Exercitii Si Probleme Rezolvate

Friday, June 08, 2012

Exercitii si probleme rezolvate 1. Se aruncǎ o monedǎ de trei ori. Sǎ se determine

a)

Spatiul

al probelor,

b) probele care favorizeazǎ aparitia evenimentelor:

- ca la prima aruncare sa se obtinǎ marca,

ultimele douǎ aruncǎri sǎ se obtinǎ marca, respectiv

c)

c)evenimentele ,

,

,

,

- la

- marca sǎ aparǎ o singurǎ datǎ in cele trei aruncǎri,

,

,

,

,

,

,

,

d) probabilitǎtile evenimentelor evenimentelor precizate precizate la punctele precedente. precedente.

Solutie. a) Dacǎ notǎm prin fetei opuse, atunci spatiul

aparitia fetei cu marca (valoarea monedei) la o aruncare si prin

aparitia

al probelor este

. Asadar, spatiul

are 8 probe.

b) Probele care favorizeazǎ aparitia evenimentului sunt:

,

,

,

, care inseamnǎ cǎ la prima aruncare apare marca

, adicǎ

. In mod analog, avem cǎ

.

c) Evenimentul

inseamnǎ cǎ marca apare la prima aruncare sau o singurǎ datǎ in cele trei aruncǎri,

adicǎ

. Evenimentul adicǎ

este

evenimentul

ca

marca

sǎ

aparǎ

in

toate

cele

trei

aruncǎri,

.

Evenimentul

Evenimentul incompatibile.

inseamnǎ aparitia mǎrcii numai la prima aruncare, adicǎ

este evenimentul imposibil, deci

, adicǎ evenimentele

si

sunt

Page 1 of 37 Document1

6/14/2013 12:18 AM


Deoarece

Evenimentele,

, rezultǎ cǎ

,

, si

aruncǎri se obtine cel putin odatǎ

.

, inseamnǎ respectiv cǎ la prima aruncare se obtine

, la ultimele douǎ

, mar ca ca nu apare o singurǎ datǎ in cele trei aruncǎri. Astfel, putem scrie scrie

Evenimentul diferentǎ douǎ ori, adicǎ

inseamnǎ cǎ la prima aruncare apare marca si cǎ marca apare cel putin de

Evenimentul diferenta ori, adicǎ

inseamnǎ cǎ la prima aruncare apare marca si cǎ marca apare cel mult douǎ

Evenimentul diferentǎ

inseamnǎ inse amnǎ cǎ marca apare o singurǎ datǎ, dar nu la p rima aruncare, deci

d) Folosim definitia calasicǎ a probabilitǎtii. Pentru aceasta avem cǎ numǎrul cazurilor posibile este dat de numǎrul probelor lui

, adicǎ 8.

Numǎrul cazurilor favorabile evenimentului

este 4, prin urmare se obtine cǎ

Analog avem cǎ cǎ

De asemenea avem cǎ


6/14/2013 12:18 AM


sau folosind formula

In mod analog,

La fel, avem cǎ

si

2. Un aparat este format din trei componenete. Se noteazǎ cu

,

si

respectiv evenimentele ca prima,

a doua si a treia componentǎ sǎ fie d efectǎ. Sǎ se exprime cu ajutorul evenimentelor a)

cel putin o componentǎ este defectǎ,

b)

exact o componentǎ este defectǎ,

c)

nici o componenta nu este defectǎ,

d)

toate componentele sunt defecte.

,

si

evenimentul ca:

Solutie. a) Dacǎ este evenimentul ca cel putin o componentǎ sǎ fie defectǎ, atunci , adicǎ adi cǎ sau prima componentǎ este defectǎ, sau a doua componentǎ sǎ fie defectǎ, sau a treia componentǎ sǎ fie defectǎ, ceea ce nu exclude cǎ douǎ sau trei componente sunt defecte. b) Evenimentul ca exact o componentǎ sǎ fie defectǎ se realizeazǎ dacǎ prima componentǎ este defectǎ si celelalte douǎ nu sunt defecte, sau a doua componentǎ este defectǎ si celelalte douǎ nu sunt defecte, sau a treia este defectǎ si celelale celelale douǎ nu sunt defecte, adicǎ

c) Evenimentul exprima prin

d) Evenimentul

ca nici o componentǎ sǎ nu fie defectǎ, adicǎ fiecare componentǎ sǎ fie bunǎ, se poate sau

ca toate cele trei componente sǎ fie defecte are exprimarea

3. Pe un raft sunt asezate la intamplare 10 cǎrti, dintre care trei reprezintǎ cele trei volume ale aceluiasi roman. Sǎ se calculeze probabilitatea ca:

a)

cele trei volume ale romanului sǎ fie asezate unul langa altul in ordinea naturalǎ ( vol.1,2,3), vol.1,2,3),

b)

cele trei volume ale romanului sǎ fie asezate unul langǎ altul in orice ordine,

c)

cele trei volume ale romanului sǎ fie asezate unul langǎ altul in ordinea naturalǎ, la inceputul raftului.


