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EXÁMENES DE CÁLCULO I 1 INGENIERO INDUSTRIAL ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES (VALLADOLID)

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EXÁMENES DE CÁLCULO I – Ingeniero Industrial – Escuela de Ingenierías Industriales (Valladolid)

EXAMEN FINAL (Curso 1997-1998) PROBLEMA 1 (2

puntos)

Hállese el desarrollo en serie de Taylor en x0 = 3 de la función f ( f (x) =

1 . x + 1

Determínese el radio de convergencia de la serie obtenida y calcúlese la suma de la serie para x = x = π π y para x PROBLEMA 2 (1.5

puntos)

Calcúlese el valor de la integral 1

 −

( ln x)70 dx .

0

PROBLEMA 3 (2.5

puntos)

Una etapa del rally París–Dakar se inicia en un punto del desierto que se encuentra a 200 km de distancia del es el punto más cercano sobre una larga carretera recta. El final de la etapa se encuentra en la carretera a 500 A. El vehículo de un participante en la prueba puede viajar a 90 km/h por el desierto y a 150 km/h por la ca trayectoria deberá seguir este participante para emplear el menor tiempo posible en llegar a la meta? SALIDA 

desierto





carretera

A

PROBLEMA 4 (1.5

puntos)

Sea g( g (ρ, θ) = f ( f (ρ cos θ, ρ sen θ ). Calcúlese el valor de PROBLEMA 5 (2.5

META

∇f ( f (x, y ) en función de g , ρ y θ .

puntos)

Calcúlese el valor de

2

1

  0

x/2

2

e−y dydx. Sign up to vote on this title

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EXAMEN EXTRAORDINARIO (Curso 1997-1998) PROBLEMA 1 (2

puntos)

Hállese el desarrollo en serie de Taylor en x0 = 0 de las funciones f (x) = sen2x y g(x) = cos2 x. PROBLEMA 2 (1.5

puntos)

Sea g(ρ, θ) = f (ρ cos θ, ρ sen θ) donde f es una función de clase

C2 en IR2. Calcúlese el valor de

∂ 2 g (ρ, θ) ∂θ 2

en el punto (ρ, θ) = (2, π/2) sabiendo que en ese punto se verifica ∂f ∂f ∂f 2 ∂f 2 = = = =1. ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2

PROBLEMA 3 (2.5

puntos)

Una cerca de 1 metro de altura está situada en paralelo y a 8 metros de distancia de un muro vertical. Hállese la la escalera más corta que, apoyada en el suelo y pasando por encima de la cerca, pueda alcanzar el muro.

                You're Reading a Preview        Unlock full access with a free trial.             Download With Free Trial    1m       8m PROBLEMA 4 (1.5

puntos)

Hállese el valor de p ∈ IN para que el límite ln(cos x) + 1 x→0 x p l´ım

− cos x


sea finito y distinto de cero. Para ese valor de p calcúlese dicho límite. Useful PROBLEMA 5 (2.5

puntos)

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puntos)

Calcúlese el desarrollo en serie de Taylor en x0 = 0 de la función f (x) = sen4 x. Indicación: sen 2 x =

PROBLEMA 2 (2

1

− cos2x , cos2 x = 1 + cos 2x . 2

2

puntos)

Calcúlense las siguientes integrales

 PROBLEMA 3 (2

sen x dx , cos4 x



2x dx , 1 + 4x

dx . x + 2 + x + 2

 √

√ 3

puntos)

Se pretende montar un radiotelescopio en un planeta recién descubierto. Para minimizar la interferencia se donde el campo magnético del planeta sea más débil. El planeta es esférico, con un radio de seis unidades. campo magnético viene dada por M (x,y,z) = 6x

− y2 + xz + 60 ,

basado en un sistema coordenado cuyo origen está en el centro del planeta. ¿Dónde habrá que colocar el radiotel PROBLEMA 4 (2

puntos)

Estúdiese la convergencia puntual y hállese laYou're suma cuando exista de la serie de funciones Reading a Preview ∞

Unlock full access with x2 a free trial.



(1 + x2 )n n=0

.

