CALCULO I

Ciencias y Tecnología de la Información Cálculo I 1 _________________________ _______________________________________ __________________________ __________________________ ___________________________ __________________________ _______________ __

INDICE P!"I#IC!CI$" P!"I#IC!CI$" %E $S E"C&E"T'$S .............................................. .....................................( P'$)'!M! !"!ITIC$.............................................................................................. ................* $'IE"T!CI$"ES $'IE"T!CI$"ES MET$%$+)IC!S MET$%$+)IC!S ........................................................ ................................., -. In/roducc In/roducción ión ................................................................................................................8 -.-.- $b0e $b0e/i/i1o 1oss ..............................................................................................................9 (. "2cleos Temá/icos ....................................................................................................... 9 (.- %esarroll %esarrolloo ..............................................................................................................9 (.(. 3ibliografía Comen / ada........................................................................................13 ........................................................................................13 (.*.  Ma/erial Ma/erial e4plica/ e4plica/i1o i1o ............................................................................................13 (.5. M6/odos a u/ili7ar. u/ili7ar. ...............................................................................................14 *. *. Conclus i ones ....................................................................................................... . 14 5. )los )losar ario io de de /6rm /6rmin inos os /6c /6cni nico cos. s. ................................................................................14 TE8T$ )&9!...............................................................................................................................-5 &"I%!% " -: #unciones ............................................................................................15 Compe/encias ...........................................................................................................15 Conocimien / os pre1ios...............................................................................................15 %efinición de una función ................................................ ............................................. 15 #unción inea l............................................ ........................................................ ................................................................ ........ 17 #unción Cuadrá/ica ..................................................................................................... 19 #unción E4ponencial ................................................................................................... 21 %ominio de Imagen de una función .................................................... ............................................................................... ........................... 24 M6/odos para Calcular el %ominio y el %ominio de Imagen de las funciones .............. .................... ......24 24 'es/ricciones para el cálculo del dominio de una función ................................................ 24 !lgebra de funciones ................................................................................................... 25 #unción In1ersa .......................................... ........................................................ ................................................................ ........ 29 Composición de funciones ....................................................... ........................................................................................... .................................... 31 &"I%!% "; (: (: imi/es .................................................. ............................................. 38 Compe/encias ............................................ ........................................................ ................................................................ ........ 38 Conocimien / os pre1ios................................................... ............................................. 38 %efinición de lími/e ...................................................................................................... 38 In/erpre/ación geom6/rica geom6/rica del ími/e .................................................. ........................... 38 "o/ación de ími/e ...................................................................................................... 39 ími/es la / erales.......................................... .......................................... ........................................................ ................................................................ ........ 43 !claraciones !claraciones impor/an/es ................................................ ............................................. 45 ími/es especiales ...................................................................................................... 46 !sín/o/as ........................................... ........................................................ ......................................................................... ................. 58 Con/inu i dad en un pun/o................................................. ............................................. 63 P'
Elaborado por: Ing. MSc. Miguel E. Cuellar M.


"o/ación de %eri1ada ..................................................... .................................................................................................. ............................................. 71 %eri1ación por Tablas ..................................................... .................................................................................................. ............................................. 73 %eri1ada de un Produc/o ................................................ ............................................. 76 %eri1ada de un Cocien/e ................................................ ............................................. 77 'egla de la Cadena .................................................................................................... 78 %eri1adas E4ponenciales ............................................... ............................................. 79 %eri1adas Trigonom6/ricas ...................................................... .......................................................................................... .................................... 81 %eri1ación Implíci/a ..................................................................................................... 86 !nálisis de #unciones ..................................................... .................................................................................................. ............................................. 90 P'!CTIC$ "; * ......................................................... ¡Error! Marcador no definido. &nidad " 5: In/egrales ....................................................... ........................................................................................... .................................... 95 Compe/encias ............................................ ........................................................ ................................................................ ........ 95 Conocimien / os pre1ios................................................... ............................................. 95 In/egral Indefinida ....................................................................................................... 95 In/egración por /ablas ..................................................... .................................................................................................. ............................................. 95 In/egración por Sus/i/ución....................................................... ........................................................................................... .................................... 99 In/egración por Par/es .................................................... ............................................................................................... ........................................... 101 In/egral %efinida .......................................... ........................................................ .............................................................. ...... 103 Calculo de
UNIDAD-TEMAS DE AVANCE

PLANIFICACION DE LOS ENCUENTROS FECHA DE ENCUENTRO PRIMER SEGUNDO TERCER ENCUENTRO ENCUENTRO ENCUENTRO &nidad &nidad ( &nidad * Temas -.- al -.= Temas (.- al (.> Temas *.- al *.-? Evaluación


CUARTO ENCUENTRO &nidad 5 Temas 5.- al 5., Evaluación


UNIVERSIDAD PRIVADA DOMINGO SAVIO FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN CALCULO I PROGRAMA ANALITICO IDENTIFICACION

Área Sigla Materia Carga Horaria Niel Pre- #e #e$uis uisitos En )igencia

: Ciencias Exactas

: MAT - 122 : Cálculo I : 4 H T - 2 HP HP : Segun!o Se"estre : %u %un!a"entos !e !e Ma Mate"áticas &MAT-11'( : A*o 2''+

I !UST !USTIF IFIC ICAC ACIO ION N a asigna/ura de Cálculo I@ ofrece al es/udian/e el desarrollo de los conocimien/os y Aabilidades ma/emá/icas@ ma/emá/icas @ /an/o en el con/e4/o ma/emá/ico como en su aplicación a las /ransacciones /ransaccione s y la economía. El cálculo se encuen/ra den/ro de la disciplina básica general y guarda una es/recAa relación con /odas las asigna/uras in/ra e in/erdisciplinarias@ porBue /odas u/ili7an es/ra/egias e indicadores cuan/i/a/i1os para el análisis del compor/amien/o de los diferen/es agen/es económicos a ni1el micro y macroeconómico y orien/a de es/a manera a la /oma de decisiones óp/imas.

II O"!ETIVOS O"!ETIVO GENERAL %esarroll %esarrollar ar la capacid capacidad ad de resoluci resolución ón de di1ersos di1ersos problema problemass de aplicac aplicación@ ión@ u/ili7and u/ili7andoo ecuaciones@ funciones de lugares geom6/ricos y concep/os del cálculo diferencial e in/egral.

O"!ETIVOS ESPECIFICOS -

#undamen/ar con e4plicaciones /eóricas y e0ercicios /eóricoprác/icos los procesos opera/i1os del Cálculo %iferencial e In/egral.


Ciencias y Tecnología de la Información Cálculo I 4 _____________________________________________________________________________________________

'eali7ar con des/re7a la resolución de problemas@ in/erpre/ar resul/ados y desarrollar m6/odos Bue apoyen al es/udian/e en el lengua0e y ra7onamien/o ma/emá/ico. - %esarrollar las capacidades in/elec/uales del es/udian/e@ para el análisis@ la abs/racción@ la aplicación en la solución de problemas ma/emá/icos. -

III CONTENIDOS Uni#a# $ FUNCIONES DE VARIA"LE REAL O%&'(iv)* #' la uni#a# )raficar y calcular el %ominio y el %ominio de imagen de las funciones Calcular la In1ersa de una función 'eali7ar la composición en/re dos o más funciones. -.- Produc/o Car/esiano de dos Con0un/os. Par $rdenado. E0es Car/esianos en el Plano. 'epresen/ación )ráfica. In/er1alos #ini/os e Infini/os. 'epresen/aciones )ráficas -.( 'elación en/re dos Con0un/os. #unción: %efinición. Condición de To/alidad y &nicidad. %ominio. %ominio de Imagen. #unción 'eal de 1ariable 'eal. 'epresen/ación )ráfica. -.* #unciones definidas a /ra16s de una e4presión algebraica. #unción Cons/an/e@ Iden/idad@ Dalor !bsolu/o@ ineal@ Cuadrá/ica@ Po/encia@ E4ponenciales@ ogarí/micas y Trigonom6/ricas -.5 #unción In1ersa. %ominio de la #unción In1ersa. 'epresen/ación )ráfica -. Clasificación de funciones: #unciones 'acionales e Irracionales. Simples y Compues/as -.= E0ercicios de aplicación.

Uni#a# + LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION REAL DE VARIA"LE REAL O%&'(iv)* #' la uni#a# Iden/ificar los pun/os donde la función no es/á definida. !plicar las propiedades de los lími/es en la resolución de problemas Calcular asín/o/as 1er/icales@ Aori7on/ales y oblicuas. !nali7ar la con/inuidad y la discon/inuidad de las funciones.



(.- %efinición de lími/e. Decindad en un pun/o. Tendencia. ími/e de una función. Cálculo de ími/es. Procesos !lgebraicos. Cálculos con calculadora. Teoremas. Propiedades de lími/es (.( ími/e de/erminado e inde/erminado. Casos de inde/erminación. #ormas de le1an/ar la inde/erminación. (.* ími/es a/erales. ími/es Infini/os. Con/inuidad de una función en un pun/o. Con/inuidad de una función en un in/er1alo. #unciones Con/inuas y %iscon/inuas. !nálisis de las #unciones (.5 !sín/o/as 1er/icales@ Aori7on/ales y oblicuas (.> E0ercicios de aplicación.

Uni#a# , LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES O%&'(iv)* #' la uni#a# In/erpre/ar la definición de la deri1ada de una función en un pun/o. Calcular la deri1ada de las funciones por definición y por /ablas %eri1ar funciones e4presadas en forma implíci/a !nali7ar comple/amen/e una función. *.- %efinición de %eri1adas. #unción %eri1ada. %eri1ada por definición. Teoremas sobre deri1adas. Propiedades. *.( %eri1adas de funciones. #unción Cons/an/e@ #unción Po/encia@ %eri1ada de la Suma y 'es/a. %eri1ada de un Produc/o. %eri1ada de un Cocien/e. !lgebraicas. Trigonom6/ricas. E4ponenciales. ogarí/micas. Tabla de %eri1adas. *.* %eri1ada de las #unciones Compues/as. 'egla de la Cadena *.5 %eri1adas ogarí/micas. M6/odo y !plicaciones *.> %eri1adas de orden superior. a %iferencial de una función *. %eri1ación de una función e4presada en forma implíci/a *.= !plicaciones geom6/ricas de las deri1adas. Má4imos y Mínimos: Cri/erio de la Primera y Segunda %eri1ada. Problemas de aplicación de Má4imos y Mínimos. *., !nálisis comple/o de una función. *.F !plicaciones de la deri1ada en Economía y !dminis/ración. *.-? E0ercicios de aplicación.



Uni#a#  LA INTEGRAL Y SUS APLICACIONES O%&'(iv)* #' la uni#a#  !plicar los m6/odos de in/egración para resol1er in/egrales indefinidas !plicar las propiedades de in/egración en el cálculo de in/egrales definidas !plicar las in/egrales definidas en el cálculo de áreas. 5.5.( 5.* 5.5 5.> 5. 5.= 5.,

In/egral Indefinida. %efinición y Propiedades. Teoremas #unción Primi/i1a. !n/ideri1ada de una función In/egración por /ablas. &so de Tablas M6/odos de in/egración@ Sus/i/ución o Cambio de Dariable@ In/egración por Par/es@ M6/odo de Cálculo de In/egración In/egrales Propias. In/egral %efinida Cálculo de
IV METODOLOGIA DE ENSE.AN/A APRENDI/A!E - a me/odología empleada en la asigna/ura será /eórico  prác/icaG donde el docen/e deberá reali7ar la e4plicación de los concep/os /eóricos y los e0emplos en pi7arra. uego los es/udian/es deberán resol1er e0ercicios en grupos ba0o la guía permanen/e del docen/e. - Se reali7arán e4posiciones en grupos de los /raba0os de in1es/igación asignados para los /emas Bue se /ocarán en la asigna/ura. - os es/udian/es resol1erán /raba0os prác/icos@ los cuales luego serán defendidos@ y es/os resul/ados ob/enidos se /omarán como ac/i1idades acad6micas de la ma/eria. V MATERIALES Y MEDIOS DIDACTICOS    

Pi7arra y marcadores 'eglas de diferen/es /ipos EBuipos de mul/imedia abora/orio de Sof/Hare.



VI ACTIVIDADES ACADEMICAS -

'esolución y defensa de prác/ico de #unciones 'esolución y defensa de prác/ico de ími/es 'esolución y defensa de prác/ico de %eri1adas 'esolución y defensa de prác/ico de In/egrales

VII TIPOS DE EVALUACION En la asigna/ura serán /omados en cuan/a los /res /ipos de e1aluación: Dia0nó*(ica1 F)23a(iva 4 Su3a(iva

VIII FORMAS DE EVALUACION Ma('2ia (i5) " E4ámenes !c/i1idades !cad6micas Traba0o de in1es/igación

? pun/os. (? pun/os. (? pun/os.

TOTAL

$66 5un()*

I7

"I"LIOGRAFIA

$ Cuellar M. E. C8lcul) I Primera Edición Preliminar@ (??F +. arson os/e/ler EdHards. C8lcul) Edición /a. Mc)raH ill. 3ogo/a@ Colombia (??-. ,. Murray . Pro//er y CAarles 3. Morrey. C8lcul) c)n G')3'(29a Anal9(ica #ondo Educa/i1o In/eramericano.  J'8D JKL'$) El c8lcul)N O)#y P% $4ford &ni1ersi/y Press M64ico (??-. : aurence %. offmann)erald . 3radley. C8lcul) a5lica#) a la a#3ini*(2ación1 Ec)n)39a1 C)n(a#u29a 4 Ci'ncia* S)cial'*. uin/a edición. Mc )raH ill. -FF5. ; )eorge #. Simmons. C8lcul) 4 0')3'(2ia. Mc )raH ill J (??(.



ORIENTACIONES METODOLÓGICAS $- In(2)#ucción as Ma/emá/icas forman@ 0un/o con el m6/odo e4perimen/al@ el esBuema en Bue es/á basada la Ciencia moderna y en el Bue se apoya la Tecnología@ con es/recAas in/eracciones en/re ellos. Sobre es/as bases nació la Sociedad Indus/rial algunos siglos a/rás@ y la nue1a Sociedad de la Información se cons/ruye en el presen/e a lo largo del las mismas líneas. El conocimien/o sólido de las ma/emá/icas@ en par/icular el Cálculo I@ permi/en a los es/udian/es un desempeQo amigable con los /emas de cursos a1an7ados@ en el caso concre/o de las carreras del área de Ciencias Empresariales y Tecnologías de la Información@ brinda la base necesaria para las asigna/uras: Microeconomía I@ Microeconomía II@ Ma/emá/ica #inanciera@ Producción@ #inan7as@ Macroeconomía@ Cálculo II@ Ecuaciones %iferenciales@ !nálisis "um6rico y o/ras. a impor/ancia de la asigna/ura de Cálculo I den/ro de la malla curricular@ en el perfil profesional de las ciencias empresariales y la /ecnología de la información radica en dos funciones básicas: )enerar compe/encias de ra7onamien/o en resolución de problemas ξ Proporciona los conocimien/os reBueridos como reBuisi/os necesarios para asigna/uras de la malla curricular. ξ

En con/enido y el ni1el del presen/e /raba0o es/á orien/ado a refor7ar a es/udian/es de cualBuier especialidad del área de Ciencias Empresariales y Tecnologías de la Información@ ya Bue responde a carac/erís/icas par/iculares de los es/udian/es de los programas ofer/ados en la &ni1ersidad Pri1ada %omingo Sa1io. El presen/e /raba0o@ es resul/ado de más de sie/e aQos de e4periencia del au/or@ cuyo proceso permi/ió la elaboración de es/e ma/erial Bue facili/a el aprendi7a0e del cálculo de manera sencilla. a comple0idad Bue se presen/a en el presen/e curso abarca desde básico@ in/ermedio y pau/as para es/udios a1an7ados de ma/emá/icas. El es/udio del presen/e ma/erial y la orien/ación del docen/e permi/irán al es/udian/e un aprendi7a0e significa/i1o de las asigna/uras de la malla curricular.



$$ O%&'(iv)* En la sección del programa analí/ico se seQalan los ob0e/i1os de la asigna/ura. os concep/os y definiciones fundamen/ados con e4plicaciones /eóricoprác/icas@ promue1en el desarrollo de compe/encias en resolución de problemas específicos@ compe/encias reBueridas en ma/erias de cursos a1an7ados y en el e0ercicio profesional. &n análisis riguroso de fenómenos físicos y compor/amien/os a /ra16s de modelos ma/emá/icos reBuieren la aplicación de concep/os y definiciones de Cálculo diferencial e In/egral.

+ N #unción In1ersa. %ominio de la #unción In1ersa. 'epresen/ación )ráfica -. Clasificación de funciones: #unciones 'acionales e Irracionales. Simples y Compues/as -.=.E0ercicios de aplicación.

El análisis del dominio y dominio de imagen de funciones@ se reali7ará gráficamen/e y analí/icamen/e de/erminando el con0un/o de n2meros 1alores Bue la 1ariable independien/e puede /omar. !sí mismo se de/erminará la in1ersa de la función. En es/e n2cleo /emá/ico se anali7an los diferen/es /ipos de funciones: cons/an/es@ iden/idad@ funciones en 1alor absolu/o@ funciones cuadrá/icas@ e4ponencial@ logarí/micas y /rigonom6/ricas.



%ediBue /iempo y a/ención adecuada a la definición de los /6rminos u/ili7ados en análisis de funciones@ /ales como: función@ par ordenado@ %ominio@ dominio de imagen@ in1ersa de una función y composición de funciones. En es/e ma/erial se presen/an 1ariados e0emplos para su análisis.

SEGUNDO ENCUENTRO Uni#a# + LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE VARIA"LE REAL (.-. %efinición de lími/e. Decindad en un pun/o. Tendencia. ími/e de una función. Cálculo de ími/es. Procesos !lgebraicos. Cálculos con calculadora. Teoremas. Propiedades de lími/es (.(. ími/e de/erminado e inde/erminado. Casos de inde/erminación. #ormas de le1an/ar la inde/erminación. (.*. ími/es a/erales. ími/es Infini/os. Con/inuidad de una función en un pun/o. Con/inuidad de una función en un in/er1alo. #unciones Con/inuas y %iscon/inuas. !nálisis de las #unciones (.5. !sín/o/as 1er/icales@ Aori7on/ales y oblicuas (.>. E0ercicios de aplicación. El es/udio de los concep/os de lími/e de una función en un pun/o O/an/o fini/o como infini/oR y de lími/e en el  φ conduce a comprender y calcular lími/es de cocien/es de polinomios@ de/erminar las asín/o/as 1er/icales@ Aori7on/ales y oblicuas de una función@ lími/e la/eral y su relación con el de lími/e. !demás permi/e alcan7ar algunos ob0e/i1os específicos como: ι Conocer el concep/o de con/inuidad de una función en un pun/o@ incluida la con/inuidad la/eral@ y@ como consecuencias elemen/ales@ la conser1ación del signo y la aco/ación de la función en un en/orno del pun/o. ι Saber donde son con/inuas o discon/inuas las funciones elemen/ales. ι Conocer los dis/in/os compor/amien/os de discon/inuidad Bue pueden aparecer y saber reconocerlos u/ili7ando los lími/es la/erales.

