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MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA Un modelo se dice de programación entera si incluye alguna(s) variable(s) entera(s)
TIPOS DE VARIABLES ENTERAS 1. Variables Enteras Generales 2. Variables Binarias
CLASES DE MODELOS DE PE Dependiendo del tipo de variables ue incluyen pueden ser! 1. "odelos de #E pura 2. "odelos "i$tos %os "odelos "i$tos son &tiles cuando se incluyen 'ostos emii*os
COSTOS SEMIFIJOS on costos cuya magnitud no depende del volumen producido+ pero ue sólo ocurren si se produce.
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EL MODELO TIPO “MOCHILA” E,E"#%-! Una persona dispone de 1/+000 y desea esco*er la me*or combinación de entre cuatro alternativas de inversión! lter lterna natitiva va 1 2 7 / ea!
nvers nversión ión 4000 6000 /000 70 7000 00
V#3 15000 22000 12000 80 8000 00
9* : 1 si decide invertir en alternativa * : 1+2+7+/ : 0 si 3";$ < : 15 $1 = 22 $2 = 12 $7 = 8 $ / 4 $1 = 6 $2 = / $7 = 7 $/ ≤ 1/
%a solución de este modelo Binario indica la me*or combinación.
Formulaci! "#l Mo"#lo “Moc$ila” -B,E>V-! incluir el m;$ ? de productos de distinto valor (c i) en un espacio limitado (b) 9 * : 1 se incluye el art@culo j en la mocAila 0 no se incluye ";$ < : c1$1 = c2$2 = ... = cn$n s.a. $1 = $2 = .... = $n ≤ b %&' FORM(LACIÓN DE MODELOS CON VA VARIABLES ENTERAS
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EL MODELO TIPO “MOCHILA” E,E"#%-! Una persona dispone de 1/+000 y desea esco*er la me*or combinación de entre cuatro alternativas de inversión! lter lterna natitiva va 1 2 7 / ea!
nvers nversión ión 4000 6000 /000 70 7000 00
V#3 15000 22000 12000 80 8000 00
9* : 1 si decide invertir en alternativa * : 1+2+7+/ : 0 si 3";$ < : 15 $1 = 22 $2 = 12 $7 = 8 $ / 4 $1 = 6 $2 = / $7 = 7 $/ ≤ 1/
%a solución de este modelo Binario indica la me*or combinación.
Formulaci! "#l Mo"#lo “Moc$ila” -B,E>V-! incluir el m;$ ? de productos de distinto valor (c i) en un espacio limitado (b) 9 * : 1 se incluye el art@culo j en la mocAila 0 no se incluye ";$ < : c1$1 = c2$2 = ... = cn$n s.a. $1 = $2 = .... = $n ≤ b %&' FORM(LACIÓN DE MODELOS CON VA VARIABLES ENTERAS
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APLICACIONES TIPICAS Mo"#lo) *i+o Moc$ila, se busca incluir el m;$imo n&mero de diversos productos con dierente valor+ en un espacio limitado. S#l#cci! "# Car*#ra, seleccionar la me*or combinación de alternativas para alcanar el m;$imo rendimiento. Mo"#lo) co! Co)*o) S#mi-Fi.o) "odelos con costos variables y costos semiCi*os (de preparación o de instalación.) Pro/l#ma) "# Co/#r*ura Determinar el n&mero m@nimo de localiaciones con el ob*eto de proveer cobertura a un grupo de areas Pro/l#ma) "# A)i0!aci! e busca asignar unoCaCuno recursos en orma óptima. Pro0ramaci! "# R#cur)o), asignar optimamente recursos de manera secuencial. Pro/l#ma "#l A0#!*# Via.#ro 1TSP2 Determinar la me*or secuencia de actividades e*ecutando cada actividad una sola ve.
