Distribución Exponencial Alejandro Andrade, Fernando Reyes Variable Aleatoria Variable Exponencial La Densidad Ejemplos
Aplicaciones Teoría Te oría de colas
Distribución Exponencial
Resumen
Alejandro Andrade, Fernando Reyes 1
Posgrado de Ingeniería en Sistemas FIME / UANL
Agenda
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1 Variable Aleatoria Exponencial Exponencial
La Densidad Ejemplos
Resumen
2 Aplicaciones
Teoría de colas
3 Resumen
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1 Variable Aleatoria Exponencial
La Densidad Ejemplos
Resumen
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Teoría de colas
3 Resumen
La densidad
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Es una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad se encuentra dada para una λ > 0, por:
Resumen
f (x ) =
λe
0
−
λx
si x ≥ 0 si x < 0
(1)
Se dice que es una variable aleatoria exponencial con parámetro λ.
La densidad
Distribución Exponencial Alejandro Andrade, Fernando Reyes Variable Aleatoria Exponencial
La acumulada de esta variable exponencial es:
La Densidad Ejemplos
Aplicaciones Teoría de colas
F (x ) = P {X ≤ a } a
Resumen
=
λe
λx
dx
−
0
= −e
−
λx a
0 −λa
= 1 − e
Hay que hacer notar que F (∞) =
∞
0
a ≥ 0 λe
λx
−
dx = 1.
La densidad
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Resumen
Si X es una v.a.c. exponencial con parámetro λ, calculemos la esperanza E [X ]: Primero proponemos la siguiente ecuación para una n > 0 ∞
E [X n ] =
0
x n λe
λx
−
dx
La densidad
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Integrando por partes, con λ e
−
λx
= dv , u = x n :
Ejemplos ∞
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Resumen
E [X n ] = −x n e
λx
−
∞
0
+
e
nx n 1 dx
λx
−
0
∞
=0+
n λ
λe
0
n = E [X n 1 ] −
λ
nx n 1 dx
λx
−
−
−
La densidad
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Dada esta conclusión, cuando n = 1 tenemos:
Ejemplos
Aplicaciones
E [X ] =
Teoría de colas
Resumen
1 λ
Que nos da la esperanza de X . Y cuando n = 2 tenemos: 2
E [X ] =
2 λ
E [X ] =
Que nos define la varianza de X .
2 λ2
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Resumen
Densidad La distribución exponencial normalmente se utiliza para describir el tiempo de ocurrencia de un evento, por ejemplo, el tiempo entre llegadas a un banco, el tiempo para el siguiente terremoto, o para que entre una llamada a nuestro teléfono.
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Resumen
Acumulada En la acumulada se puede ver que las probabilidades rápidamente llegan cerca del 1. Es decir, la mayor probabilidad de ocurrencia de un evento exponencial es al inicio del periodo de estudio.
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1 Variable Aleatoria Exponencial
La Densidad Ejemplos
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2 Aplicaciones
Teoría de colas
3 Resumen
Ejemplo 1
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Resumen
Supóngase que la longitud de una llamada telefónica en minutos 1 es una v.a. exponencial con parámetro λ = . Si alguien llega a 10 una cabina telefónica inmediatamente antes que tú, encuentra la probabilidad de que: 1
Tengas que esperar más de 10 minutos
2
Entre 10 y 20 minutos
Ejemplo 1: A
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Sea X la longitud the la llamada hecha por la persona en la 1 cabina. Entonces la probabilidad deseada es (λ = 10 ):
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Resumen
P {X > 10} = 1 − F (10)
= 1 − (1 − e
λx
−
1
= e 10 10 = e 1 ≈ 0.368 −
)
Ejemplo 1: B
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La probabilidad de esperar entre 10 y 20 minutos sería:
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Resumen
P {10 < X < 20 } = F (20) − F (10)
= (1 − e
−
= −e
−
2
≈ 0.233
1 20 10
+ e
−
) − (1 − e
1
−
1 10 10
)
Propiedad sin memoria
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Resumen
Digamos que tenemos un foco y queremos saber la probabilidad de que sobreviva hasta un tiempo s + t , dado que ya ha sobrevivido al tiempo t . Esta probabilidad es la misma de que sobreviva al tiempo s . Es decir si sabemos que el foco se encuentra vivo en el tiempo t , la probabilidad de que llegue al tiempo s hasta este punto es la misma que desde el punto inicial (0). Es equivalente a: P {X > s + t , X > t } = P {X > s } P {X > t }
o también P {X > s + t } = P {X > s }P {X > t }
Distribución Exponencial
Ejemplo MemoryLess
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Resumen
Digamos que Andrade llega al banco y hay dos cajeros atendiendo a la gente. Al llegar René está siendo atendido en la caja 1 y Michel en la caja 2. Le dicen a Andrade que él será el próximo en ser atendido, en cuanto René o Michel terminen. Si la cantidad de tiempo que un cajero tarda es distribuído exponencialmente con parámetro λ , ¿Cuál es la probabilidad de que de los 3 clientes en el banco, Andrade ser el último en ser atendido?
