15 = 1 000 + 1
⇒ S_ *e &le" = 1 001
Previamente calculamos el perímetro del terreno, en base al siguiente diagrama re)erencial# 24 6
6 3
Respuesta: e
e")a(a"
/. Se tiene una )ibra de vidrio de 43 cm de largo, que se desea dividir en trozos de 1 cm de largo cada uno. $uánto nos cobra el cortador por cada corte, si recibe en total SD. 53& a< SD. + d< 3
24
b< 0 e< 5
c< 1
Perímetro 03 m * / m * 03 m * / m /- m omo se trata de una línea cerrada, entonces aplicamos# A de estacas = Pe&Ie)& /#
=
Fesolución# Previamente calculamos el nmero de cortes, resultando#
60 = 20 3
A de estacas 0Respuesta: b
/) −1 84/# ( = −1 3 (
A cortes =
= 28 − 1 = 27 :uego, si multiplicamos el nmero de cortes por lo que cobran por cada corte Kn< obtenemos el costo total de SD. 53Z o sea# 08 n SD. 53 7e donde# n = S ! H 54 = SD. 0 27
Por lo tanto cada corte cuesta# SD. 0.
:ea los enunciados y complete los espacios en blanco. +. Si al cortar una soga he obtenido +- pedazos, entonces he tenido que realizar cortes.
Respuesta: b 8. 6n terreno rectangular mide 03 metros de largo por / m de ancho. ada 1 m se coloca una estaca de +,0- m. $uántas estacas se debe colocar en todo su perímetro& a< +4 d< 03 Fesolución#
b< 0e< +9
c< 0+
0. Si deseo realizar +8 cortes a un alambre, entonces debo de obtener pedazos.
1. Si al cortar un aro he obtenido 03 pedazos, entonces he tenido que realizar cortes.
9. Se tiene el siguiente terreno#
28
3. Si a un collar le he hecho 15 cortes, entonces he obtenido pedazos.
40
56
!ntonces su perímetro es m.
5. Si un listón de madera mide 30 m y deseo cortarlo en peque(os listones de 1 m cada uno, entonces debo de obtener pedazos.
+-. Si deseo cercar el terreno anterior colocando estacas cada 3 m. Kuna en cada vértice<, entonces necesito utilizar estacas.
/. Para obtener el nmero de pedazos del problema anterior debo de realizar cortes.
Nivel I 8. 6n pasa"e mide 0-- m. Si se desea dividirlo en longitud de +- m cada uno, entonces se debe de obtener intervalos.
+. $uántos cortes debemos e)ectuar en una varilla de )ierro de /- m para obtener pedazos de 3 m de longitud cada uno& a< +0 d< +/
4. Si se desea plantar árboles Kdesde el inicio hasta el )inal del pasa"e< utilizando los datos del problema anterior, entonces se deben de plantar árboles.
b< +3 e< +1
c< +5
0. 6na larga soga debe ser dividida en trozos de 08 cm de largo cada uno. Si la longitud de la soga inicialmente es de + 0+5 cm, $cuántos cortes se debe realizar& a< 9d< 04
b< 35 e< 3/
c< 33
1. !n un anillo, $cuántos cortes se deben realizar, si se desea obtener +- partes iguales& a< 4 d< +-
b< 9 e< ++
c< 3
3. $uántos cortes se debe hacer a un triángulo equilátero cuyo perímetro es 80 cm, debiendo ser cada parte de / cm cada una& a< +d< 03
b< +0 e< +1
c< ++
5. $uántos cortes debemos dar a un cable de 1-metros de longitud, para obtener pedazos de 05 metros cada uno& a< ++ d< 05
b< +0 e< +1
c< +5
/. 2 una soga de /- metros se le hacen ++ cortes para tener pedazos de 5 metros de largo. $uántos cortes deben hacerse si se tomara la mitad del largo de la soga& a< 5 d< 4
b< / e< 9
c< 8
8. Se desea cercar un terreno rectangular de 19 m de largo y 0+ m de ancho con estacas puestas cada 1 m. $uántas estacas se necesitarán& a< 3d< 3+
b< 5e< 19
c< 34
4. :a siguiente línea curva representa el borde de un lago contaminado que debe ser cercado con estacas y alambre. $uántas estacas se deberán colocar cada 1 m sobre dicha curva, si el perímetro mide 0 +-- m&
a< 8-d< 8-0
b< 8-+ e< /94
c< /99
9. !n una )erretería tienen un stocN de alambre de 43 m y diario cortan 8 m. $!n cuántos días cortarán todo el alambre& a< +5 d< +-
b< +3 e< ++
c< +0
+-.$uánto se tardará cortar una pieza de tela de 4metros de largo en trozos de 3 m, si se emplean +5 segundos en hacer cada corte& a< 1-- s d< 04-