/
%&'&3 (SO DE VARIABLES BINARIAS (se usan para indicar decisiones lógicas) uponga ue se disponen de k alternativas y sea 9 * : 1 0
si se esco*e la alternativa * si no
ALTERNATIVAS M(T(AMENTE E4CL(SIVAS lternativas ue no pueden aparecer *untas en la solución $1 = $2 ≤ 1
MA4IMO 5 ACEPTABLE DE ALTERNATIVAS 'uando todas las alternativas no pueden estar *untas en la solución $1 = $2 = $7 = $/ = $4 ≤ 2
ALTERNATIVAS DEPENDIENTES El valor de una variable depende del valor de otra(s) E*emplo! alternativa 2 sólo puede estar en solución si alternativa 1 se seleccionó $2 ≤ $1
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EJERCICIO uponga ue 9 1 92 y 97 son variables binarias cuyo valor 1 indica ue se va a abrir una planta en una lugar determinado y 0 indica lo contrario. Escriba una restricción para cada una de las siguientes condiciones! a. i se abre la planta 1 entonces la planta 2 no deber@a abrirse. b. i se abre la planta 1 entonces la planta 2 deber@a abrirse. c. l menos una de las tres plantas deber@a abrirse. d. 3o m;s de dos de las tres plantas deber@a abrirse. e. i ni la planta 2 y ni la planta 7 se abren+ la planta 1 no deber@a abrirse. . i se abre la planta 1 o la planta 7 no se abre+ la planta 2 debe abrirse.
SOL(CIÓN a. 91 = 92 : 1 b. las posibilidades son!
91 0 0 1 1
92 0 1 0 CCCCC eliminar con la restricción 9 1 ≤ 92 1
c. 91 = 92 = 97 ≥ 1 d. 91 = 92 = 97 ≤ 2 e. upongamos! si la planta 2 no se abre, la planta 1 no debe abrirse 91 92 0 0 0 1 1 0 CCCCC eliminar con la restricción 9 1 ≤ 92 1 1 entonces la condición es! 9 1 ≤ 92 = 97 . i se abre la planta 1+ la planta 2 debe abrirse i la planta 7 no se abre+ la planta 2 debe abrirse. entonces la condición es igual a la suma de ambas
92 ≥ 91 9 2 = 97 ≥ 1 29 2 = 97 ≥ 1 = 91
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VARIABLES BINARIAS 6 CONTIN(AS RANGOS CONDICIONADOS i una variable cont@nua puede tomar valor 'E- ó+ #->V- pero dentro de un intervalo espec@ico E*emplo! variable binaria F * : 1 : 0
si se produce art@culo * si no
variable continua 9 * !
el vol&men a producir de *
i se produce articulo j y no e$iste l@mite y:0 $:0
$ * ≤ " y *
y :1 $ 0
0
volumen
i se produce+ no m;s de U ni menos de % y:0 $:0 0
%y * ≤ $ * ≤ U y *
y :1 % $U %
U
volumen
MA4IMO 5 DE RESTRICCIONES 'uando una solución actible solo necesita satisacer un subconjunto de todas las restricciones del modelo
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E*emplo! g * ( $1+...+ $n ) g * ( $1+...+ $n )
≥ ≤
b * C " ( 1C y * ) b * = " ( 1C y * )
y * : 1 indica ue la restricción j es considerada en el modelo : 0 no se la considera i se desea ue cualuier solución satisaga 7 restricciones o m;s y1 = y2 = ... = ym ≥ 7 E*emplo! se necesita una solución ue satisaga por lo menos / restricciones del siguiente modelo! "a$ < : 7$1 = $2 2$1= $2 ≤ / 7$1= /$2 ≤ 12 6$1= 6$2 ≤ 74 $1= $2 ≤ 6 7$1=2$2 ≥ 5 $1C 2$2 ≥ 11 4$1=/$2 ≥ 21 $1+ $2 ≥ 0
"odelo modiicado! "a$ < : 7$1 = $2 2$1= $2 ≤ / = " (1Cy1) 7$1= /$2 ≤ 12= " (1Cy2) 6$1= 6$2 ≤ 74= " (1Cy7) $1= $2 ≤ 6 = " (1Cy/) 7$1=2$2 ≥ 5 C " (1Cy4) $1C 2$2 ≥ 11C " (1Cy5) 4$1=/$2 ≥ 21C " (1Cy6) y1 = y2 = ... = y6 ≥ / $1+ $2 ≥ 0 y1 + y2 + ...+ y6 binarias