Download With Free Trial Estúdiese la convergencia uniforme de la serie en el intervalo [0, 1]. PROBLEMA 5 (2

puntos)

Sea f : IR2 → IR y sea g(ρ, θ) = f (ρ cos θ, ρ sen θ).

(a) Transfórmense las siguientes ecuaciones mediante el cambio de variables x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, exp términos de ρ, θ , g y sus derivadas parciales. ∂f ∂f x = 1Sign , up to vote on this title ∂x ∂y  Useful  Not useful ∂f ∂f x + y = x2 + y 2 . ∂x ∂y y

−

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puntos)

(a) Calcúlese el desarrollo en serie de Taylor en x0 = 0 de la función f (x) =

4

1 3x

− − x2 .

(b) Calcúlese el radio de convergencia de la serie obtenida en el apartado anterior. (c) Calcúlese la suma de la serie del apartado (a) para x = 1/2. PROBLEMA 2 (2

puntos)

Estúdiese el carácter de la integral π 2 /4



√

tg( x) dx .

0

PROBLEMA 3 (2

puntos)

Sea f (x, y) =

(a) Estúdiese la continuidad de f en IR2 .

 

xy 2 x2 + y 2 0

(x, y) = (0, 0)



(x, y) = (0, 0)

(b) Estúdiese la existencia de derivadas parciales en el punto (0, 0). You're Reading a Preview (c) Estúdiese la diferenciabilidad de f en (0, 0). Unlock full access with a free trial. PROBLEMA 4 (2

Sea f n (x) = e

nx

−

puntos)

Download With Free Trial

.

(a) Estúdiese la convergencia puntual de {f n (x)}n=1 en [0, ∞). ∞

(b) Estúdiese la convergencia uniforme de {f n (x)}n=1 en [0, 1] y en [1, ∞). ∞

∞

(c) Estúdiese la convergencia puntual de la serie de funciones



f n (x) para x

n=0 ∞

(d) Estúdiese la convergencia uniforme de la serie



n=0

f n (x) en [ε,

∈ IR.


∞) para ε > 0.

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punto)

Calcúlese la siguiente primitiva

 PROBLEMA 2 (2

√

cos5 t sent d t .

puntos)

Estúdiese el carácter de la integral

  ∞

x + 4 dx . (2 + x)3

2

−

PROBLEMA 3 (2

puntos)

Hállese el volumen del sólido limitado por el paraboloide 2az = x 2 + y 2 y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 3a2 , con por D = {(x,y,z) ∈ IR3 / 2az ≥ x2 + y 2 , x2 + y 2 + z 2 ≤ 3a2 } . PROBLEMA 4 (1.5

puntos)

Demuéstrese que la diferencia entre el valor de sen(a + h) y el valor de sen a + h cos a no es mayor de h2 / PROBLEMA 5 (1.5

puntos)

You're Reading a Preview

x cos2 full x en = trial. 0. Obténgase la serie de Taylor de f (x) = sen2Unlock el punto access with x a 0free PROBLEMA 6 (2

puntos)


Al construir un transformador de corriente alterna es importante insertar en la bobina un núcleo de hierro en fo de área máxima. La figura muestra la sección recta del núcleo con dimensiones aproximadas.

y x

y a


 x

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EXAMEN EXTRAORDINARIO (Curso 1999-2000) PROBLEMA 1 (1.5

puntos)

Calcúlese el siguiente límite

ex sen x x x→0 x2 + x log(1

− − x2 . − x)

l´ım

PROBLEMA 2 (2

puntos)

¿En qué puntos de la parábola y = 4 − x2 la tangente a ésta forma con los ejes de coordenadas un triángulo de á PROBLEMA 3 (1.5

puntos)

Transfórmese la ecuación de las vibraciones de la cuerda 2 ∂ 2 u 2 ∂ u = a ∂t 2 ∂x 2

(a = 0)



a unas nuevas variables independientes α y β , donde α = x at , β = x + at .

