Analisis Estructural - Lineas de Influencia

INTRODUCCION En la mayor parte de las estructuras las cargas exteriores actuantes tienen un único punto de aplicación fjo. Sin embargo hay también muchos casos en los que el punto de aplicación de alguna uerza puede ariar a l o largo de la estructura! por ejemplo un puente recorrido por un eh"culo# o una iga car carril ril sobr sobre e la que que apoya poya una una grúa grúa.. En esto estos s caso casos s los los esu esuer erzo zos s y deormaciones deormaciones en la estructura dependen de la posición que ocupa la carga# carga# y en particular el alor m$ximo de cada uno de ellos se produce en una ciert cierta a posici posición# ón# en princi principio pio desco desconoc nocida ida## de la carg carga. a. %l ser las carg cargas as móiles se requiere por lo tanto un an$lisis m$s complejo que en el caso de cargas fjas# y para ello se utilizan las l"neas de in&uencia.

LINEAS DE INFLUENCIA Se defne la l"nea de in&uencia de un esuerzo o de una deormación como la unción que proporciona la ariación de dicho esuerzo o deormación# para las distintas posiciones de la carga móil a lo largo de la estructura# y para un alor unitario de dicha carga. 'or lo tanto hay una l"nea de in&uencia para cada esuerzo o deormación de la estructura# y para cada carga móil distinta que actúe sobre ella. (odas las l"neas de in&uencia se expresan en unción de algún par$metro que defne la posición de la carga móil en su trayectoria. Ejemplo. )onsidérese una iga biapoyada con una carga ertical móil *.

El alor de la reacción en %# es +,*-/012 a l"nea de in&uencia de la reacción en % es la unción que defne el alor de dicha reacción para un alor unitario de la uerza móil. +epresenta# para una abscisa determinada# el alor de la reacción + # al aplicar la carga unitaria en dicha abscisa. 3-+%%1,4/02

'or medio del estudio de las l"neas de in&uencia se puede determinar cu$l es la posición m$s desaorable de la carga para el esuerzo o la deormación estudiados# as" como dicho alor m$ximo. os primeros estudios sobre l"neas de in&uencia para esuerzos se deben a 5in6ler en 4787# quien posteriormente las aplicó al dise9o de puentes en 47:;. %l mismo tiempo
in&uencia de una deormación# como resultado de sus estudios sobre la deormada el$stica de una iga. os supuestos b$sicos que se emplean para estudiar las l"neas de in&uencia son!

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Estructura con material el$stico y lineal# con lo que es aplicable el principio de superposición.

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=na sola uerza móil de módulo unidad. Este supuesto se introduce para acilitar el estudio inicial# pero m$s adelante se estudian otros tipos de cargas.

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a carga es móil sobre una trayectoria que se supone en principio recta# pero m$s adelante se er$ que puede ser de orma cualquiera.

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a carga móil mantiene siempre la misma dirección y sentido de aplicación# es decir que se traslada paralelamente a s" misma y no gira. <$s adelante se er$ que esta condición tampoco es indispensable.

Construyamos la línea de infuencia para la reacción en % de la siguiente iga se empieza a moer la carga ' a dierentes distancias x y para cada distancia se calcula +% >tro método es encontrando la ecuación de la ariación de la reacción en %# a medida que se muee una carga unitaria Se parte de encontrar esa reacción en unción de la posición x de la carga ',4#?. %plicando ecuaciones de equilibrio o encontrando la reacción por proporciones tenemos!

@otemos que la ecuación tiene pendiente negatia y con una ariación lineal para +%.

'ara obtener el alor de la reacción en % para cualquier carga '# se multiplica la ordenada de la l"nea de in&uencia por el alor de la carga. Si L=8m, P=5 ton localizada a Am del punto % el alor de la reacción ser"a!