b< 099 e< 045
c< 09-
++.$uántos cortes debe darse a un aro de 03 cm de longitud para tener pedazos de +,0 cm de longitud& a< +0 d< 1-
b< +4 e< 0-
c< 03
+0.6na persona cercó un "ardín de )orma rectangular y utilizó 3- estacas. Puso +3 por cada uno de los lados más largos del "ardín. $uántas puso en cada lado más corto& a< +d< 5
b< 4 e< 9
c< /
+1.Se tiene una barra de aluminio de 4 m de longitud. Si se quiere tener Kn*+< partes iguales, $cuántos cortes debe e)ectuarse& a< 4Kn*+< b< n * 4 c< n * + d< n e< n * 0 +3.!n una pista de atletismo de 10- metros de longitud se quiere colocar obstáculos cada 3 metros de distancia entre sí. $uántos obstáculos serán necesarios para cubrir toda la pista, si se les colocó desde el inicio hasta el )inal de la misma& a< 3d< 43
b< 4e< 89
c< 4+
+5.2 un aro de 0- cm de longitud, se hacen +- cortes para tener pedazos de 0 cm de largo. $uántos cortes deben hacerse si se tomará la mitad del largo del aro& a< / d< 1
b< 5 e< 8
c< 3
Nivel II +. $uántos cortes se deben hacer en un listón de madera de dos metros de largo, si se necesitan pedazos de 4 cm de longitud& a< 03
b< 0/
c< 04
d< 10
e< 1-
0. alcular el nmero de estacas que se requieren para plantarlas Kdesde el inicio hasta el )inal< a lo largo de una línea recta de 1-- metros, si se sabe que entre cada estaca debe eBistir una longitud de 3 m. a< 8d< 84
b< 80 e< 83
c< 8/
1. $uál es la longitud total de una regla de madera, a la que se aplicó +8 cortes, obteniéndose peque(as reglitas de +5 cm cada una& a< 0 m 3- cm c< 0 m 4- cm e< 0 m 8- cm
b< 0 m /- cm d< 0 m 9- cm
3. !n una pista de salto con vallas, hay +5 de éstas, separadas por una distancia de 3 m. $uál es la longitud entre la primera y ltima valla& a< /4 m d< 50
b< /e< /3
c< 5/
5. 6n "oyero cobra SD.+5 por partir una barra de oro en dos pedazos. $uánto tendré que pagar si deseo partirla en ocho pedazos& a< +-5 d< /-
b< +0e< 4-
c< +--
a< 1/ d< 11
b< 15 e< 18
c< 13
8. 6n carpintero para cortar una pieza de madera en dos partes cobra SD.1-. $uánto cobrará como mínimo para cortarla en siete partes& a< SD.+-d< 0+-
b< +4e< +9-
c< +0-
4. 6na varilla de )ierro ha sido seccionada en pedazos de 1- cm. Si para esto se hicieron +0 cortes, $cuál )ue la longitud inicial de la varilla de )ierro& a< 1-- cm d< 3--
b< 19e< 5--
c< 1/-
9. Se desea e)ectuar cortes de ocho centímetros de longitud de arco en un aro de +0- centímetros de longitud de circun)erencia. $uántos cortes podremos e)ectuar& a< +5 d< 9
b< +4 e< +-
c< +3
+-.6n sastre para cortar una cinta de tela de 4metros de largo, cobra SD.+5 por cada corte que hace. Si cada corte lo hace cada cinco metros, $cuánto cobrará por toda la cinta& a< SD.0-d< 04-
b< 00e< + 0--
c< 005
/. 6n electricista tiene un cable de +4- m y debe cortarlo en pedazos de 5 m. $uántos cortes debe dar& A
!l ob"etivo principal en este capítulo es resolver los problemas utilizando el razonamiento y la lógica como herramienta principal, en otras palabras, vamos a resolver los problemas utilizando a la matemática como un "uego recreativo e interesante, pero sobretodo divertido, para lo cual esperamos que uses todo tu ingenio, habilidad matemática y creatividad. !n el presente capítulo vamos a analizar tres tipos de situaciones problemáticas#
+. Situaciones con palitos de )ós)oro 0. =ransmisiones y engrana"es 1. 7ivisión de )iguras '. SITA!IONES !ON $A%ITOS DE 2(S2ORO
!sta parte de la matemática recreativa trata de resolver situaciones en los cuales intervienen palitos de )ós)oro o cerillas. :as situaciones problemáticas se dividen en tres tipos de análisis# a. Fesolver las situaciones /uitando palitos. b. Fesolver las situaciones moviendo palitos. c. Fesolver las situaciones areando palitos.
