PROGRAMACION BINARIA (CASOS ESPECIALES)
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
PROGRAMACION ENTERA BINARIA CASOS ESPECIALES: USOS INNOVADORES DE VARIABLES BINARIAS
RETRICCIONES UNA U OTRA
Situación en la que se debe elegir entre dos restricciones, de manera que solamente una de ellas debe cumplirse. Por ejemplo, sean las restricciones siguientes entre las que solamente una debe tomarse en cuenta en el modelo: 5x11 + 3x 21 + 6x31 + 4x 41 6!!!
"#$
4x11 + 6x 21 + 3x31 + 5x 41 5!!!
"2$
%e&ormular las restricciones considerando un n'mero positi(o mu) grande "*$ al lado dereco de stas ) se obtendr- el e&ecto de eliminar una de ellas, de la siguiente manera: 5x11 + 3x 21 + 6x31 + 4x 41 6!!! + * y
"#$
4x11 + 6x 21 + 3x31 + 5x 41 5!!! + *"# y $
"2$
y es binaria, siendo M un número muy grande
/ote que si la (ariable y toma el (alor de cero, la primera restricción queda con 0 6!!! en su lado dereco, pero en la segunda se tendr1a 0 5!!! + *, al sumarse un n'mero tan grande al 5!!!, el lado dereco es como si quedara: 0 // dejando as1 de ser una restricción. a restricción que pre(alecer1a ser1a la primera. a situación es totalmente contraria si es que la (ariable y ubiera tomado el (alor de #7 en tal caso, la restricción que se mantendr1a ser1a la segunda.
DEBEN CUMPLIRSE K DE N RESTRICCIONES
8n este tipo de problema que consta de N restricciones, solamente deben cumplirse K de ellas. o que sucede realmente es que las N – K restricciones que no se eligen son eliminadas del problema. bser(e que esta situación es una generali9ación del caso anterior que ten1a K=1 ) N=2. Sean las siguientes restricciones: 5x1 + 3x 2 + 3x3 x 4 #! 2x1 + 5x 2 x3 + 3x 4 2 - x1 + 3x 2 +5x3 + 3x 4 #5 3x1 x 2 + 3x3 + 5x 4 2! ;plicando la misma lógica que en caso anterior ) considerando7 por ejemplo, que al menos tres de las restricciones se cumplan7 se tendr1a lo siguiente: 5x1 + 3x 2 + 3x3 x 4 #! + My 1 2x1 + 5x 2 x3 + 3x 4 2 + My 2 - x1 + 3x 2 +5x3 + 3x 4 #5 + My 3 2
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3x1 x 2 + 3x3 + 5x 4 2! + My 4 y 1 + y 2 + y 3 + y 4 # y i binarias, (i=1,2,3,4)
3
RESTRICCIONES CON N VALORES POSIBLES
Situación en la que se requiere que una restricción tome cualquiera de N (alores dados. Siendo por ejemplo para la siguiente restricción que se pueda adoptar en su lado dereco el (alor de #5, # ó 2!:
se
CONSIDERACION DE COSTO FIJO
;l iniciar una acti(idad o proceso normalmente se incurren en costos inerentes al inicio de dica acti(idad que no se relacionan directamente con la cantidad a producir. 8ste costo no es proporcional al ni(el de producción como normalmente lo suele ser el costo (ariable. 8n el siguiente modelo matem-tico se puede apreciar la consideración del costo =jo: xi 0 cantidad de unidades a producir del art1culo i, (i=1, 2, 3) yi 0 se lle(a a cabo o no la producción del art1culo i, (i=1, 2, 3) Max Z 0 5x1 + 4x 2 + 2x3 # 25! x1 22! y 1 x 2
2!! y 2 x3 2!5
&os ni'ees de rodu**in "endrn 'aores soamen"e si se a a*e"ado e'ar a *abo a .abri*a*in de sus rese*"i'os rodu*"os/
y 3 xi $ % (i=1,2,3) y i binarias (i=1,2,3)
&e*"ura sugerida#
0N5660N 7 &7 0N890:760N 9 ;9760N9 ?5sos inno'adores de 'ariabes binarias en a .ormua*in de modeos@ 6aA"uo 11 ;rograma*in 9n"era ;g 4BC
EJEMPLOS
PROBLEMA 1 (RESTRICCIONES UNA U OTRA)