−

(Supóngase que u es una función de clase C 2 .) PROBLEMA 4 (1.5

puntos)

You're Reading a Preview Calcúlese la serie de Taylor en x0 = 1 de la función

Unlock full access with a free trial. x2



log t

√

g(x) = dt . Download With Free t Trial 1

PROBLEMA 5 (2

puntos)

Calcúlense los extremos absolutos de la función f (x, y) = x(y + 1) ,

sobre el conjunto A = (x, y)

{

PROBLEMA 6 (1.5

puntos)

2 up to vote on this title ∈ IR2 / x2 + ySign ≤ 1} .

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puntos)

Determínese para qué valor de c la siguiente integral es convergente. ∞

  2

cx x2 + 1

−



1 dx . 2x + 1

Calcúlese la integral para dicho valor de c. PROBLEMA 2 (2

puntos)

Calcúlese la serie de Taylor en x0 = 1 de la función f (x) =

PROBLEMA 3 (2

1 x2

− 4 .

puntos)

El cambio de variable t =

x2

xy transforma f (t) en w(x, y), es decir + y 2





xy w(x, y) = f , x2 + y 2

siendo f una función derivable en todo IR. Compruébese que la función w(x, y) verifica You're Reading a Preview ∂w ∂w + y = 0, Unlock full ∂x access with ∂y a free trial. x

= 0. para todo (x, y) ∈ IR2 , (x, y)  PROBLEMA 4 (2


puntos)

Dentro del Plan Hidrológico Nacional se pretende realizar un trasvase entre dos ríos. Los cursos de los ríos están aproximadamente por la parábola y = x 2 y la recta x − y − 2 = 0. Se desea hacer el trasvase mediante un ca que tenga la menor longitud posible. ¿Qué puntos de los dos ríos debe unir el canal? PROBLEMA 5 (2

puntos) 

¿Qué volumen de material se quita de una esfera de radio 2r cuando se atraviesa con un on taladro, formando un agu Sign up to vote this title de radio r ?  Useful  Not useful

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puntos)

Calcúlense las siguientes integrales (a) (b)

 

3x2 3x (x2 + 1)(x

− − 1 dx. − 2) (2 − 3cos2 x − 3sen x)cos x dx. (2 − cos2 x)(sen x − 2)

PROBLEMA 2 (2

puntos)

Hállese el dominio de convergencia y la suma de la serie ∞



(2n+2

n=0

PROBLEMA 3 (2

− (n + 1))xn .

puntos)

Transfórmese la ecuación

2 2 ∂ z x ∂x 2

−

2 2 ∂ z y ∂y 2

+ x

∂z ∂x

∂z =0 − y ∂y

tomando como nuevas variables independientes x You're u = Reading a Preview , v = xy , y

y siendo z una función de clase C 2 . PROBLEMA 4 (2

puntos)

Unlock full access with a free trial.


En una fábrica que produce tela usando lana y algodón, la producción de tela viene dada por Q(x, y) = xy

− x − y + 1 ,

siendo x la cantidad de kilos de lana e y la cantidad de kilos de algodón. Si la lana cuesta a p pesetas el kilo, e pesetas el kilo y el capital disponible es de A pesetas, ¿cuál es la cantidad de lana y de algodón que se necesita máxima producción de tela? PROBLEMA 5 (2


puntos) 2



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Sea D la región de IR delimitada por la curva y = e , la recta y = 1 y la recta y = ex . Calcúlese la siguiente i x



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EXAMEN FINAL (Curso 2001-2002) PROBLEMA 1 (1.5

puntos)

Calcúlese el siguiente límite 2

ex (ex cos x)(3 + cos x) l´ım 2 . x→0 (x + 2x 1)(2 3sen2x) log(1 + 3x)

−

−

PROBLEMA 2 (1.5

−

puntos)

Calcúlese el valor de la integral 1

5sen x dx. 2cos x

 − PROBLEMA 3 (2

puntos)

(a) Estúdiese el carácter de la serie ∞

enb . n (n + 2)3 n=0



(b) Calcúlese la suma de la siguiente serie para |x| < 1 ∞

xn+2 . n + 2 n=0



You're Reading Preview (c) Calcúlese la suma de la serie del apartado (a) para b = 1 ya para b = 2. Unlock full access with a free trial. PROBLEMA 4 (2.5

puntos)