Línea de infuencia para el cortante en A Se determina la ariación del cortante en % por el método de las secciones. En ista de que siempre es una carga puntual# se parte de encontrar primero las reacciones en unción de la posición x y después se aplica el método de las secciones partiendo por el punto al cual se le quiere determinar la l"nea de in&uencia!

Baciendo equilibrio en la sección y localizando la carga en xC? tenemos!

En este caso concluimos que la l"nea de in&uencia del cortante en % es igual a la de la reacción en % @ote que la l"nea de in&uencia se hacer para la conención positia de los esuerzos internos. "nea de in&uencia para la reacción en D!

"nea de in&uencia para el momento en %! 'ara cualquier posición de la carga unitaria el momento en % ser$ cero.

"nea de in&uencia para el cortante y momento en un punto ) en 2; Siempre comenzamos encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos!

'ara x2; # se puede tomar la sección )/D y los c$lculos se acilitan ya que en ella no est$ actuando la carga unitaria!

#

de donde

'ara xC2; se toma la sección %/) para equilibrio!

"nea de in&uencia para el cortante en )!


LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS ISOSTÁTICAS En las igas est$ticamente determinadas# es posible calcular cualquier esuerzo interno de la misma# utilizando nada m$s que las ecuaciones de equilibrio est$tico# por lo que éstas son sufcientes para hallar cualquier l"nea de in&uencia. El proceso de c$lculo suele consistir en determinar inicialmente las l"neas de in&uencia de las reacciones en los apoyos# y posteriormente las de los esuerzos internos# que se calculan con m$s acilidad cuando se conocen las reacciones.

LÍNEAS DE INFLUENCIA EN CELOSÍAS ISOSTÁTICAS En este caso las l"neas de in&uencia no son continuas# ya que las cargas sólo pueden estar situadas en los nudos. )omo las diersas barras est$n desconectadas a &exión unas de otras# y su comportamiento es lineal# ocurre que la l"nea de in&uencia cuando la carga móil est$ entre dos nudos es también lineal. 'or tanto es sufciente con hallar la l"nea de in&uencia para la carga aplicada en los distintos nudos de su trayectoria# y unir los alores discretos obtenidos mediante l"neas rectas. Fe esta orma se obtiene una l"nea quebrada que es la l"nea de in&uencia buscada.

EMPLEO DEL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES El 'rincipio de los (rabajos Girtuales brinda un método muy interesante para la determinación de l"neas de in&uencia en estructuras isost$ticas. Si en una estructura isost$tica se elimina el esuerzo cuya l"nea de in&uencia se desea hallar# la estructura se conierte en un mecanismo# con lo cual puede tener

moimientos de sólido r"gido# que se producen sin acumulación de energ"a el$stica. Fe acuerdo con el 'rincipio de los (rabajos Girtuales se cumple que el trabajo irtual de todas las uerzas que actúan sobre la estructura es nulo# al no acumularse energ"a el$stica! δ5,δ=,?

-41

Sobre la estructura# transormada en mecanismo# actúan las siguientes uerzas!

•

a uerza unitaria móil

•

El esuerzo cuya l"nea de in&uencia se desea hallar# llamado genéricamente E

•

as reacciones en los apoyos# que no producen trabajo irtual.

Si se aplica sobre la estructura un desplazamiento irtual en la dirección del esuerzo E cuya l"nea de in&uencia se busca# la estructura adopta una confguración deormada como sólido

r"gido.

En esta confguración

deormada se denomina E al desplazamiento irtual en la dirección del esuerzo buscado H i al desplazamiento en la dirección de la uerza unitaria móil. El trabajo irtual producido por ambas uerzas es! δ5,δ.EIδ.4

-;1

Fe donde se calcula el alor de la l"nea de in&uencia! E,/δ32δE

-A1

Si se elige el desplazamiento irtual de tal manera que alga la unidad -δE,41 Se obtiene!

