CALCULO I

Marília Brasil Xavier REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

MATERIAL DIDÁTICO EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Teixeira Lopes ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) F676c Fonseca, Rubens Vilhena Cálculo / Rubens Vilhena Fonseca – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011. 128 p.; iI. ISBN: 978-85-88375-59-8 1.Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. I. Universidade Estadual do Pará. II. Título. CDU: 517.23 CDD: 515.33 Índice para catálogo sistemático 1. Cálculo: 517.23

BELÉM – PARÁ – BRASIL - 2011 -

Capítulo 1

LIMITES O cálculo diferencial e integral se baseia em um procedimento conhecido como limite. O objetivo desse procedimento é avaliar o que acontece com uma função quando a variável independente tende a um certo valor. O limite de uma função pode ser avaliado das seguintes formas: Graficamente, analisando o comportamento gráfico da função em um software matemático; Numericamente, substituindo valores na função; Analiticamente, a partir das técnicas algébricas de resolução.

REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA A operação matemática chamada limite se representa da seguinte forma:

lim f ( x )

x

p

Devemos ler essa expressão da seguinte forma: “limite de f(x) quando x tende a p”. A expressão do limite encerra a seguinte pergunta:

Qual é o valor da função quando x tende a p ?

EXEMPLO

Leia o limite abaixo:

lim x 2 1 x 1

SOLUÇÃO

O limite deve ser lido da seguinte forma: “Limite de x2+1 quando x tende a 1”.

5|

CAPÍTULO 1

LIMITES ANÁLISE GRÁFICA Esse tipo de análise permite afirmar o valor de um limite apenas olhando o seu gráfico. Por exemplo, considere a função dada no exemplo anterior:

x2 1

y

O seu gráfico é dado por:

y

5

x2 1

y tende a 2 4

3

2

x tende a 1 0.5

1

1.5

2

Pelo gráfico podemos perceber que, quando x tende a 1, y tende a 2. Então o limite é igual a:

lim x 2 x 1

1 2

ANÁLISE NUMÉRICA Considerando o limite:

lim f ( x )

x

p

A análise numérica consiste em avaliar o valor da função quando x vai se aproximando de p. Essa aproximação deve ser feita de duas maneiras: Diminuindo o valor de x até chegar em p; Aumentando o valor de x até chegar em p. EXEMPLO

Fazer a análise numérica do limite:

lim x 2 1 x 1

6|

CAPÍTULO 1

LIMITES SOLUÇÃO

Para facilitar o entendimento, vamos construir a seguinte tabela: x diminuindo até p=1

x aumentando até p=1

x

y = x2+1

x

y = x2+1

1,1

2,21

0,9

1,81

1,01

2,0201

0,99

1,9801

1,001

2,002001

0,999

1,998001

...

...

...

...

1

2

1

2

É muito importante saber que não estamos interessados no valor da função no ponto x=1, mas o que acontece com a função quando x se aproxima cada vez mais de 1.

AVALIAÇÃO ANALÍTICA A avaliação analítica de um limite é feita basicamente através de teoremas e de um pouco de álgebra. A escolha de uma dentre as várias técnicas de solução depende de como a função se comporta num determinado valor de x. Existem dois comportamentos que podem ser esperados de uma função: Continuidade; Descontinuidade. Dizemos que uma função é contínua num ponto se não existe nenhum tipo de interrupção na sua trajetória nesse local. Por outro lado, uma função descontínua apresenta interrupção na sua trajetória em um ou mais pontos. EXEMPLO

Imagine duas pessoas subindo um pequeno morro. A pessoa que vem pela esquerda, no ponto P, percebe que chegou a uma altura de 2 metros. A outra pessoa que vem pela direita, no mesmo ponto P, percebe que chegou a uma altura de 5 metros. Podemos então concluir que existe uma descontinuidade (interrupção) no ponto P, pois o morro apresentou um salto nesse ponto (de 2 metros para 5 metros).

7|

CAPÍTULO 1

LIMITES CONCEITO INFORMAL DE CONTINUIDADE

Observe os gráficos abaixo:

No primeiro gráfico, à medida que nos aproximamos de p pela direita ou pela esquerda, a função tende a f(p). Identificamos esse tipo de gráfico como sendo de uma função contínua. No segundo gráfico, à medida que nos aproximamos de p pela direita e pela esquerda, a função apresenta valores diferentes. Nesse caso, a função tem uma descontinuidade do tipo salto. Existe ainda uma terceira situação em que a função tem uma descontinuidade do tipo buraco, ou seja, a função não pode ser calculada em p embora o limite exista.

EXEMPLO

Encontrar o limite:

x2 4 lim x 2 x 2 SOLUÇÃO

Ao tentarmos substituir x=2 na função aparecerá zero no denominador. Isso aparentemente nos levaria a pensar que o limite não tem solução. Analisando numericamente esse limite:

x 2,1 2,01 2,001 ... 2

8|

f (x)

x2 4 x 2

4,1 4,01 4,001 ... 4

x 1,9 1,99 1,999 ... 2

f (x)

x2 4 x 2

3,9 3,99 3,999 ... 4

CAPÍTULO 1

LIMITES Como podemos explicar que o limite quando x tende a 2 é igual a 4 e não seja possível substituir x=2 na função ? vamos enxergar a situação no gráfico: 5 4.5 4 3.5 3 2.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Chegamos à conclusão que encontrar um determinado limite não quer dizer simplesmente calcular o valor da função num ponto. Nesse exemplo, a finalidade do limite é descobrir o comportamento da função quando x tende a 2 e não quando x é igual a 2. Fica mais fácil verificar que o limite é igual a 4 fazendo a fatoração do numerador:

lim x

2

x2 4 x 2

(x 2) (x 2) 2 x 2

lim x

lim(x 2) 2 2 4 x

2

Na verdade, o que fizemos foi encontrar uma função equivalente à original que fornecesse os mesmos valores de y quando x tende a 2. Note que a bola aberta no gráfico significa que a função original não é definida no ponto x=2. O resultado desse limite fornece a localização do buraco na função. Podemos resumir as três situações mostradas no seguinte quadro: Quando a função é contínua

lim f ( x) f (p)

x

p

Quando a função não é contínua lim f ( x ) não existe quando a função apresenta salto em p. x

p

lim f ( x )

x

p

L quando a função não é definida em p.

9|

CAPÍTULO 1

LIMITES PROPRIEDADES DO LIMITE O limite apresenta as propriedades listadas abaixo:

(a) lim k f ( x ) x

k lim f (x)

p

x

(b) lim[f (x) g(x)] x

p

x

(c) lim f ( x ) g( x ) x

p

limf (x) limg(x) p

x

p

lim f ( x) lim g( x)

p

x

p

x

p

lim f ( x )

f (x) (d) lim x p g( x )

x

p

lim g ( x )

x

, desde que lim g( x ) x

p

0

p

EXEMPLO

Calcular os limites: 1) lim 3x 2

3 lim x 2

2) lim (3x 2

2x ) lim 3x 2

x 1

x 1

x 1

3) lim 3x 2 5 x

x 1

5

x 1

lim 5

3 5 8

3 5

x 1

x

3 2 5

x 1

x 1

lim 3x 2

3x 2

lim 2x

lim 3x 2 lim 5 x

x 1

4) lim

31 3

x 1

x

x 1

lim ( x 2 9)

x2 9 5) lim x 3 x 3

x

3

lim ( x 3) x

já que lim ( x 3) x

3

0 e não atende à propriedade (d).

3

Nesse caso, podemos apenas fatorar o numerador para obter:

x2 9 3 x 3

lim x

( x 3) ( x 3) 3 ( x 3)

lim x

lim ( x 3) x

3

6

Para usar essas propriedades, é necessário que os limites existam::

lim f ( x ) e lim g( x )

x

10 |

p

x

p

CAPÍTULO 1

LIMITES LIMITES LATERAIS A noção de limite lateral surge da necessidade de definirmos qual é o limite de uma função quando a variável independente tende pela direita e pela esquerda do ponto considerado. Essa noção é muito importante na caracterização de uma função que possui salto num ponto. O limite da função f(x) quando x tende a p pela direita é representado da seguinte maneira:

lim f ( x ) x

p

Da mesma forma, o limite da função quando x tende a p pela esquerda é representado por:

lim f ( x ) x

p

Quando os limites laterais forem diferentes:

lim f ( x ) x

p

lim f ( x ) x

lim f ( x ) não existe

x

p

p

Nesse caso, a função f(x) apresenta uma descontinuidade do tipo salto em x=p. EXEMPLO

Calcule os limites laterais em x=1 da seguinte função:

f (x)

x 2 , se x 1 2x , se x 1

SOLUÇÃO

lim f ( x )

lim 2x

x 1

x 1

lim f ( x )

lim x 2

x 1

x 1

2 1 2

12

1

Como os limites à esquerda e à direita são diferentes, a função apresenta um salto em x=1 e é considerada descontínua. Podemos usar um artifício bem simples para calcular os limites laterais:

lim f ( x ) x

p

Nesse caso, substituímos x por p+h e fazemos h tender a zero.

11 |

CAPÍTULO 1

LIMITES EXEMPLO

Calcular o limite:

lim 2x 3 x

2

SOLUÇÃO

Fazendo as devidas substituições:

lim 2x 3 x

2

lim 2 (p h) 3

h

0

lim 2 (2 h ) 3

h

0

7

lim f ( x ) x

p

Nesse caso, substituímos x por p-h e fazemos h tender a zero. EXEMPLO

Calcular o limite:

lim 2x 3 x

2

SOLUÇÃO

Fazendo as devidas substituições:

lim 2x 3 x

2

lim 2 (p h) 3

h

0

lim 2 (2 h) 3

h

0

7

O SÍMBOLO Até uma certa fase dos nossos estudos em matemática, não tínhamos idéia do resultado da seguinte divisão:

1 0

Vamos agora mostrar o que isso significa. Para isso, chamaremos o denominador dessa fração de x e diminuiremos o seu valor até zero.

x 1 0,1 0,01 0,001 ... 0

12 |

f (x) 1 10 100 1000 ...

1 x

CAPÍTULO 1

LIMITES Podemos perceber pela tabela que, diminuindo o valor de x cada vez mais, o valor da divisão aumenta cada vez mais. Quando x é exatamente zero, então a divisão é exatamente o que definimos como infinito. Representaremos o infinito pelo símbolo:

Infinito = A idéia de infinito é de um número tão grande quanto você possa imaginar. Na verdade, se você imaginar qualquer número nesse momento, então o infinito ainda é maior do que você imaginou. O equivalente negativo do infinito é representado pelo símbolo número negativo que você pode imaginar.

e significa o menor

LIMITES NO INFINITO Existem algumas situações em que necessitamos encontrar o limite de uma função quando a variável independente tende ao infinito. Esses tipos de limite são expressos por:

lim f (x) e lim f (x)

x

x

EXEMPLO

Calcular o limite:

lim

x

1 x

SOLUÇÃO

Vamos fazer uma tabela para avaliar numericamente esse limite: X 1 10 1000 ... +

f (x)

1 x

1 0,1 0,001 ... 0

Então:

lim

x

1 x

0

13 |

CAPÍTULO 1

LIMITES Graficamente, podemos ver melhor o resultado desse limite:

À medida que x caminha na direção positiva, f(x) tende a zero. Por outro lado, o limite:

lim

x

1 x

0

À medida que x caminha na direção negativa, f(x) também tende a zero. Os limites abaixo também resultam no mesmo valor:

lim

x

1 x

lim

x

1 x

lim

2

x

1 x

3

lim

x

1 x

4

...

lim

x

1 xn

0 , para qualquer n>0.

Esses resultados são utilizados quando precisarmos calcular um limite do tipo:

lim

x

P( x ) , sendo P(x) e Q(x) dois polinômios. Q( x )

A técnica se resume a dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x existente nos polinômios P(x) e Q(x), aplicando em seguida o limite. EXEMPLO

Calcular o limite:

lim

x

5x 5 3x 3 4x

5

2x

x 1 2

2

SOLUÇÃO

Dividindo o numerador e o denominador por x5:

14 |

CAPÍTULO 1

LIMITES 5

lim

x

5

3

5x 3x x 1 5 2 4x 2x 2

lim

x

3 x2 4

1 x4 2 x3

1 x5 2 x5

Aplicando as propriedades dos limites, teremos como resultado:

lim

5x 5 3x 3 4x 5

x

x 1

2x 2

2

5 4

LIMITES INFINITOS Ao calcularmos os limites laterais de uma função, às vezes nos deparamos com um crescimento (ou decrescimento) ilimitado. Um exemplo disso são os limites:

lim x

0

1 1 e lim x x 0 x

O gráfico da função pode nos fornecer essa informação valiosa:

Aproximação pela direita

Aproximação pela esquerda

À medida que x vai se aproximando pela direita de zero, a função tende a crescer ilimitadamente. Já quando z se aproxima de zero pela esquerda, a função tende a decrescer ilimitadamente. Isso faz com que os limites respectivamente sejam iguais a:

lim x

0

1 x

e lim x

0

1 x

Chegamos assim à conclusão que os limites não existem.

15 |

CAPÍTULO 1

LIMITES APLICAÇÃO DE LIMITES INFINITOS O conceito de limites infinitos tem aplicações interessantes dentro da Física. Por exemplo, considere a famosa lei de Ohm:

V

R I

Onde: V é a tensão aplicada em Volts; R é a resistência elétrica em

(Ohms);

I é a corrente elétrica em Ampéres. Rearranjando a lei de Ohm:

V R

I

Vamos agora analisar o significado do seguinte limite:

V 0R

lim

R

Sabemos que o resultado desse limite é + . Isso significa que, quando a resistência tende a zero, a corrente elétrica tende ao infinito. Se dois fios desencapados de um eletrodoméstico se tocarem, a resistência elétrica entre esses dois fios será igual a zero e, portanto, a corrente tenderá ao infinito. Esse altíssimo valor de corrente é muito perigoso, pois pode provocar incêndios de grandes proporções.

ASSÍNTOTAS VERTICAIS Quando os limites são iguais a:

lim f ( x )

x

p

ou lim f ( x ) x

p

Estamos diante de uma informação importante: a assíntota vertical. A assíntota vertical é uma reta imaginária que passa exatamente na descontinuidade da função.

16 |

CAPÍTULO 1

LIMITES A equação da reta imaginária é então dada por:

x p EXEMPLO

Encontrar a assíntota vertical da função:

1

f (x)

x 1

SOLUÇÃO

A assíntota está localizada em x=1, já que os limites são iguais a:

1

lim

e lim

x 1

x 1

x 1

1 x 1

Portanto, a equação da reta vertical imaginária é igual a:

x 1 O gráfico da função pode ser conferido ao lado.

ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS Quando os limites no infinito forem iguais a:

lim f ( x )

x

L ou lim f ( x ) x

L

A função f(x) se aproxima de uma reta imaginária – a assíntota horizontal. A equação da reta imaginária é dada então por:

y

L

EXEMPLO

Encontrar a assíntota horizontal da função:

f (x)

2x 1 x

17 |

CAPÍTULO 1

LIMITES SOLUÇÃO

Tomando o limite:

2x 1 x

lim

x

lim 2

x

1 x

2

Dessa forma, a equação da reta horizontal imaginária é igual a:

y

2

O gráfico da função pode ser conferido ao lado.

APLICAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS Um exemplo de aplicação da assíntota horizontal é o carregamento da bateria do seu aparelho celular. Podemos expressar o percentual de carga P, em função do tempo, pela seguinte função:

P(t) 100 (1 e

kt

)

Onde k é uma constante que depende da bateria usada no aparelho. Ao calcularmos o limite: t

lim P( t )

Encontraremos a sua assíntota horizontal:

t

lim P( t )

y 100 %

18 |

t

lim 100 (1 e

kt

) 100 (1 e

) 100 %

CAPÍTULO 1

LIMITES Isso quer dizer que a carga completa (100% da capacidade da bateria) ocorrerá teoricamente apenas num tempo infinito após iniciar o carregamento. Por isso, o fabricante recomenda no manual do aparelho uma carga de 1 hora (em média) que corresponde a aproximadamente 90% da sua capacidade máxima.

