II. PROBLEME PROPUSE 1. Care dintre urm toarele afirma ii sunt adev rate i care sunt false: a) Orice mar rut închis con ine un ciclu elementar. b) Un mar rut închis de lungime impar con ine un ciclu elementar. c) Reuniunea a dou lan uri elementare diferite, ce unesc dou vârfuri ale unui graf con ine un ciclu elementar. 2. De construit un graf cu 2n vârfuri (n 3) , în care valen a oric rui vârf este trei i nu con ine cicluri elementare de lungimea trei (triunghiuri). 3. De demonstrat, c dac un graf G nu este conex, atunci graful complementar este conex. 4. Care este num rul maxim de muchii într-un graf cu n vârfuri, ce nu con ine cicluri elementare de lungime par ? 5. Care este num rul maxim de muchii într-un graf cu n vârfuri, ce nu con ine cicluri elementare? 6. Care dintre urm toarele afirma ii este adev rat i care este fals : a) dac G1 , G2 sunt dou grafuri regulate, atunci sunt regulate i grafurile G1 + G2 , G1 × G2 ; b) Dac G1 , G2 sunt dou grafuri bipartite, atunci sunt bipartite i grafurile G1 + G2 , G1 × G2 . 7. De stabilit num rul minim de vârfuri într-un graf 3regulat (graf cubic), ce con ine un istm. 8. Care dintre urm toarele afirma ii sunt adev rate i care sunt false: a) orice arbore este un graf bipartit; b) orice arbore este un graf bipartit complet; c) un graf conex G = ( X ;U ) con ine un singur ciclu
19
dac
i numai dac
X =U ;
d) orice arbore cu n vârfuri con ine n 1 istmuri. 9. De demonstrat, c centrul unui graf conex G apar ine unui bloc din G . 10. Pentru un graf conex G = ( X ;U ) not m prin H (G ) num rul minim de vârfuri, la eliminarea c rora ob inem un graf neconex sau un graf trivial, prin (G ) – num rul minim de muchii, la eliminarea c rora ob inem un graf neconex i prin (G ) – valen a minim a vârfurilor grafului G . De construit un graf G pentru care (G ) = 3 , (G ) = 4 , (G ) = 5 . 11. Care dintre urm toarele afirma ii sunt adev rate i care sunt false: a) pentru orice graf cubic G = ( X ;U ) este adev rat egalitatea (G ) = (G ) ; b) dac G este un graf k -regulat i H (G ) = 1 atunci (G ) [k / 2] . 12. Stabili i condi iile, în care graful muchiilor unui graf G = ( X ;U ) este regulat. 13. Construi i un graf G = ( X ;U ) , X
4 , pentru care
graful muchiilor L(G ) nu este eulerian, iar graful L2 (G ) este eulerian. 14. De construit un graf G pentru care graful muchiilor L(G ) este hamiltonian. 15. De construit un graf G pentru care graful muchilor L(G ) este eulerian. 16. De construit un graf G în care orice mul ime intern stabil se con ine în mul imea maxim intern stabil . 17. De demonstrat rela iile a) (G1 + G2 ) = (G1 ) + (G2 ) ;
20
b) (G1 I G2 ) max{ (G1 ), (G2 )} . 18. Fie G un graf-plan, în care toate vârfurile apar in frontierei unei fe e. De demonstrat c acest graf poate fi colorat corect cu ajutorul cel mult a trei culori. 19. Pentru grafurile reprezentate geometric în figura 5 (a,b,c,d) s se descrie matricile de adiacen i inciden .
a)
b)
c)
d)
Figura 5 20. a) Exprima i în func ie de n num rul muchiilor unui graf complet cu n vârfuri. b) S se determine num rul diagonalelor unui poligon convex cu n vârfuri. 21. Se consider o mul ime X de cardinal X = n . S se determine: a) num rul grafurilor simple, care au ca mul ime de vârfuri mul imea X ; b) num rul grafurilor orientate, f r bucle, cu mul imea de vârfuri X ;
21
c) num rul grafurilor orientate, f r bucle, antisimetrice, cu mul imea de vârfuri X ; d) num rul turnirurilor cu mul imea de vârfuri X . 22. S se arate c într-un graf orientat de ordin n g + ( xi ) =
G = ( X ,U ) , are loc rela ia xi X
g ( xi ) , unde xi X
X = {x1 , x 2 ,..., x n }. 23. S se demonstreze c într-un graf orientat de ordin n g + (xi ) g ( xi ) este un num r par.
