UNIDAD 1 - Programacion Entera y Programacion Por Metas - PARTE 3

UNIVERSIDAD RICARDO PALMA

INVESTIGACION DE OPERACIONES







En est este mat materia eriall de trab trabaj ajo o aut autónom ónomo o verem eremos os apli apliccacio acione ness de progr rogram amac ació ión n ent entera era y bina binarria, ia, como omo son los los prob proble lema mass des desarr arrolla ollado doss de pre presupu supueesto de capit apital al y cost ostos fijos. Así Así tambié bién, veremos una una aplica icación de programación por metas, como es el problema de carteras de inversión en el cual se busca cumplir varios objetivos al mismo tiempo. Estos problemas buscan desarrollar la capacidad de modelar, revisando distintos modelos aplicados a una diversa gama de problemas. Cada pro problem blemát átic icaa part partic icul ular ar tien tienee una una forma orma de ser ser mode modela lada da,, los los prob proble lema mass form ormulad ulados os nunc nuncaa van a ser igu iguales ales,, per pero los los esque squem mas gener nerales ales de formul rmulac ació ión n nos nos ayudar udaráán a modelar modelar nuevos nuevos proble problemas. mas.



Dentro de las aplicación de los modelos de programación lineal, se requiere en algu alguna nass apli apliccacio acione ness un enfo nfoque que de prog progrramac amació ión n ent entera, era, las las cuale ualess consi onside derran que que las las varia ariabl bles es del del prob proble lema ma debe deben n tomar omar valor alores es ent enteros eros.. Ot Otrros prob proble lema mass req requier uieren en un enfoque de programación binaria, los cuales consideran que las variables del problema deben tomar valores 0 o 1. En otros casos, los problemas pueden conside onsidera rarr un enfoqu enfoquee mixto mixto de vari variabl ables es conti ontinua nuas, s, ente entera rass y binar binarias ias..



Ahora veremos un problema de programación binaria, el cual trata sobre la problemática de seleccionar un proyecto de varios posibles, considerando la limita limitació ción n de presup presupues uesto to de capit capital. al.



Una fábrica de refrigeradoras está pensando en invertir en varios proyectos que tienen necesidades de capital a lo largo de los siguientes cuatro años. Ante una limitación de capital para cada uno de los años, la administración desearía seleccionar los proyectos más redituables para su desembolso de capital. El valor presente neto estimado de cada proyecto, es el flujo de caja neto descontado desde el principio del año 1, las necesidades de capital y el capital disponible a lo largo del periodo de cuatro años aparece en la siguiente tabla.





La decisión a tomar es si se selecciona el proyecto i o se rechaza.



Ahora definiremos nuestra función objetivo de la empresa, el cual consiste en maximizar el valor presente neto en todos los proyectos aceptados. Se debe tener en cuenta que el valor presente neto, representa los flujos de ingreso de dinero traídos al presente, considerando un porcentaje de perdida de adquisición del dinero (como por ejemplo la inflación que de da en varios años), para nuestro ejemplo el valor presente neto es un valor ya calculado.



Ahora formulamos las restricciones para el modelo a partir de la información dada, el cual tiene cuatro restricciones para los fondos disponibles en cada uno de los siguientes cuatro años.



Ahora veremos el modelo final de asignación de proyectos que busca maximizar las utilidades a través del valor presente neto y considera las restricciones para los fondos disponibles en cada uno de los siguientes cuatro años.



En muchas aplicaciones, el costo de producción tiene dos componentes: un costo de puesta en marcha, que es un cargo fijo que no está relacionado con el volumen de producción, y un costo variable, que está relacionado directamente con dicho volumen. El uso de las variables 0-1 hace posible la inclusión del costo de puesta en marcha fijo en la mezcla de productos o en el problema de programación de la producción. Ahora veremos un problema que involucra la definición de variables binarias para determinar los costos fijos asociados a la fabricación de tipos de productos.



Una empresa produce tres tipos de productos químicos: aditivos para combustibles, base disolvente, y líquido limpiador de alfombras. Los productos consumen en su fabricación las materias primas 1, 2 y 3. Asimismo, se tiene los datos relacionados con el costo de puesta en marcha y la cantidad máxima de producción de cada uno de los tres productos.