TERCER ENCUENTRO Uni#a# , LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES *.-. %efinición de %eri1adas. #unción %eri1ada. %eri1ada por definición. Teoremas sobre deri1adas. Propiedades.



*.(. %eri1adas de funciones. #unción Cons/an/e@ #unción Po/encia@ %eri1ada de la Suma y 'es/a. %eri1ada de un Produc/o. %eri1ada de un Cocien/e. !lgebraicas. Trigonom6/ricas. E4ponenciales. Tabla de %eri1adas. *.*. %eri1ada de las #unciones Compues/as. 'egla de la Cadena *.5. %eri1adas ogarí/micas. M6/odo y !plicaciones *.>. %eri1adas de orden superior. a %iferencial de una función *.. %eri1ación de una función e4presada en forma implíci/a *.=. !plicaciones geom6/ricas de las deri1adas. Má4imos y Mínimos: Cri/erio de la Primera y Segunda %eri1ada. Problemas de aplicación de Má4imos y Mínimos. *.,. !nálisis comple/o de una función. *.F. !plicaciones de la deri1ada en Economía y !dminis/ración. 5.*.-?. E0ercicios de aplicación. En es/e n2cleo /emá/ico se empie7a por la definición de la deri1ada a par/ir de la 1ariación de la 1ariable independien/e Bue /iende a cero. uego la in/erpre/ación geom6/rica de la deri1ada en un pun/o. El cálculo de la deri1ada a par/ir de la definición permi/e desarrollar la comprensión y compe/encias de análisis de cur1as de compor/amien/o en áreas de in/er6s. uego de la e4plicación gráfica de la deri1ada@ se aplicará la deri1ación con la u/ili7ación de /ablas@ es decir fórmulas de deri1ación@ Bue reBuieren 2nicamen/e ser reconocidas su correspondencia a uno de los modelos de fórmula. Se sugiere recordar re1isar concep/os algebraicos aplicados a simplificación de fracciones.

CUARTO ENCUENTRO Uni#a#  LA INTEGRAL Y SUS APLICACIONES 5.-. In/egral Indefinida. %efinición y Propiedades. Teoremas 5.(. #unción Primi/i1a. !n/ideri1ada de una función 5.*. In/egración por /ablas. &so de Tablas 5.5. M6/odos de in/egración@ Sus/i/ución o Cambio de Dariable@ In/egración por Par/es@ M6/odo de Cálculo de In/egración 5.>.In/egrales Propias. In/egral %efinida 5.. Cálculo de


En es/e n2cleo /emá/ico se conocerá los diferen/es m6/odos de in/egración: sus/i/ución y por par/es. Tambi6n se aplicarán los diferen/es /eoremas de las in/egrales@ En base a la comprensión de las in/egrales indefinidas@ para luego concluir con la aplicación a la resolución de in/egrales definidas en el cálculo de áreas formadas en/re las cur1as de las diferen/es funciones. Se reBuiere especial a/ención a las operaciones algebraicas para adecuar las funciones a las propiedades de in/egralesG para lo cual se sugiere remi/irse al libro de #undamen/os de ma/emá/icas del Ing. Miguel E. Cuellar M.

METODLOGIA DE ESTUDIO PARA EL ESTUDIANTE a sugerencia de me/odología de es/udio Bue puede conducir a una in/eresan/e e4periencia en es/a asigna/ura@ por ende@ conducen/e a logros e4i/osos es la siguien/e: $= ec/ura de concep/os@ definiciones y propiedades del /e4/o guía. += 'e1isar y comprobar los e0emplos resuel/os en el /e4/o guía.

ec/ura de concep/os@ definiciones y propiedades del /e4/o guía.

eer el libro de ouis JKL'$) El c8lcul)N para es/udio comparativo

"o

'e1isar y comprobar los e0emplos En/endió los e0emplos resuel/os

!sis/ir al encuen/ro del día sábado. El docen/e reali7ará las aclaraciones y profundi7ará el /ema


Si

'esol1er /area


++ "i%li)02a>9a C)3'n(a#a El ibro de /e4/o de Cálculo I@ cuyo au/or Ing. MSc. Miguel E. Cuellar M.@ es el resul/ado de más de nue1e aQos de in/eracción y e4periencia con/in2a en la enseQan7a de ma/emá/icasG por lo /an/o se adecua a las carac/erís/icas de las carreras ofer/adas y de los es/udian/es Bue buscan su profesionali7ación en aulas de nues/ra &ni1ersidad. Es/e ma/erial presen/a e0emplos de fácil comprensión y aplicaciones básicas y de ni1el in/ermedio@ proporcionando bases sólidas para el logro de la comprensión de cada uno de los /emas.

El au()2 El presen/e /raba0o de calculo I@ es un apor/e del au/or al proceso de enseQan7aaprendi7a0e de los es/udian/es de las diferen/es carreras de nues/ra &ni1ersidad Pri1ada %omingo Sa1io. Es/e ma/erial es/a su0e/o a los apor/es y sugerencias por par/e de los Es/udian/e y %ocen/es de nues/ra &ni1ersidad con la finalidad de me0orar cada 1e7 más@ Aas/a lograr el ob0e/i1o Bue /iene el presen/e /raba0oG y de es/a manera lograr un aprendi7a0e significa/i1o en los es/udian/es para me0orar su rendimien/o acad6mico. El libro de C8lcul) de arson@ es in/eresan/e por sus concep/os /eóricos y aplicación prác/ica@ para cada uno de los /emas de la asigna/ura. El libro El C8lcul) de ouis ei/Aold@ se recomienda por con/ener el sus/en/o y e4plicación /eórica y sus aplicaciones en cada uno de los /emas de la asigna/ura.

+, - Ma('2ial '?5lica(iv). El presen/e /raba0o posee la claridad necesaria e4plicando paso a paso el procedimien/o de resolución en cada uno de los e0emplos@ por lo Bue no necesi/a e4plicación adicional. Para mayor profundi7ación sobre cada uno de los /emas remi/irse a la bibliografía presen/ada en el programa analí/ico de la ma/eria y a las sugerencias del docen/e en las clases 1ir/uales acordadas.



+ M@()#)* a u(iliar. M'()#)l)09a 5a2a la cla*' 52'*'ncial El primer periodo del encuen/ro físico el docen/e e4plicará los concep/os /eóricos y e0emplos represen/a/i1os de cada uno de los /emas del plan de clase. uego los es/udian/es resol1erán e0ercicios de aplicación en grupos o c6lulas@ ba0o la guía permanen/e del docen/e. M'()#)l)09a 5a2a l)* 'ncu'n(2)* vi2(ual'* En los encuen/ros 1ir/uales se asignaran /areas de resolución de e0ercicios y problemas de aplicación adicionales@ Bue reBuieren aplicar los conocimien/os adBuiridos en los encuen/ros físicos. En cuan/o al /raba0o independien/e los es/udian/es deben: ι ι

Mane0ar concep/os y definiciones de cada /ema !plicar las propiedades dadas en el ma/erial. 'e1isar dicAas propiedades en cada uno de los /emas y su aplicación en e0emplos ilus/rados.

,C)nclu*i)n'* Pregun/as y e0ercicios prác/icos para reali7ar en forma indi1idual o colec/i1a con sus soluciones@ se encuen/ran al final de cada unidad. Gl)*a2i) #' (@23in)* (@cnic)* a definición de /6rminos /6cnicos del cálculo se encuen/ra en cada /ema del ma/erial@ de manera de/allada@ por lo Bue se recomienda apreAender@ por medio de la asociación con resolución de los problemas plan/eados.

TE7TO GUÍA



UNIDAD NB $ Funci)n'* C)35'('ncia* !l finali7ar la unidad el es/udian/e desarrollará las siguien/es compe/encias: $ + , 

'econoce y grafica las diferen/es funciones. Calcula el dominio y el dominio de imagen de las funciones. Calcula la in1ersa de una función. 'eali7a la composición en/re dos ó más funciones.

C)n)ci3i'n()* 52'vi)* Para lograr un aprendi7a0e significa/i1o de la unidad el es/udian/e deberá conocer los siguien/es /emas: $ + ,  :

$peraciones con polinomios. Ecuaciones de primer y segundo grado. %efinición y propiedades de los logari/mos. Inecuaciones de primer y segundo grado. %efinición y propiedades del 1alor absolu/o.

D'>inición #' una >unción Si se sabe Bue  I  es una correspondencia de elemen/os  U  )$ #'M8K' VWX #' elemen/os y  del c'M8K' VYX lo Bue se puede ano/ar como pares ordenados O4G yRG en/onces se dice Bue  I  es una función@ si y solo siG a cada elemen/o )$ #'M8K' VWX $ #'&responde un
#igura "; ( 3

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

 I  es función


!x1

y31

x2

y2

x3

y3

x4

y4 y5

 f N ' D I8#y Es una relación.


N)(ación #' >unción Sea  I  una función con su correspondencia de elemen/os UN con elemen/os ZN. Para decir Bue los elemen/os VZX es/án en I8#y ) VUX D D#&E y [ fO4R. Es/o Buiere decir T8 ZN )S) ) UN S'& K%K' ZN será $% \%&%E$ )S)K Z UN será la 1ariable independien/e@ es decir: "ombre de la función

4  > ?= Dariable independien/e Dariable dependien/e.

Pa2 O2#'na#) &n par ordenado es uno o 1arios pun/os den/ro del plano car/esiano y se lo represen/a de siguien/e forma: Segunda componen/e

?4= Primera componen/e

E&'35l)* $ Si fO4R [ 4( -. Calcular: aR f O?R

bR f O-R

cR f O(R

Solución:

aR f O?R [ ? ( -

%R f O-R [ -( -

f O?R [ -

+ Si f O4R [ x 2 .

f O-R [ ?

cR

f O(R [ O(R( f O(R [ *

Calcular:

aR f O(R

bR f O*R

cR f O?R

Solución:

aR f O(R[ 2 2 f O(R [ ?

%R f O*R[ 3 2 f O*R [-


cR f O?R [ 0 2 f O?R [ ∃


, Si f O4R [

1 x 1

.

Calcular:

aR f O?R

bR f O-R

cR f O-R

Solución:

aR f O?R[

1

%R f O-R[

0 1

f O?R [  -

1 1 1

f O-R [ ∃

cR f O-R [

1 1 1

f O-R [  1

2

Función Lin'al &na función lineal es aBuella donde el má4imo e4ponen/e de la 1ariable es unoG por lo /an/o es/as funciones es/án represen/adas por líneas rec/as. En su forma general una función lineal se la represen/a de la siguien/e manera: %onde: PN D $% S)K Z EN D $% '&)%)%

f(x) = mx + b

En las funciones lineales se puede obser1ar los siguien/es aspec/osG en compor/amien/o de la pendien/e:

cuan/o al

$ Si la pendien/e es posi/i1a en/onces la rec/a es/ará inclinada Aacia la derecAa.

y

m (+) x

+ Si la pendien/e es nega/i1a en/onces la rec/a es/ará inclinada Aacia la i7Buierda. y m (-)

x Elaborado por: Ing. MSc. Miguel E. Cuellar M.


, Si la pendien/e es cero O?R en/onces la rec/a será Aori7on/al. y m =0

x

W DK KS' ) I8#y D )'P% R8#y #'DK%KN Z D &S&DK% ) $% D]8K forma: f(x) = b

)eneralmen/e@ el dominio y el dominio de imagen de las funciones lineales son /odos los n2meros reales.

E&'35l)*: $ )raficar: fO4R [ (4  -

^%)' \%$'&D % UN D K

4 ? -

fO4R [ (4  (O?R  - [  - [` O?G -R (O-R  - [ - [` O-G -R

+ )raficar: fO4R [  *4  ^%)' \%$'&D % UN D K 4 ? -


fO4R [  *4   *O?R  - [ - [` O? G -R  *O-R  -[ ( [` O- G (R


1

, )raficar: fO4R [ x 3 2

4

1

fO4R [ x 3 2

? (

1 2 1 2

0

3 [ * [` O? G *R

2

3 [ ( [` O( G (R

Función Cua#28(ica &na función cuadrá/ica es aBuella Bue se la puede represen/ar de la siguien/e forma: 2 f x ax bx c G donde el coeficien/e del primer /6rmino es dis/in/o de cero. Es/e /ipo de funciones es/án represen/adas por parábolas donde se puede obser1ar los siguien/es aspec/os: $ Si el signo del primer /6rmino es posi/i1o OaòRG en/onces la parábola es/ará abier/a Aacia arriba. y

f(x) = x

2

+ Si el signo del primer /6rmino es nega/i1o OaoRG en/onces la parábola es/ará abier/a Aacia aba0o. x

x f(x) = - x

2

En su forma general o canónicaG una función cuadrá/ica se la represen/a de la siguien/e manera:



%on) %N D )I&K ) #&'

f(x) = ax2+ bx + c

)eneralmen/e@ el dominio de la función cuadrá/ica son /odos los n2meros reales.

E&'35l)* $ )raficar: fO4R [ 4( ( 4 ? ( (

4 ? ( (

fO4R [ 4( ( ?(  ( [ ( [` O ? G ( R -(  ( [ - [` O - G - R ((  ( [ ( [` O ( G ( R O-R( ( [ - [` O - G - R O(R( ( [ ( [` O ( G ( R

+ )raficar: fO4R [ 4( fO4R [  4( O?R(  - [ - [` O ? G - R O-R(  - [ ? [` O - G ? R O(R(  - [ * [` O ( G * R O-R( - [ ? [` O - G ? R O(R( - [ * [` O ( G * R

, )raficar: fO4R [ x 1 4 ? * , (

f ( x)

x 1

0 1 1 Ÿ ( ;0 1) 3 1

2 Ÿ ( ;3 2)

8 1

3 Ÿ ( ;8 3)

1 1 2 1

0 Ÿ ( 1 Ÿ (


;1 0) ;21)


 )raficar: fO4R [ 4* 4 ? ( (

fO4R [ 4* O?R*  - [ - [` O ? G - R O-R*  - [ ? [` O - G ? R O(R*  - [ * [` O ( G = R O-R* - [ ? [` O - G ( R O(R* - [ * [` O ( G F R

:. )raficar: fO4R [ 3 x 1

3

f ( x)

x 1

4 ?

3

0 1

1 Ÿ

;0 1

=

3

7 1

2 Ÿ

;7 2

  (

0 Ÿ

3

1 1

3

2 1

;1 0

1 Ÿ

;21

; )raficar: fO4R [ x

3

4

f ( x)

?

0 3

3 Ÿ

;0 3

-

1 3

4 Ÿ

;1 4

(

2 3

5 Ÿ

(

x

1 3 2 3

3

2 Ÿ 1 Ÿ

;2 5 ;1 2 ;2 1

Función E?5)n'ncial Si se /iene la e4presión fO4R [ a .4Se dice Bue es/a represen/a a una función e4ponencial donde la base N%N D 8 8P&o real posi/i1o y #i>'2'n(' #' un) y el e4ponen/e es la 1ariable independien/e. )ráficamen/e@ es/e /ipo de funciones presen/an las siguien/es formas:



)eneralmen/e el dominio de las funciones e4ponenciales son /odos los n2meros reales.

E&'35l)* $ )raficar: fO4R [ e x

1

Se sabe Bue e [ (.=-,(

%ando 1alores se /iene: 4 ? (

fO4R [ e x 1 0 1 e [ ?@*=, [Ò? G ?@*=,R 1 1 [` O- G -R e [2 1 e [ (@=-,( [` O( G (@=-,(R

+ )raficar: fO4R [ e x 2 !Buí la gráfica presen/a una asín/o/a Aori7on/al en le 1alor  (.

4

o -

fO4R [ e4 ( 0

e 1 e

[` O? G *R 2 [* 2 [ 5@=-,( [` O- G 5@=-,(R

e-( [

Función L)0a29(3ica %ada la e4presión fO4R [ loga4@ se dice Bue es/a represen/a a una función logarí/micaG donde la E%D %N D mayor Bue cero y #i>'2'n(' #' un).



)ráficamen/e es/e /ipo de funciones presen/an las siguien/es formas:

)eneralmen/e@ el dominio de imagen de las funciones logarí/micas son /odos los n2meros reales.

E&'35l)*: $= )raficar: fO4R [ ln 4  -

4 ( *

fO4R [ ln 4  lnO-R  - [ ?- [ - [Ò- G -R lnO(R  - [ -@F*- [Ò( G -@F*-R lnO*R  - [ (@?F, [Ò* G (@?F,R

+R )raficar: fO4R [ lnO4(R

4 * 5 >

fO4R [ lnO4(R lnO*  (R [ lnO-R [ ? [Ò* G ?R lnO5  (R [ lnO(R [ ?@F*- [Ò5 G ?@F*-R lnO>  (R [ lnO*R [ -@?F, [Ò> G -@?F,R



,R )raficar: fO4R [ lnO4-R

4 ? ( *

fO4R [ lnO4-R lnO-R [ ? [Ò? G ?R lnO(R [ ?@F*- [Ò- G ?@F*-R lnO*R [ -@?F, [Ò( G -@?F,R lnO*R [ -@*,( [Ò* G -@*,(R

R )raficar: fO4R [ logO4  (R 4 * 5 >

fO4R [ logO4(R logO*(R [ ? [Ò * G ? R logO5(R [ ?@*?-? [Ò5 G ?@*?-?R logO>*R [ ?@5==- [Ò> G ?@5==-R

!Buí e4is/e asín/o/a 1er/ical en el 1alor  (.

