UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTIN FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA E.A.P. INGENIERÍA CIVIL
TEMA
: LINEAS DE INFLUENCIA
CURSO
: ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
DOCENTE
: DR. ING. SERBANDO SOPLOPUCO QUIROGA
ALUMNOS
: JOEL MARTIN GRÁNDEZ FLORES
JULIO CESAR DELGADO PEREZ RONAL TEOVADO DELGADO TONGO DHEINYANTONIS GODOY AYALA HECTOR ALVARES GOSALES
TARAPOTO – PERU 2015
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ÍNDICE INTRODUCCION ..............................................................................................................................3 OBJETIVOS........................................................................................................................................4 CAMPO DE APLICACIÓN ...............................................................................................................4 LÍNEAS DE INFLUENCIA ...............................................................................................................4 DETERMINACIÓN DE LA LÍNEA DE INFLUENCIA:..................................................................6 USO DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA: ....................................................................................10 EJEMPLO .........................................................................................................................................10 PARA CARGAS PUNTIALES ........................................................................................................10 CASO DE CARGAS DISTRIBUIDAS: ...........................................................................................12 EJEMPLO .........................................................................................................................................13 EJERCICIO.......................................................................................................................................14 MÉTODO DIRECTO .......................................................................................................................16 EJERCICIO.......................................................................................................................................18 EJERCICIO.......................................................................................................................................20 EJEMPLO .........................................................................................................................................22 CELOSÍAS ISOSTÁTICAS X ECUACIONES DE LA ESTÁTICA .............................................26
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INTRODUCCIÓN Las líneas de influencia desempeñan un papel importante en el diseño de puentes, vigas carrilera de grúas-puente, cintas transportadoras, y cualquier otro tipo de estructura en las que el punto de aplicación de las cargas se mueve a lo largo de su luz. Estas cargas se denominan cargas móviles. Un ejemplo típico es el peso de un vehículo que circula por un puente. El caso contrario sería el peso propio de una viga que es una carga que permanece prácticamente constante, y es por tanto una carga permanente.
Considerando la forma en que actúan las cargas en una estructura vemos que se pueden clasificar en cargas permanentes (muertas), cargas no permanentes o vivas y/o cargas de construcción. La carga permanente, como su nombre lo dice, siempre estará presente en la vida útil de la estructura y producirá sobre esta efectos constantes; la carga viva o no permanente fluctúa tanto en posición sobre la estructura como en su duración produciendo efectos variables en ella. Podríamos concluir, de una manera apresurada, que colocando la carga viva sobre toda la estructura produciríamos los efectos máximos en ella, esta afirmación no es cierta y requiere de un estudio más complejo. Un ejemplo simple de este efecto es el de una viga simplemente apoyada con voladizo a un lado. Si la carga viva actúa sobre toda la viga, producirá un momento positivo en la luz menor que si actúa solo en el tramo apoyado; en este ejemplo sencillo nos percatamos de la importancia de saber colocar la carga para que produzca los efectos máximos y así cuando diseñemos no corramos el peligro de que nuestra estructura falle.
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OBJETIVOS Comprender los conceptos fundamentales de líneas de influencia para evitar equivocaciones por malas interpretaciones del tema. Aprender a definir en forma correcta las líneas de influencia en vigas isostáticas. Aplicar correctamente las líneas de influencia a ejercicios, para realizar su respectiva evaluación y resolución. Entender la importancia del tema en el análisis de estructuras sometidas a cargas móviles y a cargas fijas. Presentar qué son y para qué sirven las líneas de influencia. Aprender a trazar líneas de influencia en estructuras isostáticas y en estructuras hiperestáticas. Aplicación a la determinación de casos de carga.
CAMPO DE APLICACIÓN Para diseñar estructuras sometidas a cargas móviles es necesario conocer cual es el valor de las acciones por estas cargas en todos los puntos de aplicación posibles, para así poder determinar el máximo valor con fines de diseño. Una forma de obtener el valor del momento flexionante y la fuerza cortante correspondientes a las distintas posiciones de la carga móvil sería determinarlos para cada punto como si fueran cargas fijas, sin embargo el problema se simplifica usando el concepto de línea de influencia Este método se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes grúas, bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas móviles.
