Universidad Metropolitana Facultad de Ciencias y Artes Escuela de Ingeniería O timizació ción I Guía de Ejercicios: Programación Entera Mixta 1. Una Una inmob inmobil iliar iaria ia desea desea prom promoci ocion onar ar una una nuev nueva a urba urbani nizac zació ión n mediante una campaña publicitaria. Para ello dispone de 5 tipos de anun anunci cios os:: anun anunci cios os en tele televi visi sión ón loca locall al medi mediod odía ía (tvm (tvm), ), anuncios en televisión local a la noche (tvn), anuncios en periódico loca locall (per (per), ), anun anunci cios os en supl suplem emen ento to domi domini nica call loca locall (sup (sup)) y anun anunci cios os en radi radio o loca locall por por la maña mañana na (rad (rad). ). La empr empres esa a ha reunido datos sobre la cantidad de clientes potenciales a los que se destina cada tipo de anuncio y el costo de cada anuncio en euros. Además, se ha llevado a cabo una valoración de la calidad que tiene cada anuncio de acuerdo al medio en el que se expone, en una escala de 0 a 100 (0 nula, 100 excelente). Los datos se recogen en la siguiente tabla: Clientes Anuncio Cos potenciale s to s 150 Tvm 1000 0 300 Tvn 2000 0 Per 1500 400 100 Sup 2500 0 rad 300 100
Calidad exposició n 65 90 40 60 20
El número máximo de anuncios que se pueden emitir es 15, 10, 25, 25, 4 y 30 de tvm, tvm, tvn, tvn, per, per, sup sup y rad, rad, resp respec ecti tiva vame ment nte. e. La inmobili inmobiliaria aria,, aconsej aconsejada ada por una agencia agencia de publici publicidad dad,, decide decide utiliz utilizar ar al meno menos s 10 anun anuncio cios s en la televi televisió sión, n, alcan alcanzar zar por por lo menos 50000 clientes potenciales, no gastar más de 18000 euros en anuncios en televisión y si se hacen anuncios en el periódico
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entonces no hacer anuncios en la televisión por la noche. El presupuesto máximo para la campaña publicitaria es de 30000 euros. Modelar, sin resolver, mediante programación lineal entera el problema de cómo debe planificar la campaña si se desea maximizar la calidad de la exposición de todos los anuncios de la campaña publicitaria. Solución: Definimos las variables de decisión siguientes: x 1= número de anuncios a emitir en tvm x 2 = número de anuncios a emitir en tvn x 3 = número de anuncios a emitir en per x 4 = número de anuncios a emitir en sup x 5= número de anuncios a emitir en rad
1 si se hacenanunciospe y= 0 encasocontrario El PPL es el siguiente: Max Z = 65x1 + 90x2 + 40x3 + 60x4 + 20x5 x1 ≤ 15 x4 ≤ 4 x5 ≤ 30 x1 + x2 ≥ 10 1000x1 + 2000x2 + 1500x3 + 2500x4 + 300x5 ≥ 50000 s.a 1500x1 + 3000x2 ≤ 18000 1500x1 + 3000x2 + 400x3 + 1000x4 + 100x5 ≤ 30000 x3 ≤ 25y x2 ≤ 10(1 − y) xi≥ 0; enteras; i = 1,2,3,4,5 y = 0,1
2. Una empresa de juguetes está considerando la puesta en marcha de tres nuevos modelos de juguetes (1, 2 y 3) para su posible inclusión en la próxima campaña de Navidad. La preparación de instalaciones para la fabricación de estos modelos costaría 25000 €, 35000 € y 30000 € respectivamente, y la ganancia unitaria sería Prof. Oscar Neira
de 10 €, 15 € y 13 € respectivamente. La empresa dispone de tres plantas de producción para la elaboración de estos modelos, pero para evitar gastos sólo en una de ellas se producirían los juguetes, dependiendo la elección de la maximización de las ganancias. El número de horas que se precisa para producir cada juguete en cada planta es: Planta 1 2 3
Juguete Juguete Juguete 1 2 3 5 4 6 4 2 2 3 3 2
