ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
Análisis Estructural I
2018 - 0
INTRODUCCIÓN Las líneas de influencia representan el efecto de una carga móvil solo en un punto especificado sobre un miembro. Se puede observar la variación de la reacción, de la fuerza cortante, del momento flexionante o de la deflexión en un punto específico de un miembro cuando una fuerza concentrada se mueve sobre este, identificándose donde debe colocarse una carga viva sobre la estructura para que se genere la máxima influencia en el punto especificado. Comúnmente, analizamos estructuras isostáticas e hiperestáticas sometidas a cargas de magnitud y ubicación conocida a las que denominamos “cargas muertas” y que en la
mayoría de los casos es el peso propio de la estructura. Sin embargo, existen otros estados de carga que pueden o no estar presentes o cambian de ubicación, es decir son cargas móviles o “cargas vivas”. (Universidad de Chile, 2012) La posibilidad de estas implica la necesidad de obtener: a) Las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga (o un estado de cargas) para distintos puntos de aplicación de la misma. b) El estado más desfavorable de aplicación de la carga, que trae aparejada las mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada una sección dada. Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas las secciones de la estructura o por lo menos, en varias secciones características según las circunstancias. El trazado de diagramas o líneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las dos necesidades y su utilización es casi imprescindible en el caso de estudios de puentes, puentes grúa o carretero, bandas transportadoras y otras estructuras donde las cargas se mueven a lo largo de su claro. A continuación, comenzaremos este tema con el concepto de línea de influencia, para posteriormente describir el procedimiento para la construcción de estas mediante los dos métodos: Método directo y el principio de Müller - Breslau. Además, presentamos diferentes ejercicios aplicativos para establecer las líneas de influencia.
La línea de influencia es un gráfico que define la variación de un esfuerzo (corte, momento flector o torsor), reacción o deflexión en un punto fijo de la estructura a medida que se mueve una carga unitaria sobre ella. La línea de influencia es diferente al diagrama de momento o cortante o a la elástica de la viga, estos representan la variación de la función a lo largo de la viga para una serie de cargas definidas y el otro define como varía V, M o δ en un punto específico cuando se mueve una carga unitaria sobre la viga no dando el valor de la función en toda posición.
Para la construcción de las líneas de influencia es necesario distinguir entre estructuras estáticamente determinadas y estructuras estáticamente indeterminadas. En este caso, para las estructuras hiperestáticas, se puede mostrar que las líneas de influencia de las fuerzas internas o reacciones siempre describe una gráfica curva. A continuación, en la siguiente figura se muestra la representación gráfica de la línea de influencia del momento flector (Mi) en una viga hiperestática, como se observa describe una curva.
Para diseñar estructuras sometidas a cargas móviles es necesario conocer cuál es el valor de las acciones por estas cargas en todos los puntos de aplicación posibles, para así poder determinar el máximo valor con fines de diseño. Una forma de obtener el
valor del momento flexionante y la fuerza cortante correspondientes a las distintas posiciones de la carga móvil sería determinarlos para cada punto como si fueran cargas fijas, sin embargo, el problema se simplifica usando el concepto de línea de influencia. Este método se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes grúas, bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas móviles.
Las líneas de influencia de estructuras hiperestáticas, al igual que las isostáticas pueden ser calculadas mediante dos métodos: el método directo y el principio desarrollado por Müller Breslau, así como utilizando el método de Cro ss.
La estructura mostrada tiene un grado de hiperestaticidad, la reacción vertical en el apoyo B para una carga unitaria aplicada en el punto X puede obtenerse a partir del principio de los trabajos virtuales:
+ = Donde:
→ Reacción en B. → Deformación producida en el punto B por
una carga unitaria
vertical en el punto B.
Deformación producida en el punto B por la carga unitaria P en el
punto X. A medida que la carga unitaria P se desplaza por la viga, para resolver E1, se requiere obtener la deformación en punto B debida a la carga unitaria en infinitos puntos, lo que parece resultar en una tarea sumamente laboriosa. No obstante, SI aplicamos el teorema de Maxwell – Betti, podemos escribir dicha ecuación de la siguiente forma:
+ = Donde:
Deformación producida en el punto X por la carga unitaria P en el
punto B. Entonces el problema se reduce a obtener la expresión de la línea elástica en el sistema inicial para una cara concentrada unitaria aplicada en el punto B, para lo que la línea de influencia para la reacción en B, queda expresada como:
= − Una vez obtenida la línea de influencia de la incógnita hiperestática es posible hallar la línea de influencia de cualquier función (reacción, cortante, momento flector, etc.).
