III. INDICA II I SOLU II 1. a) Afirma ia nu este adev rat . Pentru graful reprezentat în figura 7 irul de vârfuri adiacente x1 , x3 , x 4 , x6 , x 4 , x3 , x1 determin un mar rut, ce nu con ine ciclu elementar.
Figura 7 b) Afirma ia este adev rat . c) Afirma iea este adev rat . Reuniunea a dou lan uri elementare diferite, ce unesc dou vârfuri ale unui graf, este un mar rut închis ce con ine unele muchii ale grafului o singur dat . De aici rezult existen a ciclului elementar. 2. Drept exemplu de graf cu propriet ile date poate servi graful din figura 8.
Figura 8 3. Fie graful G are k 2 componente conexe G1 , G2 ,..., Gk . Conform defini iei în graful complementar G
(
)
orice vârf din componenta Gi i = 1, k va fi adiacent cu toate
35
vârfurile din G1 , G2 ,..., Gi 1 , Gi +1 ,..., Gk . Aceasta garanteaz conexitatea grafului G . 4. Remarc m mai întâi, c dac un graf con ine dou cicluri C1 , C 2 astfel încât X C1 I X C2 2 , atunci reuniunea lor con ine un ciclu de lungime par . Fie acum C = ( x1 , x2 ,..., x2 k +1 , x1 ) , k 2 , un ciclu de lungime impar dintr-un graf G ce nu con ine cicluri elementare de lungime par . Eliminând din G toate muchiile de tipul (xi , xi +1 ) pentru i = 3,5,7,...,2k 1 i ad ugând muchiile de tipul (xi , x1 ) , (xi+1 , xi ) ob inem un graf nou cu un num r mai mare de muchii în care de asemenea nu sunt cicluri de lungime par . Prin urmare, orice graf ce posed propriet ile indicate în problem con ine numai cicluri de lungimea trei (triunghiuri). Orice vârf x din acest graf apar ine la (x ) / 2 triunghiuri, iar subgraful, generat de mul imea
(x )
[
]
{x} U (x )
con ine 3
(x )
(x ) 2
1
+ 1 muchii, dac 2 (x ) este impar. Dac în graful analizat ar exista cel pu in dou
muchii, dac
este par, sau 3
vârfuri suspendate x, y , atunci prin suprimarea muchiei incidente vârfului x i ad ugarea a dou muchii noi ( x, y ) i (x, z ) , unde z este vârful incident cu y , ob inem un graf nou cu un num r mai mare de muchii. De aici rezult , c toate blocurile grafului ce posed propriet ile formulate în problem sunt triunghiuri, dac num rul de vârfuri n este impar, sau un bloc este determinat de o muchie suspendat i toate celelalte blocuri sunt triunghiuri, dac num rul de vârfuri n este par. Prin urmare num rul de
36
muchii m a unui astfel de graf este: n 1 , dac n este impar, 2 m= n 1 3 + 1, dac n este par. 2 5. Graful cu un num r maxim de muchii, ce nu con ine cicluri elementare, este un arbore, pentru care num rul de muchii este cu o unitate mai mic decât num rul de vârfuri. 6. a) Dac G1 este un graf p -regulat cu n1 vârfuri, iar G2 este un graf k -regulat cu n2 vârfuri, atunci G1 + G2 con ine n1 + n2 vârfuri, în care orice vârf din subgraful G1 are valen a p + n2 , iar orice vârf din subgraful G2 are valen a k + n1 . Este clar, c în caz general p + n2 k + n1 . Prin urmare graful G1 + G2 nu este regulat. Dac G1 este un graf p -regulat, iar G2 este un graf k regulat, atunci graful G1 × G2 este un graf ( p + k ) -regulat. b) G1 + G2 nu este bipartit; G1 × G2 este bipartit. 7. Graful cu propriet ile indicate în problem este reprezentat în figura 9 3
Figura 9
37
8. a) Orice arbore T = ( X T ;U T ) poate fi privit ca un graf bipartit G = ( X 1 , X 2 ;U ) , în care mul imea X 1 este format dintr-un vârf arbitrar x X T i toate vârfurile din T ce se afl la o distan par de la x , iar X 2 = X t \ X 1 . b) Afirma ia este adev rat numai în cazul când arborele T con ine X T 1 vârfuri suspendate.
c) Afirma ia este adev rat . d) Afirma ia este adev rat , deoarece arborele nu con ine cicluri i, prin urmare, orice muchie a sa este istm. 10. În calitate de graf cu propriet ile indicate poate fi luat graful G = ( X U Y ;U ) , în care X = {x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 }, Y = {y1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 } i fiecare dintre submul imile de vârfuri X , Y genereaz în G subgrafuri complete K 5 . În afar de aceasta graful G mai con ine muchiile ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) , (x3 , y 3 ) i (x3 , y 4 ) . 11. a) Pentru orice graf cubic G = ( X ,U ) este adev rat (G ) 3 . inegalitatea 1 Fie (G ) = 1 , adic graful G con ine un punct de (x ) = {z1 , z 2 , z 3 } , atunci la eliminarea articula ie x . Dac vârfului x din G ob inem un graf neconex, în care dou vârfuri (x ) , spre exemplu z1 , z 2 , apar in diferitor ale mul imii componente de conexitate G1 i G2 . Dac al treilea vârf nu apar ine acestor componente conexe, atunci fiecare dintre muchiile ( x, z1 ) i ( x, z 2 ) este istm în G . Dac z 3 X G1 (sau z3
X G2 ) atunci muchia ( x, z 2 ) (muchia ( x, z1 ) ) este istm în G .
Prin urmare (G ) = 1 . Fie H (G ) = 2 . În mod analog cu cazul cercetat se
38
demonstreaz c (G ) = 3 . În cazul H (G ) = 3 egalitatea H (G ) = (G ) este evident . b) În condi ia H (G ) = 1 graful G con ine un punct de articula ie x i deg x = k . La eliminarea lui x din G ob inem un graf neconex în care exist o component de conexitate ce con ine cel mult [k / 2] vârfuri ale mul imii ( x ) . Dac din G se elimin muchiile ce unesc aceste vârfuri cu x , atunci ca rezultat se ob ine un graf neconex. Aceasta înseamn c (G ) [k / 2] . 12. Graful muchiilor unui graf G = ( X ;U ) este regulat dac i numai dac pentru oricare dou muchii u1 = ( x1 , x2 ) i u2 = ( y1 , y2 ) din G are loc egalitatea: deg x1 + deg x 2 = deg y1 + deg y 2 . 13. Cel mai simplu graf cu propriet ile date este graful G = ( X ;U ) în care X = {x1 , x 2 , x3 , x 4 } U = {( x1 , x 2 ), ( x 2 , x3 ), ( x3 , x 4 )} . 14. Acesta ar putea fi graful G = ( X ;U ) cu mul imile: X = {x1 , x 2 , x3 , x 4 } U = {( x1 , x 2 ), ( x 2 , x3 ), ( x3 , x 4 ), ( x 4 , x1 )}. 15. Vezi graful din problema precedent . 16. Cel mai simplu graf ce posed proprietatea dat este graful complet K n . 17. a) Deoarece orice vârf x X G2 în graful G1 + G2
este adiacent cu toate vârfurile din X G1 , rezult c x nu poate fi colorat în culorile grafului G1 . Aceasta implic egalitatea (G1 + G2 ) = (G1 ) + (G2 ) . 39
b) Not m G = G1 I G2 . Deoarece G G1 i G G2 , sunt adev rate inegalit ile (G ) (G1 ) , (G ) (G2 ) , de unde (G ) max{ (G1 ), (G2 )} . 18. Toate vârfurile x1 , x 2 ,..., x n ale grafului plan G = ( X ;U ) apar in frontierei unei fe e. Consider m x1 ~ x 2 ~ ~…~ x n ~ x1 . Dac graful nu con ine alte muchii, atunci (G ) 3 . Fie xi ~ x j , j > i + 1 . Atunci subgrafurile, generate de
submul imile
de
vârfuri
X 1 = {x1 ,..., xi 1 , xi , x j ,..., x n }
i
X 2 = {xi , xi +1 ,..., x j }, pot fi colorate în cel mult 3 culori astfel
încât în ambele sugbrafuri vârfurile xi
i x j sunt colorate în
aceea i culoare. Aceasta înseamn c (G ) 3 . 19. Pentru grafurile din figura 5b matricile de adiacen i respectiv de inciden sunt 0 0 0 0 #0 1 1 1 0 #1 1 1 ! ! 0 0 0 !0 0 0 1 0 ! 1 0 0 1 ! ! A= 0 0 0 0 1 ,B = 0 1 0 0 1 1 0 . ! ! 1 1 1 0 1 !0 0 1 0 1 !0 0 !0 0 0 0 0 !0 0 0 0 0 1 1 " " 20. a) Deoarece graful complet este neorientat, f r bucle i cu num r maxim de muchii, acest num r este egal cu num rul submul imilor de 2 elemente ale mul imii de vârfuri, care are n elemente. Deci num rul de muchii al grafului complet este C n2 .
40
b) Un poligon convex cu n vârfuri reprezint un graf neorientat cu n vârfuri i n muchii. Ad ugând toate diagonalele sale se ob ine graful K n . Deci num rul diagonalelor poligonului este: n(n 1) n(n 1) C n2 n = n= . 2 2 21. a) Not m prin PA mul imea tuturor perechilor de elemente din X ce pot fi considerate muchii. Cardinalul lui PA coincide cu num rul muchiilor unui graf complet cu mul imea de vârfuri X , adic C n2 . Orice submul ime a mul imii PA poate fi privit ca mul imea de muchii a unui graf oarecare G . Prin urmare num rul grafurilor c utate coincide cu num rul tuturor 2 PA submul imilor mul imii PA , adic cu 2 = 2 Cn . b) Deoarece graful e orientat, PA = An2 . Urmând acela i 2
ra ionament deducem c num rul cerut este 2 An . c) Consider m mul imea PA = {(i, j ) 1 i < j evident c
PA = C n2 .
Între
n}. Este
A = { f : PA % { 1,0,1}}
mul imile
i
{U G = ( X ,U ) e antisimetric} se poate stabili o bijec ie g : g ( f ) = {(i, j ) f (i, j ) = 1} & {( j , i ) f (i, j ) = 1}. Deci num rul grafurilor orientate
i antisimetrice este egal cu num rul
func iilor din mul imea A , adic
{
1,0,1}
PA
=3
#n ! "2
.
d) Se aplic acela i ra ionament ca la c. pentru izomorfizmul: g : { f : PA % { 1,1}} % {U G = ( X , U ) e turnir} ,
g ( f ) = {(i, j ) f (i, j ) = 1} & {( j , i ) f (i, j ) = 1}. 2
Num rul turnirurilor este 2 Cn .
41
n
X avem g + ( xi ) = ' aij , g ( xi ) =
22. Pentru orice xi
j =1
n
= ' a ji ( a ij sunt elementele matricii de adiacen a grafului). j =1
n
Deci
n
n
i =1 j =1
xi X
i =1 j =1
23. În problema precedent ' g (xi ) = ' g (xi ) = m . Deci, xi X
Facem
I = {xi
xi X
X d i < 0}. n
'd
Din
i =1
Prin urmare
n
'd i =1
i
=0
i
'd
rezult
i
(
g + (xi ) g (xi ) = d i ,
nota iile
' g (x ) .
xi X
s-a demonstrat rela ia ' g + ( xi ) g ( xi ) = 0 .
+
xi X
n
' g + (xi ) = '' aij =m = '' aij =
i
)
I + = {xi
X di
'd = '(
=
di ) = r .
i
i I
i I
0},
i I
= ' d i + ' ( d i ) = 2r . i I
i I
24. a) Rela ia rezult imediat din faptul c ignorând orientarea arcelor lui G ob inem un graf complet. b) Prima egalitate a fost deja demonstrat în problema 22. Neglijând orientarea arcelor în G ob inem un graf complet, care are C n2 muchii. Deci num rul arcelor lui G este C n2 . c. Vom calcula diferen a:
' (g (x )) ' (g (x )) 2
+
2
i
xi X
i
=
xi X
' (g (x )) (g (x ))
' (g (x ) + g (x ))(g (x ) +
i
xi X
(n 1) ' (g + (xi ) xi X
i
i
)
2
i
xi X
+
2
+
i
)
g ( xi ) =
(( ) (C )) = 0 .
g ( xi ) = (n 1) C n2
2 n
d) Din a) rezult g (i ) = n 1 g + (i ) . Folosind aceast
42
rela ie în c) ob inem imediat d). 25. Consider m graful neorientat G = ( X , U ) . Deoarece graful este simplu au loc inegalit ile: 0 g (xi ) n 1 , (xi X . Dac vârfurile grafului au grade distincte atunci acestea formeaz irul 0,1,2,..., n 1 . Prin urmare în G exist un vârf care este adiacent cu toate celelalte vârfuri din X . Aceasta contrazice existen a în graful G a unui vârf izolat (de grad 0). Deci dac n > 1 , atunci nu exist grafuri în care gradele vârfurilor sunt distincte. 26. Într-un graf neorientat are loc rela ia: ' g ( x i ) = 2m . xi X
Facem nota iile: I k = {xi X g ( xi ) = k }, I k +1 = {xi
Atunci ' g (xi ) = ' k + xi X
i Ik
X g ( xi ) = k + 1} , I k = r .
' (k + 1) = rk + (n r )(k + 1) = 2m .
i I k +1
Deci r = 2m + n(k + 1) . 27. Fie un graf G = ( X , U ) F n
demonstrat deja, în problema 22, c
U = m . S-a
cu
' g + ( xi ) =
xi X
n
' g (x ) = m . i
xi X
n
Pe de alt parte, din ipotez rezult imediat c
' g (x ) +
i
np i
xi X n
' g (x ) i
nq . Ultimele trei rela ii implic
xi X
inegalitatea
m {np, nq}, ceea ce conduce la concluzia c o majorant a num rului c utat este min{np, nq}. S presupunem c p q . Atunci min{np, nq} = np . În plus, urm toarea matrice de adiacen : 43
# 0 0 0 0 ... 1 ! ! 1 0 0 0 ... 1 ! 1 1 0 0 ... 1 ! ! . . . . ... . A = !! 1 1 1 1 ... 1 ! 1 1 1 1 ... 0 ! ! 0 1 1 1 ... 0 ! . . . . ... . !! " 0 0 0 0 ... 0 în care pe fiecare coloan sunt p elemente de valoarea 1, descrie un graf care satisface inegalit ile din enun i are exact np arce. Deci max{U : G = ( X ,U ) F} = np .
