1. Metode de fundamentare a deciziilor multicriteriale intreprindere ere producatoa producatoare re de echipament echipamentee industriale industriale incorporeaza incorporeaza in produsele produsele sale un anumit Cazul1 O intreprind subansamblu pe care il poate procura de la unul din cei patru furnizori accesibili, notati cu V 1, V 2, V 3, V4 .Criteriul de selactie a unui furnizor sunt urmatoarele: x 1 – Pretul unitar al subansamblului (mil lei), x 2 – Nivelul calitativ, x 3 – Termenul de livrare. Tabelul 1
Criterii de decizie (x i) Variante V j
x1 – Pret unitar
x2 – Nivelul calitativ
x3 –Termen de livrare
Max
Min
Min V1 V2 V3 V4 K i
7 9 6 8
0,66 0 1 0,33
10 8 7 9
1 0,33 0 0,66
0,4
0,4
1.1. Metoda utilitatii decizionale 1
12 10 10 9
0 0,66 0,66 1 0,2
Considerand umax = 1 si umin = 0 , in cazul variatiei proportionale a utilitatii in functie de rezultate, utilitatea oricaror consecinte intermediare poate fi determinate prin interpolare liniara, folosindu-se relatiile: u i ( R j ) =
R j − Rmin Rmax − Rmin
,
pentru
crite iteriil iile
de
unde: R max max – rezultate maxime
maxim;
R min min – rezultate minime
u i ( R j ) =
Rmax max − R j Rmax − Rmin
,
pentru
crite iteriil iile
o cunoastem si care trebuie calculata
minim.
u11 =
u14 =
u 22 =
Rmax max − R j Rmax − Rmin Rmax max − R j Rmax − Rmin R j − Rmin Rmax max − Rmin min
=
=
=
9 −7 9 −6 9 −8 9 −6
R j – rezultatul de la varianta V j a carei utiltate nu
de
=
=
8 −7 10 − 7
2 3 1 3
=
= 0,66
u 24 =
= 0,33
u 32 =
1 3
= 0,33
u 33 =
R j − Rmin Rmax − Rmin Rmax − R j Rmax max − Rmin Rmax − R j Rmax max − Rmin
=
=
=
9 −7 10 − 7
=
12 − 10 12 − 9 12 − 10 12 − 9
2 3
=
=
= 0,66
2 3 2 3
= 0,66
= 0,66
Pe baza proprietatilor de aditivitate aditivitate decizionala, utilitatea variantei variantei Vj din punct de vedere al tuturor criteriilor de decizie U (Vj) va fi: n
U (V j ) = ∑u i (V j ) * k i , unde K i – – coefficient de importanta al criterilui i =1
2
Considerand umax = 1 si umin = 0 , in cazul variatiei proportionale a utilitatii in functie de rezultate, utilitatea oricaror consecinte intermediare poate fi determinate prin interpolare liniara, folosindu-se relatiile: u i ( R j ) =
R j − Rmin Rmax − Rmin
,
pentru
crite iteriil iile
de
unde: R max max – rezultate maxime
maxim;
R min min – rezultate minime
u i ( R j ) =
Rmax max − R j Rmax − Rmin
,
pentru
crite iteriil iile
o cunoastem si care trebuie calculata
minim.
