Proyecto de Calculo I - Montaña Rusa

CÁLCULO I

FACULTADA FACULTADA DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL CALCULO I “DISEÑO DEL ASCENSO Y DESCENSO DE UNA MONTAÑA RUSA PARA PLAY LAND PARK”

EMPRESA

: PLAY LAND PARK

RAZÓN SOCIAL

: ESPECTÁCULOS INTERNACIONALES S.A.C

DEPARTAMENTO O SECCIÓN

ENTRETENIMIENTO : RECREACIÓN Y ENTRETENIMIENTO

TEMA DE APLICACIÓN

: APLICACIONES DE DERIVADAS

CODIGO

APELLIDOS Y NOMBRES

62020

Castillo Estees! Cesa"

6#0$$

%alla"&o Ma"tel! Ale'a(&e"

$$)#$

*+sti(ia(o C"+,a&o! *+a( &e Dios

6--/

Ma"( Ma"t(e,! A(&"1

6-$-/

Á(+lo to""es! Ste34a(ie

C1

C2

C3

C4 C T!"#$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% &AL&ERDE MORALES' MIGUEL DOCENTE T()*+$$!' N!,+-./(- 2014

CÁLCULO I

2

Contenido

CAPITULO I: PLAN DE IN&ESTIGACIÓN 11 SITUACIÓN PROBLEMTICA 111 MISIÓN DE LA EMPRESA 112 &ISIÓN DE LA EMPRESA 12 PROBLEMA 13 5IPÓTESIS 14 OB6ETI&OS 141 GENERAL 142 ESPECÍFICOS

       

CAPITULO II: MARCO TEORICO 21 FUNCIÓNES 211 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES 2111 F)78+97 C!7"#7"2112 F)78+97 I;-7"+;#; 2113 F)78+97 L+7-#$ 2114 F)78+97 C)#;(<"+8# 22 LA DERI&ADA TANGENTES DEFINICIÓN DE LA RECTA TANGENTE 221 DERI&ADA DE UNA FUNCIÓN 222 REGLAS DE DERI&ACIÓN

10 11 11 11 12 12 13 13 14 1 1

CAPITULO III: DESARROLLO DEL PROYECTO 31 PREMISA 32 SOLUCION 33 CONCLUSIONES

20 21 2

34 BILBLIOGRAFÍA

2

CÁLCULO I

3

INFORMACIÓN DEL GRUPO ASISTENCIA A REUNIONES: 0@=0?=201

14=0?=201

N!./(-=F-8>#

0=0?=2014

4

4

1?=0?=2014 1@=0?=2014 23=0?=2014


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%alla"&o Ma"tel! Ale'a(&e" *+sti(ia(o C"+,a&o! *+a( &e Dios Ma"( Ma"t(e,! A(&"1

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APORTE AL PROYECTO: M#(8! N!./(-

T-9(+8!

A$+8#8+97 D!8).-7"#8+97 I7,-"+#8+97


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%alla"&o Ma"tel! Ale'a(&e"

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*+sti(ia(o C"+,a&o! *+a( &e Dios

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Ma"i( Ma"ti(e,! A(&"e

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CÁLCULO I

4

INTRODUCCIÓN

El 3"ese(te t"a5ao tit+la&o 7&ete"8i(a9i:( &el as9e(so ; &es9e(so &e +(a 8o(ta+e &esa""olla&o a 5ase &e i(estia9i:( &e la 8is8a! "e9o3ila(&o i(>o"8a9i:( &e la e83"esa ; +tili,a(&o 9o(o9i8ie(tos 8ate8?ti9os. E( este &o9+8e(to se a(ali,a &e @+1 8a(e"a se 3+e&e &ete"8i(a" el as9e(so ; &es9e(so &e +(a 8o(ta i(i&os. E( el Ca3t+lo II se &etalla el Ma"9o Te:"i9o! e( el 9+?l se to8a e( 9+e(ta 9ie"tas &e>i(i9io(es 8ate8?ti9as @+e a;+&a"?( a 9o83"e(&e" 8eo" la "esol+9i:( &el 3"o5le8a &e &ete"8i(a9i:( &el as9e(so ; &es9e(so &e +(a 8o(ta
CÁLCULO I

5

CAPTULO I PLAN DE INVESTI%ACIÓN

CÁLCULO I

6

1.1.