LIMITE DE FUNÇÃO COMPOSTA Algumas funções são compostas de duas ou mais funções elementares, como por exemplo:

y ln(x 2 1) Podemos enxergar essa função da seguinte maneira:

ln u , sendo u

y

x2

1

Desejamos conhecer os limites de tais tipos de funções. Considere o limite:

lim f [g(x)] x

p

Se fizermos:

u

g(x )

Então:

a quando x

u

p

limf [g(x)] limf (u) x

p

u

a

Isso só será válido se lim f (u ) existir. u

a

EXEMPLO

Calcular o limite:

lim ln( x 2 1)

x

0

SOLUÇÃO

19 |

CAPÍTULO 1

LIMITES Fazendo: x2

u

1

Pela equação anterior, podemos concluir que:

u

1 quando x

0

Então:

lim ln( x 2 1)

x

0

lim ln u u 1

ln 1 0

TEOREMA DO CONFRONTO O teorema do confronto é um dos teoremas mais úteis no cálculo de limites porque permite encontrar um resultado baseado em comparações com outros limites conhecidos. Vamos supor que num determinado intervalo:

g( x )

f (x)

h(x)

Se:

lim g( x )

L

lim f ( x )

L

x

p

lim h ( x )

x

p

Então: x

p

O teorema do confronto nos diz que se f(x) for maior ou igual a g(x) e menor ou igual a h(x) num determinado intervalo e se as funções g(x) e h(x) tenderem a um mesmo limite, então f(x) tenderá a esse limite também. Graficamente, é mais fácil mostrar o significado desse importante teorema:

20 |

CAPÍTULO 1

LIMITES

LIMITES IMPORTANTES Vamos discutir dois limites importantes, pois precisaremos dos seus resultados mais adiante no capítulo de derivadas. Os dois limites são:

1 lim 1 x x sen( x ) lim x 0 x

x

Primeiramente, vamos mostrar numericamente que:

lim 1

x

1 x

x

2,7182 ...

e

Para avaliar esse limite, vamos montar a seguinte tabela: x 1 100 1.000 1.000.000 1.000.000.000 ... +

1 1 x

x

2 2,704813... 2,716923... 2,718280... 2,718281... ... e

21 |

CAPÍTULO 1

LIMITES Podemos notar que, à medida que x aumenta, a função dada tende a um valor constante que chamaremos de e (número de Euler). Já vimos anteriormente que um limite desse tipo define uma assíntota horizontal dada pela equação: y e O gráfico da função e da sua assíntota é mostrado abaixo:

-

x

x

+

Observando atentamente o gráfico, também podemos afirmar que:

lim 1

x

1 x

x

e

Queremos agora mostrar que:

sen(x) 0 x

lim

x

1

Para avaliar esse limite, vamos montar a seguinte tabela:

x 0,1 0,01 0,001 ... 0 O gráfico dessa função é dado por:

22 |

sen(x) x 0,99833 0,99998 0,99999 ... 1

CAPÍTULO 1

LIMITES

Poderíamos ter calculado o limite através do teorema do confronto. Para isso, devemos saber que é verdadeira a desigualdade (veja a demonstração no apêndice 2):

sen( x )

tg( x ) , para qualquer | x | 0 .

x

Vamos dividir os três membros por sen(x):

x sen(x)

1

tg(x) sen(x)

A tangente do ângulo x é dada pela seguinte relação trigonométrica:

tg(x)

sen(x) cos(x)

Substituindo na desigualdade, obteremos:

x sen(x)

1

Para qualquer x

1 cos(x) 0 , podemos fazer:

sen(x) x

1

cos(x)

Vamos calcular os limites das seguintes funções quando x tende a zero:

lim 1 1

x

0

lim cos(x)

x

0

Então, conforme o teorema do confronto:

sen(x) 0 x

lim

x

1

LIMITES IMPORTANTES E FUNÇÃO COMPOSTA

23 |

CAPÍTULO 1

LIMITES Às vezes, os dois limites importantes mostrados anteriormente não estão na sua forma padrão. Quando isso acontece, devemos usar o conceito de limite de função composta. EXEMPLO

Calcular o limite:

sen(5x) 0 x

lim

x

SOLUÇÃO

Primeiro, multiplicamos e dividimos a função por 5:

5 sen(5x) 5 x

f (x)

5

sen(5x) 5x

Agora, fazemos:

u

5x


u

0 quando x

0

Portanto, o limite é igual a:

sen(5x) 0 x

lim

x

lim 5

u

0

sen(u) u

sen(u) 0 u

5 lim u

5 1 5

EXEMPLO

Calcular o limite:

lim 1

x

2 x

x

SOLUÇÃO

Para transformar esse limite na forma padrão, devemos fazer:

2 x

1 u

x

2u


u

quando x

Isso faz com que o limite seja igual a:

24 |

CAPÍTULO 1

LIMITES 2 lim 1 x x

x

1 lim 1 u u

2u

1 lim 1 u u

u

2

e2

CONCEITO RIGOROSO DE LIMITE Os conceitos de limite mostrados até agora são informais. Matematicamente, precisamos de uma definição mais precisa. O limite:

lim f ( x )

x

p

É igual a L se, dado um número >0, existe um número >0 (dependendo de ) tal que:

f ( x) L

quando x

p

A definição afirma que, escolhendo qualquer positivo de forma que o limite L esteja entre L+ e L- , existirá um valor positivo tal que p estará entre p+ e p- . Em poucas palavras queremos dizer que, para pontos vizinhos de p, a função se aproxima do seu limite L. Essa definição de limite pode ser verificada através do seguinte gráfico:

EXEMPLO

Demonstre o limite abaixo:

25 |

CAPÍTULO 1

LIMITES x2 4 lim x 2 x 2

4

SOLUÇÃO

Pela definição de limite: quando x

f ( x) 4

2

Substituindo a expressão de f(x):

x2 4 x 2

4

Fatorando o numerador:

( x 2) ( x 2) x 2

4

O resultado é igual a:

(x 2) 4 x 2 Se escolhermos

então a função f(x) se aproximará de 4 quando x tender a 2.

Podemos explicar essa situação de uma maneira bem mas simples. Se escolhermos

0,1

então para valores de x entre 2,1 (=p+ ) e 1,9 (=p- ), o limite da função estará entre 4,1 (=L+ ) e 3,9 0,1 . (=L- ) já que

LIMITES NO MATHEMATICA O software Mathematica permite o cálculo de limites através de um comando muito simples: Limit[expressão, x->a] Note que o símbolo -> é um sinal de subtração seguido de um sinal de maior. EXEMPLO

Calcular o limite abaixo no Mathematica:

26 |

CAPÍTULO 1

LIMITES 5x 5 3x 3

lim

4x

x

5

2x

x 1 2

2

O seguinte comando deve ser digitado e executado: Limit[(5*x^5+3*x^3+x+1)/(4*x^5+2*x^2+2), x->Infinity] O Mathematica fornece 5/4 como resultado. Podemos também calcular os limites laterais da função através dos seguintes comandos: Limit[expressão, x->a, Direction->1] Limit[expressão, x->a, Direction->-1] No primeiro caso, o comando calcula o limite lateral à esquerda de a na expressão. Já o segundo caso, o comando calcula o limite lateral à direita de a na expressão.

EXERCÍCIOS 1 – Encontre os seguintes limites:

x2 9 3 x 3

a) lim x

4x 2 1 b) lim 1 2x 1 x

x2

f) lim

x 1

3x 2 x 1

tg(x) 0 x

g) lim x

2

c) lim x

0

x

2

x

x 0 sen(2x )

h) lim x

x

x 1 d) lim x 1 x 1

i) lim x

5x 4 3x 2 x4 1

l) lim 1 x

5 x

x

1 m) lim 1 x 5x

x 1

2 n) lim 1 x x o) lim 1 2x x

x

1 x

0

27 |

CAPÍTULO 1

LIMITES e) lim x

2

x2

4x 4 x 2

j) lim x

2 – Calcule o limite:

f (x h) f (x) 0 h

lim

h

Para cada um dos casos abaixo:

28 |

a) f ( x )

2

b) f ( x )

3x

c) f ( x )

3x

d) f (x)

5x 2

e) f (x)

5x 2 3x 2

2

5x 2 3x

2

2x 3 x 1

Capítulo 2

DERIVADAS A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta. Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes, de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função. É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do coeficiente angular de uma reta usando limites.

CONCEITO DE DERIVADA Antes de formalizar a definição de derivada, vamos começar com um exemplo numérico.

EXEMPLO

Considere a seguinte função:

f ( x) x 2 Primeiramente, vamos escolher dois valores de x:

x0

1 e x1

2

Os valores de y correspondentes a esses pontos são:

y0

f (1) 12

1 e y1

f (2)

22

4

Então, a curva da função passa pelos pontos:

P (x 0 , y0 ) (1,1) Q

( x 1 , y1 )

(2,4)

Podemos traçar uma reta que passa por P e Q cujo coeficiente angular é dado por:

m

29 |

y x

y1 x1

y0 x0

4 1 2 1

3 1

3

CAPÍTULO 2

DERIVADAS O denominador do coeficiente angular é igual a:

x

x1 x 0

1

Graficamente, podemos enxergar melhor essa situação:

Agora vamos fazer:

x1

1,1

y1

f (1,1) 1,12

Então:

1,21

Portanto, o ponto Q tem as seguintes coordenadas:

Q

( x 1 , y1 )

(1,1 , 1,21)

O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:

m

y x

y1 x1

y0 x0

1,21 1 1,1 1

0,21 0,1

2,1

Sendo que:

x

x1 x 0

1,1 1 0,1

Novamente, vamos fazer:

x1

1,01

y1

f (1,01) 1,012

Então:

1,0201

As coordenadas do ponto Q são iguais a:

30 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Q

( x 1 , y1 )

(1,1 , 1,0201 )

O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:

y1 x1

y x

m

y0 x0

1,0201 1 1,01 1

0,0201 0,01

2,01

Sendo que:

x

x1 x 0

1,01 1 0,01

Vamos colocar todos os resultados obtidos na seguinte tabela: x 1 0,1 0,01 ... 0

m 3 2,1 2,01 ... 2

À medida que x se aproxima de zero, o ponto Q se aproximará cada vez mais de P e a reta que corta a função passará a tangenciá-la. O coeficiente angular da reta tangente a f(x) é igual a 2. A situação, quando x tende a zero, pode ser vista no gráfico abaixo:

Note que esse é um processo limite dado por:

m

lim x

0

y x

Onde m é o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Vamos formalizar o conceito de derivada comparando com o exemplo numérico mostrado. Definimos a derivada de uma função f(x) pelo seguinte limite:

lim x

0

f (x

x) f (x) x

31 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Vamos mostrar, de uma forma genérica, o significado dessa expressão. Começamos colocando no gráfico os pontos P e Q:

Note que podemos traçar uma reta que passa por P e Q. O coeficiente angular dessa reta é dado por:

m

y x

y1 x1

y0 x0

f (x (x

x) f (x) x) x

f (x

x) f (x) x

À medida que x tende a zero, o ponto Q se aproxima cada vez mais de P:

x 0

No limite, quando x tende a zero, a reta tangenciará a função no ponto P. O coeficiente angular dessa reta é então conhecido como derivada da função: Derivada = lim x

0

f (x

x) f (x) x

Alguns autores costumam calcular a derivada através da fórmula equivalente:

f (x h) f (x) 0 h

Derivada = lim h

A representação de derivada é feita colocando-se um apóstrofo após o símbolo f em f(x):

32 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS f (x) Então:

f (x)

lim x

0

f (x

x) f (x) x

Pela definição, notamos que a derivada depende do valor de x. Isso significa que podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) para qualquer valor de x escolhido. No capítulo 1, vimos que o coeficiente angular de uma reta fornece a taxa de variação da variável y em relação à variável x (por exemplo, graus Celsius por hora ou milhões por ano). Portanto, a derivada mede a taxa de variação da função f(x) num determinado ponto x, ou seja, quanto maior o valor da derivada em x então mais inclinada será a função f(x) nesse ponto. Vamos verificar essa afirmação através do seguinte gráfico:

Podemos perceber que a reta r tem inclinação menor que a reta s. Nesse caso, a derivada em x1 é menor que a derivada em x2. O resultado é que a função f(x) em x2 é mais inclinada que em x1.

ENCONTRANDO A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO Vamos aplicar o limite que define a derivada para estabelecermos as regras de derivação de algumas funções.

33 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS f (x)

5 f (x

x)

f (x)

lim

f (x)

lim

x

x

5 (para qualquer valor de x, a função será sempre igual a 5)

f (x

0

5 5 0 x

x) f (x) x 0

Resumo: A derivada de uma função constante é igual a zero.

f ( x ) 5x f (x

x ) 5( x

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x)

lim

x

x

x

f (x

0

x ) 5x

5 x

x) f (x) x

5x 5 x 5x 0 x

5 x 0 x

lim 5 5 x

0

Resumo: A derivada de uma função linear é igual ao seu coeficiente angular.

f (x) 5x 2 f (x

x) 5(x

f (x

x) 2

5(x 2

2x x

x) f (x) x

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x)

lim (10 x 5 x) 10 x

x

x

x

x

0

5x 2

x 2 ) 5x 2 10x x 5 x 2

5 x2

10 x x

0

10 x x 5 x 2 0 x

5x 2

x

lim x

0

x (10 x 5 x ) x

0

f ( x ) 5 (2 x ) Resumo: A derivada de uma função quadrática é igual à sua constante (5) multiplicada pelo valor do expoente (2) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade.

f (x) 5x 3

34 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS x) 3

5(x 3

3x 2 x 3x x 2

f (x

x) 5(x

f (x

x) 5x 3 15x 2 x 15x x 2 5 x 3

f (x

x) f (x) x

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x)

15 x 2 x 15 x x 2 lim x 0 x

f (x)

lim (15 x 2

x

x

x

x3 )

0

5x 3 15 x 2 x 15 x x 2 0 x

0

5 x3

5 x 3 5x 3

lim x

0

x (15 x 2 15 x x 5 x 2 ) x

5 x 2 ) 15 x 2

15 x x

f (x) 5 (3 x 2 ) Resumo: A derivada de uma função cúbica é igual à sua constante (5) multiplicada pelo valor do expoente (3) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade. A regra geral para o caso de funções com potências de x é dada por:

f ( x)

k xn

f ( x)

k n xn

1

EXEMPLO

Calcular a derivada da função:

f (x) 10 x 5

SOLUÇÃO

Pela regra geral:

f (x) 10 5 x 5

1

50 x 4

Outras funções podem ser enquadradas na forma geral mostrada anteriormente. Por exemplo:

35 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS f ( x)

2

x

Primeiramente, vamos modificar essa função:

f (x)

2

x

1

1 x2

Aplicando a regra da derivada vista anteriormente:

f ( x)

k n xn 1

1 2 f (x) 1 x 2

1

1

1 x 2

1 2

1 1 2 1 x2

1 2

2

x

Resumo: A derivada da função raiz quadrada é formada colocando 1 no numerador, 2 (índice da raiz) no denominador, seguido da raiz quadrada de x.

f ( x)

3

x

Primeiramente, vamos modificar essa função: 1

f (x)

3

x1

x3

Aplicando a regra da derivada:

f ( x)

k n xn 1

1 3 f (x) 1 x 3

1

1

1 x 3

2 3

1 3

1 2 x3

1 3

3

x2

Resumo: A derivada da função raiz cúbica é formada colocando 1 no numerador, 3 (índice da raiz) no denominador, seguido da raiz cúbica de x elevado à potência 2.

f (x)

4

x3

Primeiramente, vamos modificar essa função: 3

f (x)

4

x3

x4


f ( x)

36 |

k n xn

1

CAPÍTULO 2

DERIVADAS 3

3 4 f (x) 1 x 4

1

1 4

3 x 4

3 1 4 1 x4

3 4

4

x1

Resumo: A derivada da função é formada colocando 3 no numerador (potência de x dentro da raiz), 4 (índice da raiz) no denominador seguido da raiz quarta de x elevado à potência 1. A regra geral para o caso de funções raiz é dada por:

f (x) k

q

x p , com q>p

k p

f (x) q

q

xq

p

EXEMPLO

Encontrar a derivada da função: 5

f (x) 5

x2

SOLUÇÃO

Aplicando a regra para funções raiz:

5 2

f (x) 5

f (x)

5

10

x5

2

5

5

x3

1 x


f (x)

1 x

1

x

1


f ( x)

k n xn

1

f (x) 1 ( 1) x

1 1

1 x

2

1 x2

Resumo: A derivada da função é formada colocando -1 no numerador, seguido de x elevado à potência 2 no denominador.

37 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS f (x)

1 x2


f (x)

1 x

2

x

2


f ( x)

k n xn

1

f (x) 1 ( 2) x

2 1

2

3

2 x

x3


f (x)

1 x3


f (x)

1 x

3

x

3


f ( x)

k n xn

1

f (x) 1 ( 3) x

3 1

3 x

3

4

x4


A regra geral esse tipo de função é dada por:

f (x) k f (x)

38 |

1

xn k ( n) xn

1

CAPÍTULO 2

DERIVADAS EXEMPLO

Encontrar a derivada da função:

f (x)

3 x4

SOLUÇÃO

Aplicando a regra estabelecida:

f (x)

3 ( 4) x

4 1

12 x5

EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE Sabemos calcular o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Nesse ponto, vamos encontrar a equação que define a reta tangente a f(x).

EXEMPLO

Encontrar a equação da reta tangente a f (x)

x 2 no ponto x 0

3.

SOLUÇÃO

O coeficiente angular da reta tangente à função f (x)

f (x) No ponto x 0

x 2 é dada por:

2x

3 , o valor do coeficiente angular é igual a:

f (x 0 ) f (3) 2 3 6 Se quisermos saber a equação dessa reta basta saber em que ponto ela passa. No caso, quando x 0

3:

y0

f (x 0 ) f (3) 32

9

39 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Então, a reta tangente passa pelo ponto P:

P

(x 0 , y 0 )

f(x)=x2

(3,9)

Logo, a equação procurada é dada por:

y=6x-9

( y y 0 ) m (x x 0 )

( y y 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ) ( y 9)

6 ( x 3)

y 6x

9

O resultado é mostrado no gráfico ao lado.