X Ejemplo ) !n la siguiente igualdad incorrecta mover solamente un palito de )ós)oro y trans)ormarlo en una igualdad correcta.
!stimado alumno para el análisis de las situaciones anteriormente descritas debes de tener en cuenta las siguientes consideraciones# Ao es válido doblar o romper los palitos. !n las )iguras con)ormadas por cerillas no es válido de"ar palitos libres Kcabos sueltos
Fesolución =odos nosotros sabemos que 1 H + es igual a 0 y no a 1 como aparece en la igualdad propuesta, por lo tanto para lograr trans)ormarla en una igualdad correcta hay que mover un palito de la siguiente manera#
P a l %) l % & e ( a " # e l) P a l%) l % & e
Meamos a continuación unos e"emplos X Ejemplo ' %uitar dos palitos de )ós)oro para que queden solamente cuatro cuadrados iguales.
> obtenemos una verdadera igualdad, ya que 0 * + es igual a 1. X Ejemplo * !n la )igura ad"unta agregar cuatro palitos de )ós)oro y obtener uno.
Fesolución Fesolución
2l eliminar los palitos indicados, quedarán cuatro cuadrados iguales de la siguiente manera#
Seguro que muchos pensaron en )ormar el nmero uno K+<, pero el razonamiento correcto es )ormar la palabra 6AZ para ello hay que agregar cuatro palitos de la siguiente manera#
). TRANSMISIONES V ENRANA#ES !n esta segunda parte analizaremos la transmisión del movimiento que van a adquirir los engrana"es y las ruedas propuestas.
onclusión# 7os ruedas unidas por una )a"a cruzada girarán en sentidos opuestos. d. Situación + A
A=2# Ao olvidar que eBisten dos tipos de giros#
G %& C & a & %
G %& a n ) %C & a & %
Para una me"or comprensión del tema analizaremos y completaremos las siguientes situaciones# a. Situación '
Si la rueda R2R gira en sentido horario entonces la rueda RER girará en sentido horario. onclusión# 7os ruedas unidas por el mismo e"e girarán en sentidos iguales. 2 continuación resolveremos dos e"ercicios con lo anteriormente deducido#
A
Si la rueda R2R gira en sentido horario entonces la rueda RER girará en sentido antihorario. onclusión# 7os ruedas en contacto girarán en sentidos opuestos. ,. Situación )
Ejercicio ' Si la rueda R2R gira en el sentido que indica la )lecha, $en qué sentidos giran las ruedas RER y RR respectivamente&
A
A
E.
Si la rueda R2R gira en sentido horario entonces la rueda RER girará en sentido horario.
.
onclusión# 7os ruedas unidas por una )a"a abierta girarán en sentidos iguales.
Ejercicio )
c. Situación *
Si la rueda R2R gira en sentido antihorario, $!n qué sentido giran las ruedas RER y RR respectivamente&
A
A
Si la rueda R2R gira en sentido horario entonces la rueda RER girará en sentido antihorario.
E.
. *. DI"ISI(N DE 2IRAS !n esta ltima parte de matemática recreativa analizaremos la división de )iguras en )unción de diversas situaciones razonadas. Para ello estimado alumno Pitagórico tendrás que utilizar toda tu agudeza e ingenio matemático para sus respectivas resoluciones.
!n su testamento ha dispuesto que cada uno de ellos reciba la misma )orma y tama(o de terreno Kes decir, cada hi"o debe recibir un terreno eBactamente igual al otro<. $ómo logró realizar lo requerido& Fesolución Fommel utilizando su ingenio y creatividad dividió su terreno en cuatro partes eBactamente iguales de la siguiente manera#
Meamos a continuación algunos e"emplos# X Ejemplo '
=razar dos líneas rectas y lograr dividir la )igura ad"unta en cuatro partes. Fesolución Fealizamos los dos trazos de la siguiente )orma# +. 2 continuación se muestra una operación incorrecta )ormada por palitos de )ós)oro#
> como observamos hemos obtenido cuatro partes.
Se le pide a 6d. que mueva un palito de )ós)oro para trans)ormarla en una igualdad correcta.
2
1 3
4
X Ejemplo )
0. bserve la siguiente )igura con)ormada por palitos de )ós)oro#
Fommel tiene cuatro hi"os y un terreno de la siguiente )orma#
Se le pide a 6d. que quite dos palitos de )ós)oro con la )inalidad de obtener tres cuadrados iguales.
