UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTIN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
INDICE 1
PLATEAMI PLATEAMIENTO ENTO DEL PROBLEMA...... PROBLEMA.......... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ .......... .............. ............... .............. ......... 3
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OBJETIVOS OBJETIVOS.... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........... ............ .....4 4
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2.1
Objetiv! Objetiv! Ge"e#$%e!.. Ge"e#$%e!...... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ .......... ......... ...4 4
2.2
Objetiv! Objetiv! e!&e'()'! e!&e'()'!..... ......... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ......... ............ .............. ............... .............4 .....4
MARCO MARCO TE*RICO.. TE*RICO...... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........... .............. ............. ......+ + 3.1
GENERALIDADES1.................... ............................... ...................... ..................... ..................... ..................... ..................... ...................... ........... +
3.2
DEFINICI*N DEFINICI*N DE L,NEA DE INFLUENCI INFLUENCIA.... A........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........+ ....+
3.3
L,NEAS L,NEAS DE INFLUENCI INFLUENCIA A DE LAS REACCI REACCIONES ONES DE UNA UNA VIGA... VIGA....... ........ ........ ........ ......... ...................-
3.4
L,NEAS L,NEAS DE INFLUENCI INFLUENCIA A EN MOMENTOS MOMENTOS FLECTORES.. FLECTORES...... ........ ........ ........ ........... .............. .............. ........1 .1
3.4.1 3.+
MOMENTO MOMENTO FLECTOR FLECTOR M/0IMO.... M/0IMO........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ .......... .............. ............... ..........14 ...14
L,NEA DE INFL INFLUENCI UENCIA A DE ESFUER ESFUERO O DE CORTE... CORTE....... ........ ........ ........ ........ .......... ............. .............. ..........1+ ...1+
3.+.1
VIGA EN VOLADIO... VOLADIO....... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ .......... ......... ...1 1
4
DESARROLL DESARROLLO O DE EJERCICIOS. EJERCICIOS..... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ......... ............ .............. ............... ............... ......... ..1 1
+
CONCLUSION CONCLUSIONES.. ES...... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........... .............. ......... .. 23
-
BIBLIOGAFI BIBLIOGAFIA... A....... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ .......... ............. .......... ... 24
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INTRODUCCION
Contar con una base de conocimientos previos, que se han adquirido durante los años de formación básica resulta trascendental para la realización del análisis y diseño de los elementos de la superestructura y subestructura de un puente, y dentro de esos conocimientos previos, las línea líneass de influ influen encia cia cobran cobran un papel papel import importan ante te puest puesto o que que nos nos permi permiten ten deter determin minar ar las las ubicaciones de los esfuerzos máximos a los que se va someter la estructura que serán finalmente f inalmente las que nos meten de lleno a las labores de diseño íntegramente.
n el presente informe se expondrá brevemente todo lo concerniente a las líneas de influencia, es decir se darán alcance de las generalidades generalidades y una definición de lo que son las líneas de influencia. !demás de ello se estudiarán y analizarán las líneas de influencia para las reacciones reacciones de una viga, simplemente apoyada y de tramos continuos, tambi"n las líneas de influencias relacionadas a las fuerzas cortantes y momentos flectores. !demás del m"todo directo para las líneas de influencia, influencia, que tambi"n se conocen como m"todos cuantitativos, tambi"n existen una forma más rápida y sencilla de determinarlas y es empleando las líneas de influencia cualitativas. cualitativas.
#ambi"n #ambi"n hemos considerado importante definir alguna terminología básica, como por e$emplo qu" es una carga móvil, la influencia de la carga unitaria, propiedades de las líneas de influencia, tales como% carga móvil concentrada, sistemas de cargas móviles concentradas y cargas móviles uniformemente uniformemente distribuidas. ! partir de esto estudios, estudios, se pueden establecer fórmulas usuales para vigas vigas simples.#od simples.#odo o lo hasta aquí hablado sólo hace referencia a líneas de influencia para vigas.