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EJERCICIOS - MODELOS DE PROGRAMACION ENTERA 1. Un abricante de muebles de oicina+ produce dos tipos de escritorios! e*ecutivos y secretariales. %a compania tiene dos plantas en las ue abrica los escritorios. %a planta 1 es una planta antigua ue opera con doble turno de 80 Aoras por semana. %a planta 2 es una planta mas nueva y no opera a su capacidad total. 'ada turno de la planta 2 traba*a 24 Aoras por semana y la planta opera 2 turnos. %a siguiente tabla muestra el tiempo de producción (AorasHunidad) y los costos est;ndar (Hunidad) en cada planta. >ambien se muestran los precios de venta de cada escritorio. Debido a ue la compaI@a Aa estado e$perimentando un e$ceso de costos durante el ultimo periodo presupuestal+ los administradores Aan i*ado una restricción semanal sobre los costos de producción. El Costo Semifijo por producir en cada planta asciende a $ 600 y $900 para las plantas 1 y 2 respectivamente !dem"s en caso de producir al#un modelo de escritorio se debe ase#urar una produccin m%nima de 100 unidades
El presupuesto semanal para la producción en miles de pesos tambien se muestra en la tabla. e le pide a usted averiguar cu;l es el numero óptimo de escritorios de cada tipo+ a producirse en cada planta con el ob*eto de ma$imiar las ganancias. >ipo >iempo #roducción #lanta 1 #lanta 2 E*ecut. 6 5 ecret. / 4
'osto est;ndar #lanta 1 #lanta 2 240 250 200 180
#recio Venta 740 264
#resupuesto emanal 2+000 2200
J
PROBLEMA 3, 9i* ! ? escritorios de modelo j : E+ a producir por semana en la planta i : 1+ 2 K.-.
";$ < : (740 C 240) 91E = (264 C 200) 91 =(740 C 250) 92E = (264 C 180) 92s
estricciones de 'apacidad! 691E = /91 : 80 AorasHsemana 592E = 492 : 40 AorasHsemana
#lanta 1 #lanta 2
estricciones de #resupuesto! 24091E = 25092E : 2000 Escritorios E*ecutivos 20091 = 18092 : 2200 Escritorios ecretariales estricciones de 3oC3egatividad! 91E +91 +92E +92 : 0
Nu#7a) Varia/l#) 8 R#)*riccio!#), binaria Fi : 1 se produce en la planta i : 1+2 0 no se produce binaria F j : 1 se producen escritorios del modelo j : E+ 0 no se producen Decisión de #roducción en cada #lanta 691E = /91 : 80 y1 592E = 492 : 40 y2
#lanta 1 #lanta 2
Decisión de #roducir cada "odelo 100 y E &' 91E = 92E : " y E 100 yS &' 91 = 92 : " yS
Escritorios E*ecutivos Escritorios ecretariales
Kunción -b*etivo "odiicada! ";$ < : (740 C 240) 91E = (264 C 200) 91 =(740 C 250) 92E = (264 C 180) 92s C 500 y1 C J00 y2
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2. un paciente Aospitaliado se le Aan restringido la cantidad de los dos alimentos ue puede consumir. De acuerdo con lo prescrito por el doctor+ se deben satisacer los siguientes reuerimientos nutritivos m@nimos por d@a! 1000 unidades de nutriente + 2000 del nutriente B+ y 1400 unidades del nutriente '. E$isten dos uentes alimenticias disponibles K1 y K2. 'ada ona de la uente alimenticia K1 contiene 100 unidades del nutriente + /00 unidades del nutriente B+ y unidades del '. 'ada ona de K2 contiene 200 unidades de + 240 unidades de B+ y 200 unidades de '. %as uentes alimenticias cuestan 5 y 8 por ona. a) i se considera ue los costos de pedidos no son despreciables y ascienden a 4 y 6.4 para las uentes K1 y K2+ cu;l es la me*or combinación de uentes alimenticiasL b) i adem;s slo es necesario satisfacer dos de los tres re(uerimientos nutritivos+ cu;l es la me*or combinación de uentes alimenticiasL
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PROBLEMA ', 9 * ! ? onas de alimento j : K1+ K2 a consumir H d@a K.-.
"in < : 5 $1 = 8 $2
estricciones de euerimientos 3utritivos 100 $1 = 200 $2 : 1000 unidades de /00 $1 = 240 $2 : 2000 unidades de B 200 $1 = 200 $2 : 1400 unidades de ' estricciones de 3oC3egatividad! 91 +92 : 0
a) 'ostos emii*os de #edidos (binaria) F * : 1 se ordena la compra de alimento j : K1+ K2 0 no se ordena la compra K.-.