G = ( X ,U ) , suma xi X
24. S se arate c într-un graf orientat G = ( X ,U ) antisimetric de ordin n , cu num r maxim de arce (numit i turnir), au loc rela iile: a. g + (xi ) + g ( xi ) = n 1 , xi X = {x1 , x 2 ,..., x n }; g + ( xi ) =
b. xi X
xi X
(g (x ))
=
(g (x ))
=
2
+
c.
i
xi X
2
+
d.
i
xi X
g ( xi ) = Cn2 ;
(g (x )) ; 2
i
xi X
xi X
(n
)
g + ( xi ) 1 . 2
25. Exist oare grafuri neorientate cu cel pu in dou vârfuri în care gradele tuturor vârfurilor sunt distincte? 26. Fie G = ( X , U ) un graf neorientat cu n vârfuri i m muchii. S se arate c dac pentru orice xi X avem g ( xi ) = k sau g ( xi ) = k + 1 , atunci num rul vârfurilor de grad k este (k + 1)n 2m .
22
27. Consider m familia de grafuri orientate F = G = X , U : X = n, g + ( x i ) p , g ( x i ) q , x i
{
unde
{
( )
p
n
i
q
n.
( ) F }.
S
se
determine
}
X ,
num rul
max U : G = X , U
28. Fie G = ( X ,U ) un graf orientat cu proprietatea c g (xi ) = g ( xi ) pentru orice xi X . S se arate c pentru +
orice submul ime A
X are loc rela ia
+
(A) =
(A) (aici
+
( A) este mul imea arcelor cu extremitatea ini ial în A , iar ( A) este mul imea arcelor cu extremitatea final în A ). 29. S se arate c în orice graf neorientat num rul vârfurilor de grad impar este par. 30. Fie G = ( X , U ) un graf neorientat k – regulat. De demonstrat, c dac G con ine un num r impar de vârfuri, atunci gradul fiec rui vârf este par. 31. Fie graful neorientat G = (X, U) i A X o submul ime de vârfuri a acestui graf. Fie k num rul muchiilor care au exact o extremitate în A . S se demonstreze c num rul k este de aceea i paritate cu num rul vârfurilor de grad impar din A . 32. Un graf G = ( X , U ) se nume te autocomplementar, dac este izomorf cu complementarul s u G . se demonstreze c pentru orice graf a) S autocomplementar are loc una din rela iile X 0 (mod 4) sau X
1 (mod 4).
b) Construi i un graf autocomplementar cu X > 1 i num r minim de vârfuri.
23
33. S se arate c un graf neorientat cu n vârfuri i n muchii con ine cel pu in un ciclu. 34. S se arate c dac G i G sunt grafuri conexe de ordin n 5 , atunci cel pu in unul dintre ele con ine ciclu elementar. 35. S se arate c într-un graf neorientat i conex orice dou lan uri elementare de lungime maxim au cel pu in un vârf comun. 36. S se demonstreze c graful neorientat, în care orice vârf are gradul cel pu in trei, are ciclu de lungime par . 37. S se arate c un graf neorientat este bipartit dac i numai dac toate ciclurile sale sunt de lungime par . 38. Fie i dou numere naturale, astfel încât / 2 +1 i este num r par. S se arate c în graful bipartit orice ciclu elementar are lungimea cel mult complet K 2
1,
2.