Las plantas disponen al día 500, 600 y 630 horas de producción respectivamente. La gerencia ha decidido desarrollar al menos uno de los tres juguetes. a) Modelar el problema utilizando programación lineal entera para maximizar el beneficio total. b) La empresa decide producir únicamente el juguete tipo 3, pero debe tener en cuenta que si produce más de 50 unidades de este tipo de juguete entonces: el costo de preparación de instalaciones del juguete tipo 3 es de 40000 € debe producir en la planta 3 Modelar el problema, añadiendo esta información, utilizando programación lineal entera. •
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Solución: a) Definimos las variables de decisión siguientes: x i = número de juguetes producidos diariamente del tipo i; i=1,2,3
1 si seponeenmarchael juguetetipoi yi= i = 1,2,3 0 encasocontrario Prof. Oscar Neira
1 si seproducesóloenla planta j zj= j = 1,2, 0 encasocontrario El modelo queda como sigue: Max W = 10x1 – 25000y1 + 15x2 – 35000y2 + 13x3 – 30000y3 y1 + y2 + y3 ≥ 1 xi≤ Myi; i = 1,2,3 Correcció yi≤ xi; i = 1,2,3 n 5x1+ 4x2+ 6x3≤ 500+ M(1- z1 4x1+ 2x2+ 2x3≤ 600+ M(1- z2) s.a 3x1+ 3x2+ 2x3≤ 630+ M(1- z3) z1+ z2+ z3= 1 xi≥ 0; enteras;i = 1,2,3 yi= 0,1 i = 1,2,3 zj= 0,1 j = 1,2,3 con M suficientemente grande. b) Definimos la variable de decisión siguiente:
1 si x3≥ 51 p= 0 encasocontrari El modelo es el siguiente: Max W = 13x3 – 30000(1 – p) – 40000p
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51p≤ x3≤ 50(1- p)+ Mp p ≤ z3 6x3≤ 500+ M(1- z1) 2x3≤ 600+ M(1- z2) s.a 2x3≤ 630+ M(1- z3) z1+ z2+ z3= 1 x3≥ 0; entera p = 0,1 zi= 0,1; i = 1,2,3 con M suficientemente grande. 3. Una universidad se encuentra en un proceso de formar una comisión. Diez personas han sido nominadas: A, B, C, D, E, F, G, H, I y J. El reglamento obliga a que sean incluidos en dicha comisión al menos una mujer, un hombre, un estudiante, un administrativo y un profesor. Además, el número de mujeres debe ser igual que el de hombres y el número de profesores no debe de ser inferior al de administrativos. La mezcla de los nominados en las siguientes categorías es como sigue: Persona s A,B,C,D, Mujeres E Hombres F,G,H,I,J Estudiantes A,B,C,J Administrati E,F vos Profesores D,G,H,I Categoría
Modelizar sin resolver como un problema de programación lineal entera, si se trata que la comisión sea lo más reducida posible. Solución:
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Definimos las variables de decisión siguientes:
1 si se incluyea lapersonai xi= 0 encasocontrario i = A,B,C,D,E,F,G,H,I, J El modelo queda como sigue: Min Z = xA + xB + xC + xD + xE + xF + xG + xH + xI + xJ xA+ xB+ xC+ xD+ xE≥ 1 xF+ xG+ xH+ xI+ xJ≥ 1 xA+ xB+ xC+ xJ≥ 1 xE+ xF≥ 1 s.a xD+ xG+ xH+ xI≥ 1 xA+ xB+ xC+ xD+ xE= xF+ xG+ xH+ xI+ xJ xD+ xG+ xH+ xI≥ xE+ xF xi≥ 0; enteras;i = 1,2,3 Xi= 0,1 i = A,B,C,D,E,F,G,H,I, J
4. Una empresa que fabrica electrodomésticos está pensando abrir una nueva planta para producir 3 modelos de lavadora: modelo de gama alta, media y baja. Tiene dos posibles ubicaciones: 1 y 2. La inversión necesaria para construir la fábrica en la ubicación 1 es de 2000000 unidades monetarias y de 1750000 unidades monetarias en la ubicación 2. Los costos unitarios de producción son 15, 13 y 10 unidades monetarias, respectivamente para gama alta, media y baja, en la ubicación 1 y 16, 12 y 9 unidades monetarias, respectivamente, en la ubicación 2. De la gama alta se han de producir al menos 75000 unidades anuales, 100000 de la media y 200000 de la baja. a) Si sólo se va a construir una planta, modelar el problema con el objetivo de minimizar costos. b) Si se incluye la posibilidad de construir las dos plantas (ubicación 1 y 2), modelar el problema con el objetivo de minimizar costos considerando, además, las siguientes restricciones: Prof. Oscar Neira
En caso de producirse lavadoras de gama baja en la ubicación 1 se recibirá una subvención de 1000000 unidades monetarias. La gama alta se producirá únicamente en una de las dos ubicaciones.