"in < : 5 $1 = 8 $2 = 4 y1 = 6.4 y2 $1 : " y1 $2 : " y2
b) ólo es necesario satisacer dos de los tres reuerimientos nutritivos! (binaria) MN : 1 restricción k : 1+ 2+ 7 se considera en el modelo 0 no se considera 100 $1 = 200 $2 : 1000 C " (1 C )1 ) /00 $1 = 240 $2 : 2000 C " (1 C )2 ) 200 $1 = 200 $2 : 1400 C " (1 C )7 ) )1 = )2 = )7 : 2
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"3 4 F1 = 6.4 F2 = 5 91 = 8 92 UB,E'> >2) C JJJJJ M1 = 100 91 = 200 92 : C J8JJJ 7) C JJJJJ M2 = /00 91 = 240 92 : C J6JJJ /) C JJJJJ M7 = 200 91 = 200 92 : C J8/JJ 4) C JJJJJ F1 = 91 : 0 5) C JJJJJ F2 = 92 : 0 6) M1 = M2 = M7 : 2 E3D 3> F1 3> F2 3> M1 3> M2 3> M7 -B,E'>VE KU3'>-3 V%UE 1) 40.000000 VB%E V%UE EDU'ED '-> F1 1.000000 4.000000 F2 .000000 6.400000 M1 .000000 .000000 M2 1.000000 .000000 M7 1.000000 2JJJ.J60000 91 6.400000 .000000 92 .000000 2.000000 -M %'O - U#%U DU% #'E 2) JJ6/J.000000 .000000 7) 1000.000000 .000000 /) .000000 C.070000 4) JJJJ1.400000 .000000 5) .000000 .000000 6) .000000 .000000 3-. >E>-3: /J B3'PE: 4 DE>E".: 1.000E 0
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7. Una compan@a enrenta el problema de determinar en uQ proyectos invertir durante los pró$imos / anos. %a compania dispone de un presupuesto limitado anual para inversiones. E$isten / proyectos disponibles. Qstos se les Aa caracteriado por su valor presente estimado y los costos anuales de capital reueridos. Estos se muestran en la siguiente tabla! euerimientos de 'apital nual (en miles de dólares) >ipo de proyecto! 1 2 7 / V#3 1 E$pansion de planta 70 /0 /0 70 180 2 3ueva "auinaria 12 8 0 / 20 7 3uevos productos 70 20 20 20 62 / mpliar del almacQn 20 70 /0 10 80 Kondos disponibles 54 80 80 40 *a compra de nueva ma(uinaria slo puede reali+arse en caso de (ue la epansin de la planta se lleve a cabo y se deseen invertir en la b-s(ueda de nuevos productos Desarrolle un plan de asignación de
capital ue muestre las erogaciones necesarias para cada uno de los / anos y seleccione ue proyectos conviene inanciar. Supon#a adem"s (ue se .a decidido (ue si se invierte en la !mpliacin del almac/n no se podr" invertir en ueva a(uinaria
(binaria) 9 * : 1 se invierte en el proyecto j : 1+ 2+ 7+ / 0 no se invierte ";$ < : 180 $1 = 20 $2 = 62 $7 = 80 $/ estricciones de Kondos disponibles 70 $1 = 12 $2 /0 $1 = 8 $2 /0 $1 = 70 $1 = / $2
= 70 $7 = 20 $/ = 20 $7 = 70 $/ = 20 $7 = /0 $/ = 20 $7 = 10 $/
: : : :
54 80 80 40
Io 1 Io 2 Io 7 Io /
R#)*ricci! A"icio!al nversión 2 sólo puede realiarse si se invierte en alternativas 1 y 7 2 $2 ≤ $1 = $7
1/
/. %a compan@a -V" abrica un producto cuya demanda es estacional y cambia mes con mes. El pronóstico de la demanda para los pro$imos cuatro meses es 1800+ 2200+ 7/00+ y 2800 unidades. Debido a la demanda variable+ se Aa encontrado ue en algunos meses e$iste producción en e$ceso lo cual ocasiona grandes costos de almacena*e y mantenimiento. En otros meses la compania no puede cubrir la demanda resultando en perdidas de oportunidades de venta. %a capacidad de la planta es de 2/00 articulos por mes utiliando turnos normales. De reuerirse subcontratos es posible disponer Aasta de 800 articulos adicionales. El costos variable de produccion es de /00 dolares por unidad+ para articulos abricados. El costo de subcontrato implica pagar un costo unitario de /40. De no venderse un articulo y almacenarse para el pro$imo mes se incurre en un costo de 14 dolares por mes. e producir unidades en un mes particular es necesario reali+ar la preparacin de ma(uinaria, .acer corridas de prueba y ec.ar a andar ciertos e(uipos especiales, por lo (uese incurrir%a en costos semifijos de $130 e ordenar un art%culo al subcontratista se re(uiere incurrir en un costo semifijo de $304orden
e le pide a usted ue determine un programa óptimo de aduisición ue minimice los costos de producción+ almacena*e y subcontrato para el per@odo de / meses. El programa debe satisacer la demanda pronosticada.