39. Fie G un graf planar conex de ordin n , având m muchii i f fe e (inclusiv cea nem rginit ). S se demonstreze formula lui Euler: f = m n + 2 . 40. a) S se demonstreze c un graf planar de ordin n > 2 are cel mult 3n 6 muchii. b) S se demonstreze c un graf planar de ordin n > 2 are cel mult 2n 4 fe e. 41. Consider m un graf planar G = ( X , U ) de ordin n în care frontiera oric rei fe e este un ciclu elementar de lungimea k . S se exprime în func ie de n i k num rul muchiilor acestui graf. 42. S se demonstreze c în orice graf planar G = ( X , U ) , X 5 , exist cel pu in patru vârfuri de grad cel
mult 5 . 24
43. Fie G un graf neorientat de ordin n care nu con ine subgrafuri K 3 . S se arate c dac num rul de muchii m verific inegalitatea m > 2n 4 , atunci graful G este neplanar. 44. Vom spune c un graf planar este exterior planar dac poate fi desenat în plan, astfel încât toate vârfurile sale s apar in frontierei unei fe e. Un graf planar este maxim exterior planar dac con ine un num r maxim de muchii. S se demonstreze c pentru orice graf planar G = ( X , U ) maxim exterior, cu X
3 sunt adev rate urm toarele afirma ii:
a) U = 2n 3 . b) Exist cel pu in dou vârfuri de grad 2 . c) Num rul cromatic al lui G este 3. 45. Consider m un graf orientat G = X ;U , X 2 . S se demonstreze c urm toarele dou afirma ii sunt echivalente: a) G nu con ine vârfuri izolate i are un ciclu eulerian. b) G este tare conex i pentru orice vârf xi X avem
( )
g + ( x i ) = g ( xi ) .
46. Consider m un graf neorientat G = ( X ;U ) , X 2 . S se demonstreze c urm toarele dou afirma ii sunt echivalente: a) G nu con ine vârfuri izolate i are un ciclu eulerian. b) G este conex i gradul fiec rui vârf este par. 47. Fie G = ( X , U ) un graf neorientat de ordin n . S se arate c dac pentru orice vârf xi X , g ( xi ) (n 1) / 2 , atunci graful G este conex. 48. Fie G = ( X , U ) acel graf neorientat de ordin n cu p componente conexe, care are un num r maxim de muchii. S se determine num rul de muchii i num rul de vârfuri din fiecare component conex a lui G .
25
49. S se arate c orice graf de ordin n 4 cu mai mult de (n 1)(n 2) / 2 muchii este conex. 50. S se demonstreze c într-un graf 3-regulat G = ( X , U ) exist un punct de articula ie dac i numai dac G con ine un istm. 51. a) Care este num rul maxim de puncte de articula ie într-un graf neorientat de ordin n ? b) Da i exemple de grafuri cu n vârfuri care s aib mul imi de articula ie de cardinal n 2,...,1 . 52. S se demonstreze c într-un graf conex G = ( X , U ) vârful xi X este punct de articula ie dac i numai dac exist dou vârfuri x j i x k , astfel încât xi apar ine tuturor lan urilor elementare ce unesc x j cu x k . 53. S se demonstreze c orice graf planar 5-conex con ine cel pu in 12 vârfuri. 54. Fie o (G ) i o (G ) num rul de stabilitate intern i respectiv num rul de stabilitate extern a grafului G = ( X , U ) . S se demonstreze inegalitatea o (G ) o (G ) . 55. Fie G = ( X , U ) un graf neorientat f r vârfuri izolate. S se demonstreze c în G exist o mul ime de vârfuri D extern stabil , astfel încât X \ D este de asemenea extern stabil . 56. S se arate c un graf finit neorientat, în care gradul fiec rui vârf este cel pu in d > 1 , con ine un ciclu de lungime cel pu in d + 1 . 57. a) S se arate, c într-un graf conex G raza i diametrul verific rela ia: r (G ) d (G ) 2r (G ) .