6/14/2013 12:18 AM


Solutie. Numǎrul cazurilor posibile este dat de numǎrul total al modurilor de aranjare a celor 10 cǎrti de pe raft, adicǎ 10!. a) Dacǎ este evenimentul ca cele trei volume sǎ fie asezate unul dupǎ altul in ordine naturalǎ, atunci pentru a stabili cazurile favorabile, considerǎm cele trei volume ca o singurǎ carte. In acest fel, numǎrul cazurilor favorabile evenimentului

este dat de numǎrul modurilor de aranjare a celor 8 cǎrti pe raft (cele 7 rǎmase la care

se adaugǎ una formatǎ din cele trei volume), adicǎ 8! Prin urmare, avem cǎ b) Notǎm cu evenimentul ca cele trei volume sǎ fie asezate unul langǎ altul in orice ordine. Se repetǎ rationamentul de la punctul precedent, cu observatia cǎ 8! se va inmulti cu 3!, ceea ce reprezintǎ in cate moduri se

pot aseza cele trei volume unul langǎ altul. Asadar obtinem, cǎ

c) Fie evenimentul ca cele trei volume sǎ fie asezate la inceputul raftului, in ordine naturalǎ. Deoarece “cartea” formatǎ din cele trei volue este asezatǎ la inceputul raftului, numǎrul cazurilor favorabile evenimentului

este dat de numǎrul modurilor de aranjare pe raft a celor 7 cǎrti rǎmase, adicǎ 7!. Astfel, rezultǎ

cǎ 4. Cu ocazia sǎrbǎtorilor de iarnǎ, la un magazin cu dulciuri sunt pregǎtite pachete pentru copii. Stiind cǎ pentru pregǎtirea unui pachet se dispune de ciocolatǎ in 6 sortimente, cutii cu bomboane in 10 sortimente si cutii cu biscuiti in 9 sor timente si cǎ in fiecare pachet se pun la intamplare 5 sortimente de dulciuri(ciocolatǎ, bomboane, biscuiti), sǎ se determine probabilitatea ca un pachet l uat la intamplare sǎ continǎ

a)

douǎ ciocolate, douǎ cutii cu bomboane si o cutie cu biscuiti(toate de sortimente diferite),

b)

trei ciocolate si douǎ cutii cu bomboane.

Solutie. Numǎrul total de sortimente de dulciuri de care se dispune pentru formarea unui pachet este 25, iar pentru fiecare pachet se ia la intamplare 5 sortimente de dulciuri. Prin urmare, numǎrul total a modurilor de formare a unui pachet este a) Dacǎ

si care reprezintǎ numǎrul cazurilor posibile. este evenimentul ca pachetul sǎ continǎ douǎ ciocolate, douǎ cutii de bomboane si o cutie de

biscuiti, atunci numǎrul cazurilor favorabile acestui eveniment este sortimente diferite se pot lua din cele 6 sortimente in bomboane si pentru cutia de biscuiti. Rezultǎ cǎ

. Intr-adevǎr, cele douǎ ciocolate de

. La fel se rationeazǎ pentru cele douǎ sortimente de

b) Fie evenimentul ca pachetul sǎ continǎ trei ciocolate de sortimente diferite si douǎ cutii cu bomboane de sortimente diferite. Rationand ca mai inainte, se obtine cǎ


6/14/2013 12:18 AM


5. Se aruncǎ trei zaruri, fiecare avand o fata coloratǎ alb, una coloratǎ negru si cate douǎ colorate in rosu si respectiv in galben. Sǎ se determine probabilitatea ca:

a)

cel putin un zar sǎ arate culoarea rosie,

b)

cel putin douǎ zaruri sǎ arate culoarea albǎ. Solutie. Fie

evenimentul ca cel putin unul din cele trei zaruri sǎ arate culoarea rosie. Dacǎ se noteazǎ

cu evenimentul ca zarul aratǎ culoarea rosie, atunci independente. Prin urmare, folosind formula lui Poincaré, se obtine cǎ

Deoarece zarurile sunt identice, avem

b) Fie

, deci

evenimentul ca cel putin douǎ zaruri sǎ arate culoarea albǎ, atunci

un zar sǎ arate culoarea albǎ. Daca notǎm cu prin

, unde evenimentele reuniunii sunt

este evenimentul ca cel putin

evenimentul ca nici un zar sǎ nu arate culoarea albǎ, respectiv

evenimentul ca exact un zar din cele trei sǎ arate culoarea albǎ, atunci

evenimentele

si

sunt incompatibile, avem cǎ

Pe de altǎ parte, se obtine cǎ

cǎ

. Deoarece

, iar

.

Prin urmare, avem

, de unde Dacǎ o familie are 5 copii, se cere sǎ se calculeze probabilitatea ca: a) patru din cei cinci copii sǎ fie bǎieti, b)

b)cel putin doi din cei cinci copii sǎ fie bǎieti.