u11 =
u14 =
u 22 =
Rmax max − R j Rmax − Rmin Rmax max − R j Rmax − Rmin R j − Rmin Rmax max − Rmin min
=
=
=
9 −7 9 −6 9 −8 9 −6
R j – rezultatul de la varianta V j a carei utiltate nu
de
=
=
8 −7 10 − 7
2 3 1 3
=
= 0,66
u 24 =
= 0,33
u 32 =
1 3
= 0,33
u 33 =
R j − Rmin Rmax − Rmin Rmax − R j Rmax max − Rmin Rmax − R j Rmax max − Rmin
=
=
=
9 −7 10 − 7
=
12 − 10 12 − 9 12 − 10 12 − 9
2 3
=
=
= 0,66
2 3 2 3
= 0,66
= 0,66
Pe baza proprietatilor de aditivitate aditivitate decizionala, utilitatea variantei variantei Vj din punct de vedere al tuturor criteriilor de decizie U (Vj) va fi: n
U (V j ) = ∑u i (V j ) * k i , unde K i – – coefficient de importanta al criterilui i =1
2
U (V 1 ) = u1 (V 1 ) ⋅ k 1 + u 2 ( V 1 ) ⋅ k 2 + u 3 ( V 1 ) ⋅ k 3 = 0,66 ⋅ 0,4 + 1 ⋅ 0,4 + 0 ⋅ 0,2 = 0,66 U (V 2 ) = u1 (V 2 ) ⋅ k 1 + u 2 (V 2 ) ⋅ k 2 + u 3 ( V 2 ) ⋅ k 3 = 0 ⋅ 0,4 + 0,33 ⋅ 0, 4 + 0,66 ⋅ 0,2 = 0,22 U (V 3 ) = u1 (V 3 ) ⋅ k 1 + u 2 ( V 3 ) ⋅ k 2 + u 3 ( V 3 ) ⋅ k 3 = 1 ⋅ 0,4 + 0 ⋅ 0,4 + 0,66 ⋅ 0,2 = 0,53 U (V 4 ) = u1 (V 4 ) ⋅ k 1 + u 2 (V 4 ) ⋅ k 2 + u 3 ( V 4 ) ⋅ k 3 = 0,33 ⋅ 0,4 + 0,66 ⋅ 0,4 + 1 ⋅ 0,2 = 0,59
Estimand utilitatile ui (V j) si U (V j), luand in considerare toate cele patru variante decizionale , se obtin valorile din tabelul 2. Tabelul 2 Variante V j V1 V2 V3 V4
ui (V j) u1 (V j) 0,66 0 1 0,33
u2 (V j) 1 0,33 0 0,66
u3 (V j) 0 0,66 0,66 1
U (V j)
Ordinea de preferinta
0,66 0,22 0,53 0,59
I IV III II
1.2. Metoda Electre – varianta SEMA Metoda ELECTRE serveste la compararea variantelor V1, V2, … Vm din punct de vedere al criteriilor x1, x2, … xn.
3
Aplicarea metodei ELECTRE se bazeaza pe doua grupe de indicatori si anume: indicatori de concordanta (C c )si indicatori de discordanta (C d ). Comparand doua variante, V j si Vl, indicatorii de concordant ascot in evidenta aspectele favoarbile ale variantei V j fata de varianta V l, iar indicatorii de discordanta evidentiaza aspectele nefavorabile ale variantei V j fata de Vl. Cei doi indicatori, in varianta SEMA, pot fi calculate astfel:
n
∑ k i
'
C c (V j ,V l ) =
i =1 n
, unde k i' ∈ { k i
u j
≥ u l
}
∑ k i i =1
ul − u j,ul > u j C d ( V j ,V l ) = m a x 0,ul ≥ u j
4
C c = (V 1 ,V 1 ) = 0,4 + 0,4 + 0,2 = 1 C c = (V 1 ,V 2 ) = 0,4 + 0,4 + 0 = 0,8 C c = (V 1 ,V 3 ) = 0,4 + 0 + 0 = 0,4 C c = (V 1 ,V 4 ) = 0,4 + 0,4 + 0 = 0,8 C c = (V 2 ,V 1 ) = 0 + 0 + 0,2 = 0,2 C c = (V 2 ,V 2 ) = 0,4 + 0,4 + 0,2 = 1 C c = (V 2 ,V 3 ) = 0,4 + 0 + 0,2 = 0,6 C c = (V 2 ,V 4 ) = 0 + 0 + 0 = 0
C = V , V = 0,4 + 0 + 0,2 = 0,6 c 3 1 C = V , V = 0,4 + 0 + 0,2 = 0,6 c 3 2 C = V , V = 0, 4 + 0,4 + 0,2 =1 c 3 3 C = V , V = 0,4 + 0 + 0 = 0,4 c 3 4 C = V , V = 0 + 0 + 0,2 = 0,2 c 4 1 C = V , V = 0,4 + 0,4 + 0,2 =1 c 4 2 C = V , V = 0,4 + 0 + 0,2 = 0,6 c 4 3 C = V , V = 0,4 + 0,4 + 0,2 =1 c 4 4