26
b) Care este rela ia dintre raza i diametrul unui arbore? 58. S se verifice dac este adev rat afirma ia: Pentru orice graf conex G = ( X , U ) exist un arbore par ial de acela i diametru cu G . 59. a) S se demonstreze c un arbore are cel mult dou vârfuri centrale. b) S se arate c dac un arbore are dou vârfuri centrale, atunci acestea sunt adiacente. 60. Un graf-plan se nume te triangulat dac frontiera fiec rei fe e este un ciclu de lungimea trei. Consider m o colorare oarecare cu trei culori a unui graf-plan G = ( X , U ) triangulat. Spunem c o fa a lui G este colorat corect dac toate vârfurile frontierei sale sunt colorate în culori diferite. S se demonstreze c num rul fe elor corect colorate este par. 61. Spunem c o hart este colorat corect dac oricare dou regiuni conexe din plan, având în comun o parte a frontierei, sunt colorate cu culori diferite. S consider m o hart generat de intersec iile unor cercuri în plan. S se demonstreze c ea poate fi colora corect cu dou culori. 62. S se demonstreze c num rul cromatic al oric rui graf planar este mai mic decât 6 . 63. Graful G se nume te graf critic, dac pentru orice vârf v are loc inegalitatea (G ) < (G ) . Fie G = ( X , U ) un graf critic i S X o submul ime intern stabil a lui G . S se demonstreze c (G ( X \ S )) < (G ) 1 . 64. Fie G = ( X , U ) un graf neorientat de ordin n . S se arate c sunt adev rate rela iile: a. (G ) + (G ) n + 1 ;
27
b. c.
(G ) (G )
(G )
(n + 1) 2 / 4 ;
n 2 /(n 2
2m ) .
65. Consider m un arbore G = ( X , U ) , cu X
2 . S se
demonstreze c G are cel pu in dou vârfuri de grad 1 . 66. Fie Gi = ( X i , U i ) , i = 1,..., p , subarbori ai unui arbore G = ( X , U ) . S se arate c dac oricare doi subarbori au cel pu in un vârf comun, atunci to i subarborii au cel pu in un i, j {1,..., p}, i j ) vârf comun, adic : ( X i X j O/ p
IX
i
O/ .
i =1
67. Fie date n numere naturale, ce verific rela iile 0 < d1 d 2 ... d n . S se demonstreze c d1 + d 2 + ... + d n = = 2n 2 dac i numai dac exist un arbore G = ( X , U ) cu X = {x1 , x 2 ,..., x n } i deg xi = d i , i = 1,2,..., n . 68. Fie G = ( X , U ) un arbore. Not m cu g i num rul vârfurilor ce au gradul i i cu g num rul vârfurilor de grad mai mare decât 2 . S se demonstreze c g1 g + 2 . 69. S se demonstreze c orice arbore cu n vârfuri i de diametru mai mare sau egal cu 2k 3 con ine cel pu in n k lan uri de lungime k . 70. S se demonstreze c pentru un graf cu n vârfuri, m muchii i p componente conexe are loc rela ia m + p n (folosi i faptul c într-un arbore m = n 1 ). 71. Fie A = ( X , U ) un arbore i A1 = ( X 1 ,U 1 ),..., A p = = ( X p ,U p ) – o mul ime de subarbori ai lui A . p
S
se arate c
dac
B = I Xi i =1
mul imea vârfurilor unui subarbore al lui A . 28
O/ , atunci B este
72. Determina i arborii G = ( X ;U ) cu n vârfuri pentru d ( x, y ) este minim , respectiv maxim . care suma x, y X
73. Pentru orice vârf x al unui arbore G = ( X ;U )
not m: s( x) =
d ( x, y ) . y X
1) S se arate c func ia s (x) este strict convex în sensul c dac y i z sunt dou vârfuri adiacente cu x , atunci este adev rat inegalitatea: 2s( x) < s ( y ) + s( z ) . 2) Func ia s ( x) î i atinge valoarea minim într-un singur vârf sau în dou vârfuri adiacente ale arborelui G. 74. Fie G = ( X ,U ) un arbore i f : X X este o aplica ie cu proprietatea c dac ( x, y ) U , atunci f ( x) = f ( y ) sau ( f ( x ), f ( y ) ) U . S se arate c f are un punct fix sau o muchie fix . 75. Fie A un arbore cu mul imea de vârfuri X , astfel încât X = 2n + 1 . Un automorfism al arborelui A este o bijec ie f :X X care p streaz adiacen a vârfurilor, adic ( x, y ) este o muchiei a arborelui A dac i numai dac ( f ( x), f ( y ) ) este o muchie a lui A . S se arate c f are cel pu in un punct fix. 76. Pentru un arbore G cu mul imea vârfurilor X = {x1 ,..., x n } not m