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PROBLEMA 9, 9i* ! ? unidades a producir en el mes i : 1+ 2+ 7+ / j : 1 producción propia + 2 subcontrato
K.-. "in < : /00 ($11 = $21 = $71 = $/1 ) = /40 ($12 = $22 = $72 = $/2 ) = 14 (1 = 2 = 7 = / ) estricciones de Balance! $11 = $12 1 = $21 = $22 2 = $71 = $72 7 = $/1 = $/2
: : : :
1800 2200 7/00 2800
= = = =
1 2 7 /
mes 1 mes 2 mes 7 mes /
estricciones de 'apacidad 9i1 : 2/00 i : 1+ 2+ 7+ / producción propia 9i2 : 800 i : 1+ 2+ 7+ / subcontrato estricciones de 3oC3egatividad! 911 +912 +921 +922 + 971 +972 +9/1 +9/2 : 0
Nu#7a) Varia/l#) 8 R#)*riccio!#), binaria Fi1 : 1 se produce en mes i : 1+2+ 7+ / 0 no se produce binaria Fi2 : 1 se subcontrata en mes i : 1+2+ 7+ / 0 no se subcontrata Fi1 Fi2
≤ ≤
9i1 ≤ 2/00 Fi1 i : 1+ 2+ 7+ / producción propia 9i2 ≤ 800 Fi2 i : 1+ 2+ 7+ / subcontrato
Kunción -b*etivo "odiicada! "in < : /00 ($11 = $21 = $71 = $/1 ) = /40 ($12 = $22 = $72 = $/2 ) = 14 (1 = 2 = 7 = / ) = = 140 ( y11 = y21 = y71 = y/1 ) = 40 (y12 = y22 = y72 = y/2 )
4. Una compaIia tiene tres localiaciones alternativas para ubicar nuevos almacQnes ue den servicio a la región norte del pa@s. E$isten 4 clientes ('1+'2+'7+'/+'4) importantes es esta región. e desea determinar en cu;les
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localiaciones se instalar;n almacenes como puntos de distribución para surtir a los clientes. %ocaliación nstalación 1 40+000 2 70+000 7 /0+000 DemandaH'liente !
'ostos Unitarios de >ransporte a 'liente
'apacidad 200 140 700
'1 8 6 8 64
'2 10 J 11 40
'7 12 11 10 74
'/ 5 J 8 64
'4 8 17 6 74
-%U'R3 9i* ! ? unidades a transportar del almacQn i : 1+ 2+ 7 a cliente j : 1+ 2+ 7+ /+ 4 Fi : 1 se instalar; el almacQn en localiación i : 1+ 2+ 7 0 no se instalar; "in < : 8$11 = 10$12 = 12$17 = ...... = 8$7/ = 6$74 = 40000y1 = 70000y2 = /0000y7 estricciones de Demanda $11 = $21 = $71 $12 = $22 = $72 $17 = $27 = $77 $1/ = $2/ = $7/ $14 = $24 = $74
: 64 : 40 : 74 : 64 : 74
(cliente 1) (cliente 2) (cliente 7) (cliente /) (cliente 4)
estricciones de 'apacidad $11 = $12 = $17 = $1/ = $14 : 200 y1 $21 = $22 = $27 = $2/ = $24 : 140 y2 $71 = $72 = $77 = $7/ = $74 : 700 y7 3o negatividad!
(almacQn 1) (almacQn 2) (almacQn 7)
9 11 +912 +921 +922 + 971 +972 +917 +91/+ .... + 9 74 : 0
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5. (Cobertura 5otal ) El lcalde del DK est; considerando la reubicación de un n&mero de estaciones de polic@a con el ob*eto de reorar el cumplimiento de la ley en colonias de alta criminalidad. %as localidades donde potencialmente puede ubicarse estaciones de policia as@ como las colonias de la ciudad ue pueden ser cubiertas por estas localidades se muestran en la siguiente tabla. Kormule un modelo de #E para encontrar el n&mero m@nimo de estaciones cubriendo todas las colonias peligrosas. %-'%<'R3 B ' D E K G -%U'-3!