6/14/2013 12:18 AM


Solutie. Pentru rezolvarea problemei se aplicǎ schema lui Bernoulli cu bila intoarsǎ, unde

,

.

a) Fie evenimentul ca familia sǎ aibǎ exact patru bǎieti. Luand intoarsǎ, rezultǎ cǎ

in schema lui Bernoulli cu bila

b) Dacǎ notǎm cu evenimentul ca familia sǎ aibǎ cel putin doi bǎieti, atunci sǎ aibǎ un bǎiat sau nici unul. Prin urmare, se poate scrie

este evenimentul ca familia

Asadar, avem cǎ 7. La un magazin se gǎsesc articole de imbrǎcaminte dintre care 90% satisfac standardele, 7% prezintǎ defectiuni retusabile, iar 3% prezintǎ defectiuni neretusabile. Sǎ se calculeze probabilitatea ca din sase articole luate la intamplare, trei sǎ satisfacǎ standardele, douǎ sǎ fie retusabile si unul sǎ fie neretusabil.

Solutie. Rezolvarea se bazeazǎ pe schema lui Bernoulli cu bila intoarsǎ cu mai multe stǎri (trei), unde ,

,

,

,

,

,

.

Astfel se obtine probabilitatea cerutǎ ca fiind

8. Pe un raft, intr-un magazin, se aflǎ 50 de piese de acelasi tip, care provin de la douǎ fabrici, respectiv 20 de la una dintre ele si 30 de la cealaltǎ. Intr -o zi s-au vandut sase astfel de piese. Sǎ se calculeze probabilitatea sǎ se fi vandut acelasi numǎr (cate trei) de piese de la cele douǎ fabrici.

Solutie. Se aplicǎ schema lui Bernoulli cu bila neintoarsǎ, unde urmare, probabilitatea cerutǎ este

,

,

,

. Prin

9. Intr-o cutie sunt 12 bile marcate cu 1, 8 sunt marcate cu 3 si 6 cu 5. O persoanǎ extrage la intamplare din cutie 4 bile. Sǎ se calculeze probabilitatea ca suma obtinutǎ sǎ fie cel mult 13.


6/14/2013 12:18 AM


Solutie. Dacǎ notǎm cu

evenimentul ca suma obtinutǎ pe cele patru bile sǎ fie cel mult 13, atunci

evenimentul contrar este evenimentul ca cele patru bile sǎ fie cel putin 14. Se vede cǎ suma maximǎ ce se poate obtine este 4·5=20. De asemenea, avem cǎ 3·5+1·3=18, 3·5+1·1=16, 2·5+2·3=16, 2·5+1·3+1·1=14, 1·5+3·3=14. Alte posibilitǎti de a obtine suma cel putin 14 din patru bile nu existǎ. Asadar, pentru a obtine suma 14 trebuie luate douǎ bile marcate cu 5 din cele sase existente, una marcatǎ cu 3 din cele opt si respectiv una marcatǎ cu 1 din cele 12, respectiv una marcatǎ cu 5 si 3 marcate cu 3. Folosind schema lui Bernoulli cu bila neintoarsǎ cu trei stǎri se obtine cǎ

Analog, avem cǎ

Asadar,

avem

cǎ

,

de

unde 10. Cinci masini, care produc acelasi tip de piese, dau rebuturi in procente 2%, 1%, 5%, 4%, 6% respectiv. Se ia cate o piesǎ produsǎ de la fiecare. Sǎ se calculeze probabilitatea ca din cele cinci piese luate, exact douǎ sǎ fie rebut, precum si probabilitatea ca cel putin una sǎ fie rebut.

Solutie. Se aplicǎ schema lui Poisson, unde

, iar

Probabilitatea ca din cele cinci piese douǎ sǎ fie rebut se obtine ca fiind coeficientul lui

al polinomului


6/14/2013 12:18 AM


adicǎ

Dacǎ

este evenimentul ca cel putin una din cele cinci piese sǎ fie rebut, atunci

nici o piesǎ sǎ nu fie defectǎ. Deci

este evenimentul ca

, de unde

11. Doi jucǎtori sunt angrenati intr -un joc format din mai multe partide. Primul jucǎtor castigǎ o partidǎ cu

probabilitatea

si o pierde cu probabilitatea

. Sǎ se calculeze probabilitatea ca:

a) prima partidǎ castigatǎ de primul jucǎtor sǎ se producǎ dupǎ cinci partide pierdute, b)

a treia partidǎ castigatǎ de primul jucǎtor sǎ se producǎ dupǎ un total de sase partide pierdute. Solutie. a) Se aplicǎ schema geometricǎ. Prin urmare, probabilitatea cerutǎ este datǎ prin

b) Se utilizeazǎ schema lui Pascal (binomialǎ cu exponent negativ),unde Astfel probabilitatea cerutǎ este

,

,

,

.

12. Intr-o cutie se aflǎ 15 mingi de tenis, din care 9 sunt noi. Pentru primul joc sunt luate la intamplare trei mingi, dupǎ care se depun in cutie. Pentru al doilea joc sunt luate din nou trei mingi la intamplare. Sǎ se calculeze probabilitatea ca:

a) pentru jocul al doilea sǎ fie luate trei mingi noi, b) pentru primul joc sǎ se fi luat trei mingi noi, dacǎ se stie cǎ la jocul al doilea au fost luate trei mingi noi.