?na empresa a dise@ado 3 nue(os productos ) dispone de dos plantas que los pueden producir. Sin embargo, para e(itar una di(ersi=cación eAcesi(a de la l1nea de productos de la empresa, la administración a dispuesto en primer lugar que deben producirse como m-Aimo dos de estos tres nue(os productos posibles. B, en segundo lugar, que solo una de las plantas debe asignarse para la &abricación de los nue(os productos. Se considera que el costo unitario de &abricación de cada producto ser1a el mismo en las dos plantas, pero por di&erencia de instalaciones, el n'mero de oras de producción por unidad de cada producto puede di&erir entre ellas. 8stos datos se dan en la tabla adjunta junto con la in&ormación del departamento de mercadotecnia del n'mero de unidades de cada producto que se pueden (ender a la semana si se producen. 8l objeti(o es seleccionar los productos, la planta ) las tasas de producción de los nue(os productos de manera que se maAimice la ganancia total. 6onsiderar Due as "asas de rodu**in ueden ado"ar 'aores de*imaes Tiempo de producción utilizado por cada unidad producida (horas) Producto 1 Producto 2 Producto 3 Planta 1 Planta 2 Ganancia unitaria Ventas potenciales
Horas disponibles por semana
3 4
5 6
2 2
30 40
5
7
3
(miles de !
7
5
9
("nid#sem!
Modeo# Xi = Unidades a elaborar del producto i (i=1,2,3); Yi = Se elabora o no el producto i (i=1,2,3) Z = Variable binaria auxiliar para escoger solo una entre dos restricciones; !X = "X1 # $X2 # 3X3; X1 %= $Y1; X2 %= "Y2; X3 %= &Y3; Y1 # Y2 # Y3 %= 2; 3X1 # "X2 # 2X3 %= 3' # 1''''Z; X1 # X2 # 2X3 %= ' # 1''''(1 * Z); Y1,+2,+3, -=' + binarias
ou*in# ;rodu*"os a eaborar# rodu*"os 1 y 3/ (E1=1, E3=1) 9aborar > unidades de rodu*"o 1 (F1=>) y B unidades de rodu*"o 3 (F3=B) (Z=1) es"a 'ariabe indi*a Due se "raba!a en a an"a 2, ya Due eimina a res"ri**in de a an"a 1/ GeneH*io# I J4%%%
PROBLEMA 2 (K DE
N
RESTRICCIONES)
?na sider'rgica produce unas plancas de metal a partir de aleaciones, cada una de las cuales tienen un porcentaje de agentes contaminantes ;, C ) D. os porcentajes m-Aimos aceptables para cada contaminante es de 2.3E de ;, #.
Costo por tonelada($) % de A % de % de C
Aleación 2 200 2&5' 1&5' 4&1'
Aleación 3 1%5 2&4' 1&$' 2&$'
Si &uese aceptable con que se cumplan con dos de las restricciones de los agentes contaminantes. Feterminar cómo minimi9ar los costos para una tonelada de producción. Modeo# Xi = .racci/n de tonelada a utiliar de la aleaci/n i (i=1,2,3); Y0 = Variable auxiliar para aceptar o no la restricci/n 0 (0=1,2,3)
=
1&'X1 # 2''X2 # 1"X3;
'4'22X1 # '4'2"X2 '4'1X1 # '4'1"X2 '4'32X1 # '4'1X2 X1#X2#X3 = 1; Y1#Y2#Y3 %= 1;
# '4'2X3 %= '4'23 # 1'''Y1; # '4'1&X3 %= '4'1$ # 1'''Y2; # '4'2&X3 %= '4'31 # 1'''Y3;
Y1, +3, +3 -=' + binarias
ou*in#
Z = 187.50
X1 = 0.5, X3 = 0.5, Y2 = 1
PROBLEMA 3 (RESTRICCIONES CON
N VALORES
POSIBLES)
?n microempresario o&rece al p'blico 3 modelos no(edosos de muebles, para elaborar cada uno de stos necesita de 3 tipos de material. Gl se encuentra indeciso puesto que le (isitaron representantes de 3 distribuidoras de insumos que o&recen abastecerle de los materiales que necesita bajo los mismos costos, aunque en cantidades limitadas puesto que tienen tambin otros clientes. Fe estos 3 pro(eedores debe trabajar solamente con uno. 8l microempresario quiere &abricar la misma cantidad de muebles para sus 3 modelos. 8l bene=cio obtenido por cada mueble de los modelos #, 2 ) 3 es de SH.<5!, SH.I!! ) SH.!! respecti(amente. 8n la tabla adjunta se muestra la cantidad de cada material que necesita por unidad de cada modelo de mueble, as1 como la cantidad de cada material de la que cada pro(eedor dispone mensualmente.