( ( ( ( ( ( (
) )
) ) ) ) )
C d (V 1 ,V 1 ) = Max { 0;0;0} = 0
C d (V 3 ,V 1 ) = Max { 0;1 − 0;0} = 1
C d (V 1 ,V 2 ) = Max { 0;0;0,66 − 0} = 0.66
C d (V 3 ,V 2 ) = Max { 0;0,33 − 0;0} = 0.33
C d (V 1 ,V 3 ) = Max {1 − 0,66;0;0,66 − 0} = 0.66
C d (V 3 ,V 3 ) = Max { 0;0;0} = 0
C d (V 1 ,V 4 ) = Max { 0;0;1 − 0} = 1
C d (V 3 ,V 4 ) = Max { 0;0,66 − 0;1 − 0,66} = 0.66
C d (V 2 ,V 1 ) = Max { 0,66 − 0;1 − 0,33;0} = 0.67
C d (V 4 ,V 1 ) = Max { 0,66 − 0,33;1 − 0,66;0} = 0.34
C d (V 2 ,V 2 ) = Max { 0;0;0} = 0
C d (V 4 ,V 2 ) = Max { 0;0;0} = 0
C d (V 2 ,V 3 ) = Max{1 − 0;0;0} = 1 C d (V 2 ,V 4 ) = Max { 0,33 − 0;0,66 − 0,33;1 − 0,66} = 0.34 C d (V 4 ,V 4 ) = Max { 0;0;0} = 0
C d (V 4 ,V 3 ) = Max {1 − 0,33;0;0} = 0.67 C d (V 4 ,V 4 ) = Max { 0;0;0} = 0
Tabelul nr.3
Mcc=
V 1 V 2 V 3 V 4
V 1 1 0,2 0,6 0,2
V 2 0,8 1 0,6 1
V 3 0,4 0,6 1 0,6 5
V 4 0,8 0 0,4 1
Indicatori de concordanta
V 1 0 0,67 1 0,34
V 1 V 2 V 3 V 4
Mcd=
V 2 0,66 0 0,33 0
V 3 0,66 1 0 0,67
V 4 1 0,34 0,66 0
Indicatori de discordanta
Dupa determinarea acestor doua matrici se calculeaza matricea diferentelor. V 1 1 -0,47 -0,4 -0.14
V 1 V 2 V 3 V 4
Mdif = Mcc- Mcd
V 2 0,14 1 0,27 1
V 3 -0.26 -0.4 1 -0,07
Tabelul nr.4 V 4 -0,2 -0,34 -0,26 1
Pe baza matricei diferentelor se calculeaza matricea dominantei. Se compara elementele (V j ;Vl) cu (Vl ;V j). In locul elementelor cu valoare mai mare se trece 1 in matricea dominantei, iar in locul elementelor cu valoare mai mica se trece 0;pe diagonala se trece 1, iar cand elementele au valori egale se trece tot 1.
Mdom=
V 1 V 2 V 3 V 4
V 1
V 2
V 3
V 4
1 0 0 1
1 1 1 1
1 0 1 1
0 0 0 1
6
Tabelul nr.5 Vector de dominanta 3 1 2 4
Comparand variantele fiecare cu toate celelalte se obtine numarul de dominante pentru fiecare dintre acestea. Numarul de dominante pentru fiecare varianta este V1= 3 , V2= 1, V3= 2, V4= 4, de unde rezulta urmatoarea ordine de preferinta: V4> V1>V3>V2.
1.3. Metoda Leader-ului Metoda Leader-ului serveste la ierarhizarea liniilor de actiune prin stabilirea variantei de dominanta maxima din punct de vedere al tuturorcriteriilor de decizie xi.In cazulacestei metode se elaboreaza cate o matrice de dominanta MD(xi) pentru fiecare criteriu de decizie, cu elementele djl(xi). Comparand doua variante, Vj si Vl, din punct de vedere al criteriului xi, elementele djl(xi), in functie de dominanta unei variante asupra celeilalte, vor lua valoarea 2,1 sau 0 astfel:
2, d a c j a V V l d j l x( i ) = 1, d a c j a≅ V V l 0, d a c a V V l j Se considera ca vartiantele se autodomina.Deci,
M(x1) Matricea
V 1
V 1 2
d jj ( xi ) = 2 .