1. !n la igualdad incorrecta que se propone a continuación, $cuántos palitos hay que mover como mínimo para lograr convertirla en una igualdad correcta&
/. !n los engrana"es que se proponen a continuación, la rueda R2R gira en sentido horario. 7eterminar en qué sentido giran las ruedas RER y RR respectivamente. A
:a rueda RER gira en sentido# :a rueda RR gira en sentido#
3. !n la siguiente )igura, $cuántos palitos hay que quitar como mínimo para obtener tres triángulos iguales& Aivel I !n los problemas que se proponen a continuación las igualdades son incorrectas, en cada uno de ellos mueva 6d. solamente un palito de )ós)oro y logre trans)ormarlas en igualdades correctas. +.
Resolución
5. !n la )igura ad"unta, $cuántos palitos hay que agregar como mínimo para lograr obtener dos triángulos iguales y un rombo&
0.
Resolución
retirar dos palitos de )ós)oro y lograr que queden solo dos cuadrados.
1.
Resolución Resolución
3. ambiando de posición un palito de )ós)oro hacer que el animal representado mire al otro lado.
8. Si la rueda R2R gira en sentido horario, $en qué sentido giran las ruedas RER y RR&
Resolución
A
RER gira en sentido
RR gira en sentido
4. $!n qué sentido giran los engrana"es R2R y R7R, si RR gira en el sentido que indica la )lecha& 5. Se ha construido una casa utilizando diez palitos de )ós)oro. ambiar en ella la posición de dos palitos de )ós)oro, de tal )orma que la casa aparezca de otro costado.
A
V -
Resolución R2R gira en sentido
R7R gira en sentido
9. Si el engrana"e R2R se mueve como indica la )lecha, indicar en qué sentidos giran RR, R7R y R!R. /. Se tienen doce palitos de )ós)oros dispuestos como muestra el grá)ico ad"unto, usted debe
A
SI
$Por qué&
-
V
+1.:a siguiente )igura muestra un cuadrado que debe dividirse en tres partes trazando dos rectas que cortan al cuadrado.
RR gira en sentido R7R gira en sentido R!R gira en sentido +-.Si el engrana"e R!R gira tal y como indica la )lecha, mencione qué engrana"es giran en sentido antihorario.
+3.:a siguiente )igura muestra un rectángulo que debe dividirse en siete partes trazando tres rectas que cortan al rectángulo.
A V
Fespuesta#
+5.7ividir a la luna que se propone a continuación en seis partes trazando solamente dos rectas.
++. Si el engrana"e R/R gira en el sentido que indica la )lecha, diga 6d. qué engrana"es giran en sentido horario. 3 4
2 1
Nivel II
6 5
+. :a siguiente )igura representa un recogedor, dentro del cual se encuentra un papel. ambiando de posición dos palitos del recogedor, el papel debe quedar a)ueraZ $qué palitos tendrían que moverse&
Fespuesta# +0.!l sistema que se propone a continuación, $se mueve& Resolución
0. ambiando la posición de dos palitos de )ós)oro hay que reducir de 5 a 3, el nmero de cuadrados. $ómo lo harías&
a< 1 d< /
b< 3 e< 8
5. $uántos palitos de )ós)oro debes retirar como mínimo para que quede uno&
a< / d< 4
Resolución
c< 5
b< 8 e< 3
c< 5
/. $!n qué sentido giran RER y RR, si el engrana"e R2R gira en el sentido que indica la )lecha&
1. $uál será la menor cantidad de palitos a mover para que el perrito mire para el otro sentido& bservación# el perrito debe estar siempre con la cola hacia arriba.
A
E.
.