Las armaduras se usan a menudo como elementos primarios de carga para puentes. Por consiguiente, para el diseño es importante poder construir las líneas de influencia
para cada uno de sus miembros. Como se muestra en la figura, la carga sobre la cubierta del puente se transmite primero a las vigas de puente, que a su vez transmiten la carga a las vigas de piso y luego a los nudos de la cuerda inferior de la armadura. Como los miembros de la armadura son afectados sólo por la carga en los nudos, podemos obtener las ordenadas de la línea de influencia para un miembro cargando cada nudo a lo largo de la cubierta con una carga unitaria y luego usar el método de los nudos o el método de las secciones para calcular la fuerza en el miembro. Los datos pueden disponerse en forma tabular, registrando "carga unitaria en el nudo “versus "fuerza en el miembro". Si la fuerza en el miembro es de tracción, se considera como valor positivo; si es de compresión, se considera negativo. La línea de influencia para el miembro que se desea, se construye trazando los datos y dibujando líneas rectas entre los puntos. Las líneas de influencia son muy útiles en el diseño de armaduras de puentes. La carga unitaria se desplaza sobre las vigas longitudinales, que al apoyarse en las transversales la transmiten a los nudos de la armadura. Para simplificar el problema se suele ignorar la continuidad de las vigas longitudinales, si existe, con lo cual las líneas de influencia resultan rectas entre dos nudos adyacentes cualesquiera.
Líneas de influencia en una armadura
Desarrollo:
Para acotar esta línea de influencia se puede utilizar el corte realizado en el caso anterior, haciendo equilibrio de las fuerzas verticales.
Líneas de influencia en una armadura
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Dibujar la línea de influencia para el tramo DJ y el tramo EJ
1° Paso: Colocar una carga unitaria en el nudo B y hacer sumatoria de momentos en A
∑ = 0 52 − 12 = 0 = 15 2° Paso: Realizar un corte en el tramo para el que se quiere hacer la línea de influencia, realizar el diagrama de cuerpo libre y hacer sumatoria de fuerzas en y.
∑ = 0 1 − √ 2 ( ) = 0 5 2 = 5√ 22 3° Paso: Colocar la carga unitaria en el nudo C y repetir los pasos anteriores.
∑ = 0 221 −52 = 0 = 25
∑ = 0 2 − √ 2 ( ) = 0 5 2 = 5√ 4 2 4° Paso: Colocar la carga unitaria en el nudo D y repetir los pasos anteriores.
∑ = 0 321 −52 = 0 = 35 ∑ = 0 3 − √ 2 ( ) = 0 5 2 = 5√ 6 2
4° Paso: Colocar la carga unitaria en el nudo E y repetir los pasos.
∑ = 0 421 −52 = 0 = 45 ∑ = 0 4 − 1 − √ 2 ( ) = 0 5 2 = 5−2 √ 2 5° Paso: Hacer el diagrama de línea de influencia con los puntos hallados para el tramo DJ-
6° Paso: Para hacer el diagrama de línea de influencia del tramo EJ, ya no es necesario evaluar la carga unitaria en todos los puntos, pues simplemente 1 en el nudo de análisis-
Ejercicio N°3 Determinar la línea de influencia en el apoyo A B
A
D
Procedimiento: 1. Se tiene la estructura original, aplicada una carga unitaria a una distancia X (método directo)
2. Podemos generar la configuración correcta de la línea de influencia suprimiendo simplemente el apoyo en A (para generar la estructura liberada) e induciendo un desplazamiento en la ubicación de Ra.
Se genera dicho desplazamiento aplicando arbitrariamente una fuerza vertical de 1 ton (puede tener cualquier valor).
3. Aplicando la definición de Betti nos resulta
4. Línea de influencia Ra