Solutie. a) Notǎm cu

evenimentul ca la jocul al doilea sǎ fie l;uate trei mingi noi si cu

la primul joc sǎ fie luate mingi noi. Evenimentele Folosim formula probabilitǎtii totale

,

,

,

evenimentul ca

formeazǎ un sistem complet de evenimente.


6/14/2013 12:18 AM


Pe de altǎ parte, folosind schema lui Bernoulli cu bila neintoarsǎ se obtine:

,

,

, Deoarece cele trei mingi folosite la primul joc s-au uzat si sunt puse inapoi in cutie, structura cutiei se schimbǎ, cu exceptia cazului cand la primul joc s-au folosit numai mingi uzate. Asadar, probabilitǎtile conditionate din formula probabilitǎtii totale se calculeazǎ tot cu schema lui Bernoulli cu bila neintoarsǎ, adicǎ

,

,

, Prin urmare avem cǎ

b) Cu notatiile de la punctul precedent, se cere calculatǎ probabilitate conditionatǎ aceasta se foloseste formula lui Bayes, anume

. Pentru

Astfel, se obtine cǎ

13. Un motor genereazǎ energie electricǎ ce este folositǎ intermitent de cǎtre 10 muncitori, care lucreazǎ

independent. Fiecare muncitor utilizeazǎ energie timp de 12 minute intr -o orǎ. Se noteazǎ cu muncitorilor ce utilizeazǎ energie la un moment dat. Sǎ se scrie distributia variabilei aleatoare

numǎrul

.


6/14/2013 12:18 AM


Solutie. Valorile pe care le ia variabila aleatoare sunt 0,1,,10, adicǎ la un moment dat se poate ca nici unul din muncitori sǎ nu foloseascǎ energie, sau unul, sau asa mai departe 10 muncitori sǎ foloseascǎ energie electricǎ produsǎ de motor. Prin urmare, distributia variabilei aleatoare

este

sau prescurtat

,

unde

Pentru a calcula probabilitatea

electricǎ cu probabilitatea

, avem in vedere cǎ un muncitor, la un moment dat, foloseste energie

(12 minute dintr-o orǎ), iar aceastǎ probabilitate este aceeasi pentru fiecare

din cei 10 muncitori. Prin urmare, probabilitatea adicǎ

,

se calculeazǎ cu ajutorul schemei lui Bernoulli cu bila intoarsǎ,

,

, sau

, Retinem, deci, cǎ variabila aleatoare

urmeazǎ legea binomialǎ.

14. La o unitate hotelierǎ clientii doresc camere dotate cu televizor sau nu cu aceeasi probabilitate. Se

considerǎ primii patru clienti ai zilei si se noteazǎ cu si respectiv respectiv numǎrul clientilor ce solicitǎ camerǎ cu televizor si numǎrul maxim ai clientilor consecutiv inregistrati, care solicitǎ camerǎ cu televizor. Sǎ se scrie distributiile a)

variabilelor aleatoare

b)

vectorul aleator

c)

variabilelor aleatoare

si

,

, si

.

Solutie. Pentru a calcula probabilitǎtile din distributiile variabilelor aleatoare considerate, vom scrie pentru inceput spatiul probelor. Dacǎ marcǎm prin camerǎ cu televizor, atunci spatiul

si respectiv prin N faptul cǎ un client solicitǎ, respectiv nu solicitǎ

al probelor este


6/14/2013 12:18 AM


Deoarece, clientii preferǎ sau nu televizor cu aceeasi probabilitate, avem cǎ probabilitatea ca un client sǎ solicite

televizor este

si sǎ nu solicite televizor este

a) Valorile pe care le ia variabila aleatoare sunt 0, 1, 2, 3, 4, adicǎ din cei patru clienti pot dori camerǎ cu televizor 0, 1, 2, 3, respectiv 4 clienti. Asadar avem cǎ

, unde

,

si care se calculeazǎ cu schema lui Bernoulli cu bila intoarsǎ. Prin urmare, se obtine cǎ

, pentru Calculand pe rand aceste probabilitǎti, rezultǎ cǎ

Variabila aleatoare poate sǎ ia una din valorile 0, 1, 2, 3, 4, adicǎ din cei patru clienti se poate ca 0, 1, 2, 3, 4 sǎ fie numǎrul maxim al clientilor consecutivi ce solicitǎ camerǎ cu televizor. Distributia variabilei aleatoare

este

, unde Pentru a calcul probabilitatile distributiei lui

De exemplu, evenimentul (

, urmarim spatiul

) este favorizat de proba

) este favorizat de probele

Analog, se obtine ca

b) Distributia vectorului

al probelor.

,

si

,

,

, deci

,

. Apoi, evenimentul (

,

. Prin urmare, distributia variabilei aleatoare

, deci

.

este

este datǎ prin tabloul


6/14/2013 12:18 AM


unde

. Pentru a calcula aceste probabilitǎti, urmǎr,im in spatiul

care favorizeazǎ evenimentele

Astfel,

.

evenimentul

evenimentul

este

,

aleator

favorizat

de

nu este favorizat de nici o probǎ, deci

Sǎ mai considerǎm, de exemplu evenimentul

,

al probelor acele probe

, prin urmare

proba

,

deci

.