É importante notar que o sinal do coeficiente angular indica se a função é crescente ou decrescente em determinados intervalos. No exemplo anterior, quando x>0, a derivada será sempre positiva o que quer dizer que a função será sempre crescente nesse intervalo. Por outro lado, quando x<0, a derivada será sempre negativa o que quer dizer que a função será sempre decrescente nesse intervalo. O gráfico abaixo expressa bem o que afirmamos anteriormente:

DERIVADAS DE OUTRAS FUNÇÕES Derivadas de outras funções podem ser demonstradas através de limites. A tabela a seguir mostra o resultado desse cálculo. Função

40 |

Derivada

f (x)

sen( x )

f (x)

cos(x )

f (x)

cos(x )

f (x)

sen( x )

f (x)

tg( x )

f ( x)

sec2 (x)

CAPÍTULO 2

DERIVADAS f ( x)

ex

f ( x)

ex

f ( x)

ax

f ( x)

a x ln a

f (x)

ln x

f (x)

1 x

EXEMPLO

ex .

e x então f (x)

Provar que, se f (x)

SOLUÇÃO

Primeiramente, devemos calcular:

f (x

ex

x)

x

ex e

x

A derivada da função é dada pelo seguinte limite:

f (x)

lim x

f (x

x) f (x) x

0

lim x

e x (e

x

1)

e x lim

x

0

x

e

0

x

1 x

Para resolver esse limite, vamos fazer:

u

e

x

1

x

ln(1 u )


u

0 quando x

0

Substituindo no limite:

lim x

e

x

1 x

0

u 0 ln(1 u )

lim

u

1

lim

u

0

ln(1

lim x

0

e

x

1

1

x ln lim (1 u

0

1 u u)

1 ln e

1 1 u u)

lim ln(1

u

0

1 u u)

1

Então:

f ( x)

ex

41 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS PROPRIEDADES DA DERIVADA A derivada de uma função apresenta as seguintes propriedades: (e) [k f (x)]

k f (x)

(f) [f (x) g(x)] (g) [f (x) g(x)] (h)

f (x) g(x)

f (x) g (x) f (x) g(x) f (x) g (x)

f (x) g(x) f (x) g (x) , desde que g(x) 0 [g(x)]2

EXEMPLO

Calcular as derivadas: 1) f (x)

3x 2 , então f (x)

2) f ( x )

3 cos(x ) , então f ( x )

3) f (x)

x3

4) f (x)

x 3 cos(x) , então f (x)

f ( x) 5) f ( x )

3 (x 2 )

3 [cos(x )]

2x 2 , então f (x)

(x 3 )

6x 3 [ sen( x )]

2 (x 2 )

3x 2

3sen( x )

4x

(x 3 ) cos(x) x 3 [cos(x)]

3x 2 cos(x) x 3 [ sen(x)]

x3 , então f ( x ) cos(x )

f (x)

3 (2x)

3x 2 cos(x) x 3 sen(x)

( x 3 ) cos(x ) x 3 [cos(x )] [cos(x )] 2

3x 2 cos(x ) x 3 [ sen( x )]

3x 2 cos(x ) x 3 sen( x )

cos2 ( x )

cos2 ( x )

DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR Até o momento, aprendemos apenas a calcular a primeira derivada (também chamada de derivada de primeira ordem). Vamos definir agora as derivadas de ordem superior a um. A segunda derivada é expressa por:

f (x)

[f ( x )]

Para obtermos a segunda derivada da função, basta derivarmos a primeira derivada.

42 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS EXEMPLO

Encontrar a segunda derivada da função:

f ( x)

x3

SOLUÇÃO

A primeira derivada é dada por:

f ( x)

3x 2

Então, a segunda derivada é igual a:

f (x)

3 (2x )

6x

Definimos as derivadas de ordem três, quatro, cinco e a derivada de ordem n da seguinte forma:

f (x)

[f ( x )]

f (iv) (x) [f (x)] f ( v) (x) [f (iv) (x)] f (n ) (x) [f ( n

1)

(x)]

Conforme a última fórmula, se quisermos obter a décima derivada de uma função, então, precisamos encontrar todas as derivadas de ordem inferior a dez.

EXEMPLO

Encontrar a quinta derivada da função:

f ( x)

x10

SOLUÇÃO


f (x) [f (x)]

10 x 9

A segunda derivada é igual a:

f (x) [f (x)]

10 (9x 8 )

90x 8

43 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS A terceira derivada é igual a:

90 (8x 7 )

f (x) [f (x)]

720 x 7

A quarta derivada é igual a:

f (iv) (x) [f (x)]

720 (7x 6 )

5040 x 6

Finalmente, a quinta derivada é igual a:

f ( v) (x) [f (iv) (x)]

5040 (6x 5 )

30240 x 5

NOTAÇÃO PARA DERIVADAS Chamamos de notação à maneira que representamos uma idéia matemática. Por exemplo, a notação de uma função é feita de uma das seguintes formas: f(x) ou y EXEMPLO

A notação de primeira derivada é dada por uma das formas abaixo:

f ( x ) , y , y ou

dy dx

A última forma é a mais importante e significa a primeira derivada de y em relação a x. A segunda derivada pode ser representada por uma das formas abaixo:

f ( x ) , y , y ou

d2y dx 2

A notação da terceira derivada é dada por uma das seguintes formas:

f ( x ) , y , y ou

d3y dx 3

E assim sucessivamente, até a n-ésima derivada:

f (n ) (x) , y ( n ) ou

44 |

dn y dx n

CAPÍTULO 2

DERIVADAS REGRA DA CADEIA A derivada de uma função composta é conhecida como regra da cadeia, ou seja, desejamos conhecer a derivada de funções do tipo:

y

f (g ( x ))

Nesse caso, vamos fazer:

u

g(x )

Então a função inicial se torna:

y

f (u )

A derivada de y em relação a x é dada por:

dy dx

dy du dx du

dy du du dx

Essa expressão é conhecida como regra da cadeia. Podemos escrever a regra da cadeia de uma forma mais simples: dy dx

y (u ) u ( x )

EXEMPLO

Encontrar a derivada de y em relação a x da função:

y

sen(x 2 )

SOLUÇÃO

Podemos notar que a função g(x)

u

x 2 está dentro da função seno. Devemos fazer então:

x2

A função y se torna:

y

sen(u )

A derivada de y em relação a u é igual a: y (u )

cos(u )

A derivada de u em relação a x é igual a: u (x)

2x

45 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Então a derivada de y em relação a x é dada por: dy dx

y (u ) u ( x )

dy dx

cos(u) 2x

Substituindo u por x2 na equação anterior:

dy dx

cos(x 2 ) 2x

EXEMPLO

Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo:

y

(x 3

x2

2x) 2

SOLUÇÃO

x3

Note que a função g(x)

u

x3

x2

x2

2x está dentro da função quadrática. Devemos fazer:

2x

A função y se torna então:

y

u2

A derivada de y em relação a u é igual a: y (u )

2u

A derivada de u em relação a x é igual a: u (x) 3x 2

2x

2

Então a derivada de y em relação a x é dada por: dy dx

y (u ) u ( x )

dy dx

2u (3x 2

2x 2)

Substituindo a expressão de u na equação anterior:

dy dx 46 |

2(x 3

x2

2x) (3x 2

2x 2)

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Podemos generalizar a regra da cadeia através da seguinte fórmula:

dy dx

df df n dy df1 df 2 ... n 1 df1 df 2 df 3 df n dx

Ou na forma mais simples: dy dx

y (f 1 ) f 1 (f 2 ) f 2 (f 3 ) ... f n 1 (f n ) f n ( x )

EXEMPLO

Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo:

y

sen(ln( x 3 ))

SOLUÇÃO

Para resolver o problema, devemos fazer:

f2

x3

A função y se tornará então:

y

sen(ln(f 2 ))

Agora fazemos:

f1

ln(f 2 )

Isso torna a função y igual a:

y

sen(f1 )

Começaremos calculando a derivada de f2 em relação a x: f 2 (x) 3x 2

Em seguida, vamos calcular a derivada de f1 em relação a f2:

f 1 (f 2 )

1 f2

1 x3

O cálculo da derivada de y em função de f1 fornece: y (f1 ) cos(f1 ) cos(ln(f 2 )) cos(ln(x 3 ))

47 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS A derivada de y em relação a x é dada pela regra da cadeia: dy dx

y (f 1 ) f 1 (f 2 ) f 2 ( x )

dy dx

cos(ln(x 3 ))

1 3x 2 3 x

Finalmente, a derivada de y em relação a x é dada por:

3 cos(ln(x 3 )) x

dy dx

APLICAÇÕES DA REGRA DA CADEIA No capítulo 1, mostramos que a curva de Gauss é dada pela seguinte função:

1

f (x)

2

e

1 x 2

2

Observando f(x) atentamente, podemos identificar uma composição de três funções. Portanto, para calcularmos a primeira derivada devemos fazer uso da regra da cadeia:

df dx

df du dg du dg dx

f (u) u (g) g (x)

Primeiramente, devemos fazer:

g

x

A função f se tornará então:

f

1 2

e

1 2 g 2

Agora fazemos:

u

1 2 g 2

Isso torna a função f igual a:

f

48 |

1 2

eu

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Começaremos calculando a derivada de g em relação a x: g (x)

1

Lembre-se que o parâmetro que aparece em g é constante e a sua derivada é nula. Em seguida, vamos calcular a derivada de u em relação a g: u (g )

g

O cálculo da derivada de f em função de u fornece:

f (u )

d du

1

1

eu

2

2

1

Note que o parâmetro

2

d u (e ) du

1

eu

2

é constante, portanto, devemos derivar apenas a função

exponencial. A derivada de f em relação a x é dada pela regra da cadeia: df dx

df dx

f ( u ) u (g ) g ( x )

1

e u ( g)

2

1

Substituindo os valores de u e g:

df dx

1 2

e

1 x 2

2

x

1

A derivada de f(x) será usada posteriormente para mostrar onde se localiza o ponto de máximo dessa função. Esse resultado é importante, pois nos informa qual é a ocorrência que tem a maior probabilidade de acontecer. Por exemplo, em uma distribuição de alturas dos alunos de uma escola, qual será a altura mais provável de ser encontrada ?

49 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS DERIVADA DE FUNÇÃO INVERSA Vamos dividir por dy o numerador e o denominador da derivada

dy dx

dy : dx

dy dy dx dy

Para encontrar a derivada de uma função inversa, basta aplicar a seguinte regra:

dy dx

1 dx dy

EXEMPLO

Encontrar a derivada da função abaixo:

y

arcsen( x )

SOLUÇÃO

A função inversa de y é dada por:

sen( y)

x

Derivando a expressão anterior:

dx dy

cos(y)

Então, a derivada de y em relação a x é igual a:

dy dx

1 cos y

O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y através da relação trigonométrica fundamental:

sen2 y cos2 y 1 cos2 y 1 sen2 y

cos y

1 sen2 y

1 x2

Substituindo na expressão da derivada:

dy dx 50 |

1 1 x2

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Resumo: a derivada da função arco-seno é igual a

1 1 x2

.

EXEMPLO

Encontrar a derivada da função abaixo:

y

ln x

SOLUÇÃO

A função inversa de y é dada por:

ey

x

Derivando a expressão anterior:

dx dy

ey

Então, a derivada de y em relação a x é igual a:

dy dx

1 ey

O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y sabendo que:

ey

x

dy dx

1 x

Então:

1 . x

Resumo: a derivada da função logaritmo neperiano de x é igual a

Através desse método, podemos encontrar as seguintes derivadas: Função

Derivada

f (x)

ar cos(x )

f (x)

f (x)

arctg( x )

f (x)

f ( x)

x

f (x)

1 1 x2 1

1 x2 1 2 x

51 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITA Quando existirem somente ocorrências da variável x no segundo membro da equação de uma função, então dizemos que a função é explícita. Esse tipo de função possui a seguinte representação:

y

f (x)

EXEMPLO

São funções explícitas:

y

5x 2

y

cos(x )

2

Note que a variável x aparece apenas no segundo membro em todas as funções dadas. Por outro lado, dizemos que uma função é implícita quando estiver na forma:

f ( x , y)

0

A derivada desse tipo de função é feita usando as regras e as propriedades das derivadas de funções explícitas. EXEMPLO

Encontre a derivada da seguinte função implícita:

y2

x2

2

0

SOLUÇÃO

Tomando a derivada em relação a x nos dois membros:

d 2 (y dx

x2

2)

d (0) dx

Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar:

d 2 d 2 d (y ) (x ) (2) dx dx dx Fazendo u

du dx

52 |

d (0) dx

y 2 , podemos calcular a derivada do primeiro termo através da regra da cadeia:

du dy dy dx

CAPÍTULO 2

DERIVADAS d 2 (y ) dx Chamando u

du dx

2y

dy dx

x 2 , podemos calcular a derivada do segundo termo: 2x

d 2 (x ) dx

2x

As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero já que a derivada de uma constante é igual a zero. Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem:

2y

Isolando

dy 2x dx

0

dy no primeiro membro teremos: dx

dy dx

2x 2y

x y

EXEMPLO

Encontre a derivada da seguinte função implícita:

xy

x2 1 0

SOLUÇÃO

Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar:

d d 2 d (xy ) (x ) (1) dx dx dx

d (0) dx

O primeiro termo é a derivada do produto de duas funções:

d (xy ) dx Chamando u

du dx

x

dy dx

y

dx dx

x

dy dx

y

x 2 , podemos calcular a derivada do segundo termo: 2x

53 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero já que a derivada de uma constante é igual a zero. Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem:

x

dy dx

dy dx

y 2x

0

y 2x x

DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE Em alguns casos, uma função pode ser contínua mas não ser derivável num ponto. Isso significa que a continuidade não garante que a função é derivável. Por outro lado, se uma função é derivável num ponto podemos ter certeza que a função é contínua. Funções que apresentam pontas ou cantos nos seus gráficos são contínuas mas não são deriváveis.

EXEMPLO

As funções abaixo são contínuas mas não são deriváveis nas pontas ou cantos:

Gráfico com ponta

Gráfico com canto

Quando uma função é contínua mas não é derivável, torna-se impossível traçar uma única reta tangente nos pontos em que ocorrem os cantos e as pontas. Veja o gráfico:

54 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

Note que podemos traçar as retas r e s tangentes à função f(x) no ponto p. Na verdade, existem infinitas retas que tangenciam a função no ponto p. Provamos que uma função pode ser contínua mas não derivável através dos limites que definem a continuidade e a derivada.

INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Analisando o sinal da primeira derivada, podemos ter uma idéia do comportamento de uma determinada função. Observe o gráfico abaixo:

Para cada um dos pontos analisados, podemos observar que o coeficiente angular da reta tangente à função tem um sinal diferente. Na primeira reta à esquerda o coeficiente angular é negativo, logo, a reta tangente é decrescente e a função também está decrescendo. Já na segunda reta à esquerda o coeficiente angular é positivo, portanto, a reta tangente é crescente e a função está crescendo. Lembramos que o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) é dado pela primeira derivada de f(x), portanto, o seu sinal mostra onde a função cresce ou decresce.

EXEMPLO

Caracterizar a função abaixo em crescente ou decrescente em x=2.

y

x3

27 x

55 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS SOLUÇÃO


y

3x 2

27

No ponto x=2, a primeira derivada é igual a:

y (2)

3 22

27

15

Como a primeira derivada é negativa, então a função y

x3

27 x é decrescente em x=2.

EXEMPLO

Partindo do exemplo anterior, caracterizar a função em crescente ou decrescente em x=4. SOLUÇÃO

No ponto x=4, a primeira derivada é igual a:

y (4)

3 42

27

21

Como a primeira derivada é positiva, então a função y

x3

27 x é crescente em x=4.

CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO Assim como a primeira derivada, a segunda derivada também tem um significado especial. É possível demonstrar que a segunda derivada indica a concavidade da função no ponto. Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade está para cima; Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade está para baixo. EXEMPLO

Considere a função:

y

ax 2

bx c

SOLUÇÃO

A segunda derivada é dada por:

56 |

y

2ax b

y

2a

CAPÍTULO 2

DERIVADAS O que podemos perceber é que, dependendo do sinal de a, a segunda derivada mostra se a concavidade da função está para cima ou para baixo. Como a segunda derivada é constante, então a função possui apenas uma concavidade. EXEMPLO

Qual é a concavidade da função no ponto x=2 ?

y

3x 3

x 1

SOLUÇÃO


y

9x 2 1

y

18 x

O ponto x=2 "enxerga" a função y com concavidade para cima porque:

y (2) 18 2

36 é positivo.

EXEMPLO

No exemplo anterior, qual é a concavidade da função no ponto x=-1 ? SOLUÇÃO

O ponto x=-1 "enxerga" a função y com concavidade para baixo já que:

y ( 1)

18 ( 1)

18 é negativo.