!aterial 1 !aterial 2 !aterial 3
Material necesario (unidades) !odelo 1 !odelo 2 !odelo 3 25 10 33 1 15 1% % 12
Disponibilidad de materiales (unidades) Pro"eedor A Pro"eedor Pro"eedor C 1200 1500 150 $50 1200 %00 600 %20 50
Seg'n lo eApuesto, sugiera un plan de producción una (e9 decidido con cu-l de los pro(eedores es con quien trabajar-. Modeo# Xi = 5 de 6uebles a elaborar del 6odelo i (i=1,2,3); Y0 = 7raba0a o no con el pro8eedor 0 (0=!,9,:); !X = $"'X1 # &''X2 # ''X3; 2"X1 # 1'X2 # 33X3 %= 12''Y! # 1"''Y9 # 1$"'Y:; 1$X1 # 1"X2 # 1X3 %= &"'Y! # 12''Y9 # ''Y:; X1 # $X2 # 12X3 %= ''Y! # 2'Y9 # $"'Y:; Y! # Y9 # Y: = 1; X1 = X2;
X1 = X3; X1,x2,x3 -=' + enteras Ya,+b,+c -=' + binarias
ou*in# abri*ar 22 muebes de *ada "io, "raba!ando *on e ro'eedor G/ GeneH*io "o"a# L/ J3%%
PROBLEMA 4 (COSTO FIJO)
?n distribuidor decide alquilar locales para establecer almacenes en algunas regiones. 8n la tabla adjunta se muestran los tres almacenes candidatos que puede rentar, sus costos mensuales de alquiler, el n'mero m-Aimo de camiones que pueden cargar ) despacar en un mes, la demanda mensual de cargas de camión para cada uno de los cuatro distritos que desea atender ) el costo promedio de en(iar un camión de cada almacn a cada distrito. Costo por camión distrito de "entas (#) Almac'n A ) C
1 10 150 150
Demanda
100
2 3 $0 120 165 100 240 140 90
Capacidad mensual (camiones) 160 140 120
110
200 250 300
Costo de al&uiler (#) 50 4000 5500
60
Feterminar que almacenes alquilar ) el plan de distribución para minimi9ar los costos totales. Modeo# 6ero de ca6iones en8iados del al6ac?n i(i=!, 9, :) al distrito 0(0 = 1, 2, 3, ) Yi = al@uila o no el al6ac?n i .unci/n ob0eti8o; in = 1$'X!1 # &'X!2 # 12'X!3 # 1'X! # 1"'X91 # 1"X92 # 1''X93 # 1'X9 # 1"'X:1 # 2'X:2 # 1'X:3 # 12'X: # $$"'Y! # '''Y9 # ""''Y:;
# # # #
X:1 X:2 X:3 X:
-= -= -= -=
1''; &'; 11'; ';
o exceder la capacidad Y al@uilar el al6ac?n i si se atiende por lo 6enos un pedido desde allA; X!1 # X!2 # X!3 # X! %= 2''Y!; X91 # X92 # X93 # X9 %= 2"'Y9; X:1 # X:2 # X:3 # X: %= 3''Y:; Xi0-=' + enteras Ya,+b,+c-=' + binaria
ou*in# Z = 54650 YA = 1, YB = 1 XA2 = 90, XA4
= 20, XB1
= 100, XB3
= 110 XB4
= 40