Download With Free Trial La cilindrada de un motor de explosión viene dada por la fórmula π n x2 y, 4

donde n es el número de cilindros, y x e y el diámetro y la carrera de cada cilindro respectivamente. Una conoc de automoción está desarrollando una nueva familia de motores de 6 cilindros y 2430 cm3 de cilindrada. Para d han conseguido establecer que el par proporcionado por el motor depende de la carrera y el diámetro de cada ci la expresión 23 + cos



πyx 2 (x 1) . 1620 Sign up to vote on this title

−





Not useful  Useful Los cilindros del motor que se quiere desarrollar han de tener un diámetro mayor o  igual que 2π y una carrera m que 180π 3 . Determínese el valor del diámetro que se ha de tomar para obtener un motor que proporcione u elevado posible. −

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puntos)

La temperatura en una varilla larga y delgada colocada en el eje OX viene dada por C/(2a) si |x| ≤ a y 0 si Se puede probar que si la difusividad térmica de la varilla es k , la temperatura de la varilla en el punto x y en el m C T (x, t) = a 4πkt

√

a



2

e−(x−u) (4kt) du .

0

Calcúlese la distribución de temperatura resultado de un punto caliente inicial concentrado en el origen, es decir siguiente límite: l´ım T (x, t) . a→0

PROBLEMA 2 (1.5

puntos)

Estúdiese el carácter de la siguiente integral impropia 2



√ − x dx.

0

PROBLEMA 3 (2.5

x2 sen(x) 2

puntos)

Calcúlese el volumen del recinto de IR 3 limitado por el plano z = 0, la esfera x2 +y 2 +(z − 1)2 = 1 y el cilindro PROBLEMA 4 (2.5

puntos)


Unlock full access with4a unidades. free trial. La temperatura en cada punto de Se ha construido una sala con la forma de media esfera de radio dada por 1 2 2 2 Download T (x,y,z) = (xWith + 2yFree + zTrial − xz + A) ,

8

situando el origen de coordenadas en el centro del suelo de la sala. Calcúlese el valor de A > 0 para que la te cualquier punto de la sala no sea inferior a 18 grados ni superior a 22 grados. PROBLEMA 5 (1.5

puntos)

Estúdiese la convergencia según los valores de a ∈ IR de la serie ∞



n=0

n(n2

n − 2)(2a)2Sign . up to vote on this title

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punto)

Calcúlese el valor del límite l´ım

x→0

PROBLEMA 2 (2

(x

−

ex cos2 x a)(x + a

− 1)2 .

puntos)

Un alambre de longitud L se corta en dos trozos de longitudes a ≥ 0 y b ≥ 0. Uno de los trozos se utiliza p cuadrado y el otro para hacer una circunferencia. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas y del círculo sea máxima? ¿Y para que sea mínima? PROBLEMA 3 (2

puntos)

Calcúlese el desarrollo en serie de Taylor en x0 = 0 de la función f (x) =

PROBLEMA 4 (2.5

2x + 3 . (1 x)(2 x)

−

−

puntos)

Transfórmese la ecuación x2

2 ∂ 2 f ∂f ∂f 2 ∂ f + y + x + y = 0, 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

You're Reading a Preview tomando como nuevas variables independientes u y v , donde


x = e u , y = e v ,

x > 0 , y > 0 .

Download With Free Trial PROBLEMA 5 (2.5

puntos)

Calcúlese el valor de la integral

 ≤ 

ydxdy,

D

donde D = (x, y) ∈ IR2 / x2 + y 2 ≤ 2, y ≥ 0, y



x2 .




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puntos)

Hállense los lados del triángulo isósceles de perímetro 1 que tiene área máxima. PROBLEMA 2 (1.5

puntos)

Estúdiese el carácter de la siguiente integral impropia ∞



x2

1

PROBLEMA 3 (2

sen x dx . + sen x

puntos)

Transfórmese la ecuación x2

2 ∂ 2 f 2 ∂ f + y =0 ∂x 2 ∂y 2

tomando como nuevas variables independientes u y v , donde u = x/y , v = xy . PROBLEMA 4 (2

puntos)

Estúdiese el carácter de la serie

∞



(n

n=3

− 4)(log x)n

y calcúlese su suma para los valores de x paraYou're los queReading converja.a Preview Unlock full access with a free trial. PROBLEMA 5 (2.5

puntos)





y2 d x d y d z ,

D

donde D = {(x,y,z) ∈ IR3 / x2 + y 2 + (z + 1) 2 ≤ 4 , z ≥ 0}.




