1
Lucrul si energia mecanica
Lucrul si energia mecanica I. Lucrul mecanic este produsul dintre forta si deplasare:
dL = F dr.
Daca forta forta este constanta, constanta, atunci atunci L12 = F r12 cos α,
· ·
unde r12 este modulul modulul deplasarii deplasarii din punctul 1 in punctul punctul 2, iar α este unghiul unghiul dintre forta forta si deplasarea r12. F II. Puterea este lucrul fortei intr-o unitate de timp:
L P = . t III. Energia este proprietatea corpului de a efectua un lucru.
Energia cinetica este
mv 2
E c =
.
2 Energia Energia potentiala potentiala a punctului punctului material in cimpul cimpul gravitat gravitational ional E p = mgh,
unde h este inaltimea inaltimea la care se afla corpul in raport cu nivelul nivelul considerat considerat nul. Energia Energia potentiala potentiala in cimpul cimpul fortelor fortelor de elasticita elasticitate: te: E p =
kx 2
,
2 unde k este coeficientu coeficientull de elasticitate elasticitate (al corpului, al firului), x este marimea deformatiei lui in raport cu pozitia nedeformata. IV. Lucrul fortei rezultate este egal cu variatia energiei cinetice:
Lrez =
mv22
2
2 1
− mv2
= E c2
− E c . 1
Lucrul Lucrul fortei fortei de greutate: greutate: Lg = mgh mg h1
− mgh = −(E p − E p ). 2
2
1
Lucrul fortei de elasticitate: Lel =
kx 21
kx 22
= (E p2 E p1 ). 2 2 Forte conservative sunt fortele lucrul carora nu depinde de forma traiectoriei, lucrul fortei conser conserv vative ative pe o traiec traiector torie ie inchis inchisaa este este egal egal cu zero. zero. Exempl Exemple: e: forta forta de greuta greutate, te, forta forta de elasticitate. Toate celelalte forte se numesc exterioare. Lucrul fortei exterioare este egal cu variatia energiei mecanice totale. Energia mecanica totala: E = E c + E p ,
−
Lex = E 2
−
−
− E . 1
2
Lucrul si energia mecanica
Exemple de rezolvare a problemelor 1. O luntre cu motor se misca contra curgerii unui riu de munte. Forta de tractiune a
motorului este de 2 kN. Luntrea ramine in miscare fata de mal. Viteza de curgere a apei riului este de 5 m/s. Efectueaza oare un lucru forta de tractiune a motorului? Daca da, atunci care este lucrul ei timp de 5 s? Care este puterea motorului? Solutie In raport cu malul riului deplasarea este zero (conform conditiilor problemei), de aceea lucrul este egal cu zero. In raport cu o pluta care se misca pe apa (in raport cu un punct de pe apa) luntrea se misca cu viteza de 5 m/s (este viteza apei in raport cu malul), prin urmare, deplasarea ei in timpul t este S = vt. Prin urmare, L = F S cos α.
·
Unghiul α = ∠(F , S ) = 0, deoarece forta de tractiune si deplasarea coincid ca directie: v este forta de tractiune a motorului. este viteza luntrei in raport cu pluta (apa), F Prin urmare, L = F v t = 2 103 5 5 = 50 103 (J).
· ·
Puterea: P =
·
· ·
·
L = F v = 2 103 5 = 10 103 (W). t
·
·
·
·
2. Ce lucru se va efectua la comprimarea unui arc al vagonului feroviar cu 5 cm, daca la
comprimarea lui cu 1 cm se cere actiunea unei forte de 30 kN? x1 = 5 cm x2 = 1 cm F 2 = 30 103 N F 1 ?
−
·
Solutie Este vorba de legea lui Hooke: F =
−kx.
F 1 =
−kx .
F 2 =
−kx .
In primul caz: 1
In al 2-lea caz: Rezulta,
F 1 kx1 = F 2 kx2 F 1 = 30 103
·
⇒
2
F 1 = F 2
x1 . x2
= 150 · 10 · 00,, 05 01
3
(N).
3
Lucrul si energia mecanica
3. Asupra unui corp cu masa de 10 kg actioneaza o forta constanta de 5 N. Se cere energia
cinetica a corpului peste 2 s de la inceputul miscarii. Rezistenta se neglijeaza. Solutie Energia cinetica este egala cu lucrul fortei de tractiune (forta de frecare se neglijeaza). Deci, 2
· at2 .