Em algumas funções, existe um valor de x em que a segunda derivada se anula. Esse ponto é chamado ponto de inflexão. Nesse caso, o valor de x encontrado separa a função em duas concavidades diferentes. EXEMPLO

Encontrar, se houver, o ponto de inflexão da função:

y

2x 3 12 x 2 1

SOLUÇÃO


y

6x 2

24x

y

12 x

24

57 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Igualando a segunda derivada a zero:

y

0

12 x 24 12 x x

0

24 2

O ponto x=2 separa a função em dois tipos de concavidade. Por exemplo, para qualquer x<2 o valor da segunda derivada é negativo, então a função tem concavidade para baixo. Já para x>2, o valor da segunda derivada é positivo e a função tem concavidade para cima. Observe o gráfico:

Concavidade para cima

Concavidade para baixo

Então x

2 é ponto de inflexão.

PONTO DE MÁXIMO E MÍNIMO Numa função do segundo grau, xv é chamado ponto de máximo ou de mínimo, dependendo da sua concavidade. Vamos agora formalizar um método para encontrar esse ponto para qualquer tipo de função. Sabemos que a primeira derivada fornece o coeficiente angular da reta tangente a qualquer função. Pois bem, em algumas funções, existe um valor de x em que a primeira derivada se anula. Nesse ponto x estamos sobre o ponto de máximo ou de mínimo.

EXEMPLO

Imagine uma estrada com altos e baixos. Um automóvel está no ponto mais alto (máximo) ou mais baixo (mínimo) quando o automóvel se encontra alinhado na horizontal.

58 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

Quando o automóvel está alinhado na horizontal, o coeficiente angular da reta tangente à estrada é igual a zero (reta com inclinação nula). Conhecendo a concavidade da função, saberemos se x é um ponto de máximo ou de mínimo. Essa informação é dada pelo sinal da segunda derivada. Graficamente, isso significa:

EXEMPLO

Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função:

y

x2

5x

6

SOLUÇÃO

Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima:

y

2x

y

2

5

Igualando a primeira derivada a zero:

y

0

2x 5 0 x

5 2 59 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Esse ponto é chamado de mínimo já que a função, analisando o sinal da segunda derivada, tem concavidade para cima. Compare com os cálculos que você já tinha aprendido no capítulo de funções! EXEMPLO

Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função:

y

x3

27 x

2

SOLUÇÃO

Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima:

y

3x 2

y

6x

27

Igualando a primeira derivada a zero:

y

0

3x 2

27

3x 2

27

x

0

3

Substituindo x=+3 na segunda derivada:

y ( 3)

6 ( 3) 18

A função tem concavidade para cima e +3 é o ponto de mínimo. Agora, substituindo x=-3 na segunda derivada:

y ( 3)

6 ( 3)

18

A função tem concavidade para baixo e -3 é o ponto de máximo. Através do gráfico da função, podemos localizar esses dois pontos:

60 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Pontos de máximo e mínimo podem ser locais ou globais. Um ponto x=p é chamado de máximo local se não existir um valor da função maior que f(p) na vizinhança de p. Por outro lado, um ponto x=p é chamado de mínimo local se não existir um valor da função menor que f(p) na vizinhança de p.

Um ponto p é chamado máximo global se não existir um valor da função maior que f(p) para qualquer valor de x dentro do domínio da função. Um ponto p é chamado mínimo global se não existir um valor da função menor que f(p) para qualquer valor de x dentro do domínio da função.

APLICAÇÕES DE MÁXIMO E MÍNIMO Mostramos anteriormente que a curva de Gauss:

1

f (x)

e

2

2

1 x 2

Tem derivada igual a:

df dx

1

e

2

2

1 x 2

x

1

Vamos encontrar onde se localiza o seu ponto de máximo. Primeiramente, devemos igualar a derivada a zero:

df dx

0 1

1 x 2

e

2

2

x

1

0

Alguns termos presentes na equação acima nunca serão iguais a zero, como por exemplo:

1

e

2 e

1 x 2

1

, já que

é sempre maior que zero;

2

, pois a função exponencial nunca se anula.

A única possibilidade da derivada se tornar nula acontecerá quando:

x

0

Então:

x

61 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Esse resultado nos conduz à seguinte interpretação: a ocorrência que possui a maior possibilidade de acontecimento é a média das ocorrências. Isso significa que, se pesquisarmos as alturas dos alunos de uma escola, será mais provável encontrarmos alunos com a altura média. Para o ponto de máximo, a função f(x) é igual a:

1

f( )

e

2

1 2

2

1 2

Note que a dispersão das ocorrências, dada por , faz com que a curva de Gauss fique mais concentrada em torno da média (mais comprimida) ou mais dispersa (mais achatada).

REGRAS DE L’HÔPITAL As regras de L’Hôpital são usadas nos cálculos de limites dos tipos:

f (x) p g( x )

lim

x

f (x) 0 ou lim x p g( x ) 0

Esses limites podem ser resolvidos fazendo:

f (x) p g( x )

lim

x

f (x) p g (x)

lim

x

EXEMPLO

Encontrar o limite:

lim

x

2

x2

5x 6 x 2

SOLUÇÃO

O limite dado é do tipo:

f (x) p g( x )

lim

x

62 |

0 0

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Devemos então derivar as funções presentes no numerador e no denominador:

f ( x)

x2

g( x )

x 2

f (x)

5x 6

2x 5

g (x) 1

Então o limite é dado por:

lim

x

x2

2

5x 6 x 2

x

5x 6 x 2

x

2x 5 2 1

lim

1

Note que:

lim

x

x2

2

lim

2

( x 3) ( x 2) x 2

lim x 3

x

2

1

EXEMPLO

Encontrar o limite:

lim

x

x2

5x 6 x2 2

SOLUÇÃO

O limite dado é do tipo:

f (x) p g( x )

lim

x

Devemos então derivar as funções presentes no numerador e no denominador:

f ( x)

x2

5x 6

g(x)

x2

2

f (x)

g (x)

2x 5

2x

Então o limite é dado por:

lim

x2

5x 6 x 2 2

x

lim

x

2x 5 2x

lim 1

x

5 2x

Aplicando a propriedade do limite da soma (ou subtração) de funções:

lim

x

x2

5x 6 x

2

2

1

5 1 lim 2 x x

1

63 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Tente aplicar a técnica de dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x para encontrar o resultado do limite e verifique que o resultado é o mesmo.

APLICAÇÕES DA DERIVADA Vamos escolher algumas aplicações bem simples. A primeira aplicação consiste em analisar o Movimento Uniformemente Variado (MUV) do ponto de vista da derivada. Considere a função horária do espaço no MUV:

s( t )

s0

v0 t

at 2 2

A primeira derivada dessa função em relação a t é dada por:

ds dt

v(t )

v0

at

A equação acima nos mostra que a taxa de variação do espaço com o tempo é igual à velocidade instantânea. Definição: "Velocidade é a taxa de variação do espaço com o tempo". A velocidade pode ser encontrada derivando a função horária do espaço em relação ao tempo.

Ao calcularmos a derivada da velocidade encontraremos:

dv dt

a

A equação acima nos mostra que a taxa de variação da velocidade com o tempo é igual à aceleração instantânea que, nesse caso, é constante. Note que a aceleração pode ser obtida derivando uma vez a velocidade ou derivando duas vezes o espaço:

dv dt

a

d 2s dt 2

Definição: "Aceleração é a taxa de variação da velocidade com o tempo". A aceleração pode ser encontrada derivando a função horária da velocidade em relação ao tempo.

64 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS EXEMPLO

Partindo da seguinte equação horária do espaço:

2 3t 3t 2 , sendo s=[m], t=[s], v=[m/s] e a=[m/s2]

s(t)

Encontrar a expressão da velocidade em função do tempo. SOLUÇÃO

A velocidade instantânea é dada pela primeira derivada do espaço em relação ao tempo:

v(t )

ds dt

3 6t

Se quisermos calcular a velocidade do móvel no tempo t=2s, devemos fazer:

v(2)

3 6 2 15 m/s

Em Economia, precisamos encontrar o número de quantidades produzidas de um produto que maximiza o lucro. EXEMPLO

Considere a seguinte função de produção:

Lucro(q)

q 2 10q 12 , sendo Lucro=[em $10.000] e q=[em 1.000 unidades]

Encontre o número de unidades que devem ser produzidas para obtermos lucro máximo. SOLUÇÃO


Lucro (q)

2q 10


Lucro (q)

2

Para o lucro ser máximo, então a primeira derivada deve ser nula e a segunda ser negativa:

Lucro (q )

0

2q 10

0

2q

q

10

5

65 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Como q deve ser expressa em 1.000 unidades, então 5.000 unidades devem ser produzidas para que o lucro seja máximo. O valor do lucro máximo é obtido substituindo q=5 na equação:

Lucro(q)

q 2 10q 12

Lucro(5)

52 10 5 12

37

Como o lucro deve ser dado em $10.000, então o lucro máximo é igual a $370.000. A última aplicação está relacionada à área de otimização (utilização ótima de recursos). EXEMPLO

Um papelão quadrado com 120 cm de lado deve ser transformado em uma caixa sem tampa que permita o maior volume possível. Determinar a medida x do lado de cada quadrado que será retirado nos quatro cantos do papelão.

Formato para corte e dobradura do papelão

Como o lado do papelão quadrado mede 120cm, o fundo da caixa será um quadrado de lado (120-2x) cm e a altura da caixa medirá x cm. O volume será dado por:

V(x)

2x) 2

x (120

4x 3

A sua primeira derivada é igual a:

V (x) 12x 2

960 x 14400

Igualando a zero:

12 x 2

x2

66 |

960 x 14400

80 x 1200

0

0

480 x 2 14400 x

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Essa equação possui as seguintes raízes:

x

60 e x

20

Se x 60 cm, o papelão será cortado ao meio e não conseguiremos montar uma caixa. Se usarmos x 20 cm, a caixa terá um fundo quadrado com o lado medindo 80 cm. O volume máximo será:

V(x)

2x) 2

x (120

20 (120 2 20) 2

V(20)

128 .000 cm3

SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X As séries de potências são polinômios com infinitos termos que servem para descrever uma função f(x) de forma aproximada. Essa abordagem se revela muito interessante no tratamento computacional aproximado de funções. Uma função qualquer, que tenha derivadas contínuas até a ordem n, pode ser colocada sob a forma de série de potências de x:

f (x) a 0 a1 x a 2 x 2 a 3 x 3 a 4 x 4 ... a n É imediato saber que f (0)

1

xn

1

an xn

a0 .

Ao calcularmos a primeira derivada de f(x), encontramos:

a 1 2 a 2 x1 3 a 3 x 2

f ( x) Com f (0)

4 a 4 x 3 ... n a n x n

1

a1 .

Ao calcularmos a segunda derivada de f(x), encontramos:

f ( x) Com f (0)

2 1 a 2 3 2 a 3 x1 4 3 a 4 x 2 ... n (n 1) a n x n

2 1 a2

2

2!a 2 .

Ao calcularmos a terceira derivada de f(x), encontramos:

f ( x) 3 2 1 a 3 Com f (0)

3 2 1 a3

4 3 2 a 4 x1 ... n (n 1) (n 2) a n x n

3

3!a 3 .

Ao fazermos esse processo sucessivamente, encontraremos:

67 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Para a derivada n-1:

f (n Com f (n

1)

1)

( x)

(0)

(n 1) (n 2) ... 3 2 1 a n

(n 1) (n 2) ... 3 2 1 a n

n (n 1) ... 3 2 a n x1

1

(n 1)!a n

1

1

Para a derivada n:

f ( n ) ( x) Com f (n ) (0)

n (n 1) (n 2) ... 3 2 1 a n

n (n 1) (n 2) ... 3 2 1 a n

n!a n

Substituindo cada uma das constantes a0, a1, a2, a3,..., an-1, an na série de potências:

f (x)

f (0) f (0) x

f (0) 2 x 2!

f (0) 3 f ( n 1) (0) n x ... x 3! (n 1)!

1

f ( n ) (0) n x n!

Esta série de potências é conhecida como série de MacLaurin e é válida para valores de x próximos de zero (ponto de referência da série). EXEMPLO

Colocar f (x)

e x em série de potências de x.

SOLUÇÃO

Sabemos que todas as derivadas de f(x) são iguais:

f ( x)

f ( x)

f ( x)

f (x) ...

f (0)

f (0)

f (0)

f (0) ...

f (n

1)

( x)

f ( n ) ( x)

ex

Então:

f (n

1)

(0)

f (n) (0) 1

A série de potências de f(x) é dada por:

f (x)

e

x

f (0) f (0) x

1 x

x2 2!

x3 3!

f (0) 2 x 2!

f (0) 3 f ( n 1) (0) n x ... x 3! (n 1)!

xn 1 ... (n 1)!

1

f ( n ) (0) n x n!

xn n!

EXEMPLO 0 ,5

Calcular e através da série de potências de x com dois, três e quatro termos. Comparar o resultado com o valor fornecido pela calculadora.

68 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS SOLUÇÃO

O valor fornecido pela calculadora é igual a:

e 0,5

1,648721271

Com dois termos:

f (x) 1 x f (0,5) 1 0,5 1,5 Com três termos:

f (x) 1 x

x2 2! (0,5) 2 2!

f (0,5) 1 0,5

1,625

Com quatro termos:

f (x) 1 x

x2 2!

f (0,5) 1 0,5

x3 3!

(0,5) 2 2!

(0,5) 3 3!

1,64583 ...

0 ,5 Note que o resultado se aproxima cada vez mais do valor de e fornecido pela calculadora.

APLICAÇÕES DE SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X Uma das aplicações de séries de potência é a simplificação do modelo matemático do funcionamento do diodo. No capítulo 1, mostramos que o funcionamento do diodo pode ser modelado pela seguinte equação:

iD

I De

vd nVT

Onde: iD é a corrente total (contínua mais alternada) sobre o diodo; ID é a corrente contínua sobre diodo; vd é a tensão alternada sobre o diodo; VT é a tensão térmica ( 25mV);

69 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS n é uma constante que vale 1 para diodos em circuitos integrados e vale 2 para diodos em circuitos discretos. A aproximação da função exponencial é feita através da série de potências:

ex

x2 2!

1 x

x3 3!

...

xk k!

Fazendo a transformação de variáveis:

vd nVT

x

e

vd nVT

Para v d

vd 1 nVT

1 2!

vd nVT

2

1 3!

vd nVT

3

...

1 k!

vd nVT

n

nVT , podemos desprezar os termos com potência maior que 2: e

vd nVT

1

vd nVT

Então, o modelo do diodo é dado por:

vd nVT

iD

ID

1

iD

ID

ID vd nVT

Fazendo:

rd

nVT ID

O modelo do diodo se torna:

iD

ID

vd rd

O elemento rd é chamado resistência dinâmica do diodo. Note que o modelo do diodo foi consideravelmente simplificado de uma função exponencial para uma função do 1o grau.

70 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS O modelo de pequenos sinais só é válido se a tensão de sinal v d for muito menor que a tensão térmica VT ( v d

nVT ). Na prática, o modelo de pequenos sinais pode ser justificado para

tensões alternadas de até 10mV.

DERIVADAS NO MATHEMATICA Derivadas podem ser facilmente calculadas no Mathematica através dos comandos: Aspas simples ( ' ): esse comando calcula a primeira derivada da função. EXEMPLO

Sin'[x] Cos'[x] Log'[x] ArcTan'[x]

D[função, {variável a ser derivada,ordem da derivada}] EXEMPLO

D[x^3,{x,2}] - Calcula a terceira derivada da função em relação a x. D[Cos[x],{x,5}] - Calcula a quinta derivada da função em relação a x. D[Log[x],x] - Calcula a primeira derivada da função em relação a x.

71 |

Capítulo 3

INTEGRAL A integral é uma operação baseada em limites cuja aplicação principal é o cálculo de áreas e volumes. Na Física, por exemplo, o trabalho realizado por uma força F que desloca um corpo de uma distância x é calculado por uma integral, ou seja, o trabalho realizado pode ser encontrado através de um cálculo de área. Ao longo deste capítulo, vamos mostrar que existe uma relação próxima entre a derivada e a integral de uma função. Portanto, um bom conhecimento de derivadas é pré-requisito para o estudo de cálculo integral.

CONCEITO DE INTEGRAL Antes de formalizar a definição de integral, vamos começar com um exemplo numérico. EXEMPLO

Encontrar a área sob a função f(x) no intervalo 0 x 1 sabendo-se que: f (x) x SOLUÇÃO

Primeiramente, vamos mostrar graficamente a situação: Podemos perceber que a figura formada é um triângulo, portanto, o valor exato dessa área é igual a: A

base altura 2

1 1 2

1 unidades de área. 2

Ou melhor: A


Em seguida, tentaremos encontrar essa área por aproximações sucessivas usando apenas retângulos.