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puntos)

Sea f (x) =

1 √ . (x + 1) x2 + 2x − 3

(a) Determínense los valores de x para los que f está definida. (b) Búsquense las primitivas de f . (c) Estúdiese el carácter de

∞



f (x) dx .

1

PROBLEMA 2 (2

puntos)

Obténgase la serie de Taylor en 0 de la función f (x) =

3x2 + x + 5 . x3 x2 + 2x 2

−

−

Calcúlese el radio de convergencia de la serie obtenida. ¿Cuánto suma dicha serie en el punto x = 0? x = 1/2? ¿Qué sucede en el punto x = 1? PROBLEMA 3 (2

puntos)


Calcúlese el volumen de la región

Unlock 3full access2with a2 free trial.

D = (x,y,z)

{

∈ IR

/2

≤x

+ y

≤ 5 , −1 ≤ z ≤ 6 − y} .

Download With Free Trial PROBLEMA 4 (2

puntos)

Sea D el conjunto dado por

{(x, y) ∈ IR2 / x2 + (y − 1)2 ≥ 1, −2 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 3}. (a) Calcúlense los extremos absolutos de la función f (x, y) = xy − 2x en el conjunto D . (b) Calcúlese el área de D . Sign up to vote on this title PROBLEMA 5 (2

puntos)

Sea f (x, y) una función de clase C 2. Calcúlese el valor de



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puntos)

Estúdiese el carácter de la siguiente integral 0



1

−

PROBLEMA 2 (2

e3x (1 cos2x) dx . sen x4 log(x2 + 3)

−

puntos)

Sea f (x) =

x2 . 1 + x4

Calcúlese el valor de f (17) (0) y de f (18) (0). PROBLEMA 3 (2

puntos)

Calcúlense los extremos absolutos de la función f (x, y) = x 3 + 3xy 2

− 15x − 12y

en el conjunto delimitado por los ejes y por la recta x + y = −4. PROBLEMA 4 (1.5

puntos)





1 + sen2 x cos x

Unlock full access with a free dx .trial.


punto)

Sea f : IR −→ IR continua tal que

4π

3



f (x) dx = 4 ,

1

Pruébese que f se anula en algún punto. PROBLEMA 6 (2

puntos)



f (x) dx =

2π

−4 .


Calcúlese el volumen del cuerpo

 C = (x,y,z)

{

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∈ IR3 / x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 + z2 ≤ 4} .



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puntos)

Determínense los puntos donde se alcanza el valor máximo y el valor mínimo de la función f (x) = sen x cos x

|

|

en el intervalo [−π, π]. PROBLEMA 2 (1.5

puntos)

Estúdiese el carácter de la siguiente integral y calcúlese su valor en el caso de que sea convergente: 1

 0

PROBLEMA 3 (2

x cos x + sen2 x dx . x(1 cos2 x)

−

puntos)

(a) Estúdiese el carácter de la siguiente serie y calcúlese su suma para los valores de x para los que sea conve ∞



n=0

n 3n (x2

+ 1)

.

(b) Sea f (x) la suma de la serie del apartado anterior. Calcúlese la serie de Taylor de f en 0. You're Reading a Preview PROBLEMA 4 (2.5

puntos)


Sea f (x, y) una función de clase C . Sea ∞

g(t) = f (sen t, cosTrial t) . Download With Free

d2 g Calcúlese el valor de 2 en t = π/2 sabiendo que dt ∂f (π/2, π/2) = 5 , ∂x ∂ 2 f 4 (π/2, π/2) = , ∂x∂y 3 2 ∂ f (1, 0) = 6 , ∂y 2

∂f (1, 0) = 3 , ∂x ∂ 2 f π (0, 1) = , ∂x∂y 3 ∂ 2 f 11 (0, 1) = . ∂y 2 Sign up to5vote on this title

−

−

 PROBLEMA 5 (2.5

puntos)

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puntos)