E c = L = F S = F
·
Din legea a 2-a alui Newton: F = ma
Deci,
⇒
a =
F . m
F t2 F 2 t2 = ; E c = F m 2 2m
· · 5 ·2 E c = = 5 (J). 2 · 10 2
2
4. Pe un teleferic (funicular), sub un unghi de 45 o fata de orizont, se ridica un vagonet
cu masa de 500 kg. Se cere lucrul fortei de tractiune a motorului, daca vagonetul se ridica la inaltimea de 10 m, iar coeficientul de frecare este de 0 , 1. 2
g = 9, 81 m/s α = 45o m = 500 kg h = 10 m µ = 0, 1 Ltr ?
−
Solutie Lucrul fortelor exterioare este egal cu variatia energiei mecanice totale. Exterioare sunt forta de tractiune si forta de frecare, lucrul careia este negativ: Ltr
−L
fr
= mgh,
unde mgh este variatia energiei mecanice totale (corpul capata doar energie potentiala). Lucrul fortei de frecare este: Lf r = F f r S. Forta de frecare se determina din conditia:
·
+ F f r + mg + F tr =0 N F f r =µN.
Proiectam marimile din prima ecuatie pe axa y :
− mg cos α = 0 ⇒
N
N = mg cos α
⇒
F f r = µmg cos α.
4
Lucrul si energia mecanica
Prin urmare,
· sinh α ,
Lf r = µmg cos α h
deoarece S = (din triunghiul dreptunghic). sin α Deci, Lf r = µ mgh ctgα.
·
Prin urmare,
·
Ltr = mgh + Lf r = mgh + µ mgh ctgα
·
·
Ltr = 500 9, 81 10(1 + 0, 1 1)
·
·
·
⇒
≈
Ltr = mgh(1 + µ ctgα).
·
54000 (J) = 54 (kJ).
5. Un arc cu rigiditatea de 100 kN/m si masa de 400 g cade pe o masa de la inaltimea de 5 m.
Cu cat se va comprima arcul, daca la lovitura axa arcului ramane verticala? m = 400 g= 0, 4 kg h = 5 m 2 g = 9, 81 m/s k = 1 105 N/m x ?
−
·
Solutie Consideram ca lungimea arcului este cu mult mai mica decat inaltimea de la care cade. Atunci, conform legii conservarii energiei, mgh =
kx 2
2
⇒
x =
2
mgh = k
2 · 0 4 · 9 81 · 5 ,
,
105
= 0 , 02 m.
6. De pe o panta acoperita cu gheata cu inaltimea de 1 m si baza de 5 m aluneca o sanie
care se opreste pe portiunea orizontala de lungime 95 m. Se cere coeficientul de frecare. h = 1 m a = 5 m b = 95 m 2 g = 9, 81 m/s µ ?
−
Solutie Asupra corpului actioneaza numai o forta exterioara – forta de frecare si lucrul ei este egal cu variatia energiei mecanice totale. Deci: F f r1 S + F f r2 b = E 2 E 1 = mgh
−→ · −→ → − · −→
sau, luand in consideratie ca
−
−
→ −F · −→ −→ · −→b = −F · b S = −F · S ; F f r1
f r1
f r2
f r2
5
Lucrul si energia mecanica
si F f r = µN,
obtinem: µN 1 S + µN 2 b = mgh.
Proiectand fortele pe axele y1 si y2 , respectiv, obtinem: N 1
− mg cos α = 0; cos α =
a = S
N 2 a
√
h2 + a2
Prin urmare, N 1 = mg
− mg = 0;
√
a
h2 + a2
.
,
N 2 = mg.
Rezulta ca: µmg
a
√
h + a 2
sau µ =
2
h a + b
· ;
√
h2 + a2 + µmgb = mgh
µ =
1 = 0, 01. 5 + 95
7. Un corp cu masa de 500 g se misca pe un plan orizontal cu viteza de 30 m/s si in
continuare se ridica pe un plan inclinat, trecerea de la plan orizontal la plan inclinat fiind lenta. Planul inclinat cu masa de 7,5 kg este mobil. Se cere inaltimea la care se ridica corpul pe planul inclinat si viteza cu care cade de pe el. Frecarea se neglijeaza. m = 0, 5 kg v01 = 3 m/s M = 7, 5 kg v1 , h ?