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Ejemplo MemoryLess: Respuesta El razonamiento en este problema es el siguiente.
Ejemplos
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Resumen
Si consideramos el momento en el que Andrade pasa con un cajero, en este momento ya René o Michel han sido atendidos, y queda uno pendiente. Sin embargo, como la distribución exponencial no tiene memoria, el tiempo que queda para que la persona faltante sea atendida sigue siendo exponencial con parámetro λ, es decir, es como si esta persona acabara de comenzar a ser atendida en ese momento. Por este motivo, la probabilidad de que Andrade salga antes es 1 de . 2
Ejemplo 3: Con y sin memoria
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Supóngase que un carro puede ser utilizado durante 10mil kilómetros antes de que su batería muera, y el tiempo de vida de la batería sigue una distribución exponencial.
Resumen
Si una persona quiere tomar un recorrido de 5mil kilómetros, •
•
¿cuál es la probabilidad de que pueda completar el recorrido sin que falle la batería? ¿Que pasaría si el tiempo de vida no siguiera una distribución exponencial?
Distribución Exponencial
Ejemplo 3: Sin memoria
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Resumen
La propiedad sin memoria de la distribución exponencial nos permite calcular el tiempo de vida restante de la batería, con 1 parámetro λ = 10 . Siendo la probabilidad buscada: P {vidasobrante > 5 } = 1 − F (5)
= e
5λ
−
1
= e 2
≈ 0.604
Distribución Exponencial
Ejemplo 3: Con memoria
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Sin embargo, si la distribución utilizada tiene memoria, la probabilidad de que falle sería:
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Resumen
P {vida > t + 5|vida > t } =
1 − F (t + 5) 1 − F (t )
Donde t es el número de kilómetros que ha sido utilizada la batería antes de iniciar el viaje. Como la distribución tiene memoria, los datos adicionales son necesarios para poder calcular su probabilidad de fallo.
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1 Variable Aleatoria Exponencial
La Densidad Ejemplos
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2 Aplicaciones
Teoría de colas
3 Resumen
Distribución Exponencial
Teoría de colas
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Aplicaciones Teoría de colas
La teoría de colas es una disciplina dentro de la teoría de la probabilidad .
Resumen
Una cola M/M/n es un sistema de colas multiservidor, que indica que se tienen llegadas gobernadas por un proceso Poisson, se tienen n servidores con tiempos de servicio exponencial y los clientes forman una sola fila.
Teoría de colas
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Aplicaciones
Una cola M/M/n es un proceso estocástico con espacio de estados {0, 1, 2, 3, ...} que corresponde al número de clientes en el sistema, incluyendo los que se encuentran en servicio.
Teoría de colas
Resumen •
•
•
Las llegadas ocurren con parámetro λ de acuerdo a un proceso Poisson. Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial con parámetro µ . Existen n servidores y una cola de servicio única y de tamaño infinito.
Teoría de colas
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La probabilidad de estar en un estado específico del sistema (πk ) es la siguiente:
Aplicaciones Teoría de colas
Resumen
n −1
π0 =
k =0
πk =
k
n
(c ρ) (c ρ) 1 + k ! n ! 1 − ρ
(c ρ)k π0 k !
si 0 < k < n
π0
si n ≤ k
ρk n n
n !
−
1
Distribución Exponencial
¿Cómo se utiliza?
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Aplicaciones Teoría de colas
Resumen
La teoria de colas puede ser aplicado en cualquier lugar donde haya uno o varios servidores, y clientes que son servidos por ellos. Este tipo de sistemas han sido tipificados con este modelo probabilistico para seguir una llegada Poisson y tiempos de servicio exponenciales.
Resumen
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Aplicaciones Teoría de colas
•
Resumen
•
La distribución exponencial es muy utilizada debido a que una gran cantidad de eventos pueden ser descritos por la misma. La propiedad sin memoria es única entre las distribuciones de probabilidad.
Distribución Exponencial Alejandro Andrade, Fernando Reyes Appendix For Further Reading
Bibliografía I