Dac
p >q,
max{U : G = ( X ,U ) F} = nq .
atunci
Egalitatea se demonstreaz ca i în cazul p q . Un graf cu nq arce este cel reprezentat prin acela i tip de matrice de adiacen în care fiecare coloan con ine q elemente de valoarea 1. 28. Din egalitatea g + (xi ) = g ( xi ) pentru orice xi X deducem (*) ' g + ( x i ) = ' g ( xi ) . xi A
xi A
Dac din graful G elimin m un arc care are ambele extremit i în A , atunci sumele din (*) r mân egale i scad fiecare cu o unitate. În consecin , eliminând din G toate arcele care au ambele extremit i în A , (*) r mâne adev rat . Mai mult, dup eliminare, membrul stâng al egalit ii va reprezenta num rul arcelor care au extremitatea ini ial în A i cea final în afara lui A , iar membrul drept – num rul arcelor care au extremitatea ini ial în X \ A , iar cea final în A .
44
29. Fie G = ( X ,U ) , X = n , U = m . Are loc rela ia
' g ( x ) = 2m . i
xi X
Facem nota iile I e = {xi X g ( xi ) e par} i I o = {xi Deoarece
' g (x ) = ' g (x ) + ' g (x ) , i
i
xi X
are loc egalitatea
X g ( xi ) e impar }.
xi I e
i
xi I o
' g ( x ) = 2m ' g ( x ) . i
i
xi I o
xi I e
Membrul drept al rela iei precedente este un num r par, iar membrul stâng este o sum de numere impare. Egalitatea are loc dac i numai dac num rul termenilor sumei din membrul stâng este par. Deci I o este un num r par.
30. S presupunem c num rul k = g ( xi ) este impar (xi X . Conform problemei 29, num rul vârfurilor de grad impar este par. Deoarece gradele tuturor vârfurilor sunt egale i impare ob inem imediat c X e un num r par, ceea ce
contrazice ipoteza. 31. Dac not m cu m A num rul muchiilor care au ambele extremit i în A , atunci suma gradelor vârfurilor din A este ' g + ( x i ) = k + 2m A . xi A
Pe de alt parte,
' g ( x ) = ' g ( x ) + ' g (x ) , i
unde Ap = {xi
xi A
i
xi Ap
i
xi Ai
A g ( xi ) este par} i Ai = {xi
45
A g ( xi ) este impar} .
Deci are loc egalitatea: #
2m A + ' g ( xi ) i xi Ai " xi A p Din rela ia precedent rezult imediat c numerele k i Ai au aceea i paritate.
k + 2m A =
' g (x ) + ' g (x ) ) k = !! ' g (x ) i
i
xi A p
xi Ai
(
)
32. a) Fie G = X , U graful complementar al grafului
G = ( X ,U ) ob inem
(X
= n ) . Din defini ia grafului complementar
egalitatea
U +U =
n(n 1) . 2
Din
izomorfismul
n(n 1) . Acest 4 num r este întreg dac i numai dac n = 4k sau n = 4k + 1 . Deci X * 0 (mod 4) sau X * 1 (mod 4) .
grafurilor G
i G rezult egalitatea U + U =
b) Din inegalitatea X > 1 , inând cont de rezultatul din punctul a), rezult c graful autocomplementar cu cele mai pu ine vârfuri are patru vârfuri. În figura10 este reprezentat un astfel de graf.
Figura 10 33. Num rul ciclomatic al unui astfel de graf este + (G ) = n n + 1 = p 1 , ceea ce înseamn c G con ine cel pu in un ciclu.
46
(
34. Fie G = X , U
G = ( X ,U )
(X
=n
)
graful complementar al grafului
5) . Deoarece graful cu num r maxim de
muchii i f r cicluri este arbore (în care m = n 1 ), pentru a rezolv problema e suficient s ar t m c unul dintre aceste grafuri con ine cel pu in n muchii. n(n 1) (vezi Einând cont de faptul c U + U = 2 rezolvarea problemei 32) deducem c num rul de muchii în unul n(n 1) din grafurile G i G este mai mare sau egal cu . 4 n(n 1) > n 1 în N ob inem Rezolvând inecua ia 4 n > 4 . Deci dac graful G = ( X ,U ) con ine mai mult de 4 vârfuri, atunci G sau G con ine un ciclu. 35. Fie l1 i l 2 dou lan uri de lungime maxim , egal cu t , se unesc perechile de vârfuri x1 , y1 i respectiv x 2 , y 2 . Presupunem c aceste dou lan uri nu au vârfuri comune. Atunci, deoarece graful este conex, exist un lan l 3 între vârfurile j l1 i i l 2 . F r a pierde din generalitate putem i . Not m lungimea presupune c l 3 I l1 = { j} i l 3 I l 2 = {} acestui lan prin p 1 .
Figura 11
47
Fie l1' , l1'' , l 2' i l 2'' sublan urile din l1 , l 2 , care unesc perechile de vârfuri ( x1 , j ) , ( j , y1 ) , respectiv (i, y 2 ) (vezi figura 11). Not m lungimile acestor lan uri prin s , r , k i d . Au loc egalit ile s + r = t i k + d = t . Deoarece s, r , k , t , d N rezult max{s, t} t / 2 i max{k , d } 2 . S presupunem c max{s, t} = s i max{k , d } = k (orice alt situa ie se trateaz la fel). Atunci lan ul l1' U l 3 U l 2' are lungimea mai mare decât t / 2 + 1 + t / 2 , ceea ce contrazice presupunerea c lungimea celui mai lung lan din G este t . 36. Consider m un lan l de lungime maxim în acest graf i fie xi X unul din extremit ile lui. Vârful xi este adiacent numai cu vârfuri ale lan ului l . Dac am presupune contrariul, atunci am ajunge cu u urin la contradic ie cu maximalitatea lan ului ales. Mai departe, deoarece, g ( xi ) 3 , se formeaz astfel cel pu in trei cicluri dintre care cel pu in unul este de lungime par , oricare ar fi paritatea lungimilor lan urilor de la xi la x j1 i de la x j1 la x j2 (vezi figura 12).
Figura 12 37. " ," . Consider m graful G = ( X ,U ) unde X = Y U Z i exist muchii numai între Y i Z . Atunci orice ciclu C este de forma {y o , z o , y1 , z1 ,..., y k , z k , y o } , unde y i Y , i = 0,1,..., k i z i Z , i = 0,1,..., k . Este clar c lungimea lui C este 2k . " -" . S presupunem c G are toate ciclurile de lungime par i este conex. În caz contrar ra ionamentul se aplic pentru
48
fiecare component conex în parte. Fie v X un vârf oarecare. Vom considera mul imile Y = {v} U {y X d (v, y ) e par} i Z = X \ Y . Fie v1 , v 2 Y \ {v}
(sau v1 , v 2 Z ). S presupunem c (v1 , v 2 ) U . Hi s not m cu D(v, v1 ) i D(v, v 2 ) cele mai scurte lan uri între v i v1 , respectiv între v i v 2 . D(v, v1 ) U D(v, v 2 ) U {(v1 , v 2 )} formeaz un ciclu C de lungime impar deoarece, din defini ia mul imii Y rezult c lungimile lan urilor D(v, v1 ) i D(v, v 2 ) coincid cu d (v, v1 ) i d (v, v 2 ) i deci sunt numere pare (impare). Existen a unui astfel de ciclu contrazice ipoteza i deci (v1 , v2 ) . U , de unde deducem c graful e bipartit. 38. S presupunem c exist un ciclu elementar C de lungimea / . Facem nota ia X = X 1 U X 2 , unde X 1 = / / 2 1 ,
X 2 = 0 . Deoarece G este bipartit, deducem c jum tate din vârfurile lui C sunt în X 1 , iar cealalt jum tate în X 2 . Einând seama c ciclul C este elementar, având lungime / , deducem c C con ine / / 2 vârfuri din X 1 i / / 2 vârfuri din X 2 , ceea ce contrazice faptul c
X1 = / / 2 1.
39. Egalitatea poate fi demonstrat prin induc ie în raport cu num rul de muchii din graf. 40. Într-un graf planar are loc rela ia lui Euler m f = n 2 . Cum n este constant rezult c diferen a m f este constant i valorile maxime pentru f i m se ating simultan, pentru acela i graf. Graful cu num r maxim de fe e are proprietatea c pentru fiecare fa frontiera este un ciclu de lungime 3 . Cum fiecare muchie intr în frontiera a dou fe e, deducem c are loc 2m = 3 f . Deci rela ia lui Euler devine: a) 3m 2m = 3n 6 , de unde m = 3n 6 . b) 3 f 2 f = 2n 4 , adic f = 2n 4 . 49
41. Not m prin m i f num rul de muchii i respectiv de fe e ale grafului G . Deoarece fiecare muchie apar ine intersec iei frontierelor a dou fe e i frontiera fiec rei fe e con ine k muchii, ob inem egalitatea kf = 2m , de unde 2m . Înlocuind valoarea lui f în formula lui Euler f = k k (n 2 ) n m + f = 2 ob inem m = k 2 42. Fie graful planar G = ( X ,U ), X 5 , reprezentat în
plan astfel încât oricare dou muchii ale sale nu au puncte interioare comune. Not m prin i (G ) num rul vârfurilor lui G care au gradul mai mic sau egal cu 5. Asupra grafului G facem urm toarea transformare: se adaug muchii astfel încât graful ob inut G * s nu con in muchii multiple i s aib ca frontier a fiec rei fe e un ciclu de lungime trei. Not m i (G * ) num rul vârfurilor din G * de grad cel mult 5. Este evident c i (G ) i (G * ). În G * au loc rela iile: a) m = 3n 6 (vezi problema 40), b) g ( x ) 3 , pentru orice x din graful G * . Ultima afirma ie este adev rat deoarece frontiera fiec rei fe e a grafului G * este un ciclu de lungime trei i G * nu con ine muchii multiple. c) 2m = ' g ( x ) 3i (G * ) + 6(n i (G * )) . x X
Aceast afirma ie este adev rat deoarece, datorit rela iei b), în G * vârfurile de grad cel mult 5 au gradul cel pu in trei, iar celelalte n i (G * ) vârfuri au gradul cel pu in ase. Prin urmare ob inem: 2m = 2(3n 6 ) 3i (G * ) + 6(n i (G * )) ,
50
( )
de unde i G * 4 . Din inegalitatea i (G ) i G * rezult i (G ) 4 . 43. Deoarece G nu con ine subgrafuri K 3 , rezult u or f c m 4 = 2 f . Dac presupunem c G este planar, din 2 rela ia lui Euler i inegalitatea din enun avem m 2 f = 2(m n + 2 ) = 2m 2n + 4 > 4 m 4 + 2m = m , ceea ce reprezint o contradic ie. Deci G este neplanar. 44. a) Se observ c orice graf planar exterior G = ( X ,U ) cu X = n 3 i num r maxim de muchii, poate fi
( )
desenat în plan ca un poligon cu n vârfuri i n 3 diagonale. Prin urmare în graful G ob inem egalitatea U = 2n 3 . b) Orice graf planar exterior G ( X ,U ) , X = n
3 , cu
num r maxim de muchii, poate fi desenat în plan astfel încât conturul fe ei nem rginite s fie un ciclu de lungime n , iar contururile fe elor m rginite s fie cicluri de lungimea trei. Se observ cu u urin c exist trei vârfuri x, y, z astfel încât cel pu in unul dintre ele are gradul doi i împreun genereaz conturul unei fe e. Fie y vârful de gradul doi. Vom demonstra, folosind metoda induc iei matematice, c în G exist cel pu in dou vârfuri de grad doi. Pentru n = 3 afirma ia este evident . Presupunem c proprietatea este adev rat pentru orice graf cu k 3 vârfuri i s o demonstr m pentru un graf cu k + 1 vârfuri. Conform celor demonstrate mai sus, în G exist un vârf y de grad doi, adiacent cu vârfurile x i z . Eliminând y din G ob inem un graf G ' cu k vârfuri care este evident planar maximal exterior. Aplicând ipoteza induc iei pentru G ' rezult c el con ine dou vârfuri de grad doi. Acestea nu pot fi x i z deoarece G ' este maximal exterior. Prin urmare în G ' exist un
51
vârf w de grad doi i w . {x, z} . Atunci în graful ini ial G vârfurile y i w sunt de grad doi. c) Deoarece orice graf planar maximal exterior G = ( X ,U ) con ine un vârf de grad doi, atunci folosind metoda (G ) = 3 . induc iei matematice putem demonstra c 45. a) , b). Din faptul c G are un circuit eulerian i nu are vârfuri izolate rezult c oricum am alege xi , x j X
exist drum de la xi la x j i deci G este tare conex. Pe de alt parte, circuitul eulerian trece prin toate arcele care intr i toate arcele care ies dintr-un vârf xi . Deci la fiecare trecere prin xi se folose te un arc care intr în xi i un arc care iese din xi , ceea
ce conduce la rela ia g + (xi ) = g ( xi ) (xi X . b) , a). Din faptul c G este tare conex rezult imediat c G nu are vârfuri izolate. S presupunem acum c , de i G este tare conex i pentru orice vârf xi are loc g + (xi ) = g ( xi ) , G nu are circuit eulerian. Alegem un circuit simplu de lungime maxim C . Deoarece C nu este elulerian, adic lungimea lui C este mai mic decât m , putem afirma c exist arce în mul imea U \ C . Consider m graful Gc = ( X ' ,U \ C ) , unde X ' 1 X este mul imea vârfurilor lui G care sunt extremit i ale unor arce din U \ C . Deoarece g + (xi ) = g ( xi ) (xi X , iar circuitul C folose te în fiecare vârf prin care trece acela i num r de arce de intrare i de ie ire, deducem c pentru toate vârfurile din Gc r mâne adev rat proprietatea c gradul interior i gradul exterior al fiec rui vârf coincid. Fie xi X ' astfel încât xi este vârf al lui C . Existen a unui astfel de vârf este asigurat de
52
faptul c dac implica ia (xi C , xi X ' ar fi adev rat , atunci ar rezulta c G nu e tare conex. Alegem acum un arc (xi , x j ) U \ C i s încerc m s ne "deplas m", folosind arce ale lui Gc (fiecare o singur dat ) atâta timp cât putem înainta. S presupunem c am ajuns într-un vârf x k xi . Deoarece g G+c ( x k ) = g Gc ( x k ) rezult c nu ne vom opri în x k deoarece exist un arc de ie ire (neutilizat înc ) din
x k (Aici g G+C ( xi ) i g GC ( xi ) reprezint valen ele respective în
graful GC ). Repetând acest ra ionament în fiecare vârf în care am ajuns i inând seama de faptul c num rul vârfurilor lui Gc este finit, deducem c în cele din urm ne vom întoarce din nou în xi , construind astfel un nou circuit C1 . Deci în graful G exist circuitele C1 i C , care au în comun cel pu in vârful xi . Dar în aceast situa ie reuniunea C1 U C este un circuit simplu al lui G de lungime mai mare decât a lui C , ceea ce contrazice maximalitatea lui C . 46. a) , b). Deoarece nu exist vârfuri izolate, rezult imediat c orice ciclu eulerian trece prin toate vârfurile grafului. De aici deducem c G este conex i c fiecare vârf are gradul par. Într-adev r, la o parcurgere a unui ciclu eulerian, în care se elimin fiecare muchie parcurs , dup vizitarea unui vârf se terg exact dou muchii. b) , a). Deoarece G este conex, este evident c G nu con ine vârfuri izolate. S presupunem acum c de i G are proprietatea b), în G nu exist ciclu eulerian. Alegem un ciclu simplu de lungime maxim . Deoarece C nu este eulerian, adic lungimea sa este mai mic decât m , putem afirma c mul imea U \ U C nu e vid . Consider m graful GC = ( X ' , U \ U C ) , unde X ' 1 X este 53