La decisión a tomar es: - ¿Cuántas toneladas de cada producto producir? y - Si se produce el producto i o no se produce.




La función objetivo está dada por maximizar la utilidad de los productos menos los costos de puesta en marcha. Para ello, debemos consideramos la utilidad por cada tipo de producto, así como, el costo fijo de puesta en marcha según el producto que se decida fabricar.



Ahora vemos las restricciones de capacidad de producción, de tal manera que si una variable de puesta en marcha es igual a cero, no se permita la producción. Cuando una variable de puesta en marcha es igual a uno, se permita la producción hasta la cantidad máxima. En el caso del aditivo para combustible, note que si Y1 = 0, no se permite la producción del aditivo para combustible (X1 <= 0) . Sin embargo, si Y1 = 1, la producción del aditivo para combustible se permite hasta su nivel máximo (X1 <= 50). Podemos pensar de una variable de puesta en marcha como un interruptor . Cuando está desconectado (Y1 = 0) , no se permite la producción; cuando está conectado (Y1 = 1), se permite la producción. El resto de restricciones de capacidad de producción son similares.



A continuación vemos la familia de restricciones de capacidad de materia prima según el ratio de consumo de cada producto.



Ahora veremos el modelo final de selección de productos que busca maximizar las utilidades menos los costos de puesta en marcha y considera las restricciones de capacidad de materia prima según el ratio de consumo de cada producto.



Hasta aquí hemos visto problemas que requieren en su formulación variables enteras ó binarias para decidir si seleccionamos ó no una determinada alternativa, ahora veremos el tema de la programación por metas que es una técnica usada cuando el tomador de decisiones necesita considerar múltiples objetivos para llegar a la mejor decisión.



A fin de ilustrar el procedimiento de la programación por metas para los problemas de decisión con múltiples objetivos, consideramos un problema de inversión.



Una empresa financiera dedicada a la colocación de fondos, tiene un cliente específico el cual dispone de $80,000 para invertir y, como estrategia inicial, desearía que la cartera de inversiones se limitara a 2 acciones. Las acciones de “Minera Buenaventura” que tienen un rendimiento de $3 sobre una acción de precio de $25, tienen una tasa de rendimiento anual de 12%, en tanto que las acciones de “Credicorp” es de 10%. El índice de riesgo por acción, es de 0.5 para “Minera Buenaventura” y 0.25 para “Credicorp”. Índices de riesgo más elevados implican un riesgo más alto, por lo que la empresa financiera ha juzgado que las acciones de “Minera Buenaventura” es una inversión más riesgosa. Asimismo, el cliente dispone de un presupuesto de US$ 80,000.



El cliente estuvo de acuerdo en que un nivel aceptable de riesgo correspondería a una cartera con un índice máximo total de riesgo de 700. Considerando el riesgo, una meta u objetivo es encontrar una cartera que tenga un índice de 700 o menos. Otra meta del cliente es obtener un rendimiento anual de, por lo menos, $ 9,000. De tal forma, el problema de selección de cartera es de decisión de objetivos múltiples e involucra 2 metas en conflicto: una se ocupa del riesgo y la otra del rendimiento anual. Suponga que la meta de máxima prioridad del cliente es restringir el riesgo y mantener su índice en 700 o menos. Tal cliente no está dispuesto a cambiar esta meta por ningún incremento en rendimiento anual. Pero, siempre que el índice de riesgo en la cartera no exceda de 700, el cliente busca el mejor rendimiento posible. La meta principal se conoce como meta de nivel de prioridad 1 y la secundaria se conoce como meta de nivel de prioridad 2, en programación por metas, se conoce como prioridades jerarquizadas, porque el tomador de decisiones no está dispuesto a sacrificar ningún resultado de la meta del nivel de prioridad 1, a cambio de mejorías en metas de prioridad inferior. El índice de riesgo de 700 de la cartera es el valor objetivo para la meta del nivel de prioridad 1 (principal) y el rendimiento anual de $ 9,000 es el valor objetivo para la meta del nivel de prioridad 2 (secundario). La dificultad para encontrar una solución que consiga alcanzar estas metas es que sólo hay $ 80,000 disponibles para invertir.