Líneas de influencia Considerando la forma en que actúan las cargas en una estructura vemos que se pueden clasificar en cargas permanentes (muertas), cargas no permanentes o vivas y/o cargas de
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construcción. La carga permanente, como su nombre lo dice, siempre estará presente en la vida útil de la estructura y producirá sobre esta efectos constantes; la carga viva o no permanente fluctúa tanto en posición sobre la estructura como en su duración produciendo efectos variables en ella. Podríamos concluir, de una manera apresurada, que colocando la carga viva sobre toda la estructura produciríamos los efectos máximos en ella, esta afirmación no es cierta y requiere de un estudio más complejo. Un ejemplo simple de este efecto es el de una viga simplemente apoyada con voladizo a un lado. Si la carga viva actúa sobre toda la viga, producirá un momento positivo en la luz menor que si actúa solo en el tramo apoyado; en este ejemplo sencillo nos percatamos de la importancia de saber colocar la carga para que produzca los efectos máximos y así cuando diseñemos no corramos el peligro de que nuestra estructura falle.
En este capítulo estudiaremos el método de las líneas de influencia para colocar la carga viva o variable de tal manera que produzca efectos máximos de corte, flexión, reacciones y deflexiones tanto para cargas puntuales como para cargas distribuidas. La línea de influencia es un gráfico que define la variación de un esfuerzo (corte, momento flector o torsor), reacción o deflexión en un punto fijo de la estructura a medida que se mueve una carga unitaria sobre ella. La línea de influencia es diferente al diagrama de momento o cortante o a la elástica de la viga, estos representan la variación de la función a lo largo de la viga para una serie de cargas definidas y el otro define como varía V, M o δ en un punto específico cuando se mueve una carga unitaria sobre la viga no dando el valor de la función en toda posición. La línea de influencia utiliza una carga unitaria ya que por los conceptos de linealidad, proporcionalidad y superposición se puede determinar la función específica simplemente multiplicando el valor de la línea de influencia por el valor de la carga real. Este método se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes grúas, bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas móviles.
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Determinación de la línea de influencia: La línea de influencia es una gráfica en la cual las ordenadas representan una fuerza interna o deflexión y la abscisa representa la posición de una carga unitaria. Para su construcción se define el punto de estudio sobre la estructura, se comienza a variar la posición de la carga puntual y se encuentra el valor del esfuerzo interno a medida que se mueve la carga, se puede construir una tabla del valor de la función vs la posición de la carga y después se gráfica. Otro método es encontrando la ecuación de la línea de influencia y graficando. Construyamos la línea de influencia para la reacción en A de la siguiente viga: Se empieza a mover la carga P a diferentes distancias x y para cada distancia se calcula RA. Otro método es encontrando la ecuación de la variación de la reacción en A a medida que se mueve una carga unitaria. Se parte de encontrar esa reacción en función de la posición x de la carga P=1,0. Aplicando ecuaciones de equilibrio o encontrando la reacción por proporciones tenemos:
Notemos que la ecuación tiene pendiente negativa y con una variación lineal para RA.
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Para obtener el valor de la reacción en A para cualquier carga P, se multiplica la ordenada de la línea de influencia por el valor de la carga. Si L=8m, P=5 ton localizada a 3m del punto A el valor de la reacción sería:
Línea de influencia para el cortante en A: Se determina la variación del cortante en A por el método de las secciones: En vista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero las reacciones en función de la posición x y después se aplica el método de las secciones partiendo por el punto al cual se le quiere determinar la línea de influencia:
Haciendo equilibrio en la sección y localizando la carga en x>0 tenemos:
En este caso concluimos que la línea de influencia del cortante en A es igual a la de la reacción en A Note que la línea de influencia se hacer para la convención positiva de los esfuerzos internos. Línea de influencia para la reacción en B:
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Línea de influencia para el momento en A: Para cualquier posición de la carga unitaria el momento en A será cero.
Línea de influencia para el cortante y momento en un punto C en L/2 Siempre comenzamos encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos:
Para x
, de donde
Para x>L/2 se toma la sección A-C para equilibrio:
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Línea de influencia para el cortante en C:
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Momento en C:
USO DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA: 1. Caso de cargas puntuales: Para cualquier carga puntual P se multiplica el valor de la ordenada en el punto x y ese es el valor del corte o del momento o la función graficada. Para encontrar los valores máximos de V o M se debe colocar la carga puntual P en el punto de máxima ordenada.
Ejemplo PARA CARGAS PUNTIALES Construya la línea de influencia para el cortante y momento en el punto B y diga en que puntos debe colocar una carga puntual para producir los máximos efectos de cortante y momento en B.