8. Si el engrana"e R+R se mueve como indica la )lecha, decir cuántos se mueven en sentido horario. 1
a< + d< 3
b< 0 e< 5
c< 1
3. $uántos palitos de )ós)oro como mínimo debes agregar para )ormar ocho cuadrados&
a< 0 d< 5
b< 1 e< /
c< 3
4. 7ividir la )igura en cuatro partes eBactamente iguales en )orma y tama(o. Resolución
Nivel III +. olocaremos doce palitos de )ós)oro de la siguiente manera#
9. 7ividir la )igura en cuatro partes eBactamente iguales en )orma y tama(o. Resolución
2hora responde lo siguiente# a. @orma tres cuadrados moviendo cuatro palitos Resolución
+-.$!n qué sentido giran RER y RR respectivamente, si R2R gira en el sentido que indica la )lecha&
A
b. on los datos del problema inicial, )orma cinco cuadrados moviendo cuatro palitos. Resolución
a< b< c< d< e<
2ntihorario, antihorario ?orario, antihorario 2ntihorario, horario ?orario, horario Ao giran 9 5 3 9
9
5 2
5 3
2
9 4
3
5 2
4 3
1
!n este capítulo, acorde a lo que vimos anteriormente, seguiremos probando tu capacidad de razonar tanto lógica como analíticamente, pues recuerda estimado alumno que el ob"etivo es que resuelvas los problemas en )orma recreativa y divertida. !n esta parte analizaremos las siguientes situaciones problemáticas# +. @ormación de nmeros utilizando las cuatro operaciones )undamentales. 0. onstrucciones numéricas
1. Situaciones razonadas diversas '. 2ORMA!I(N DE NWMEROS !n este subcapítulo el ob"etivo principal va a ser )ormar nmeros dadas cierta cantidad de ci)ras, para ello utilizarás las cuatro operaciones )undamentales como base para la resolución de los problemas. Fecuerda que aquí pondrás a prueba toda tu habilidad numérica y operativa. Meamos a continuación dos e"emplos#
X Ejemplo ' on tres ci)ras R3R y utilizando las operaciones )undamentales Kadición, sustracción, multiplicación y división< )ormar el nmero 5. Fesolución Para )ormar el nmero 5 hay que emplear las tres ci)ras R3R de la siguiente )orma# 4
4 4
9
9
5 2
5 3
2
9 4
5
3
2
4 3
1
X Ejemplo ) olocar las ci)ras# -Z +Z 0Z 1Z 3 y 5 Ksin repetir< en los círculos en blanco con la condición que cada lado del triángulo sume 4.
4 1 5
X Ejemplo ) on tres ci)ras R5R y utilizando las operaciones básicas )ormar el nmero ++. Fesolución Para )ormar el nmero ++ hay que emplear las tres ci)ras R5R de la siguiente )orma# 55 5
Fesolución 6tilizando nuestra habilidad numérica colocaremos las ci)ras dadas de la siguiente manera#
11 5
). !ONSTR!!IONES NMHRI!AS !n esta parte de la matemática recreativa deberás colocar en los círculos o recuadros en blanco ciertas ci)ras, con el ob"etivo de obtener construcciones numéricas en las )iguras propuestas. A=2# uando coloques las ci)ras propuestas en las )iguras ad"untas no es válido repetir las ci)ras. Para un me"or entendimiento resolveremos dos e"emplos# X Ejemplo ' ompletar los nmeros que )altan en los casilleros en blanco de la torre mostrada, con la condición que el casillero superior sea la suma de los dos in)eriores y adyacentes a él. 9 5
8
2 1
0 4
8
3
8
*. SITA!IONES RAZONADAS DI"ERSAS !sta ltima parte tratará de ciertas situaciones problemáticas donde su resolución requiere de la aplicación del razonamiento e ingenio matemático. !speramos que este subcapítulo sea tan interesante como los anteriores. X Ejemplo ' :a siguiente )igura representa seis copas, las tres primeras están llenas con vino y las tres ltimas están vacías. ;oviendo una sola copa lograr que éstas queden alternadasZ es decir, una llena y una vacía, $qué copa moverías y cómo&
3
Fesolución Para un me"or entendimiento completaremos paso a paso los casilleros en blanco.
1
2
3
4
5
6
Fesolución ;overíamos la copa 0 y vaciamos su contenido en la copa 5.
1
3
4
5
6
4
5
6
:uego de ello quedaría así#
1
Ejemplo )
2
3
=enemos 5 aros como los de la siguiente )igura#
$uál es la menor cantidad de aros que debemos abrir y cerrar para obtener una cadena&
+. Se tienen las siguientes ci)ras# 1Z 1Z 1 Se le pide a 6d. que con ellas y utilizado adecuadamente uno o más signos aritméticos K*, H, B, #< obtenga como resultado +0.
Fesolución Seguro que muchos pensaron que hay que abrir cuatro aros, pero esa no es la solución, ya que la condición del problema es que abramos y cerremos la menor cantidad de aros. 0. Se proponen las siguientes ci)ras# 5Z 5Z 5 Se le pide a 6d. que con ellas y empleando adecuadamente uno o más signos aritméticos K*, H, B, #< obtenga como resultado 3. 1
2
3
4
5
:o correcto es abrir el aro 0, engancharlo con los aros + y 1 y luego cerrarlo, después abrir el aro 3 y engancharlo con los aros 1 y 5 para luego cerrarloZ de esa manera obtendremos la cadena pedida. 1. on solamente cuatro ci)ras R0R y utilizando correctamente uno o más signos aritméticos obtenga como resultado 5.
8. omplete los nmeros que )altan en los casilleros de la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que la suma de los nmeros de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediato superior. 3. on solamente cuatro ci)ras R/R y empleando convenientemente uno o más signos aritméticos obtenga como resultado 8.