mul imea vârfurilor lui G care sunt extremit i ale muchiilor U \ U C . Deoarece g ( x1 ) este un num r par, oricare ar fi xi X , iar ciclul C con ine un num r par de muchii incidente fiec rui vârf, deducem c toate vârfurile din Gc au gradul par. Fie xi X ' , astfel încât xi se afl i pe ciclul C . Existen a unui astfel de vârf este asigurat de conexitatea lui G . Alegem o muchie (xi , x j ) U \ C i încerc m s ne "deplas m" folosind muchii ale lui Gc , astfel încât fiecare muchie s fie parcurs o singur dat . S presupunem c am ajuns într-un vârf x k xi . Deoarece x k are gradul par i dintre muchiile incidente am folosit o muchie (sau cel mult un num r impar de muchii), rezult c din x k putem pleca într-un alt vârf întrucât mai exist cel pu in o muchie neutilizat înc . Repetând acest ra ionament în fiecare vârf vizitat i inând seama de faptul c num rul vârfurilor din X ' e finit, deducem c în cele din urm vom ajunge din nou în xi . Am construit astfel un ciclu C1 în Gc , care are în comun cu C cel pu in vârful xi . Reuniunea acestor dou cicluri este tot un ciclu simplu, de lungime mai mare decât a lui C . Existen a lui C1 U C contrazice maximalitatea alegerii lui C i deci în G exist un ciclu eulerian. 47. Presupunem c graful G = ( X ,U ) nu este conex. Prin urmare el con ine cel pu in dou componente conexe. Not m prin p num rul componentelor conexe din G . Vom analiza urm toarele dou cazuri: 1) X = n = 2k + 1 . Deoarece gradul fiec rui vârf xi X n 1 = k , rezult c fiecare component conex 2 con ine cel pu in k + 1 vârfuri. Deci în G are loc inegalitatea
este g ( xi )
54
n > p(k + 1)( p 2) , ceea ce contrazice faptul c n = 2k + 1 . 2) n = 2k . Deoarece gradul oric rui vârf este num r întreg deducem c (xi X g ( xi ) k . Ca i în cazul precedent ob inem n > p(k + 1) . Dar p 2 i atunci n > 2(k + 1) , ceea ce contrazice faptul c n = 2k . Din 1) i 2) rezult c G este conex. 48. Deoarece G are un num r maxim de muchii fiecare component conex este un subgraf complet. S not m cu n1 ,..., n p ordinele componentelor conexe ale grafului G . p
Evident, n = n1 + n 2 + ... + n p , iar m = ' C n2i . Valoarea m este i =1
maxim
când nk = n
p +1
i ni = 1 (i
k . În acest caz
# n p +1 . m=! 2 " 49. Pentru a demonstra afirma ia din enun este suficient s ar t m c orice graf cu n 4 vârfuri i dou componente conexe con ine cel mult (n 1)(n 2) / 2 muchii. Îns aceasta rezult din problema precedent . 50. Este u or de v zut c dac o muchie ( x, y ) a unui
graf G = ( X ,U ), X
3 , este istm, atunci x i y sunt puncte
de articula ie. Reciproc, fie x un punct de articula ie într-un graf în care gradul fiec rui vârf este trei. Not m cu y, z i w vârfurile adiacente cu x . Dac elimin m vârful x ob inem un graf cu cel pu in dou componente conexe, una dintre care con ine numai exact unul dintre vârfurile y, z , w (de exemplu y ). Fie aceast component G1 . Prin urmare orice lan care une te x cu oricare din vârfurile lui G1 con ine muchia ( x, y ) . Deci ( x, y ) este un istm. 55
51. a) S observ m c orice vârf apar inând unui ciclu nu este punct de articula ie. Deci graful cu num r maxim de puncte de articula ie nu con ine cicluri, adic este o p dure. Pe de alt parte, nici un vârf de gradul unu (vârf suspendat) nu este punct de articula ie. Cum fiecare arbore are cel pu in dou vârfuri suspendate (vezi problema 65), rezult c graful cu num r maxim de puncte de articula ie este un arbore cu doar dou vârfuri suspendate. Deci num rul maxim de puncte de articula ie al unui graf cu n vârfuri este n 2 . b) Din ra ionamentul de mai sus deducem c un exemplu de garf cu n vârfuri i n k puncte de articula ie este un arbore cu k vârfuri suspendate. Preciz m c pentru k = 2 arborele coincide cu lan ul de lungime n 1 , iar pentru k = n 1 arborele respectiv este graful stea sau graful bipartit complet K 1,n 1 . 52. Necesitatea. Fie xi un punct de articula ie al grafului G = ( X ,U ) i G1 = ( X 1 ,U 1 ) , G2 = ( X 2 ,U 2 ) , …, Gk = ( X k ,U k ) – componentele conexe ale grafului care se ob in din G prin eliminarea vârfului xi . Alegem u X 1 i v X 2 . Este evident c orice lan ce une te aceste vârfuri în G con ine vârful xi . Suficien a este evident . 53. Fie G = ( X ,U ), X = n , un graf planar 5-conex.
Evident, n > 6 . Se tie c num rul maxim de muchii al unui graf planar cu n vârfuri este 3n 6 (vezi problema 40). Deci pentru graful G are loc inegalitatea U 3n 6 .
56
xi
Din 5-conexitatea lui G rezult c gradul fiec rui vârf X este cel pu in 5 i deci are loc rela ia:
2U =
' g (x ) i
5n .
xi X
Din rela iile stabilite ob inem inegalitatea 5n / 2 U 3n 6 , care conduce imediat la echivalen a 6n 12 5n ) n 12 . Prin urmare orice graf 5-conex con ine cel pu in 12 vârfuri. 54. Pentru a demonstra inegalitatea este suficient s facem precizarea c orice mul ime maximal intern stabil este i extern stabil . Deci 0 o (G ) = min{T : T extern stabil } S = / o (G ) ,
unde S este o mul ime maximal intern stabil . 55. Pentru a rezolva problema este suficient s consider m doar mul imile D maximale intern stabile (vezi problema 54). 56. Fie G = ( X ,U ) un graf care satisface proprietatea din enun i fie µ = {v1 ,..., v r } un lan de lungime maxim . Atunci v1 poate fi adiacent numai cu vârfuri din mul imea {v 2 ,..., v r } , deoarece în caz contrar µ nu ar mai fi lan de lungime maxim .
Fie i = max{j
{2,..., r}(v1 , v j )
U }. Întrucât g ( x1 ) > d ,
rezult c xi d + 1 . Deci vârfurile v1 ,..., vi , v1 formeaz un ciclu de lungimea cel pu in d + 1 . 57. a) Inegalitatea r (G ) d (G ) rezult imediat din defini ia razei i respectiv a diametrului, iar inegalitatea d (G ) 2r (G ) este consecin a urm torului ir de implica ii
57
d ( x, z ) d ( x, y ) + d ( y, z ) (inegalitatea triunghiului) 3 max d ( x, z ) d ( x, y ) + max d ( y, z ) z X
z X
3 max max d ( x, z ) max d ( x, y ) + max d ( y, z ) x X
z X
x X
z X
3 max max d ( x, z ) min max d ( x, y ) + min max d ( y, z ) x X
z X
y X
x X
y X
z X
3 d (G ) 2r (G ) . b) Fie x i y dou vârfuri diametral opuse într-un arbore T . Vom nota diametrul arborelui prin d (T ) i lan ul elementar care une te x cu y prin l . Vom analiza urm toarele cazuri: 1. d (T ) = 2k . Fie v mijlocul lan ului l (d ( x, v ) = = d (v, y )) . Dac t este un vârf ce nu apar ine lan ului l , atunci d (v, t ) < k . În caz contrar distan a dintre vârfurile x i t ar fi mai mare decât diametrul d (T ) . Prin urmarea excentricitatea
vârfului v este e(v ) = max{d (v, v') v' X } = d (v, x ) = k . Pentru
oricare alt vârf q al lan ului ob inem e(q ) = max{d (q, x ), d (q, y )} > d (v, x ) = k . S consider m acum un vârf v . l al arborelui i un vârf z un vârf al lan ului l , astfel d ( z , w) = min{d (w, r ) r l}. În acest caz încât
e(w) d (w, z ) + max{d ( z , x ) + d ( z , y )} > k . Din cele demonstrate rezult c vârful v este vârful cu excentricitatea cea mai mic . Deci r (G ) = e(v ) = k = d / 2 . 2. p = 2k + 1 . În acest caz exist dou vârfuri v, v' ale l, astfel încât d ( x, v ) = d (v, y ) 1 i lan ului 58
d ( y, v') = d ( x, v ) 1 . Vom determina e(v ) . Din acelea i considerente de mai sus ob inem c pentru orice vârf t al arborelui, care nu apar ine lan ului l , avem d (v, t ) < k + 1 . Atunci excentricitatea vârfului v este e(v ) = max{d (v, s ) s X } = max{d (v, x ), d (v, y )} = k + 1 . Pentru orice alt vârf q l are loc inegalitatea e(q ) = max{d ( x, q ), d ( y, q )} > k + 1 . Dac z . l , atunci ca i în cazul 1., ob inem e( z ) > k + 1 . Deci r (G ) = [d / 2] + 1 . Din cele demonstrate ob inem imediat rela ia d +1 . r (G ) = 2 58. Afirma ia din problem nu este adev rat . Drept exemplu poate servi un graf vârfurile c ruia genereaz un ciclu elementar. 59. Demonstra ia este con inut în rezolvarea problemei 57. Cu toate acestea vom prezenta o metod iterativ pentru a ar ta c orice arbore are fie un vârf central fie dou vârfuri centrale adiacente. Evident, pentru arborii cu un vârf sau cu dou vârfuri afirma ia este adev rat . Fie G = ( X ,U ) un arbore i T 1 X mul imea vârfurilor suspendate ale lui G . Pentru orice v X are loc egalitatea e(v ) = max{d (v, v') v' T }. Dac elimin m din G toate vârfurile lui T i not m cu G ' arborele rezultat, putem afirma c excentricitatea oric rui vârf din G ' va fi cu o unitate mai mic decât excentricitatea aceluia i vârf din G . De aici drept consecin imediat ob inem c mul imea centrelor lui G coincide cu mul imea centrelor lui G ' . Dac iter m acest procedeu, atunci vom ob ine un ir finit de arbori G , G ' , G ' ' ,... to i având aceea i mul ime de centre cu G . Ultimul arbore nevid din acest ir va avea fie un vârf, fie dou vârfuri care sunt totodat i centrele lui. Prin urmare G are 59
fie un centru, fie dou centre adiacente. 60. Pentru graful planar cu trei vârfuri afirma ia din problem este, evident, adev rat . Admitem c afirma ia este adev rat pentru orice graf triangulat cu n = p 3 vârfuri. S consider m cazul când n = p + 1 . E cunoscut faptul c orice graf planar con ine cel pu in patru vârfuri de grad cel mult 5 (vezi problema 42). Pe de alt parte, deoarece graful planar este triangulat, el nu con ine vârfuri de grad mai mic decât 3. Deci exist xi X , astfel încât 3 g ( xi ) 5 . Consider m o colorare arbitrar a lui G = ( X ,U ) cu trei culori a, b, c . În aceast colorare vârful xi are una din cele trei culori. Not m prin G ' graful care se ob ine din G prin eliminarea vârfului xi i a muchiilor incidente, iar prin C frontiera fe ei formate dup aceast eliminare. Triangul m ciclul C i not m graful ob inut prin G ' ' . Printr-o verificare simpl ne putem convinge c paritatea num rului de fe e noi, ob inute dup triangulare i care sunt colorate corect, coincide cu paritatea num rului de muchii ale ciclului C care au extremit ile colorate în culorile a i b . Deoarece G ' ' este un graf planar triangulat care are p vârfuri îi putem aplica ipoteza induc iei. Deci num rul fe elor colorate din G ' ' este par. De aici, inând seama de cele spuse mai sus rezult c num rul fe elor colorate corect în G este par. 61. Pentru harta respectiv vom construi un graf neorientat G = ( X ,U ) , în care mul imea de vârfuri X corespunde regiunilor conexe din plan determinate de intersec ia cercurilor, iar dou vârfuri sunt adiacente, dac regiunile respective au frontier comun (preciz m c dac dou cercuri sunt tangente exterior, atunci nu se consider c regiunile m rginite de aceste cercuri au frontier comun ). Se poate ar ta u or c graful astfel construit nu con ine cicluri de lungime 60
impar . Deci el este bipartit i poate fi colorat corect cu dou culori. 62. Vom demonstra afirma ia prin induc ie dup num rul de vârfuri n din G . Evident pentru n 5 inegalitatea (G ) 5 este adev rat . Admitem c (G ) 5 pentru orice graf G ce con ine n 5 vârfuri. Fie G = ( X ,U ) un graf planar cu n + 1 vârfuri. În G exist un vârf v de grad cel mult 5 (vezi problema 42). Not m cu A mul imea 4(v ) i cu G1 graful care se ob ine din G prin eliminarea lui v i a muchiilor incidente cu v . Conform induc iei matematice (G ) 5 . S consider m o colorare (G ) 5 . Dac la corect a lui G1 cu culorile ci , 1 i colorarea vârfurilor din mul imea A nu a fost folosit o culoare c j , atunci atribuind aceast culoare vârfului v , ob inem o
colorare corect
a lui G în
(G1 )
5 culori. R mâne s
analiz m situa ia când A = 5 i pentru colorarea vârfurilor din A s-au folosit în G1 exact 5 culori. Not m prin v1 , v 2 , v3 , v 4 , v5 vârfurile mul imii A i presupunem c G este desenat în plan, astfel încât oricare dou muchii distincte nu au puncte interioare comune. F r a pierde din generalitate putem considera c vi
este colorat în culoarea ci (1 i 5) i {v} genereaz subgraful din figura 13. Not m prin G13 subgraful grafului G1 generat de toate vârfurile colorate cu c1 sau c3 . Dac v1 i v3 se afl în componente conexe diferite din G13 , atunci în componenta ce Figura 13 61
con ine pe v1 , color m cu c1 toate vârfurile care au fost colorate cu c3 i cu c3 toate vârfurile care au fost colorate cu c1 . Vom ob ine o colorare corect în cinci culori a grafului G1 , în care pentru vârfurile lui A se folosesc doar patru culori c 2 , c3 , c 4 , c5 . Atribuind lui v culoarea c1 , G va fi colorat corect cu cinci culori. Dac v1 i v 2 se afl în aceea i component conex a lui G13 , atunci exist un lan între ele, care are vârfurile colorate alternativ numai în culorile c1 i c3 . Acest lan împreun cu v formeaz un ciclu în interiorul c ruia se afl numai unul din vârfurile v 2 i v 4 (preciz m c ne referim la interiorul mul imii din plan a c rei frontier este ciclul respectiv). Deci v 2 i v 4 sunt în mod sigur în componente conexe diferite în G24 , unde G24 este subgraful lui G1 generat de vârfurile colorate numai cu c 2 i c 4 . Procedând ca mai sus se poate ob ine o colorare corect a lui G în cinci culori, în care v va fi colorat cu c 2 . 63. Fie (G ) = 5 . Deoarece graful G este critic i
S
1 , rezult
c
exist
r
1 , astfel încât
(G( X \ S )) =
= (G ) r = 5 r (prin G ( X \ S ) se noteaz subgraful lui G , generat de mul imea X \ S ). Mai mult, colorarea grafului G poate fi ob inut din colorarea grafului G ( X \ S ) , la care se adaug o singur culoare pentru toate vârfurile din mul imea stabil interior S . Deci (G ) = 5 = 5 r + 1 , de unde ob inem r = 1 . Prin urmare are loc egalitatea (G ( X \ S )) = (G ) 1 . 64. a) Demonstr m inegalitatea prin induc ie dup n . Pentru n = 1 i n = 2 din reprezentarea lui K n se deduce
(G ) + (G ) = n + 1 .