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1 PLATEAMIENTO DEL PROBLEMA ste apunte tiene por finalidad presentar el tema líneas de influencias buscando lograr un enfoque actualizado del mismo. &ara ello, se ha tenido que hacer un informe de investigación, para saber el comportamiento de cada estructura sometida a cargas móviles y además de obtener los cálculos que corresponden. 'ebido a esto y como parte del proceso formativo del futuro ingeniero civil, es que surge la necesidad de realizar las investigaciones del caso, haciendo uso de varias fuentes, como libros y el internet, boletines y afines.
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2 OBJETIVOS 2.1 Objetivos Gener!es. •
Conocer el comportamiento de una estructura cuando está sometida a cargas móviles.
2.2 Objetivos es"e#$%#os. •
•
•
Conocer los conceptos básicos sobre líneas de influencia para complementar nuestros conocimientos. !prender a trazar las líneas de influencia para que posteriormente hagamos el cálculo respectivo. Conocer de la importancia que tienen las líneas de influencia en nuestra carrera .
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& MARCO TE'RICO &.1 GENERALIDADES1 n el análisis y diseño de estructuras de puentes, además de las cargas fi$as, como el peso propio, se presentan otras de tipos móviles, como es el caso de los vehículos que circulan sobre los puentes. Como es claro, la posición crítica de dichas cargas, es un factor determinante para el cálculo de los esfuerzos resultantes. n la b(squeda de los esfuerzos máximos, dicha ubicación crítica es ob$eto vital e importante en el análisis de estructuras. 'e este modo conoceremos reacciones máximas en los apoyos, corte o momento en sus tramos. s con este propósito, que se diseñaron las líneas de influencia. llas, en síntesis, son representaciones graficas de esfuerzos o reacciones, independiente de los sistemas de cargas que pueden afectar al elemento estructural en puntos específicos de ellas debido a una carga unitaria dispuesta en esta posición.
&.2 DE(INICI'N DE L)NEA DE IN(L*ENCIA )eg(n JAC C. MCCORMAC2 *a línea de influencia puede definirse como un diagrama cuyas ordenadas muestran la magnitud y el carácter de alg(n elemento mecánico de una estructura cuando una carga unitaria de mueve a lo largo de "sta. Cada ordenada del diagrama da el valor del elemento mecánico cuando la carga está situada en la posición asociada a esa ordenada. #ambi"n +-/* C01!)2 afirma que5 la línea de influencia de una acción correspondiente a un punto determinado de una viga, es un diagrama, trazado a lo largo de la viga cuya ordenada en un punto cualquiera es igual al valor de la acción en el punto determinado si hay una carga concentrada aplicada en el punto cualquiera.
A&$6$ 7.5 P$b%. 8PUENTES. I"t#9:''i;" $% 9i!e< 9e &:e"te! e" '"'#et=5 &>?i"$ 3+ 2 JAC C. MCCORMAC5 A">%i!i! E!t#:'t:#$%5 C$&.@&$?2 3 GON/LE CUEVAS5 A">%i!i! E!t#:'t:#$%5 C$&.1&$?4@
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&.& L)NEAS DE IN(L*ENCIA DE LAS REACCIONES DE *NA VIGA. *a línea de influencia de una reacción o acción, tiene la misma forma que la viga deformada cuando se le impone un desplazamiento unitario correspondiente a la reacción o acción determinada.3 Consideramos una viga simplemente apoyada como la indicada en la figura ad$unta.
&rocedemos a realizar el proceso constructivo de la línea de influencia de la reacción en el apoyo 4. 'ispongamos para ello de una carga unitaria, vertical y hacia aba$o. )i la ubicamos en el apoyo 4, en dicho punto obtendremos una reacción de igual valor y dirección, pero de sentido opuesto. 'e aplicarse en cambio, en el apoyo -, la reacción a obtenerse en el apoyo 4 será cero. *a línea de influencia de la reacción en dicho punto se obtiene introduciendo un desplazamiento unitario a la viga en dirección de la reacción.