72 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL Vamos dividir o intervalo em duas partes iguais assumindo que a área do triângulo é dada aproximadamente pela soma das áreas dos dois retângulos. Visualmente fica mais fácil perceber o nosso objetivo: A área total da figura é dada por: A

base1 altura1

base 2 altura 2

A

1 1 2 2

A


1 1 1 2 2

1 1 2

1 2

1 2

2 2

Ou melhor: A


A nossa aproximação sugere que a área do triângulo é aproximadamente o valor calculado. Note que, em relação à área exata do triângulo, esse valor ainda é impreciso. Vamos agora dividir o intervalo em quatro partes iguais assumindo que a área do triângulo é dada aproximadamente pela soma das áreas dos quatro retângulos formados. O gráfico da situação ilustra melhor o problema: A área total da figura é dada por: A

1 1 4 4

1 1 4 2

1 3 4 4

A

1 4

1 4

1 2

3 1 4

A

1 4

1 4

2 4

3 4

A


1 1 4

4 4

Perceba que um número maior de retângulos aumentou a precisão da nossa aproximação do valor exato da área do triângulo. Usando o mesmo artifício, se dividirmos o intervalo em oito partes iguais, a área total será igual a 9/16. Isso indica que, se continuarmos a incluir cada vez mais retângulos a tendência natural é que a área total da figura seja exatamente igual à área do triângulo. Chamando de x a base de cada retângulo, podemos montar uma tabela com os valores da base e da área calculada:

73 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL A

x 1 2 1 4 1 8 ... 0

0,5 0,25 0,125

12 16 10 16 9 16 ... 8 16

Note que o cálculo da área exata da função é um processo limite dado por: n

A

lim x

0

f (x i )

x

i 1 n

Onde o símbolo

f (x i )

x significa a soma das áreas de todos os n retângulos envolvidos

i 1

na aproximação. O limite dado pela equação anterior é chamado integral da função f(x) no intervalo 0 x 1. Representamos a integral estudada através da notação: 1

A

f ( x ) dx 0

O símbolo é lido da seguinte maneira: “Integral de f(x) de 0 até 1”. A maneira que calculamos a integral é conhecida como método da exaustão e se baseia em encontrar a área sob uma função aumentando exaustivamente o número de retângulos, somando-se então as suas áreas. Por ser muito cansativo, o método da exaustão serve apenas para ilustrar a idéia fundamental da integral.

A INTEGRAL E A DERIVADA Isaac Newton e Gottfried Leibniz pesquisando independentemente chegaram à conclusão de que existe uma relação próxima entre a derivada e a integral. A constatação deles foi marcante: “A derivada e a integral são operações inversas”. Isso quer dizer que a integral de f ( x ) é a função f ( x ) que originou essa derivada. O esquema abaixo ajuda a esclarecer a relação entre a derivada e a integral:

74 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL Vamos mostrar como obter a integral a partir da derivada. Considere a função dada pelo seguinte gráfico:

A(x)

A(x+ x)

Podemos perceber pelas figuras anteriores que a área sob a função depende do ponto extremo x, logo vamos representá-la por A(x). Se deslocarmos o ponto x para um valor x+ x então a área agora será dada por A(x+ x). Partindo desse raciocínio, desejamos descobrir qual é a área entre x e x+ x. Conforme o gráfico, essa área é dada pela diferença entre as áreas A(x+ x) e A(x):

Área que nos interessa

Matematicamente, a área que nos interessa é aproximadamente igual à área do retângulo: A( x

x)

A( x )

A(x

x) x

A( x )

f (x)

x

f (x)

Tomando o limite dos dois lados: A( x

lim x

0

x ) A(x ) x

lim f ( x ) x

0

75 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL O que resulta em: dA( x ) dx

f (x)

Sabendo-se que:

A( x )

f ( x ) dx

Ao substituirmos A(x) na expressão anterior teremos: d f ( x ) dx dx

f (x)

Essa expressão mostra que se integrarmos a função f(x) e em seguida derivarmos o resultado da integração obteremos mesma função f(x). Isso significa que a integral e a derivada são operações que se cancelam quando aplicadas simultaneamente. Trocando a ordem das operações na última equação: df ( x ) dx dx

f (x)

f (x)

f ( x ) dx

Essa expressão mostra que a integral de f´(x) é a função f(x), ou seja, a integral de f´(x) é a função que originou essa derivada.

PRIMITIVA A integral de f(x) é freqüentemente chamada de primitiva ou de integral indefinida e é representada por F(x). Conforme foi provado, ao derivarmos F(x) obteremos f(x), ou seja:

F( x )

f ( x ) dx

dF( x ) dx

f (x)

Nosso objetivo daqui para frente será encontrar a expressão de F(x) cuja derivada é igual à função f(x) dada no problema – Esse é o fundamento do método conhecido como antidiferenciação. Para que o processo de antidiferenciação tenha valor é necessário que tenhamos um bom conhecimento de derivadas.

76 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL EXEMPLO

Calcular a integral de: f (x)

2x

SOLUÇÃO

A integral de f(x) é a função cuja derivada é igual a 2x, logo:

2x dx x 2

F( x )

C

A princípio, você poderia pensar que x 2 é a única função cuja derivada é 2x , mas isso não é verdade. Por exemplo, as derivadas de x 2 1 , x 2 10 ou x 2 100 também são iguais a 2x . Portanto, devemos sempre colocar a constante C ao final da integral já que: dF( x ) dx

d (x 2 dx

C)

2x

f (x)

O valor de C representa todos os valores possíveis da constante que acompanha x 2 e a sua determinação depende de alguma condição dada no problema. A primitiva de f(x) é então dada por: F(x)

x2

C

PRIMITIVAS MAIS COMUNS O processo de integração pelo método da antidiferenciação depende da capacidade de imaginarmos a função F(x) cuja derivada é dada por f(x) que é conhecida. Isso nem sempre é tarefa fácil, portanto, começaremos a exercitar essa capacidade estabelecendo regras gerais para algumas primitivas mais comuns. Função nula: A primitiva da função nula é igual à função F( x ) C , já que a derivada de uma constante é igual a zero. EXEMPLO

Encontrar a primitiva da função: f (x)

0

SOLUÇÃO

A primitiva F(x) é a função que, derivada uma vez, fornece f(x), então:

F( x )

C

F (x)

0

Já que:

f (x)

Não importa qual seja o valor da constante C, a derivada será sempre igual a zero.

77 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL Como você pode perceber, a função nula está presente em qualquer função. Dessa forma, será obrigatório aparecer a constante C em qualquer primitiva. Note nos casos a seguir que sempre acrescentaremos a constante C apenas no resultado final, evitando envolvê-la nos cálculos intermediários.

Função potência de x (para n positivo): Considere a seguinte função: f ( x)

xn

A sua primitiva é dada por:

F(x)

xn 1 C n 1

Note que: F ( x) x n

Então podemos concluir que:

F(x)

xn 1 C n 1

x n dx

EXEMPLO

Encontrar a primitiva da função: f ( x)

x5

SOLUÇÃO

Conforme a regra de integração:

F(x)

x 5 dx

x5 1 C 5 1

O resultado final é igual a:

F( x )

x6 6

C

Confirme se a derivada de F(x) é igual a f(x). Função raiz de x: Considere a seguinte função:

78 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL f (x)

q

xp

A sua primitiva se enquadra na integral de potência de x e é dada por: p 1 q

F( x )

F(x)

q

x p 1 q

p q

q

q

p q

xp

q

xp xq

Finalmente, acrescentando a constante C no final:

F(x)

q

q

x

p q

xp

C

Então podemos concluir que: q

F( x )

x

p

dx

x

p q

dx

q p

q

x

q

xp

C

EXEMPLO

Encontrar a primitiva da função:

f (x)

3

x2

SOLUÇÃO

Conforme a regra de integração: 2 3

F( x )

x 2 dx

x 3 dx

3 x 5

3

x2

C

Confirme se a derivada de F(x) é igual a f(x). Função potência negativa de x (para n diferente de 1): Considere a seguinte função:

f (x)

1 x

n

x

n

A sua primitiva também se enquadra na integral de potência de x e é dada por:

79 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL F( x )

n 1

x

n 1

Colocando o sinal negativo em evidência no denominador e no expoente, teremos:

1 x (n 1)

F(x)

F(x)

1

( n 1)

1

(n 1) x

C

n 1

Note que não é possível aplicar essa fórmula quando n é igual a 1 já que o denominador se tornaria igual a zero.

EXEMPLO

Encontrar a primitiva da função:

f (x)

1 x2

SOLUÇÃO

Conforme a regra de integração:

F(x)

1 x2

dx

x

2

dx

1

1

2 1 x2

1

C

1 x

C

PRIMITIVAS DE OUTRAS FUNÇÕES Usando a técnica de antidiferenciação, podemos encontrar as primitivas de outras funções que não sejam potências de x. Na tabela abaixo mostramos algumas primitivas: Função 1 f (x) x

Primitiva F( x )

ln x ex

f ( x)

ex

F(x)

f ( x)

ax

F(x )

C C

f ( x ) sen( x )

F( x )

ax C ln a cos(x )

f (x)

F( x )

sen( x )

cos(x )

C C

Existem livros que contém as integrais de vários tipos de função tabeladas e organizadas para consulta rápida. Com a evolução dos softwares matemáticos, os livros com as tabelas de primitivas

80 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL tornaram-se obsoletos já que, com o comando apropriado, você poderá obter com facilidade praticamente qualquer primitiva.

PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA A integral indefinida de uma função apresenta as seguintes propriedades: (i)

k f (x ) dx k

(j)

[f (x) g(x)] dx

(k)

f (x) g (x) dx f (x) g(x)

f ( x) dx

f (x) dx

g(x) dx f (x) g(x) dx (integral por partes)

Vamos provar a propriedade (c), chamada integral por partes. Primeiro, vamos lembrar da derivada do produto de duas funções f(x) e g(x): [f ( x ) g( x )] f ( x ) g( x ) f ( x ) g ( x ) Integrando ambos os lados da igualdade:

[f (x) g(x)] dx

[f (x) g(x) f (x) g (x)] dx

Aplicando a propriedade (b) ao lado direito da igualdade:

[f (x) g(x)] dx

f (x) g(x) dx

f (x) g (x) dx

Lembrando que a integral e a derivada são operações inversas:

[f (x) g(x )] dx f (x ) g( x) Logo:

f ( x ) g( x )

f (x) g(x) dx

f (x) g (x) dx


f (x) g(x) dx

EXEMPLO

Calcular as integrais: a) 5 x 2 dx b) [ x 2

x 3 ] dx

c) x e x dx

81 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL SOLUÇÃO

a) Aplicando a propriedade (a): 5 x 2 dx 5

x 2 dx

5 3 x 3

C

Note que acrescentamos a constante C apenas no resultado final, evitando envolvê-la nos cálculos intermediários. b) Aplicando a propriedade (b):

[x 2

x 3 ] dx

x 2 dx

x 3 dx

x3 3

x4 4

C

Aqui também acrescentamos a constante C apenas no resultado final, evitando envolvê-la nos cálculos intermediários. c) Primeiro, devemos identificar as funções f(x) e g´(x) dentro da integral:

x e x dx Vamos então escolher: f ( x ) x , cuja derivada é f ( x ) 1 .

g (x) e x , cuja primitiva é g(x) e x .

O resultado da integral é dado por:

f (x) g (x) dx f (x) g(x) x e x dx x e x

f (x) g(x) dx

1 e x dx x e x

ex

e x (x 1) C

A escolha das funções f(x) e g´(x) foi proposital. Note que, escolhendo f ( x ) x , fica mais fácil calcular a integral presente no segundo termo do lado direito da propriedade (c). Uma boa prática consiste em escolher para f(x) a função cuja derivada se torna uma constante ou que torne a integral do primeiro membro igual à integral do segundo membro.

EXEMPLO

Calcular a integral:

e x cos(x) dx

82 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL SOLUÇÃO

Vamos identificar as funções f(x) e g´(x) dentro da integral: f (x) e x , cuja derivada é f (x) e x . g (x)

cos( x ) , cuja primitiva é g( x ) sen( x ) .

O resultado da integral é dado por:


f (x) g(x) dx

e x cos(x) dx sen(x) e x

e x sen(x) dx

A integral que aparece circulada também deve ser calculada por partes:

e x sen(x) dx

cos(x) e x

e x [ cos(x)] dx

e x sen(x) dx

cos(x) e x

e x cos(x) dx

Substituindo na integral circulada:


[ cos(x) e x


cos(x) e x

e x cos(x) dx]

e x cos(x) dx

Note que existem duas integrais iguais. Nesse caso, passamos a integral do segundo membro somando à integral existente no primeiro membro:


2

cos(x) e x

Finalmente:

e x cos(x) dx e x cos(x ) dx

sen(x) e x

cos(x) e x 2

1 x e [sen ( x ) cos( x )] C 2

Nesse exemplo, pudemos constatar que a escolha das funções f(x) e g´(x) depende de um pouco de visão e da experiência de quem está calculando a integral.

83 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Existe uma técnica adequada a cada tipo de função a ser integrada. Vamos estudar algumas dessas técnicas. Funções trigonométricas: Para esse tipo de função devem ser usadas relações trigonométricas que transformem produtos ou potências em somas de funções. EXEMPLO


cos 2 (x) dx SOLUÇÃO

Para resolver esse problema, devemos encontrar uma relação trigonométrica que transforme a função elevada à potência dois em uma soma de funções. Podemos começar usando a fórmula do cosseno da soma: cos(a

b)

cos(a ) cos(b) sen (a ) sen (b)

cos(x

x)

cos(x ) cos(x ) sen( x ) sen( x )

cos(2x) cos 2 (x) sen 2 (x)

Conforme a relação trigonométrica fundamental: sen 2 (x) 1 cos 2 (x)

Substituindo na fórmula anterior: cos(2x) 2 cos 2 (x) 1

Portanto: cos 2 ( x )

1 cos(2 x ) 2

1 2

A partir das relações trigonométricas, podemos substituir a função mais complicada de ser integrada por duas funções mais simples de operar:

cos 2 (x) dx

1 cos(2x) 2

1 2

Aplicando as propriedades das integrais:

84 |

dx

CAPÍTULO 3

INTEGRAL cos 2 ( x ) dx

1 2

1 dx 2

cos(2 x ) dx

Sabemos que: 1 2

cos(2 x ) dx

1 dx 2

1 sen ( 2 x ) 2 2

1 sen (2 x ) 4

1 x 2

Finalmente, após acrescentar a constante C: cos 2 ( x ) dx

1 sen (2 x ) 4

1 x 2

C

Existem outros tipos de integrais cuja solução também depende do conhecimento das relações trigonométricas:

cos(ax ) cos(bx ) dx

sen(ax ) sen(bx) dx cos(ax ) sen(bx) dx Para resolver essas integrais necessitamos das seguintes relações: cos(a

b)

cos(a ) cos(b) sen (a ) sen (b)

cos(a

b)

cos(a ) cos(b)

sen (a ) sen (b)

sen(a

b) sen(a ) cos(b)

sen (b) cos(a )

sen(a

b) sen (a ) cos(b) sen (b) cos(a )

Por exemplo, ao somarmos as fórmulas do cosseno da soma e da diferença teremos: cos(a ) cos(b)

1 [cos(a 2

b)

cos(a

b)]

Então: cos(ax ) cos(bx )

1 [cos(ax 2

bx )

cos(ax

bx )]

Devemos substituir a expressão acima na integral e calcular o resultado.