62
Presupunem c inegalitatea este adev rat pentru orice graf cu cel mul n 1 vârfuri i consider m un graf G cu n vârfuri. Fie i X . Atunci (G ) (G {} i )+1 i (G ) (G {}i ) + 1 . Dac cel pu in o inegalitate este strict , atunci din ipoteza de induc ie dup însumarea lor se ob ine rezultatul. (G ) = (G {}i ) + 1 , (G ) = (G {} i )+1 i Dac atunci num rul de vârfuri adiacente lui i în grafurile complementare G i G este cel pu in (G {} i ) respectiv (G {}i ). Pe de alt parte suma gradelor lui i în G i G este n 1 i atunci (G ) + (G ) = (G {} i ) + (G {} i )+ 2 n 1 + 2 = n +1. b) Rela ia cerut se ob ine folosind inegalitatea (G ) (G ) ( (G ) + (G ))2 . precedent i inând seama c c) Not m (G ) cu k , i cu ni num rul de vârfuri ale grafului G colorate cu culoarea i . De asemenea fie N 0 i N 1 num rul de elemente din matricea de adiacen a lui G egale cu 0 respectiv 1. Deoarece între vârfurile colorate cu aceea i culoare nu exist muchii, atunci în matricea de adiacen pentru fiecare culoare i exist ni2 elemente nule. Deci N0
n + n + ... + n 2 1
2 2
(n1 + n2 + ...nk )2
2 k
k
2
=
n2 . k
n , ceea ce conduce la rezultat, adic k 2 (G ) = k 2 n . n 2m 65. Presupunem c arborele considerat are numai un singur vârf terminal v , adic g (v ) = 1 i g (v') > 1 pentru orice
Îns n 2 = N 0 + N 1
2m +
63
v' X \ {v}. Se tie c n
2m = ' g (i ) 1 + 2(n 1) = 2n 1 . i =1
Pe de alt parte, deoarece orice arbore cu n vârfuri are n 1 muchii, avem 2m = 2(n 1) = 2n 2 . În concluzie 2n 2 2n 1 , ceea ce este absurd. 66. Vom demonstra aceast proprietate prin induc ie dup num rul de vârfuri ale lui G . Dac G are dou vârfuri, atunci proprietatea este evident . S presupunem c ea este adev rat pentru orice arbore cu n vârfuri i fie G un arbore cu n + 1 vârfuri. G con ine un vârf xi de grad 1, adiacent cu x j . Vom elimina din G vârful xi i muchia (xi , x j ) . Arborele Gi ob inut în acest mod are n
vârfuri. Fie G1 ,..., G p o familie de subarbori ai lui G astfel încât fiecare doi un vârf comun. Prin suprimarea lui xi i a muchiei
(x , x ) vom ob ine o familie de subarbori i
j
G1i ,..., G ip ai lui Gi
care p streaz aceast proprietate. Într-adev r, dac Gk i Gr au în comun un vârf v xi , atunci acesta va r mâne comun i pentru Gki i Gri , iar dac vârful comun este xi , atunci este evident c i x j este comun pentru perechile de arbori Gk i Gr i respectiv Gki i Gri . Aplicând ipoteza induc iei pentru familia G1i ,..., G ip , ob inem c aceast familie are un vârf comun i deci subarborii G1 ,..., G p au i ei aceast proprietate. Unica situa ie care nu a fost luat în discu ie este aceea când în familia G1 ,..., G p unul
64
dintre subarbori este format numai din vârful xi . În acest caz, din propriet ile familiei v-a rezulta imediat c xi este comun tuturor subarborilor. 67. " - " este evident , deoarece
n
'd i =1
i
= 2m = 2 n 2 .
Pentru demonstrarea implica iei reciproce vom folosi induc ia dup n . Pentru n = 2 vom ob ine rela ia d1 + d 2 = 2 i din rela ia 0 < d1 d 2 rezult imediat c d1 = d 2 = 1 . Pentru acest caz putem construi cu u urin arborele care con ine dou vârfuri i o singur muchie. S presupunem proprietatea adev rat pentru n 1 numere i s o demonstr m pentru d1 ,..., d n cu n 3 i n
'd i =1
i
= 2n 2 .
Afirm m c
d1 = 1 . Într-adev r, dac am presupune c
2 , atunci ar rezulta c
d1
n
'd i =1
i
2n > 2n 2 , ceea ce ar fi
absurd. De asemenea este clar c d n > 1 . În caz contrar am avea n
'd i =1
i
= n < 2n 2 .
Deci putem scrie d 2 + d 3 + ... + d n 1 + (d n 1) = 2n 4 = 2(n 1) 2 . Conform ipotezei induc iei exist un arbore A cu n 1 vârfuri i având gradele vârfurilor d 2 , d 3 ,..., d n 1 . Asupra lui A facem transformarea: se adaug un vârf care s aib gradul 1 i s fie adiacent cu vârful de grad d n 1 al lui A . Arborele astfel ob inut are propriet ile cerute în enun .
65
68. Fie n ordinul arborelui G . Dup cum se tie, în orice graf are loc rela ia ' g ( x i ) = 2m . xi X
În cazul arborilor G aceast rela ie devine: g1 + 2 g 2 + 3g 3 + ... + (n 1)g n 1 = 2n 2 . Deci g1 + 2 g 2 + 3(g 3 + g 4 + ... + g n 1 ) 2n 2 = 2( g1 + ...g n 1 ) 2 , adic g1 + 2 g 2 + 3 g 2 g 1 + 2 g 2 + 2 g 2 , ceea ce este echivalent cu g1 g + 2 . S observ m c egalitatea are loc când g i = 0 (i 4 . 69. Garful fiind arbore este conex i deci între oricare dou vârfuri ale sale exist un singur lan . Cum diametrul arborelui este cel pu in 2k 3 , rezult c exist cel pu in un lan (în arbori toate lan urile sunt elementare) L care trece prin 2k 2 vârfuri. S not m extremit ile lan ului L prin xi i x j .
Fie p
X . Not m cu L pi i L pj lan urile, din arborele
dat, dintre vârfurile p i i , respectiv dintre p i j . Deoarece între oricare dou vârfuri ale arborelui exist un singur lan , deducem c L pi con ine o parte a lan ului L , iar L pj con inea cealalt parte a lui L . Cum L are lungimea mai mare sau egal cu 2k 3 , înseamn c cel pu in una din cele dou p r i ale lui L are lungimea mai mare sau egal cu k 1 . Deci dac diametrul arborelui este egal cu 2k 3 i muchia de mijloc a lan ului L une te vârfurile s i t , atunci pentru fiecare p X {s, t } cel pu in unul dintre lan urile L pi i L pj are lungimea mai mare sau egal cu k . Adic din vârful p exist cel pu in un lan cu lungimea k .
66
Pentru vârfurile p din X L exist cel pu in n (2k 2) lan uri distincte de lungimea k . Pentru vârfurile p din L exist cel pu in k 2 lan uri distincte de lungime k (alegând p de la i la s , celelalte k 2 lan uri de lungime k corespunz toare alegerii lui p de la t la j coincid cu primele, diferen a fiind aceea c parcurgerea muchiilor se face în ordine invers ). În concluzie num rul minim de lan uri de lungime k este n 2k + 2 + k 2 = n k . 70. Fiecare component conex con ine un arbore par ial, deci are loc mi ni 1 , unde mi i ni reprezint num rul de muchii, respectiv de vârfuri din componenta conex cu num rul i , 1 i p . Însumând dup i se ob ine rela ia cerut . 71. Între oricare dou vârfuri ale unui arbore exist un lan unic care le une te. Subgraful indus de B nu con ine cicluri, deoarece nici A nu con ine cicluri. Dac x, y B i x y atunci x , y sunt vîrfuri ale fiec rui subarbore A1 ,..., A p , deci fiecare din ace ti
subarbori con in lan ul unic ( x, z1 ,..., z k , y ) care îl une te pe x cu y în A . Deci z1 ,..., z k X 1 ,... X p sau z1 ,..., z k B , ceea ce
demonstreaz c subgraful indus de mul imea de vârfuri B este conex, deci este arbore ( X i , (i = 1, p este mul imea de vârfuri a arborelui Ai ). 72. Dac arborele G are mul imea vârfurilor X de cardinal n , atunci el are n 1 muchii. Deci în suma ' d ( x, y ) exist exact n 1 termeni egali x, y X
cu 1 , restul termenilor nenuli fiind egali cu cel pu in 2 . Dac G
67
este o stea (graful K 1,n 1 ), to i termenii diferi i de 0 (pentru x = y ) i de 1 au valoarea 2 . Dac G nu este stea, exist cel pu in un termen egal cu 3 , deci minimul c utat se atinge numai pentru arborele K 1,n 1 . Pentru a g si maximul acestei sume s
ar t m c s (x) este maxim în mul imea vârfurilor terminale ale unui arbore numai atunci când arborele G este un lan i x este una din extremit ile sale. Dac L este un lan cu n vârfuri, x fiind una dintre extremit i, atunci avem s ( x) = 1 + 2 + ... + (n 1) . G fiind un arbore i x un vârf terminal cu e( x) = d , va exista cel pu in câte un vârf la distan a 1,2,..., d de x . Einând seama de defini ia lui s (x) , rezult c suma care define te pe s (x) are forma: s ( x) = 1 + 2 + ... + d + d1 + ... + d n 1 d , unde d1 ,..., d n 1 d d . Comparând cu expresia lui s (x) în cazul lan ului L , g sim c maximul lui s (x) se atinge numai în cazul când d = n 1 , adic G este un lan i x este una dintre extremit ile sale. S demonstr m prin induc ie dup n c în mul imea arborilor G cu n vârfuri X ' d ( x, y ) este maxim x, y X
atunci când G este un lan . Pentru 1 n 3 proprietatea este imediat , deoarece orice arbore cu cel mult 3 vârfuri, este un lan . S presupunem c proprietatea este adev rat pentru to i arborii cu cel mult n 1 vârfuri i fie G un arbore cu n vârfuri care formeaz mul imea X . Dac a este un vârf de gradul 1 al arborelui G , atunci: ' d ( x, y ) = s ( a ) + ' d ( x, y ) , x, y X
x, y Y
unde Y = X \ {a} . Primul termen s (a ) este maxim numai dac G este un
68
lan i a este una din extremit ile sale. În acest caz, în baza induc iei (aplicat subarborelui cu mul imea Y de n 1 vârfuri) i al doilea termen este maxim. 73. 1) S not m cu G x subgraful ob inut din G prin suprimarea vârfului x i a muchiilor incidente cu x . Deoarece G este arbore, rezult c G x nu este conex i y i z se g sesc în componente conexe diferite ale lui G x , care con in respectiv k1 i k 2 vârfuri. Avem k1 + k 2 n 1 . Din defini ia func iei s (x) rezult c deplasându-ne de la x la y ne apropiem cu o unitate de k1 vârfuri, dar ne dep rt m cu câte o unitate de n k1 vârfuri. Deci putem scrie: s ( x ) = s ( y ) + k1 ( n k1 ) = s ( y ) + 2 k1 n . În mod analog g sim: s ( x ) = s ( z ) + 2k 2 n , care prin sumare ne dau: 2s( x) = s( y ) + s ( z ) + 2(k1 + k 2 n) s ( y ) + s( z ) 2 . 2) S presupunem, prin reducere la absurd, c exist x i y astfel încât dou vârfuri neadiacente s ( x) = s ( y ) = minimum. Fie x, x1 , x 2 ,..., x p , y lan ul (unic) care une te în arbore
[
]
vârfurile x i y cu p 1 . Conform ipotezei s ( x1 ) s ( x) . Inegalitatea demonstrat la 1) ne conduce la: s ( x) + s ( x 2 ) > 2s ( x1 ) s ( x1 ) + s ( x) , deci s ( x 2 ) > s ( x1 ) s ( x) . La fel: s ( x1 ) + s ( x3 ) > 2s ( x 2 ) > s ( x1 ) + s ( x 2 ) , 69
deci s ( x3 ) > s ( x 2 ) > s ( x1 )
s( x)
.a.m.d. În final g sim s ( y ) > ... > s ( x1 ) s ( x) , ceea ce contrazice egalitatea s ( x) = s ( y ) , deoarece p 1 . Punctele în care s (x) î i atinge minimul formeaz baricentrul arborelui G . Considerând un lan cu un num r impar (respectiv par) de vârfuri, se observ c baricentrul poate fi format dintr-un singur vârf sau din dou vârfuri adiacente. S consider m arborele, format de un lan cu vârfurile x1 , x2 ,..., x p i de vârfurile y1 , y2 ,..., yq , incidente cu x1 . Se
observ cu u urin c dac p este par, atunci centrul arborelui astfel ob inut este vârful x p . 2
#p q este sificient de mare, de exemplu q = ! , "2 baricentrul arborelui este x1 , iar distan a dintre centru i p baricentru este 1 i poate lua valori oricât de mari pentru p 2 suficient de mare. 74. Vom demonstra proprietatea prin induc ie dup num rului vârfurilor. Dac X = 1 sau 2 proprietatea este
Dac
imediat . S presupunem c proprietatea este adev rat p entru orice arbore cu cel mult n 1 vârfuri i s o demonstr m pentru un arbore G cu n 3 vârfuri. Dac f este o bijec ie, atunci f ( x ) f ( y ) pentru orice x y i ( x, y ) U implic ( f (x ), f ( y )) U , deci f este un automorfism a lui G . Orice vârf suspendat este deci aplicat de f tot într-un vârf suspendat.