Apoi,

.

, care este favorizat de probele

. Prin rationament analog se obtine tabloul distributional al vectorului

:


6/14/2013 12:18 AM


Prin calcul direct, se vede cǎ

,

,

,

.

c) Dacǎ variabilele aleatoare si iau valorile 0, 1, 2, 3 si 4, atunci variabila aleatoare poate lua una din valorile 0, 1, , 8. Mai trebuie precizate probabilitǎtile cu care sunt luate aceste valori. Aceste probabilitǎti se calculeazǎ dupǎ cum urmeazǎ:

In acest fel se obtine distributia variabilei aleatoare

, anume


6/14/2013 12:18 AM


Deoarece si , deci este imposibil ca acestea se eliminǎ din tabloul distributional obtinandu-se

sǎ aibǎ aceste valori,

Pentru a scrie distributia variabilei aleatoare , se procedeazǎ in mod analog, anume din valorile 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 1 De asemenea, probabilitǎtile se calculeazǎ dupǎ cum urmeazǎ:

poate lua una

s.a.m d. Se obtine in acest fel distributia vectorului aleator produs

sau

15. La trei unitǎti se gǎsesc articole ce provin de la douǎ fabrici, in urmǎtoarele proportii: la prima

unitate

de la prima fabricǎ, la a doua unitate

de la prima fabricǎ, iar la a treia unitate

Un client cumpǎrǎ cate un articol de la fiecare unitate. Fie de la fabricǎ. Sǎ se scrie distributia variabilei aleatoare se reprezinte grafic functia de repartitie. Solutie. Variabila aleatoare

numǎrul articolelor cumpǎrate de client si care provin , functia de repartitie corespunzǎtoare lui

, iar apoi sǎ

poate lua una din valorile 0, 1, 2, 3, iar probabilitǎtile cu care sunt luate aceste

valori sunt date de schema lui Poisson, unde Prin urmare, variabila aleatoare

de la prima fabricǎ.

,

,

,

,

,

,

.

are distributia


6/14/2013 12:18 AM


,

unde

.

Avem pe rand cǎ

deci distributia variabilei aleatoare

este

Pornind de la definitia functiei de repartitie se obtine cǎ:

Modul cum a fost determinatǎ expresia functiei de r epartitie il exemplificǎm prin cazul

. Astfel avem cǎ

Graficul functiei de repartitie este dat in fig.1.


6/14/2013 12:18 AM


Fig.1 1 Un sofer amator intentioneazǎ sǎ circule cu masina neinmatriculatǎ panǎ cand va ajunge la a treia

sanctiune primitǎ din partea agentilor de circulatie. Fie Sǎ se scrie distributia variabilei aleatoare

probabilitate

numǎrul zileler in care circulǎ panǎ la a treia sanctiune.

, stiind cǎ soferul poate fi controlat in fiecare zi cu aceeasi

, iar apoi sǎ se scrie functia de repartitie corespunzǎtoare variabilei aleat oare

Solutie. Variabila aleatoare distributia

poate lua una din valorile 0, 1, Prin urmare, variabila aleatoare

are

sau prescurtat

unde

. Probabilitatea

se calculeazǎ folosind schema lui Pascal cu

,

, adicǎ

De exemplu, avem cǎ

,

,


6/14/2013 12:18 AM


Functia de repartitie se scrie pornind d e la definitie. Dacǎ

Dacǎ

, atunci

Dacǎ

, atunci

In general, dacǎ

, avem cǎ

17. Se considerǎ variabila aleatoare

pentru orice

, atunci

, unde

a) parametrul real

de tip continuu, care are densitatea de probabilitate

,

este un parametru real. Sǎ se determine

,

b) functia de repartitie a variabilei aleatoare

c) probabilitǎtile

Solutie. a) Deoarece functia

,

si

este o densitate de probabilitate, rezultǎ cǎ

, de unde

De asemenea, se impune ca

Observǎm cǎ functia care se integreazǎ este functie parǎ, iar intervalul de integrare este simetric fata de origine, astfel cǎ


6/14/2013 12:18 AM


Dacǎ se inlocuieste mai sus, avem cǎ

,

.

b) Intre densitatea de probabilitate si functia de reartitie avem relatia

Dacǎ

, atunci implicit avem cǎ

, deci

Dacǎ

, integrala se descompune in suma a douǎ integrale, anume:

Prin urmare, avem functia de repartitie

c)Folosind functia de repartitie avem cǎ

A doua probabilitate este o probabilitate conditionatǎ, prin urmare

Ca mai inainte, avem cǎ


6/14/2013 12:18 AM


Prin urmare, se obtine cǎ

18. Vectorul aleator

are densitatea de probabilitate

Se cere:

a)

sǎ se determine constanta

,

b)

densitǎtile de probabilitate pentru variabilele aleatoare componente

c) probabilitǎtile

si

,

si

Solutie. a) Din proprietǎtile densitǎtii de probabilitate, avem cǎ

, de unde, in mod

necesar, Pe de altǎ parte se impune ca

Pentru calculul acestei integrale duble scriem succesiv


6/14/2013 12:18 AM


Asadar, avem cǎ

, de unde

b) Pentru determinare densitǎti de probabilitate

a variabilei aleatoare

, pentru

Dacǎ

, atunci

Dacǎ

, atunci avand in vedere cǎ

, folosim formula

.