V 2 2 7
V 3 0
Tabelul nr.6 V 4 2
pretului
M(x2) Matricea calitatii
M(x3) Matricea termenului de livrare
V 2 V 3 V 4
0 2 0
2 2 2
0 2 0
0 0 2
V 1 V 2 V 3 V 4
V 1 2 0 0 0
V 2 2 2 0 2
V 3 2 2 2 2
V 4 2 0 0 2
V 1 V 2 V 3 V 4
V 1 2 2 2 2
V 2 0 2 1 2
V 3 0 1 2 2
V 4 0 0 0 2
Ierarhizarea variantelor prin metoda Leader-ului in forma ei clasica nu ia in considerare importanta diferita a criteriiloe de decizie. Aceasta deficienta poate fi inlaturata prin determinarea urmatoarelor elemente: - matricile MD'(xi), in care MD' ( xi ) = k i ⋅ MD( xi ) ; n
- matricea de dominanata MDT ' = ∑ MD ' ( x i ) ; i =1 n
- vectorul de dominanta VDT', cu elementele vd j = ∑ d jl . l =1
Tabelul nr.7 8
M’(x1)
M’(x2)
M’(x3)
V 1 V 2 V 3 V 4
V 1 V 2 V 3 V 4
V 1 0,8 0 0,8 0
V 2 0,8 0,8 0,8 0,8
V 3 0 0 0,8 0
V 4 0,8 0 0,8 0,8
V 1 V 2 V 3 V 4
V 1 0,8 0 0 0
V 2 0,8 0,8 0 0,8
V 3 0,8 0,8 0,8 0,8
V 4 0,8 0 0 0,8
V 1 V 2 V 3 V 4
V 1 0,4 0,4 0,4 0,4
V 2 0 0,4 0,2 0,4
V 3 0 0,2 0,4 0,4
V 4 0 0 0 0,4
V 1
V 2
V 3
V 4
2 0,4 1,2 0,4
1,6 2 1 2
0,8 1 2 1,2
1,6 0 0,8 2
Ordinea de preferinta este deci: V 1> V4>V3>V2. 9
Tabelul nr.8 Vector de dominanta 6 3,4 5 5,6
2. Metode de fundamentare a deciziilor unicriteriale 2.1. Metode de luare a deciziilor in conditii de risc 2.1.1. Arbori de decizie
10
Cazul1 In vederea fabricarii pe o perioada delimitata a unui sortiment, pe cele trei utilaje existente se monteaza cate un dispozitiv cu un cost unitar (c) de 30 u.m., a carei fiabilitate este redusa. Intreprinderea se poate aproviziona din timp cu unul sau mai multe dispozitive (liniile de actiune V j, unde j=1,2,3) sau le poate achizitiona in momentul defectarii (V0).In aceasta situatie, costurile datorate stagnarii productiei pana la sosirea unui dispozitiv (cs) sunt de 40 u.m. Pe baza studiilor de fiabilitate, s-a estimat distributia de probabilitate P(k), unde p(k) reprezinta probabilitatea de a defecta simultan "k" dispozitive. P(K)= (0,10 0,35 0,40 0,15)
Firma dispune de liniile de actiune V j, in fiecare varianta putand avea loc starile naturii N k . Urmarind alegerea liniei de actiune care comporta un cost sperat minim, se poate elabora arborele de decizie reprezentat in figura nr.1
Figura nr.1
11
ck j
p(k) S=0
S 1=112
V 1
V 2 S=1
D
S 2 =79
V 3 V 4
S=2
S=4
S 4=90
S 3=70,5
p(0)=0,10 p(1)=0,35 p(2)=0,40 p(3)=0,15 p(0)=0,10 p(1)=0,35 p(2)=0,40 p(3)=0,15 p(0)=0,10 p(1)=0,35 p(2)=0,40 p(3)=0,15
p(0)=0,10 p(1)=0,35 p(2)=0,40 p(3)=0,15