D)3ini) #' una Función El dominio de una función es el con0un/o formado por /odas las primeras componen/es de los pares ordenados O 4 G y R de dicAa función. D)3ini) #' I3a0'n #' una >unción El dominio de imagen de una funciónG /ambi6n llamado recorrido@ rango o codominio es el con0un/o formado por /odas las segundas componen/es de los pares ordenados de la función. M@()#)* 5a2a Calcula2 'l D)3ini) 4 'l D)3ini) #' I3a0'n #' la* >unci)n'* Se presen/a los siguien/es m6/odos: $ M@()#) Anal9(ic) Para calcular el dominio de una función por es/e m6/odo@ se despe0a la 1ariable dependien/e y luego se anali7an los 1alores Bue /oma la 1ariable independien/e en el segundo miembro. Para calcular el dominio de imagen de una función@ se despe0a la 1ariable independien/e y luego se anali7an los 1alores Bue /oma la 1ariable dependien/e en el segundo miembro. + M@()#) G28>ic) Para calcular el %ominio y el %ominio de Imagen de las funciones por es/e m6/odoG se debe ]&%I#%& $%D I8#'D S%&% $8]' S&'Z#K%&$%D  $'D MD UN Z ZNJ% S&'Z##y  $ M UN &S&DK% $ )'P' Z $% S&'Z##y  $ M ZN &S&DK% $ )'P' ) P%] R'*(2icci)n'* 5a2a 'l c8lcul) #'l #)3ini) #' una >unción



En el cálculo del dominio y el dominio de imagen de las funciones se presen/an las siguien/es res/ricciones:

τ0 x ! 0

 x Ÿ  x

"o e4is/e raí7 de índice par de radicandos nega/i1os@ es decir: "o e4is/e logari/mo de n2meros nega/i1os ni del cero@ es decir:

f x

!

f x

"oa x Ÿ

El denominador de una función no debe ser cero@ es decir:

f x

p x #x

Ÿ # x ζ 0

Al0'%2a #' >unci)n'* !Buí se mues/ra Bue en el cálculo del dominio de las funciones compues/as se debe reali7ar la in/ersección de los dominios@ es decir: 

Suma:

Uf  gO4R [ fO4R  gO4R

 Î ] ^ I  ^ ]



%iferencia:

Uf  gO4R [ fO4R  gO4R

[` %Of  ] ^ I  ^ ]



Mul/iplicación:

Uf  gO4R [ fO4R  gO4R

 Î ] ^ I  ^ ]



%i1isión:

Uf J gO4R [ fO4R J gO4R

 Î ] ^ I  ^ ] G

E&'35l)*: $ Si: fO4R [ 4( *. Calcular:

aR %ominio bR %ominio de imagen

Solución: aR %f [ ' OTodos los 'ealesR bR %I [ O^DSM%P'D UN y [ 4( * 4([ y  * 4 [ y 3 !Aora: Z  Z*

Por ser una función cuadrá/ica.

%I [ U * G  R

-3

Inecuaciones y 1a l or absolu/o

+ Si: fO4R [ x 3 . Calcular: Solución:



]U 


aR %f [

bR %I [

y[ x 3 U  U*

y [ x 3 y([ 4  * 4 [ y( *

!Buí se Aace y τ 0 .

%I [ U ? G  R -3

%f [ U  * G  R

, Si fO4R [

x x 1

.

Calcular:


Solución: aR

y[

x x 1

4



U !Aora:

bR

y[

x x 1

4.y  y [ 4 Pasando a mul/iplicar 4.y  4 [ y !grupando /6rminos 4O y  - R [ y R%#K'&%)' UN 4[

y y 1

y  Z %f [ '  h-

 Si fO4R [-?4-. Calcular:

%I [ '  h- aR %ominio bR %ominio de imagen

Solución: aR %f [ ' OPor ser una función e4ponencialR bR %I [  !Aora: y [ -?4log y [ log -? O4 -R 1 log y [ O4  -R log -? En/onces: log y [ 4  4 [ log y  y`?


ogari/mos

%I [ O ? G   R


: Si fO4R [ x 2 x 6 . Calcular el dominio. acemos Bue /odo el radicando sea mayor o igual Bue cero. y [ x 2 x 6 O4  *R   4( 4   ? O4  (R   O4  *RO4   +

%I [ O G ( & U * G  

; Si fO4R [

x

2 2 x

%ominio de la función.

2

$! x

2 3



  3

+

. Calcular el dominio.

Solución: ξ ξ

"umerador:

4  U

2

%enominador: 4 ` ? 0

%f [ U ( G  R

In/ercep/ando las gráficas.

 Si fO4R [ x 2  lnO4  -R. Calcular el dominio. Solución: ξ ξ

U  U(

-2

4-`? 4`1

Î R

 Si: fO4R [ logO4( 5R.

Calcular el %ominio

Solución: !Buí Aacemos Bue el argumen/o del logari/mo sea mayor Bue cero. y [ logO4( 5R O4  (R


 




O4  (R

  

(

45`? -2

O4  (RO4  (R ` ?

+

-

2

En/onces:

%f [ O   , 

J Si fO4R [ 3 x 12  * . Calcular:

aR %ominio bR %ominio de Imagen

Solución: aR %f [ 

y [ 3 x 12  * *4   U  U 

bR %I [ 

y [ 3 x 12  * Oy  *R([ O 3 x 12 R( Oy  *R([ *4  -( 4[

y

y Z 

3

2

3

4

> ;4 φ

D f

$6 Si: fO4R [

5 x

2

5 x

4

%I [ ` 

. Calcular el dominio.

Solución: !Buí Aacemos el denominador diferen/e de cero. y[

5 x

2

x 2

U U

5 x

#ac/ori7ación

4

5 x 4  

#ac/ori7ando

!Aora: Aacemos cada par6n/esis diferen/e de cero. U  U5


U  U  -

12

+


%f [ '  h 5 G -  Solo es/os dos 1alores Aacen cero al denominador Función Inv'2*a  ZN D I8#y ) UN Bue se represen/a como fO4 K'#D D )# T8 UN D I8#y ) ZN@ y se lo represen/a como 4 [ f OyR. a cual 1iene a ser la función in1ersa de la funciónG llamada /ambi6n función 'eciproca@ donde al in/ercambiar las 1ariables se /iene Bue: y [ f -O4R.

E&'35l)*: $ Si: fO4R [ 4 ( -. Calcular su in1ersa. Solución: Paso -: Paso (:

y [ 4( 4 [ y 1

 D8DKK8Z ZN S'& IU

Paso *:

y [ x 1 f -O4R [ x 1

Se in/ercambian las 1ariables

 )DSM% UN

In1ersa de la función.

+ Si: fO4R [ e 4  -. Calcular su in1ersa Solución: y [ e 4 y-[e4 ln Oy  -R [ ln e 4 ln Oy  -R [ 4 ln e 4 [ ln Oy  -R y [ ln O4  -R

1

f -O4R [ ln O4  -R

8DKK8Z)' IU S'& ZN Pasando el uno al primer miembro !plicando logari/mos a ambos miembros !plicando las propiedades de los logari/mos In/ercambiando 1ariables In1ersa.

, Si: fO4R [ ln O4  (R. Calcular: aR %ominio bR a in1ersa cR El dominio de la in1ersa Solución: aR %f [

\ [ ln O4  (R 4(`? 4`(


bR

y [ ln O4  (R 4  ( [ ey 4 [ e y (


φ

;2

D f

y [ e 4 ( f -O4R [ e 4 (

cR %f -[ %f- [ '

 Calcular la in1ersa de la siguien/e función y su dominio: fO4R [

4 x

7

7 x

4

Solución: aR f -O4R [ y[

bR %

4 x

7

7 x

4

y[

f

7

7 x

4

=4y  5y [ 54  = =4y  54 [ 5y  =

U

y[

7

7 y

4

4 x

7

7 x

4 4 x

7

7 x

4

f -O4R [



4 7

% f -O4R [ ' 

4 O=y  5R [ 5y  = 4 y

O4R

4 x

=4  U

4[

-

h 74 

: Si: fO4R [ x 4  -. Calcular: aR a in1ersa bR El dominio de la in1ersa Solución: aR f - O4R [ 

bR %f - [ 

y [ x 4  y 1 y

1

2 2

x x

4 [ y 1 2  5


4

2

4

%f - [ '


y [ x 1 2  5 f -O4R [ x 1 2  5

C)35)*ición #' >unci)n'*  D #''# $%D I8#'D  f N Z ] N K'#D $% #'PS'D#y )  f N #' ] N &S&DK%)% ) la siguien/e forma f ) g@ Bue se $ ] N #'PS'D#y )  f N D $% función cuyo dominio es/a dado por: 4  %g J gO4R  % .f Cuya regla de correspondencia es la siguien/e: f o g [ U f o g  O4R [ f U g O4R 

E&'35l)*:

$ Si fO4R [

x

2

x

2

Calcular:

G

gO4R [

1 x

aR f o g bR g o f

Solución: J$\%P'D $ \%$'& ) ] N )') DKp $% \%&%E$   f N 1

x 1

aR f o g [

1

+ Si fO4R [

x

2

x

2

x

2

[

2

x

2

G

x 1

[`

fóg[

1

[`

góf[

x

2

x

2

1 2 x

g O4R [ x 2

3 x 1

aR f o g bR %f o g

Solución: aR f o g [

2 x

x

x

4

Calcular:

x 1 2 x

[

x

bR g o f [

1 2 x

2

x

2

3 x

1 4

x

2

3 x

1 1


bR %f o g [ 


U fog[

x

2

x

3 x 2

U

3



U*

3 x

%f o g [ '  h*G ? fog[

x

2

3 x

x x

3

Es/o Buiere decir Bue el denominador debe ser diferen/e de cero y de  *.

3

, Si fO4R [ 3 x 2 5 x 1

G

gO4R [ x 2

Calcular: aR Uf g O-R

bR Uf  g O-R

cR Uf  g O(R

dR Uf J g O*R

Dalor num6rico

4

Solución: aR Uf gO-R [

bR Uf  gO-R

Uf  g [ 3 x 2 5 x 1 x 2 Uf  g [ 4 x 2 5 x 5 Uf  gO-R [ 4 1 2 5 1 5 Uf  gO-R [ 5  >  >

Uf  g [ 3 x 2 5 x 1 x 2 4 Uf  g [ 2 x 2 5 x 3 Uf  g O-R [ 2 1 2 5 1 3 Uf  g O-R [ (  >  *

4

Uf  gO-R [ 5

Uf  g O-R [ 5

cR Uf  g O(R [  Uf  g [ O 3 x 2 5 x 1RO x 2 4 R Uf  g [ 3 x 4 5 x 3 13 x 2 20 x 4 Uf  g O(R [ *O-R  >O,R  -*O5R  (?O(R  5 Uf  g O(R [ 5,  5?  >(  5?  5 Uf  g O(R [ (5 dR Uf J g O*R [  U f  O*R [ 3 3 2 5 3 U f  O*R [ (=  ->  U f  O*R [ -*

1


U g  O*R [ 3 2 U g  O*R [ -*

4


[` Uf J g O*R [

13 13

[-

 Si fO4R [ (4  - G

gO4R [ x

Calcular: aR f o g o A

G

AO4R [

bR f o A o g

1 x

cR g o f o A

Solución: Para es/e caso@ reali7amos la operación de derecAa a i7Buierda.

a= f o g o A[ goA[

%R f o A o g [

1

Aog[

x

fogoA[(

1

-

1

2

foA[(

x

foAog[(

x

fogoA[

cR g o f o A [

1

x


foAog[

2 x

-

x 2 x

-

foA[

x

gofoA[

x x

1

x 2 x x


PRACTICO N° 1 1) %raficar $a& &i'i!t& f'!cio!&

a) *)

2 x

f x

f x

) f x ,)

f x

m) f x

2

x

x

1

b)

1

)

2

x

10

1

$! x

f x

3

2 x

)

f x

x

)

f x

e

!) f x

3

2

f x

x

2

x

$! x

2

f) f x

2

1

3

c) f x

1

2

2 2

i)

f x

$)

f x

o)

f x

1

x

2

2

1

x x

2

x

3

2

Log x

4

2) a*a& $a& &i'i!t& xpr&io!&/ ca$c'$ar $ omi!io

a) f x

*) f x

) f x

3 x 4 x

2

x

2

4 x

$o 4 x

3

2

2 x

) f x

x

2 x

3

) f x

2

e

2 x

e

4

$! x

$! x

2

4

i) f x

$o 2 x 1

x 1

f) f x

3

x 2

x

c) f x

1

) f x

2

,) f x

2

b) f x

x 1 x

$) f x

2 3 x

2

$! x 1

x Log x 1

3) a*a& $a& &i'i!t& xpr&io!&/ ca$c'$ar $ omi!io y $ omi!io * ma!

a) f x

*) f x ) f x

4 x

2

2 x x 2

e

b) f x

1

6 3

1

x 1 2 x

3

) f x

$! x 3

) f x

e


x 3

1

c) f x

f) f x i) f x

4 x

2

$o x

2

x 2

3

e


,) f x ) f x Log x 1 $) f x 2 x 1 1 2 x 4) a*a& $a& &i'i!t& xpr&io!&/ ca$c'$ar &' i!vr&a y $ omi!io * $a i!vr&a. 2 x

a) f x

x

2

*) f x

x

) f x

10

) f x

$o x

x

3 x

b) f x

2 x 1

3

) f x

3

i) f x

10

$) f x

$! x

2

2 x 1

x 1

c) f x

3 x 2

1

f) f x

x

1

x 2

3

,) f x

2

2

e

m) f x

1

$! x 1

2

x 3

1

5) a*a& $a& &i'i!t& f'!cio!&

2 x 2 x 3 ;

f x

g x

x

5 ;

h x

1

;

x

t x

x x

5

;

r x

Calclar  1• a) g r ♣ ♦ ÷

b)

f

t

♥2 ≠

) f  g

i)

t

m)

g

4

r



x

h

4

f)

r g

,)

g t



!)



c)

3

)

x

)

x

f t 

3

o)

g ψ f

g f 



t f 

$)

x

♣ ♦ ♥

3 2

r

)

♣1 • ♦ ÷ ♥4 ≠

f g h 

*)

4

• ÷ ≠

p)

t



h

t



g h t

 

g

h

3

x

x

1

 "a matmtica !o & '!a i!cia/ &i !o $a i!cia mi&ma. (p$r)



REP"ETA

Ejercicio 2 a(

,(

c( !( e( (

D f

D f

Respuesta − 1

▪

→  ↓ 2↵

⊥  2

▪

D f D f

.

φ ;1

!(

−3  →  ↓2 ↵

e(

≅‰ > ;3φ

▪

φ;

D f D f

.(

D f

φ;

D f

> ;2

D f

▪

/(

0(

l(

,(

1

g(

i(

a(

♣ ♦ ♥

D f

• ;φ ÷ 2 ≠

Ejercicio 3

D f D f

>

φ 1 ‰;1

(

g(

;2 2

≅>

.(

φ

i(

φ 2 ‰ ;2

−3  →  ↓2 ↵

φ;

c(

φ 2 ‰ ;2

φ ;1

Respuesta

D f D I

>1 

D f

▪

D I

▪

Respuesta


−3  →  ↓2 ↵ −1  →  ↓2 ↵ φ ;4

D I

φ ;2≅

D f

> ;3φ

D I

>;1φ

D F

φ ;3

D I

▪

φ ;0

D f D I

▪

D f

▪

φ ;3

D I

D f

▪

D I

/(

0(

l(

Ejercicio 5

φ

D f

D f

;1

φ

▪

φ

D I

;3

D f

♠1 φ • ; ÷ ↔ ¬2 ≠

D I

▪

D f D I D f

D I

Ejercicio 4

▪

φ ;1

▪

♣ φ 1• ♦ ; ÷ ♥ 2≠ φ ;1 Respuesta


a(

2 x

1 ( x )

f

x 2

,(

x

1 ( x )

▪

D f 1 c(

D f 1

!(

f ( x )

x

f ( x1) x 2

D f 1 1

(

f ( x)

D f 1

c(

3

φ ;1

2

t ) (

3

!(

3

e(

▪ x 1

(

f ( x) Log x 3

i(

;3

/(

f ( x1)

;2

1

l(

;3 x

f ( x )

10

D f 1

▪

f ( x1)

D f 1 "(

φ

f ( x1)

D f 1

e x

1

2

φ 2

25 485

(r  t ) 3

512

( f  g ) 4

12

(r g ) x

5 x x



.(

i(

2

1

▪

8

x

(t  r ) x

x

0(

( f  g h) x

n(


3

1

2

4

x

( g  t ) x

"(

1

x 5

(h  t ) x

/(

l(

5

15

( g  f )♣1 •

2

▪ e x

8

3

( g ψ f ) 4

♦ ÷ ♥4 ≠

φ

$! x 3

D f 1 0(

g(

f ( x1) Log x 2 D f 1

2

2

▪

D f 1

7

2

1

.(

11

39 3)

→  ↓2 ↵

▪

D f 1 e(

( f

x 1

>

1

,(

2 x 3 −3 

1 ( x )

f

( g r )♣1 •

♦ ÷ ♥2 ≠

⊥ 2

▪

D f 1 f

a(

6 x

25

x

5

1

3 x x

x 7

4

( f  t )

3

5

6 x 5

( g  h t ) x ( g h)

5

4

27 8


o(

(t f )♣ 

♦ ♦ ÷ ÷ ♥ 2≠

(

UNIDAD NK +

1 3•

( g

h)

6

9 1

Li3i('*

4

C)35'('ncia* !l finali7ar la unidad el es/udian/e desarrollará las siguien/es compe/encias: -. !plica la definición de lími/es en la demos/ración de los mismos. (. !plica las propiedades de los lími/es en la resolución de problemas. *. Calcula asín/o/as 1er/icales@ Aori7on/ales y oblicuas. 5. !nali7a la con/inuidad y la discon/inuidad de las funciones.

C)n)ci3i'n()* 52'vi)* Para lograr un aprendi7a0e significa/i1o de es/a unidad el es/udian/e debe conocer los siguien/es /emas: -. (. *. 5.

#ac/ori7ación de polinomios. 'acionali7ación. %efinición y propiedades del 1alor absolu/o. %efinición y propiedades de los logari/mos.

D'>inición #' l93i(' Se dice Bue la función fO4R /iende a 8 $/PK IK' JNG S%&% T8 UN K)% %$ S8K' %N@ si para /odo error Epsilom  Η N /an peBueQo como se Buiera@ e4is/e o/ro error %el/Aa  Γ N  UNG /al Bue se 1erifiBue la siguien/e desigualdad: f ( x) L  Η @ cuando: x a  Γ . *%&% K')' UN Bue per/enece al dominio de la función donde se 1erifica Bue: f ( x) L 

Η @ Cuando: x

a

Γ ∀ x  Df

In('252'(ación 0')3@(2ica #'l L93i('. )eom6/ricamen/e al lími/e de una función se lo represen/a de la siguien/e manera:



a[ 1

1

L

? -

2

(

2

fO4R [ *4  Solución: 3 x

'eempla7ando en la definición

Η

2

♣ ♥

Η

2

3

3 x

'educiendo /6rminos seme0an/es

1•

3♦ x

÷ Η

#ac/ori7ando el /res

 Η

!plicando la propiedad del 1alor absolu/o

2≠ 1

3 x

2 1

x

1

1

Η 2

0.1 3

3

ο ω

Es el 1alor de del/Aa.

0.03

,= Calcular y demos/rar el siguien/e lími/e: lím x

1 [>

2

Para [

0.1

y 4

x ο 2

3

2

%a/os: a[( [>

1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-1

-2

-3

-4

f ( x) x

2

1

Solución: x

2

1 5

x

2

4

x

2 x

x

0 -7

Η

!plicando la definición .

Η 2

'es/ando -  > [  5

Η

#ac/ori7ando como diferencia de cuadrados perfec/os


1

2

3

4

5

6

7


x

Η

2

x

Pasando a di1idir el primer 1alor absolu/o

2

Η

ω

x

Es el 1alor momen/áneo de del/Aa

2

Se asume Bue: ω 1 x

2

ω

x

2

1

Es/a suposición se Aace cuando el 1alor de del/Aa Bueda en función de la 1ariable.

'eempla7ando el 1alor de del/Aa Oel unoR.