D = (d ij ) i , j =1,...,n ,
unde d ij = d ( xi , x j ) este distan a dintre vârfurile xi i x j în G . S se arate c
29
det D = ( 1) n 1 (n 1)2 n 2 . 77. S se g seasc num rul arborilor cu n vârfuri x1 ,..., x n care au exact p vârfuri suspendate. 78. Se consider graful-scar din figura 6, care are 2n vârfuri. a) În câte moduri putem alege n muchii care au dou câte dou extremit i comune? b) S se arate c acest graf are n n 1 % 2 3 " # 2+ 3 ! 2 3$ arbori par iali.
(
i dk conex.
) (
)
Figura 6 79. De verificat afirma iile: a) Un graf G are un ciclu eulerian dac i numai dac este conex i are gradele tuturor vârfurilor pare. b) Dac G este conex i are 2k vârfuri de grad impar (k 1) , atunci el este reuniunea a k lan uri. 80. Fie d1 d 2 ... d n gradele vârfurilor unui graf G k pentru orice k n d n 1 . S se arate c G este 81. Fie G un graf conex cu n vârfuri i 1 k n . S se arate c G con ine un subgraf conex H cu k
vârfuri. 82. Exist oare un graf cu 10 vârfuri pentru care irul gradelor vârfurilor sale este respectiv: 1,1,1,3,3,3,4,6,7,9 ?
30
83. Fie întregii d 1 ,..., d n astfel încât 0 d1 ... d n . S se arate c aceste numere sunt grade ale vârfurilor unui multigraf cu n vârfuri, dac i numai dac sunt verificate urm toarele dou condi ii: a) d1 + ... + d n este num r par, b) d n d1 + ... + d n 1 . 84. Ce numere pot reprezenta num rul de vârfuri ale grafurilor k -regulate? 85. S se demonstreze c orice graf conex G con ine cel pu in un vârf x cu proprietatea c subgraful G x = G x este conex. 86. Un graf G este 2-conex dac este conex i nu con ine puncte de articula ie. S se arate c urm toarele afirma ii sunt echivalente pentru un graf G cu n 3 vârfuri: a) G este 2-conex; b) Oricare dou vârfuri ale lui G apar in unui ciclu elementar; c) G nu are vârfuri izolate i oricare dou muchii ale sale apar in unui ciclu elementar. 87. Fie G un graf 2-conex. S se arate c dac G con ine dou cicluri elementare de lungime maxim , atunci aceste cicluri au cel pu in dou vârfuri comune. 88. S se arate c : 1) Dac graful G este k -regulat i are n vârfuri, atunci num rul de triunghiuri în grafurile G i G este egal cu % n " nk (n k 1) . # $3! 2 2) Orice graf G cu n vârfuri i complementarul s u G con in împreun cel pu in 31
n(n 1)(n 5) 24
triunghiuri. 89. S se demonstreze, c orice graf G cu n vârfuri i n2 " 4m % #m m muchii con ine cel pu in triunghiuri. 3n #$ 4 ! 90. S se arate c orice graf cu n vârfuri i n m > 1 + 4n 3 muchii con ine cel pu in un ciclu elementar 4 cu 4 vârfuri. 91. S se arate c dac un graf cu n vârfuri nu con ine subgrafuri complete cu k vârfuri (k 2) , atunci el con ine cel pu in m = {n /(k 1)} vârfuri ale c ror grade sunt mai mici sau egale cu p = [(k 2)n /(k 1)] . 92. Se consider 3n puncte distincte în plan care formeaz mul imea M astfel încât maximul distan elor dintre ele este egal cu 1 . S se arate c cel mult 3n 2 distan e dintre aceste puncte sunt mai mari ca 1 / 2 . 93. Fiind date în plan 2n puncte astfel încât oricare trei dintre ele nu sunt coliniare, s se arate c num rul maxim de segmente de dreapt care pot fi construite cu extremit ile în aceste puncte, astfel încât s nu se formeze nici un triunghi, este egal cu n 2 . 94. S se g seasc num rul maxim de subgrafuri complete maximale (în raport cu incluziunea) pe care le poate con ine un graf cu n vârfuri. 95. Dac fiecare vârf al unui graf G are gradul egal cel mult cu k , atunci num rul cromatic al grafului G verific inegalitatea: (G ) k + 1 ?