C01 =0 C11 =30+40=70 C21 =2*30+2*40=140 C31 =3*30+3*40=210 C02 =30 C12 =30 C22 =30+30+40=100 C32 =30+2*30+2*40=170 C03 =60 C13 =60 C23 =60 C33 =60+30+40=130
C04 =90 C14 =90 C24 =90 C34 =90
Arbore de decizie
Costurile totale, aferente fiecarei incidente "linie de actiune-stare a naturii", s-au detreminat prin insumarea celor doua costuri, conform relatiei:
12
ckj = c D(V j + D( N k )
] + c s ⋅ [
D( N k )
]
unde:
D(V j) – numarul de dispozitive stocate conform
variantei V j DNk – numarul de dispozitive defectate si neexistente Valoarea sperata a rezultatelor se
in stoc
poate determina folosind relatia:
n
S j = ∑ Rij ⋅ pi i =1 3
S j = ∑ckj ⋅ pk k =o
Marimea riscului se calculeaza prin relatia:
σ j
=
n
∑ ( R
ij
− S j ) ⋅ pi
kj
− S j ) ⋅ pik
2
i =1 3
σ j
=
∑ (c
2
k = o
Tabelul nr.9 Ckj*p(i)
S j
0*0,10 70*0,35 140*0,40 210*0,15
S1=0*0,10+70*0,35+140*0,40+210*0,15= 1 12
30*0,10
S2=30*0,10+30*0,15+100*0,40+170*0,15=
σ j
13
σ 1 =
( 0 1 1 2 ) 0,1 0 ( 7 0 1 1 2 ) 0,3 5 (1 4 0 1 1 2 ) 0,4 0 ( 2 1 0 1 1 2 ) 0,1 5 2
−
−
⋅
+
2
⋅
2
−
+
−
⋅
+
2
⋅
30*0,15 100*0,40
79
σ 2
( 3 0− 7 9 ) 2 ⋅ 0,1 0+ ( 3 0− 7 9 ) 2 ⋅ 0,3 5+
=
(1 0 0− 7 9 ) ⋅ 0,4 0+ (1 7 0− 7 9 ) ⋅ 0,1 5 2
170*0,15 60*0,10 60*0,35 60*0,40 130*0,15
S3=60*0,10+60*0,35+60*0,40+130*0,15= 7 0,5
90*0,10 90*0,35 90*0,40 90*0,15
S4=90*0,10+90*0,35+90*0,40+ 90*0,15= 90
(60 (60
σ 3 =
σ
4
=
− −
) 7 0,5 ) 7 0,5
2
2
2
⋅ 0,1 0 +
( 6 0 − 7 0,5 ) 2 ⋅ 0,35 +
⋅ 0,4 0 +
(13 0
−
70,5
)
2
⋅ 0,15
( 9 0− 9 0 ) ⋅ 0,1 0+ ( 9 0− 9 0 ) ⋅ 0,3 5+ ( 9 0− 9 0 ) ⋅ 0,4 0+ ( 9 0− 9 0 ) ⋅ 0,1 5 2
2
2
2
Se alege varianta cu riscul cel mai mic, iar ierahizarea se face de la riscul cel mai spre riscul cel mai mare.Deci: ordinea de preferinta este V 3> V2>V4>V1 pentru ca se face in functie de prêt, iar pretul cel mai mic este V 3=70,5.
Cazul 2 O firma studiaza posibilitatea lansarii pe piata a unui nou produs in urmatoarele variante de pret: pret ridicat (R), pret mediu (M) si pret scazut (S). Fiecare dintre aceste variante are implicatii asupra profiturilor totale(tabelul nr.5).In acelasi timp, pe piata pot aparea si alti competitori care pot practica preturi ridicare, medii sau scazute.
Tabelul nr.10 14
Strategiile concurentei Actiuni Probabilitati NU
0,6
DA
0,4
Strategii proprii si probabilitati privind reactia concurentei Pret scazut (S) Pret mediu (M) Pret ridicat (R)
Strategii Consecinte Probabilitati Consecinte Probabilitati Consecinte Probabilitati de pret 28 34 39 S 15 0,6 13 0,2 -11 0,1 M 17 0,3 21 0,7 -2 0,4 R 22 0,1 29 0,1 33 0,5
Pe baza acestor date se poate intocmi arborele de decizie.