, deci

, pentru

, putem scrie

Prin urmare, avem cǎ

Analog se obtine cǎ


6/14/2013 12:18 AM


d)Avand in vedere cǎ densitatea de probabilitate probabilitatea cerutǎ cu formula

a vectorului aleator

, putem calcula

, unde Astfel avem

de unde Folosind definitia probabilitǎtii conditionate, avem cǎ

Pe de o parte, avem succesiv


6/14/2013 12:18 AM


Pe de altǎ parte avem cǎ

Folosind aceste douǎ p robabilitǎti calculate, avem cǎ

19. Se considerǎ variabila aleatoare probabilitate

ce urmeaza legea normalǎ

, adicǎ are densitatea de

, pentru orice

Sǎ se determine densitatea de probabilitate pentru variabilele aleatoare

(

,

,

) si


6/14/2013 12:18 AM


Solutie. Se stie cǎ dacǎ intre douǎ variabile aleatoare de tip continuu existǎ o legǎturǎ liniarǎ,

adicǎ

(

), atunci intre densitǎtile corespunzǎtoare existǎ relatia

Deoarece, in cazul de fata,

deci variabila aleatoare

, iar

, avem cǎ

urmeazǎ legea normalǎ

Pentru a determina densitatea de probabilitate de repartitie

a variabilei aleatoare

, determinǎm, prima datǎ functia

pentru aceasta. Se porneste de la definitia functiei de repartitie, adicǎ

Deoarece

Dacǎ

, rezultǎ cǎ pentru

avem

, putem scrie cǎ

Prin derivarea functiei de repartitie se obtine densitatea de probabilitate, adicǎ

Asadar, s-a obtinut cǎ 20. La patru unitǎti de oras consumul de apǎ este normal cu probabilitǎtile 0,9, 0,8, 0,85 si respectiv 0,7. Se noteazǎ

cu

numǎrul unitǎtilor, din cele patru, la care consumul este

normal intr-o zi fixatǎ din sǎptǎmanǎ. Sǎ se scrie dis tributia variabilei aleatoare medie, dispersia, abaterea standard, mediana si modul variabilei aleatoare

, iar apoi sǎ se calculeze valoarea .

poate sǎ ia una din valorile 0, 1, 2, 3, 4, dupǎ cum numǎrul unitǎtilor la care Solutie. Variabila aleatoare consumul este normal, in ziua precizatǎ, este normal in 0, 1, 2, 3,respectiv 4 unitǎti. Prin urmare, variabila aleatoare

are distributia


6/14/2013 12:18 AM


, unde

Probabilitǎtile ,

,

,

se calculeazǎ cu schema lui Poisson. Pentru aceasta avem ,

consumul normal la unitatea

, , iar

,

,

,

adicǎ

,

,

este probabilitatea sǎ fie

este probabilitatea sǎ fie consum anormal la u nitatea

In acest fel se obtine:

Astfel, distributia variabilei aleatoare

Valoarea medie a variabilei aletoare

este

se calculeazǎ cu formula

Pentru a calcula dispersia, folosim formula Dar avem cǎ

deci

si

de

asemenea,

avem

imediat

abaterea

standard Mediana

este datǎ de dubla inegalitate


6/14/2013 12:18 AM


Avem cǎ

si in consecintǎ se obtine

Modul variabila aleatoare

este definit ca fiind punctul de extrem local al distributiei lui

. Se stie cǎ serviciile unitǎtii

panǎ cand este servit ireprosabil. Fie

modul variabilei aleatoare

apeleazǎ la serviciile unitǎtii hotelier e

sunt ireprosabile in 80% d in cazuri. Persoana respectivǎ intentioneazǎ sǎ apeleze la

ireprosabil. Sǎ se scrie distributia aleatoare

numǎrul de zile cat a fost servitǎ persoana respectivǎ

, iar apoi sǎ se determine valoarea medie , dispersia, mediana si

.

Solutie. Probabilitatea ca o persoanǎ care face apel la serviciile unitǎtii

este

, deoArece

ia valoarea 4 cu probabilitatea maximǎ

21. O persoanǎ, de fiecare datǎ cand se deplaseazǎ in orasul

serviciile unitǎtii

, adicǎ

sǎ fie servitǎ ireprosabil

, iar probabilitatea ca sǎ nu fie servitǎ in mod ireprosabil este Deoarece

este numǎrul servirilor ireprosabile panǎ la o servire nemultumitoare pentru clientul respectiv,

avem cǎ aceasta este o variabilǎ aleatoare ce urmeazǎ legea geometricǎ. Distributia variabilei aleatoare

este

sau Cateva din primele probabilitǎti sunt:

Valoarea medie a variabilei aleatoare

este


6/14/2013 12:18 AM


Seria care apare in calculul valorii medii convergentǎ. Prin urmare, se poate scrie

este o serie geometricǎ, avand ratia

Deoarece si , rezultǎ cǎ servitǎ ireprosabil de patru ori consecutiv.