5. !n los círculos vacíos del triángulo mostrado coloque 6d. sin repetir las ci)ras# -Z +Z 0Z 1Z 3 y 5 con la condición que cada uno de sus lados siempre sumen 9.
5
2
4
4. omplete los nmeros que )altan en los casilleros de la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que la suma de los nmeros de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediato superior.
/. oloque 6d. las ci)ras# +Z 0Z 1Z 3Z 5 y / Ksin repetir< en los círculos vacíos de la siguiente )igura, con la condición que la suma de cada lado del triángulo sea igual a ++.
9. alcule Ra*b*cR de los casilleros de la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que el producto de los nmeros de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediato superior.
324
2592 a
54
12
' c
3
2
b
4
J
+-.omplete los nmeros que )altan en los casilleros de la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que el producto de los nmeros de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediato superior. alcule# aj Kb.c<
4
+0.omplete los nmeros que )altan en los casilleros de la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que el producto de los nmeros de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediato superior. ?alle el valor de# aj Kb * c< 0 1152 a
13824 a
144
16 b
6
1
(
(
2
4
++. omplete los nmeros que )altan en los casilleros de la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que el producto de los nmeros de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediato superior. ?alle el valor de B* y * z
24
+1.omplete los nmeros que )altan en los casilleros de la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que el producto de los nmeros de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediato superior. alcule#
(
a+ b+ c
11
)
2
1152
47 a
a
48
16
b
2
2
c
+3.omplete los nmeros que )altan en los casilleros de la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que la suma de los nmeros de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediato superior.
5
(
2
+/.omplete los nmeros que )altan en los casilleros de la pirámide ad"unta, con la condición que la suma de los nmeros de dos casilleros adyacentes den como resultado el casillero inmediato superior.
?alle el valor de# +-a 28
144
12
5a
8
4a a
1
2a
+8.bserve la siguiente cadena#
+5.omplete los nmeros que )altan en los casilleros de la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que la suma de los nmeros de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediato superior. ?alle el valor de a*0bH3c
Se le pide a 6d. que abra un eslabón de tal manera que los tres eslabones queden sueltos.
+4.Se propone el siguiente cuadrado )ormado por cuatro monedas idénticas#
1. on cuatro ci)ras R5R y utilizando las cuatro operaciones )undamentales )ormar el nmero 8. Resolución
Se le pide a 6d. que mueva una moneda para lograr obtener un triángulo. 3. Solamente con cuatro ci)ras R3R y utilizando las operaciones )undamentales obtener los nmeros del + al +- inclusive. + 0 Nivel I +. on tres ci)ras R0R y utilizando las operaciones )undamentales Kadición, sustracción, multiplicación y división< )ormar el nmero 1.
1 3 5
Resolución / 8 4 9 0. on tres ci)ras R/R y utilizando las cuatro operaciones básicas obtener el nmero 1-. Resolución
+- 5. olocar los nmeros del + al / Ksin repetir< en los círculos del triángulo, de manera que la suma por lado sea igual a +0.
+-.olocar los nmeros del + al 9 Ksin repetir< en los círculos de la cruz, de manera que la suma por cada )ila Kvertical y horizontal< sea igual a 08.
/. olocar los nmeros del + al 4, de tal )orma que en cada )icha la suma sea la misma.
8. omplete los nmeros que )altan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos nmeros consecutivos de cualquier )ila, debe dar el nmero superior.
++. !n los círculos de la rueda disponer los nmeros del + al 9 Ksin repetir< de modo que la suma por cada diámetro sea igual a +5.
29 15 8
4. omplete los nmeros que )altan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos nmeros consecutivos de cualquier )ila debe dar el nmero superior.
+0.!n una )ila de +- vasos, los cinco primeros están llenos de vino y los siguientes vacíos. $uántos vasos como mínimo se deben mover para que los llenos y los vacíos se encuentren alternados&
Resolución 7
6 5
4
9. 7isponer los nmeros del 1 al 4 Ksin repetir< en los círculos del triángulo, de manera que la suma por lado sea igual a +4.