La decisión a tomar es cuántos dólares invertir en cada tipo de acción.



Se tiene un fondo disponible de inversión de US$ 80,000 y se tiene como estrategia invertir en 2 tipos de acciones, las cuales son las acciones de “Minera Buenaventura” que tienen un precio de $25, y las acciones de “Credicorp” de $50.



Para completar la formulación del modelo, debemos desarrollar una ecuación objetivo para cada meta. Empecemos con una ecuación objetivo para la meta principal. Se tiene un índice de riesgo global que no debe pasar de 700 unidades, pero existe la posibilidad de sobrepasar esta meta o quedar por debajo. Lo ideal es no sobrepasarlo, para ello definiremos las variables de desviación d1 (exceso) y d2 (defecto).



Dado que cada acción de “Minera Buenaventura” tiene un índice de riesgo de 0.50 y cada una de “Credicorp” lo tiene en 0.25, entonces el conjunto de acciones de ambas carteras nos dará un índice de riesgo global que en lo posible no debe pasar de 700. Si queda por debajo o encima de la meta de 700, entonces la variable de desviación d1 tomará un valor por la cantidad de exceso sobre los 700 puntos, o la variable de desviación d2 tomará un valor por la cantidad que queda por debajo de los 700 puntos. En ambos casos, solo una variable se activará y la otra variable asumirá valor cero. Debemos tener en cuenta que las variables d1 y d2 no tomarán valores distintos de cero a la vez. Para llegar exactamente a una meta, ambas variables de desviación deben ser igual a cero.



Ahora, veremos la ecuación objetivo para la meta secundaria. Se tiene una meta secundaria de rendimiento anual, el cual no debe bajar de los US$ 9,000, pero existe la posibilidad de sobrepasar esta meta o quedar por debajo. Lo ideal es no quedar por debajo, para ello definiremos las variables de desviación d3 (exceso) y d4 (defecto).



Dado que cada acción de “Minera Buenaventura” tiene un rendimiento anual estimado de US$ 3 y cada una de “Credicorp” lo tiene en US$ 5, entonces el conjunto de acciones de ambas carteras nos dará un rendimiento global que en lo posible no debe bajar de US$ 9,000. Si queda por debajo o encima de la meta de US$ 9,000, entonces la variable de desviación d3 tomará un valor por la cantidad de exceso sobre los US$ 9,000, o la variable de desviación d4 tomará un valor por la cantidad que queda por debajo de los US$ 9,000. En ambos casos solo una variable se activará y la otra variable asumirá valor cero. Debemos tener en cuenta que las variables d3 y d4 no tomarán valores distintos de cero a la vez. Para llegar exactamente a una meta, ambas variables de desviación deben ser igual a cero.



En un modelo de programación por metas, la función objetivo requiere la minimización de una función de las variables de desviación. En el problema de la selección de cartera, la meta de mayor importancia, identificada con prioridad 1 (p1), es encontrar una cartera con un índice de riesgo igual o inferior a 700. Este problema incluye solo 2 metas y el cliente no está dispuesto a incurrir en un índice de riesgo de cartera superior a 700, a fin de conseguir la meta secundaria de rendimiento anual. Por lo tanto, ésta se identifica como de prioridad 2 (p2) . Estas prioridades de meta se conocen como prioridades jerarquizadas, porque la satisfacción de una meta de nivel superior no puede ser sacrificada por lograr una de nivel inferior. Los problemas de programación por metas con prioridades jerarquizadas se resuelven primero por las metas de nivel 1 (p1) en una función objetivo. La idea es encontrar primero una solución que se aproxime lo más posible a satisfacer las metas de prioridad 1. Esta solución se modificará después, al resolver un problema con una función objetivo que involucre sólo metas de prioridad 2 (p2); sin embargo, se permitirán modificaciones en la solución, solo si éstas no obstaculizan la consecución de las metas p1. En general, la solución de un problema de programación por metas con prioridades jerarquizadas involucran una secuencia de programas lineales con distintas funciones objetivos. Primero, se consideran las metas de prioridad 1 (p1), después las metas de prioridad 2 (p2), en tercer lugar las metas de prioridad 3 (p3), y así sucesivamente. En cada una de las etapas del procedimiento, se acepta una modificación a la solución, únicamente si no causa ninguna reducción en la consecución de alguna meta de prioridad superior. Para cada nivel de prioridad debe resolverse un programa lineal. Cada programa lineal se obtiene del nivel superior siguiente, modificando la función objetivo y agregando una restricción. Para nuestro caso, primero desarrollaremos el problema de prioridad 1 (p1), que busca encontrar una solución de compra de cartera que tenga un índice de riesgo de 700 o inferior; por eso, nuestra función objetivo busca minimizar d1, que representa la cantidad en la cual el índice de riesgo de la cartera excede al valor meta de 700.