Figura nr. 2
15
Valoarea sperata a rezultatelor se poate determina folosind relatia:
n
S j = ∑ Rij ⋅ pi i=1
Marimea riscului se calculeaza prin relatia:
n
σ j
=
∑ ( R
ij
− S j
) 2 ⋅ pi
i =1
Prin raportarea marimirii riscului la valoarea sperata a rezultatelor se obtine coeficientul de risc:
r j =
σ j
S j
Tabelul nr.11 S j
σ j
17
r j
S1=28*0,6+15*0,6*0,4+17*0,3 * 0,4+22*0,1*0,4=23,32
σ 1 =
−
−
S2=34*0,6+13*0,2*0,4+21*0,7 * 0,4+29*0,1*0,4=28,48 S3=39*0,6+(-11)*0,1*0,4+ (2)*0,4*0,4+33*0,5*0,4=29,24
( 28 (1 7
) 2 3,3 2 ) 2 3,3 2
2
2
⋅ 0,6 +
( 1 5 − 2 3,32 ) 2 ⋅ 0,2 4 +
⋅ 0,12 +
(22
−
)
2 3,3 2
2
(21
−
σ 3 =
(3 9
[(
−
−
2 8,4 8
29,24
)
2
2 ) − 2 9,2 4
)
2
⋅ 0,2 8 +
⋅ 0,6 +
]
2
(29
−
2 8,4 8
)
r 1
=
= 7,29
r 2
=
r 3
=
⋅ 0,0 4
( 3 4 − 2 8,4 8 ) 2 ⋅ 0,6 + ( 1 3− 2 8,4 8 ) 2 ⋅ 0,8 + σ 2 =
= 5,88
2
⋅ 0,0 4
[ ( − 1 1 ) − 2 9,2 4) ] 2 ⋅ 0,04 +
⋅0,1 6 +
(3 3
−
2 9,24
)
2
= 0,57
⋅ 0,2 0
5,88 23 ,32
7,29 28 ,48
16 ,76 29 ,24
= 0, 25
= 0,26
= 0,57
Ordinea de preferinta in functie de :
valoarea sperata a rezultatelor: V 3> V2>V1.
marimea riscului: V1> V2>V3.
coeficientul de risc: V 1> V2>V3.
Elemente de calcul pentru reprezentarea grafica a evolutiei riscului
Strategii de pret
Starile naturii
Concurenta(rezultate) 18
Probabilitati
Tabelul nr.12 Probabilitati cumulate
S (pret scazut)
S M R
DA NU
M (pret mediu)
S M R
DA NU
R (pret ridicat)
S M R
DA NU
15 17 22 28 13 21 29 34 -11 -2 33 39
0,24 0,12 0,04 0,6 0,08 0,28 0,04 0,6 0,04 0,16 0,20 0,6
0,24 0,24+0,12=0,36 0,36+0,04=0,40 0,4+0,6=1 0,08 0,28+0,08=0,36 0,36+0,04=0,40 0,4+0,6=1 0,04 0,16+0,04=0,2 0,2+0,2=0,4 0,4+0,6=1
Cazul 3 O firma producatoare de articole textile intentioneaza sa laseze in fabricatie un nou produs. Pentru aceasta,se studiaza posibilitatea construirii unei capacitati de productie. Din punct de vedere constructiv, s-au identificat doua variante: V1:Construirea unei sectii cu o capacitate anuala de productie la nivelul cererii estimate de catre serviciul de
marketing. V2:Construirea unei sectii cu o capacitate anuala de productie mai mica, urmand ca dupa o etapa sa se
studieze extinderea capacitatii la nivelul cererii estimate. Aceasta posibila extindere a capacitatii de productie s-ar putea efectua la inceputul etapei a II-a numai daca in prima etapa cererea a fost ridicata.
19
In tabelele 13 si 14 sunt prezentate veniturile nete anuale, exprimate in unitati monetare, probabilitatile de aparitie ale cererii ridicate si a celei scazute pentru fiecare dintre cele doua etape ale orizontului decizional, precum si durata acestora.