+1.Para cruzar un río, un hombre disponía solamente de una canoa y llevaba con él un zorro, una gallina y un saco de maíz. Si por via"e solo podía llevar una de sus pertenencias, $cómo hizo para cruzar si se sabe que el zorro se come a la gallina y la gallina se come el maíz de de"ar solos a estas pare"as& Resolución
0. on cinco ci)ras R9R y utilizando las cuatro operaciones básicas obtener el nmero +0. Resolución
+3.Se coloca un microbio en un )rasco, el cual se duplica en cada minuto. Si a las 3#-- p.m. se llenó el )rasco, indique a qué hora estaba lleno hasta la mitad. Resolución
+5.Se llevaron al "oyero cinco pedazos de cadena de oro, de tres eslabones cada pedazo. Si por abrir y cerrar un eslabón se paga SD. +-, $cómo hizo Pedrito para pagar solamente SD. 1- sabiendo que )ormó una cadena&
Resolución
Nivel II +. on cinco ci)ras R5R y utilizando las operaciones )undamentales Kadición, sustracción, multiplicación y división< )ormar el nmero 5. Resolución
1. on siete ci)ras R8R y utilizando las cuatro operaciones )undamentales )ormar el nmero +8. Resolución
3. olocar las ci)ras del + al 8, una en cada círculo, de tal manera que la suma en cada línea de tres círculos sea +-.
5. omplete los nmeros que )altan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos nmeros de casilleros consecutivos de cualquier )ila debe dar el nmero en el nivel inmediato superior.
5
8
10 6
1
/. Se colocan nueve monedas tal como indica la )igura, dibu"ando solamente dos cuadrados deberás ubicarlos en regiones que contengan solamente una moneda.
8. $uántas monedas se deben cambiar de lugar como mínimo para pasar de la posición R2R a la posición RER&
A
a< 1 d< /
+-.7os adultos y dos ni(os deben cruzar un río empleando para ello una canoa que soporta como máBimo 4- Ng. Si cada ni(o pesa 3- Ng y cada adulto 4- Ng, $cómo deben hacer para cruzar todos en la menor cantidad de via"es& Resolución
b< 3 e< 8
c< 5
4. Se desea dividir una torta en ocho partes utilizando nicamente tres cortes, $cómo deberá realizar dichos cortes&
9. olocar los nmeros del + al 8 sin repetir, de tal manera que los nmeros de arriba sean el resultado de la suma de los dos de aba"o adyacentes a él.
Aivel III +. olocar las ci)ras del + al 8 en cada espacio de los círculos para que la suma de los nmeros de cada círculo sea +1.
0. 2 oquito se le cae su relo", quedando este partido en tres, y observa curiosamente que en cada región la suma de sus valores es la misma. Lndicar cómo quedó dividido dicho relo". 12 11
1
10
2
9
3 8
4 7
!l principal ob"etivo del presente capítulo es el de incentivar, desarrollar y )ortalecer la aptitud de cada alumno, lograr agilizar su razonamiento y potenciar su capacidad de abstracción y entendimiento. !n el presente capítulo analizaremos las sucesiones grá)icas, analogías grá)icas, matrices con )iguras y elementos discordantes.
'. Sucesiones r-3icas Ejemplos:
6
5
a< ... omo puedes notar el triángulo se va haciendo cada vez más peque(o y el círculo cada vez más grande. b< ... Se va eliminando progresivamente una línea de la )igura original.
c< ... :as )iguras eBteriores disminuyen en el nmero de lados de uno en uno, pero los trazos interiores aumentan.
O
d< ... :a mitad negra del cuadrado va girando en la dirección de las agu"as del relo" Ksentido horario<.
Fesolución# !n cada )ila y en cada columna hay un cuadrado, un triángulo y un círculo, entonces en la posición que )alta debe ir un cuadrado. 2demás la )igura deberá ir sombreada.
). Analo8as r-3icas !n cada caso dibu"ar la )igura que )alta# a<
es a
como
Fpta.#
es a ... +. Elemento discordante
Fesolución#
Ejemplos:
!l círculo grande se relaciona con el círculo peque(o en la misma )orma que el triángulo grande se relaciona con un triángulo peque(o. !Biste una relación de tama(o. b<
a<
A
Fpta.# es a
como
V
:as )iguras “2, “E, “ y “! son las )ases correctas de una sucesión de giros en sentido antihorarioZ por lo tanto la )igura que no corresponde a esta secuencia es la “7.
es a ...
Fesolución# :as )iguras que envuelven ingresan, y viceversa, lo sombreado se blanquea.
*. Matrices con 3iuras
-
Fpta.#
Ejemplo:
I. Sucesiones r-3icas
!n cada caso dibu"ar la )igura que contina#
+. O
Fpta.#
es a
0. !ntonces#
O
Fpta.# es a#
1. O
Fpta.#
1. Si#
es a
!ntonces# b<
A
V
-
!l círculo negro se ubica siempre a la izquierda del triángulo sombreado, salvo en la opción “ en la cual el círculo está a la derecha.
es a
II. Matrices con 3iuras 7ibu"ar el grá)ico que )alta en cada matriz propuesta#
c<
A
V
-
+.
=odas las )iguras son igualesZ sin embargo, al girar las )iguras en sentido horario K< o antihorario K< todas podrán tomar la posición de “!, salvo la alternativa “.