70
Dac not m prin G ' subarborele ob inut din G prin suprimarea tuturor vârfurilor suspendate, rezult c G ' este nevid, deoarece n 3 . Notând cu X ' mul imea vârfurilor lui G ' , rezult c f ( X ') = X ' i restric ia lui f la X ' are acelea i propriet i ca f . Deci f ' ( i în consecin f ) are un punct fix
sau o muchie fix , conform ipotezei de induc ie ( X '
n 2 ).
Dac f nu este o bijec ie, atunci f ( X ) este o submul ime proprie de vârfuri ale lui G . Aceste vârfuri induc un subgraf conex a lui G (din condi ia impus lui f ), deci f ( X ) este mul imea vârfurilor unui arbore i f ( X )
n 1.
Deoarece f ( f ( X )) 1 f ( X ) , putem considera restric ia lui f la subarborele generat de mul imea de vârfuri f ( X ) , care are acelea i propriet i ca i f . Conform ipotezei de induc ie, aceast restric ie, deci i f , are un punct fix sau o muchie fix . Proprietatea nu este adev rat dac G con ine cicluri. De exemplu, dac G = K 3 i con ine vârfurile x, y, z , s definim f ( x ) = y, f ( y ) = z , f ( z ) = x . În acest caz aplica ia f nu are nici puncte fixe, nici muchii fixe. 75. Am v zut c orice arbore are un vârf central u sau dou vârfuri centrale adiacente u i v . Vom demonstra prin induc ie dup num rul m al vârfurilor din X c dac arborele A are un singur vârf central u , atunci f (u ) = u i dac A are dou vârfuri centrale u i v , atunci f (u ) = u i f (v ) = v sau f (u ) = v i f (v ) = u . Deoarece bijec ia f p streaz adiacen a vârfurilor, rezult c vârfurile x i f ( x ) au acela i grad în arborele A . Dac m = 1 arborele se reduce la vârful central u i f (u ) = u , pentru m = 2 arborele se reduce la dou vârfuri centrale adiacente u i v i proprietatea este deasemenea 71
adev rat . S presupunem c proprietatea este adev rat pentru to i arborii cu cel mult m 1 vârfuri ( m 3 ) i fie A un arbore cu m vârfuri. Dac x1 ,..., xr sunt toate vârfurile suspendate ale arborelui A , rezult c f ( x1 ),..., f ( x2 ) sunt vârfuri de gradul unu, deci constituie o permutare a mul imii vârfurilor suspendate. Dac consider m restric ia func iei f la mul imea vârfurilor de grad cel pu in 2 ale lui A : g : X r % X r , X r = X \ {x1 ,..., xr }
i g ( x ) = f ( x ) pentru orice x X r , rezult c g este un automorfism al subarborelui Ar al lui A cu mul imea de vârfuri X r . Îns A i Ar au acelea i centre. Aplicând ipoteza de induc ie, ob inem c A are un singur vârf central u i g (u ) = f (u ) = u , sau A are dou vârfuri centrale adiacente u i v i g (u ) = f (u ) = u , g (v ) = f (v ) = v , sau g (u ) = f (u ) = v i g (v ) = f (v ) = u . Deci proprietatea men ionat este adev rat pentru orice m . Deoarece trebuie s ar t m c f are un punct fix, singurul caz care trebuie studiat este cazul când A are dou vârfuri centrale adiacente u i v i f (u ) = v , f (v ) = u . S not m prin Au i Av subarborii ob inu i din A prin suprimarea muchiei (u , v ) i care con in vârfurile u , respectiv v . Dac u1,..., us sunt vârfurile incidente cu u în arborele Au , atunci deoarece f p streaz adiacen a în arborele A , rezult c f (u1 ),..., f (us ) sunt vârfuri adiacente cu v în subarborele Av , .a.m.d. Deci, dac not m cu X u i X v mul imile de vârfuri ale f (X u ) = X v . arborilor Au , respectiv Av atunci rezult c Restric ia func iei f pe mul imea X u , notat h : X u % X v , unde h( x ) = f ( x ) pentru orice x X u , este o bijec ie i [x, y ] este o 72
muchie în arborele Au dac i numai dac (h(x ), h( y )) este o muchie în arborele Av . Deci h este un izomorfism al arborilor Au i Av . Rezult c Au i Av au un acela i num r de vârfuri,
ceea ce implic
X = X u + X v = 2 X u , adic
X este num r
par. Dar am presupus c
X = 2n + 1 . Rezult c situa ia când
f (u ) = v i f (v ) = u este imposibil . Deci f are cel pu in un punct fix. 76. Din arborele G vom ob ine o arborescen considerând vârful x1 r d cin i orientând toate muchiile arborelui astfel încât în orice vârf s soseasc un singur drum care porne te din x1 . În acest mod am definit o rela ie de ordine par ial pe mul imea X : vom scrie xi x j dac drumul unic de la x1 la x j con ine vârful xi . Dac definim matricea Z = ( z ij ) i , j xi
xj
1,..., n
prin: z ij = 1 dac
i z ij = 0 în caz contrar. Elementele din X pot fi
renumerotate astfel încât Z s aib o form superior diagonal cu z ii = 1 pentru i = 1,..., n . Deci det Z = 1 . Vom nota: 1 L 1 #0 1 ! 2 0 L 0 !1 A = !1 0 2 L 0 ! !M !1 0 L 2 " i vom ar ta c Z T AZ = D . Într-adev r, elementul din linia i
73
i coloana j ale
matricii Z T AZ este n
n
cij = '' z ki a kl z lj = k =1 l =1
' 'a
kl
.
x k xi xl x j
Dar a kl 0 numai pentru k = l , sau k = 1 , sau l = 1 , deci putem scrie: cij = ' ( 2 ) + '1 + '1 , x k xi , x j
xkl xi
xl x j
deoarece x1 xi pentru orice i = 1,..., n . Notând cu x r ultimul vârf comun al drumurilor de la x1 la xi i respectiv de la x1 la x j , la care ajungem plecând din x1 , putem scrie: cij = 2(d (x1 , x r ) + 1) + (d ( x1 , xi ) + 1) + (d (x1 , x j ) + 1) = = d ( x1 , xi ) + d (x1 , x j ) 2d ( x1 , x r ) = d (xi , x j ).
Deci am ar tat c Z T AZ = D i în concluzie det D = det A . Adunând pe rând coloanele a II-a, a III-a, …, a na la prima coloan a matricii A i dezvoltând matricea ob inut dup prima coloan , deducem: n 1 n 2 det A = (n 1)( 2 ) det A , deci det A = (n 1)( 2 ) . 77. S presupunem c vârfurile suspendate sunt fixate i ele sunt x1 ,..., x p . Deoarece d 1 = .. = d p = 1 , num rul c utat este:
' ) (d
(d p +1 ,..., d n
(n p +1
2)! (n 2)! = ' 1)!...(d n 1)! (k p +1 ,...,k n ) k p +1!...k n !
unde prima sum se face dup toate valorile d p +1 ,..., d n 2 i d p +1 + ... + d n = 2n 2 k p +1
(1) p.
A II-a sum se ob ine prin schimbarea de variabile = d p +1 1,..., k n = d n 1 , deci k p +1 ,..., k n 1 i
k p +1 + ... + k n = n 2 . Num rul 74
(n
2)! k p +1!...k n ! reprezint num rul de moduri de a plasa n 2 obiecte în n p c su e astfel încât prima c su s con in k p +1 obiecte, …, c su a cu num rul n p s con in k n obiecte. Deoarece k i 1 pentru i = p + 1,..., n , acest num r reprezint de asemenea f : X % Y , unde
num rul func iilor surjective
Y =n f
cu
1
p,
( yi ) = k i
i
dac
not m
1 pentru p + 1 i
num rul
func iilor
X = n 2,
Y = {y p +1 ,..., y n },
avem
n . Deci suma (1) este egal
surjective
sn
2, n p
=
= (n p )! S (n 2, n p ) , unde S (n 2, n p ) este num rul lui Stirling de spe a a doua. Deoarece cele p vârfuri terminale nu sunt specificate, ele pot fi alese din mul imea celor n vârfuri în CnP moduri. Deci num rul arborilor cu n vârfuri, dintre care p vârfuri au gradul unu, este egal cu: n! CnP (n p )! S (n 2, n p ) = S (n 2, n p ) . p! 78. a) Fie f (n ) num rul de posibilit i c utat. Ob inem f (1) = 1 i f (2) = 2 , corespunz tor alegerii muchiei ( x1 , y1 ) sau respectiv a muchiilor ( x1 , x2 ) i ( y1 , y2 ) , sau (x1 , y1 ) i (x2 , y2 ) . Dac graful-scar are 2n vârfuri, putem alege fie muchia (x1 , y1 ) i pentru muchiile r mase mai r mân f (n 1) posibilit i de alegere, fie muchiile ( x1 , x2 ) i ( y1 , y2 ) i pentru muchiile r mase mai r mân f (n 2) posibilit i de a fi alese.
75
Astfel ob inem: f (n ) = f (n 1) + f (n 2 ) , rela ie care împreun cu valorile ini iale f (1) = 1 i f (2) = 2 ne arat c f (n ) = Fn , care este termenul al n -lea al irului Fibonacci. b) Dac not m num rul arborilor par iali ai grafului scar cu g (n ) , ob inem g (1) = 1 , dac arborele par ial const din (x1 , y1 ) , i g (2) = 4 arbori care se ob in din ciclul cu patru vârfuri dac suprim m pe rând câte o muchie a ciclului. Pentru a stabili o rela ie de recuren pentru numerele g (n ) , s consider m un graf ca cel din figura 6 cu 2n + 2 vârfuri: x1 , y1 ,..., x n+1 , y n +1 . Mul imea arborilor s i par iali se poate scrie sub forma A1 U A2 U A3 U A4 , unde A1 este mul imea arborilor par iali care nu con in muchia (x1 , x2 ) , A2 este mul imea arborilor par iali care nu con in muchia ( x1 , y1 ) , A3 este mul imea arborilor par iali care nu con in muchia ( y1 , y2 ) i A4 este mul imea arborilor par iali care con in muchiile ( x1 , x2 ), ( x1 , y1 ), ( y1 , y2 ) i nu con in muchia (x2 , y2 ) . Este clar c aceste mul imi sunt disjuncte dou câte dou . Dac , de exemplu, ar exista un arbore par ial din A1 I A2 , aceasta nu ar con ine muchiile ( x1 , x2 ) i ( x1 , y1 ) , deci vârful x1 ar fi izolat, ceea cear contrazice defini ia unui arbore par ial. A1 = A2 = A3 = g (n ) , deoarece pentru Ob inem
subgraful format din vârfurile x 2 , y 2 ,..., x n+1 , y n +1 avem g (n )
posibilit i de a mai forma arbori par iali. Notând A4 = h(n + 1) ,
deducem:
g (n + 1) = 3g (n ) + h(n + 1) 76
(1)
Îns considerând graful din figura 6 cu 2n vârfuri, notate: x 2 , y 2 ,..., x n+1 , y n +1 , mul imea arborilor s i par iali se poate scrie sub forma: B1 U B2 , unde B1 este mul imea arborilor par iali care nu con in muchia ( x2 , y2 ) i B2 este mul imea arborilor par iali care con in muchia ( x2 , y2 ) .