E,/δ3

-J1

Esta expresión indica que la l"nea de in&uencia de un esuerzo cualquiera en una estructura isost$tica es igual a la deormada / cambiada de signo / que

adopta la trayectoria de la carga móil# cuando se aplica un desplazamiento irtual unitario en la dirección del esuerzo. Esta deducción es general# sea cual sea el tipo de esuerzo. 'ara reacciones# el desplazamiento irtual unitario se impone en la dirección supuesta para la reacción. 'ara esuerzos internos# se debe imponer un desplazamiento irtual unitario relatio entre las dos caras donde actúa el esuerzo interno. %dem$s debe tenerse cuidado de que al imponerse esta deormación relatia unitaria se mantengan constantes las dem$s deormaciones# de tal orma que los otros esuerzos existentes en la sección no produzcan trabajo irtual. Es importante hacer notar que al haberse obtenido la l"nea de in&uencia como una deormada# el signo del esuerzo E debe interpretarse como positio cuando la uerza móil actúa en la dirección de la deormada y negatio cuando actúa en sentido contrario. %unque aqu" se ha presentado como una mera utilización del 'rincipio de los  (rabajos Girtuales# este método ue presentado por
USO DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA: 1. Caso de ca!as "#$%#a&es: 'ara cualquier carga puntual ' se multiplica el alor de la ordenada en el punto x y ese es el alor del corte o del momento o la unción grafcada. 'ara encontrar los alores m$ximos de G o < se debe colocar la carga puntual ' en el punto de m$xima ordenada.

'. Caso de ca!as d(s%()#(das: En realidad una l"nea de in&uencia para una carga distribuida no se podr"a encontrar como tal# pero la l"nea de in&uencia de la carga puntual se puede usar para determinar en qué tramos colocar la carga distribuida para que produzca los alores m$ximos en un punto. Si sabemos que el alor de la reacción# cortante o momento en un punto esta dado por la por la ordenada LyM de la l"nea de in&uencia multiplicada por el alor de la carga actuante 'N entonces para una serie de cargas '# o sea una carga distribuida# el alor del cortante# momento o reacción se podr"a determinar por la suma de todos los cortantes o momentos de cada una de las cargas!

'ara cargas distribuidas podemos considerar que cada carga ' corresponde al alor de la carga distribuida por una longitud peque9a de iga Ox# d$ndonos la sumatoria como!

@otemos que el alor de la unción consera el signo de la grafca de la l"nea de in&uencia# as"# si queremos obtener alores m$ximos debemos colocar la carga distribuida sobre $reas que sumen# con el signo correspondiente# a un alor existente.

PRINCIPIO DE MULLER*BRESLAU a de la l"nea de in&uencia en un punto dado para la cortante o momento est$ dada por la deormada de la iga al aplicar ese momento o cortante en el punto determinado# retirando la capacidad de la iga para aguantar esa unción.

L+$ea de ($,#e$c(a "aa eacc(-$ e$ A

Rodillo interno  Articulación

as ordenadas de la l"nea de in&uencia de un esuerzo cualquiera de una estructura son proporcionales a las de la cura de deormación que se obtiene al suprimir la restricción correspondiente a ese esuerzo y aplicando en ese lugar el esuerzo especifcado.

LÍNEAS DE INFLUENCIA EN ARMADURAS  VIGAS EN CELOSÍA: Paa a/ad#as: Se usa para determinar uerzas axiales m$ximas en un miembro determinado. a orma ser"a expresando la uerza en un miembro determinado en unción de la carga unitaria en cada uno de los nudos# otra es en unción de la posición de x de la carga unitaria.  'asos! 4. Expresar reacciones en unción de la posición de carga unitaria. ;. Fiidir la armadura en regiones antes y después del panel que contiene la barra a analizar. A. Expresar la uerza del miembro en unción de las reacciones por el método de las secciones en las regiones no pertenecientes al panel. J. )onectar las l"neas de in&uencia en la región de la barra.