-  4  (  -( -(  4  -( -( - 4 *

ω

0.1 3

2

ο ω

Por la propiedad del 1alor absolu/o Pasando el  ( a sumar a ambos e4/remos

0.02

Es/e es el 1alor defini/i1o de del/Aa

R Calcular Calcular y demos/ demos/rar rar el siguien siguien/e /e lími/e: lími/e: lím x [ ( x ο 4

Para

Η

'acionali7ación

0.1 y 4

3

%a/os a[5 [(

2

1

x

0 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-1

f ( x)

-2

x

-3

-4

Solución: x

2

x

2

x

4

x

Η

!plicando la definición de ími/e

x

2

x

2

Η

'acionali7ando y aplicando la propiedad del 1alor absolu/o.

Η

2


2

3

4

5

6

7


x

ω

4

x

2 Η

Pasando a mul/iplicar.

2 Η

x

Se asume Bue: ω 1  OSe Aace la suposición cuando en el segundo miembro de la inecuación aparece la 1ariableR. x

4

ω

x

4

1

'eempla7ando el 1alor de del/Aa Oel unoR

-  4  5  -  5  4  -  5 * 4 >

ω

3

ω

0.37

!plicando la propiedad de 1alor absolu/o %ebemos elegir uno de los 1alores. El adecuado es el *.

2 0.1 Dalor defini/i1o de del/Aa.

)ráfica:

x ' 1 4 +

&x( ' 1 2 

Ma* '&'35l)* Calcular y demos/rar los siguien/es lími/es para Η 0.1



-R Lim 2 x 2

*R Lim

x ο 2

(R Lim xο

x ο

x 1

1

2 x

2

5

4

5R Lim1 3 x 1

15

x ο

>R Lim x 2 3 x 5

=R Lim x 7

R Lim x 3 2 x 2 x 2

,R Lim x

x ο 1

xο 2

xο 2

xο 4

2

L93i('* la('2al'* Si se /iene la función f ( x x ) y D D%E T8 $'D \%$'&D %N Z JN per/enecen a los n2meros reales@ en/onces el lími/e de la función f ( x x ) #8%)' UN K) %$ S8K' %$ S8K' %N D JN si sólo si se cumplen las siguien/es condiciones: $KR lilim

fO4R [  -

x ο a

58 D $ $/PK #8%)' UN K) % %N S'& la derecAa de la función fO4R ó lími/e la/eral derecAo.

+BR

lim

fO4R [  (

x ο a

ue se lee: lími/e #8%)' UN K) %$ S8K' %N por la i7Buierda de la función fO4R ó lími/e la/eral i7Buierdo.

L $ L

Para Bue un lími/e la/eral e4is/a se debe cumplir Bue:

+

E&'35l)* $. Calcular el siguien/e lími/e la/eral: "im xο 2

[

2x x



2

Solución:

"im xο 2

(2 2.1)

2 x x

2

2.1

2

φ

!Aora:

lím lím

x ο 2 1.9

Como -no es igual a  en/onces el lími/e la/eral n) '?i*(' ( Es decir:

Lim xο

2

2 x

x

[ "o e4is/e

2

M8* '&'35l)*


(2 1.9) 2

φ


+ Lim xο

1

3 x x 1

, Lim xο 2

3 x

2

2

 Lim x ο

2

1 x

2

: Lim xο 1

2 x x 1

; Lim xο 3

x x

3

T')2'3a* *)%2' l93i('* Son a4iomas Bue nos ayudan a resol1er los problemas sobre lími/es. En/re algunos de es/os /eoremas /enemos los siguien/es: $.

+.

,



:.

lím x ο a

m4 [ ma

lím x ο a

lím x ο a

lím x ο a lím

j a k y j b k Per/enecen a los n2meros reales

m4  b [ ma  b

'eempla7ando el 1alor j a k

b[b

En es/e caso $ \%$'& D EN

.f O4R [  k

x ο a f ( x)

lím x ο a

fO4R

k

a consK%K "N sale fuera del lími/e.

Se calcula el lími/e en el denominador

límf x x ο a

;.

♠ f ( x) ↔ x ο a ↔ ¬

.

♠ ≡ lím lím ↔ f ( x) g ( x)≈ f ( x) g ( x) ↔ ≈ ο ο x a x a x ο a ¬ …

lím

≡ lím

g ( x)≈

≈ … x ο a

f ( x)

lím

g ( x) x ο a

Se suman los lími/es .

lím


Se res/an los lími/es


♠ ≡ lím ↔ f ( x )  g ( x ) ≈ ↔ ≈ x ο ¬ …

lím

.

x ο a

a

f ( x )

♠ ≡ ↔ f ( x) ψ g ( x)≈ Lim xο a f ↔ ≈ x ο a ¬ … lím

J

> f ( x)≅

lím

$6.

x ο a

 lím

g ( x ) x ο a

x

k

> f x Lim xο a

ψ

> L≅

≅

k

Se mul/iplican los lími/

lím

g ( x) ; g ( x) ζ 0 x ο a

k

Es el lími/e de una po/encia

Acla2aci)n'* i35)2(an('* Se plan/ean las siguien/es aclaraciones Bue se debe /omar en cuen/a al momen/o de reali7ar los e0ercicios@ ya Bue es/as nos permi/irán facili/ar la resolución de los mismos. $ &n n2mero mayor Bue uno ele1ado a infini/o es infini/o. φ

♣4 • ♦÷ ♥3 ≠

Es decir:

φ

+ &n n2mero menor Bue uno ele1ado al infini/o es cero. φ

♣3 • ♦÷ ♥4 ≠

Es decir:

,

1 1

;

1 ;

1 10

0

0.1;

1 100

0.01. . . . jjj


1

φ

0

&n n2mero di1idido en/re infini/o es cero.




1

1;

1

1

10

0.1

;

1 0.01

1

100 jj

0

φ

&n n2mero di1ido en/re cero es infini/o.

In#'('23inaci)n'* Son e4presiones Bue debemos e1i/ar reali7ando sobre ellas operaciones algebraicas yJo ar/ificios ma/emá/icos. !lgunas de es/as inde/erminaciones son las siguien/es: 0 0

φ φ

G

G φ φ G

0υφ

G

0

0

G

φ0 G

φ

1

L93i('* '*5'cial'* Son aBuellos lími/es Bue por sus carac/erís/icas similares a o/ros lími/es nos ayudan a resol1er los problemas de o/ros lími/es de su misma especie. !lgunos de es/os lími/es especiales son los siguien/es: $R "im ο '

,R "im 'ο 0

' &! '

1

1 co& '

lím uο o

1

1 u

♣1 :R ♦ uο φ ♥ lím uο o

0

'

lím

;R

1

'

0

+R "im 'ο 0

R

&! '

a

u

u

e

u

u

1•

÷

u≠

1

e

$! a



R

lím

e

u

uο 0

1

[ ln OeR [ -

u

a= L93i('* al0'%2aic)* a$R Inde/erminación ?J?. Cuando se presen/a es/e /ipo de inde/erminación en una e4presión racional. Se fac/ori7a el numerador@ el denominador o ambos si es necesarioG para sal1ar la inde/erminación. #ac/ori7ación E&'35l)*: $R Calcular el lími/e: Lim

x

x ο 5

"im

x

xο 5

2

25

x

5

2

5

2

25

x

5

25

25 25

0

0

0

5 5

Inde/erminación

!Aora sal1amos la inde/erminación fac/ori7ando el numerador por diferencia de cuadrados perfec/os .

lím

x

x ο 5

2

25

x

[

5

lím

x

x ο 5

+R Calcular el lími/e. Lim

$im

x ο 0

1

x

2

2

1

x

0

2

2

2

0 1

x

x

x 1

x ο 0

x

5 x

2

5

5

[

lím x ο 5

x

5 5

5 10

1

x

1

0 0

0

Inde/erminación

S)lución : Sal1amos la inde/erminación desarrollando el produc/o no/able en el numerador y fac/ori7ando el denominador.

lím

x

x ο 0

[

$im

x ο 0

1

x

x

2

x 1

2

2

1 lím

2

x ο 0

x

0

x

2

0 1

2 1

2 x 1 1 lím x x 1

2


x x

2

x ο 0 x x 1


3

,R Calcular el lími/e: $im1 xο

1 1 3 5 1

2

0 1

2

8 x 6 x

3

2

1 5 x 1

8 x

$im

1

x ο

6 x

2

2

3

1 5 x 1

♣1 • 8♦ ÷ 1 ♥2 ≠ 2 ♣1 • ♣1 • 6♦ ÷ 5♦ ÷ ♥2 ≠ ♥2 ≠

♣1 • 8♦ ÷ ♥8 ≠ 1

1

♣1 • ♣5 • 6♦ ÷ ♦ ÷ ♥4 ≠ ♥2 ≠

[ 1

Inde/erminación

0

S)lución: Sal1amos la inde/erminación fac/ori7ando el numerador y el denominador lím x ο 1

8 x 6 x

2

3

2

1 5 x

$im 2 x 1 x ο

1

3 x

2

2

[

lím x ο 1

4 x

2

2

3 x

R Calcular el lími/e:

2 x

1

♣1 • 4♦ ÷ ♥2 ≠

♣ x 3 1 • ÷ $im♦ ÷ x ο 1♦ x 1 ♥ ≠

1 2

lím

3

1

1 2 x

♣1 • 2♦ ÷ 1 ♥2 ≠

♣1 • 3♦ ÷ ♥2 ≠

1

1 ♣ ♦ := Calcular el lími/e: $im ♦ x 2 x ο 0♦ x ♦ ♥

3

1

1

2 x

x ο 1

♣1 • 4♦ ÷ 2 ♥4 ≠ 3 1 2

1 4 x

2

2 x

3 x 1 2 x

2

1

2 1

1

1

6

2

'espues/a: ,

•÷ ÷ ÷ ÷≠

'espues/a: - $  

a+R Cuando se /iene una e4presión irracional y se presen/a la inde/erminación ?J?@ en/onces se racionali7a el numerador@ el denominador o ambos se es necesario para sal1ar la inde/erminación.



E&'35l)*:

'acionali7ación x 1

$R Calcular el lími/e: Lim

lím

x 1

x ο 1

x

xο 1

x

1 1

0

1

x 1

lím x ο 1

lím x ο 1

0

lím

x 1

1

1

3

x ο 2

x

x ο 2

3

x

2 3

2

3

1

1

+R Calcular el lími/e: Lim

lím

'eempla7ando se presen/a la siguien/e Inde/erminación .

1 1

1 x ο 1 x

x

x

1



$im

x

1

x 1

x

1 x ο 1

x

1

'acionali7ando el denominador.

x 1

R'*5u'*(a

2 x

2

x

3

2

2

2

0

2

3

0

2

Inde/erminación

Solución: racionali7ando el denominador. El fac/or de racionali7ación es: a 2 ab b 2 lím x ο 2

[

[

3

x

2

x

3

lím

x

lím xο

2 2

3

x

x ο 2

3

2

2

3

22

3

3

2 3

x

2

x

3

3

2 x

x

2

4

3

2

♠3 x ↔ 2 ↔ ¬3 x 2

lím

2 2

3

x ο 2

4

3

4


3

4

33 4

x

3

x  3 2

3

2

3

x  3 2

3

2

2

3

2 x

R'*5u'*(a.

3

4

≡ ≈ 2 ≈… 2


,. Calcular el lími/e:

♣ 3 x 2 $im ♦ xο 2♦ x 2 ♥

. Calcular el lími/e:

♣ x 2 $im ♦ x ο 2♦3 ♥

:. Calcular el lími/e:

$i m♦ x ο

2 x • ÷ ÷ ≠

6 x

♣ x 1♦ ♥ x

• ÷ ÷ ≠

'espues/a: $+

• ÷ ÷ ≠

'espues/a:

8

x

7

8

3

3

2

'espues/a: $  

φ @ φ n en/onces para sal1ar 6s/a inde/erminación se di1ide K')% $% US&Dy K& U N D)' N $ má4imo e4ponen/e de /oda la e4presión. a,R Si se /iene una e4presión racional en la cual se presen/a una inde/erminación del /ipo:

E&'35l)*: $R Calcular el lími/e: $m xο

x

φ

2

φ2 φ 1 φ φ3 9 φ

x 1

x

3

9

Inde/erminación

S)lución: Para es/e casoG se debe di1idir el numerador y el denominador en/re x 3 . PorBue es/e es el mayor e4ponen/e de /oda la e4presión.

x lím x ο

x

φ

1

2

x

1

[ φ

φ 1

1 lím

x 3

x ο

9

φ

2

x

x

3

x

x

3

x

3

1

3

x

3

9 x

3

1

2

φ3 9

0 1

0

φ3

+R Calcular el lími/e:


R'*5u'*(a

1 lím x ο

φ

x

1 x 1

1

2

x 9

x

3


lím

3

2t 3

6t 2

5

t ο φ

4t

S)lución:

2

2

φ

3

5

4

3

φ

6

φ

5

x ο

3

2t 3

φ

6t 2

5

4t

2

lím

lím

φ

5

3

6t 2

2

2

t

4t

5

t

t

%i1idiendo /odo en/re / .>

5

2

3

♣2t 3 • ♣6t ♦ ÷ ♦ ♥ t t ≠ ♥ t

lím

5

4



3

x ο φ

5

3

t

♣2t 3 • ♣6t 2 • ♦ ÷ ♦ ÷ ♥ t ≠ ♥ t ≠

x ο

Inde/erminación.

Para es/e caso di1idimos el numerador y el denominador en/re t 5 .

3

[

φ φ

2

5

2t 3 lím

2

t ο φ

5

t

4

2•

÷

t ≠

5 5

t

2

♣2 3 •  ♣6 2 • ♦ ÷ ♦ ÷ φ≠ ♥ φ≠ ♥ [ [

3

2 6

5

4

2

8  36

4

4

R'*5u'*(a

72

φ5

,R Calcular el lími/e: 2

lím

8t

6t 1 2

φ) (8

φ) 1 (6

2

φ) (2

2

φ φ

Inde/erminación

t ο φ

2t

S)lución:

Para es/e caso di1idimos el numerador y el denominador en/re t 2 .

1

1

2

2

lím t ο φ

8t

6t 1 2

2t

1

8t

lím t ο φ

2

t 2t 2

t


6t 2

t $im 1 t ο φ 2 t

8 2

6

1

t

t

2

1 2

t

2

Separando  K N


8

[ 2

6

1

φ

φ2

8

1

R'*5u'*(a

4

2

φ2 ♣ x $im ♦ x ο φ ♦2 x 2 ♥

 Calcular el siguien/e lími/e:

3

• ÷ ÷ 3≠

1 x

'espues/a: φ

a= In#'('23inación φ φ Cuando se presen/a es/e /ipo de inde/erminación en un lími/e algebraico@ se debe racionali7ar si la e4presión es irracional@ o reali7ar la operación correspondien/e para sal1ar la inde/erminación. E&'35l)*.

φ2

$= Calcular: Lim x 2 1 x [ φο x

!Aora racionali7amos: Lim x x ο

1 x.

φ

x

Lim x ο

2

φ

1 2

x

φ

2

x ο 1

♥ x

♣ R Calcular: Lim ♦ x x ο φ ♦ ♥

2 1 x

x

2

1 x

2

Lim x ο

2

♣1 ♥1 x

φ

φ

1

φ

2

x

1 x 2

Inde/erminación

2

1 x

1

Lim xο

φ

x

2

1 x

0

'espues/a: ?

• ÷ 1≠

.

'espues/a: ?

'espues/a: 1

1

x

1

• ÷ 1÷ ≠

:R Calcular: Lim ♦ xο 1

2

x 1

1

x

x

1 x

1 1

φο

,R Calcular: Lim ♣ ♦

1 x

1

+= Calcular: Lim x 1 x

2

x

1

Sus/i/uyendo /enemos:

φ φ φ φ

x

2

2

φ

1

• ÷ x ≠

%= L93i('* (2i0)n)3@(2ic)*


.

'espues/a: φ


Para resol1er es/e /ipo de lími/es se u/ili7an algunos delos siguien/es lími/es especiales: lím

$R

senu

uο 0

+R

lím

,R

lím

1

u

u

1

u ο 0 senu 1 co& u

uο 0

0

u

G

u

u x

E&'35l)*: $R Calcular el lími/e: Lim

Sen 8 x

x ο 0

$im

0) sen 8 x sen (8

x ο 0

x

x sen(0)

0

0

0

0

Inde/erminación

S)lución: Para es/e caso se mul/iplica y s e di1ide la e4presión por el coeficien/e del argumen/o de la función /rigonom6/rica. sen8 x

lím

[

[

x

x ο 0

lím

sen 8 x

x ο 0

8 x

lím

sen 8 x

x ο 0

81

x



8

lím

8

x ο 0

8  sen 8 x x

'espues/a

8

2

+R Calcular: Lim t ο 0

2

Lim t ο 0

t

t

1 Cos t 2

0

0

1 co&(0)

1 1

0

0

1 co& t

Inde/erminación

'acionali7ación

S)lución: En es/e caso se racionali7a el denominador . lím

2

t

t ο 0 1 co&

lím

2

t

t ο 0 1 co& t




1

co& t

lím

1

co& t

t ο 0

2

t 1

co& t 2

1 co& t


[

2

lím

t 1

t ο 0

lím

2

t ο 0 sen t

t

2

sen t

[ - ( O -cosO?RR [ -O--R [ +

,R Calcular el lími/e: Lim x ο 0

lím x ο 0

x sen 5 x

lím

1 co& t

1

co& t

R'*5u'*(a

x

Sen 8 x

x

Sen 5 x

0 se (0)

x sen 8 x

2

♣ t • ♦ ÷ t ο 0 ♥ sent ≠

2

co&

0 sen (0)

0

0

0

0

0

0

Inde/erminación

Solución: En es/e caso mul/iplicamos y di1idimos en/re ,4 en el numerador y en/re >4 en el denominador .

lím x ο 0

[

x sen 8 x 

lím

x sen 8 x

x ο 0

x sen 5 x

x sen 5 x 

lím

7 x

7

x ο 0

4 x

4

8 x 8 x

[

5 x

lím

x

8 x

x

5 x

x ο 0

5 x

sen 5 x 5 x

Iden/idades /rigonom6/ricas

t 0

t ο 0

8 x

'espues/a

= Calcular el lími/e: Lim 3t Ctg 4t ο lím

sen 8 x

3t  ctg 4t [ $im 3t 

1

36(0)  0 

tg 4t

1 0

0  φ Inde/erminación.