SITUACIÓN PROBLEMTICA Pla; La(& Pa"B es +(a e83"esa @+e tie(e 8?s &e $0 aa8ilia" sie(&o 3io(e"a &e esta a9tii&a& e( A"e(ti(a. A9t+al8e(te 9+e(ta 9o( 2) e'itosos 9e(t"os &e +eo ; es3a"9i8ie(to 3a"a to&a la >a8ilia. %"a9ias a s+s es3a9ios 9o(>o"ta5les! a"a&a5les ; se+"os PLAY LAND PARK 9o(9e(t"a +(a "a( a"ie&a& &e e(t"ete(i8ie(tos. Co85i(a(&o as! las 8aias >a(tasas i(>a(tiles 9o( si8+la&o"es ; +eos &e lti8a e(e"a9i:( 3a"a (i
111 MISIÓN DE LA EMPRESA Pla; La(& Pa"B e( s+s 9e(t"os &e e(t"ete(i8ie(to >a8ilia" o>"e9e e'3e"ie(9ias ; e8o9io(es 8e8o"a5les a s+s isita(tesG 5"i(&a(&o 3"o&+9tos ; se"i9ios i((oa&o"es! 9o( +( e@+i3o 9o83"o8eti&o 9o( la e'9ele(9ia e( el se"i9io! la "es3o(sa5ili&a& so9ial ; a85ie(talG e(e"a(&o alo" 3e"8a(e(te a los a99io(istas.

112 &ISIÓN DE LA EMPRESA Se" +(a e83"esa l&e" e( 3"o3o"9io(a" e(t"ete(i8ie(to ; &ie"si:(.

12

PROBLEMA CÁLCULO I

7

HC+?l es el 3"i8e" as9e(so ; &es9e(so &e +(a 8o(ta
13

5IPÓTESIS Se 3+e&e &ete"8i(a" el as9e(so ; &es9e(so &e la 8o(ta
14

OB6ETI&OS

141

GENERAL Dete"8i(a" 3o"

8e&io &el +so &e &e"ia&as el 3"i8e" as9e(so ;

&es9e(so &e la 8o(ta
142 •

ESPECÍFICOS I&e(ti>i9a" la 3e(&ie(te. A3li9a" los 9o(o9i8ie(tos a&@+i"i&os e( el 9+"so &e 9?l9+lo )

CÁLCULO I

8

CAPTULO II MARCO TEÓRICO

CÁLCULO I

9

21

FUNCIÓNES1: U(a >+(9i:( es +(a "ela9i:( e(t"e &os 8a(it+&es! &e tal 8a(e"a @+e a 9a&a alo" &e la 3"i8e"a le 9o""es3o(&e +( (i9o alo" &e la se+(&a! lla8a&a i8ae(.

E*-.$!: y = 3 + 0.5 x Sie(&o ' el tie83o e( 8i(+tos @+e &+"a el iae. Co8o 3o&e8os o5se"a" la >+(9i:( "ela9io(a &os a"ia5les x e y . x es la a"ia5le i(&e3e(&ie(te. y es la a"ia5le &e3e(&ie(te &e3e(&e &e los 8i(+tos @+e &+"e el iaeF. Las >+(9io(es se "e3"ese(ta( so5"e +(os ees 9a"tesia(os 3a"a est+&ia" 8eo" s+ 9o83o"ta8ie(to.