85 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL EXEMPLO


cos(5x ) cos(3x ) dx SOLUÇÃO

Primeiro, encontramos a relação trigonométrica que define a multiplicação de dois cossenos: cos(ax ) cos(bx )

1 [cos(ax 2

cos(5x ) cos(3x )

1 [cos(8x ) 2

bx )

cos(ax

bx )]

cos(2 x )]

Substituindo na integral: 1 [cos(8x ) 2

cos(5x ) cos(3x ) dx

cos(2x )] dx

Aplicando as propriedades da integral: cos(5x ) cos(3x ) dx

1 2

cos(8x ) dx

1 2

cos(2 x ) dx

Onde: cos(8x ) dx

sen (8x ) 8

cos(2 x ) dx

sen (2 x ) 2

O resultado final é igual a: cos(5x ) cos(3x ) dx

1 sen (8x ) 16

1 sen (2 x ) 4

C

EXEMPLO


sen(5x ) sen(3x ) dx SOLUÇÃO

Ao subtrairmos as fórmulas do cosseno da diferença e da soma teremos: sen (a ) sen ( b)

86 |

1 [cos(a 2

b)

cos(a

b)]

CAPÍTULO 3

INTEGRAL Portanto: sen (5x ) sen (3x )

1 [cos(5x 2

sen (5x ) sen (3x )

1 [cos(2 x ) cos(8x )] 2

3x ) cos(5x

3x )]

Substituindo na integral: 1 [cos(2x ) cos(8x )] dx 2

sen (5x ) sen (3x ) dx

Aplicando as propriedades da integral: sen (5x ) sen (3x ) dx

1 2

cos(2x ) dx

1 2

cos(8x ) dx

Onde: cos(2 x ) dx

sen (2 x ) 2

cos(8x ) dx

sen (8x ) 8

O resultado final é igual a: sen (5x ) sen (3x ) dx

1 1 sen (2 x ) sen (8x ) 4 16

C

Mudança de variável: Essa técnica consiste em transformar um problema aparentemente complicado em um problema mais simples apenas pela mudança de variável da integral. A mesma abordagem já foi utilizada quando estudamos a regra da cadeia nos problemas de derivada. A técnica de mudança de variável consiste em trocar a integral do tipo:

f (g( x )) g ( x ) dx Por:

f (u ) du Chamando: u du

g( x ) g ( x ) dx

87 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL EXEMPLO


e 2 x dx SOLUÇÃO

Quando olhamos para dentro da integral, percebemos que é possível chamar: u

2x

du

2 dx

du 2

dx

Isso tornará a integral igual a: eu

du 2

1 2

e u du

Cujo resultado final é dado por: 1 u e 2

e 2 x dx

C

Voltando com o valor de u: 1 2x e 2

e 2 x dx

C

EXEMPLO


cos(5x) dx SOLUÇÃO

Primeiro devemos chamar: u

5x

du

5 dx

dx

du 5

Isso tornará a integral igual a: cos(u )

88 |

du 5

1 5

cos(u ) du

CAPÍTULO 3

INTEGRAL Cujo resultado final é dado por: 1 sen (u ) 5

cos(5x ) dx

C

Voltando com o valor de u: cos(5x ) dx

1 sen (5x ) C 5

EXEMPLO


2x sen(x 2 ) dx SOLUÇÃO

Primeiro devemos chamar:

x2

u du

2x dx

Note que o valor da derivada de u aparece explicitamente dentro da integral. Essa mudança de variável faz com que:

2x sen(x 2 ) dx

sen(u) du

cos(u) C

Finalmente, voltando com o valor de u no resultado:

2x sen(x 2 ) dx

cos(x 2 ) C

EXEMPLO

Calcular a integral: 1 3x

2

dx

SOLUÇÃO

Primeiramente, chamaremos: u

du

3x

2

3 dx

dx

du 3

89 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL Substituindo na integral: 1 3x

1 du u 3

dx

2

1 3

1 du u

Cujo resultado é igual a: 1 3x

2

dx

1 ln u 3

C

Voltando com o valor de u, teremos: 1 3x

2

dx

1 ln 3x 3

2

C

INTEGRAL DEFINIDA (TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO) A integral indefinida ou primitiva é uma função que fornece a área genérica sob f(x). Isso significa que precisamos definir dois extremos, o limite inferior “a” e o limite superior “b”, para que possamos calcular o valor numérico da área entre esses dois pontos. O que acabamos de descrever é o que se conhece como integral definida. A área em cinza no gráfico abaixo é a integral definida de f(x) no intervalo de “a” até “b”:

Representamos a integral definida da seguinte forma: b

f ( x ) dx a

Segundo o teorema fundamental do cálculo, essa integral pode ser calculada por: b

f ( x ) dx

F(b)

F(a )

a

Alguns autores costumam a representar o cálculo da integral definida pela notação: b

f ( x ) dx a

90 |

b

F( x ) a

F(b)

F(a )

CAPÍTULO 3

INTEGRAL Nesse momento, é importante perceber que a constante C que aparece na primitiva deve desaparecer quando subtraímos F(b) de F(a).

EXEMPLO

Calcular a área da função: f ( x)

x2

Do ponto x=1 até o ponto x=2. SOLUÇÃO

O objetivo do problema consiste em encontrar a integral definida: 2

x 2 dx 1

Nosso primeiro passo será encontrar a primitiva da função:

F( x )

x3 3

C

Logo após, vamos aplicar o limite inferior e o superior na primitiva:

F(b) F(2)

23 3 13 3

F(a ) F(1)

C

C

8 3 1 3

C

C

Por fim, vamos subtrair esses valores:

F(b) F(a )

8 C 3

1 C 3

7 3

Perceba que a constante é desnecessária no cálculo, pois sempre será eliminada na subtração. A partir de agora vamos desconsiderar a constante que aparece na primitiva quando estivermos calculando uma integral definida. A integral definida é então dada por: 2

x 2 dx 1

7 3

O valor encontrado corresponde à área sob a função f (x) x 2 do ponto x=1 até o ponto x=2.

91 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL Algumas vezes a integral definida fornece um valor negativo, isso significa que a área está abaixo do eixo x. Contudo, o valor da área continua sendo positivo, já que não existe área negativa. EXEMPLO

Calcular a integral da função: f ( x ) sen( x )

Do ponto x= até o ponto x=2 . SOLUÇÃO


sen ( x ) dx

O resultado é a primitiva: F( x )

cos(x )

Note que desconsideramos a constante C por simplicidade. Logo após, vamos aplicar o limite inferior e o superior na primitiva: F(b) F(2 ) F(a )

F( )

cos(2 ) cos( )

1 ( 1) 1

Finalmente, vamos subtrair esses dois valores: F(b) F(a )

1 1

2

2

sen ( x ) dx

2

O valor negativo significa que a área está abaixo do eixo x. Nesse caso, o valor da área é igual a 2. A área cinza no gráfico abaixo corresponde à integral da função seno do ponto x= até o ponto x=2 :

92 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA A integral definida de uma função apresenta as seguintes propriedades: b

a)

b

k f ( x ) dx

k

a

f ( x ) dx a

b

b)

b

[f (x) g(x)] dx a

a

b

c)

f ( x ) dx

g(x) dx a

c

a b

d)

b

f (x) dx b

f ( x ) dx para c entre a e b.

f ( x ) dx a

c a

f ( x ) dx

f ( x ) dx

a

b

Vamos demonstrar a propriedade (d). Sabendo-se que: a

b

f (x) dx

F(a) F(b)

[F(b) F(a)]

b

f (x) dx a

Portanto: b

a

f ( x ) dx

f ( x ) dx

a

b

EXEMPLO

Calcular a integral da função: f ( x)

x2

Do ponto x=0 até o ponto x=2. SOLUÇÃO


x 2 dx 0

Conforme a propriedade (c), fazendo c=1, podemos separar essa integral em duas outras: 2

1

x 0

2

dx

2

x 0

2

x 2 dx

dx 1

93 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL Onde: 1

x

2

dx

0 2

x 2 dx 1

x3 3

1

x3 3

2

0

1

13 3

03 3

1 3

23 3

13 3

7 3

O resultado é então dado por: 2

x 2 dx 0

1 3

7 3

8 3

MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL DEFINIDA Quando mudamos a variável dentro da integral, o limite inferior e superior também devem mudar conforme a mudança de variável realizada. EXEMPLO

Calcular a integral definida: 2 x sen ( x 2 ) dx 0

SOLUÇÃO

Primeiro devemos chamar:

x2

u du

2x dx

Conforme a variável u, os limites devem mudar para: Quando x Quando x

0, u

0.

, u

.

Essa mudança de variável faz com que a integral se torne: 2x sen ( x 2 ) dx 0

94 |

sen (u ) du 0

cos(u ) 0

[ cos( )] [ cos(0)] 1 1 2

CAPÍTULO 3

INTEGRAL EXEMPLO

Calcular a integral definida: 2

( x 1) 2 dx 1

SOLUÇÃO

Primeiro devemos chamar: u

x 1

du 1 dx

Usando a expressão da variável u, os limites devem mudar para: Quando x 1 , u

0.

Quando x 2 , u

1.

A mudança de variável faz com que a integral se torne: 2

1

( x 1)

2

dx

1

u 0

2

du

u3 3

1

0

1 3

O CÁLCULO DE ÁREAS USANDO A INTEGRAL O cálculo de áreas através da integral definida pode nos levar a conclusões erradas se imaginarmos que o resultado sempre será a área total sob a função entre o limite inferior e o superior.

EXEMPLO

Calcular a integral da função abaixo no intervalo 0 x 2 : f ( x ) sen( x ) SOLUÇÃO

O problema requer o cálculo da seguinte integral definida: 2

sen ( x ) dx 0

95 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL O resultado é a primitiva: F( x )

cos(x )

Aplicando o limite inferior e o superior na primitiva: F(b) F(2 ) F(a ) F(0)

cos(2 ) cos(0)

1 1

Finalmente, vamos subtrair esses dois valores: F(b) F(a )

1 ( 1) 0

Então: 2

sen ( x ) dx

0

0

Se interpretarmos que essa é a área da função seno no intervalo de 0 a 2 então estaremos afirmando que o seu valor é igual a zero. Observando o gráfico da função, podemos constatar que a área não é realmente igual a zero:

A área entre 0 a 2 é a soma dessas duas áreas cinza.

Vamos analisar o problema aplicando a propriedade (c) da integral definida: 2

2

sen ( x ) dx 0

sen ( x ) dx

sen ( x ) dx

0

As duas integrais definidas são iguais a: 2

sen ( x ) dx

2 e

sen ( x ) dx

2

0

O resultado positivo na primeira integral significa que a área está acima do eixo x e tem valor igual a 2. O resultado negativo da segunda integral significa que a área está abaixo do eixo x e

96 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL também tem valor igual a 2. Matematicamente, o que está acontecendo nesse caso é que as áreas estão se cancelando por causa do sinal que indica se estão acima ou abaixo do eixo x. Na realidade, o sinal que aparece no resultado da integral definida deve ser desconsiderado no cálculo da área. Dessa forma, a área sob a função seno no intervalo de 0 a 2 é igual a 4. Sob uma forma mais geral, a área da função num intervalo dado pode ser calculada pela seguinte integral definida: b

A

f ( x ) dx a

O módulo da função f(x) faz com que a integral definida tenha sempre valor positivo já que as áreas sempre estarão acima do eixo x:

Função f(x)

Módulo da função f(x)

A INTEGRAL E O CÁLCULO DE VOLUMES Além de áreas, podemos calcular volumes de sólidos de revolução através da integral. Os chamados sólidos de revolução são aqueles cuja rotação de uma figura plana em torno de um eixo produz um sólido tridimensional. O exemplo mais simples de um sólido de revolução é o cilindro:

97 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL O cilindro pode ser construído a partir da rotação de um retângulo em relação a um dos seus lados. O seu volume é dado pela seguinte fórmula: r2 h

V A base h

Onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. O cálculo de volumes por integral baseia-se na aproximação do volume de um sólido de revolução qualquer pela somatória dos volumes de cilindros. Por exemplo, considere a função f ( x ) ax cujo gráfico no intervalo 0 x h é mostrado abaixo:

Ao girarmos o retângulo cinza em relação ao eixo x, o volume do cilindro formado será: r2 h

Vcilindro

[f (x)]2

x

A somatória de todos os volumes dos n cilindros entre 0 e h é dada por: n

[f ( x i )] 2

x

i 1

Tomando o limite dessa soma quando x 0 teremos o volume exato da figura correspondente à rotação do triângulo cinza em torno do eixo x:

n

V

x

98 |

[f ( x i )]2

lim 0

i 1

x

CAPÍTULO 3

INTEGRAL Conforme a figura, a revolução do triângulo em relação ao eixo x produz um cone:

O raio da base desse cone é dado por: r

f (h )

a h

Dessa relação concluímos que: a

r h

Sabemos que o volume dado pelo limite anterior representa a seguinte integral definida: h

[f ( x )] 2 dx

V 0

Fazendo f ( x ) ax , a integral se torna: h

h

(ax ) 2 dx

V

a2

0

x 2 dx 0

a2

x3 3

h

a2 0

h3 3

Substituindo o valor de a no resultado final da integral, teremos o volume do cone:

V

r h

2

h3 3

1 3

r2 h

Essa é a famosa equação para o cálculo do volume de um cone que aprendemos no curso inicial de geometria plana e espacial.

99 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL EXEMPLO

A equação de meia circunferência de raio r é dada por:

r2

f (x)

x2

O gráfico dessa função é mostrado abaixo:

Encontrar o volume do sólido de revolução dessa função em torno do eixo x.

SOLUÇÃO

Conforme o gráfico, a revolução da função f(x) em torno do eixo x produzirá uma esfera. O volume dessa figura geométrica é calculado pela seguinte integral:

r

[f ( x )] 2 dx

V r

Substituindo o valor da função na integral:

100 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL r

r2

V

x2

2

dx

r r

(r 2

V

x 2 ) dx

r

Aplicando as propriedades da integral: r

V

r

2

r

x 2 dx

1 dx r

V

V

r

2

x

r

x3 3

r r

r 2 [r

r3

V 2

r3 3

r

r3 3

( r )]

2

r

4 3

( r) 3 3

r3

Essa é a equação para o cálculo do volume de uma esfera que aprendemos no curso de geometria plana e espacial.

APLICAÇÕES DO CONCEITO DE INTEGRAL No capítulo de derivadas, encontramos as seguintes relações entre a posição s(t), a velocidade v(t) e a aceleração de um objeto se movimentando em MUV: v( t )

ds dt

a (t)

dv dt

Essas equações significam que basta conhecermos a expressão da posição do móvel em função do tempo para calcularmos a sua velocidade e aceleração através da derivada. Por outro lado, se conhecermos a expressão da aceleração do móvel em função do tempo então também podemos calcular a sua velocidade e posição através das integrais:

v( t )

a ( t ) dt

s( t )

v( t ) dt

101 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL No MUV, por exemplo, a aceleração do móvel é constante, ou seja: a (t )

a

Dessa forma, a velocidade do móvel é dada por:

v( t )

a dt a t

C

Quando t 0 s, o valor de v(0) é chamado velocidade inicial e é representado por v0: v(0) v0

v0

a 0

v0

a t

C

C

Portanto: v( t )

Sendo a velocidade instantânea dada pela expressão acima, então a posição do móvel é dada pelo seguinte cálculo:

s(t )

v(t ) dt

(v 0

a t ) dt

v0 t

a t2 2

C

Quando t 0 s, o valor de s(0) é chamado posição inicial e é representado por s0:

s(0) s 0 s0

v0 0

a 02 2

C

Dessa forma, temos que:

s( t ) s 0

102 |

v0 t

a t2 2

C

CAPÍTULO 3

INTEGRAL INTEGRAIS NO MATHEMATICA Integrais podem ser facilmente calculadas no Mathematica através dos comandos:

Integrate[função, variável de integração]: esse comando calcula a integral indefinida da função dada dentro dos colchetes em relação à variável de integração. EXEMPLO

Integrate[Sin[x],x] Integrate[a^2,a] Integrate[Exp[z]*Sin[z],z]

Integrate[função, {variável de integração, mín, máx}]: esse comando calcula a integral definida dada por: máx

f ( x ) dx , se a variável de integração for x. mín

EXEMPLO

Integrate[Sin[x],{x,-Pi,Pi}] Integrate[a^2,{a,0,1}] Integrate[Exp[z]*Sin[z],{z,0,1}] Integrate[Abs[função], {variável de integração, mín, máx}]: esse comando calcula a área total sob a função dada pela integral: máx

f ( x ) dx , se a variável de integração for x. mín

EXEMPLO

Integrate[Abs[Sin[x]],{x,0,Pi}] Integrate[Abs[a^3],{a,-1,1}]

Essa integral torna positivas as partes negativas da função f(x), evitando o cancelamento das áreas por causa do sinal.

103 |

CAPÍTULO 3

INTEGRAL Integrate[Pi*função^2, {variável de integração, mín, máx}]: esse comando calcula o volume do sólido de revolução, em torno do eixo x, dado pela integral: máx

[f ( x )] 2 dx , se a variável de integração for x. mín

EXEMPLO

Integrate[Pi*(a*x)^2,{x,0,h}] Integrate[Pi*(Sqrt[r^2-x^2])^2,{x,-r,r}]

104 |

Capítulo 4

FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL

INTRODUÇÃO Nesta aula, você irá estudar função de duas variáveis, suas propriedades e representação através de curvas de nível. Antes de iniciarmos nosso estudo é importante que você saiba que várias aplicações de funções de duas e três variáveis estão relacionadas com a computação gráfica e engenharias e dependem do uso de computadores.

UM PROBLEMA Você sabia que há muitas fórmulas familiares nas quais uma variável depende de duas ou mais variáveis. Por exemplo, a área A de um retângulo depende do comprimento da base b e da altura pela fórmula A b . h . O gráfico da função que representa a área de um papel é uma função de duas variáveis que são as dimensões ( b largura e h altura) do papel. Um exemplo está na Figura 01.

h b (a)

(b)

Figura 01 – (a) Retângulo cuja base mede b e cuja altura mede h . (b) Representação gráfica da área do retângulo em função da base e da altura. Para facilitar, você pode pensar uma função f de duas ou mais variáveis como um programa de computador que recebe duas ou mais entradas, opera sobre estas entradas e produz uma saída. Pensando desta forma você neste trabalho estudará apenas em funções cujas entradas e saídas sejam números reais.

105 |

CAPÍTULO 4

FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL ESPAÇO NUMERICO N-DIMENSIONAL Antes de iniciar o estudo de funções de duas variáveis é importante que você conheça espaço numérico n-dimensional, que é o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de número reais, e é denotado por R n . Outra coisa importante você saiba, é que cada n-uplas ordenada

( x1 , x2 , x3, ... , xn ) é denominado um ponto no espaço numérico n-dimensional.

FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL Agora, você conhece o espaço n-dimensional, então vamos definir neste espaço uma função de mais de uma variável, para isto, sabia que uma função f de n variáveis, é um conjunto de pares ordenados da forma ( P , w) no qual dois pares ordenados diferentes não têm o mesmo primeiro elemento em comum. Observe que ( P , w) é um par ordenado! Saiba então, que neste par ordenado P [

P ( x1, x2 ,..., xn ) ] é um ponto no espaço numérico n-dimensional e w é chamado a imagem da função. Outra coisa importante que você deve saber, é que o conjunto de todos os valores possíveis de P é chamado de domínio da função e o conjunto de todos os valores possíveis de w é chamado de imagem da função. Logo o valor específico de w , no ponto P , é representado pelo símbolo f (P) ou f ( x1 , x2 ,..., xn ) . Observe que em particular se n 1 e se P (x) , logo f é uma função de uma variável que você já conhece em que f ( P) f ( x) . Da mesma forma, se n 2 e se P ( x, y ) , denotamos de função de duas variáveis representado por f (P) ou f ( x, y ) . Observe que se n 3 e P ( x, y, z ) temos a função de três variáveis dada por f (P) ou f ( x, y, z ) . De forma geral a função f de n variáveis pode ser definida pela equação

w

f ( x1 , x2 ,..., xn ) , em que x1 , x 2 ,..., x n são chamadas de variáveis independentes, e w é

chamado a variável dependente.

FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Como já vimos a função de duas variável é um caso particular de função de n-variáveis, Vamos aprofundar nossos conhecimentos entendendo melhor a definição de função de duas variáveis, para isto, seja D um conjunto de pares ordenados de números reais. Se a cada par ( x, y ) em D corresponde um único número real f ( x, y ) , dizemos que f é uma função de x e y . O conjunto D é o domínio de f e a coleção dos valores f ( x, y ) é a imagem de f . Observe que no caso de z f ( x, y ) , x e y são chamados de variáveis independente, enquanto z é a variável dependente (Exemplo Figura 02).

106 |

CAPÍTULO 4


2

2

Figura 02 – Gráfico da função f ( x, y) x y . Neste exemplo, o domínio da função é todo o plano xy . Você observou quanto a computação gráfica facilita a visualização de superfícies.

PROPRIEDADES Observe que podemos combinar funções de duas variáveis da mesma forma que funções de uma só variável (i) ( f

g )( x, y )

(ii) ( fg )( x, y )

f g

(iii) ( )( x, y)

f ( x, y )

g ( x, y )

f ( x, y ) g ( x, y )

f ( x, y) , onde g ( x, y ) g ( x, y)

0

(iv) A função composta está definida apenas no caso em que h é uma função de duas variáveis e g depende apenas de uma variável. ( g  h)( x, y ) g (h( x, y )) , para todo ( x, y ) no domínio de h , tal que h( x, y ) pertence ao domínio de g .

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Como vimos a função de duas variáveis tem propriedades semelhantes as da função de uma variável, estudaremos agora, o gráfico de uma função de duas variáveis que é o conjunto de todos os pontos ( x, y, z ) tais que z f ( x, y ) com ( x, y ) no domínio de f . Sabia que o gráfico pode ser interpretado como uma superfície no espaço, e que cada ( x, y ) em D corresponde um ponto ( x, y, z ) na superfície.

107 |

CAPÍTULO 4


4 3.8

z

3.6 3.4 3.2 3 2.8 2 1 0 -1 -2

y

Figura 03 – Gráfico da função z plano xy .

-1.5

-2

-0.5

-1

0.5

0

1.5

1

2

x

16 x 2

y 2 . Neste exemplo, o domínio da função é todo o

CURVAS DE NÍVEL Estamos todos familiarizados com os mapas topográficos (ou de contornos) nos quais as paisagens tridimensionais, tal como as extensões de uma montanha, são representadas por linhas de contorno bidimensional ou curvo de elevação constante. A forma mais comum de visualizar funções de duas variáveis é através de curvas de nível, ao longo das quais f ( x, y ) é constante. Como ilustra a Figura 04 as curvas de nível são obtida através da interseção de um plano paralelo ao plano x y com a superfície f ( x, y ) e são projetadas sobre o plano x y .

4 3.5 3

z

2.5

Superfície

2 1.5

z

x2

y2

1 0.5

Plano z

0 2 1 0 -1 -2 y

-2

-1.5

-1

-0.5 x

0

0.5

1

1.5

2

Curva de nível

z 1.5 108 |

1.5

CAPÍTULO 4

FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL x2

Figura 04 – Gráfico da função z de nível.

y 2 juntamente com o plano z 1.5 e sua respectiva curva

Para que você compreenda melhor a geração do mapa de curvas de nível. ilustramos na Figura 05 a representação geométrica de uma função de duas variáveis por curvas de nível no plano x y . Estas curvas são obtidas pela projeção das interseções da superfície z f ( x, y ) com o plano z k

4

z

3

2

1

0 2 1 0 -1 -2

y

(a)

-2

-1

-1.5

0

-0.5

0.5

2

1.5

1

x

3.5 3

z

2.5 2 1.5 1 0.5 2 1 0 -1

(b)

y

-2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

109 |

CAPÍTULO 4


4

z

3

2

1

0 2 1 0 -1 -2

y

(c)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

3.5

100 90

3 80 70

2.5

y

60 2

50 40

1.5 30 20

1

10 20

(d)

110 |

40

60 x

80

100

0.5

2

CAPÍTULO 4

FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL 3.5

100 90

3

80 2.5

70

y

60

2

50 1.5 40 30

1

20 0.5 10 20

40

(e)

60

80

x2

y 2 . (b) Curvas de nível obtidas com a interseção com o

plano paralelo ao plano x y . (c) Gráfico da função z

x2

projetadas no plano x y . (d) Mapa de contorno da função z

x2

0

x

Figura 05 – (a) Gráfico da função z

função z

100

y 2 juntamente com as curvas

x2

y 2 . (e) Mapa de contorno da

y2 .

Para um melhor aprofundamento dos conhecimentos adquiridos resolva os exercícios a seguir fazendo os gráficos com auxilio de um software gratuito. .

ATIVIDADE 1) Seja f ( x, y)

x 2 y 1, determine

a) f ( 2 ,1) b) f (0 , 0) c) f (1, 3) 2) Seja

f ( x, y) x 3 xy , determine 2

a) f (t , t ) 2

b) f (2 y , 4 y)

111 |

CAPÍTULO 4

FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL 3) Calcule a função dada para cada ponto indicado a) f ( x, y )

x y

b) f ( x, y)

xe y em (5 , 0)

em (30 , 5)

4) Descreva a região R no plano x y que corresponde ao domínio da função. a) f ( x, y)

16 x 2

y2

b) f ( x, y)

ln(1 x 2

y2 )

c) f ( x, y )

d) f ( x, y)

112 |

1 x y2

ex / y

Capítulo 5

DERIVADAS PARCIAIS OBJETIVO: Reconhecer e calcular derivadas parciais; Interpretar geometricamente as derivadas parciais; Calcular a diferencial total de funções de duas e três variáveis;

INTRODUÇÃO Nesta unidade veremos que a derivada parcial é uma eficiente ferramenta para avaliação de função de duas e três variáveis. É importante lembrar que, embora muitas das idéias básicas que desenvolvemos para funções de uma variável persistirão de uma maneira natural, as funções de várias variáveis são intrisicamente mais complicadas do que as funções de uma variável, logo precisaremos desenvolver novas ferramentas e novas idéias para tratar essas funções..

DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Saiba que nas aplicações das funções de duas variáveis, as vezes é necessário determinar como uma função se comporta diante da variação de uma de suas variáveis independentes, e que o comportamento em questão pode ser estudado considerando-se uma variável de cada vez. Você deve conhecer o conceito de derivada parcial, para isto, seja z f ( x, y ) , então, as derivadas parciais de primeira ordem da função f ( x, y ) em relação a x e y são as funções f x e

f y , definidas pelas equações abaixo f (x x, y) f x ( x, y) lim x 0 x

f ( x, y)

y) y 0 y se os limites existirem. As derivadas parciais de primeira ordem são denotados por z z e f ( x, y) f x ( x, y) f ( x, y) f y ( x, y) x x y y As derivadas parciais calculadas no ponto (a, b) são representadas por

e

f y ( x, y)

lim

f ( x, y

f ( x, y)

z z e f x ( a, b) f y ( a, b) x ( a, b) y ( a, b) No exemplo seguinte você perceberá com se utiliza a definição para calcular a derivada parcial de uma função de duas variáveis. Exemplo (1) Dada f ( x, y) 3x 2 2xy y 2 encontre Dx f ( x, y ) e Dy f ( x, y) . Dx f ( x, y) 6x 2 y

e Dy f ( x, y)

2x 2 y

Você observou que o resultado da derivada parcial também é uma função. Veremos a seguir o calculo de uma derivada parcial no ponto.

113 |

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS DERIVADA PARCIAL NO PONTO ( x0 , y0 ) Você já conhece a definição de derivada parcial, agora veremos como avaliá-la no ponto. Para isto, tomemos ( x0 , y0 ) que é um ponto particular no domínio de f , então:

Dx f ( x0 , y 0 ) D y f ( x0 , y0 )

f ( x0

x, y 0 ) f ( x0 , y 0 ) x f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) lim y y 0

lim x

0

se os limites existirem. Elas também podem ser escritas por D x f ( x0 , y 0 )

lim

x

x0

f ( x, y ) x

f ( x0 , y) x0

e

D y f ( x0 , y 0 )

lim

y

y0

f ( x, y) y

f ( x, y 0 ) y0

se os limites existirem. Esta definição pode ser claramente vista no exemplo a seguir. EXEMPLO

1) Dada f ( x, y) 3x 2 2 xy y 2 encontre Dx f (3, 2) e Dy f (3, 2) . SOLUÇÃO

Dx f ( x, y) 6x 2 y Dy f ( x, y) 2x 2 y

Dx f (3, 2) 6*3 2 * 2 18 4 14 Dy f (3, 2)

2 *3 2 * 2

6 4

2

Você percebeu no exemplo que a definição apresentada anteriormente, é uma avaliação numérica da derivada no ponto.

DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO DE TRÊS VARIÁVEIS Devemos compreender que o conceito de derivadas parcial pode ser estendido naturalmente à funções de três ou mais variáveis. Se w f ( x, y, z ) , tem-se três derivadas parciais a considerar, cada uma delas é obtida mantendo constante duas das variáveis. Isto é, para definir a derivada parcial de w em relação a x , mantém-se y e z constante e escreve-se a expressão abaixo

w x

f x ( x, y, z )

f (x

lim x

0

x, y, z ) x

f ( x, y, z )

Logo, para definir a derivada parcial de w em relação a y , mantém-se x e z constantes

w y

f y ( x, y, z )

lim y

0

f ( x, y

y, z ) y

f ( x, y, z )

114 |

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS Da mesma forma para definir a derivada parcial de w em relação a z , mantém-se x e y constante

w z

f z ( x, y, z)

lim z

f ( x, y, z

z) z

0

f ( x, y, z )

Para melhor explicitar a afirmação supracitada, segue o exemplo abaixo. EXEMPLO

f f f , e . x y z

xy yz 2 xz , calcule

a) Dada f ( x, y, z)

f x

y z

f y

x z2

f z

2 yz x

Para alicerçar os conceitos apresentados neste tópico é de suma importância que você faça os exercícios a seguir.

EXERCÍCIO 1) Calcule as derivadas parciais com relação a x e a y a) f ( x, y )

2x 3y

x2 xy x d) f ( x, y ) y b) f ( x, y) c) f ( x, y )

5

3y 2

7

f f f , e . x y z xy a) f ( x, y, z ) x y z

2) Determine

b) f ( x, y, z)

x 2 y 3xy 2

c) f ( x, y, z) d) f ( x, y, z )

x2 4y2 xyz

2 yz 9z 2

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Saiba que a interpretação geométrica de derivadas parciais de uma função de duas variáveis é análogas aquelas de funções de uma variável. Logo, o gráfico de uma função f de duas variáveis é uma superfície tendo por equação z

f ( x, y ) . Se y é considerado constante, então z

é a equação do traço desta superfície no plano y

f ( x, y 0 )

y 0 . Então, D x f ( x 0 , y 0 ) é a declividade da reta

115 |

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS tangente à curva pelas equações y

y

y0 e z

f ( x, y ) no ponto P0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) no plano

y 0 . De modo análogo D x f ( x 0 , y 0 ) é a declividade da reta tangente à curva pelas equações

tendo equações x

x0 e z

f ( x, y ) no ponto P0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) no plano x

x0 .

Figura 17 – Ilustração gráfica da interpretação geométrica da derivada parcial. (Stewart, 2003 página 899)

DERIVADAS DE ORDEM MAIS ALTAS Você observou que, as derivadas parciais

f x

e

f são funções de x e y , logo essas y

funções podem elas mesmas ter derivadas parciais. Isto origina quatro possíveis derivadas parciais de segunda ordem de f que são denotadas de acordo com a seqüência em que as derivadas são calculadas. 1)

Para a derivada segunda em relação ao x x

2)

f x

2

f

f xx

x2

Da mesma forma a derivada segunda em relação ao y y

3)

2

f

y

2

f yy

E a derivada segunda primeiro em relação a x e, depois, em relação a y y

4)

f y

f x

2

f y x

f xy

E a derivada segunda primeiro em relação a y e, depois, em relação a x x

f y

2

f x y

f yx

Assim as derivadas de ordem mais altas são derivadas parciais de derivadas parciais, que serão melhor explicitadas no exemplo a seguir. EXEMPLO

Determine f xy , f xx e f yx onde f ( x, y, z )

116 |

yx2 4 xy 2 9 xyz2

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS f x

f y

2 yx 4 y 2 9 yz 2

2

f x y

2

f y x

2x 8 y 9z 2

f xy

x 2 8 xy 9 xz 2 2

f x x

2x 8 y 9z 2

f xy

f xx

2y

3.7 TEOREMA Observe bem o exemplo acima, ele representa bem o seguinte teorema. Seja f ( x, y ) uma função tal que f , f x , f y , f xy e f yx são contínuas em uma região aberta R . Então 2

2

f xy

f yx

para todo ( x, y ) em R . Para um melhor aprofundamento dos conhecimentos adquiridos resolva os exercícios a seguir.

EXERCÍCIO 2

2

2 z z 1) Encontre as derivadas parciais de segunda ordem , , e 2 2 y x x y y x

a) z

x2

c) z

2ex y

e) z

2

x

2xy 3 y 2 2

3y

2

z

2

z

b) z

x4

3x 2 y 2

d) z

2x 3y 5

f) f ( x, y, z )

7

y4

xyz

DIFERENCIAL TOTAL Nossa tarefa agora, é compreender a diferencial total de f (x) , para isto, definimos de diferencial de y f (x ) como sendo dy f ' ( x) dx . Para funções de duas variáveis z f ( x, y ) usaremos terminologia semelhante. Chamaremos de x e y de incrementos de x e y e o incremento em z é dado por

z

f (x

x, y

y)

Observe q ue se z f ( x, y ) e x e diferenciais das variáveis independentes x e y são:

dx

x

e

dy

f ( x, y )

y são incrementos de x e y então, as

y

e a diferencial total da variável independente z é

117 |

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS dz

z dx x

z dy y

f x ( x, y) dx

f y ( x, y) dy

Saiba que a definição acima pode ser estendida para funções de três ou mais variáveis. Por exemplo, y e dz x , dy z são as diferenciais das variáveis se w f ( x, y, z ) , então dx independentes x e y e a diferencial total de w é

w dx x

dw

w dy y

w dz z

f x ( x, y, z ) dx

f y ( x, y, z ) dy

f z ( x, y, z ) dz

Para melhor entendimento, analise os exemplos seguintes. Primeiramente calcularemos a diferencial total de uma função de duas variáveis. EXEMPLO

x e y 5x 3 y .

(1) Calcule a diferencial total dz para z SOLUÇÃO

dz como

f x ( x, y) dx

f y ( x, y) dy

f x ( x, y) e y 15 x 2 y

f y ( x, y) xe y 5x 3 então

e

dz (e y 15 x 2 y) dx ( xe y 5x3 ) dy No exemplo 2 você observará o calculo da diferencial total de uma função de duas variáveis. (2) Calcule a diferencial total dw para w x 2 y 2 z 2 . SOLUÇÃO

dw

f x ( x, y, z) dx

f y ( x, y, z) dy

f z ( x, y, z) dz

Como

f x ( x, y , z ) 2 x ,

f y ( x, y, z) 2 y

e

f z ( x, y, z ) 2 z então dw 2 x dx 2 y dy 2 z dz

Este exercício facilitará o entendimento do próximo tópico.

DIFERENCIABILIDADE Lembre-se que uma função de uma variável f é chamada de diferenciável em x0 se houver uma derivada em x0 isto é, se o limite f ' ( x0 )

f ( x0

lim x

0

x) x

f ( x0 ) existir. A função

diferenciável f em um ponto x0 possui duas propriedades importantes: f (x) é contínua em x0 e o gráfico de y

118 |

f (x) tem uma reta tangente não vertical em x0 .