S)lución: &/ili7ando iden/idades /rigonom6/ricas lle1amos a seno y coseno lím t ο 0

lím

3t  ctg 4t

3t co& 4t  t ο 0 4t sen4t 4t  1

[

lím

3t 

t ο 0

lím

3

t ο 0 4

1 tg 4t

co& 4t


$im t ο 0 3t 

3 lím 4 t ο 0

co& 4t

lím

sen4t

t ο 0

cos 5/

3t 

co& 4t 4t sen4t  4t


[

3 4

co& (4 0)

3

1

R'*5u'*(a

4

:R Calcular el lími/e: sen3t lím t ο

tg 3t

co& 3t 0 sen4t sen4t

sen3t

sen(0)

0

0

co& 3t  sen4t

co&(0)  sen(0)

1 0

0

S)lución: le1amos a función seno y coseno u/ili7ando las iden/idades /rigonom6/ricas sen3t tg 3t

lím

t ο 0 sen4t

[

[

lím t ο

lím t ο

3t 

co& 3t 0 sen4t

sen3t

lím

lím

t ο 0 sen4t  co& 3t

t ο

sen3t 

3t

3t 0 sen4t  co& 3t

sen3t

3t 3t 1 lím 3t [ lím sen4t 4t 0 t ο 0 t ο 0 4t co& 3t 4t   co& 3t sen4t   co& 3t 4t 4t

t 3lím 4t t ο

1

t 3 lím 1 0 co& t 3 4t t ο 0 co&(0)

3 1  4 1

[

3 4

R'*5u'*(a

%= L93i('* '?5)n'ncial'* En es/e /ipo de lími/es la inde/erminación Bue se presen/a es inde/erminación se u/ili7a la siguien/e igualdad:

>

Lim f x x ο a

E&'35l)*: $R Calcular el lími/e: Lim >2 x 1≅

1

x 1

xο 1


≅

g x

>

Lim f x x ο a

e

≅

1 . g x

φ

1 . Para sal1ar es/a


lím x ο 1

♣1 • ÷ x 1 ≠

S)lución: lím x ο 1



♣1 • ÷ 1 1≠

>2 x 1≅♦♥

1

>2 1 1≅♦♥

3 1

0

φ

Inde/erminación

1

Para es/e caso reempla7amos en la e4presión . ♣1 • lím 2 x 1 1 ♦ x 1 ÷ ♥ ≠ x ο 1

>

1 ♣ ♦ •÷ ♥ x 1 ≠

>2 x 1≅

$m 2 xο 1

e(

≅

e

!plicando el Teorema * de lími/es@ se /iene es/e resul/ado.

+= Calcular el lími/e: Lim>1 Sen x≅Ctg x x ο 0

lím x ο 0

>1

≅

senx

>1

ctgx

co&(0 )

≅

sen(0) se 4 n ( 0)

1

10

φ

1

Inde/erminación

Solución: lím x ο 0

>1

≅

senx

♣co& x • senx♦ ÷ lím ♥ senx ≠ x ο

e

ctgx

lím co& x x ο 0

e

lím co& x xο 0 1 senx 1 senx

>

e

lím co&(0 ) x ο 0

e

≅

Simplificando

e

R'*5u'*(a

t

t 1≡ ,R Calcular el lími/e: Lim ♠ ↔ t ο φ ¬t 1≈… t

lím

t

♣t 1 • ♦ ÷ ♥t t ≠

♣ ♦1 ♥

lím ♠t 1≡ lím [ [ t ↔ ≈ t ο φ ¬t 1… t ο φ ♣t 1 • t ο φ ♣ ♦ ÷ ♦1 ♥t t ≠ ♥

Solución:


t

1•

÷ φ≠ 1•

t

÷ φ≠

[ 1φ

Inde/erminación


t

♠t 1≡ ↔ ≈[ e t ο φ ¬t 1… lím

♠t 1 1≡t lím ↔ ¬t 1 ≈… x φο

♠t 1 t 1 ≡ $im ↔ t 1 ≈t ¬ … x φο

e

2 t

lím x ο φ 1

e

2 1

φ

$im

[ e

t t

x ο φ

♠ ≡ ↔ 2 ≈ $im ↔ 1 ≈ ≈ 1 x ο φ ↔ ↔ φ ≈ ¬ … e

= Calcular el lími/e:

t ο φ

1

1

1

t

e

t

2

e

2

lím

t

Simplificando

^\))' K&  K N

R'*5u'*(a

R'cu'2#' u'

t 2

♠t 1 ≡ Lim ↔ ≈ t ο φ ¬ t 3 …

1

φ

0

'espues/a: e5

1

:= Calcular el lími/e:

1 7t ≡ t ♠ Lim ↔ ≈ t ο 0 ¬ 1 2t …

'espues/a: e>

c= L93i('* l)0a29(3ic)* Para resol1er es/e /ipo de lími/es se u/ili7a el siguien/e lími/e especial: lím

e

x ο 0

f ( x )

f ( x)

1

$! e

1

0

Siempre Bue IU K)% % N #8%)' UN K) % N Z D S&DKa una inde/erminación . de 0

E&'35l)*: $R Calcular el lími/e: Lim

e

2 x

xο 0

e

2x

1

[

lím

e

2 ( 0)

1

x

1

e

0

1

1 1

0

Inde/erminación 0 0 0 0 x ο 0 S)lución: ?8$KS$#%P'D Z )\)P'D S'& $ #'I#K )$ US'K ) N

x



lím

e

2x

x ο 0

1

lím

[

x

e

e

3 x

x ο 0

e

3 x

x ο 0

1

e

x ο 0

2

e

2 x

1

(2 1)

2 x

R'*5u'*(a

2

1

4 x

3( 0 )

4 x

lím

1 2  x 2

x ο 0

+R Calcular el lími/e: Lim lím

2 x

1

e

(0 )

(4 0)

1

(0)

1 1

0

(0)

0

Inde/erminación

S)lución: Mul/iplicamos y di1idimos por el coeficien/e del e4ponen/e de N S%&% $$]%& %$ $/PK DS#%$ lím

e

3 x

x ο 0

lím

1

e

x ο 0

4 x

,R Calcular el lími/e: Lim

e

1 3 e 1 3 lím   4 x 3 x ο 0 4 3 x

4 x

x ο 0

lím

e

4 x

e

2 x

e

3 x

3 x

e

(3 1)

3

4

4

R'*5u'*(a

2 x

x

4( 0 )

e

2( 0)

e

0

e

0

1 1

0

0

0

Inde/erminación

x ο 0

x

S)lución:

Para es/e caso u/ili7amos el ar/ificio de sumar y res/ar uno para llegar al lími/e especial.

lím

e

4 x

x ο 0

lím

[

(0)

e

2 x

lím

4 x

e

x ο 0

x

e

e

0

4 x

x ο 0

e

2 x

x



2 x

1 1

lím

4

x ο 0

e

e

4 x

x ο 0

x

4

lím

1 4  x 4

lím x ο 0

e

2 x

x

1

υ2 2

2 x

1 2  x 2

[ 5

lím

x ο 0

e

4 x

x

x

1

(

lím

x ο 0

e

2 x

x

1

5O-R [ 5  ([

(

R'*ul(a#)

A*9n()(a* Son gráficas de rec/as Bue definen y limi/an las gráficas de las funciones. as asín/o/as pueden ser Der/icales@ ori7on/ales y $blicuas. $K= A*9n()(a* H)2i)n(al'*



%ada la función \[ fO4R@ en/onces la rec/a 4  % represen/a a una asín/o/a Aori7on/al siempre y cuando se cumplan las siguien/es condiciones: IR "im f x οφ x

IIR "im f x x

N)(a. P%&% T8 UDK% $% %D/K'K% L'&'K%$ $'D \%$'&D ) EN )E D& ]8%$D

b b

φο

+K= A*9n()(a* V'2(ical'* %ada la función y[ fO4R@ en/onces la rec/a ? [ a represen/a a una asín/o/a 1er/ical siempre y cuando se cumplan las siguien/es proposiciones: aR bR cR dR

f x f x f x f x

ο ο ο ο

φ φ φ φ

cuando x ο a cuando x ο a cuando x ο a cuando x ο a

N)(a. !Buí se deben calcular los lími/es la/erales

,K= A*9n()(a* O%licua* )eneralmen/e e4is/en asín/o/as oblicuas cuando no e4is/en asín/o/as Aori7on/ales. En/onces las asín/o/as oblicuas es/án definidas por la ecuación 4  3?%. %onde:

m

b

"im xο

f x

φ

>

x

"im f x x

φο

mx

≅

E&'35l)*: $R %ada la siguien/e función: fO4R [

3 x

9

x

2

Calcular: aR %ominio bR !sín/o/as cR )raficar Solución: aR %f [ %f [ ' 

⊥ 2 

PorBue el - + es el 2nico 1alor Bue Aace cero al denominador de la función.



bR !sín/o/as: b.-R !sín/o/a ori7on/al.

Inde / erminación

lím

3 x

9

lím

x ο φ

x

2

x ο

$im x ο

φ

3 x

9

$im

x

2

x ο

φ

φ

3 x

9

x x

x 2

x 3 x

x 9

x x

x 2

x

x

3

lím x ο

φ

1 3

$im x ο

φ

1

∃a.h. en:

φ φ

9 x 2

lím x ο

φ

x 9 x 2 x

y [*

φ

φ

1

,

2

1 3

$im x ο

9

3

φ 9

φ 2

3

φ

E4is/e asín/o/a Aori7on/al en es/e pun/o.

b.(R. !sín/o/a Der/ical. !Buí se debe calcular los lími/es la/erales en el pun/o 4 [  (. lím x ο

2

3 x

9

x

2

lím x ο

2

3

3 x

9

x

2

3

/1 9

9

/1 9

2

/2 1

9

φ

/2 1 2

∃. A.V . b.*R

φ

en

x

2

E4is/e asín/o/a 1er/ical en es/e pun/o.

!sín/o/a $blicua. "o e4is/e asín/o/a oblicua porBue e4is/e asín/o/a Aori7on/al. cR )rafica: a gráfica debe reali7ar el es/udian/e. )raficar

+R Si: fO4R [

x

2

2 x

1

x

Calcular: aR %ominio bR !sín/o/as cR )raficar



Solución: aR %f [  %f [ '  ⊥0

El cero es el 2nico 1alor Bue Aace Bue el denominador se Aaga cero.

bR !sín/o/as: b.-R !sín/o/a ori7on/al.

lím x ο

x

2

2 x

φ

lím

1

x ο

x

x

2

x

2

2 x 2

x x

φ

x 1

lím x ο φ

2

1

1

x x 2 1

2

2

φ 1

x ο 0 lím x ο 0

2

2 x

2 x

0

∃

%i1idiendo en/re 4(.

φ

A .H . "o e4is/e asín/o/a Aori7on/al.

ími/es la/erales ( /0 1)

1

2

12(

x x

[

φ

b.(R !sín/o/a Der/ical 2

2

2

1

[

[φ

x

x

1

φ

x

lím

1

/0 1) 1

/0 1 (

1

/0 1)

2

x

12(

/0 1) 1

/0 1

∃

A.V .

b.*R !sín/o/a $blicua.


en

x

0

φ

φ E4is/e asín/o/a 1er/ical en es/e pun/o.


x

 m $im

f (x )

x οφ

m

X

Ÿ m

2x

1

$im x

2

2

2

x

x x

xοφ

2

xοφ

2x 1

$im

x

x 2 x

2

x Ÿ m

Ÿ m

1 $im xοφ

2

$im

2

2x 1 x2

x οφ

1 2

x x Ÿ m 1

$im1 xοφ

2

1

φ φ

[$

2

3$  b $im >f (x )mχx ( ) ≅ Ÿ b οφ x

b

x

♠2 x 1 Ÿ ≡ b $im ↔ ≈ xοφ ¬ x …

$im x οφ

♠ x 2 $im ↔ x οφ ¬ 2 x

1 Ÿ x x

%+

OD $ \%$'& ) PN 2x 1

x

b

$im2 x οφ

≡ x≈Ÿ … 1

φ

b

♠x 2 $im ↔ xοφ ¬

[(

OD $ \%$'& ) EN

En/onces: 'eempla7ando en la ecuación de asín/o/a oblicua se /iene : y [ m4  b

4?+

Ecuación de la asín/o/a oblicua.

. cR )ráfica: 

3


2x 1 x x

2

≡ ≈ …


C)n(inui#a# 'n un 5un() Se dice Bue una función es con/inua en el pun/o ?  a siempre y cuando cumpla las siguien/es condiciones: $K fOaR debe e4is/ir +K $im fO4R debe e4is/ir x οφ

,K fOaR [ $im fO4R x οφ Si se cumplen 6s/as #')#'D K'#D $% I8#y IUN D con/inua en el pun/o ? aG de lo #'K&%&' D )# T8 IUN D )D#'K8% en dicAo pun/o.

E&'35l)* $= Si fO4R[ Calcular: aR bR cR dR Solución: a= %f [ Df ▪

1 2

'es/ricciones para el dominio

x

%ominio !sín/o/as !nali7ar la con/inuidad )raficar

⊥2

El #)* es el 2nico 1alor Bue lo Aace cero al denominador.

%= A*9n()(a*: b.-R !sín/o/a ori7on/al.  $im οφ x

 $im οφ x

1 2 x 1 2 x

$im xοφ

$im xοφ

1

1

2φ

φ

1

1

2φ

φ

Ÿ∃ AH . . eny

0

b.(R !sín/o/a Der/ical.


0 0

E4is/e asín/o/a Aori7on/al en es/e pun/o .


1

 $im x ο 2

$im

xο 2

2 x 1

 $im x ο 2

$im

xο 2

2 x

1

φ

2 (2/1) 1

φ

2 (1/9)

En/onces e4is/e asín/o/a 1er/ical en el pun/o ?  +

b.*R !sín/o/a $blicua.

∃ A . .

"o e4is/e asín/o/a oblicua porBue e4is/e asín/o/a Aori7on/al.

c= Con/inuidad: -

f O(R [

( $im x ο 2

1

1

2 2

0

1 2 x

* f O(R ζ $im xο 2

$im xο 2

φ

"o Cumple

1

1

2 2

0

φ

1

"o Cumple "o cumple

2 x

Ÿ f (x )es!iscontinuaenx

2

#= )ráfica: 

A5H5

2

A 5) 5


3


+R Si fO4R [ Calcular: aR bR cR dR

x x

2

1

%ominio !sín/o/as !nali7ar la con/inuidad )raficar

Solución: a= %f [ %f [ ▪

⊥1;1

Es/os dos 1alores Aacen al denominador cero O  - y  - R .

bR !sín/o/as: b.-R !sín/o/a ori7on/al. x

 $im x οφ

x x

2

1

$im

xοφ

x x

2

x

2

2

1 x

$im

xοφ

1

2

x

 $im οφ x

x x

2

1

$im

xοφ

x x

2

x

2

2

1 x

Ÿ∃ AH . .eny

$im

xοφ

1

2

0

1

1

x

φ 1

x

2

0 1

1

φ

1

1

x

φ 1

x

2

1

1

0 1

φ

1

0

0

E4is/e asín/o/a Aori7on/al en es/e pun/o

b.(R !sín/o/as Der/icales.

$B Para 4[  $im x ο

1

 $im x ο

1

x x

2

0/9 1

x x

2

(0/9)

2

φ

1

1/1 1

( 1/1)

Ÿ∃ AV . .enx

2

φ

1

1

+B Para 4[Elaborado por: Ing. MSc. Miguel E. Cuellar M.

E4is/e asín/o/a 1er/ical en es/e pun/o


 $im x ο 1

 $im x ο 1

x x

1/1

2

x x

φ

(1/1)2 1

1

0/9

2

1

(0/9)

2

φ

1

Ÿ∃ AV . .enx

E4is/e asín/o/a 1er/ical en es/e pun/o .

1

c= Con/inuidad: $B Para 4 [ 1

- f O-R [ ( $im x ο

x

1

1

2

( 1)

1

0

x

1

2

2

1

( 1)

* f O-R ζ $im x ο

1

φ

"o Cumple

φ

"o Cumple

x x

1

2

"o Cumple

1

Ÿ fO4R es #i*c)n(inua en

?-$

+B Para 4[- fO-R [ ( $im x ο 1

x

1 2

1

1 1

φ

0

x 2

"o Cumple

1 2

1

(1)

* f O-R ζ $im x ο 1

x

1 1

0

φ

"o Cumple

x 2

"o Cumple

1

Ÿ fO4R es #i*c)n(inua en ?  $ 

A5H5

-1

A 5) 5


1

A 5) 5

3


PRACTICO N° 2 a) a$c'$ar $o& &i'i!t& $mit& 6x 12

1) "im xο 2

2x

4) "im xο 2

x

3

2

x3 2

x

xο 1

3

"im

4

2

1

"im xο 0

2x

xο

x

9! x3

! x3

x3 ! 2x

3

x 1

φ

x x

x

8

3

x

3

2

5x

3

4x

2

1$)

x

φο

x

25) Lim x φο 2 x 1 x

2%)

"im

31) "im


! x3

xο 0

xο 0

2x

! x3 ! 2x !5x

1

! 4 x

6x

2

"im xο 1

xο 3

1

1

3

2

1

x

2

6x

8

x

7

x

3

x

5

x

3

2

1

x

2

8

2') "im xο

x

φ

2

x3 x

x 2

23) Lim x φο x 2#) "im x x

3

x

x

1

"im

1

5x 1

2

1

2

3

2

3

x

x3 1

22) "im x 1

x

8x

1

1

x 1

4

x

xο 2

14)

1

x

2

11) "im

x

2

xο 1

5

x

6

x

xο

3

1&) "im

9!2x

2x

"im

xο 1

1 x

3

1

3

"im

#)

x

x

1#) "im

x 1

xο 1

%) "im

13)

24) Lim x φο x 1

xο 0

xο 0

xο 3

x 16

φο

3') "im

3

x 1

5) "im

1') "im

x

21) "im x

2$)

x

x

"im

xο 0

x

x ο 16

x

3

x

3)

2

x 1 1

xο 0

xο 0

x

x 1

"im

1%) "im

1

2x 1

x

&) "im

15)

4

16x 12

3

1

xο 0

12)

2

xο 1

3

7x

x

$) "im

2) "im

4

x

x

2

x

φο

2&) "im xο 0

32) "im xο 0

4

9! 2x ta x3

tax !x x

3

1

1


1

33) "im 1 x

♣2x

"im ♦ xο φ ♥2x

3#)

3&) "im

x2



o&x

xο 0

42) "im xο 0

x 

3x

34) "im 1 8x

2x

xο 0

2

÷

6≠

3$)

♣1 7x • x

"im ♦ ÷ xο 0 ♥1 2x ≠

4') "im

43) "im



! 2 x





mx



1

3%) "im o&x

41)



"im

44)

x

x



xο 0

x

!x

x

&!x

xο 0

!x

x

xο 0

! 2x

8x

• ÷ 4x ≠ 1

1

3x 1

3•

35)

4x

xο 0

xο 0

1

♣ "im ♦1 xο φ ♥

1



"im xο 0

3x



2x

! 4x

() a*a& $a& &i'i!t& f'!cio!&. a$c'$ar omi!io/ :&!tota& y raficar $a f'!ci!.