Determínense las funciones f y g que verifican las siguientes condiciones 



f (x) + g (x) = x

3

 − 4

x2

ex+2 , 2f (x) + g (x) = 4 , e + e2x 

f (2) = 0 , g(2) =

PROBLEMA 2 (3



π . 8

puntos)

(a) Estúdiese crecimiento, decrecimiento y extremos absolutos de la función f (x) = xex 1 . −

(b) Estúdiese el carácter de la siguiente serie y calcúlese su suma en los puntos en los que sea convergente: ∞



en(x−1) xn .

n=0

(c) Sea g(x) la suma de la serie del apartado anterior. Sea h(x) = g(x)(1

− f (x)) sen2 x ,

donde f es la función del primer apartado. Calcúlese la serie de Taylor en 0 de la función h. You're Reading a Preview PROBLEMA 3 (2.5

puntos)


Sea f (x,y,z) una función de clase C . Se considera el cambio de variable dado por las coordenadas esféricas: ∞

Download Withsen Free Trial x = ρ sen ϕ cos θ , y = ρ ϕ sen θ , z = ρ cos ϕ . ∂ 2 f Calcúlese el valor de 2 sabiendo que ∂θ

PROBLEMA 4 (2.5

∂f −y ∂f + x = x 2 + y 2 . ∂x ∂y

puntos)

Determínese el valor de k para que el volumen de la siguiente región sea máximo Sign up to vote on this title D = (x,y,z)

{

Calcúlese dicho volumen.

Not useful 2} . ∈ IR3 / x2 + y2 + (z −k)2Useful ≤ 4 , 0 ≤z ≤



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puntos)

Sea r una recta que pasa por los puntos (1, 2) y (A, 0), con A > 1 . Determínese el valor de A para que el área limitado por los ejes coordenados y la recta r sea mínima. PROBLEMA 2 (2

puntos)

Estúdiese el carácter de la integral 2



1/2

PROBLEMA 3 (2

ex sen x dx . x log x

puntos)

Calcúlese la suma de las siguientes series ∞

( 1)n 7n , n! n=1

−

PROBLEMA 4 (2

∞

n2 + 2 . 2 +4 n n=0



puntos)

Sea f una función derivable en IR. Sea g(t) = f (et ) y sea h(u, v) = g(log(uv)). Sabiendo que ∂h (e, 1) = π . ∂u


Calcúlense los valores de

∂h ∂h ∂h f  (e) ,Unlock g  (1) full , access (1, e)with , a free (e, trial. 1) , (1, e) . ∂u ∂v ∂v


puntos)

Calcúlese el volumen de la región D = (x,y,z)

{

∈ IR3 / x2 + y2 ≤ 1 , x2 + y2 ≥ z2 , z ≥ 0} . Sign up to vote on this title

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puntos)

Calcúlese el polinomio de Taylor de grado 10 en x0 =

π/2 de la función



f (x) = sen(x2

PROBLEMA 2 (2

−x

√

2π + π) .

puntos)

Estúdiese el carácter de la integral ∞

  x

2

0

según los valores de β ∈ IR. PROBLEMA 3 (2

log(1 + x) e2x 1

−



β

dx

puntos)

Sean f, g : IR −→ IR dos funciones dos veces derivables. Sea h(x, y) = f (y

Calcúlense

∂ 2 h ∂ 2 h ∂ 2 h ∂ 2 h , , , , ∂x 2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y 2

en términos de f , de g y de sus derivadas. PROBLEMA 4 (2

− g(x)) .

puntos)

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Calcúlense los extremos absolutos de la función Download With Free Trial2 f (x,y,z) = 4(x + y)

−z

en el recinto limitado por las superficies z = 0 , z = 3 , x2 + y 2 = (z

PROBLEMA 5 (2

− 4)2 .

puntos)



sen y dxdy,  Useful y T



siendo T el triángulo de vértices (0, 0), (0, π/2) y (1, π/2).