Se consiguió la meta de no sobrepasar un índice de 700, ya que la variable por exceso d1 = 0. También la variable por defecto d2 = 0. Es decir que la meta de nivel de prioridad 1 se cumple con exactitud.



Ahora desarrollaremos el problema de prioridad 2 (p2) que busca encontrar aquella cartera que nos dé un rendimiento anual de, por lo menos, US$ 9,000. ¿Nos debe preocupar que nos dé un rendimiento anual de por lo menos US$ 9,000? La respuesta es no, pues carteras con un rendimiento anual superior a US$ 9,000 corresponderán a rendimiento más elevados. ¿Es preocupante no llegar al valor meta de US$ 9,000? La respuesta es sí, porque aquellas carteras con un rendimiento anual inferior a US$ 9,000 no son aceptables para el cliente. De esta manera, la función objetivo que corresponde al programa lineal de prioridad 2 debe minimizar el valor de la variable d4, que corresponde a la cantidad en la cual el rendimiento anual de la cartera es inferior al valor meta de $ 9,000 . Sin embargo, como la meta 2 es secundaria, la solución del programa lineal de prioridad 2 no debe degradar la solución óptima correspondiente al problema de prioridad 1. Note que el programa lineal de prioridad 2 difiere en dos puntos del de prioridad 1. La función objetivo involucra minimizar la cantidad en la cual el rendimiento anual de la cartera queda por debajo de la meta del nivel 2. Se ha agregado otra restricción para asegurar que no se sacrificará la consecución de la meta de prioridad 1.



La solución recomienda que los US$ 80,000 disponibles para la inversión se utilicen para adquirir 800 acciones de “Minera Buenaventura” y 1,200 acciones de “Credicorp” . Note que se alcanzó la meta de prioridad 1, es decir, un índice de riesgo de cartera de 700 o menos. Sin embargo, no se consiguió la meta 2, es decir, obtener un rendimiento anual de por lo menos US$ 9,000. La cartera recomendada proyecta un rendimiento anual de US$ 8,400.



Los problemas de programación por metas principalmente se resuelven como una secuencia de problemas lineales; existe uno por cada nivel de prioridad. Las prioridades P1 y P2 no son coeficientes de ponderación numéricos de las variables de desviación, sino símbolos que nos recuerdan los niveles que tienen dichas metas.






Para cada ejercicio se pide plantear: Definición de las variables Restricciones y Función objetivo