)0

20

-0

Y 3 0  

/

)-

)/

Gráfico 1

Fuente: Cálculo de una variable. James Stewart

1 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.30

CÁLCULO I

1 0

211 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES: 2111

F)78+97 C!7"#7"-2:

F ( x ) = b Gráfico 2

Dom : R Ran : 3


2112

F)78+97 I;-7"+;#;3 :

F ( x ) = x Gráfico 3

Dom : R Ran : R


2 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.31 3 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.31

CÁLCULO I

1 1

2113

F)78+97 L+7-#$4:

F ( x ) = ax + b Gráfico 4

Dom : R Ran : R


2114

F)78+97 C)#;(<"+8#:

F ( x )

=

ax ²

+

bx

+

c

Gráfico 5

Dom : R Ran : 3, +∞


22

LA DERI&ADA

4 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.32 5 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.32

CÁLCULO I

1 2

El 3"o5le8a &e e(9o(t"a" la "e9ta ta(e(te &e +(a 9+"a ; el 3"o5le8a &e 4alla" la elo9i&a& &e +( o5eto 9o83"e(&e( &ete"8i(a" el 8is8o ti3o &e l8ite. Este ti3o es3e9ial &e l8ite "e9i5e el (o85"e &e &e"ia&a ; e8os @+e se 3+e&e i(te"3"eta" 9o8o +(a "a3i&e, &e 9a85io e( 9+al@+ie"a &e las 9ie(9ias o e( i(e(ie"a. Ta(e(tesJ6 Si +(a 9+"a C tie(e e9+a9i:(

y = f ( x )

; &esea8os 4alla" la "e9ta ta(e(te

P a , f ( a ) ) a C e( el 3+(to ( ! e(to(9es 9o(si&e"a8os +( 3+(to 9e"9a(o Q ( x, f ( x ) )

mpq =

! &o(&e x = a ; 9al9+la8os la 3e(&ie(te &e la "e9ta se9a(te PQ J

f ( x ) − f ( a ) x − a Gráfico 6

Fuente: Cálculo de una variable-James Stewart

A 9o(ti(+a9i:( 4a9e8os @+e Q se a3"o'i8e a P a lo la"o &e la 9+"a C m

&ea(&o @+e x x se a3"o'i8e a a . Si PQ se a3"o'i8a a +( (8e"o m ! e(to(9es &e>i(i8os la tangente t 9o8o la "e9ta @+e 3asa 3o" P 9o( 3e(&ie(te m. Esto si(i>i9a &e9i" @+e la "e9ta ta(e(te es la 3osi9i:( l8ite &e la "e9ta se9a(te PQ 9+a(&o Q se a3"o'i8a a P . ea "a>i9o 

Gráfico 7

6 Cálculo de una variable, a!e" #$e%ar$, &á'ina 135

CÁLCULO I

1 3


D-+7+8+97 ;- $# (-8"# "#7-7"-: La (-8"# "#7-7"- a la 9+"a y = f ( x) e( el 3+(to P(a, f (a )) es la "e9ta @+e 3asa 3o" P 9o( 3e(&ie(teJ f ( x) − f (a) m = lim x → a x − a Sie83"e @+e e'ista este l8ite 2 Ee83lo )J E(9+e(t"e la e9+a9i:( &e la "e9ta ta(e(te a la 3a"?5ola y = x e(

el 3+(to ( SOLUCIÓNJ

P 1, 1) .

f x A@+ te(e8os a = 1 ; ( )

m = lim =

lim x →1

=

lim x →1

=

x

x2

! &e 8o&o @+e la 3e(&ie(te esJ

f ( x) − f (1) x − 1

x →1

2

=

−

1

x − 1 ( x − 1) ( x + 1) x − 1

lim( x + 1) = 1 + 1 = 2 x →1

Usa(&o la >o"8a3+(to 3e(&ie(te 3a"a +(a "e9ta @+e 3asa 3o" el 3+(to  x )! )F 9o( 3e(&ie(te J y − y1 = m( x − x1 ) y

m

E(9o(t"a8os @+e +(a e9+a9i:( &e la "e9ta ta(e(te e( )! )F esJ  Cálculo de una variable, james Stewart, página 135!13"

CÁLCULO I

1 4

y − 1 = 2( x − 1) O y = 2 x − 1

Si( e85a"o 4a; ot"a e'3"esi:( 3a"a la 3e(&ie(te &e +(a "e9ta ta(e(te @+e a e9es es 8?s >?9il &e +sa". Si h = x − a ! e(to(9es x = a + h ; 3o" ta(to la 3e(&ie(te &e la "e9ta se9a(te PQ es f ( a + h) − f ( a) m PQ = h