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GON/LE CUEVAS5 A">%i!i! E!t#:'t:#$%5 C$&.1&$?+1
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&ara introducir el desplazamiento unitario, se supone que se elimina la restricción a la deformación de la viga en el apoyo y no se permite otro tipo de deformación, por e$emplo debido a la flexión o fuerza cortante. &or esta razón la viga permanece recta. 5 Con estos valores extremos dispongamos un diagrama tomando como base una línea !6 de longitud * 7igual a la de la viga8. Coloquemos sobre ella los valores hallados y tracemos una recta uniendo ambos extremos, mediante una línea C6.
'ebemos indicar que la línea de influencia para vigas estáticamente determinadas se compone de tramos rectos debido a que las reacciones son siempre lineales con respecto a la posición de la carga concentrada. *a interpretación del diagrama de línea de influencia obtenido, será como sigue.
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GON/LE CUEVAS5 A">%i!i! E!t#:'t:#$%5 C$&.1&$?+1
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)i colocamos una carga vertical unitaria hacia aba$o en el punto de la viga mostrada, la reacción a obtenerse en el apoyo 4 de ella será igual a la longitud 9 medida sobre el diagrama de línea de influencia, mostrado. Consideramos ahora, que sobre la viga act(a una carga puntual vertical & a una distancia ::x:: del apoyo - de la viga simplemente apoyada de longitud *. *as líneas de influencia para las reacciones en los apoyos 4 y - están indicadas en los diagramas ad$untos.
n la línea de influencia de la reacción en 4, por seme$anza de triángulos podemos plantear% y =
x L
ntonces la reacción en el apoyo 4, debido a la carga & aplicada, estará indicada por%
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R M = PY = P
() x L
'e forma similar, para el apoyo -, el valor de la reacción debido a la carga & aplicada será% R N = PY = P ´
( ) L − x L
'e aumentar la cantidad de cargas puntuales verticales dispuestas sobre la viga, la reacción en el apoyo se obtendrá de la suma de los efectos producidos por cada uno de ellos, tal como lo indica el principio de superposición.
R M = P [ A ] + Q [ B ] + S [ C ]
xpresión en la cual !, 6 y C, son coeficientes num"ricos menores que la unidad, calculables por seme$anza de triangulo, como% A =
a L
B=
b L
c C = L
;uedando la expresión reducida a%
@
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R M = P
[] [] [] a +Q b + S c L L L
stamos, a partir de lo expuesto, en condiciones de generalizar los resultados como% R =
∑ P Y i
i
n donde tendremos% R =reaccion enunode los apoyosde la viga P i=carga puntual vertical aplicada enun punto cualquieradela viga Y i=coe!iciente correspondientea la carga" obtenido del diagra#a de delineasde in!luencia su valor puede calcularse :
$ra!ica#ente : construyendoel diagra#ade lineas de in!luencia dereacciones auna escala conveniente "de #odo que lalectura pueda puedareali%arce por #edicion deirectaen el gra!ico Analitica#ente : seentiende co#o elcociente entre la distanciadesde el punto deaplicacion dela cargaal apoyo opuesto" y lalongitud dela viga si#ple#ente apoyada
ste coeficiente de influencia puede ser interpretado num"ricamente como la reacción que ocasionaría en el apoyo considerando una carga unitaria en lugar de la carga &.
&.+ L)NEAS DE IN(L*ENCIA EN MOMENTOS (LECTORES Consideremos una viga simplemente apoyada !6, tal como la que se muestra ad$unta, en al cual deseamos conocer los momentos que se originarían en una sección , debido a un sistema de cargas cualquiera dispuesta sobre ella.
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#racemos el diagrama de líneas de influencia para la reacción en uno de los apoyos, para el caso elegimos al correspondiente al apoyo !. ! partir de dicho diagrama determinamos la reacción que se producirá en el apoyo ! debido a que se coloca una carga unitaria en la sección . aceptamos que dicha reacción estará indicada por el segmento estará indicada por el segmento de longitud +. Conocida la reacción, calcularemos el máximo momento en la sección , multiplicando dicho valor por ::+::por la longitud de palanca ::4::, que es la distancia del apoyo ! al punto .
