EJERCICIO PROGRAMACIÓN ENTERA PURA Investigación de Operaciones Operaciones II - Grupo Grupo ! "# de $e%rero de& '(") • • •
Duan Camilo Ducuara Hueje - 20131020005 Jeison Dario Moreno Moreno - 20131020030 Cesar Camilo Baquero Florez - 20131020117 20131020117
Grupo Interno: 5
Presentado a: Lilian Astrid Bejarano Garzón
Ejercicio Típico Objetivo: Exlicar el roceso ara resol!er un ro"lema cl#sico $e ro%ramaci&n en'era ura analizan$o el m('o$o $e soluci&n ,
para así poder hallar los los valores de las variables variables que satisfagan las restricciones restricciones del problema típico típico mediante el mtodo mtodo de ramificación ! acotamiento
Enunciado: "onsidere el siguiente el siguiente problema de programación entera pura# Max:
$ % &'(& ) (*
Sujeto a:
&(& ) +(* 5' &*(& ) &(* +'
(&, (* - ', ! .nteros/ .nteros/
Conceptos: 0ariables de decisión, mtodo simple(, factibilidad, factibilidad, acotamiento/
Ramificación y Acotamiento: Aborda la resolución de modelos de programación entera, a travs de la resolución de una secuencia de modelos de programación lineal, los cuales constituir1n los nodos o sub2problemas del problema entero/ Probema termina: es aquel del cual no se desprenden m1s ramas, ! es un problema que cumple con cualquiera de las siguientes condiciones# 3i el valor de la función objetivo es menor o igual que el valor objetivo de la solución/ • • •
La solución es entera/ 4o es factible/
A!oritmo: "# .ncontrar la solución al problema relajado !a sea mediante el todo Grafico 6con dos variables de decisión7 o el
$#
%# &#
mtodo 3imple( 6con dos o m1s variables de decisión7, en este caso usaremos el mtodo grafico para hallar la solución relajada del problema/ 3i la solución relajada no es entera, pase al segundo punto con la solución óptima al problema relajado/ 3e selecciona una variable de decisión, como es un problema de programación entera pura, las dos variables deben se enteras, entonces se puede escoger cualquier variable, pero para hacer menos iteraciones se escoge la variable que tenga el valor con fracción ma!or ! se crean dos ramas mutuamente e(clu!entes, esto da lugar a dos 6*7 nuevos problemas de 8rogramación Lineal9 Lineal9 que se deben resolver/ resolver/ 3i ninguna solución es entera, con la rama de ma!or valor de $, se crean nuevas ramas ! se resuelven nuevos problemas por programación lineal lineal 6todo Gr1fico7/ 3e repite el punto *7, :asta encontrar la solución entera óptima/
'E(ARRO))O: &/ :allar la solución relajada mediante el mtodo gr1fico/
&/ 3olución del problema relajado# ;& % ?& ;* % ?/+'5+=@ $ % 5&/*+?+'5== */ 3olución por amificación ! acotamiento
PA(O(
PROCE'I*IE+TO
&/ :allar la solución óptima del problema lineal 68L7
$ % 5&/*+?+'5== ;& % ?& ;* % ?/+'5+=@
*/ 3e realiza una ramificación del problema original/
"omo (& ! (* no toman valores enteros en la solución al 8L, se parte de un conjunto de solución ! se ra mifica a (*, obteniendo 8& ! 8*#
,P"- Para .$ / 0: .n cada rama se trabaja un
sub2problema en el cu1l se agrega una restricción que corresponde a la parte entera del valor fraccionario de una variable obtenido en el paso anterior, en este caso se optó por ;*%?/+'5=@ .l cu1l se convertir1 en las restricciones ;*? ! ;@-@ para los sub2problemas & ! * respectivamente/
,P$- Para .$ 12:
=/ 3e puede observar que 8ara 68&7 se obtuvo *@5&/&+ se toma el $ m1s cerca a la $ inicial, por lo que se procede a ramificar por esta rama 8ara68*7 se obtuvo
De esta manera se obtiene 8= ! 8<, así#
,P%- Para ." / &:
,P&- Para ." 1 3:
5/ 3olución
8ara 68=7 se obtuvo
+/ 3olución óptima
.n la primera solución se observa una región factible mientras que en la segunda, la región factible es solo el punto 65,'7, pero el valor de la
función objetivo es el ma!or
Grafica para el sub2problema 8=#
3olución del sub2problema 8=# La solución es el punto E/
Grafica del sub2problema 8<#
3olución del sub2problema 8<# La solución es el punto G
Fna forma m1s clara de visualizar el procedimiento es por medio del 1rbol de sub2problemas# P0 $ % 5&/*+?+'5==, ; & % ?&, ;* % ?/+'5+=@
X2≤7
X2≥8
P1
P2
)1*+,+ )2*7 *51.1/
X1≤4
)1*2 )2*
X1≥5
*2
P3
)1*+ )2*7 *+7
P4
)1*5 )2*0 *50
(45OP: 3olución b1sica, factible, óptima ! entera/
CO+C)6(I7+: La programación entera pura puede ser solucionada por muchos mtodos, algunos de ellos mu! simples como por ejemplo por redondeo, pero estos no siempre funcionan, en este ejemplo si se hubiera solucionado por redondeo no habría arrojado la solución óptima, por lo que es importante tener en cuenta otros mtodos que pueden no ser tan sencillos . 8or otro lado, el mtodo de ramificación ! acotamiento permite la resolución de problemas de programación entera pura, por medio de la adición de restricciones en sub2problemas paralelos, lo cual permite diagnosticar infactibilidad ! tendencias a soluciones enteras con un valor en la función objetivo que obedezcan a un comportamiento no deseado/
RE5ERE+CIA(: •
Ejercicio# "D nvestigación de operaciones HGrupo 5I *'&52= 68rogramación entera pura7 /Fniversidad Distrital JK" 6Bogot1, "olombia7/ Ham$ . a4a, n!es'i%aci&n $e 6eraciones, una n'ro$ucci&n, / E$ici&n, 8ren'ice Hall *
8ERRA*IE+TA 6TI)I9A'A: •
8:8simple(