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS Seguindo o mesmo princípio para função de duas variáveis temos que se z diferenciável em ( x0 , y 0 ) se z puder ser expresso na forma: z f x ( x0 , y 0 ) x f y ( x0 , y 0 ) y 1 x

2

f ( x, y ) é

y

(0,0) . onde 1 e 2 tendem a zero quando ( x, y ) No exemplo seguinte, você encontrará a diferencial de uma função em todos os pontos do plano. EXEMPLO

(1) Mostre que a função f ( x, y)

x, y

y)

x 2 3 y é diferenciável em todos os pontos no plano.

z

f (x

f ( x, y )

z

( x 2 2x x

x 2 ) 3( y

z z

2 x ( x) 3 y f x ( x, y) ( x)

x ( x) 0 y f y ( x, y) y 1 x

y) ( x 2 3 y) 2

y

Assim a diferenciabilidade é um conceito importante para verificar se a função tem derivadas nos pontos.

Os teoremas a seguir utilizam o conceito de diferenciabilidade para a verificação da derivada parcial no ponto.

TEOREMA 1 Devemos saber que se f tiver derivadas parciais de primeira ordem em cada ponto de alguma região circular em ( x0 , y 0 ) e se estas derivadas parciais forem contínuas em ( x0 , y 0 ) então f é diferenciável em ( x0 , y 0 ) .

TEOREMA 2 Devemos saber também que se f é diferenciável em ( x0 , y 0 ) , então f é contínua em ( x0 , y 0 ) .

3.13 REGRA DA CADEIA Lembremos que a regra da cadeia para uma função de uma variável nos dá uma regra para diferenciar uma função composta. Se y f (x) e x g (t ) , onde f e g são funções diferenciais, então y é diretamente uma função diferenciável de t e

dy dt

dy dx . d x dt

119 |

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS Para funções de mais de uma variável, a Regra da Cadeia tem muitas versões, cada uma delas fornecendo regra de diferenciação de uma função composta. Para isto leia atentamente os casos a seguir: 1º Caso: Regra da Cadeia para uma Variável Independente Seja w f ( x, y ) , em que f é uma função diferenciável de x e y . Se x g (t ) e y h(t ) , em que g e h são funções diferenciáveis em t e

dw dt

dw dx d x dt

dw d y d y dt

O exemplo seguinte explicita muito bem a situação do 1º caso. EXEMPLO

(1) Seja w

x2 y

y 2 , onde x sen t e y

e t . Encontre

dw quando t dt

0.

A solução do exemplo acima pode ser dada da seguinte forma: SOLUÇÃO

dw dt dw dt

dw dx d x dt (2 xy) cos t

quando t

dw dt

dw d y d y dt (x 2

2 y) e t

0 temos que x 0 e y 1 , então

0 2

2

No segundo caso, você encontrará a seguinte regra: 2º Caso: Regra da Cadeia para Duas Variáveis Independentes Seja w f ( x, y ) , onde f é uma função diferenciável de x e y . Se x são tais que as derivadas parciais de primeira ordem

w s

w x

x s

w y

y s

e

w t

w x

x t

w y

g ( s, t ) e y

y t

Para melhor entendimento do 2º caso, sugerimos o seguinte exemplo e sua solução. EXEMPLO

(1) Determine

120 |

w e s

w para w t

2 xy , onde x

s2

t2 e y

s

t.

h( s, t )

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS

SOLUÇÃO

w s

w x

x s

w y

y s

2 y * 2s

2 x *1 4sy

2x

w t

w x

x t

w y

y t

2 y * 2t

2 x * 1 4 yt

2x

3º Caso: Regra da Cadeia para Diferenciação Implícita Se a equação f ( x, y ) 0 define y implicitamente como uma função diferenciável de x , então

F x ( x, y ) , F y ( x, y )

dy dx Se a equação F ( x, y, z ) y , então

0 define z implicitamente como uma função diferenciável de x e

Fx ( x, y, z ) Fz ( x, y, z )

y x

Fy ( x, y) 0

F y ( x, y , z )

y x

e

Fz ( x, y, z )

,

F z ( x, y , z ) 0

EXEMPLO

dy 3 dado que y dx

(1) Encontre

y2

x2

5y

4 0

SOLUÇÃO

Definindo F ( x, y)

F x ( x, y ) dy dx

2x

y3 e

( 2 x) (3 y 2

2 y 5)

y2

5y

x2

F y ( x, y) 3 y 2 dy dx

4 2y

5 2x

3y 2

2y 5

EXERCÍCIO 1) Encontre

dw usando a regra da cadeia apropriada dt

121 |

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS a) w

x2

y2 ,

x

b) w

x2

y2 ,

x sen t

2) Encontre

w e s

et

y e t

e

y

e

cos t

w usando a regra da cadeia apropriada t

a) w

x2

y2 ,

x

s t

b) w

x2 5 y ,

x

s2 t 2 e

e

y

s t

y s2 t 2

a) w

dw usando a regra da cadeia apropriada dt xy , x 2 sent e y cos t

b) w

xy xz yz ,

3) Encontre

122 |

x t 1,

y t2 1 e z t

Capítulo 6

INTEGRAIS MÚLTIPLAS 1. INTEGRAL DEFINIDA 1.1 - Integral de Riemann A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos. A integral de Riemann (ou definida) de uma função f(x) num intervalo [a, b], é equivalente à soma de todos os elementos de área sob a curva f(x), ou seja:

[cn , f (cn )] [ck , f (ck )]

Y

.............................

......................

cn

ck X

Ak

xk

xk

xn

1

xn 1

Soma das áreas parciais k sob a curva que fornece a área total sob a curva. onde: c k coordenada entre x k

f(ck) ordenada de c k xk

xk

xk

1

1

e xk

(altura do retângulo) (base do retângulo)

A área do k ésimo retângulo é dada por A k

f (c k )

x x Somando todas as áreas dos

retângulos sob a curva f(x), tem-se uma aproximação (devido às quinas dos retângulos) da área sob a curva. Quanto menor for

x k , melhor é a aproximação.

Assim: n

f (c k ) x k = área sob a curva f(x) = A

lim

|| x k || 0

.

123 |

k 1

CAPÍTULO 6

INTEGRAIS MÚLTIPLAS Definição: Integral definida de Riemann: Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a,b], então se o limite n

lim

|| x k || 0

f (c k ) x k k 1

existe, a função f(x) é integrável em [a, b] no sentido de Riemann, e é definida por b

n

lim

|| x k || 0

f ( x )dx ,

f (c k ) x k k 1

a

onde a integral definida de f(x), no intervalo [a, b], dará uma nova função g(x) calculada no intervalo [a,b], o que é escrito na forma g(x)

b a

, ou seja, g(x)

b a

g(b) g(a) , assim:

b

f ( x )dx

g ( b ) g (a )

a

Exercício: Determinar a área delimitada pela parábola x 2

x2

4 y 16 4

A

4 4

A

0

y

x2 dx 4

4x

32

32 3

x2

16 4 x3 12

16 4

x2 4

4

x2 4

Y

16

64 12

16

64 12

1

4

96 32 3

4 y 16 0 e o eixo X .

4

0

64 3

y f (x)

1

X

Observação: Seja f(x) uma função integrável em [a, b] no sentido de Riemann, então a integral definida de Riemann é numericamente igual à área "com sinal" sob o gráfico de f(x), entre x = a e x = b.

x=a

A1

y

x=b

f(x) x A2 (A1 e A2) é a soma algébrica de todas as áreas (positivas e negativas)

124 |

CAPÍTULO 6

INTEGRAIS MÚLTIPLAS Assim, a integral definida corresponde à soma algébrica das áreas, onde aquelas acima do eixo das abcissas são positivas e aquelas abaixo dos eixo das abcissas serão precedidas de sinal negativo, ou b

seja,

f ( x )dx

A1

A2 .

a

EXEMPLO

1 3 x entre [-1, 2]. 3

Exemplo: Resolver a Integral definida da função f (x)

f (x)

Y

X

1

0

1 3

2 1

x 3dx

1 x4 3 4

2 1

1 24 3 4

2

1

( 1) 4 4

1 16 3 4

1 4

1 15 3 4

5 4

Definições: a) Se f(x) é uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então f(x) é Riemann - integrável em [a, b]. b) Se f(x) é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo fechado [a, b], então f(x) é Riemann – integrável em [a, b]. c) Se f(x) é uma função qualquer e a é um valor pertencente ao domínio D de f(x), define-se: a

f (x)dx

0

a

d)

Se a

b e f(x) é Riemann - integrável em [a, b], então define-se: b a

f ( x )dx a

f ( x )dx b

125 |

CAPÍTULO 6

INTEGRAIS MÚLTIPLAS 2 - INTEGRAIS MÚLTIPLAS 2.1 - Integrais Duplas Supondo-se que a função de duas ou mais variáveis independentes seja uma função de duas variáveis, diz-se que " z " é uma função de x , y , e escreve-se z f ( x, y) , quando a correspondência entre " z " e o conjunto é tal que para cada grupo ( x i , y i ) o valor de " z i " fique univocamente definido.

Z

z

f ( x, y )

( x0 , y0 , z0 )

z0

Y

x0

Z

D

y0 X

D

Representação gráfica de uma função z

1a Observação: Uma função " z " pode ser explícita, isto é, z ou

z

2

2

z

x

x2

y

2

f ( x, y )

f ( x, y ) ; Exemplo: z

y 2 ; ou a função " z " pode ser implícita, isto é,

f ( x, y )

x2

y2

0 . Exemplo:

0 , onde a função implicitamente inclui as duas funções anteriores.

2a Observação: Se os valores " z i " da função puderem ser obtidos por certo número de operações , praticadas sobre as variáveis (xi , yi ) , então z i Exemplo: z analítica.

x

2

f (x i , y i ) será a representação analítica da função.

2 2 y , assim " z " é função do conjunto (x, y) e f(x, y) = x +y é sua representação 2

Definição de domínio para duas variáveis independentes – Seja o domínio " D " um subconjunto do 2

espaço bidimensional real de " R " e f ( x , y) uma lei que associa a cada ponto " Pi " um e somente um valor real

" z i " , onde Pi ( x i , y i ) D i

e z f ( x , y)

R onde o conjunto de todos os valores que

" z " possa assumir representa a imagem " I " e f ( x , y) é expressão analítica de calculo da imagem, da função " z " , como mostra a Figura 3.

126 |

CAPÍTULO 6

INTEGRAIS MÚLTIPLAS Z

S

I D

Y Z

D X Representação gráfica do domínio superfície

" DD " , da imagem " I " e da

"S " de uma função

z

f ( x, y )

f (x, y) dxdy comporta uma interpretação geométrica

A definição de integral dupla

análoga à definição de integral definida simples, associando-a ao problema de cálculo de volume (ou cubatura) da mesma forma que a integral definida é associada ao cálculo de área. Assim, definição formal da integral dupla envolve a soma de muitas áreas elementares, isto é, diferenciais de área dA , ou seja, dxdy , com a finalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim, pode usar-se a integral para resolver problemas concernentes a volumes e a áreas.

Z

s z

x0 y

x

z

f (x, y)

z1

z0

y1

Y

D x

X

y

y0

x1

D {(x, y)

2

/ (x0

x

x1 )  (y0

x

y1 )}

Representação gráfica de uma função s

f ( x, y )

127 |

CAPÍTULO 6

INTEGRAIS MÚLTIPLAS Ao tentar resolver-se “o problema do volume” , sabe-se que se trata área da base vezes a altura é tal que para cada área elementar dA i dx i dy i o valor de " z i " fica univocamente definido. Assim, a integral será o volume obtido pela soma de uma infinidade de volumes V das colunas infinitesimais inscritas em forma de paralelepípedos, com mostram as Figuras 2 e 3. dA

Z

dxdy

Y Z

X Representação gráfica de uma função s f ( x, y )

Z dA

dxdy

Y Z

X Decomposição em paralelepípedos de uma função s

128 |

f ( x, y )

CAPÍTULO 6

INTEGRAIS MÚLTIPLAS Se f(x, y) < 0 os volumes V são negativos e obtém-se definição precisa de Integral Dupla pode ser colocada na forma:

V como integral. Assim, uma

Supondo que o domínio D de uma função pode ser colocada no interior de um retângulo definido pela base a x b e pela altura c y d no plano XY , e a base a x b for dividido em b a d c , a altura c y d também for dividido em m intervalos, isto é, . n intervalos, isto é, m n Então, esta decomposição do retângulo a x b , c y d em n m sub-retângulos é denominado de partição regular, e cada sub-retângulo é uma célula desta partição, onde cada uma possui uma n

área

xi

yj

m

A ij , donde, D

A ij . Note-se que quanto maiores forem n e m menor i 1 j 1

será cada. Assim, para cada ponto toma-se o valor médio das coordenadas, isto é,

xi y j , 2 2

(x i* , y j* ) e obter-se-á uma área infinitesimal

A e

V f (xi , y j )

total aproximado será dado pela soma de todos os V , isto é, V

m

A . O volume

f (x i , y j ). A .

Desta forma a soma de Riemann corresponde à partição estendida, quando n A 0 é o volume V total dado pela soma,

V

f (x i , y j ) dA D

im

i, j

n

e

m

f (x i , y j ) A , i 1 j 1

denominada integral dupla de f(x, j) sobre o domínio D, onde

f (x i , y j ) dA

d

b

c

a

f (x i , y j ) dx i dy j .

D

EXEMPLO

Se D {(x, y)

f (x)

2

/ 1 x 1, 2 y 2} calcular o volume correspondente à função

1 x 2 por integral dupla.

SOLUÇÃO

Se z

1 x 2 , então x 2

z2

1 e z

1 x 2 dA

0 , logo a integral dupla D 2

2

z 1 e acima do representará o volume do sólido S que está abaixo do cilindro circular x retângulo definido por D . O volume de S é a área de um semicírculo com raio uma vez o comprimento do cilindro, ou seja,

1 x 2 dA

V D

1 (1)2 4 2 u.v. 2

129 |

CAPÍTULO 6

INTEGRAIS MÚLTIPLAS pois, 1

1 x2 dA

V

2

1

1

1 x2 dydx

2

1

y

2

1 x2 dx 4

2

1 1

1 x2 dx

D

V 4

1 1

1 x 2 dx

0

4

V 4 sen 2 (u) du 4 0

1 cos 2 (u) sen(u) du

u sen(u)cos(u) 2 2

4 ( 2

0

4

sen 2 (u) sen(u) du

0

0) 2 u.v.

EXEMPLO 2

Calcular as integrais I 1

1

3 0

3

x 2 ydydx e I 2

2

0 1

x 2 ydxdy

SOLUÇÃO 3

2

a) I1

1

I1

3 0

2

2

x ydydx

2

9 x3 2 3

1

1

9 23 2 3

y2 x dx 2 0 13 3

b) I 2

2

0 1

I2

7 3

3 0

3

2

x ydxdy

ydy

0

x3 ydy 3 1 3

7 y2 3 2

2 1

9 (8 1) 6 2

3

1 2

2

7 32 3 2

0

1 3

3 (7) 2

3 0

9 2

x 2 (32 02 ) dx

1 3

7 9 3 2

3 0

b

d

a

c

f (x , y)dy dx

x 2dx

(8 1) ydy

7 3

3 0

ydy

21 . 2

Assim, se f (x, y) for contínua no domínio D {(x, y)

f x , y dA

1

21 2

(23 13 ) ydy

02 2

2

d

b

c

a

2

/ a x b, c y d} , então

f (x , y)dx dy .

D

Esse resultado (Teorema de Fubini) é válido ao supor-se que a função f(x, y) seja limitado em D , podendo ser descontínua num número finito de curvas lisas, e se a integral iterada existir. EXEMPLO

Se

D {(x, y)

2

(x 3y 2 ) dA e

/ 0 x 2,1 y 2} calcular a integral dupla I D

demonstre o teorema de Fubini para esta integral dupla.

130 |

CAPÍTULO 6

INTEGRAIS MÚLTIPLAS SOLUÇÃO 2

a) I

2

0

2

I

0

1

2

2

(x 3y ) dydx

0

2

[2(x 4) (x 1)]dx

(x 3y 2 ) dA

2

3y3 xy 3

0

2

dx

0

(x(2) (2) 3 ) (x(1) (1) 3 ) dx

1 2

x2 2

(x 7) dx

7x 0

22 2

7(2)

0

(2 14)

12

12

D

2

b) I

2

1

0

2

I

1

2

2

(x 3y ) dxdy

2

3y x

[(2 2y )] dy

dx

2 1

0

2

2

(x 3y 2 ) dA

1

2

x2 2

2

2 (1 3y ) dx 1

3y3 2 y 3

22 2

3y 2 (2)

0 dy

2

2[(2 23 ) 0] 2(2 8)

12

1

12 .

D

EXEMPLO

12xy 2 z3dV , onde Q é a caixa retangular limitada por: -1 x 2, 0 y 3, 0 z 2.

Calcule Q

SOLUÇÃO

D = {(x,y) | -1

x 2, 0 y

3}

2

12xy 2 z 3dV= Q

12xy 2 z 3dz dA D

3xy 2 z 4

=

2 0

0

48xy 2 dA

dA=

D

D 2 3

2 2

=48

xy dydx=48 -1 0 2

=16 27xdx=432 -1

x -1

x2 2

y3 3

3

dx 0

2

-1

=216 4-1 =648

131 |

CAPÍTULO 6

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

133 |

CALCULO I

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