Con el producto resultante, trazamos una vertical por la sección que se está estudiando, midiendo sobre ella el valor del momento calculado. &artiendo del extremo de este segmento, dirigimos líneas rectas hacia los extremos, obteniendo así, la línea de influencia de momentos flectores para la sección .
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NOTA:
&or ser una viga de un solo tramo simplemente apoyada, las cargas verticales hacia aba$o que se coloquen sobre ella, ocasionarán en la sección momentos positivos 7la viga se flectara hacia aba$o8 aceptamos por ello, como convección, que los momentos positivos se graficaran deba$o de la línea horizontal de referencia, en caso contrario de ser el momento negativo, graficaremos sobre la línea horizontal de referencia. Como podrá observarse este procedimiento, si bien es eficaz, resulta lento y tedioso. &or ello enunciaremos un m"todo breve y simple e traba$o para el caso de vigas simplemente apoyadas de un solo tramo. Consideremos para ilustrar el proceso una sección .
! partir de la sección , se mide su distancia hacia los apoyos. Consideremos para el caso
mostrado que estas distancias son 4 y -. *a mayor longitud vertical del diagrama, la cual se colocara en la sección especificada , será num"ricamente igual al cociente entre el producto y la suma de dichas distancias 4 y
-. 'eterminado este valor máximo, se unirá el extremo del segmento con los extremos, del modo ya indicado, tal como se muestra en la figura.
n caso que se desee conocer el valor de alguna ordenada del diagrama de influencia obtenido, proc"dase del modo siguiente%
'e acuerdo al punto en que se desea conocer la ordenada del diagrama de influencia, mídase la distancia desde ese punto al apoyo correspondiente.
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l valor de la ordenada buscada, será igual a una fracción del máximo momento en la sección. lla, estará compuesta por la longitud anteriormente calculada como numerador, y como denominador la distancia de la sección de máximo momento de apoyo.
NOTA:
Considerando la viga simplemente apoyada de la figura ad$unta y su diagrama de líneas de influencia para la sección .
C = Mo#entode la seccion & cuandose colocauna cargaunitariaen la seccion 1.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTIN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL ' = Mo#ento de la seccion& " cuando se coloca una cargaunitaria e n esta seccion
& = Mo#ento de la seccion& " cuandola cargaunitaria se coloca enla seccion 2.
&.+.1 MOMENTO (LECTOR M,-IMO -uestro ob$etivo consiste en determinar la sección particular en la cual se origina un momento flector superior a todos aquellos que el mismo sistema de cargas podría producir en cualquiera de las secciones de la viga y además calcular el valor el valor de dicho momento flector, con tal propósito, analicemos% C!) <% C!=+! C-C-#=!'! 0->C! Consideremos una viga simplemente apoyada de luz *, sobre la cual act(a una carga concentrada (nica &, a una distancia ::?:: de una de los apoyos.
)iendo
x ( L− x ) x ( L− x ) = ( = x +( L− x ) L
4omento
Px ( L − x ) M = P( = L
'eterminemos la posición de máximo momento, tomando la derivada del momento 4 respecto a la distancia x e igualando a cero%
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P [ L − x + x (−1 ) ]=0 L
=educiendo%
L−2 x =0
L x=
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&odemos concluir que el momento máximo se producirá al centro de luz de la viga simplemente apoyada, cuando la carga esta aplicada en ella, siendo su valor% M #ax=
PL 4
C!) @% #=- ' C!=+!) C-C-#=!'!) ::l máximo momento flector en una viga simplemente apoyada, sometida a la acción de un con$unto de cargas concentradas, se produce deba$o de la carga en que cambia de signo el esfuerzo de corte y es un máximo absoluto, cuando las fuerzas se hallan dispuestas de manera que el punto medio del tramo divide en partes iguales la distancia entre aquella carga y la resultante de todas las que act(an sobre la viga.