1) f x

4) f x

7) f x

10) f x

3 x

9

x

2

2) f x

2 x 1

2

x x

2

x

1

5) f x

8) f x

2

x

5

11) f x

x

2

x 1

1 x

2 x x

2

x

3 2 x 1

1

x

2

9

x

12) f x

x

x

2

c) a*a& $a& &i'i!t& f'!cio!&. a$c'$ar omi!io/ :&!tota&/ :!a$i
1) f x

4) f x

3 x

4 5

3 x

2) f x

5) f x


2 x

3

x 2 x

3

2

3) f x

6) f x

2

x

9) f x

4

2

x 1

6) f x

2

2

2 x 1

3) f x

1 2 x x x

2

2

9

2 x

2


7) f x

1 x

2

8) f x

1

x x

2

9)

4

f x

x x

2

16

Re*e+a E,ercicio a

Re*e+a

E,ercicio a

Re*e+a

E,ercicio a

Re*e+a

1

3

16

23

31

1

2

0

17

32

12

3

12

18

2

33

4

-3

19

52

34

e

2

5

3

20

32

35

e

2

6

6

21

0

36

e

7

5

22

φ

37

e

8

1

23

0

38

1

9

14

24

0

39

1

10

1

25

φ

40

1

11

12

26

0

41

2

12

12

27

23

42

32

13

3

28

32

43

m-!

14

3

29

23

44

14

15

-18

30

-1

45


1

e2

9=2

5


UNIDAD NK ,

D'2iva#a*

C)35'('ncia* !l finali7ar la unidad@ el es/udian/e desarrollará las siguien/es compe/encias: $B !plica la definición de las deri1adas en el cálculo de la deri1ada de una función +B Mane0a adecuadamen/e las /ablas de deri1ación ,K Calcula las deri1adas de las funciones u/ili7ando /ablas  !plica la deri1ación implíci/a en el cálculo de la ecuación de la rec/a. : !plica las deri1adas en el an8li*i* comple/o de las funciones. C)n)ci3i'n()* P2'vi)* Para lograr un aprendi7a0e significa/i1o de la unidad@ el es/udian/e debe conocer los siguien/es /emas: $B Simplificación de fracciones algebraicas +B %efinición y propiedades de los logari/mos ,B Dalor num6rico B a ecuación de la rec/a Pun/o Pendien/e :B Iden/idades Trigonom6/ricas ;B a rec/a Tangen/e K ími/es algebraicos@ Trigonom6/ricos@ E4ponenciales y ogarí/micos %ig5 N6 2

%ig5 N6 1

4 e /E

 e /E

%&x(

E/e 3

%&x(

E/e 3 %ig5 N6 4

%ig5 N6 

%&x(

 e /E

E/e 3


 e /E

E/e 3


D'>inición #' D'2iva#a J% )&\%)% ) $% I8#y  I N  $ S8K'  U  D $% S)K  P  ) $% &#K% K%]K  $ pun/o U4 G f O4R y se la define de la siguien/e manera:

/

f x

Lim

f x

hο 0

h

f x

h

In('252'(ación G')3@(2ica #' la #'2iva#a )eom6/ricamen/e la deri1ada de una función se la puede represen/ar de la siguien/e manera:

I XU

P

m [ /g ∆ %ig5 N6 4 % &x7.(

% &x(

/g ∆ [ ∋ y h

 /e E

∋ y

∆

% &x(

. x

E/e 3

f >(x)

$im

f (x h

nο 0

)

x7.

f (x )

h

N)(ación #' D'2iva#a E4is/en diferen/es formas de represen/ar a una deri1adaG en/re algunas de ellas /enemos las siguien/es: f >(x)

y>

!y !x

Dxy

Γ y Γ x

E&'35l)*: $= Calcular la deri1ada por definición de la siguien/e función. En el pun/o ?  $



f O4R [4 2Solución: !plicando la definición de la deri1ada se /iene. f >(x)

$im

f (x h

)

f (x )

%efinición

hο 0

h %esarrollando el produc/o no/able y simplificando. f x>( ) f x>( )

$im

( x h )

2

1 ( x

hο 0

$im

2

1) Ÿ f x>( )

h 2

2 xh h

hο 0

Ÿ f x>( )

$im

f x>( ) 2 x f >(1) 2(1)

$im

x

2

2

2xh h

hο 0

h(2 x h )

hο 0 h Es la deri1ada de la función !Aora reempla7amos el 1alor

imi/es !lgebraicos

h

1 x

2

1

h

Ÿ f x>( )

$im2 x h hο 0

'espues/a cuando se reempla7a el pun/o 4 [ - en la deri1ada.

f >(1) 2

+= Calcular la deri1ada por definición de la siguien/e función en el pun/o ? : f (x )

x 4

Solución: x h f >(x)

4

$im hο 0

x 4 

h 2

x h f x>( )

f x>( )

h

x

x 4

h 4

x 4

h

$im hο 0

h

xh

4

4

x 4

x h

4

x 4

!Buí se racionali7a el numerador.

2

4

$im hο 0

x h

hο 0

Ÿ f x>( )$im x 4

x

Ÿ f x>( )$im

hο 0

h

h 4 x 4

xh

4

x 4

1 x h

4

x 4

1 Ÿ f x>( )$im hο 0 hο 0 x 4 x 4 2 x 4 1 1 Ÿ f x>( )$im f >(5) $im hο 0 hο 0 2(1) 2 5 4 f x>( )

f >(5)

$im

1 2

1

R'*5u'*(a

,. Calcular la deri1ada de la siguien/e función por definición: f (x ) a x Solución: !plicando la definición de deri1ada@ dis/ribuyendo el e4ponen/e y fac/ori7ando .



x h

f x>( )

$im

f x>( )

$im

hο 0

a

a

x

x

Ÿ f x>( )

h x h a (a 1) h

hο 0

$im

h

a a.

hο 0

a

x

h

Ÿ a x $! a Ÿ f x>( )

x

x

Ÿ f x>( )

a $! a

$im

h

a a(

hο 0

1)

h

'espues/a

R Calcular la deri1ada de siguien/e función por definición: > ?=  *'n ? Solución: %eri1ando por definición y aplicando la iden/idad: S'nA"= S'nA C)*"  S'n" C)*A f x>( ) f x>( ) f x>( )

f x>( )

sen(x h ) senx senx.co&+ co& xsenh . senx Ÿ f x>( ) $im $im hο 0 hο 0 h h (co& + 1) senh !grupando /6rminos y fac/ori7ando Sen4 . $im senx co& x. hο 0 h h 1 Cosu (1 co& +) !plicando el lími/e especial . Limu ο 0 $im senx co& x hο 0 u h 'espues/a

co& x

0

Iden/idades T r igonom6/ricas

:R Calcular la deri1ada por definición de la siguien/e función: > ?=  c)* ? Solución: %eri1ando por definición y aplicando la iden/idad f x>( )

$im

f >(x)

$im

f x>( )

$im

Limu ο 0

f x>( )

hο 0

co&( x h )

co& x Ÿ f x>( )

h co& x(co& h 1) senx senh .

hο 0

hο 0

co& x

1 co& u u

senx

h (1 co& h ) h

senx .

$im hο 0

C)* A"=  C)*AC)*" - S'nA S'n"

co& x.co& h senx senh .

co& x

h !grupando y fac/ori7ando Cos4 .

senh h

!plicando el lími/e especial

0 'espues/a.

D'2ivación 5)2 Ta%la* Para calcular las deri1adas de las funciones se u/ili7ará las siguien/es /ablas: En la presen/e /aE$% D #'D)&% #'P' #'DK%KD % $%D $K&%D %N EN #N Z "N Z $%D $K&%D 8N \N Z N #'P' I8#'D ) UN



Función

D'2iva#a

Función

D'2iva#a

y[

y[ ?

y[4

yN[ -

y

u

n

y

y

u."

>

y y y

y

y

u 1

e

y

n

u

y

n 1

nu >

u ." u

y

c u

>

.u

>

u."

y >

n.u u u

e .u

$! u

y

u

k .u

u ."

>

y

n

y

n 1

>

y

a

u

y

>

>

y

$o a u

y

u

n 1

u

>

>

2 u u

a $! a.u

>

u

>

>

2

c.n.u

>

y

u

>

u."

"

>

u

>

y

c

y

>

>

"

>

>

y

u

y

c

>

k .u

u

>

>

u

$o a e

y sen u

y >

co& u .u >

y

co& u

y >

sen u .u >

y

tg u

y >

&c 2 u .u >

y

ctg u

y >

c&c 2 u .u >

y

&c u

y

y

&c u .tg u .u y

arcsen u

y

>

y y

arc &c u x

y

e

y

a

x

u

>

u u u

y>

x

e

x

y > a $! x


c &c u

y >

c&c u .ctg u .u >

2

y

arcco& u

y

arcctg u

y

u

>

2

y

u

>

1

y

arcc &c u

y

$! x

y Logx

y

u

>

u u

y> y>

1 x 1 x

˜ Loge

2

2

>

1 u

> 2

>

1 u

>

1 u

>

y

>

1 u

arctg u

y

u

>

>

2

>

1


E&'35l)*. %eri1ar las siguien/es funciones u/ili7ando /ablas. $= f (x )

x2 1

Solución: f x>( )

2.x 2

f x>( )

2x

1

'espues/a

1

+R f ( x)

x

%eri1ando

0

3

2

Solución: !n/es de deri1ar subimos la 4 al( numerador cambiando de signo del e4ponen/e. 2

3

f x

>

2 x

2 1

>

2 x

3

f x

x

f x

Pasando al denominador el e4ponen/e nega/i1o

2

>

f x

0

x

3

,R f (x )

x

Solución: 1

f (x )

f x>( )

= f ( x)

Primeramen/e e4presamos como e4ponen/e y luego deri1amos

x2 1 2

1

x

2

1

Ÿ f x>( )

1

2

x

x3

1 2

1

x

2

Ÿ f x>( )

1 1

2 x 2

Ÿ f x>( )

1

'espues/a.

2 x

11

Solución: !n/es de deri1ar pasamos al numerador las 1ariables cambiando el signo del e4ponen/e.



1

f x

2

x

1

>

f x

2 1

>

f x

2

3

2 x 1 2

x

2

x 1

>

3 x

6 x

4

3 1

0

6 3

x

2

2 x 1

>

2

3

f x

f x

11

4

6

2 x

x

3

4

D'2iva#a #' un P2)#uc() Cuando dos funciones se es/án mul/iplicando@ su deri1ada es: la primera función deri1ada@ por la segunda sin deri1ar@ más la primera sin deri1ar por la segunda deri1ada@ es decir: y [ u . 1 Ÿ Z V 8 V \ 8 \ V

Mul/iplicación de polinomios

E&'35l)*: %eri1ar las siguien/es e4presiones: $R f (x )

( x 2 1)( x 3)

Solución: 3) ( x 2 1)(1)

f x>( )

(2 x)(x

f x>( )

2x 2

6x

f x>( )

3x 2

6x 1

+R f (x )

%eri1ando el produc/o

x2 1

Mul/iplicando 'espues/a

x (x 3 1)

Solución: 1

f (x ) f x>( ) f x>( )

x 2 (x 1 2

3

1)

E4presando la raí7 como e4ponen/e y luego deri1ando.

1

x 2 .( x

x

3

1

2 x

3

1)

2 x (3x ) Ÿ f x>( )

2

x (3x ) [

x

3


1 2 x

1 2 x 3 x 2 x

2

[

x x

3

3

2

1

x (3x )

1 6 x

3

2 x

[

7 x

3

2 x

1


D'2iva#a #' un C)ci'n(' Cuando dos funciones se es/án di1idiendo@ su deri1ada es: la función del numerador deri1ada por el denominador sin deri1ar@ menos el numerador sin deri1ar por el denominador deri1adaG /odo di1idido en/re el denominador al cuadrado@ es decir: u Ÿ y > "

y

u >" u" > "

2

E&'35l)*: %eri1ar las siguien/es e4presiones. x

$R f ( x)

2

1

x

2

Solución: %eri1ando el cocien/e 2 x x

>

f x

2 x

>

f x >

f x

2

x

x

2

2

4 x x

2

x x

2

2

2

1 1 1

Mul/iplicando

2

2

4 x 1

x x

+R f ( x)

2

2 3

8

x

Solución:

%eri1ando el cocien/e. 2

3 x x

>

f x >

f x >

f x

x 3 x

3

x x

2 x

,R f ( x) Solución:

x

3

x

3

8 1

2

3

8

Mul/iplicando

2

8 2

x(x

1)

x 1

x

2

x

x 1

En es/e caso se puede mul/iplicar en el numerador an/es de deri1ar. %eri1ando el cocien/e y agrupando /6rminos seme0an/es



2 x 1 x 1

>

f x

x 1 2 x

>

f x >

f x

x

2

2

x 1

2

2 x x 1 x x 1

x

2

2

x

Mul/iplicando

2

2 x 1

x 1

2

R'0la #' la Ca#'na Es/a regla se aplica para deri1ar funciones Bue /ienen e4ponen/es num6ricos y consis/e en deri1ar el e4ponen/eG para luego mul/iplicar por la deri1ada de la función en sí@ es decir: n n 1 y u Ÿ y > n .u . u >

E&'35l)*: $= %eri1ar: f (x )

(2 x 1)5

Solución: f x>( )

5(2 x 1)4. 2

%eri1ando el e4ponen/e y mul/iplicando por la deri1ada de O (4- R

f x>( )

10(2 x 1) 4

Mul/iplicando > por ( se /iene .

+R %eri1ar: f (x )

x2

x 6

Solución: f (x ) f (x )

x 1 2

2

x 6

x

2

1 2

x 6

E4presando con e4ponen/e 1 2

.(2 x 1) uego se debe ba0ar al denominador la e4presión con e4ponen/e nega/i1o.

2 x 1

f ( x)

2 x

2

,R %eri1ar: f ( x)

'espues/a.

x 6

♣1 ♦ x ♥

4

2

• ÷ ≠

Solución: f x>( )

4( x

1

2)3 .( 1 x 2 )


Subiendo la 4 al numerador y luego deri1ando .


♣1 4♦ ♥ x

f x>( )

♣1 4♦ ♥ x ) f x

>(

x

3

• ÷ ≠

2

x

2

3a0ando 4-y 4

(

al denominador.

3

2

• ÷ ≠

'espues/a

2

D'2iva#a* E?5)n'ncial'* Para resol1er es/e /ipo de deri1adas aplicamos las siguien/es /ablas: $B

x a Ÿ y >

y

x

a .$! a

+B y au Ÿ y > au .$! au .> ,B y e x Ÿ y > e x B y eu Ÿ y > euu. > E&'35l)*: %eri1ar las siguien/es e4presiones. $= %eri1ar: f ( x)

x

3

Solución: f >(x)

3 x.$!3

+= %eri1ar: f ( x)

!Buí se u/ili7a la /abla y [ a 4

2

x

Solución: f >(x)

x

2 .$! 2.

1 2 x

x

2 .$! 2 > ( ) f x 2 x

'espues/a


Para es/e caso u/ili7amos la /abla y [ a u.


,= %eri1ar: f (x ) e x Solución: f x>( )

a deri1ada de e4es e .4

e x

= %eri1ar: f (x ) e x

2

1

Solución: x

2

1

f x>( )

e

f x>( )

2xe

%eri1ando con la /abla y [ e .u

(2 x)

x

2

'espues/a.

1

:= %eri1ar: f (x ) Solución:

e x x 2

3

f x>( )

e x x 2

3

e x (2 x)

f x>( )

e x x 2

3 2x

#ac/ori7ando e4se /iene :

f x>( )

e x x 2

2x 3

'espues/a

%eri1ando el produc/o

D'2iva#a* L)0a29(3ica* Para resol1er es/e /ipo de deri1adas se u/ili7a las siguien/es /ablas: $B y $! x Ÿ y > +B y $! u Ÿ y > ,B y $o u Ÿ y > B y $o x Ÿ y >

1 x u> u u> u 1 x

.$o e

.$o e

E&'35l)*: $R %eri1ar: f (x ) Solución: 1 > ( ) f x x

$! x !plicando la /abla y [ ln 4



+R %eri1ar: f (x ) Solución: f x>( )

1 x

$o x

%eri1ando el logari/mo

$o e

,R %eri1ar: f (x ) Solución:

$!(x 2 1)

2 x > ( ) f x 2 x 1

%eri1ando el logari/mo

R %eri1ar: f (x ) Solución: f x>( )

3 x ( x

3

$o(x3

2

2x 1

x

2

x 10)

x2

x 10) %eri1ando el logari/mo

.$o e

x

e

:R %eri1ar: f ( x)

$! x

Solución: x

e ($! x) f x>( )

e

($! x)

x

x

e

x Ÿ f x>( )

2

;= %eri1ar: f (x )

1

$!(x 1)e x

♣$! x ♦ ♥ 2

1 x

$! x

• ÷ ≠

%eri1ando el cocien/e y fac/ori7ando e4.

2

Solución: f x>( )

1

x 2

( x 1)

.e

$!( x 1).e

x 2

.(1)

%eri1ando el produc/o.

x 2

f x>( ) f x>( )

e

x 2

( x 1) e x

2

$rdenando

$!( x 1).e

♣ 1 ♦( x 1) ♥

$!( x 1)

• ÷ ≠

#ac/ori7ando e4(

D'2iva#a* T2i0)n)3@(2ica* Para resol1er es/e /ipo de deri1adas se u/ili7a las siguien/es /ablas: $B y senu Ÿ y > co& u .u >



+ y co& u Ÿ y >

senu u . >

,B y tgu Ÿ y > &c2 u .u > B y ctgu Ÿ y >

c&c2 u .u >

:B y &c u Ÿ y > &c u .tgu u. > ;B y c&c u Ÿ y > E&'35l)* : $R %eri1ar: f (x )

c&c u .ctgu u. >

sen(x

2

1)

Solución: !Buí aplicamos la /abla y [ sen u f x>( )

co&(x

2

R'*5u'*(a

1)(2 x)

+R %eri1ar: f (x ) co& x Solución: !Buí aplicamos la /abla y [ Cos u f x>( )

sen

1

x . 2

sen

x

x

R'*5u'*(a

f >(x) 2

x

,R %eri1ar: f (x ) Solución:

tg (2 x 1)

f x>( )

&c2(2 x 1)(2)

f x>( )

2&c2(2 x 1)

R %eri1ar: f (x ) Solución:

R'*5u'*(a

$!(senx )

co& x > ( ) f x senx

f x>( )

ctgx


%eri1ando el logari/mo na/ural !plicando la iden/idad /rigonom6/rica


senx

:R %eri1ar: f ( x)

co& x

Solución: f >(x)

co& x.co& x ( senx

f >(x)

1)( senx )

2

co& x 2 sen x senx

2

f >(x)

1

co& x

Mul/iplicando y aplicando la iden/idad: Sen (4 Cos (4 [ -

2

co& x 1 senx

%eri1ando como un cocien/e .

R'*5u'*(a

2

co& x

E&'2cici)* 2'*u'l()* %eri1ar las siguien/es e4presiones:

$= f (x ) e sen(x

1)

Solución: Para es/e caso aplicamos la /abla de y [ e f x>( )

e sen(x

f x>( )

co& x .e sen(x

+R f ( x)

$!