Ve" "?>i9o /F! &o(&e el 9aso h>0 est? il+st"a&o ; Q est? a la &e"e94a &e P . Si o9+""e @+e h<0! si( e85a"o! Q esta"a a la i,@+ie"&a &e P .F O5se"e @+e 9+a(&o x se a3"o'i8a a a, h se a3"o'i8a a 0 3o"@+e h = x − a ) ; e(to(9es la e'3"esi:( 3a"a la 3e(&ie(te &e la "e9ta ta(e(te e( la De>i(i9i:( ) se 9o(ie"te e(

m = lim

f ( a + h) − f (a)

h →0

h Gráfico 8


221 D-(+,#;# ;- )7# )78+97: f ´= ( a ) La ;-(+,#;# ;- )7# )78+97 f -7 )7 7H.-(! a ' &e(ota&a 3o" ! es

f ´ ( a) = lim h →0

f ( a + h) − f ( a) h

G Si este l8ite e'iste

8 Cálculo de una variable, a!e" #$e%ar$, &á'ina 138(139

CÁLCULO I

1 5

Si es9"i5i8os x = a + h ! e(to(9es te(e8os h = x − a ; h se a3"o'i8a a 0 si ; s:lo si x se a3"o'i8a a a . Po" ta(to! +(a >o"8a e@+iale(te &e i(i9ia" la &e>i(i9i:( &e la &e"ia&a! 9o8o i8os al 4alla" "e9tas ta(e(tes! es f ( x) − f ( a) ´ f ( a) = lim x → a x − a 2 E6EMPLO: E(9+e(t"e la &e"ia&a &ela >+(9i:( f ( x) = x − 8x + 9 e( el (8e"o a.

f ´ (a) = lim

f ( a + h) − f ( a)

h →0

h (a + h) − 8( a + h) + 9 − a 2 − 8 a + 9 2

= lim h →0

= lim

h a 2 + 2ah + h 2 − 8a − 8h + 9 − a 2 + 8 a − 9

h →0

=

lim

h 2ah + h 2 − 8h

h →0

=

h

lim(2a + h − 8) h→0

=

lim 2 a − 8 h→ 0

( ) e( el 3+(to ( ( )) De>i(i8os la "e9ta ta(e(te a la 9+"a 9o8o la "e9ta @+e 3asa 3o" P ; tie(e 3e(&ie(te m &a&a 3o" la E9+a9i:( ) o 2. E( ista &e la &e>i(i9i:( &e >+(9io(es! esto es lo 8is8o @+e la &e"ia&a f ´ aF! a4o"a 3o&e8os &e9i" lo si+ie(te. y

La "e9ta ta(e(te

ay = f ( x ) en ( a, f ( a ) )

9+;a 3e(&ie(te es i+al a

f ´( a )

=

P a, f a

f x

a, f ( a ) ) es la "e9ta @+e 3asa 3o" (

! la &e"ia&a &e f e( a .

Si +sa8os la >o"8a &e 3+(to 3e(&ie(te &e la e9+a9i:( &e +(a "e9ta! 3o&e8os es9"i5i" +(a e9+a9i:( &e la "e9ta ta(e(te a la 9+"a

y = f ( x )

e( el 3+(to

( a, f ( a ) ) : y − f (a ) = f ´(a )( x − a )

E6EMPLO: E(9+e(t"e la e9+a9i:( &e la "e9ta ta(e(te a la 3a"?5ola f ( x) = x 2 − 8x + 9 e( el 3+(to ( 3,

−

6) .

CÁLCULO I

1 6

2 SOLUCIÓN Del Ee83lo # sa5e8os @+e la &e"ia&a &e f ( x) = x − 8 x + 9 e( el (8e"o a

3, Es f ´(a ) = 2a − 8 . Po" ta(to! la 3e(&ie(te &e la "e9ta ta(e(te e( (

f ´( 3)

=

2 ( 3)

−

8 = −2.