'-%-3 'UBE> 1+4+6 1+2+4+6 1+7+4 2+/+4 2+/+5 /+4+5 1+4+5+6
binaria Fi : 1 si la estación se ubica en localiación i : + B+ '+ .... G 0 si no se ubica K.-. "in < : y = yB = y' = yD = yE = yK = yG estricciones de 'obertura (de colonias) y = yB = y' = yG yB = yD = yE y' yD = yE = yK y = yB = y' = yD = yK = yG yE = yK = yG yB = yG = y
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
1 1 1 1 1 1 1
(colonia 1) (colonia 2) (colonia 7) (colonia /) (colonia 4) (colonia 5) (colonia 6)
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6. ( aimi+ar Cobertura con recursos limitados Un banco est; planeando abrir 2 sucursales en "onterrey. %a dirección Aa dividido la ciudad en 6 onas as@ como Aa estimado el n&mero de clientes potenciales en cHu. . e supone ue un local ubicado en una ona podr@a atender a los clientes de onas vecinas as@ como a los de su propia ona. (Vease la tabla siguiente)
1J
8. Una compan@a necesita contratar personal de seguridad. e estima ue los guardias traba*aran turnos de 8 Aoras y ue cada dia se necesitan seis turnos para cubrir las 2/ Aoras. %as siguientes tablas muestran el n&mero reuerido de personal de seguridad por cada / Aoras del d@a y los Aorarios de entrada y salida de cada turno. e necesita determinar cu;ntos guardias deber;n traba*ar en cada turno con el ob*eto de minimiar el n&mero de ellos. 12amC/am /C8am 4 6
-%U'-3!
8C 12pm 14
12C/pm 6
/C8pm8C12am 12 J
>U31 2 7 / 4 5
P-"edianocAeC8am /amC"ediod@a 8amC/pm "ediod@aC8pm /pmC"edianocAe 8pmC/am
F * ! n&mero de guardias ue traba*an en turno j'1,2,7,8,3,6 K.-. "in < : y1 = y2 = y7 = y/ = y4 = y5 estricciones de 'obertura (de turnos)
F * ≥ 0 y enteras j'1,2,7,8,3,6
y1 = y5 y1 = y2 y2 = y7 y7 = y/ y/ = y4 y4 = y5
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
4 6 14 6 12 J
b) i los guardias reciben un sueldo de 100 por Aora y un premio de 10S si laboran entre las 10 pm y 5 am+ cómo se modiica el modelo de #E L K.-. "in < : 8 $ 100 (y1 = y2 = y7 = y/ = y4 = y5 ) = 8 $ 10 ( 0.24y 4 = 0.64y1 = 0.64 y5 = 0.24 y2 )
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PROBLEMAS DE PLANEACION eterminar la mejor: secuencia de actividades ejor; costo, tiempo o distancia !ctividades; 5areas a efectuarse en varias m"(uinas, o secuencia de locali+aciones a visitar
TRAVELING SALESMAN PROBLEM 1EL AGENTE VIAJERO2 eterminar la ruta m"s corta para (ue saliendo de un punto base se visiten diversas locali+aciones slo una ve+: y despu/s se vuelva al punto base
EJEMPLO Un vendedor traba*a para una compaI@a localiada a sur de "Q$ico D.K. Esta semana debe visitar a cuatro clientes. %a siguiente tabla muestra las distancias desde la compaI@a Aasta cada cliente. El vendedor desea visitar la ruta m;s corta considerando ue no conviene visitar a algun cliente m;s de una ve. De T -icina 'liente 1 'liente 2 'liente 7 'liente /
-icina " J0 44 80 44
'liente 1 120 " 40 100 80
'liente 2 54 /4 " 50 50
'liente 7 64 J0 54 " 50
'liente / /4 84 /0 40 "
'u;ntas combinaciones posibles Aay L aliendo de la oicina Aay / posibles destinos saliendo del primer destino Aay 7 posibles destinos saliendo del segundo destino Aay 2 posibles destinos saliendo del <imo cliente sólo Aay 1 posibles destinos ! la oicina En total e$isten / : 2/ posibles combinaciones iempre ue Aaya n localiaciones
⇒
upongamos n : 11 destinos
10 : 7528+800 alternativas Cual #) la "# m#!or co)*o o
*i#m+o :
e$istir;n (n<1= posibles combinaciones
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-%U'R3 ea
9i* : 1 si el vendedor via*a de or@gen i a destino j : 0+1+2+7+/ 0 si no "in < : 120 901 = 54902 = ... = 50 9/7
e via*ara Aacia cada clienteHoicina una sola ve!
