Universidad Distrital Francisco José de Caldas Proyecto Curricular Ingeniería de Sistemas Investigación de Operaciones II Grupo ! de septiem"re de #$!% Investigación de operaciones #
Programación Entera Binaria (PEB) Objetivo O"tener una solución óptima mediante el uso del método &ditivo de 'gon (alas) descri"iendo todo el proceso *ue implica su desarrollo+ Practicar el método aditivo de 'gon (alas para *ue cuando en un ,uturo tengamos la necesidad de tomar una decisión podamos utili-ar el método de programación entera "inaria+
Enunciado: Min : Z =2 X 1 + 3 X 2 + 4 X 3 + 4 X 4 + 5 X 5+ ¿
6 X 6 + 7 X 7+ 8 X 8
s . a . 4 X 1 + 4 X 2 + 3 X 3 + 4 X 4 + 6 X 5 + 8 X 6 + 5 X 7 + 9 X 8 ≥ 3
2 X 1+ 2 X 2+ 3 X 3+ 2 X 4 + 5 X 5 + 4 X 6 + 3 X 7 + X 8 ≥ 2 X 6 + X 8 ≥ 1 X 1− X 2− X 7 ≤ 0
− X 3 + X 5 X i=
≤0
{ 0,1 }∨i=1,2,3,4,5,6,7,8
Método utilizado: &ditivo de 'gon (alas+ Conceptos Claves Programación entera Binaria: 'n algunas situaciones nos encontramos con pro"lemas *ue re*uieren la toma de decisiones) como por e.emplo construir o no una una ,/"rica) tomar o no cierto riesgo) etc+ 's en esos casos donde donde se de"e ,ormular el pro"lema en ,orma de programación lineal "inaria+
Egon Balas: Consiste en resolver un modelo de minimi-ación con coe,icientes positivos en la ,unción o".etivo) de manera *ue se utilice el menos n0mero de varia"les a ,in de minimi-ar el valor óptimo de la ,unción o".etivo+ n!actibilidad: Se llamar/ in,acti"ilidad el intervalo *ue produce una solución aplicada so"re una restricción) o un con.unto de éstas) y mide la distancia de la solución so"re un resultado ,acti"le+ 'l intervalo ser/ in,acti"le si es negativo+
P'"O" 1o primero *ue 2ay *ue veri,icar es *ue la ,unción o".etivo sea de tipo 3inimi-ación de lo contrario se de"en aplicar reglas de e*uivalencia) en ese orden de ideas para las restricciones *ue no sean de tipo ≤
"O#$C%& POCEME&*O 6uevas restricciones7 − 4 X 1 − 4 X 2−3 X 3− 4 X 4− 6 X 5−8 X 6− 5 X 7− 9 X 8
−2 X 1 −2 X 2−3 X 3− 2 X 4−5 X 5−4 X 6−3 X 7− X 8 ≤ − X 6− X 8 ≤ − 1
X 1− X 2− X 7 ≤ 0
se de"en aplicar estas reglas 4cosa *ue en éste caso ocurre con las tres primeras restricciones5+
− X 3 + X 5 ≤ 0
X i =
{ 0,1 }∨i=1,2,3,4,5,6,7,8
9estricciones reescritas7 1uego se procede a e8presar las desigualdades de las restricciones de tal ,orma *ue todas sean de la ,orma
− 4 X 1 − 4 X 2−3 X 3− 4 X 4− 6 X 5−8 X 6− 5 X 7− 9 X 8 −2 X 1 − 2 X 2−3 X 3− 2 X 4−5 X 5−4 X 6− 3 X 7− X 8 + 2
≤0
+ Con lo anterior ya se puede proceder a desarrollar el &lgoritmo *ue consiste en ir asignando el valor de ! a cada varia"le con las dem/s en cero) las *ue tengan in,acti"ilidad de $ ser/n las candidatas a solución y las dem/s se descartan+
− X 6− X 8+ 1 ≤ 0 X 1− X 2− X 7 ≤ 0 − X 3 + X 5 ≤ 0
X i =
{ 0,1 }∨i=1,2,3,4,5,6,7,8
X 1= X 2= X 3 = X 4 = X 5 = X 6 = X 7= X 8=0
Para empe-ar se 2acen todas las varia"les iguales a $+
•
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In,acti"ilidad ;:<#
X 1=1 X 2= X 3= X 4= X 5= X 6= X 7 = X 8 =0
&2ora se 2ace
X 1=1
y las dem/s
varia"les se igualan a $+
•
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•
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•
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In,acti"ilidad
$ X 2=1
X 1= X 3= X 4= X 5= X 6= X 7 = X 8= 0
&2ora se 2ace
X 2=1
y las dem/s
•
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varia"les se igualan a $+
•
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In,acti"ilidad
$
X 3= 1 X 1= X 2= X 4= X 5= X 6 = X 7 = X 8= 0
&2ora se 2ace
X 3= 1
y las dem/s
varia"les se igualan a $+
•
$
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•
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•
! ≤ $ ;$<$
•
?!