Deci g (n ) = B1 + B2 , deoarece B1 I B2 = O/ . Dar
B1 = g (n 1)
i
B2 = A4 , deoarece exist
o
bijec ie între aceste dou mul imi definit astfel: pentru fiecare arbore par ial din B2 , care, eviden,t con ine muchia ( x2 , y2 ) , se înlocuie te aceast muchie printr-un lan de lungime egal cu 3, având acelea i extremit i: [x 2 , x1 , y 2 , y 4 ] i se ob ine un arbore par ial din A4 . Este clar c astfel se ob ine o bijec ie, i deci: g (n ) = g (n 1) + h(n + 1) , de unde, inând cont de (1), deducem recuren a: g (n + 1) = 4 g (n ) g (n 1) . (A) Ecua ia caracteristic a rela iei este: r 2 4r + 1 = 0 , 3. cu solu iile r1 = 2 + 3 i r2 = 2 Deci solu ia general a recuren ei (A) are forma: g (n ) = C1 r1n + C 2 r2n , unde r1 i r2 se determin din sistemul:
(
) ( 3 ) + C (7
C1 2 + 3 + C 2 2
(
) 3) = 4 ,
3 =1
C1 7 + 4 4 2 1 1 care are solu iile C1 = i C2 = . 2 3 2 3 n 1 # Deci g (n ) = 2 3 ! 2+ 3 2 3"
(
) (
77
)
n
.
79. Dac graful G are un ciclu eulerian, atunci G este conex i are gradele pare, deoarece la fiecare trecere printr-un vârf se utilizeaz dou muchii. Reciproc, dac G este conex i are gradele pare, muchiile sale pot fi orientate astfel încât s se ob in un graf orientat, care verific d + ( x ) = d ( x ) pentru orice vârf x . N acest caz graful orientat ob inut are un circuit eulerian, care corespunde unui ciclu eulerian în graful G . Graful G este conex i are 2k vârfuri de grad impar (k 1) . S not m cu G1 graful ob inut din G prin ad ugare unui nou vârf, pe care îl unim prin muchii cu toate cele 2k vârfuri de grad impar ale lui G . Rezult c G1 este conex i are gradele pare, deci are un ciclu eulerian. Suprimând vârful ad ugat i cele 2k muchii incidente cu acesta, ciclul eulerian se descompune în k lan uri disjuncte dup muchii, care acoper toate muchiile lui G. S observ m c , deoarece suma gradelor vârfurilor unui graf este un num r par, rezult c num rul vârfurilor de grad impar este par. 80. S presupunem prin reducere la absurd c G nu este conex i fie C1 o component care nu con ine vârful x n . Fie
C1 = k i xi1 ,..., xik vârfurile pe care le con ine, unde:
1 i1 < ... < i k < n . Componenta care îl con ine pe x n con ine toate vârfurile adiacente cu x n , deci ea con ine cel pu in d n + 1 vârfuri. Rezult : k = C1 n (d n + 1) . Deoarece k ik i vârfurile adiacente cu xik se g sesc toate în componen a C1 , ob inem d k d ik k 1 . Am ajuns la
78
o contradic ie, deoarece, conform ipotezei, k n d n 1 implic d k k . Deci proprietatea este demonstrat . 81. S ar t m mai întâi c G con ine un graf par ial A care este arbore. Dac G nu con ine cicluri, G este un arbore i vom lua A = G . În caz contrar G con ine cel pu in un ciclu C1 . Vom suprima o muchie oarecare u1 a ciclului C1 . Ob inem un graf par ial G1 al lui G . Dac G1 nu con ine cicluri, atunci vom lua A = G1 , deoarece în acest caz G1 este conex i nu con ine cicluri, deci este arbore. În caz contrar suprim m o muchie u 2 a unui ciclu g 2 al lui G1 , .a.m.d. Acest proces nu poate continua pân la infinit, deoarece G con ine cel mult C n2 muchii. În final ob inem un graf conex f r cicluri GT i definim A = GT . Se tie c orice arbore A are cel pu in un vârf suspendat x1 . Dac k = n , atunci vom considera H = G . În caz contrar, în arborele A , vom suprima vârful x1 i muchia incident cu x1 , ob inând un nou arbore A1 . Repetând acest procedeu ajungem s elimin m vârfurile x1 , x 2 ,..., x n k , ob inând un arbore An k cu k vârfuri. Subgraful H îl alegem ca fiind subgraful indus de cele k vârfuri ale arborelui An k . H este conex, deoarece con ine arborele par ial An k cu aceea i mul ime de vârfuri, care este conex. 82. Vârful de grad 9 trebuie s fie adiacent cu toate celelalte vârfuri ale grafului, deci i cu vârfurile de grad 1. Rezult c vârful de grad 7 poate fi adiacent cu numai 9 3 = 6 vârfuri, ceea ce este absurd. Deci nu exist un graf cu proprietatea cerut . 83. Necesitatea condi iei este imediat , deoarece d1 + ... + d n este dublul num rului de muchii, deci este num r 79
par i d n d1 + ... + d n 1 , deoarece orice muchie incident cu x n mai este incident cu unul din vârfurile r mase, dac d n = d (x n ) . Vom demonstra suficien a condi iei prin induc ie dup d 1 + ... + d n . Dac d1 + ... + d n = 2 , atunci rezult c d1 = ... = d n 2 = 0 i d n 1 = d n 1 . Deci graful c utat con ine o muchie i n 2 vârfuri izolate. S presupunem proprietatea adev rat pentru toate irurile de numere d 1 ,..., d n care verific a) i b) i în plus d 1 + ... + d n 2d (d 2) . Fie acum d1 + ... + d n = 2d + 2 , iar condi iile a) i b) verificate. Vom studia dou cazuri: I. Are loc rela ia d n 2 < d n . Rezult c d n 1 este cel mai mare din irul d1 , d 2 ,..., d n 2 , d n 1 1, d n 1 i r mâne s verific m condi iile: c) d 1 + ... + d n 2 + (d n 1 1) + (d n 1) * 0 (mod 2 ) , d) d1 + ... + d n 2 + d n 1 1 d n 1 , care rezult imediat din a) i b). II. Are loc egalitatea d n 2 = d n . Rezult d n 1 = d n . Condi ia c) este de asemenea îndeplinit i condi ia b) devine: e) d1 + ... + d n 3 + (d n 1 1) + (d n 1) d n 2 , deoarece d n 2 = max(d 1 ,..., d n 3 , d n 1 1, d n 1) . Îns condi ia e) are loc. Într-adev r, dac d n 2 = 1 , condi ia a) implic faptul c membrul stâng al inegalit ii e) este impar, deci este cel pu in egal cu 1 deoarece în acest caz dn 1 = dn = 1. Dac d n 2 2 ob inem d n 1 1 + d n 1 d n 2 pentru c dn 2 = dn 1 = dn . 80
Rezult c numerele d 1 ,..., d n 2 , d n 1 1, d n 1 de sum 2d verific condi iile a) i b) i conform ipotezei de induc ie, exist un multigraf cu n vârfuri ale c rui grade formeaz irul scris. Unind printr-o nou muchie vârfurile de grade d n 1 1 i d n 1 , ob inem un graf ale c rui grade sunt tocmai d1 ,..., d n . 84. S presupunem c exist un graf G regulat de grad k cu n vârfuri. Ob inem kn = 2m , unde m este num rul de muchii ale lui G i gradul k nu poate dep i n 1 . Am g sit deci dou condi ii necesare pe care trebuie s le satisfac num rul n : a) nk * 0 (mod 2 ); b) n k + 1 . Vom demonstra c dac a) i b) sunt satisf cute, atunci exist un graf regulat de grad k cu n vârfuri. Vom distinge 2 cazuri: 1) k este par. Consider m vârfurile unui poligon regulat cu n vârfuri pe care le unim prin muchii cu vecinii lor, cu k vecinii de ordinul doi, …, cu vecinii de ordinul . Deoarece 2 k n k < n , ob inem < . Deci prin aceast construc ie fiecare vârf 2 2 are gradul k i nu apar muchii multiple. 2) k este impar. Din condi ia a) rezult c n este par. Vom desena graful regulat de grad k 1 cu n vârfuri construit ca în cazul 1. Condi ia b) ne asigur c avem: k 1 n 2 n 1, = 2 2 2 deci extremit ile celor mai lungi diagonale ale poligonului nu sunt unite prin muchii. Unind deci vârfurile diametral opuse ale poligonului prin câte o muchie, fiecare vârf va avea gradul egal k , deci ob inem un graf regulat de gradul k cu n vârfuri. 81
85. S presupunem prin reducere la absurd c pentru orice vârf x subgraful G x nu este conex. Fie L = ( x1 ,..., xm ) un lan elementar de lungime maxim în graful G . Conform ipotezei, G x1 nu este conex. S not m cu
C1 o component conex a acestui subgraf care nu con ine lan ul (x1 ,..., xm ) . G fiind conex, exist o muchie care une te un vârf y C1 cu vârful x1 , deoarece vârfurile din C1 nu pot fi unite cu vârfurile din alte componente conexe ale subgrupului G x1 .
Ob inem c y . {x 2 ,..., x m }, deci lan ul ( y, x1 ,..., xm ) este un lan elementar mai lung decât L , ceea ce contrazice ipoteza c L este un lan elementar de lungime maxim . Rezult c exist un vârf x astfel încât subgraful G x s fie conex. Dac G este un circuit elementar, prin suprimarea oric rui vârf g sim un subgraf care nu mai este tare conex, de i G are aceast proprietate. 86. Vom demonstra c a) , c) , b) , a). Pentru a ar ta c a) , c), fie G un graf 2-conex i u i v dou muchii care au o extremitate comun x . Fie y i z celelalte dou extremit i diferite de x . Deoarece G x este conex, rezult c exist un lan elementar în G x care une te y cu z . Acest lan elementar împreun cu muchiile u i v formeaz în graful G un ciclu elementar. Deci oricare dou muchii cu o extremitate comun sunt echivalente. Deoarece G este conex, rezult c aceast rela ie de echivalen are o singur clas i anume mul imea muchiilor grafului G . Deci oricare dou muchii ale lui G se g sesc pe un ciclu elementar.
82
De asemenea, din faptul c G este conex, rezult c G nu are vârfuri izolate. c) , b). Fie x , y dou vârfuri distincte ale grafului G . Conform ipotezei G nu are vârfuri izolate, deci exist dou muchii distincte u i v care sunt incidente cu x , respectiv cu y. Într-adev r, în caz contrar exist o muchie ( x, y ) i vârfurile x i y nu mai sunt adiacente cu alte vârfuri ale lui G . Dac n = 3 , acest fapt ar implica c G con ine un vârf izolat, ceea ce contrazice ipoteza. Dac n 4 , în mul imea vârfurilor r mase exist cel pu in o muchie u . Deoarece G nu are vârfuri izolate muchiile ( x, y ) i u nu se g sesc pe un ciclu elementar, ceea ce contrazice ipoteza. Deci exist dou muchii distincte u i v incidente cu x , respectiv cu y . Conform ipotezei are loc c), deci exist un ciclu elementar C care con ine pe u i v , adic pe x i y . b) , a): Deoarece oricare dou vârfuri ale lui G apar in unui ciclu elementar, rezult c exist un lan elementar care le une te, deci G este conex. S presupunem prin reducere la absurb c G nu este 2-conex, deci exist un vârf x astfel încât G x nu este conex. Fie a, b dou vârfuri situate în componente diferite ale subgrafului G x . Deoarece orice lan elementar dintre a i b în graful G trece prin x , rezult c nu poate exista un ciclu elementar în G care con ine vârfurile a i b , ceea ce contrazice b). Deci G este 2-conex i demonstra ia este încheiat . 87. Fie A = (ao , a1 ,..., ar 1 , ao ) i B = (bo , b1 ,..., br 1 , bo ) dou cicluri elementare ale grafului G de lungime maxim . S presupunem prin reducere la absurd c aceste cicluri au cel mult un vârf comun. Fie mai întâi a o = bo unicul vârf comun ale
83
celor dou cicluri. Deoarece G este 2-conex, rezult c mai exist un lan elementar cu o extremitate în mul imea de vârfuri {a1 ,..., ar 1 } i cu cealalt extremitate în mul imea {b1 ,..., br 1 }, care nu trece prin ao . Fie a p , x1 ,..., x k , bq un astfel de lan ,
[
]
unde k 0 , p, q 0 i xi nu apar ine ciclurilor A sau B pentru 1 i k . Putem considera p q . Am ob inut un ciclu elementar (ao ,..., a p , x1 ,..., xk , bq ,..., br 1 , ao ) care este mai lung decât A , ceea ce contrazice ipoteza. Fie c ciclurile A i B nu au nici un vârf comun. G fiind 2-conex, exist dou lan uri elementare f r vârfuri comune, care unesc fiecare vârf din A cu un vârf din B . Va exista un lan elementar care face parte din ciclul A , având ca extremit i extremit ile celor dou lan uri de lungime r mai mare sau egal cu . Ob inem un rezultat analog pentru 2 ciclul B . Cele dou por iuni din ciclurile A i B , împreun cu cele dou lan uri elementare care unesc un vârf din A cu un vârf din B , formeaz un ciclu elementar mai lung ca A , ceea ce contrazice ipoteza. Rezult c proprietatea este demonstrat prin reducere la absurd. 88. Num rul tripletelor {x, y, z} care nu sunt triunghiuri nici pentru G , nici pentru G i care au o singur latur cu o extremitate în vârfuri x X care s fie muchie a lui G este egal cu deg( x )(n 1 deg( x )) . Orice triplet {x, y, z} care nu este triunghi în G sau G con ine o muchie sau dou muchii ale lui G . S presupunem c (x, y ) este muchie a lui G , iar (x, z ) i ( y, z ) sunt muchii ale lui G . În suma
84
' deg(x )(n
1 deg( x ))
x XG
tripletul {x, y, z} este num rul de dou ori: o dat relativ la x i o dat relativ la y . Dac ( x, y ) i ( y, z ) sunt muchii ale lui G i ( x, z ) este
muchie a lui G , atunci în suma scris tripletul {x, y, z} este num rat tot de dou ori: o dat relativ la x i o dat relativ la z . Deci num rul triunghiurilor în G i în G este: 1 C n3 ' d (x )(n 1 d (x )) . 2x X 1) Dac G este k -regulat, aceast formul devine: nk C n3 (n k 1) . 2 2) Astfel num rul triunghiurilor în G i în G este nu este mai mic decât n 2 2 n(n 1)(n 5) (C n 1 ) = . C n3 2 24 Acest num r este pozitiv pentru n 6 i se anuleaz pentru n = 5 . Dac graful G este ciclul C 5 cu cinci vârfuri, atunci nici C 5 i nici C 5 nu con in triunghiuri. Se poate ar ta c num rul minim de triunghiuri este atins pentru orice n = 4 p + 1 ( p natural). 89. Fie G = ( X ,U ) , unde
X =n
i U = m . Dac
x, y X , s not m cu A( x ) mul imea vârfurilor adiacente cu x i cu A( y ) mul imea vârfurilor adiacente cu y . Ob inem: A( x ) I A( y ) = A( x ) + A( y ) A( x ) U A( y ) d ( x ) + d ( y ) n .