Venituri nete anuale
Venituri constructive
V1
V2
Situatii posibile in functie de cerere si decizia de extindere a capacitatii de productie
Ridicata Scazuta Ridicata in etapa I-a;ridicata in etapa a II-a;capacitatea de productie se extinde la inceputul etapei a II-a Ridicata in etapa I-a;ridicata in etapa a II-a;capacitatea de productie nu se extinde la inceputul etapei a II-a Ridicata in etapa I-a;scazuta in etapa a II-a;capacitatea de productie se extinde la inceputul etapei a II-a Scazuta in etapa I-a;scazuta in etapa a II-a
Probabilitati de aparitie ale cererii
Nivelul cererii
Tabelul nr.14 Probabilitati Etapa I Etapa II 20
Tabelul nr.13 Etapa I II 2 ani 3 ani 170 150 45 30
80
140
80
75
80
15
54
35
Ridicata Scazuta
0,6 0,4
0,3 0,7
Pe baza datelor din tabelul 13, se poate realize arborele de decizie din figura nr.3.
21
Se extinde capacitatea de productie deaoarece valoarea sperata a venitului de la ramura Da este mai mare decat valoarea sperata de la ramura Nu si se pastreaza numai ramura Da.
Valoarea sperata a rezultatelor se poate determina folosind relatia: n
S j = ∑ Rij ⋅ pi i=1
Marimea riscului se calculeaza prin relatia:
n
σ j
=
∑ ( R
ij
− S j
) 2 ⋅ pi
i =1
23
Tabelul nr.15 S j
SV1=790*0,18+430+0,42+540*0,12 +180*0,28=438
σ j
σ 1 =
(7 9 0 (5 4 0
− −
) 438 ) 438
2
2
⋅ 0,1 8 +
( 4 3 0− 4 3 8 ) 2 ⋅ 0,4 2+
⋅ 0,1 2 +
(1 8 0
−
438
)
2
= 205,47
⋅ 0, 2 8
SDa=580*0,3+205*0,7=317,5
S Nu=385*0,3+265*0,7=301
( 58 0− 2 9 0,1 ) 2 ⋅ 0,3 0,6 + ( 2 0 5− 2 9 0,1 ) 2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,7 + σ 2 =
( 33 3
−
2 9 0,1
)
2
⋅ 0,1 2 +
(213
−
2 9 0,1
)
2
⋅ 0,2 8
= 7,29
SV2=317,5*0,6+333*0,12+213* 0,28=290,1
Calculandu-se valoarea sperata in cele doua variante V 1 si V2, rezulta ca decizia care ofera un venit net maxim este: construirea din prima etapa a unei capacitate de productie la nivelul cererii (V 1). Deci ordinea de preferinta este: V 1> V2. Pentru aceasta varianta , valoarea riscului in marimi absolute este de 205,47.
2.2. Metode de luare a deciziilor in conditii incerte
24
Cazul I Tabelul nr 16
V j
E i
V 1 20 8 -2 -4
E 1 E 2 E 3 E 4
V 2 15 8 0 -4
V 3 12 5 -2 -5
V 4 10 7 5 -1
V1 – sectorul comercial V2 – sectorul serviciilor V3 – sectorul in domeniul financiar-bancar V4 – sectorul asigurarilor
2.2.1. Metoda maxi-max Se alege acea linie de actiune (V *) care permite obtinerea rezultatului maxim, indifferent de starea naturii care ar avea loc, conform relatiei:
V * = max
max ( Rij ) j
i
V1 = 20 V2 = 15 V3 = 12 25
V4 = 10 Rezulta ca valoarea maxima corespunde variantei
*
V 1
.
2.2.2. Metoda maxi-min (metoda prudentei) Metoda consta in aplicarea principiului maxi-min strategiilor decidentului. Pentru aceasta, se determina valorile minime corespunzatoare fiecarei linii de actiune si se alege acea varianta (V *) careia ii corespunde valoarea maxima, conform relatiei:
*
V = max
min ( Rij ) j
i
unde: R ij – rezultatul variantei j in cazul aparitiei starii naturii i.
Decidentul urmareste alegerea acelei linii de actiune care sa-I permita obtinerea unui rezultat maxim sigur, indiferent de starea naturii care se produce. V1 = -4 V2 = -4 V3 = -5 V4 = -1 Rezulta ca valoarea maxima corespunde variantei
*
V 4
.