(
)
32
96. S desen m un num r oarecare de linii în plan, astfel încât oricare trei dintre ele s nu fie concurente. Putem ob ine un graf planar G considerând punctele de intersec ie ale liniilor ca vârfuri ale unui graf i segmentele dintre punctele de intersec ie vecine ca muchii ale acestui graf. S se arate c (G ) 3 . 97. Dac G este un graf planar cu n 4 vârfuri care au gradele d1 , d 2 ,..., d n , s se arate c n i =1
d i2
2(n + 3) 2
62 .
Exist oare pentru orice n 4 exist un graf planar cu toate fe ele triunghiulare pentru care inegalitatea devine egalitate? 98. Fie G un graf neorientat cu mul imea vârfurilor X de cardinal n i mul imea muchiilor U . Se nume te -colorate a lui G este o func ie f :X {1,..., }, 1 este un num r natural, cu proprietatea c dac unde (x, y ) U , atunci f ( x) f ( y ) . S se arate c num rul de -color ri ale grafului G se poate exprima sub forma unui polinom în de gradul n , numit polinom cromatic al grafului G i notat prin PG ( ) , în modul urm tor: V PG ( ) = ( 1) c (V ) , V U
unde c(V ) reprezint num rul componentelor conexe ale grafului par ial ( X , V ) al lui G . 99. G fiind un graf i e = ( x, y ) o muchie a sa, s not m prin G e graful ob inut din G prin suprimarea muchiei e iar prin G e graful ob inut din G prin suprimarea vârfurilor x i y
33
i a muchiilor incidente cu aceste vârfuri i înlocuirea lor cu nou vârf z care s fie adiacent cu toate vârfurile grafului G care erau adiacente fie cu x , fie cu y . S se arate c : PG ( ) = PG e ( ) PG e ( ) . 100. S not m prin K n graful complet cu n vârfuri, prin Tn arborele cu n vârfuri i prin C n ciclul elementar cu n vârfuri i n muchii. De verificat rela iile: n + 1) ; a) PK n ( ) = ( 1)...(
b) PTn ( ) = ( c) PGn ( ) = (
1) n 1 ; 1) n + ( 1) n (
1) .
101. S se demonstreze c dac G este un graf cu n vârfuri, atunci polinomul s u cromatic are forma: PG ( x) = x n a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 ... + ( 1) n 1 a1 x , unde ai 0 pentru orice i . Dac în plus G este conex, atunci ai > 0 pentru i = 1,..., n 1 . 102. La un turneu de ah particip n ahi ti. Ctiind c fiecare ahist trebuie s sus in câte o partid cu fiecare dintre ceilal i n 1 ahi ti i nu poate sus ine mai mult de o partid pe zi, s se afle num rul minim de zile în care se poate încheia turneul.
34