O
d<
Fpta.#
A
V
-
0.
:as )iguras R2R y R7R, RER y RR son pare"as iguales. Ao tiene pare"a R!R.
II. Analo8as r-3icas
!n cada caso dibu"ar la )igura que )alta# +. Si#
es a# 0. Si#
Fpta.#
es a
!ntonces#
O
1.
a=
=
(=
e=
*=
O
Fpta.#
I". Elemento discordante !n los grá)icos ad"untos, encontrar la )igura que no guarda relación con las demás# +.
+. a=
=
*=
(=
e s
e=
a
c" # "
e s a:
0. a=
=
*=
(=
a<
b<
d<
e<
c<
e=
0.
1.
es
a=
=
(=
*=
a
c " # "
e s a :
e=
a<
b<
d<
e<
a<
b<
d<
e<
c<
". !riterio de paridad !n los e"ercicios propuestos, hallar la )igura que no corresponde con los demás# 1.
+.
a=
0.
=
(=
*=
e=
c<
3.
9.
a<
b<
d<
e<
c<
a<
b<
d<
e<
c<
5.
Nivel I a<
b<
d<
e<
c<
/.
a<
b<
d<
e<
+. $%ué )igura no corresponde con las demás&
a<
b<
d<
e<
c<
0. $%ué )igura no corresponde al grupo&
c<
a<
b<
d<
e<
c<
8. 1. $%ué )igura no tiene relación con las demás& a< d<
b<
c< a<
b<
d<
e<
c<
e<
4.
3. $%ué )igura no corresponde con las demás&
a<
b<
d<
e<
c<
a<
b<
d<
e<
c<
5. $%ué )igura no corresponde al grupo&
a<
b<
d<
e<
c<
/. $%ué )igura no corresponde al grupo&
a<
b<
d<
e<
c<
++. $%ué )igura sigue en la siguiente sucesión& O
a<
d<
b<
c<
e<
8. $%ué )igura no corresponde con las demás&
a<
b<
d<
e<
c<
b<
a<
b<
d<
e<
c<
+0.$%ué )igura no corresponde con las demás& a<
b<
d<
e<
c<
+1.$%ué )igura no corresponde con las demás&
4. $%ué )igura no tiene relación con las demás&
a<
... &
c<
a<
b<
d<
e<
c<
+3.$%ué )igura no corresponde con las demás& d<
e<
9. $%ué )igura no tiene relación con las demás&
a<
b<
d<
e<
c<
+-.$%ué )igura no tiene relación con las demás&
a<
b<
d<
e<
c<
+5.Lndicar la )igura que no corresponde con las demás.
a<
b<
c<
d<
e<
a<
+/.Lndicar la )igura que )alta.
b<
c<
d<
e< 0-. $%ué )igura )alta en el círculo in)erior&
a<
b<
d<
e<
c<
a<
b<
d<
e<
c<
0+.$%ué )igura )alta&
+8. Lndicar la )igura que )alta.
a< d<
b< e<
c<
a<
b<
d<
e<
c<
00. $%ué )igura )alta en el recuadro in)erior&
+4.$%ué )igura )alta&
a<
b<
d<
e<
+9.$%ué )igura )alta&
c<
a<
b<
d<
e<
01. Lndicar la )igura que )alta.
c<
a<
b<
d<
e<
a<
b<
d<
e<
c<
04. $%ué )igura no corresponde con las demás&
c<
a<
b<
c<
d< e< 09. $%ué )igura )alta&
03. Lndicar la )igura que )alta.
a<
b<
d<
e<
O
c<
05. Lndicar la )igura que )alta.
a<
b<
d<
e<
c<
1-. $%ué )igura )alta&
a<
b<
d<
e<
c<
O
0/. $%ué )igura )alta&
a<
b<
d<
e<
a<
b<
d<
e<
c<
1+.$%ué )igura )alta&
c<
08. $%ué )igura sigue&
O '
... & a<
b<
c<
d<
e<
10. Lndicar la )igura que no corresponde a las demás.
a<
b<
d<
e<
O
c<
1
11. $%ué )igura )alta&
2
3
4
18. Se(ale cuál es la )igura correcta entre las numeradas. O
a<
b<
c< e<
d<
O
13. $%ué )igura sigue& ;
;
a<
b<
d<
e<
;
;
O ... &
;
a<
b<
d<
e<
2
3
4
5
6
c<
15. $%ué )igura sigue en la siguiente sucesión&
;
1
14. Se(ale cuál es la )igura correcta entre las seis numeradas#
Z ... &
c<
1/. Se(ale cuál es la )igura correcta entre las cuatro )iguras numeradas.
O