1)

u

.(co& x) 1)

R'*5u'*(a

x 1 x 1

Solución: f ( x)

f ( x)

f x>( ) f >(x)

f >(x)

♣ x $! ♦ ♥ x

1 1

1

•2 ÷ ≠

♣ x 1 $! ♦ 2 ♥ x 1

1

1

>$!(x 2

E4presando la raí7 como e4ponen/e

• ÷ ≠

1) $!(x 1)

1♠ 1 2↔ ¬ x

1 1

Por Propiedad de logari/mo . LogA n

x

Por Propiedad de logari/mo . Log

≡ ≈ 1…

1 ♣ x 1 x 1

♦

≅

2 ♥( x 1)( x 1)

• ÷ ≠


'es/ando fracciones

A #

nLog A

LogA Log #


1♣

2

♦ 2 ♥( x

f >(x)

1)( x 1)

• ÷ ≠

1 > ( ) f x 2 x 1

,R f x

R'*5u'*(a

$! x

e

Simplificando

2

1

Solución: !Buí aplicamos la /abla 4  ' u y la /abla de 4  ln u ?

f x

$! x

e

2

♠ 2 x ≡ 2 ↔ x 1≈ ¬ …

1

R'*5u'*(a

x

$!(e )

R f ( x)

x

e

Solución: Para es/e caso aplicamos la /abla del la #'2iva#a #'l c)ci'n(' x

e

x

x

e

f >(x)

x

.e

$! e e.

x

%eri1ando como un cocien/e .

x 2

(e ) x

x

e (1 $! e )

f >(x)

x

e .e

x

Simplificando y fac/ori7ando e 4.

x

f >(x)

1 $! e

R'*5u'*(a

x

e

:R f ( x)

4

♣1 ♦ ♥

• ÷ ≠

x

1

2x

2

Solución: f x

f (x )

f ( x)

♣ 4 ♦1 ♥

1 4

3

•.( 2 x 2 ) ÷ x ≠ 3 2 • ♣ 8 ♦1 ÷ ♥ x ≠ 2

x

Pasando la 4 al numerador

2

%eri1ando por la R'0la #' la ca#'na

R'*5u'*(a



;R f (x )

sen4x(

3

1)

Solución: f x>( )

4sen3x(

f x>( )

4sen x(

f x>( )

12 x2sen 3x(

3

!plicando la 2'0la #' la ca#'na.

3

1).u >

3

1).co&(x

3

3

2

1)(3x )

1).co&(x3 1)

^&\%)' 8N

R'*5u'*(a

R f (x ) $!@sen(x 2 4)A Solución: !plicamos la deri1ada 4  ln u co&( x

f >(x)

2

4)(2 x) 2

sen(x

co&( x

4) 2

f x>( )

2 x. 2 sen(x

f x>( )

2 xctg . (x

R f ( x)

♠1 $! ↔ ¬1

2

4)

Pasando el (4 adelan/e y u/ili7ando la iden/idad /rigonom6/rica

4)

R'*5u'*(a

4)

≡ ≈ …

x

e

x

e

Propiedades de los logari/mos

Solución: f (x )

$!(1 e x ) $!(1 ex ) x

f >(x)

e

e x

x

f >(x)

%eri1ando 4  ln u

(1 e ) x

x

x

e (1 e ) e (1 e ) x

x

(1 e )(1 e ) x

f >(x)

x x

(1 e )

e

e

2x

e

x

e

x

!plicando la propiedad de logari/mos.

x

'eali7ando la operación de suma de fracciones.

2x

(1 e )(1 e )

Simplificando y sumando.

x

f >(x)

2e x

x

(1 e )(1 e )

R'5u'*(a



JR f ( x)

x

$o

2

2

Propiedades de los logari/mos

x

Solución: 1

f ( x) f ( x)

f (x )

f x>( )

f x>( )

f x>( )

♣ x 2 2 •2 $o ♦ ÷ ♥ x ≠ ♣ x 2 2 • 1 $o ♦ ÷ 2 ♥ x ≠ 1 2

@$o(x

2

↔

1 ♠2 x

↔ 2 2 ¬ ( x

1 ♠ x

2

↔ 2 2 ¬ x ( x

$6R f (x )

x

1

.$o e

2) 2

El e4ponen/e ba0a por la propiedad del logari/mo !plicando la propiedad de logari/mo para la di1isión

2) $o(x)A

1 ♠ 2 x 2 ¬( x 2

!no/amos el signo radical como e4ponen/e

2

2

2) x 2 2)

x3 $! x e

x

≡ ≈ …

.$o e

≡ .$o ≈ e …

%eri1ando

'eali7ando la operación de res/a de fracciones

≡ .$o ≈ e …

R'5u'*(a

tg 4x

Solución: Para es/e caso primero se aplica la /abla del produc/o y luego la /abla de e u. >

f x

2

3

3 x $! x x .

1 x

e

tg 4 x

2

.Sec 4 x .4

D'2ivación I35l9ci(a "o siempre resul/a fácil despe0ar la 1ariable dependien/e cuándo 6s/a es/á en función de la 1ariable independien/e en una ecuación implíci/a. Es por 6s/a ra7ón BueG para de/erminar la der\%)% &DS#K' ) UN D 8K$% la deri1ación implíci/a Bue se basa en la regla de la cadena y consis/e en: $B %eri1ar ambos miembros de $% #8%#y PS$/#K% &DS#K' ) UN +B %espe0ar algebraicamen/e y X.



E&'35l)* : $. %eri1ar en forma implíci/a la siguien/e e4presión: y

3

xy x

10

Solución:

>(1)y

2

3 y y. >

3 y 2y. > y y >(3 y 2 y >

x(y>)

≅

1 0

Mul/iplicando y separando Z X.

xy > 1

#aca/ori7ando Z X.

x) 1 y

1 y 3 y

2

^&\%)' %PE'D PPE&'D &DS#K' ) UN

%espe0ando Z X.

x

♣ ♥

+R Calcular la ecuación de la rec/a en el pun/o: $ ♦ 2; x

2

4 y

2

1 2

•de la siguien/e e4presión: ÷ ≠

10

Solución: %eri1ando ambos miembros de la ecuación

2 x 8 yy > 0 2 x y > 8 y x y > 4 y > m y m

%espe0ando

Por definición de deri1ada

x

2

4 y

♣1 • 4♦ ÷ ♥ 2 ≠

2 4

2 Ÿ 4

m

1 2

Pendien/e

2

!Aora reempla7amos la pendien/e en la ecuación de la rec/a pun/opendien/e. y y1

y

1 2

m x

1 2

x

x1

2

Ecuación de la rec/a pun/opendien/e.

'eempla7ando el pun/o.



1

y

1

2

y

1 x 2

y

1 x 2

2

x 2

2

2

1

2

Mul/iplicando en el segundo miembro

Pasando al segundo miembro

2

1

.

2

2

Ecuación de la rec/a.

2

♣ 2 2• ,R Calcular la ecuación de la rec/a en el pun/o: ♦ ♦ ; ÷÷ para la siguien/e ecuación: ♥2

2

x x(

2

2

y )

y

2

≠

2

Solución: x 4

x 2y 2

y2

4 x3 @2 xy2 4 x

3

2 xy

x 2 .2 yy . >A 2 yy . >

2

2

2 x yy > 2 yy >

0

2 x yyχ 2 yyχ

4 x

3

2 xy

y >(2 x 2y

4 x3

2 xy2

2

y >

y >

2 y)

2 x (2 x

2

y )

2

1)

2 y ( x x(2 x

y )

m

2

1)

#ac/ori7ando Z X como fac/or com2n .

%espe0ando Z X.

#ac/ori7ando

Por definición

2

y )

2

1)

y ( x

Separando en el primer miembro Z X

2

> m y x(2 x

Mul/iplicando

2

2

y ( x

2

%eri1ando en forma implíci/a

2


Calculando la pendien/e


♠ ♣ 2 •2 ♣ 2 •2 ↔ 2♦ ÷ ♦ ÷ ↔ ¬ ♥ 2 ≠ ♥2 ≠ 2 ≡ 2 ♠♣ 2 • ↔ ♦ ÷ 1 ≈ 2 ↔ ≈ ¬♥ 2 ≠ …

2 2 m

m

2

2

y

m(x

x1 )

♣

2

3♦ ♦x

♥

2

2

y

3x

y

3x

1 1 2

1 2 1

2 1

3

2 1 2

2 1

2

2

Pendien/e

3

y y1

y

≡ ≈ ≈ …

2

• ÷÷ ≠

3 2

3 x

2

2

'eempla7ando el pun/o en la ecuación de la rec/a

Mul/iplicando

2

3 2

Ecuación de la rec/a: Pun/o pendien/e

%espe0ando y

2

Ecuación de la rec/a

2

= Calcular la ecuación de la rec/a en el pun/o O 5 G - R para la siguien/e e4presión: x

y

3

:R Calcular la ecuación de la rec/a en el pun/o O * G - R para la siguien/e e4presión: xy

xy 2

6

,= Calcular la ecuación de la rec/a en el pun/o O - G - R para la siguien/e e4presión: x

y

xy

6

= Calcular la ecuación de la rec/a en el pun/o O ( G y 2

x x 2

1 1


5 5

R para la siguien/e e4presión:


An8li*i* #' Funci)n'* En el análisis comple/o de las funciones se reali7ará direc/amen/e un e0emplo y en 6l se e4plicará el procedimien/o en cada paso del análisis de las funciones. $R !nali7ar comple/amen/e la siguien/e función: f (x )

x3

6x2

9x 6

$B Pun()* C29(ic)* I Para calcular los pun/os crí/icos I@ se Aalla la primera deri1ada@ se iguala a cero y se resuel1e. 3x 2 12x 9

f (x )

Primera deri1ada

Ecuaciones de segundo grado

3 x 2 12 x 9 0 3( x 2 4 x 3) 0

Igualando a cero #ac/ori7ando el /res

x2 4 x 3 0 ( x 3)( x 1) 0

'esol1iendo por fac/ori7ación .

4*[? 4[*

4-[? 4[P.C.I

N)(a El grado de la primera deri1ada de/ermina la can/idad de pun/os crí/icos I. +B M8?i3)* 4 M9ni3)* Se anali7an 1alores an/es y despu6s de cada uno de los pun/os crí/icos IG sus/i/uyendo 6s/os 1alores en la primera deri1adaG si el signo cambia de posi/i1o a nega/i1o@ en/onces e4is/e un má4imo en es/e pun/oG si el signo cambia de nega/i1o a posi/i1o en/onces e4is/e un mínimo en es/e pun/o. ξ

Para 4 [ f >(0) f >(2)

ξ

∃ max enx

1

Má4. O -G -? R

∃ mi! enx

3

Min. O *G  R

Para 4 [ * f >(2) f >(4)



,B C2'ci3i'n() 4 D'c2'ci3i'n() I n/er1alos Se anali7an los in/er1alos de los pun/os crí/ico I@ sus/i/uyendo 1alores en la primera deri1adaG si el resul/ado es posi/i1o en/onces la función crece y si el resul/ado es nega/i1o@ en/onces la función decrece. (φ ;1) ο f >(0)

Crece

(1; 3 ) ο f >(2)

Decrece

( 3; φ )ο

Crece

f >(4)

B Pun()* C29(ic)* II Se calcula la segunda deri1ada@ se iguala a cero y se resuel1e. f >>( x)

6 x 12

4  -( [ ? 4 [ -(

Segunda deri1ada Igualando a cero 'esol1iendo

4 [ ( P.C.II "o/a. El grado de la segunda deri1ada de/ermina la can/idad de pun/os crí/icos II.

:B Pun()* #' In>l'?ión &n pun/o de infle4ión es un cambio de conca1idad y para calcular el mismo se anali7an 1alores an/es y despu6s de los pun/o crí/icos II G si e4is/e un cambio de signo al reempla7ar en la segunda deri1ada en/onces e4is/e un pun/o de infle4ión en 6s/e 1alor. f >>(0)

∃ %I. enx .

f >>(4)

2

P.I. O( G ,R

;B C)ncavi#a# Se anali7an los in/er1alos en los pun/os crí/icos II@ sus/i/uyendo 6s/os en la segunda deri1adaG si el resul/ado es nega/i1o en/onces la función es cónca1a Aacia aba0o y si el resul/ado es posi/i1o en/onces la función es cónca1a Aacia arriba. (φ ;2) (2; φ ο)

ο

f >>(0) f >>(4)



B G28>ica  /e E

Max5

Min5

E/e 3 1


2




PRACTICO N° 3

a( BCDBE B E"FGE %GE"H% %G IJ EGKGCLM %G I@/ DL"B"AN%M LOBK J K"FB""CE GB r&'$ta*o ! ca*a ca&o. 1)

f x

4) f x

x

1

1

x

x

2

1 x

2

3

3

2

7) f x

2x

10) f x

4 x 3

13) f x 16) f x

4

4x

♣ 2 ♦ ♥

f x

22) f x

3x 1

23)

! 2x

5

.x

1

2

f x

20) f x

x

f x

6)

f x

1 2

1

(

x

1

(

x

x

2

x

2

o&

9)

6

x

"!

2x 1 x

x

3

12)

• ÷ ≠

f x

f x

18)

f x

21)

x3 1

2

5

x

2

x x

1 1

3

15) f x

2

1

x

1

x

x



"o x

f x

2

P 

2x 1

x 6

3x 4



f x

x

4

"! 4x 2

24) f x

! >"! x3 1 ≅

27)

9c x

f x

3

2

1

b) a$c'$ar $a *riva*a * $a f'!ci! ! $ p'!to i!*ica*o.

1) f x

x

3) f x

x3 2

5) f x

2

2 x 8

O! ( 2 ; 4 )

2)

O! ( 0 ; 2 )

4)

f x

f x

x 1

3 x

3

O! ( -1 ; - 3  2 )

4


3

"! x 1

f x

26)

3)

x

f x

! 2x 3

"!. x 1

1

11)

17

12

x

x

x

19) f x

25) f x

1 3

x

8) f x

14)

2

"! 4x 2



2

f x

5) f x

3

x

3

2)

2

6)

f x

O! ( 2 ; 2 )

3 x3 4x

x 2x

1

O! ( 2 ; 3 )

3

1 x

2

3 x

2

O! ( 4 ; 1  16 )


7) f x

O! ( 0 ; 36 )

3

37 Sec 2 x

8) f x

1 x

Cos x

O!

(

Σ 2 ; ) 2 Σ

c) rivar $a& &i'i!t& xpr&io!& ! forma imp$cita 1) 3 x 5 y 3

4)

x

2

x

3

y

4

y

6

x 2

2 y 4

5)

1

2) 2 x 2 y 4 x

2

y

2

1

1

1

3 x 6 y 2

1

3) x 3 y 5 y 2 x 4

6) e xy

1 x

2

7) e x

10

Cos x y

d) a*a& $a& &i'i!t& xpr&io!&/ ca$c'$ar $a c'aci! * $a rcta ! $ p'!to i!*ica*o.

1) x 2

4 y

4 O! ♣ ♦ 2;

2

♥

2

2

5)

x

y

7)

y

3) x x

y2

3

2

y2

x

3

y

x

O!

2

(1;1)

♣

1

x

O! ♦ ♦2 ;

1

2) 3 x 2

♣ 2 2 • 4) ♦ ÷ ; ♦2 2 ÷ ♥ ≠

O!

3

1 • ÷ 2≠

♥

y

2 2

x

6) P x

O! ( 3 ; 1 )

100xy

O!

3

y

y

x

(4;1)

O! ( 0 ; 0 )

5•

÷ 5 ÷ ≠

8)

x y

x y

6

O! ( 1 ; 1 )

e) a*a& $a& &i'i!t& f'!cio!&. a$c'$ar $o& p'!to& crtico& / mximo& y m!imo&/ crcimi!to y *crcimi!to/ p'!to& crtico& / p'!to& * i!f$xi!/ co!cavi*a* y raficar $a f'!ci!. 1)

f x

3)

f x

5)

f x

7)

f x

9)

f x

x

3

6x

x3

5

3

2

x

9x 2

2

5

x

2

x3

4

3

3

9x

3

2

6)

f x

x

8)

f x

4x 2

10)

f x

2x

2


24x 15 x2

3

x

2

x3

f x

4

4

x

4x

2

2x

f x

4)

x8 15

x

2)

3

4

12x

x4 x8 3

6x


Uni#a# NB 

In('02al'*

C)35'('ncia* !l finali7ar la unidad el es/udian/e desarrollará las siguien/es compe/encias: $B 'esuel1e in/egrales indefinidas u/ili7ando /ablas + !plica los diferen/es m6/odos de in/egración para calcular primi/i1as de las funciones ,B !plica las propiedades de la in/egral en el cálculo de in/egrales definidas  !plica las in/egrales definidas para calcular áreas C)n)ci3i'n()* 52'vi)* Para lograr un aprendi7a0e significa/i1o de 6s/a unidad el es/udian/e debe conocer los siguien/es /emas: $ )ráficas de funciones + $peraciones !lgebraicas , %eri1adas de funciones  Dalor "um6rico :K Simplificación de e4presiones !lgebraicas In('02al In#'>ini#a %ada una función fO4R se dice Bue la función #O4R es la primi/i1a de fO4R siempre y cuando se cumpla Bue: RXU I U. OK'#D $ #'M8K' ) K')%D $%D S&PK\%D ) 8% I8#y  I N D $$%P% /egral indefinida y se la represen/a de la siguien/e forma: #unción

≥ f x( )!x

F (x)

c

Primi/i1a Cons/an/e ifr!cia$

Signo In/egral ! las in/egrales indefinidas /ambi6n se las denomina an/ideri1adas.

In('02ación 5)2 (a%la* Para calcular la primi/i1a de una función se u/ili7arán las siguien/es /ablas: En la S&DK K%E$% D )E K'P%&  #8K% T8 $%D $K&%D %N EN Z #N &S&DK% % $%D #'DK%KD Z $%D $K&%D 8N \N Z N &S&DK% % $%D I8#'D



≥a.!u a.≥!u !u

≥u

$! u

c

P)2 5a2('*:


Propiedad


E&'35l)*:

≥

$R In/e In/egr graar: x 2!x

$peraciones con fracciones ari/m6/icas

Solución: !Buí sumamos  - al e4ponen/e y di1idimos en/re esa suma .

≥ x

2

x

!x

3

2

2

1

1

c

3

c

3 1

x

x

3

c

≥ x!x

+R In/e In/egr graar:

Solución. Primeramen/e se e4presa la raí7 como e4ponen/e y luego in/egramos aplicando la /abla . 1 1

≥ x !x 2

x 2 1 2

1

c 1

3

x 2 3 2 2 3

,R In/egrar:

Sumando   -.

c

x

3

c

≥ 2 x

5

3

x !x

Solución. Primeramen/e separamos en dos in/egrales para luego in/egrar en forma simul/ánea .