 Not useful

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puntos)

Sea f : IR −→ IR dada por f (x) =



x2 log x 0

||

si si

x=0 x = 0



(a) Estúdiense la continuidad y la derivabilidad de f . (b) Estúdiese el signo de f . (c) Calcúlense los extremos relativos de f . (d) ¿Es f dos veces derivable en IR? (e) ¿Es f de clase C 1 en IR? PROBLEMA 2 (1

punto)

Calcúlese la siguiente primitiva:

 PROBLEMA 3 (2

4x + 1 dx . 2x2 5x + 2

−

puntos)

Determínese el dominio de convergencia de la serie de potencias You're Reading a Preview ∞

n n x . n a free trial. Unlock full access ewith n



=1

Calcúlese su suma para los valores de x en losDownload que converja. With Free Trial PROBLEMA 4 (3

puntos)

Sea D = (x, y)

{

∈ IR2 / x2 − y2 ≤ 1 , y2 − x2 ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ 2 , y ≥ −1} .

(a) Calcúlese el valor de la integral



ydxdy.

D

(b) Calcúlense los extremos absolutos de

PROBLEMA 5 (1.5

puntos)

f (x, y) = x 2

−

2y 4


en el conjunto D .

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puntos)

Sea f (x) =

(a) Obténgase, si existe, el valor de f (0). 

 

1

− ex

si

x=0

−

si

x = 0

x 1



(b) Calcúlense los siguientes límites l´ım f (x) ,

x→∞

l´ım f (x) .

x→−∞

(c) Calcúlese el valor de f (2007) (0). PROBLEMA 2 (1.5

puntos)

Calcúlese el valor de la siguiente integral

 PROBLEMA 3 (1.5

x cos3 x d x .

puntos)

Determínense los puntos en los que converge la siguiente serie y calcúlese la suma en dichos puntos. n+1 You're Reading ( 1)naxPreview ∞

−

n

−1

.

n=2 Unlock full access with a free trial.

PROBLEMA 4 (1.5


puntos)

Sea f (x,y,z) una función de clase C . Se considera el cambio de variable dado por las coordenadas esféricas: ∞

x = ρ sen ϕ cos θ , y = ρ sen ϕ sen θ , z = ρ cos ϕ .

Calcúlese el valor de

√ 7/3. PROBLEMA 5 (2

∂f ∂f en el punto (x,y,z) = (1, 0, 0) sabiendo que el valor de en el punto (ρ,θ,ϕ) = ∂y ∂θ Sign up to vote on this title

puntos)



Sea a > 0 y sea D = (x, y)

{

Useful

 Not useful

∈ IR2 / x ≤ a − (1 + a4)y2 , x ≥ 0 , y ≥ 0} .



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puntos)

Sea w : IR3 −→ IR una función de clase C 2 . Se considera la ecuación expresada en las variables (x,y,z), con z > 0 , dada por 2

2

2

2

∂ w ∂ w ∂ w ∂w xy − x− y + z = 0 . − ∂ ∂xw2 x2 − ∂ ∂yw2 y 2 + ∂ ∂zw2 z 2 + 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂z

Transfórmese la anterior ecuación para expresarla en términos de las nuevas variables (u,v,t) dadas por u = yz , v = xz , t = xy .

PROBLEMA 2 (4

puntos)

(a) Calcúlese el volumen de la región de IR 3 delimitada por el paraboloide x2 + z 2 = 10(10 + y)

y la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = 100 , y

≥ 0 .

(b) Obténganse los extremos absolutos de la función f (x,y,z) = x 2 + y 2

− z2 − y

sobre la frontera de la región del apartado anterior. You're Reading a Preview PROBLEMA 3 (3

puntos)

Sea f : IR −→ IR dada por


Download With Free Trial x +1



−

f (x) = xe

(a) Estúdiense la continuidad y la derivabilidad de f en IR.

2



(b) Obténganse los extremos absolutos de f en IR. (c) Calcúlese, en el caso de que sea convergente, la siguiente integral ∞



−∞

f (x) dx . Sign up to vote on this title

 PROBLEMA 4 (1.5

puntos)

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puntos)

Estúdiese la derivabilidad de la función f (x) =

PROBLEMA 2 (1.5

e− sen x si x < 0 , 2 x 6x + 9 si x 0 .

 √

−

≥

puntos)

Sea f una función de clase C 2 que verifica la siguiente igualdad f (x) + ef (x) = 3x2 + 2x

−4.