&. L)NEA DE IN(L*ENCIA DE ES(*ER/O DE CORTE Consideremos una viga simplemente apoyada !6, en la cual deseamos conocer los esfuerzos de corte que se originan en una sección ba$o la acción de una carga concentrada vertical &.
Cuando la fuerza & se encuentra a la derecha de la sección , el esfuerzo de corte en dicha sección es positivo y num"ricamente igual a la reacción que se produce en el apoyo izquierdo.
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ACuando la fuerza & se halla a la izquierda de la sección el esfuerzo de cote en dicha sección es negativo y num"ricamente igual a la reacción que se produce en el apoyo derecho.
Como notamos, el esfuerzo de corte dependerá en unos casos de la reacción en el apoyo derecho y en otros de la del izquierdo, estando ello en función de la posición de la carga respecto a la sección sobre la cual se calcula el esfuerzo de corte. *a línea de influencia de fuerza cortante en un punto, se obtiene cortando la viga en ese punto, e introduciendo un desplazamiento unitario correspondiente a fuerza cortante. &ara que no haya deformaciones por flexión, los dos tramos de línea de influencia entre el punto y los apoyos deben ser paralelos. 5 !sí, las líneas de influencia del esfuerzo de corte se obtendrán tomando las zonas sombreadas de los dos diagramas de líneas de influencia de las reacciones en los apoyos, tal como se indica.
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GON/LE CUEVAS5 A">%i!i! E!t#:'t:#$%5 C$&.1&$?+11
&..1 VIGA EN VOLADI/O n el caso de una viga simplemente apoyada con voladizo, construiremos las líneas de influencia para el corte de una sección de terminada, procediendo del modo siguiente% <. Construir los diagramas de líneas de influencia para las reacciones en los apoyos.
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@. n cada uno de los diagramas considerar la zona comprendida entre la sección de estudio y el apoyo opuesto al considerado. el e$emplo que se ilustra ad$unto, en el diagrama de influencia del apoyo izquierdo se considera de la sección al apoyo derecho.
2.
l
diagrama de líneas de influencia para el corte en la sección, se obtendrá tomando la región sombreada del diagrama de influencia del apoyo izquierdo con su propio signo, y la correspondiente al apoyo derecho pero con el signo cambiado.
+ DESARROLLO DE EJERCICIOS 7$%%$# e% v$%# 9e %$ #e$''i;" e" %! $&! 9e %$ vi?$ '&:e!t$ ABD. N;te!e e" e% &:"t C %$ e!e"'i$ 9e :"$ #;t:%$.
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S%:'i;" L$ne 0e inen#i3 "o4o A A&%i'$"9 :"$ '$#?$ :"it$#i$ e" A5 %$ #e$''i;" e" e!te &:"t !e#> i?:$% $ 1. A&%i'$"9 :"$ '$#?$ :"it$#i$ e" B D5 %$ #e$''i;" $ bte"e#!e e" A5 !e#> e" $b! '$!! i?:$% $ . E" e% &:"t A e9i! ve#ti'$%e"te :"$ 9i!t$"'i$ i?:$% $ %$ :"i9$95 $'i$ $##ib$ ie"t#$! e" B :bi'$! e% &:"t 9e i"te#!e''i;" '" %$ #i6"t$% &# !e# 'e# e" t$%.
L$ne 0e inen#i3 "o4o B C%'$"9 :"$ '$#?$ :"it$#i$ ve#ti'$% e" A e" D5 %$ #e$''i;" e" B e" $b! '$!! !e#> 'e#. A&%i'$"9 :"$ '$#?$ :"it$#i$ e" B5 %$ #e$''i;" e" e!te &:"t !e#> i?:$% $ 1. A% :bi'$# %$ '$#?$ :"it$#i$ e" C5 %$ #e$''i;" e" B5 !e#> $# :e %$ '$#?$ $&%i'$9$ !: !e"ti9 !e#> $'i$ $##ib$.
