1.
INTRODUCCION.
Los métodos clásicos de análisis estructural desarrollados a fnes del siglo XIX, tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y eleg elegan anci cia a ma mate temá máti tica ca.. Desg Desgrac racia iada dame ment nte, e, co condu nducí cían an a me menu nudo do a cálculos muy laboriosos cuando se los aplicaba en casos prácticos, y en aquella época, esto era un gran deecto. Con los computadores, capaces de realizar el trabajo numérico, esta objeción no tiene ahora sentido, mientras que la generalidad de los métodos permanece. Esto explica por qué los métodos matriciales deben en su tratamiento básico de las estructuras más al siglo XIX que al XX. esde el punto de !ista práctico, proporciona un sistema apropiado de análisis de estructuras" determina una base mu" con!eniente para e l desarrollo de programas de computación.
2.
OJBETIVOS. 2.1 OBJETIVOS GENERALES. − −
onocer los conceptos básicos y undamentales de las líneas de in!uencia para no tener dudas al momento de aplicarlo. onocer el comportamiento de una "iga cuando está sometida a cargas mó"iles.
2.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS − − −
3.
uantifcar "alores de esuer#os má$imos para el problema planteado. Identifcar #onas a"orables y desa"orables para las acciones %prender a tra#ar bien las líneas de in!uencia en una "iga isostática para que de esa manera poder reali#ar los cálculos respecti"os.
FUNDAMENTO TE TEORICO.
METODO MATRICIAL DEFINICION.
Viga resue!a "#r $%!#&# Ma!ri'ia Dada la siguiente "iga&
'esol"er las reacciones de la "iga mediante el método (atricial
S#u'i()* )i se desea aplicar el método matricial de rigide# para resol"erla, debemos primero di"idir la "iga en tres elementos, eectuando las di"isiones en e n cada punto de discontinuidad de carga o apoyo, de la siguiente manera&
Los grados de libertad en los e$tremos de cada elemento se muestran en la fgura. La matri# de rigide# de un elemento de "iga es la siguiente&
*n este caso la sección de la la "iga es constante. on"iene traba+ar en unidades unidades de - y m, entonces la inercia, módulo elástico y longitudes se traba+arán en estas unidades. )e calculan& I b/01234 b/01234 5.56/5.351 2 34 m7
* 38555555 9a L seg:n la longitud de cada elemento *ntonces se reempla#an estos "alores en la matri# de rigide# y se ensamblan los elementos seg:n sus grados de libertad. La matri# ensamblada es la siguiente&
)e puede "er de la fgura, que los grados de libertad restringidos ;que no permiten despla#amiento ni giro< son los correspondientes a =3, =4, =8, => y =? %demás las cargas equi"alentes de las cargas distribuidas son las siguientes ;"er órmulas de momentos de empotramiento perecto para "er del detalle de como se obtu"ieron los "alores mostrados<
)e trasladan luego estos "alores al sistema de ecuaciones, +unto con las incógnitas correspondientes a los despla#amientos y a las reacciones desconocidas. *l sistema de ecuaciones queda así&
)e eliminan las flas y columnas con los grados de libertad restringidos ;3, 4, 8, >, ?< y se resuel"e el sistema de ecuaciones para las incógnitas =7, =6, =@. )e tiene entonces el resultado& =7 A5.55@485>> =6 A5.55B7>55?6 =@ 5.55@86?B>7 'eempla#ando estos despla#amientos en el sistema de ecuaciones, se resuel"e '3, '4, '8, '>, '?
De donde, despe+ando las incógnitas se tiene& '3 7.4>65 - ;reacción "ertical en el apoyo i#quierdo< '4 4.5465 -Am ;momento en el apoyo i#quierdo< '8 34.6>44 - ;reacción "ertical en el apoyo central< '> 6.@64? - ;'eacción "ertical en el apoyo derec0o< '? A4.36?8 -Am ;momento en el apoyo derec0o< *l siguiente paso consiste en determinar los diagramas de cortante y (omento !ector en unción a las reacciones encontradas.