85
Deci dac (x, y ) U , atunci exist cel pu in deg( x ) + deg( y ) n vârfuri care sunt adiacente i cu x i cu y . Prin urmare deg( x ) + deg( y ) n cel pu in triunghiuri ale grafului G con in muchia ( x, y ) . Rezult c G con ine cel pu in 1 ' (deg(x ) + deg( y ) n) 3 ( x, y ) U triunghiuri, deoarece fiecare triunghi este num rat relativ la fiecare latur a sa. În suma scris deg( x ) apare de exact deg( x ) ori pentru orice x X i deci suma scris este egal cu 1# 2 ! ' (deg( x )) mn . 3"x X Aplicând inegalitatea lui Cauchy-Schwartz, aceast ultim sum este nu mai mic decât 2 1 #! 1 # 4m # n2 !! m mn = , ! ' deg( x ) 3 !" n " x X 3n " 4 deoarece ' deg( x ) = 2m . x X
90. S presupunem c graful G are n vârfuri, m muchii i nu con ine nici un ciclu elementar cu patru vârfuri. S num r m perechile {x, y} de vârfuri care sunt ambele adiacente
cu un al treilea vârf z . Dac vârful z este fixat, avem C d2( z )
astfel de perechi. Dar fiecare pereche {x, y} este num rat cel mult odat , deoarece dac ar fi num rat relativ la z1 i la z 2 cu z1 z 2 , atunci ( x, z1 , y, z 2 , x ) ar forma un ciclu cu patru vârfuri, ceea ce contrazice ipoteza. Deci putem scrie: # deg( z ) # n ! ! , ' 2 "2 z X"
86
x( x 1) 2 fiind convex , conform inegalit ii lui Jensen putem scrie: # m(2m n ) . C n2 ' C d2( z ) !! C 22m = n z X " n Deci: nm n 3 n 2 2 m 0, 2 4 de unde
unde X este mul imea vârfurilor grafului G . Func ia
(
)
(
)
n n 3 3n 2 n = 1 + 4n 3 , 4 4 16 4 ceea ce contrazice ipoteza. Deci G con ine un ciclu elementar cu patru vârfuri. 91. Fie n = (k 1)q + r cu 0 r k 2 i (k 2)n = (k 1) p + s , unde 0 s k 2 , r , s fiind numere întregi. De aici deducem c dac r = 0 , atunci i s = 0 , iar dac r 1 , atunci s = k r 1 . S presupunem prin reducere la absurd c num rul vârfurilor x de grad deg( x ) p este mai mic ca m , celelalte vârfuri y având gradul deg( y ) p + 1 . Altfel zis, exist o parti ie X U Y a mul imii vârfurilor grafului astfel încât deg( x ) p pentru orice vârf x X , deg( y ) p + 1 pentru orice m
vârf y Y i în plus X < m , Y > n m .
Fie un vârf y1 Y i s not m prin A( y1 ) mul imea vârfurilor incidente cu y1 . În mul imea A( y1 ) I Y vom alege un alt vârf y 2 . A( y1 ) I A( y 2 ) con ine cel pu in A( y1 ) I A( y 2 ) = A( y1 ) + A( y 2 )
87
A( y1 ) U A( y 2 )
2( p + 1) n
vârfuri. Continuând acest proces, fie c am construit mul imile de vârfuri A( y1 ),..., A( y k 2 ) cu y j I A( y i ) I Y , pentru i< j
j = 1,..., k
k 2
2 . Vom demonstra c mul imea B = I A( y i ) este i =1
nevid . Aceast proprietate va justifica totodat posibilitatea alegerii vârfurilor y 2 ,..., y k 1 . Într-adev r, se ob ine cu u urin
B
prin induc ie c
(k
2)( p + 1)
(k
3)n .
Vom considera dou cazuri. 1) r = s = 0 . În acest caz (k 2)( p + 1) (k 3)n = = (k 2)((k 2)q + 1) (k 3)(k 1)q = q + k 2 q . 2) r 1 . Ob inem (k 2)( p + 1) (k 3)n = (k 1) p p + k 2 (k 1) p n (k 2 )n p + k s 2 = + s+n=n p+k s 2= k 1 k 1 r s r+s =q+ + p+ + k s 2 q +1 p+k s 2=q+ k 1 k 1 k 1 deoarece r + s = k 1 i k s 2 0 . Deci în ambele cazuri B con ine cel pu in m = {n / (k 1)} vârfuri. Dac am avea B I Y = O/ , am ob ine B 1 X , ceea ce nu este posibil, deoarece X < m i B m . Deci exist un vârf
yk
1
B I Y care are gradul d ( y k
1
)
k 1
I A( y ) (k 1)( p + 1) (k i
p + 1 . Astfel ob inem 2)n = k 1 s > 0 ,
i =1
k 1
ceea ce implic existen a unui vârf y k
I A( y ) . i
i =1
88
Din modul de construc ie, vârfurile y1 , y 2 ,..., y k formeaz un subgraf complet cu k vârfuri, ceea ce contrazice ipoteza, deci exist cel pu in m vârfuri de grad mai mic sau egal cu p . 92. S ar t m mai întâi c oricare ar fi patru puncte A , B , C , D din M , exist cel pu in dou , distan a dintre care este 1 mai mic sau egal cu . 2 Dac trei dintre ele sunt coliniare exist o distan mai 1 1 mic sau egal cu < i proprietatea este demonstrat . 2 2 În caz contrar, vom ar ta c configura ia format din cele patru puncte con ine un triunghi cu un unghi de cel pu in 90 o . Exist dou cazuri posibile: a) Trei puncte, fie A , B , C formeaz un triunghi i D este un punct interior. Suma unghiurilor din D este egal cu 360 o , deci cel pu in un unghi este mai mare sau egal cu 120 o ; b) Cele patru puncte formeaz un patrulater convex. Suma unghiurilor patrulaterului este 360 o , deci cel pu in un unghi este mai mare sau egal cu 90 o . Fie ABC triunghiul cu A 90 o . Avem: a 2 b 2 + c 2 2 min b 2 , c 2 .
(
Dac
c
b
c , atunci a 2
)
2c 2 sau c 2
1
a2 2
1 2
i deci
. Vom defini un graf G care s aib ca vârfuri cele 3n 2 puncte, dou vârfuri fiind legate printr-o muchie dac distan a 1 dintre ele este mai mare ca . 2
89
Proprietatea demonstrat ne arat c acest graf nu con ine subgrafuri complete cu patru vârfuri, deci num rul de muchii este egal cu 3n 2 . 1 Cele 3n 2 distan e mai mari ca pot fi alese în 2 intervalul (1 7 ,1) pentru orice 0 < 7 < 1 , grupând câte n puncte suficient de apropiate de vârfurile unui triunghi echilateral de latur egal cu 1 . 93. Demonstra ia rezult direct din teorema lui Turan, deoarece M (2n,3) = n 2 . Graful, care realizeaz acest num r maxim de muchii i nu con ine triunghiuri, este graful bipartit complet K n,m . 94. Vom ar ta c pentru orice n 2 num rul maxim de subgrafuri complete maximale (clici) în clasa grafurilor cu n vârfuri, num r notat f (n ) , este egal cu 3 n / 3 pentru n * 0 (mod 3) cu 4 3(n 1) / 3 1 pentru n * 1 (mod 3) i cu 2 3( n
2)/ 3
pentru n * 2 (mod 3) .
Pentru 2 n 4 expresia lui f (n ) se ob ine prin simpl enumerare: pentru n = 2 i n = 3 num rul maxim de clici se ob ine pentru grafurile formate din vârfuri izolate, iar pentru n = 4 – pentru grafuri cu toate vârfurile izolate sau pentru graful bipartit complet K 2, 2 .
Fie G un graf cu n 5 vârfuri care con ine f (n ) clici. G con ine cel pu in dou vârfuri neadiacente x i y , deoarece în caz contrar G este graful complet cu n vârfuri K n care con ine o singur clic , aceasta ce contrazicând maximalitatea lui G . S not m cu V ( x ) mul imea vârfurilor adiacente cu x în G i cu G ( x, y ) graful ob inut din G prin suprimarea tuturor 90
muchiilor incidente cu x i înlocuirea lor cu muchii de la vârful x la fiecare vârf din mul imea V ( y ) . S not m cu G x subgraful ob inut din G prin suprimarea vârfului x , cu a ( x ) num rul subgrafurilor complete incluse în mul imea V ( x ) , maximale relativ la subgraful G x i cu c( x ) num rul clicilor lui G care îl con in pe x . Prin suprimarea muchiilor incidente cu x dispar c( x ) a( x ) clici, iar prin unirea lui x prin muchii cu toate vârfurile din V ( y ) apar c( y ) clici, deci dac not m cu c(G ) num rul clicilor grafului G , ob inem: c(G (x, y )) = c(G ) + c( y ) c(x ) + a ( x ) . Putem spune c c( y ) c( x ) , deoarece în caz contrar vom considera graful G ( y, x ) . Deoarece c(G ) este maxim, rezult c c(G ( x, y )) c(G ) sau c( y ) = c( x ) i a( x ) = 0 , ceea ce implic c(G ( x, y )) = c(G ) i graful G ( x, y ) con ine acela i num r maxim de clici, egal cu f (n ) , ca i graful G . Rezult deasemenea c c(G ( y, x )) = c(G ) + c( x ) c( y ) + a ( y ) , deci, deoarece c( x ) = c( y ) , se ob ine a( y ) = 0 i astfel c(G ( x, y )) = c(G ( y, x )) = c(G ) . Fie x un vârf oarecare al grafului G i y1 ,..., y p
vârfurile neadiacente cu x . Vom transforma graful G în graful G1 = G ( y1 , x ) , apoi graful G1 în G2 = G1 ( y 2 , x ) , … , graful G p 1 în G p = G p 1 ( y p , x ) cu conservarea num rului f (n ) de clici. Graful G p are proprietatea c vârfurile x, y1 ,..., y p nu sunt unite între ele prin muchii, dar V ( x ) = V ( y1 ) = ... = V ( y p ) . Dac
91
V ( x ) = O/ , ne oprim. În caz contrar vom considera un vârf din V ( x ) i vom repeta aceast construc ie. În final ajungem la un graf G * multipartit complet, cu proprietatea c vârfurile sale pot fi parti ionate în k clase care con in respectiv n1 ,..., n k vârfuri, dou vârfuri fiind adiacente dac i numai dac ele nu apar in aceleea i clase i astfel încât c(G * ) = f (n ) . Dar c(G * ) = n1 ... nk , de unde rezult c f (n ) = max max n1 n2 ...n k . n1 +...+ nk = n
k
S
presupunem
f (n ) = m1 , m2 ,..., m p ,
c
m1 + ... + m p = n . Este clar c
unde
max (m1 ,..., m p ) 4 deoarece,
dac ar exista un termen, de exemplu m1 5 , am avea 3(m1 3) > m1 sau 2m1 > 9 , deci produsul m1 ...m p nu ar fi
maxim. Nu pot exista doi factori egali cu patru, deoarece 4 4 < 3 3 2 ; la fel nu pot exista trei factori egali cu 2 , deoarece 2 2 2 < 3 3 . Deasemenea avem 1 mi m j 1 pentru orice i, j = 1,..., p , deoarece dac , de exemplu, mi
ob inem mi m j < (mi 1)(m j + 1) = mi m j + mi
m j + 2 , atunci
m j 1 . Deci to i
factorii m1 ,..., m p sunt egali cu 3 pentru n * 0 (mod 3) , un singur factor este egali cu 4 (sau doi factori egali cu 2), restul fiind egal cu 3 pentru n * 1 (mod 3) i un factor egal cu 2, restul fiind egali cu 3 pentru n * 2 (mod 3) .
95. Vom demonstra proprietatea prin induc ie dup num rul de vârfuri ale grafului G . Dac graful G are cel mult k + 1 vârfuri, atunci evident (G ) k + 1 . S presupunem c proprietatea este adev rat pentru toate grafurile cu cel mult n vârfuri i fie G un graf cu
92
n + 1 vârfuri, cu gradele vârfurilor majorate de k i x un vîrf al lui G . Deoarece orice vârf al grafului G x ob inut din G prin suprimarea vârfului x i a muchiilor incidente cu x , are gradul cel mult egal cu k , atunci inând cont de ipoteza induc iei rezult : (G x ) k + 1 .