Encontremos las reacciones en función de x:
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Líneas de influencia para corte y momento en B:
0 < x < 4m
Para 4
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Líneas de influencia:
VB
MB
Se producen dos puntos donde puede actuar P y obtener el máximo momento en B, estos dos puntos son: x=0 y x=4m. Para el cortante se debe colocar la carga en x=4m para obtener el mayor cortante en B. Caso de cargas distribuidas: En realidad una línea de influencia para una carga distribuida no se podría encontrar como
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tal, pero la línea de influencia de la carga puntual se puede usar para determinar en que tramos colocar la carga distribuida para que produzca los valores máximos en un punto. Si sabemos que el valor de la reacción, cortante o momento en un punto está dado por la por la ordenada “y” de la línea de influencia multiplicada por el valor de la carga actuante P; entonces para una serie de cargas P, o sea una carga distribuida, el valor del cortante, momento o reacción se podría determinar por la suma de todos los cortantes o momentos de cada una de las cargas:
Para cargas distribuidas podemos considerar que cada carga P corresponde al valor de la carga distribuida por una longitud pequeña de viga Δx, dándonos la sumatoria como:
Notemos que el valor de la función conserva el signo de la gráfica de la línea de influencia, así, si queremos obtener valores máximos debemos colocar la carga distribuida sobre áreas que sumen, con el signo correspondiente, a un valor existente.
Ejemplo Determine donde debe colocar una carga distribuida para producir el mayor cortante
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negativo y momento en el punto ..C.
Para producir el máximo cortante negativo debemos cargar la viga en la zona de la línea de influencia con área negativa y para el momento máximo cargamos toda la viga ya que toda el área es positiva.
Ejercicio Encontrar el máximo momento y el cortante máximo que se puede desarrollar en el punto C de la viga mostrada cuando está sometida a una carga permanente de 5000N/m. una carga viva distribuida de 1800 N/m y una carga puntual de 5000N.
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Momento mínimo
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Método Directo Supóngase que desea calcular la línea de influencia de la reacción en A de la viga de la figura mostrada, obteniendo las ordenadas en las secciones señaladas. El método más obvio pero no el más expedito, consiste en colocar una carga unitaria en las distintas secciones y calcular el valor correspondiente de la sección en A, RA. Por ejemplo, se coloca una carga en la sección 1, figura 3-b, se calcula el valor de RA correspondiente, e influencia de la seccion1, figura 3-c, de acuerdo con la definición de línea de influencia. Después se coloca la carga unitaria en el punto 2, figura 3-d, se calcula el valor de RA correspondiente que será la ordenada de la línea de influencia en el punto2, figura 3-e. Se repite el cálculo colocando la carga unitaria en las otras secciones mostradas en la figura, y cada valor de RA será la ordenada de la línea de influencia en el punto de colocación de la carga.
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EJERCICIO Calcular el valor máximo de la reacción en D y el momento flexionante máximo en las secciones 6 y 4 de la viga, suponiendo que sobre la viga circula un vehículo con las cargas de rueda mostradas, supóngase que el vehículo circula de izquierda a derecha únicamente.
Reacción Máxima en D
Si el eje delantero está en la sección 8 RD = 3.5*1.125+2.0*1.50 = 6.94 Ton Momento máximo en la sección 6:
Si el eje delantero está en la sección 8: 18
M6 = (-4)(2)+(-1)(3.5) = -11.5 Ton
Si el eje trasero está en la sección 8:
M6 = (-4)(3.5) = -14.0 Ton
Momento máximo en la sección 4:
Si el eje trasero está en la sección 4:
M4 = (3.5)(2.0) + (2.0)(0.5) = 8.0 Ton
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EJERCICIO
Resolver el ejemplo anterior si en vez del vehículo representado por dos cargas concentradas, circula un tren cuyo efecto se puede representar por una carga distribuida de 13 Ton/m y una longitd mayor a los 14 m de la viga.
Reacción máxima en D
Se coloca las cargas en las secciones 2 y 8: RD = (1/2)(12)(1.50)(13) = 117 Ton Momento máximo en las sección 6
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Si la carga se coloca entre las secciones de 6 y 8: M6 = (1/2)(4)(-4)(13) = -104 Ton-m
Momento máximo en la sección 4 Linea de influencia de M4
Si la carga se coloca entre las secciones 1 y 6: M4 =
(8)(2.0) − (2)(1) 13 = 91 Ton − m
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EJEMPLO Vigas isostáticas X Empleo de las ecuaciones de la estática X Principio de los trabajos virtuales
Las ecuaciones de la estática permiten hallar cualquier esfuerzo z 1 A 2m m
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RA=12-Z/10
RB=1-RA= Z-2/10 B
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Cortante en C Carga a la izda de C: aíslo tramo dcha.
Carga a la dcha de C: aíslo tramo izda.
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Flector en C Carga a la izquierda de C: aíslo tramo de la derecha. MC ≡ RB 5 =
z –2
0<
0
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Carga a la derecha de C: aíslo tramo de la izquierda. MC ≡ RA 5=
12 –z
7
2
-1
6
Celos estáti
Se det
nudos Cuando la carga está entre dos nudos, la LI es una recta
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8
9
1 0