. Aceasta ne spune sǎ ne asteptǎm ca o persoanǎ sǎ fie

Pentru calculul dispersiei folosim formula

Din nou avem o serie geometricǎ cu ratia

adicǎ

Pentru aceasta, calculǎm

, deci convergentǎ, drept urmare se poate scrie

. Astfel se ajunge la

In cazul de fatǎ, avand Mediana

adicǎ

, deci este

si

,se obtine

o determinǎm din conditia

va fi cel mai mic intreg, pentru care

Deoarece, avem cǎ


6/14/2013 12:18 AM


in conditiile problemei va trebui sǎ calculǎm cel mai mic

astfel ca

sau

Astfel

se obtine Se vede din distributia variabilei aleatoare

cǎ cea mai mare probabilitate este 0,2, deci modul

este

22. Timpul de

de asteptare intr-o statie de servire urmeazǎ legea exponentialǎ de parametru

se determine valoarea medie, dispersi a, abaterea medie pǎtraticǎ si mediana pentru variabila aleatoare

Solutie.Dacǎ variabila aleatoare de probabilitate

urmeazǎ legea exponentialǎ de parametru

Sǎ .

, atunci are densitatea

Valoarea medie se obtine din

Deci timpul mediu de asteptare in statia de servire este

Pentru dispersie folosim formula Dacǎ, mai jos, se integreazǎ de douǎ ori prin pǎrti, se obtine cǎ

prin urmare,

, iar

Pentru a determina mediana

, determinǎm mai intai functia de repartitie, anume

Pentru

, deoarece

, avem

, cand

.


6/14/2013 12:18 AM


Pentru

obtinem

Asadar, rezultǎ cǎ

Mediana este datǎ de ecuatia 23. Variabila aleatoare

, deci

, de unde

urmeazǎ legea gamma. Sǎ se calculeze momentele initiale, iar apoi valoarea

medie, disp[ersia, asimetria si excesul variabilei aleatoare Solutie. Dacǎ variabila aleatoare

unde parametrii

sau

.

urmeazǎ legea gamma, atuncia are densitatea de probabilitate

, iar

este functia lui Euler de speta a doua.

Pentru calculul momentelor initiale scriem

Aducem aceastǎ integralǎ la functia gamma, prin schimbarea de variabilǎ

,

astfel rezultǎ cǎ

Aplicǎm formula de recurenta pentru functia gamma sia avem


6/14/2013 12:18 AM


Avand momentele initiale se obtin

Pentru a calcula asimetria si excesul, trebuie sǎ calculǎm momentele centrate de ordinele 3 si 4. Dar avem cǎ momentul centrat

de ordin

de unde

, se exprimǎ cu momentele initiale prin formula

si

Astfel, in cazul de fatǎ, rezultǎ cǎ

Obtinem, in acest fel, asimetria si excesul variabilei aleatoare

24. Dacǎ este numǎrul mǎrcilor apǎrute in trei aruncǎri cu o monedǎ, iar este numǎrul maxim de mǎrci consecutive apǎrute in cele trei aruncǎri, sǎ se determine coeficientul de corelatie dintre variabilele

aleatoare

si

.

Solutie. Scriem la inceput distributiile variabilelor aleatoare

si

, precum si a vectorului aleator


6/14/2013 12:18 AM


Pentru

adicǎ

variabila

aleatoare

,

iar

prin

avem

distributia

calcul

direct,

de

se

la

legea

obtine

binomialǎ

distributia

cu

variabilei

si

,

aleatoare

, anume

De asemenea, distributia vectorului aleator

este

Coeficientul de corelatie il calculǎm cu formula

unde

noteazǎ corelatia dintre variabilele aleatoare X si Y.

Pentru aceasta avem cǎ

Pentru

avem

dispersie

si in mod analog

folosim

formula

In

primul

rand

,deci dispersia va fi


6/14/2013 12:18 AM


In mod analog, avem Valoarea

medie

, deci a

variabilei

aleatoare

produs

se

obtine

prin Prin urmare, pentru coeficientul de corelatie se obtine

25. Variabila aleatoare

urmeazǎ legea normalǎ

determine coeficientul de corelatie dintre variabilele aleatoare

si fie variabial aleatoare si

Solutie. Pentru a calcula coeficientul de corelatie dintre variabilele aleatoare

Se stie cǎ o variabilǎ aleatoare ce urmeazǎ legea normalǎ fatǎ

, deci

asemenea

Sǎ se

si

, folosim formula

are valoarea medie

Prin urmare, avem cǎ

. In cazul de , si de

Asadar, se obtine cǎ

Avem nevoie de momentele initiale ale variabilei aleatoare initiale. Pentru aceasta scriem

, motiv pentru care calculǎm toate momentele

Dacǎ este impar, atunci functia ce se integreazǎ este functie imparǎ, iar intervalul de integrare fiind simetric fatǎ de origine, rezultǎ cǎ integrala este zero. Prin urmare, momentele initiale de ordin impar sunt zero, deci si