La administración de una empresa de ventas de seguros establece metas, es decir, cuotas mensuales para el tipo de clientes que se contactan. La estrategia de contacto con clientes de la empresa determina que en las siguientes cuatro semanas, la fuerza de ventas formada por 4 personas debe efectuar 200 contactos con clientes que hayan adquirido productos de la empresa, además de hacer 120 contactos con clientes nuevos. La finalidad de esta última meta es asegurarse de que la fuerza de venta investigue nuevas fuentes de venta. Tomando en consideración tiempos de viaje y de espera, así como el tiempo directo de venta y de demostración, la empresa de seguros ha asignado dos horas de esfuerzo de la fuerza de ventas para cada contacto con un cliente anterior. Los contactos con nuevos clientes tienden a ser más largos y requieren tres horas cada uno. Normalmente, un vendedor trabaja 40 horas a la semana, es decir 160, en un horizonte de planeación de 4 semanas; según un programa de trabajo normal, los 4 vendedores tendrán disponible 4(160) = 640 horas de la fuerza de venta para contacto con clientes. La administración, si fuera necesario, está dispuesta a utilizar algo de tiempo extraordinario, pero también aceptará una solución que utilice menos de las 640 horas programadas. Sin embargo, la administración desea que, a lo largo de las 4 semanas, el tiempo extraordinario y la subutilización de la fuerza de trabajo se limite a no más de 40 horas. Así, en referencia al tiempo extraordinario, la meta de la administración es no utilizar más de 640 + 40 = 680 horas para las ventas; y en cuanto al uso de la mano de obra, la meta de la administración es utilizar por lo menos 640-40 = 600 horas de la fuerza de ventas. Además de las metas de contacto con clientes, la empresa aseguradora estableció una meta en relación con el volumen de ventas. Con base a su experiencia, la empresa aseguradora estima que cada cliente anterior contactado generará ventas por US$ 250 y cada cliente nuevo generará US$ 125 de venta. La administración desea generar ingresos por ventas de por lo menos US$ 70,000 para el mes siguiente. Dada la pequeña fuerza de ventas de la empresa aseguradora y el breve lapso involucrado, la administración decidió que la meta de tiempo extraordinario y la meta de uso de la mano de obra sean de prioridad 1. También concluyó en que la meta de US$ 70,000 debe ser de prioridad 2, y que las dos metas de contactos con clientes deben ser de prioridad 3.



Un operador bancario está evaluando el potencial de expandirse a una región de 13 provincias. La ley permite el establecimiento de sucursales en cualquier provincia adyacente a otro en el que esté localizada una oficina principal. El mapa siguiente muestra la región de 13 provincias indicando la población de cada uno de ellos. a) Suponga que en la región solamente se puede establecer una oficina principal. ¿Dónde deberá localizarse para maximizar la población atendida? (Sugerencia: piense en maximizar la población atendida e introduzca la variable Yi = 1 si es posible establecer una sucursal en la provincia i y Yi= 0 de locontrario). b) Suponga que se pueden establecer en la región 2 oficinas principales. ¿Dónde deberían localizarse para maximizar la población atendida?



Una galería de arte está considerando la instalación de un sistema de seguridad de cámaras de video para reducir sus primas de seguro. Un diagrama de los ocho salones de exhibición que utiliza la galería de arte para sus exposiciones aparece en la figura; las aperturas entre habitaciones o salones están enumeradas del 1 al 13. Una empresa especializada en seguridad ha propuesto que se instalen cámaras de dos direcciones en algunas de las aperturas de los salones. Cada cámara tiene la capacidad de vigilar los 2 salones entre los cuales se localiza. Por ejemplo, si una cámara se localiza en la apertura número 4, quedarían cubiertos los salones 1 y 4. Si se localizara una cámara en la apertura 11, quedaría cubiertos los salones 7 y 8, y así sucesivamente. La administración ha decidido no colocar un sistema de cámaras a la entrada de los salones de exhibición. El objetivo es proporcionar cobertura de seguridad para los ocho salones utilizando un número mínimo de cámaras de dos direcciones. a)

Formule un modelo de programación lineal de enteros 0-1 que le permita a la administración de la galería de arte determinar las ubicaciones de los sistemas de cámaras.

b)

Resuelva el modelo formulado en el inciso (a) en LINGO para determinar cuántos sistemas de dos direcciones adquirir y dónde deberán quedar colocados.

c)

Suponga que la administración desea cobertura adicional de seguridad para el salón 7. Específicamente, la administración desea que el salón 7 esté cubierto por 2 cámaras. ¿Cómo tendría que cambiar su modelo según fue formulado en el inciso (a)para que acepte esta restricción de política ?

d)

Con la restricción de política que se definió en el inciso (c), determine cuántos sistemas de cámara de dos direcciones será necesario adquirir y dónde quedarán localizados. Usar LINGO.



























UNIDAD 1 - Programacion Entera y Programacion Por Metas - PARTE 3

Recommend Documents