≥2

x

5

x

3

!x

5

≥2

x !x

3

≥x !x

5

≥2 x !x 2

3

≥x !x

5

≥

2 x 2!x

3

≥x !x

5

≥

2 x 2!x

3

≥x !x

♠♣ 5 1 • ≡ 3 1 2 ↔♦ x ≈ ÷ x 2♦ ↔ ≈c ÷ 5 3 1 ↔♦ 1 ÷ ≈ ↔ ≈ ≠ ¬ ♥2 … ♠♣ 7 ↔♦ x 2 2♦ ↔ ↔♦ 7 ↔ ¬ ♥2

≡ • 4 ÷ x ≈ ≈c ÷ 4 ≈ ÷ ≈ ≠ … ♠4 7 x 4 ≡ ↔ x ≈c 7 4 ¬ …

'espues/a.

≥

R In/e In/egr grar ar:: ( x 2)( x 2)!x Solución. !plicamos la diferencia de cuadrados perfec/os y luego separamos en dos in/egrales

≥ x

2

4 !x

2

≥x !x ≥4 !x ≥ x !x 4 ≥!x 2

♠ x 2 1 ≡ 4 x ↔ ≈ ¬2 1 … ♠ x3 ↔ ¬3

:R In/e In/egr grar ar::

♣ x3 x ≥♦♥ x2

≡

4 x ≈ c

…

2

• ≠

!x ÷

Solución. En es/e caso es con1enien/e separar el denominador para cada /6rmino del numerador. uego separamos cada /6rmino en in/egrales separadas para luego in/egrar simul/áneamen/e simul/áneamen/e aplicando las /ablas de in/egración.



♣ x3 x 2 • ÷!x 2 ≥♦ x ♥ ≠

♣x5 2 ≥♦ ♥x

x x

2

♣ 1 x ≥♦ ♥ x

2 •

!x 2 ÷ x ≠ 2 • !x 2 ÷ x ≠

≥

x!x

1

1

≥x

!x

2

≥x

2

!x

2

≥ x!x ≥ x !x 2≥x !x ♣ x 2 ♦ ♥2 ♣ x 2 ♦ ♥2 ♣ x 2 ♦ ♥2

$! x $! x $! x

Sacando el dos fuera de la in/egral

2 1

• 2 ÷c 2 1 ≠ 1 x • 2 ÷c 1 ≠ x

2 •

÷c

x ≠

In('02ación 5)2 Su*(i(ución Es/e m6/odo consiDK  D8DKK8& S%&K ) $% I8#y ' K')% $% I8#y S'& 8% 8\% \%&%E$  K N para luego in/egrar es/a nue1a 1ariable de una manera más sencilla u/ili7ando /ablas. E&'35l)*

≥

$R In/egrar: (2 x 1)5 !x Solución: O DK #%D'  K N \%$e lo Bue es/á en el par6n/esis. Sus/i/ución: 2x 1

t !t !x !t 2

≥

5

(2 x 1) !x

≥ 5

t .

2

1

!x

2 1


!t 2

≥t !t.

12

5

2 x 1

6

1 t

2 6 6

c

c


≥

+R In/egrar: x 1 x 2!x Solución: O DK #%D'  K N \%$ $ &%)#%)'. Sus/i/ución: 1

1 x

t !t

≥1

2

♣ !t • ÷ ≥t ♦ ♥ 2 ≠

2

x x!x

1 t 2 2 3

x!x

2

1

t !t 2≥ 2

3

2 x

!x !t

1

2

1

c

3

3 2 2

(1 x )

c

2 1

2 3

(1 x )

3

c

≥

,R In/egrar: sen(3 x!x ) ) Solución: WT8/  K  1ale el argumen/o de la función /rigonom6/rica Sus/i/ución:

≥

sen(3 x !x ) )

3x

t !t !x !t 3

3

1

!x

3

co& t

c

≥

R In/egrar: e5 x!x Solución: WT8/  K  \%$ $ US'K )   N Sus/i/ución: t !t !x !t 5

5x

5 x

t

!t

≥e !x ≥e . 5

5

1

!x

5 1 5


1

t

≥e .!t 5

t

(e ) c 5 x

!t

≥ ≥ 3 1 1 sent!t . ( co& )t ≥ 3 3 sen(t )!x

(e ) c

sen(t ).

1 3

co&(3x)

c c


:R In/egrar:

x

≥ 2 x

2

!x

3

5

Solución: WT8/  K  \%$ $ &%)#%)' . Sus/i/ución: t !t !x !t 6

2x

3

6 x

≥

5

x 2 2 x

3

!x 5

2

1 !t 1 . t 1 2 6 6 t

≥

≥

1 1 ♣t 2 •

2

1 3

2 x

x

;= In/egrar:

≥1

= In/egrar:

≥1

3

x

3

x

5

.!t

t

3

c

c

'espues/a: $! 3. $! 1 3 x

!x.

x

e

3

2

1

♦1 ÷ c 6♦ 2 ÷ ♥ ≠

x !x

1

'espues/a:

.!x

1

e

x

c

c

e

In('02ación 5)2 Pa2('* Es/e m6/odo se u/ili7a cuando dos o mas funciones se es/án mul/iplicandoG donde al reali7ar la sus/i/ución se ob/iene una nue1a in/egral más fácil de resol1er u/ili7ando /ablas o reali7ando una nue1a sus/i/ución. Para in/egrar por 6s/e m6/odo se Aace uso de la siguien/e igualdad: a deri1ada del Produc/o : In/egrando ambos miembros se /iene :

! (u")

!u"

u!"

≥! (u" ) ≥!u" ≥u!" u" ≥"!u ≥ u!"

%espe0ando el segundo /6rmino del segundo miembro Buedará:

≥u!" E&'35l)* :


u"

≥"!u


≥

$R In/egrar: xe x!x Solución: Cuando se es/án mul/iplicando una función x %$]E&%#% Z 8% US'#%$  8  \%$ $% %$]E&%#% xe !x

xe

u

( xe

≥

x

x

x

!u

x

e x(

1

!x !u

x

≥e !x x

e ) c 1) c

!x x

≥!" ≥e !x "

x

e

≥

+R In/egrar: x2 $! x!x Solución: 8%)' D DKi P8$KS$#%)' 8% I8#y %$]E&%#% Z 8% $']%&/KP#%  8  \%$ $% $ogarí/mica. $

!

!u

1

!x

x !x

!u

u

x

≥

2

x $! x!x

x

x

3

≥3

3

.

1

!x x

2

≥x !x 3

$! x

♠ x3 1 ♣x3 •≡ ↔ $! x ♦ ÷ ≈c 3 3 ♥ 3 ≠… ¬

2

≥!" ≥x !x "

3

3

3

x

x

$! x.

x

3

x ♠ $! x 3 ↔ ¬

3

3

1 ≡ ≈c 3 …

≥

,R In/egrar: xe2 x!x Solución: u

x

!u

≥ 1

!x !u

≥!" ≥e !x Sus/i/ución: 2x

!t !x !t 2 "

1 2x 1 2x x. e e !x 2 2 1 2 x 1 2 x xe e !x 2 2

≥

≥

!x 2 x

t

2 x

xe !x

2

♠1 2 x xe ↔ ¬2

1 ♣1

♠1 2 x xe ↔ ¬2

1

1 2

!x 1 2

e

2 x


2 x

♣ ♥

e ♦x

♦ e 2 ♥2 4

e

2x

2x

•≡ ÷ ≈c ≠…

≡ ≈c …

1 • ÷c 2 ≠


≥

R In/egrar: xsen (3 x !x ) Solución: Cuando se es/á P8$KS$#%)' 8% I8#y %$]E&%#% Z 8% K&]''PpK&#%  8  \%$ $% %$]E&%#% u

x

!u

≥ xsen x(3!x)

1

!x !u

Sus/i/ución: *%&% L%$$%& $ \%$'& )  \  D debe reali7ar por el m6/odo de sus/i/ución.

" " "

3

≥x co&(3x) ≥co&(3x) !x

3

1

!x

♠1 x co&(3x) ↔ ¬ 3 1♠ x co&(3x) 3↔ ¬

1

≥!" ≥sen (3x !x) "

3 1

1 ♣1

!t

3

1

♠1 ↔ 3 x co&(3x) ¬

3x

!x !t

3

1

≥ 3 co&(3 x).!x

co&(3 x)

1 x co&(3x) 3 1 x co&(3x) 3

!x

) ≥!x ≥sen(3x !x

t

1

x.

≥

sent .

1 3 1 3

!t

•≡ x ) ÷≈c ♦ sen(3 3 ♥3 ≠… 9

3

sen(3 x )

≡ ≈c …

sen(3 x )

≡ ≈c …

3

≥sent!t. ( co& )t 1 3

co&(3 x)

In('02al D'>ini#a %ada una función con/inua no nega/i1a e in/egrableG el área de la porción del plano limi/ada por la gráfica de la funció $ M  U N Z $%D &#K%D U % y 4[b se denominan in/egral definida en/re %N Z  E N Z D $' &S&DK% ) $% D]8K manera: b

) ≥ f (x !x a

a [ ími/e inferior 4 e /E

%&x(

A

E/e 3


b[ ími/e Superior


P2)5i'#a#'* Si se /iene las funciones f O4R y g O 4 R y se dice Bue 6s/as son funciones con/inuas en el in/er1alo de in/egración a δ x δ b @ en/onces se pueden definir las siguien/es propiedades: a

≥ f x !x

$R

0

a

b

a

a

b

≥ f (x )!x

+R

b

b

≥c f x( !x)

,R

≥f x( )!x ≥

c f x !x ()

a

a

b

≥@ f( x)

R

g (x)A!x

a

b

≥@ f( x)

:R

g (x)A!x

a

b

b

a

a

b

b

a

a

≥f (x )!x ≥g (x)!x ≥f (x )!x ≥g (x)!x

c

b

b

a

c

a

≥ f (x )!x ≥f (x )!x ≥f (x )!x

;R

= Teorema #undamen/al del cálculo in/egral. b

≥

f (x )!x

f (x )

b a

f (b )

f (a )

R'0la #' "a22)

a

b

≥

= f x !x

b

a f x0

%onde a x0

a

u

J= F u

≥

f x !x Ÿ

a

!F u !u

f u

E&'35l)*:


b Primer Teorema del Dalor Medio


3

$R Calcular: ≥ x 2!x 1

Solución: Primeramen/e calculamos la primi/i1a y luego aplicamos el /eorema fundamen/al 3

x3

≥ x !x 2

3 1

3

1

(3)3

(1)3

27

1

26

3

3

3

3

3

2

≥

+R Calcular: ( x 2 1)!x 0

Solución: Primeramen/e calculamos la primi/i1a y luego aplicamos el /eorema fundamen/al

♣ x3 ♦3 ♥

2

≥( x

2

1)!x

0

8

2

3

• 2 ♠23 x ÷0 ↔ ≠ ¬3

8 6

14

3

3

≡ ♠ 03 2≈ ↔ … ¬3

≡ …

0≈

2

≥

,R Calcular: ( x3 x 5)!x 1

Solución: Primeramen/e calculamos la primi/i1a y luego aplicamos el /eorema fundamen/al

♣ x 4 ♦4 ♥

2

≥

( x

3

x 5)!x

1

♠24 ↔4 ¬ ♣16 ♦ ♥4 16

2

2

2

4 2

x

2

2

5x

•2 ÷1 ≠

≡ ♠ 14 12 ≡ 5.2 ≈ ↔ 5.1≈ … ¬4 2 … • ♣1 1 5 • (4 2 10 ÷ ♦ ≠ ♥ 4 2 ÷≠

23

64 23

41

4

4

4

10)

♣1 ♦ ♥

2 20 • 4

÷≠

5

≥

R Calcular: (2 x

2

x )!x

1

Solución: Primeramen/e calculamos la primi/i1a y luego aplicamos el /eorema fundamen/al 3 5

≥

(2 x

1

5 2

x )!x

≥

(4 x

1

2

2

4x

x )!x



♣ ♦4 x3 ♦ ♦3 ♥ ♣4(5)3 ♦ 3 ♥ ♠500 ↔ ¬3 ♠5000 ↔ ¬

• 3 2 4x x ÷5 ♣4 x 8 x •5 5 x ÷1 ♦ ÷1 5 2 ÷ ♥3 5 2 ≠ ≠ 2 2 3 8 (5) • ♣4(1) 8 5 5 (5) (1) ÷ ♦ 5 2 ≠♥ 3 5 447/21 25 ≡ ♠ 4 8 1 ≡ 5 2≈ …↔¬3 5 2 ≈… 2/683.26 375 ≡ ♠ 40 48 15 ≡ ≈…↔¬ 30 ≈… 30 5

2

2

2/691.74

7

30

30

2

(1) 2

• ÷ ≠

89.49

Calcul) #' 2'a* Cuando se Buiere Aallar el área limi/ada por la grafica de la función@ el e0e  U  Z $%D &#K%D U % Z 4 [ b@ se pueden dar los siguien/es casos: G2a>ica nB $

G2a>ica nB +

y

y

a

b

4

A52)?i3ación 5)2 D'>'c()


a

A52)?i3ación 5)2 E?c'*)

b


G28>ica nK , y

a

b

4

A52)?i3ación 5)2 D'>'c() 4 5)2 E?c'*) E&'35l)* $R Calcular el área limi/ada por la función fO4R[ 4( y las rec/as 4[- y 4[> Solución: fO4R[ 4( 4[- y 4[> y 12

-,

12

12

12

-

-=

-*

-5

->

F

-?

--

-(

>



=

,

-

(

*

5

-


(

*

5

>

4


4

A 18

18 ο2

2

2 20u Es/e 1alor se ob/iene con/ando los cuadros deba0o de la grafica

A

de la función

!Aora calculamos el área de la misma función aplicando la in/egral definida 5

≥

2)!x ο A

A

♠52 ↔2 ¬

≡ ♠ 12 2.(5)≈ ↔ … ¬2

A

♣25 ♦ ♥2

10 ÷ ♦

A

(x

1

• ♣1 ≠♥2

♣ x 2 ♦2 ♥

2x

•5 ÷1 ≠

≡ …

2(1)≈

• ≠

2 ÷ο A

Da l or num6rico

Sus/i/uyendo el lími/e superior e inferior

♣25 20 • ♣1 4 • ο ♦ ♥ 2 ÷≠ ♦ ♥ 2 ÷≠

A

20u

2

+R Calcular el área limi/ada por la cur1a fO4R[ e x y las rec/as 4[  ( y 4 [ ( Solución:  /e E

%&x(

-2

2

A

≥

x

e !x

ο

A

2

A

e

2

e

2

ο

A

e

x

2 2

-1

1

2

E/e 3

Calculamos la primi/i1a y luego reempla7amos los lími/es de in/egración.

(2/7182)

1

2

(2/7182)


2


A

7/3886

1 7/3886

ο

A

54/5914 1 7/3886

,= Calcular el área formada por las siguien/es cur1as: f (x )

9

g (x)

x 3

9 x

2

x

2

Ÿ

− y → ↓ y

9

x

7/ 2 26 A u

Sis/emas de ecuaciones

2

x 3

#ormamos un sis/ema de ecuaciones y resol1emos por igualación.

x 3

0 x x

2

En/onces:

2

x 6

x 6 'esol1emos la ecuación de segundo grado para Aallar los lími/es de in/egración

0

( x 3)( x 2) x

3 x

2

2

A

≥@ f( x)

g (x)A!x

In/roducimos las funciones a la in/egral definida

3

2

A

≥@9

x

2

x 3A!x

3

)ráfica A

100

189

6

6

y gO4R

A  $ u+

4 fO4R



PRACTICO N° 4

a) a$c'$ar $a primitiva *

1)

2

2

≥x

2 *x

4)

≥ x !x

2)

3)

≥ x

2 !x

6)

5) 8)

7) 10)

9) 11)

12)

b) a$c'$ar $a primitiva por $ mQto*o * &'&tit'ci!

1) 4)

3)

2)

≥x

2x 2

3

*x

5)

≥

2

x. 1 x *x

6)

x

≥ 2x

2

*x

3

5

9)

7)

8) 11)

10)

≥1



x



x

*x

12)



≥1

x



x

*x

c) a$c'$ar $a primitiva por $ mQto*o * i!traci! por part&.

1) 4) 7) 10)

3)

2)

6)

5)

≥e . Cos x !x x

8) 11)


9)

≥x  2

2x

*x

12)

≥ xe . !x ≥ x . Sen x !x ≥Sec x !x 3 x

2

3


d) a$c'$ar : 3

1(

≥

x

2

2(

2 *x

3

≥2

( ≥♣ ♦2 ♥ 1

x

2

2

1 ( ≥♣ ♦ ♥ x3

*x

2

4

8( ≥♣ ♦ ♥

x 1 *x

2x

0

0

2

≥

2x

1

1

4(

2

x• ÷*x 2≠

;(

• ÷*x x 1≠ 1

≥

2x

4

9( ≥

1 *x

2x

1 *x

1

+(

4

• 4 ÷*x ≠

0

≥(

x

3

*x

1

1

'= Calcular el área formada por las siguien/es cur1as: R'*5u'*(a* $= f x

x 2

4 x

+R f x

x 1

3

,R f x

3 x

y

g x

x

y

g x

x 1

![-J(

y

g x

x 1

![-*.>

= f ( x) x 2 2 x 1

y

g x

x

:= f ( x) 2 x 2

y

g x

x

;= f ( x) 3 x 3 x 2 10 x

y

g x

x

= f ( x) x 2 2 x 1

y

g x

2 x

2

1

![-?J*

2

! [ 5.>

2

! [ 5.>

2

2 x

5

! [ (5 ! [ *(J*

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ La 3a('38(ica )n2a 'l '*592i(u u3an)  L'i%ni'=



Ta%la #' D'2iva#a* O $% S&DK K%E$% D #'D)&% #'P' #'DK%KD % $%D $K&%D %N EN #N Z "N Z $%D $K&%D 8N \N Z N #'P' I8#'D ) UN

Función y[ y

n

u." u

y

y

>

y >

1

nu

n 1

.u

u > ."

y

>

>

y

c n.u

>

y

>

y

>

y sen u

y

>

co& u .u

y

tg u

y

>

&c u .u

y

&c u

y

>

&c u .tg u .u

y

arcsen u

y

>

u

y

e

y

$! u

u u

>

>

y

arctg u arc &c u

" c u

n

u u

y

a

y

$o a u

u

2

u

y

>

y

>

u

>

>

>

1 u

y

u

n 1

e .u u

yN[ -

k .u

y

y

n

y

u." >

>

u

D'2iva#a

y[4

u

y

c

y

Función

y[ ?

u

y

D'2iva#a

>

u u

>

>

y y

>

y

>

y

>

y

>

>

u ." "

>

2 u u

a $! a.u u


>

>

u

$o a e

>

y

ctg u

y

>

c&c u .u

y

c &c u

y

>

c&c u .ctg u .u

y

arcco& u

y

>

y 1

>

n 1

u u

>

2

c.n.u

sen u .u

arcctg u arcc &c u

y

>

y

>

>

2

u

>

1 u

>

u."

y

2

2

k .u

co& u

y u

>

y

2

>

1 u

y

u

>

1 u u u u

2

2

2 >

1

>

>

CALCULO I

Recommend Documents