Cer'+a "#r M%!#&# Ma!ri'ia
*l siguiente e+emplo consiste en la resolución de una cerc0a o armadura en dos dimensiones mediante el método matricial ;un método muy similar o 0asta 0omologo al método de los elementos fnitos en su orma más básica en 3AD<. %l igual que en el otro post, se ad+unta la planilla e$cel con& 3. (atrices indi"iduales de cada elemento 4. (atri# global ensamblada 8. *liminación de grados de libertad ;casillas celestes. Cer planilla< 7. 'esolución de la ecuación rEF=rGF'rG que corresponde a la ecuación sin los grados de libertad restringidos. 6. (ultiplicación de la matri# EFuGF'G para encontrar las reacciones en la cerc0a una "e# encontrados los despla#amientos. *ntonces, la cerc0a es la siguiente&
)e puede apreciar en el gráfco, la enumeración de los grados de libertad de los nudos, el nombre de los elementos ;enumerados<, así como las propiedades de elasticidad y sección de cada una de las barras ;constante<. Los pasos a seguir en la resolución de la cerc0a es& 3. *ncontrar la matri# indi"idual de rigide# de cada elemento mediante las órmulas&
4. *nsamblar la matri# de rigide# seg:n los grados de libertad de los nudos de cada elemento ;esto está muy bien detallado en la planilla e$cel ad+unta<. 8. =na "e# ensamblada la matri# de rigide# global E se eliminan los grados de libertad restringidos ;en este caso, los 3, 4, 33, 34. )e puede obser"ar que se trata de una cerc0a 0iperestática< 7. *liminados los grados de libertad, se procede a la resolución del sistema reducido ;en este caso un sistema de ecuaciones de ? ecuaciones con ? incógnitas< )i llamamos la matri# de rigide# reducida rE, entonces el sistema que se orma es& rEF=rGF'rG Donde =r y 'r son los "ectores de despla#amientos y cargas reducidos respecti"amente. entonces, F=rGrEA3 $ F'rG 6. 'esueltos los F=rG se "uel"e al sistema global EF=GF'G y al multiplicar la matri# de rigide# por los despla#amientos ya encontrados de los grados de libertad de los nudos, se encuentran las reacciones de los apoyos =n siguiente paso a este será, en un postproceso sencillo, encontrar las solicitaciones de las barras en unción a los despla#amientos, y por ende en unción a las deormaciones de cada barra.
DETERMINACI,N DE LA L-NEA DE INFLUENCIA* La línea de in!uencia es una gráfca en la cual las ordenadas representan una uer#a interna o de!e$ión y la abscisa representa la posición de una carga unitaria. 9ara su construcción se defne el punto de estudio sobre la estructura, se comien#a a "ariar la posición de la carga puntual y se encuentra el "alor del esuer#o interno a medida que se mue"e la carga, se puede construir una tabla del "alor de la unción "s la posición de la carga y después se grafca. Htro método es encontrando la ecuación de la línea de in!uencia y grafcando. onstruyamos la línea de in!uencia para la reacción en % de la siguiente "iga& )e empie#a a mo"er la carga 9 a dierentes distancias $ y para cada distancia se calcula '%. Htro método es encontrando la ecuación de la "ariación de la reacción en % a medida que se mue"e una carga unitaria. )e parte de encontrar esa reacción en unción de la posición $ de la carga 93,5. %plicando ecuaciones de equilibrio o encontrando la reacción por proporciones tenemos&
-otemos que la ecuación tiene pendiente negati"a y con una "ariación lineal para '%.
9ara obtener el "alor de la reacción en % para cualquier carga 9, se multiplica la ordenada de la línea de in!uencia por el "alor de la carga. )i L=8m, sería&
P=5
ton locali#ada a 8m del punto % el "alor de la reacción
Línea de in!uencia para el cortante en %& )e determina la "ariación del cortante en % por el método de las secciones& *n "ista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero las reacciones en unción de la posición $ y después se aplica el método de las secciones partiendo por el punto al cual se le quiere determinar la línea de in!uencia&
aciendo equilibrio en la sección y locali#ando la carga en $J5 tenemos&
*n este caso concluimos que la línea de in!uencia del cortante en % es igual a la de la reacción en % -ote que la línea de in!uencia se 0acer para la con"ención positi"a de los esuer#os internos. Línea de in!uencia para la reacción en K&
Línea de in!uencia para el momento en %& 9ara cualquier posición de la carga unitaria el momento en % será cero.
Línea de in!uencia para el cortante y momento en un punto en L24 )iempre comen#amos encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos&
9ara $L24 , se puede tomar la sección AK y los cálculos se acilitan ya que en ella no está actuando la carga unitaria& , de donde
9ara $JL24 se toma la sección %A para equilibrio&
Línea de in!uencia para el cortante en &
(omento en &
USO DE LAS L-NEAS DE INFLUENCIA* 1. Cas# &e 'argas "u)!uaes& 9ara cualquier carga puntual 9 se multiplica el "alor de la ordenada en el punto $ y ese es el "alor del corte o del momento o la unción grafcada. 9ara encontrar los "alores má$imos de C o ( se debe colocar la carga puntual 9 en el punto de má$ima ordenada.
Ee$"# onstruya la línea de in!uencia para el cortante y momento en el punto K y diga en que puntos debe colocar una carga puntual para producir los má$imos eectos de cortante y momento en K.
*ncontremos las reacciones en unción de $&
Líneas de in!uencia para corte y momento en K& 5 $ 7m
9ara 7$?m
Líneas de in!uencia& CK
(K
)e producen dos puntos donde puede actuar 9 y obtener el má$imo momento en K, estos dos puntos son& $5 y $7m. 9ara el cortante se debe colocar la carga en $7m para obtener el mayor cortante en K.
