Primer Examen Parcial de Ecuaciones Diferenciales

30 puntos

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´ blica de El Al Universid Unive rsidad ad Publica u Alto to Car Carrer rera a de Ing Ingeni enier er´ ıa Civi Civil l Primer Pri mer Sem Semestr estre e 201 2014 4 La Paz - Bol Bolivi ivia. a.

 s   Chavez Chavez Gordi Gordillo llo PhD.

Docente: Dr. Mario  ξττo

Primer Pri mer Examen Examen Par arcia cial l de Ecu Ecuaci acione ones s Dif Diferen erencia ciales les

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Jueves Jue ves 22 de Ma Mayo yo del 2014

C.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P a t e r n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M a t e r n o . . . . . . . . . . . . . . . .. . . N o m b r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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( 4 puntos) Ecuaci´  on Diferencial Homog´enea. enea. Resolver la ecuaci´  on 

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3

x + y

2

 

x + y 2

2



d x − xy

 

x2 + y 2d y  = 0.

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( 5 puntos) Ecuaci´  on Diferencial Exacta. Determine el valor de  b  , para el cual la ecuaci´  on difer2 2 2 encial  (xy +  bx y )d x  + (x  +  y )x d y = 0   es exacta y determine la soluci´  on para este valor de  b.

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( 4 pun on diferencial  puntos tos) Mediante un factor integrante adecuado resuelva las siguiente ecuaci´  2 2 4 3 3 (6x y − 4y )d x + (2 x y − 4xy )d y  = 0.

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( 5 puntos) Resuelva la ecuaci´  on diferencial lineal  x′ =  x ln 2 + 2sen t (cos t − 1)ln2

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( 4 pun Considere deremos mos la ecuaci´ ecuaci´ on de Riccati y +  P (x)y  +  Q (x)y 2 = f (x) y y p(x) es una on puntos tos) Consi de sus soluciones particulares. Demuestre que si y = y (x) es cualesquiera de las soluciones de la ecuaci´ on de Riccati, entonces z  = on  =  y − y p  es una soluci´on on de la Ecuaci´on on de Bernoulli ′

z ′ + P (x) + 2 yQ (x) z  − Q(x)z 2 = 0 .

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ecuaciones iones dife diferencial renciales es para resol resolver ver este probl problema. ema. Cuando una  ( 8 puntos)   Use ecuac poblaci´  on llega a ser demasiado numerosa, aparecen restricciones del medio en forma de limitaciones de espacio, de recursos, etc. , que haran disminuir la tasa de crecimiento o, incluso, que la  har´  an negativa provocando que la poblaci´  on disminuya. Es m´  as realista suponer que el medio s´  olo puede sostener de manera estable un m´  aximo K de poblaci´  on (la capacidad de soporte del medio), de modo que si  x(t)  es el tama˜  no de una poblaci´  on en el momento  t  entonces es razonable suponer  que la raz´  on de crecimiento x (t)  sea proporcional conjuntamente tanto a la poblaci´  on misma  x(t) como a la cantidad faltante para llegar a la m´  axima poblaci´  on sustentable  K  −  − x(t). (a) Escribe  y resuelve la ecuaci´  on diferencial correspondiente cuando la poblaci´  on inicial es  x(0) = x0 . (b) Encuentre e interprete   interprete   l´ım x(t). (c) Obtenga conclusiones a partir de los siguientes supuestos: (i) ′

t→∞

x0 =  K , (ii) 0  < x0 < K , (iii) x0 > K .

Por favor, coloque el inicial del apellido pater paterno no en el cuadr cuadro. o. Que tengas ´exito. exito.