"a>i9o ! es

−

6) .

es.

E(to(9es la e9+a9i:( &e la "e9ta ta(e(te! 8ost"a&a e( el

y − (−6) = (−2)( x − 3) o y = −2 x

Gráfico 9


222 REGLAS DE DERI&ACIÓN R-$# 7 1 D-(+,#;# ;- )7# )78+97 8!7"#7"- @ La 3"i8e"a "ela &e &e"ia9i:( es @+e la &e"ia&a &e 9+al@+ie" >+(9i:( 9o(sta(te es la >+(9i:( 9e"o. Si f es la >+(9i:( 9o( el alo" 9o(sta(te 9! e(to(9es df d = =( c )= 0 dx dx

R-$# 7 2 Regla de la potencia para potencias enteras positivas de x. 10 Si n es +( e(te"o 3ositio! e(to(9es d n ( x )=n x n−1 dx

# Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +10 10 Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +10-

CÁLCULO I

1 7

R-$# 7 3 Regla de suma y diferencia  11 La &e"ia&a &e la s+8a o &e la &i>e"e(9iaF &e &os >+(9io(es &e"ia5les f ; g es &e"ia5le e( s. A&e8?s! la &e"ia&a &e f + g ( o f − g ) es i+al a la s+8a o &i>e"e(9iaF &e las &e"ia&as &e f y g.

R-$# ;- $# ).# d ' f ( x )+ g ( x ) ]= f ( x ) + g ' ( x ) [ dx

R-$# ;- $# (-"# d ' f ( x )− g ( x ) ] =f ( x ) − g' ( x ) [ dx

R-$# 7 4 Regla del producto  12 El 3"o&+9to &e &os >+(9io(es &e"ia5les f ; g ta85i1( es &e"ia5le. A&e8?s! s+ &e"ia&a es i+al a la 3"i8e"a >+(9i:( 3o" la &e"ia&a &e la se+(&a 8?s la &e"ia&a &e la 3"i8e"a 3o" la se+(&a. d [ f ( x ) g ( x ) ]=f ( x ) g ' ( x )+ g ( x ) f ' ( x ) dx

R-$# 7  Regla del cociente. 13 El 9o9ie(te f / g &e &os >+(9io(es &e"ia5les f ; g ta85i1( es &e"ia5le 3a"a to&os los alo"es &e x 3a"a los @+e g ( x ) ≠ 0 . A&e8?s! la &e"ia&a &e f / g se o5tie(e 8e&ia(te el &e(o8i(a&o" 3o" la &e"ia&a &el (+8e"a&o" 8e(os el (+8e"a&o" 3o" la &e"ia&a &el &e(o8i(a&o"! to&o &ii&i&o e(t"e el 9+a&"a&o &el &e(o8i(a&o". d  f ( x )

  = dx  g ( x ) 

f ( x ) g′ ( x ) − g ( x ) f' ( x )

 g ( x )

2

.

g ( x ) ≠ 0

11 Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +111 12 Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +11# 13 Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +121

CÁLCULO I

1 8

CAPTULO III DESARROLLO DEL PROYECTO

CÁLCULO I

1 9

31 PREMISA S+3o(a @+e se le 3i&e &ise
&es9e(so

).6.Des3+es!

y = L1 ( x ) Y y = L2 ( x ) Y

=

9o(e9ta

estos

&os

t"a8os

"e9tos

9o( 3a"te &e +(a 3a"?5ola

f ( x ) = ax 2 + bx + c

Do(&e

& y f ( x )

se 8i&e( e( 3ies. Pa"a @+e la 3ista sea +(i>o"8e (o 3+e&e

4a5e" 9a85ios a5"+3tos &e &i"e99i:(! 3o" lo @+e &esea @+e los se8e(tos li(eales L1 ; L2 sea( ta(e(tes a la 3a"?5ola e( los 3+(tos &e t"a(si9i:( P y Q ! 9o8o se 8+est"a e( la >i+"a. Gráfico 10