910 = 920 = 970 = 9/0 : 1 911 = 921 = 971 = 9/1 : 1 912 = 922 = 972 = 9/2 : 1 917 = 927 = 977 = 9/7 : 1
e saldra desde el lugar de cada cliente H oicina una sola ve! 901 = 902 = 907 = 90/ : 1 911 = 912 = 917 = 91/ : 1 921 = 922 = 927 = 92/ : 1 971 = 972 = 977 = 97/ : 1 -%U'-3E #-B%E /
0
/
0
1
1
7
7 2
2
901 : 917 : 972 : 92/ : 9/0 : 1
901 : 917 : 970 : 1 y 97/ : 9/7 : 1
>our ! secuencia de visitas ubtour ! tour en el ue se visita una localiación m;s de una ve (o su base m;s de veces)
Como #limi!ar )u/*our) 1)o! )olucio!#) i!;ac*i/l#)2
:
gregar las restricciones!
97/ = 9/7
E,E"#%-
901 = 917 = 970
≤
2
≤
1
22
Una peueIa empresa tiene un contrato para llevar a cabo varios traba*os de preparación de pinturas utiliando una m;uina de alta velocidad. 'uando la m;uina cambia de traba*o deba limpiarse por completo antes de realiar un traba*o dierente en el ue la combinación de pinturas y colorantes sea distinta. En la tabla a continuación se muestran los tiempos de limpiea en minutos para todas las posibles secuencias de traba*os. El ob*etivo es minimiar la suma de todos los tiempos de limpiea eligiendo la me*or secuencia de traba*os. >raba*o >raba*o B ' D C 70 14 /0 B 24 C /4 20 ' 74 14 C 70 D 20 40 24 C "-DE%"in < : 709B = 149' = /0 9D = 249B = /49B' = 209BD = 749' =149'B = 709'D = 209D = 409DB = 249D'
27
MODELOS DE PROGRAMACION ENTERA METODOS DE SOL(CION e reuiere ue una solución actible tenga valores enteros para alguna o todas las variables de decisión. %a egión Kactible no es una región cont@nua sino ue est; ormada por puntos separados. Un "odelo de #E se llama ela*ado si no se toma en cuenta la restricción de soluciones enteras. El modelo de #E relajado es el modelo de #% edondear una solución de #% puede resultar en una solución le*os de la óptima ó en una solución 3o actible. 3o e$iste un procedimiento de analisis de sensibilidad para modelos de #E (tal como en #%) . >ampoco se genera inormación sobre sensibilidad al usar la computadora.
%&% MODELOS DE PROGRAMACION ENTERA
2/
METODOS DE SOL(CION
1. "E>-D- GK'Solo 2 variables
2. ED-3DE- DE % -%U'-3 DE #% o se ase#ura obtener la solucin ptima En al#unos casos se obtiene una solucin muy lejos de la ptima
7. E3U"E'-3 '-"#%E> Si .ay 2 variables binarias, 8 soluciones posibles Si .ay 30 variables binarias, 2 30 soluciones posibles
/. "K''-3 F '->"E3>- (BrancA W Bound)
4. #%3- DE '->E (trong 'utting #lanes)
24
%&'&3 EN(MERACION COMPLETA EJEMPLO ";$ < : 700 $1 = J0 $2 = /00 $7 = 140 $/ su*eto a!