2. Cas# &e 'argas &is!ri/ui&as* *n realidad una línea de in!uencia para una carga distribuida no se podría encontrar como tal, pero la línea de in!uencia de la carga puntual se puede usar para determinar en que tramos colocar la carga distribuida para que produ#ca los "alores má$imos en un punto. )i sabemos que el "alor de la reacción, cortante o momento en un punto esta dado por la por la ordenada MyN de la línea de in!uencia multiplicada por el "alor de la carga actuante 9O entonces para una serie de cargas 9, o sea una carga distribuida, el "alor del cortante, momento o reacción se podría determinar por la suma de todos los cortantes o momentos de cada una de las cargas&
9ara cargas distribuidas podemos considerar que cada carga 9 corresponde al "alor de la carga distribuida por una longitud pequePa de "iga Q$, dándonos la sumatoria como&
-otemos que el "alor de la unción conser"a el signo de la grafca de la línea de in!uencia, así, si queremos obtener "alores má$imos debemos colocar la carga distribuida sobre áreas que sumen, con el signo correspondiente, a un "alor e$istente.
*+emplo Determine donde debe colocar una carga distribuida para producir el mayor cortante negati"o y momento en el punto ...
9ara producir el má$imo cortante negati"o debemos cargar la "iga en la #ona de la línea de in!uencia con área negati"a y para el momento má$imo cargamos toda la "iga ya que toda el área es positi"a.
M0TODO DE TRABAJOS VIRTUALES O PRINCIPIO DE MLLERBRESLAU *ste principio puede enunciarse como sigue& M)i una componente de esuer#o interno o una componente de reacción se considera aplicada a lo largo de una pequePa distanciay que dic0a aplicación !e$ione o desplace una estructura, la cur"a de la estructura!e$ionada o despla#ada será, en escala proporcional, la línea de in!uencia para los esuer#os o componentes de reacciónN. *ste principio se aplica a "igas, marcoscontinuos, estructuras articuladas y a estructuras determinadas e indeterminadas. )inembargo para estructuras determinadas se limita a aquellas para las que es "álido elprincipio de superposición.
*+emplo
7. RL=LH).
6. S'RTIH).
.
CONCLUSIONES 4 RECOMENDACIONES. El trazado de diagramas o Líneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las necesidades y su utilización es casi imprescindible en el caso de estudios de puentes, puentes grúa, etc., donde las cargas móviles (p) tienen una cierta importancia con respecto a peso propio o carga permanentes.
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BIBLIOGRAFIA. *)URUI%, '.. ibbeler , 34"a *d. , *ditorial 9earson. 0ttp&22es.slides0are.net2guest3Bb58a2capituloA>A44545>5
Cer'+a "#r M%!#&# Ma!ri'ia
*l siguiente e+emplo consiste en la resolución de una cerc0a o armadura en dos dimensiones mediante el método matricial ;un método muy similar o 0asta 0omologo al método de los elementos fnitos en su orma más básica en 3AD<. %l igual que en el otro post, se ad+unta la planilla e$cel con& 3. (atrices indi"iduales de cada elemento 4. (atri# global ensamblada 8. *liminación de grados de libertad ;casillas celestes. Cer planilla< 7. 'esolución de la ecuación rEF=rGF'rG que corresponde a la ecuación sin los grados de libertad restringidos. 6. (ultiplicación de la matri# EFuGF'G para encontrar las reacciones en la cerc0a una "e# encontrados los despla#amientos. *ntonces, la cerc0a es la siguiente&
)e puede apreciar en el gráfco, la enumeración de los grados de libertad de los nudos, el nombre de los elementos ;enumerados<, así como las propiedades de elasticidad y sección de cada una de las barras ;constante<. Los pasos a seguir en la resolución de la cerc0a es&
3. *ncontrar la matri# indi"idual de rigide# de cada elemento mediante las órmulas&
4. *nsamblar la matri# de rigide# seg:n los grados de libertad de los nudos de cada elemento ;esto está muy bien detallado en la planilla e$cel ad+unta<. 8. =na "e# ensamblada la matri# de rigide# global E se eliminan los grados de libertad restringidos ;en este caso, los 3, 4, 33, 34. )e puede obser"ar que se trata de una cerc0a 0iperestática< 7. *liminados los grados de libertad, se procede a la resolución del sistema reducido ;en este caso un sistema de ecuaciones de ? ecuaciones con ? incógnitas< )i llamamos la matri# de rigide# reducida rE, entonces el sistema que se orma es& rEF=rGF'rG Donde =r y 'r son los "ectores de despla#amientos y cargas reducidos respecti"amente. entonces, F=rGrEA3 $ F'rG 6. 'esueltos los F=rG se "uel"e al sistema global EF=GF'G y al multiplicar la matri# de rigide# por los despla#amientos ya encontrados de los grados de libertad de los nudos, se encuentran las reacciones de los apoyos =n siguiente paso a este será, en un postproceso sencillo, encontrar las solicitaciones de las barras en unción a los despla#amientos, y por ende en unción a las deormaciones de cada barra. *sto lo mostraré en un siguiente 9ost.