Fuene 1 !i"i#e$i%

CÁLCULO I

2 0

32 SOLUCION ). Pa"a si83li>i9a" las e9+a9io(es! se &e9i&i: 9olo9a" el o"ie( e( P G es &e9i"

p ( 0,0 )

. Co8o 9o(se9+e(9ia la 3a"?5ola e(to(9es esJ y = f (C ) = ax 2 + bx + c

0 = a 02 + b0 + c 2  La e9+a9i:( @+e&a asJ y = ax + bx

2. Pa"a ase+"a" @+e la 3ista sea +(i>o"8e e( los 3+(tos &e t"a(si9i:(! s+3o(e8os @+e la &ista(9ia 4o"i,o(tal e(t"e P ; Q es )00 3ies.! 3o" lo ta(to los alo"es &e f ' ( x )

=

2ax

+

f ' ( 0 )

=

2a ( 0 )

f ' ( 0 )

=

b

f ′ ( 0 ) y f ′ ( 100 )

&e5e( se"J f ' ( 100 )

b +

f ' ( 100)

b

= =

2a ( 100)

+

b

200a + b

Gráfico 11

2 -. De"ia(&o f ( x) = ax + bx + c ! te(e8osJ f '( x) = 2ax + b

#. Usa(&o los "es+lta&os &e las e9+a9io(es e( ) ; 2 &ete"8i(a"e8os los f ( x ) . alo"es &e a ; b . Es &e9i"! e(9o(t"a"e8os +(a >:"8+la 3a"a •

Pe(&ie(te &e as9e(so &e 0./

∴ f ' ( 0) = 0,8

CÁLCULO I

2 1

f ' ( x )

=

2ax + b

f ' ( 0 )

=

2%(0)*+

f ' ( 0 )

=

b

•

b = 0.8

Pe(&ie(te &e &es9e(so &e ).6

∴ f ' ( 100 ) = −1, 6 f ' ( 100 )

=

200 a + b

−

1, 6 = 200 a

+

b

−

1, 6 = 200 a

+

( 0, 8)

−

1, 6

−

2, 4  200

−

0, 8 = 200 a =

a

a = −0,012

f ( x ) = − 0,012 X 2 + 0,8 X

Po" lo ta(toJ $. %"a>i9a8os L1 ; L 2 3a"a 9o83"o5a" e( >o"8a "?>i9a! @+e las t"a(si9io(es so( +(i>o"8es. P ( 0 0 ) ∈ Li y m1 = 0.8 %"?>i9o )2 ⇒

SeaJ

Li : y = 0.8 x

Q ( 100 200 a + b ) = ( 100 200 ( −0.012 ) + 0.8 ) = = ⇒

( 100 − 2.4 + 0.8 ) ( 100 −1.6 ) ∈ L2 y m2 =

−

"?>i9o )-

1.6

L2 : y + 1.6 = −1.6 ( x − 100 )

Y + 1.6 = −1.6 x + 160 L2 : y = −1.6 + 158.4

CÁLCULO I

2 2

Tabla 1



J

0

0

1

0./

2

).6

3

2.#

4

-.2



#

Gráfico 12

L1

CÁLCULO I

2 3

Gráfico 13

L2

Tabla 2

 0 1 2 3 4 

J )$/.# )$6./ )$$.2 )$-.6 )$2 )$0.#

6. La &i>e"e(9ia &e alt+"a e(t"e P ; Q se"?J P ( 0 0 )

;

Q ( 100 − 1.6)

∆ y = 0 − − 16 =  0 + 0, 6 ∆ y = 1, 6

CÁLCULO I

2 4

33 CONCLUSIONES •

Se lo": &ete"8i(a" el as9e(so ; &es9e(so &e la 8o(ta
•

Se o5t+o la 3e(&ie(te &el &ise
34 BILBLIOGRAFÍA Ro( La"so( ; "+9e . Cal9+lo &e +(a a"ia5le! 20)0 *a8es Stea"t. C?l9+lo &e +(a a"ia5le! 20)0

CÁLCULO I

2 5

Proyecto de Calculo I - Montaña Rusa

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