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Solución: a) Definimos las variables de decisión siguientes: xij = número de lavadoras de la gama j producidas en la ubicación i, al año con i = 1, 2; j = a, m, b (siendo a = alta, m = media y b = baja)
1 si seproduceenlaubicacióni yi= i = 1,2 0 encasocontrario El modelo queda como sigue: Min Z = 15x1a + 13x1m + 10x1b + 16x2a + 12x2m + 9x2b + 2000000y1 + 1750000y2 x1a+ x2a≥ 75000 x1m+ x2m≥ 100000 x1b + x2b ≥ 200000 y1+ y2= 1 x1a≤ My1 x2a≤ My2 s.a x1m≤ My1 x2m≤ My2 x1b≤ My1 x2b≤ My2 xij≥ 0; enteras;i = 1,2; j = a,m,b yi= 0,1 i = 1,2 con M suficientemente grande.
b) Se definen las siguientes variables de decisión: xij = número de lavadoras de la gama j producidas en la ubicación i, al año con i = 1, 2; j = a, m, b (siendo a = alta, m = media y b = baja)
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1 si seproduceenlaubicacióni lavadorasde la gama j yij= 0 encasocontrario i = 1,2; j = a,m,b 1 si se construyela plantaen la ubicacióni zj= i = 1,2 0 encasocontrario El modelo queda como sigue: Min Z = 15x1a + 13x1m + 10x1b + 16x2a + 12x2m + 9x2b + 2000000z1 + 1750000z2 1000000y1b
Correcció n
x1a+x2a≥75000 x1m+x2m≥100000 x1b +x2b ≥200000 y1a+y2a=1 z1+z2≥1 y1a≤z1 y2a≤z2 y1m≤z1 y2m≤z2 y1b≤z1 s.a y2b≤z2 x1a≤My1a x2a≤My2a x1m≤My1m x2m≤My2m x1b≤My1b y1b≤x1b x2b≤My2b xij≥0; enteras;i =1,2; j =a,m,b yij=0,1 i =1,2; j =a,m,b zi=0,1; i =0,1
con M suficientemente grande. Prof. Oscar Neira
5. Una fábrica produce 4 tipos de jabones, para lo cual son necesarios 6 componentes. En la siguiente tabla se muestran las cantidades necesarias para realizar una pastilla de jabón de cada tipo. Aceit Agu Sosa Gliceri e a cáustica na (ml) (ml) (g) (ml) J1 J2 J3 J4
250 200 230 180
240 210 240 200
42 2 20 10
1 40 25 35
Esencia Esencia de de fresa limón (ml) (ml) 1 3 2 1 3 1 1 3
La fábrica dispone de 150000 ml de aceite, 160000 ml de agua, 12 kg de sosa cáustica, 3 kg de glicerina, 2000 ml de esencia de limón y 3000 ml de esencia de fresa por día. Se tiene que producir al menos un tipo de jabón al día y como mucho tres. Además si se producen jabones del tipo 1 no se podrán producir del tipo 4. El beneficio por cada pastilla de jabón es de 10, 13, 15 y 11 euros respectivamente para cada tipo de pastilla de jabón. La fábrica se está planteando ampliar la planta de producción con un costo de 200000 euros, de forma que si se realiza la ampliación las disponibilidades de los componentes aumentarán en 50000 ml de aceite, 70000 ml de agua, 4 kg de sosa cáustica, 4 kg de glicerina, 1000 ml de esencia de limón y 500 ml de esencia de fresa. Además, en el caso de realizar esta ampliación, si se producen pastillas del tipo 3, se tendrán que realizar también del tipo 1. Modelar el problema de programación lineal entera que maximice el beneficio. Solución: Definimos las siguientes variables de decisión: xi = número de pastillas de jabón tipo Ji producidas diariamente; i =1,..., 4
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1 si seproduce jabóndeltipo Ji yi= i = 1,2,3, 0 encasocontrario 1 si se realizala ampliaci z= 0 en casocontrario El modelo es el siguiente: Max W = 10x1 + 13x2 + 15x3 + 11x4 – 200000z + 200x2 + 230x3 + 180x4 ≤ 150000 + 50000 250x1 240x1 + 210x2 + 240x3 + 2000x4≤ 160000 + 70000 42x1+ 2x2+ 20x3+ 10x4≤ 12000 + 4000z x1+ 40x2+ 25x3+ 35x4≤ 3000+ 4000z x1+ 2x2+ 3x3+ x4≤ 2000+ 1000z 3x1+ x2+ x3+ 3x4≤ 3000+ 500z y1+ y2+ y3+ y4≥ 1 y1+ y2+ y3+ y4≤ 3 s.a y4 ≤ 1 − y1 y1 ≥ y3 + z − 1 x1 ≤ My1 x2 ≤ My2 x3 ≤ My3 x4 ≤ My4 xi≥ 0; enteras;i = 1,2,3,4 yi= 0,1; i = 1,2,3,4 z = 0,1
con M suficientemente grande.
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