−
Solutie Aplicam legea conservarii impulsului si legea conservarii energiei pentru starile I si II:
mv01=(m + M )v02, 2 mv01
2
=
0, 5 3 = (0, 5 + 7 , 5)v02
·
Atunci
m + M
2
⇒
·v
v02 =
2 02
+ mgh.
0, 5 3 = 0, 19 (m/s). 0, 5 + 7 , 5
·
0, 5 32 0, 5 + 7, 5 = 0, 192 + 0, 5 9, 81 h. 2 2 De unde h = 0, 43 m.
·
·
·
·
6
Lucrul si energia mecanica
Pentru pozitiile I si III:
mv01= mv1 + M v2 ,
−
2 mv01
mv12
M v22
= + , 2 2 2 unde v01 – viteza initiala a corpului, v1 – viteza lui la iesire de pe panta, v2 – viteza finala a pantei. Rezulta: m (v01 + v1), v2 = M
2
m · M · (v
2 = mv 12 + M mv01
Sau
2
01
+ v1)2 .
m2 mv = mv + (v01 + v1 )2 , M 0 , 52 2 2 0, 5 3 = 0, 5v1 + (3 + v1)2 . 7, 5 2 01
2 1
·
·
·
De unde: v1
v12 + 0 , 37v1
,
,
,
,
,
− 7 87 = 0 = −0 19 ± 0 14 + 7 87
.
Deci v1 = 2, 64 m/s. Solutia v1 = 3, 02 m/s nu are sens fizic: aceasta ar insemna ca corpul s-ar misca in acelasi sens, practic cu aceesi viteza initiala si nu s-ar respecta legea conservarii impulsului.
−
8. Un corp mic aluneca pe o panta care trece in ”bucla Nesterov” de raza 20 cm. Se cere
inaltimea minima de la care corpul incepe alunecarea pentru ca el sa efectueze o miscare deplina pe bucla. Frecarea se neglijeaza. R = 0, 2 m 2 g = 9, 81 m/s h ?
−
Solutie Vom aplica legea conservarii energiei pentru starile I si II: mgh =
mv 2
2
+ mg 2R.
·
In pozitia II corpul se misca pe circumferinta, deci cu acceleratie, prin urmare
−→ →g = m−→a , N + m− unde a este acceleratia centripeta, egala cu
v2 . R
−→
Cu cat viteza in pozitia II este mai mica, cu atat forta de reactiune N este mai mica, doar forta m g este constanta. La limita N = 0, prin urmare
−→
−→
v2 a = g = R
⇒
v2 = gR.
7
Lucrul si energia mecanica
Substituind in prima ecuatie, obtinem: mgh =
Prin urmare, h =
m
2
· gR + mg · 2R.
5 R; h = 0, 5 m. 2
Probleme de control 1. Un automobil cu masa de 1 t incepe miscarea uniform accelerat si parcurge distanta de
50 m in 5 s. Se cere puterea dezvoltata de motorul automobilului. (Raspuns: 80 kW.) 2. O bila metalica cu masa de 100 g se misca uniform pe circumferinta in plan orizontal cu
frecventa de 3 s −1. Raza circumferintei este de 50 cm. Se cere lucrul pentru marirea frecventei pana la 5 s−1 . (Raspuns: 7,9 J.) 3. Puterea unei centrale hidroelectrice este de 73,5 MW, randamentul de 75 procente. Se
cere inaltimea la care barajul ridica apa, daca consumul de apa este de 103 m3 /s. (Raspuns: 10 m.) 4. Un corp aluneca pe suprafata interioara a unei semisfere. O jumatate a ei este absolut
neteda, cealalta cu asperitati. Punctul de trecere de pe o parte pe alta este in punctul de jos. Se cere acceleratia corpului in momentul trecerii de pe o parte pe alta, daca coeficientul de frecare dintre corp si suprafata este de 0,15. (Raspuns: a = 9µ2 + 4 = 20 m/s2 .)
5. Un corp mic aluneca din varful unei sfere fara viteza initiala. Raza sferei este R. La ce
inaltime corpul se va rupe de la sfera? (Raspuns:
5 R.) 3