74 $1 = 10 $2 = 24 $7 = J0 $/ : 120 / $1 = 2 $2 = 6 $7 = 7 $/ : 12 $1 = $2 : 1 $1 +$2 +$7 +$/ binarias 0 ó 1
E$isten 2/ : 15 alternativas de solución! 91:0 92:0 97:0
91:1 92:1
97:1 97:0
92:0 97:1 97:0
92:1
97:1 97:0
i
97:1
i
0 $/:1 0 1 2
7
/
0 1
0
1 0 1
4 5
6
8 i
0
i
1 0 1
0 1
J 10 11 12 17 1/ 14 15 i
i
i
i
i
i
'ada nodo representa un modelo en el ue alguna(s) variable(s) tiene su valor especiicado 'ada !o"o *#rmi!al representa una solución entera (actible ó no) i en un nodo cualuiera la solución es inactible los nodos ue siguen ba*o Ql+ tendran solución inactible %&'&3 EN(MERACION COMPLETA
25
EJEMPLO ";$ < : 700 $1 = J0 $2 = /00 $7 = 140 $/ su*eto a!
74 $1 = 10 $2 = 24 $7 = J0 $/ : 120 / $1 = 2 $2 = 6 $7 = 7 $/ : 12 $1 = $2 : 1 $1 +$2 +$7 +$/ binarias 0 ó 1
E$isten 2/ : 15 alternativas de solución! 91 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
92 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
97 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
#or tanto la solución óptima es!
9/ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Kactible L s@ si s@ si s@ s@ s@ no s@ no si no no no no no
< 0 140 /00 440 J0 2/0 /J0 CCCCC 700 CCCCC 600 CCCCC CCCCC CCCCC CCCCC CCCCC
91 : 97 : 1+ 92 : 9/ : 0+ < : 600 %&'&' REDONDEO DE LA SOL(CION DE PL
E,E"#%-!
26
";$ < : $1 = 4$2 s.a. $1 = 10$2 $1
≤ ≤
20 2
olución modelo rela*ado (#%)! $1 : 2 $2 : 1.8
< : 11
olución con redondeo
! $1 : 2 $2 : 1
<:6
olución óptima de #E
! $1 : 0 $2 : 2
< : 10
*a solucin ptima de >E tiene un valor en ? (ue es 87@ superior a la solucin redondeada=
Al r#"o!"#ar )# "#/# *#!#r #! cu#!*a la ma0!i*u" la) 7aria/l#) si la solución es! < : 4+206 $1 : 11.5 92 : 5.8 3- es conveniente redondear si en cambio!
< : 4+206 $1 : 7+208./ 92 : 6+044.7
redondear puede ser aceptable.
iempre veriicar ue la solución redondeada se mantenga actible %&'&% RAMIFICACION 6 ACOTAMIENTO (%and W Doig+ 1J50) "K' (Un modelo de #% con solución no entera)! ividir la re#in factible en 2 re#iones (ue < no conten#an la solucin del modelo>* relajado
28
< s% conten#an todas sus soluciones enteras factibles
'>E- B'-! !#re#ar restricciones a un modelo no puede producir un modelo con mejor solucin ?
#-'ED"E3>- DE "9"<'-3 1. esolver "odelo #E rela*ado (i solución es entera es la óptima) 2. Deinir 'otas uperior e nerior 'ota uperior (') : "odelo rela*ado 'ota nerior (') : edondeo actible 7. amiicar /. #ara cada nodo+ resolver su modelo rela*ado y deinir su ' y ' i solución es entera+ o i solución es inactible+ o Fa no ramiicar i < ≤ ' m;s el nodo 4. i ya no se puede ramiicar la solución óptima es la del nodo con me*or solución entera 5. i se puede ramiicar+ volver al paso 7 C %a ' es igual a la me*or solución entera Aasta el momento C %a ' en un nodo es igual a < encontrado C medida ue se ramiica y se desciende del ;rbol la ' tiende a disminuir
2J
E,E"#%-! considerando 9 1 y 92 vars. enteras no negativas resuelva "in < : /91 = 492 sa. 791 = 592 ≥ 18 491 = /92 ≥ 20 891 = 292 ≥ 15 691 = 592 ≤ /2
sol. modelo rela*ado! sol. con redondeo!
91 : 2.55 92 : 1.55 < : 1J
9 1 : 2.55 92 : 1.55
< : 1J
9 1 : 7 92 : 2
< : 22
': 22 ' : 1J
91 ≤ 2 91 ≥ 7 ' : 22 ' : 20.4
91 : 2 92 : 2.4 < : 20.4
91 :7 92 : 1.4 < : 1J.4
92 ≤ 2 92 ≥ 7 3' : 22 91 : 1.5 K'>B%E ' : 21./ 92 : 7 < : 21./
': 22 ' : 1J.4