Deoarece x este adiacent cu cel mult k vârfuri din G x , putem colora vârful x cu o culoare care nu apare printre culorile adiacente cu x , astfel încât num rul total de culori utilizate pentru a colora vârfurile lui G s nu dep easc k + 1 . Deci (G ) k + 1 . 96. Not m coordonatele punctelor de intersec ie într-un sistem ortogonal de axe în plan cu ( x1 , y1 ),..., ( x n , y n ) . Putem presupune c direc iile axelor sunt astfel alese încât abscisele x1 ,..., x n s fie diferite dou câte dou , de exemplu x1 < x 2 < ... < x n . Vom colora vârfurile grafului în aceast ordine cu trei culori. Dac am colorat cu trei culori vârfurile de abscise x1 ,..., xi 1 , vârful ( xi , y i ) are cel mult dou vârfuri adiacente care au fost deja colorate, deoarece nu exist trei drepte concurente. Deci pentru vârful ( xi , y i ) g sim o a treia culoare disponibil , pentru i = 2,..., n , ceea ce verific inegalitatea cerut . 97. Putem presupune toate fe ele lui G dintr-o reprezentare planar triunghiuri, adic G este o triangula ie a planului. Într-adev r, dac G nu este triangula ie vom ad uga noi muchii grafului G pân când ob inem o triangula ie G1 . Dac pentru G1 inegalitatea cerut este verificat , ea va fi cu atât mai mult adev rat pentru G , deoarece gradele vârfurilor lui G1 majoreaz gradele vârfurilor grafului G . Deci fie G un graf
93
planar cu toate fe ele triunghiuri, pentru care suma p tratelor gradelor este maxim . Dac not m cu x un vârf de grad minim, vom ar ta c deg( x ) = 3 . Într-adev r, dac deg( x ) 2 rezult deg( x ) = 2 i graful G se reduce la K 3 , ceea ce contrazice ipoteza n 4 . S presupunem c deg( x ) 4 i fie x1 , x 2 ,..., x r vârfurile adiacente cu x astfel încât deg( x1 ) deg( xi ) pentru i = 2,..., r , Figura 14 unde r = deg( x ) 4 (figura 14). Vom suprima muchia ( x, x1 ) i vom ad uga muchia (x2 , xr ) , ceea ce produce un nou graf planar G1 f r muchii multiple pentru r 4 . Dac not m cu S suma p tratelor gradelor pentru graful G i cu S1 suma p tratelor gradelor pentru graful G1 , ob inem: S1 S = (deg ( xr ) + 1) + (deg (x2 ) + 1) + (deg( x ) 1) + 2
2
2
+ (deg ( x1 ) 1) (deg ( xr )) (deg ( x2 )) (deg ( x )) (deg ( x1 )) = = 2 deg( xr ) + 2 deg( x2 ) 2 deg( x ) 2 deg( x1 ) + 4 > 0 , deoarece deg( x ) deg( x1 ) deg( xi ) pentru i = 2,..., r . Aceast inegalitate contrazice îns maximalitatea gradului G , deci orice graf G pentru care S este maxim con ine un vârf x de grad deg( x ) = 3 . Vom demonstra acum proprietatea prin induc ie dup n . Pentru n = 4 , considerând o reprezentare planar a grafului K 4 ob inem în ambii membri 36, deci egalitate. Orice alt graf G cu 4 vârfuri are o sum a p tratelor gradelor mai mic decât 36, deoarece gradele unor vârfuri descresc strict i proprietatea este demonstrat . 2
2
2
94
2
2
S presupunem c proprietatea este adev rat pentru toate grafurile planare cu cel mult n vârfuri i fie G un graf planar cu n + 1 vârfuri pentru care suma p tratelor gradelor este maxim i care are toate fe ele triunghiulare. Conform observa iei anterioare, exist un vârf x cu gradul d ( x ) = 3 . Fie a, b, c vârfurile adiacente cu x . S not m cu G1 subgraful ob inut din G prin suprimarea vârfului x i a celor trei muchii incidente cu x . Cu acelea i nota ii de mai înainte ob inem: 2 2 2 S = S1 + 9 + (deg (a ) + 1) + (deg (b ) + 1) + (deg (c ) + 1)
(deg(a ))2 (deg(b ))2 (deg(c ))2 = = S1 + 2(deg(a ) + deg(b ) + deg(c )) + 12 .
Vom ar ta c pentru oricare trei vârfuri a , b , c care induc un subgraf complet cu 3 vârfuri într-un graf planar cu n
Figura 15 vârfuri, are loc inegalitatea: deg(a ) + deg(b ) + deg(c ) 2n + 1 . (B) Într-adev r, dac un alt vârf d este adiacent cu toate cele trei vârfuri a , b , c , atunci un alt vârf e poate fi adiacent cu cel mult dou dintre vârfurile a , b sau c , de exemplu cu a i cu b , din cauza condi iei de planaritate a grafului G (figura 15). Deci num rul muchiilor care unesc vârfurile a , b , c cu celelalte n 3 vârfuri ale grafului G este majorat de 2(n 3) + 1 = 2n 5 . Einând seama i de contribu ia muchiilor
95
(a, b) , (b, c )
i
(a, c )
la gradele deg(a ) , deg(b ) , deg(c ) ,
ob inem:
deg(a ) + deg(b ) + deg(c ) 2n 5 + 6 = 2n + 1 i (B) este justificat . 2 Conform ipotezei de induc ie, S1 2(n + 3) 62 , deci
S 2(n + 3) 62 + 2(2n + 1) + 12 = 2(n + 4 ) 62 i inegalitatea este demonstrat prin induc ie. Pentru n = 4 am v zut c inegalitatea devine egalitate pentru graful K 4 i irul gradelor 3,3,3,3 . Vom demonstra prin induc ie dup n c exist un graf planar triangulat cu n vârfuri i gradele vârfurilor, care m rginesc fa a infinit egale respectiv cu 3 , n 1 , n 1 , pentru care inegalitatea devine egalitate. 2
2
Figura 16 Într-adev r, afirma ia se verific pentru n = 4 . Presupunând c afirma ia este adev rat pentru n , fie G un graf planar cu propriet ile cerute. S presupunem c fa a infinit a grafului G este m rginit de ciclul (a, b, c, a ) i deg(a ) = 3 , deg(b ) = n 1 i deg(c ) = n 1 . Vom defini un graf planar G1 cu propriet ile cerute astfel: consider m un nou vârf xn +1 pe fa a infinit a grafului G , pe care îl unim prin muchii cu a , b , c ca în figura 16. Noua fa infinit a grafului G1 este m rginit de ciclul (b, c, xn+1 , b ) i deg(xn+1 ) = 3 , deg(a ) = 4 , deg(b ) = n i
96
deg(c ) = n .
G1
este o triangula ie
i
2(n 1) + 16 9 = S + 4n + 14 .
S1 = S + 9 + 2n 2
2
conform ipotezei de induc ie S = 2(n + 3)
Îns
2
62 ,
deci S1 = 2(n + 3) 62 + 4n + 14 = 2(n + 4 ) 62 i proprietatea este demonstrat . Folosind faptul c func ia x / 1 : [0, 8 ) % R este convex pentru / 2 , se poate demonstra pe o cale analoag cu cea prezentat aici c 2
2
n
'd/ i =1
i
2(n 1) + (n 4 ) + 2 3/ /
/
(C)
pentru orice graf planar G cu n 4 vârfuri i / 2 . Egalitatea are loc pentru graful planar construit în cazul / = 2 , care are gradele d1 = d 2 = n 1 ; d 3 = ... = d n 2 = 4 ; dn 1 = dn = 3 . Pentru / = 1 inegalitatea (C) devine egalitate pentru orice triangula ie a planului i exprim faptul c num rul muchiilor unei triangula ii este egal cu 3n 6 . 98. S not m cu U = {u1 ,..., u m } mul imea muchiilor grafului
G
i
Ai = { f : X % {1,...,
}
f ( x ) = f ( y ) , unde
ui = ( x, y )}. Num rul func iilor f care verific condi ia impus este egal cu PG ( ) = n A1 U A2 U ... U Am .
Putem evalua cardinalul mul imii A1 U ... U Am folosind principiul includerii i al excluderii: V 1 A1 U ... U Am = ' ( 1) p (V , ) , V 1U V 0
97
unde p(V , ) reprezint num rul func iilor f : X % {1,..., } care iau aceea i valoare pentru extremit ile fiec rei muchii din V . Rezult c aceste func ii iau aceea i valoare din mul imea {1,..., } pentru toate vârfurile fiecarei componente conexe a grafului par ial ( X ,V ) al lui G . Deci p(V , ) = c (V ) . Cu aceasta, expresia pentru polinomul cromatic al grafului G este justificat inând seama c termenul n se ob ine pentru V = O/ , când graful par ial ( X ,V ) este format numai din vârfuri izolate i deci are n componente conexe. Se observ c singurul termen de gradul n se ob ine pentru V = O/ i anume n , iar termenul de gradul n 1 se ob ine pentru V = 1 .
În acest caz exist C m1 = m termeni egali cu putem scrie: PG ( ) = n m n 1 + ... , unde m este num rul muchiilor grafului G . Dac se noteaz PG ( ) = n + a1 n 1 + a 2 n
n 1
2
, deci
+ ... + a n ,
ob inem în mod analog c a 2 = C m2 = c3 (G ) , unde c3 (G ) reprezint num rul triunghiurilor grafului G . Termenii de gradul n 2 se ob in pentru c(V ) = n 2 , când V = 2 i graful
par ial ( X ,V ) al lui G con ine numai dou muchii, adiacente
sau nu, sau pentru V = 3 , când graful par ial ( X ,V ) con ine trei
muchii care formeaz un triunghi. Deoarece dou muchii pot fi alese în C m2 moduri, rezult expresia coeficientului a 2 . 99. Dac o -colorare f a grafului G e are proprietatea c f ( x ) f ( y ) , unde e = [x, y ] , atunci f este o colorare i pentru G i reciproc. 98
Rezult c PG e ( ) PG ( ) este num rul acelor -color ri f ale lui G e care posed proprietatea f (x ) = f ( y ) . O astfel de -colorare f a lui G e produce o -
colorare g a grafului G e , definind g ( z ) = f ( x ) = f ( y )
g (t ) = f (t ) pentru orice t
grafului G e induce o
z . Reciproc, orice
i
-colorare g a
-colorare f a lui G e cu proprietatea
f ( x ) = f ( y ) , definind f ( x ) = f ( y ) = g ( z ) i f (t ) = g (t ) pentru orice t x, y . Ambele coresponden e fiind injective, rezult : PG e ( ) PG ( ) = PG e ( ) pentru orice num r natural . Deoarece în ambii membri ai egalit ii avem polinoame de un grad dat, rezult egalitatea între polinoamele cromatice pentru orice . 100. a) Dac K n are mul imea vârfurilor {x1 ,..., x n }, o -colorare f poate fi definit în x1 în moduri, în x 2 în 1 moduri, … , în x n n + 1 în moduri, rezultând în final PK n ( ) = ( 1) ... ( n + 1) posibilit i de a defini func ia f astfel încât s ia valori diferite dou câte dou pentru toate vârfurile x1 ,..., x n . b) Dac x este un vârf de gradul 1 al lui Tn , s not m prin Tn x arborele care se ob ine din Tn prin suprimarea vârfului x i a muchiei incidente cu x . Orice -colorare a lui Tn x poate fi extins în 1 moduri la o -colorare a lui Tn , deci PTn ( ) = ( 1)PTn x ( ) . Continuând în acest mod ob inem
99
PTn (
)= (
1)
n 1
PT1 (
)= (
1)
n 1
,
deoarece polinomul cromatic al arborelui cu un singur vârf este . c) Dac e este o muchie a ciclului C n , aplicând proprietatea din problema 99 ob inem: PC ( ) = PC e ( ) PC e ( ) ,
Cn PCn
e este un lan cu n vârfuri i deci conform b) avem e1
( )= (
1)
Ob inem:
n 1
PCn (
, iar C n e este un ciclu cu n 1 vârfuri.
)= (
1)
n 1
PCn 1 (
).
Repetând acela i ra ionament se deduce: n 1 ( 1)n 2 + ... + ( 1)n PCn ( ) = ( 1) deoarece PC3 (
) = PK ( ) = (
1)(
3
Putem scrie
(
pentru 2
PCn (
1) = ( p 1 + 1)( p n , deci:
1)
p 1
)= ( n 2 + ( 1) (
1) + ( n
1)
n 1
p 1
(
2) =
=(
1)
n 1
(
( 2 1)
1) + (
1)
( 1)
p
(
1) ,
2
n 2
1) .
p 1
+ ... +
1) + ( 1) ( 1) = ( 1) + ( 1) ( 1) . 101. Vom demonstra ambele propriet i prin induc ie dup num rul de muchii ale grafului G . Pentru graful cu n vârfuri izolate ob inem PG ( x ) = x n , care are forma dorit . S presupunem proprietatea de alternan a semnelor coeficien ilor polinomului cromatic adev rat pentru toate grafurile cu n vârfuri i m p 1 muchii i s o demonstr m 2
n 2
n
n
pentru un graf oarecare G cu n vârfuri i p C n2 muchii. Fie e o muchie a lui G . Conform propriet ii din problema ob inem:
100
PG ( x ) = PG
e
(x )
Deoarece grafurile G e
PG e (x ) . i G e au cel mult p 1
muchii, putem aplica ipoteza de induc ie, g sind: n 1 PG e ( x ) = x n bn 1 x n 1 + bn 2 x n 2 ... + ( 1) b1 x PG e ( x ) = x n
unde bi , ci
1
cn 2 x n
2
+ cn 3 x n
3
... + ( 1)
n 2
c1 x ,
0 în (1) g sim:
PG ( x ) = x n
(bn 1 + 1)x n 1 + (bn 2 + cn 2 )x n 2 n 1 + ( 1) (b1 + c1 )x ,
... +
demonstreaz prima proprietate. Graful G are cu o muchie mai mult decât G e are coeficientul a n 1 = bn 1 + 1 , iar a n 1 = 0 pentru graful cu n vârfuri i f r nici o muchie. Mai rezult deci c a n 1 este num rul muchiilor grafului G . Fie acum G un graf conex cu n vârfuri. Vom demonstra c ai > 0 prin induc ie dup num rul de muchii ale lui G . Dac G are num rul de muchii, egal cu n 1 , el este un arbore i conform problemei 80 polinomul s u cromatic este n 1 PG ( x ) = x( x 1) =
(
)
(
)
(
)
= x n C n1 1 x n 1 + C n2 1 x n 2 ... + ( 1) C nn 11 x , deci inegalitatea ai > 0 pentru 1 i n 1 este verificat . S presupunem c proprietatea este adev rat pentru orice graf conex cu n vârfuri i m muchii, care verific n 1 m p 1, i s o demonstr m pentru un graf conex G cu n vârfuri i p C n2 muchii. Presupunând c G nu este arbore, exist o muchie e astfel încât G e este graf conex. Graful G e ob inut prin
101
n 1
identificarea extremit ilor muchiei e este de asemenea conex i folosind nota iile anterioare g sim: a i = bi + ci pentru i = 1,..., n 1 cu c n 1 = 1 , deci a i > 0 conform ipotezei de induc ie. 102. Reprezentând ahi tii prin vârfurile grafului complet K n , partidele desf urate într-o zi se pot reprezenta printr-o mul ime de muchii care nu au dou câte dou extremit i comune. Rezult c num rul minim de zile în care se poate termina turneul este egal cu num rul minim de culori necesare pentru a colora muchiile lui K n , astfel încât oricare dou muchii cu o extremitate comun s aib culori diferite. Într-adev r, putem colora cu o aceea i culoare muchiile corespunz toare partidelor care se desf oar în aceia i zi. Deci num rul minim de zile este q (K n ) , deci n zile pentru n impar i n 1 zile pentru n par, inând seama de problema precedent .
102