L$ne 0e inen#i3 "o4o D 5A&%i'$"9 %$ '$#?$ :"it$#i$ e" D5 %$ #e$''i;" e" e!te &:"t !e#> ":#i'$e"te i?:$% $ %$ $&%i'$9$. A% '%'$# :"$ '$#?$ :"it$#i$ e" ':$%:ie# &$#te 9e %$ vi?$ AC5 %$ #e$''i;" e" D5 !e#> 'e#. Dete#i"$! %$! #e$''i"e! e" %! $&!H 1@
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Re$''i;" e" AH Debi9 $ %$ '$#?$ 9i!t#ib:i9$
10
( ) 1( 4) 2
2
−
( )= 1 2
2
15 )
P# %$! '$#?$! &:"t:$%e!H 40
( ) ( )= 1 2
−60
1 8
12.5 )N
P# % t$"t %$ e':$'i;" e" $ e!H Ra=15 + 12.5 = 27.5 )N
Re$''i;" e" BH Debi9 $ %$ '$#?$ 9i!t#ib:i9$H 6
() 3
2 C )= 45 )N 10 ( AR&A )= 10 ( 2 A
P# %$! '$#?$! &:"t:$%e!H 40
( )+ ( )= 1 2
60
3 8
42.5 )N
E"t"'e! %$! #e$''i"e! !"H Rb= 45 + 42.5 =87.5 )N
Re$''i;" e" DH Rd =60 (
3 4
)= 45 )N
Eje&%H
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Se tie"e :"$ vi?$ !i&%ee"te $&$9$ 9e 4. 5 9e %:65 %$ ':$% !e $%%$ t9$ %$ %"?it:9 !eti9$ $ %$ $''i;" 9e :"$ '$#?$ :"i#ee"te #e&$#ti9$ e" 254 t". !e 9e!e$ '"'e#H $. KC:>% e! e% >i e!:e#6 9e '#te &!itiv :e &:e9$ 9:'i#!e e" %$ vi?$ e" :e !e''i;" !e '$!i"$#($ b. KC:>% e! e% v$%# 9e% e!:e#6 9e '#te e" :"$ !e''i;" $ 152 9e% $& i6:ie#9
S%:'i;"H $. e% >i e!:e#6 9e '#te &!itiv !e 9:'i#> e! e% $& i6:ie#9 !ie"9 !: v$%#H
*a=
2,4 ( 1,0 ) ( 4,6 ) 2
= 5.76 )N
b. E" :"$ !e''i;" $ 152 9e% $& i6:ie#9H
C#te &!itivH C#te "e?$tivH C#te e" EH * =3,24 −0.36 =2,88 )N
B=C>C> -2 % hallar el valor del momento flector en el centro de luz de la viga cargada tal como se indica.
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Solución
'ibu$amos la línea de influencia en el centro de luz de la viga
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Calculamos el valor de ::C::, luego los demás valores. C =
3 x 3
A =
1
B=
2.5
' =
1.5
3+3
3
=1.5
(1.5 )=0.5
3
3
( 1.5 )=1.25
( 1.5 ) =0.75
*a línea de influencia quedaría de la siguiente manera.
Calculamos el momento en el centro de luz de la viga. M L = 10 ( 0.5 ) + 15 ( 1.25 )+ 20 ( 0.75 ) 2
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CONCL*SIONES •
•
*as líneas de influencia permiten la fácil comprensión de cómo se comporta una estructura, donde se simulan las cargas a lo largo de ella para que a trav"s de este principio se pueda analizar donde posteriormente se conoce su diseño. stos son apuntes muy importantes que tenemos que tener en cuenta para el diseño de un puente cuando act(an cargas que se desplazaran sobre todo el claro donde podremos obtener los diagramas de líneas de influencia.
•
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6 BIBLIOGA(IA •
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