In cazul in care

este par, adicǎ

, atunci functia ce se integreazǎ este o functie parǎ, deci


6/14/2013 12:18 AM


Efectuǎm schimbarea de variabilǎ datǎ prin

, deci

Astfel, rezultǎ cǎ

Dacǎ se are in vedere cǎ integrala la care s -a ajuns este functia gamma si d acǎ se aplicǎ in mod repetat formula de recurentǎ pentru funtia gamma, rezultǎ cǎ

Dacǎ avem cǎ

si dacǎ notǎm

Prin urmare, avem ca aleeatoare

si

,

se obtine cǎ

si

Astfel, coeficientul de corelatie dintre variabilele

este

2 Folosind inegalitatea lui Cebisev, sǎ se calculeze probabilitatea ca o variabilǎ aleatoare ce urmeazǎ legea normalǎ sǎ se abatǎ de la valoarea medie:

a)

mai putin de trei ori abaterea medie pǎtraticǎ,

b)

mai mult de patru ori abaterea medie pǎtraticǎ.

Solitie. a)

Variabila

cǎ si inegalitatea lui Cebisev devine

aleatoare

urmand

legea

, iar abaterea medie pǎtraticǎ este

normalǎ

,

se

stie

Prin urmare,

pentru orice

Dacǎ se ia

, rezultǎ cǎ


6/14/2013 12:18 AM


b) Dacǎ se considerǎ cealaltǎ formǎ a inegalitǎtii lui Cebisev, avem cǎ

orice

care pentru

pentru

devine

27. Se cunoaste cǎ o unitate de desfacere a produselor alimentare poate deservi zilnic un numǎr de 3000

clienti, Stiind cǎ un client care intrǎ in unitate devine cumpǎrǎtor cu probabilitatea probabilitatea ca a)

numǎrul cumpǎrǎtorilor sǎ fie cuprins intre 1800 si 2400,

b)

numǎrul cumpǎrǎtorilor sǎ fie mai mic decat 2150. Solutie. a)Numǎrul cumpǎrǎtorilor

parametrii

si

.

sǎ se evalueze

este o variabilǎ aleatoare ce urmeazǎ legea binomialǎ cu Se

cunoaste

cǎ

iar Folosind inegalitatea lui Cebisev obtinem

pentru orice sau

Dacǎ se ia

rezultǎ cǎ

De asemenea, se poate folosi teorema Moivre-Laplace, adicǎ

adicǎ


6/14/2013 12:18 AM


este functia lui Laplace definitǎ prin gǎseste cǎ

care este tebelatǎ in Anexa I. In cazul de fatǎ de

prin urmare

b) Folosim din nou teorema Moivre-Laplace si avem

Din tabele avem cǎ

iar

prin urmare 28. Se iau la intamplare

Fie

persoane din populatia unui oras pentru a determina fractia

numǎrul fumǎtorilor gǎsiti intre cele

persoane considerate si

intalni ti. Sǎ se determine cat de mare trebuie sǎ fie numǎrul

incat

a fumǎtorilor.

frecventa relativǎ a fumǎtorilor al persoanelor considerate, astfel

cu o probabilitate mai mare decat 0,95. De asemenea sǎ se determine

dacǎ se stie

cǎ

Solutie. Variabila aleatoare

Din

cǎ

Dacǎ luǎm

urmeazǎ legea binomialǎ, adicǎ are distributia

inegalitatea

lui

pentru orice

Cebisev,

deoarece

si

avem

Aceastǎ inegalitate se mai poate scrie sub forma

rezultǎ cǎ


6/14/2013 12:18 AM


Dar se cere sǎ calculǎm pe

astfel ca aceastǎ probabilitate sǎ fie mai mare decat 0,95, adicǎ

sau

Pe de altǎ parte, avem cǎ

deci il determinǎm pe

din inecuatia

adicǎ

Dacǎ

se stie

cǎ

atunci

inegalitate

iar

se

determinǎ

din

obtinandu-se

Rezultate mai bune se obtin dacǎ se foloseste teorema Moivre-Laplace. In primul rand, avem cǎ

Determinǎm valoarea lui n din inegalitatea

sau


6/14/2013 12:18 AM


Din Anexa I se aflǎ cǎ

seama de faptul cǎ

Dacǎ

deci avem de rezolvat inecutia

avem cǎ

se stie

sau

29. Se considerǎ sirul

sau

cǎ

de unde

atunci

adicǎ

Dacǎ se tine

avem

inecuatia

de unde se obtine

de variabile aleatoare independente douǎ cate douǎ si care au distributiile

Sǎ se verifice dacǎ sirul de variabile aleatoare se supune legii numerelor mari. Solutie. Din proprietǎtile unei distributii rezultǎ cǎ

De asemenea avem cǎ

Dispersiile nefiind egal mǎrginite, nu se poate aplica teorema lui Cebisev. Incercǎm sǎ aplicǎ teorema lui Markov. Pentru aceasta, folosind faptul cǎ variabilele aleatoare sunt independente douǎ cate douǎ, putem scrie


6/14/2013 12:18 AM

Exercitii Si Probleme Rezolvate

Recommend Documents