•
≤
In,acti"ilidad
$
X 4 =1 X 1= X 2= X 3 = X 5= X 6= X 7= X 8=0
&2ora se 2ace
X 4 =1
varia"les se igualan a $+
y las dem/s
•
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•
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•
$
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! ≤ $ ;$<$
≤
In,acti"ilidad
$
X 5= 1 X 1= X 2= X 3 = X 4 = X 6 = X 7 = X 8= 0
&2ora se 2ace
X 5= 1
y las dem/s
varia"les se igualan a $+
•
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$
•
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≤
$
•
! ≤ $ ;$<$
•
!
•
≤
In,acti"ilidad
$
X 6 = 1 X 1= X 2= X 3 = X 4 = X 5 = X 7= X 8= 0
&2ora se 2ace
X 6 =1
varia"les se igualan a $+
y las dem/s •
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•
$ ≤ $ ;$<$<$<$<$;$ $ ≤ $
•
$
•
∴ Z =6
≤
$
In,acti"ilidad
X 7 =1 X 1= X 2= X 3 = X 4 = X 5 = X 6 = X 8= 0
&2ora se 2ace
X 7 =1
y las dem/s
varia"les se igualan a $+
•
?#
≤
$
•
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•
! ≤ $ ;$<$
•
$
•
≤
In,acti"ilidad
$
X 2=1 X 1= X 3= X 4= X 5= X 6= X 7 = X 8= 0
&2ora se 2ace
X 8 =1
y las dem/s
•
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&2ora escogemos la solución m/s pe*ueAa) ya *ue es un pro"lema de minimi-ación) en este caso es cuando Z = 6
$
Solución Bptima7 X 1= X 2= X 3 = X 4 = X 5 = X 7= X 8= 0
+
X 6 = 1
Sólo tuvieron que revisarse 9 soluciones, a diferencia de enumeración implícita donde se hubiera requerido revisar
≤
In,acti"ilidad
∴ Z =6
8
2
soluciones posibles.
& continuación se muestra de una ,orma general el procedimiento e8plicado anteriormente
Enunciado:
Min : Z =2 X 1 + 3 X 2 + 4 X 3 + 4 X 4 + 5 X 5+ ¿
6 X 6 + 7 X 7+ 8 X 8
s . a . 4 X 1 + 4 X 2 + 3 X 3 + 4 X 4 + 6 X 5 + 8 X 6 + 5 X 7 + 9 X 8 ≥ 3
2 X 1+ 2 X 2+ 3 X 3+ 2 X 4 + 5 X 5 + 4 X 6 + 3 X 7 + X 8 ≥ 2 X 6 + X 8 ≥ 1 X 1− X 2− X 7 ≤ 0
− X 3 + X 5
X i=
≤0
{ 0,1 }∨i=1,2,3,4,5,6,7,8
Min : Z =2 X 1 + 3 X 2 + 4 X 3 + 4 X 4 + 5 X 5+ ¿
6 X 6 + 7 X 7+ 8 X 8
s . a . 4 X 1− 4 X 2 − 3 X 3− 4 X 4−6 X 5 −8 X 6 −5 X 7−9 X 8 ≤ −3
2 X 1− 2 X 2−3 X 3−2 X 4 −5 X 5− 4 X 6 −3 X 7− X 8 ≤ −2 − X 6− X 8 ≤ − 1
X 1− X 2− X 7 ≤ 0 − X 3 + X 5 ≤ 0
X i=
{ 0,1 }∨i=1,2,3,4,5,6,7,8
Min : Z =2 X 1 + 3 X 2 + 4 X 3 + 4 X 4 + 5 X 5+ ¿
6 X 6 + 7 X 7+ 8 X 8
s . a . 4 X 1− 4 X 2 −3 X 3− 4 X 4−6 X 5 −8 X 6 −5 X 7−9 X 8+ 3 ≤ 0
2 X 1− 2 X 2−3 X 3−2 X 4 −5 X 5− 4 X 6 −3 X 7− X 8 + 2 ≤ 0 − X 6− X 8+ 1 ≤ 0
9:
X 1− X 2− X 7 ≤ 0
9>
− X 3 + X 5 ≤ 0
&9I&(1'S E! E# E: E> E@ E% E= E
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{ 0,1 }∨i=1,2,3,4,5,6,7,8 9'S9ICCIO6'S 9: 9> 9@ ! $ $
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X 1= X 2= X 3 = X 4 = X 5 = X 7= X 8= 0
X 6 = 1 ∴ Z = 6
Conclusión: Se aprendió y practico el método Egon Balas para en un ,uturo poderlo aplicar para tomar decisiones+
ntegrantes: Daniel &le.andro Pulgarin Cód+ #$!:!$#$$! Diego &le8ander 3uAo- 9eyes Cód+ #$!:!$#$$= (rayan argas argas Cód+ #$!:#$#$$@> e!erencias: !+ Programación 1ineal 'ntera 4ec2o por P+3+ 3ateo y David 1a2o- el # de .ulio de #$$5 2ttp7HHoc+uni-ar+esHocHensenan-as?tecnicasHmodelos?de?investigacion? operativaH,ic2erosHOCProg'ntera+pd,
#+ Formato tomado de un e.ercicio del semestre anterior 4ec2o por Kevin Steven Gordillo Or.uela5+ 3. 6otas de Clase 4Investigación de Operaciones II tomadas el día ! de &gosto de #$!@5+