Determínense los extremos relativos de f . PROBLEMA 3 (1.5

puntos)

Determínense los puntos en los que converge la siguiente serie y calcúlese la suma en dichos puntos. ∞



n=1

PROBLEMA 4 (2.5

n

− 1 x2n n

1

−

.

puntos)

You're Reading a Preview Determínense los extremos absolutos de la función


f (x, y) = x 2


en el conjunto

D = (x, y)

{

PROBLEMA 5 (3

− y2 − 4x

∈ IR2 / |x + y| ≤ 1 , |x − y| ≤ 1} .

puntos)




2

xyex arctg z d x d y d z ,

D

donde D = (x,y,z)

{


∈ IR3 / 1 ≤ x2 + y2 ≤ 3 ,  x ≥ 0 , y ≤ 0 , 0 ≤ z ≤ 1} . Useful  Not useful

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puntos)

Calcúlese el siguiente límite

ex sen2 x . sen x) x→π/ 2 tg x cos2 x (1 l´ım

PROBLEMA 2 (2

−

puntos)

Estúdiese el carácter de la siguiente serie y súmese en caso de ser convergente ∞

( 1)n (n! + 1) . n n! 2 n=1

−

PROBLEMA 3 (2.5

puntos)

Sea D ⊂ IR3 el poliedro de vértices (0, 0, 0) , (0, 1, 0) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0) , (0, 1, 2) , (1, 1, 2) , (0, 2, 1) , (1, 2, 1) .




(x2 + y

D

− z + 1) d x d y d z .


PROBLEMA 4 (2

puntos)

Sea f (x) = |x − 4|(x2 − 2x − 8). (a) Determínese el signo de f .



(b) Estúdiese la derivabilidad de f . (c) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f . (d) Determínese el conjunto en el que f es de clase C 2 . PROBLEMA 5 (2

puntos)




Estúdiese el carácter de la siguiente integral ∞

 0

x3/2

e ex

2

− 1 dx . −1

Useful

 Not useful

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Calcúlese el siguiente límite l´ım

x→0

PROBLEMA 2 (2

sen x

− tg x

(log(1 + x2 ))2 e2x

.

puntos)

Sean a, b ∈ IR con a ≥ b > 0 . Pruébese que la serie ∞



n=1

a 2n

− 1 −

b 2n + 1



es convergente si y sólo si a = b . En dicho caso, calcúlese su suma. PROBLEMA 3 (2

puntos)

Calcúlese la serie de Taylor en x0 = 0 de la función f (x) = arctg(x3 ).

PROBLEMA 4 (2.5

puntos)



 

y

dx dy ,

Unlock full D access5 with x a free trial.

donde

Download With 4Free Trial 5 , x D = (x, y) IR2 / xy , x + y

{

PROBLEMA 5 (2

−

∈

≥

≤

≥ 0}.

puntos)

Hállense los puntos de la elipse 4x2 + 9y2 = 36 más cercanos al punto (1, 0).


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Estúdiese el carácter de la siguiente integral: π



|

0

PROBLEMA 2 (2.5

log(2x/π) dx, p sen p x cos x

|

∈ IR .

puntos)

Calcúlense los extremos absolutos de la función f (x, y) = x 2

− 2y2

en el conjunto A = (x, y)

{

PROBLEMA 3 (2

∈ IR2 / x2 + (y − 2)2 ≤ 2 , x2 ≤ y}.

puntos)


 

(x2 + y 2 ) log(1 + x2 + y 2 ) dxdy,

D

donde

D = (x, y)

∈ IR2 / 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2 , y ≥ 0




PROBLEMA 4 (1.5

.


puntos)

Calcúlese la suma de la siguiente serie

n+1 Trial Download With ( 1)Free ∞

−

n=2

PROBLEMA 5 (2

n3n

.

puntos)

Sea f (x, y) =

 

x2 y 2 si (x, y) = (0, 0) , (x2 + y 2 )α si (x, 0 y)up = to (0,vote 0) . on this title Sign





Estúdiese la continuidad y diferenciabilidad de f en (0, 0) para los distintos valores delNot parámetro useful α .  Useful



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