2.2.3. Metoda coeficientului de optimism Metoda consta in a alege linia de actiune care maximizeaza valoarea V j, astfel: 26
V * = max j
(α Rij max + (1 − α ) Rij min ) ,
unde:
R j min si R j max reprezinta rezultatul minim,
respective maxim al α
variantei “j”
- coeficientul de optimism ( 0 ≤ α ≤ 1 )
Aceasta metoda presupune o combinare a celor doua metode anterioare. Astfel: -
α
=0, se ajunge la metoda maxi-min
-
α
=1, se obtine metoda maxi-max.
V1 - Max=20
V2 - Max=15
- Min=-4
-
α
- Min=-4
V3 - Max=12
V4 - Max=10
- Min=-5
- Min=-1
=0
* V j = max ( Rij min)
j
V1 = -4 V2 = -4 V3 = -5 V4 = -1 Rezulta ca valoarea maxima corespunde variantei -
α
=1
27
*
V 4
.
V j* = max ( Rij max) j
V1 = 20 V2 = 15 V3 = 12 V4 = 10 Rezulta ca valoarea maxima corespunde variantei
-
α
*
.
*
.
V 1
=0,3
*
V j = max
(0,3 Rij max − 0,7 Rij min) j
α
=0,3
1- α =1-0,3=0,7
V1 = 0,3*20-0,7*4 = 6-2,8 = 3,2 V2 = 0,3*15-0,7*4 = 4,5-2,8 = 1,7 V3 = 0,3*12-0,7*5 =3,6-3,5 = 0,1 V4 = 0,3*10-0,7*1 = 3-0,7 = 2,3 Rezulta ca valoarea maxima corespunde variantei
V 1
2.2.4. Metoda sperantei matematice 28
2.2.4.1.Criteriul lui Laplace Speranta matematica se calculeaza conform relatiei:
*
V j
= max j
V 1 = V 2 = V 3 = V 4 =
R , unde n- numarul starilor naturii. ∑ n 1
n
ij
i =1
20 + 8 − 2 − 4 4 15 + 8 + 0 − 4 4 12 + 5 − 2 − 5 4 10 + 7 + 5 −1 4
= 5,5 = 4,75 = 2,5 = 5,25
Rezulta ca valoarea optima corespunde variantei
*
V 1
2.2.4.2.Probabilitati de tip bayesian E 1 → p1 = 0,3 E 2 → p2 = 0,2 E 3 → p3 = 0,4 E 4 → p4 = 0,1
29
.
V j*
n = max ∑ Rij ⋅ pi j i = 1
V1 = 20*0,3+8*0,2-2*0,4-4*0,1 = 6+1,6-0,8-0,4 = 6,4 V2 = 15*0,3+8*0,2+0*0,4-4*0,1 = 4,5+1,6+0-0,4 = 6,8 V3 = 12*0,3+5*0,2-2*0,4-5*0,1 = 3.6+1-0,8-0,5 = 3,3 V4 = 10*0,3+7*0,2+5*0,4-1*0,1 = 3+1,4+2-0,1 = 6,3 Varianta careia ii corespunde speranta matematica maxima este
*
V 2
.
2.4.5.Metoda regretului minim Presupunand ca in matricea rezultatelor starile naturii sunt trecute pe linii, iar variantele de actiune pe coloane, elementele matricii regretelor (r ij)se obtin scazand elementele fiecarei linii din elementul maxim al liniei respective, adica:
unde: j=1,2,…,n; r ij= R i max – R ij
i=1,2,…m; R i max – reprezinta valoarea maxima a rezultatelor pe linia starii naturii “i”. 30
Varianta optima se determina folosind relatia: V j* = min ( max r ij
unde: r ij regrete
)
Tabelul nr.17
V j
E i E 1 E 2 E 3 E 4
V 1 20 8 -2 -4
V 2 15 8 0 -4
V 3 12 5 -2 -5
V 4 10 7 5 -1
Ri max
R1 max =20 R2 max =8 R3 max =5 R4 max =-1
Matricea regretelor Tabelul nr.18
E i
(20) E 1 (8) E 2 (5) E 3 (-1) E 4 Max rij
V j V 1 0 0 7 3 7
V 2 5 0 5 3 5
V1 = 7 V2 = 5 V3 = 8 31
V 3 8 3 7 4 8
V 4 10 1 0 0 10
